山东省潍坊市2020届高考模拟(二模)数学试题与答案
山东省2020届高三数学二模试卷
山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。
山东省2020版高考数学二模试卷(理科)(II)卷(模拟)
山东省2020版高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，集合，集合．则集合可表示为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·成都月考) 在复平面内，给出以下四个说法：①实轴上的点表示的数均为实数；②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；④已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于第四象限.其中说法正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）(2017·榆林模拟) 函数y=2log4（1﹣x）的图象大致是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a6=18﹣a7 ，则S12=（）A . 18B . 54C . 72D . 1085. （2分）执行右边的程序框图，若t∈[－1，2]，则s∈（）A . [－1，1)B . [0，2]C . [0，1)D . [－l，2]6. （2分） (2020高一下·南平期末) 已知向量,满足，，则（）A . 4B . 3C . 2D . 07. （2分） (2016高二下·宜春期中) 设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2015高二下·赣州期中) 已知在双曲线中，F1 ， F2分别是左右焦点，A1 ， A2 ，B1 ， B2分别为双曲线的实轴与虚轴端点，若以A1A2为直径的圆总在菱形F1B1F2B2的内部，则此双曲线离心率的取值范围是（）A .B . [ ，+∞）C .D .9. （2分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A . 3＜m＜6D . ﹣1＜m＜010. （2分） (2017高二下·台州期末) 曲线y=x3﹣6x2+9x﹣2在点（1，2）处的切线方程是（）A . x=1B . y=2C . x﹣y+1=0D . x+y﹣3=011. （2分） (2019高二下·南充月考) 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A .B .C .D . 3212. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），…，则P60的坐标为（）A . （3，8）D . （5，7）二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2018高三上·南宁月考) 若的展开式式中含的项为________.14. （1分）(2020·山东模拟) 若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________.15. （1分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 设实数满足，则目标函数的最小值为________．16. （2分）(2017·浙江模拟) 某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为________，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为________．三、解答题： (共7题；共70分)17. （10分） (2020高三上·温州期末) 已知函数（）的周期为 .（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角，，对应的边分别为 . ，，，若，且，，求的面积.18. （15分）如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；（2）证明：BD∥平面PEC；（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．19. （15分） (2018高二上·贺州月考) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图. 为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a>b的概率；（3）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断b为何值时，达到最值．（只需写出结论）20. （5分） (2019高三上·清远期末) 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴的两端点分别为，，线段，的中点分别为，，且四边形是面积为8的矩形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．21. （10分） (2019高二下·赣县期中) 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）若函数在上有零点，求的取值范围.22. （10分）(2020·呼和浩特模拟) 已知椭圆的普通方程为：，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，正方形的顶点都在上，且逆时针依次排列，点的极坐标为（1）写出曲线的参数方程，及点的直角坐标；（2）设为椭圆上的任意一点，求：的最大值.23. （5分） (2019高一上·大庆月考) 已知函数在区间[1，7]上的最大值比最小值大，求a的值参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2020年山东省新高考数学模拟试卷(二)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合22{|log (34)}A x y x x ==--，22{|320(0)}B x x mx m m =-+<>，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．(4,)+∞B ．[4，)+∞C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞2．（5分）已知复数z 满足(1)32z i i +=+，则复数z 的虚部为( ) A ．12i -B ．12iC ．12 D ．12-3．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 4．（5分）.若4tan 3α=，则cos(2)(2πα+= )A ．2425-B ．725-C ．725 D ．24255．（5分）在ABC ∆中，O 为AC 的中点，若AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则(λμ+= )A ．1B ．12C ．23D ．436．（5分）优题速享如图是函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，给出下列四个命题： ①函数()f x 的表达式为()2sin(2)3f x x π=+；②()g x 的一条对称轴的方程可以为4x π=-；③对于实数m ，恒有()()33f m f m ππ+=-；④()()f x g x +的最大值为2．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（5分）一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为( ) A 21B ．22C ．1D ．28．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)0f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(0,)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞C ．(-∞，0)(1⋃，)+∞D ．(1,)-+∞二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）已知两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数(a = ) A ．213±B ．25±C ．0D ．以上均有可能10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是( )A ．2a b =B ．2b a =C ．A B >D ．B A >11．（5分）已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且关于x 的方程()f x x =无实数根，现有下列说法，其中说法正确的是( )A ．若0a >，则不等式(()f f x )x >对一切x R ∈恒成立B ．若0a <，则必然存在实数0x 使不等式00(())f f x x >成立C ．关于x 的方程(())f f x x =一定没有实数根D ．若0a b c ++=，则不等式(()f f x )x <对一切x R ∈恒成立12．（5分）已知圆锥曲线22:1(0)C mx ny n m +=>>与222:1(0,0)C px qy p q -=>>的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则下列说法正确的是( )A ．2C 的离心率为92B ．2CC ．2C 的渐近线方程为2y x = D ．2C 的渐近线方程为2y x =±三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知函数81()(1)1x f x ln x x -=--+，则函数()f x 的图象在(2,5)-处的切线方程为 ．14．（5分）若正数x ，y 满足53x y xy +=，则5x y +的最小值是 ．15．（5分）已知直线:10l mx ny +-=与圆22:1O x y +=相交的弦长||AB =，则22m n += ．16．（5分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，即当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点(,)C x y 滚动时形成的曲线为()y f x =，则(2019)f = ，20191()i f i ==∑．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①1(0)2f=，②()(0)fx f…恒成立，③()f x的图象关于点(3πω，0)中心对称这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的范围；若ω不存在，说明理由．设函数()sin()(0f x xωϕω=+>，)22ππϕ-剟，是否存在ω，使得函数()f x在[0，]2π上是单调的？18．（12分）已知等差数列{}na满足3221a a=-，47a=，等比数列{}nb满足35242()b b b b+=+，且2*22()n nb b n N=∈．（1）求数列{}na，{}nb的通项公式；（2）记数列{}na的前n项和为nS，若数列{}nc满足*1212()nnncc cS n Nb b b++⋯+=∈，求{}nc的前n项和为nT．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为43的菱形，60BCD∠=︒，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，//EF AB，FB FC=，23EF=．（1）求证：OE⊥平面ABCD；（2）若FBC∆为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q BC A--的余弦值．20．（12分）某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z近似的服从正态分布2(,)Nμσ．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A 、B 、C 三家公司的面试．()i 用样本平均数x 作为的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；()ii 若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：公司甲岗位 乙岗位 丙岗位 A 9600 6400 5200 B9800 7200 5400 C1000060005000李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4．李华准备依次从A 、B 、C 三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会，李华在某公司选岗时，若以该岗位与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A 、B 、C 公司的哪些岗位？并说明理由． 附：16112.7≈若随机变量2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数()1alnx bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，()1lnx kf x x x>+-，求k 的取值范围． 22．（12分）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求||AF ； （2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于M ，N 两点，设0(M x ，0)y ，当0[3y ，4]时，求||MN 的最大值．2020年山东省新高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合22{|log (34)}A x y x x ==--，22{|320(0)}B x x mx m m =-+<>，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．(4,)+∞B ．[4，)+∞C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【解答】解：解一元二次不等式2340x x -->得：1x <-或4x >，即(A =-∞，1)(4-⋃，)+∞，解一元二次不等式22320(0)x mx m m -+<>得2m x m <<，即(,2)B m m =， 又B A ⊆，所以210m m -⎧⎨>⎩„或40m m ⎧⎨>⎩…，解得4m …， 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足(1)32z i i +=+，则复数z 的虚部为( ) A ．12i -B ．12iC ．12 D ．12-【解答】解：由(1)32z i i +=+， 得32(32)(1)511(1)(1)22i i i z i i i i ++-===-++-， ∴复数z 的虚部为12-． 故选：D ．3．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【解答】解：在A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误； 在B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B 错误；在C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C 错误；在D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D 正确． 故选：D ． 4．（5分）.若4tan 3α=，则cos(2)(2πα+= )A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【解答】解：22242sin cos 2tan 243cos(2)sin 2216212519sin cos tan παααααααα+=-=-=-=-⨯=-+++， 故选：A ．5．（5分）在ABC ∆中，O 为AC 的中点，若AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则(λμ+= )A ．1B ．12C ．23D ．43【解答】解：如图， O 为AC 的中点；∴1111()2222AO AC BC BA AB BC ==-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ；又AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ；根据平面向量基本定理得，12λμ==； 1λμ∴+=．故选：A ．6．（5分）优题速享如图是函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，给出下列四个命题： ①函数()f x 的表达式为()2sin(2)3f x x π=+；②()g x 的一条对称轴的方程可以为4x π=-；③对于实数m ，恒有()()33f m f m ππ+=-；④()()f x g x +的最大值为2．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：由图象知，2A =，5746124T πππ=-=，即T π=，则2ππω=，得2ω=， 由五点对应法得5226πϕπ⨯+=，得3πϕ=， 则()2sin(2)3f x x π=+，故①正确， 当3x π=时，()2sin 03f ππ==，则函数关于3x π=不对称，故③错误， 将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，即()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=-+=，当4x π=-时，()2sin()242g ππ-=-=-为最小值，则4x π=-是函数()g x 的一条对称轴，故②正确，()()2sin(2)2sin 22sin cos 2cos2sin 2sin 23sin 2)3336f xg x x x x x x x x x ππππ+=++=++==+，则()()f x g x +的最大值为④错误， 故正确的是①②， 故选：B ．7．（5分）一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为( )A 1B ．2C ．1D ．2【解答】解：满足条件的四面体的容器如图， 四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，BD BC ⊥， 满足各面均为直角三角形，此时，2AD BD BC ===，则AB CD ==AC =要满足题意，则当球与四面体各面均相切时半径最大， 此时设球心为O ，则原四面体可看成是以O 为顶点，其余各面为底面的四个四面体组合而成，且这4个四面体的高均为内切球半径， 由等体积法有：111222(22323r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯++，解得21r =-． 故选：A ．8．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)0f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(0,)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞C ．(-∞，0)(1⋃，)+∞D ．(1,)-+∞【解答】解：设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈， 则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-，()1()f x f x '>-Q ， ()()10f x f x ∴+'->， ()0g x ∴'>，()y g x ∴=在定义域上单调递增，()1x x e f x e >-Q ，()1g x ∴>-，又00(0)(0)1g e f e =-=-Q ，()(0)g x g ∴>，0x ∴>，∴不等式的解集为(0,)+∞；故选：A ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）已知两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数(a = )A ．±B ．±C ．0D ．以上均有可能【解答】解：圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1，圆22(4)()25x y a ++-=的圆心为(4,)a -，半径为5，若两圆相切，分两种情况讨论：当两圆外切时，有222(4)(15)a -+=+，解得a =± 当两圆内切时，有222(4)(15)a -+=-，解得0a =，综合可得：实数a 的值为0或± 故选：BC ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是( ) A ．2a b =B ．2b a =C ．A B >D ．B A >【解答】解：因为sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 所以sin 2sin cos 2sin cos cos sin B B C A C A C +=+，所以sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos cos sin A C C A B C A C A C ++=+， 整理可得，2sin cos sin cos B C A C =， 因为C 为锐角，cos 0C ≠， 所以2sin sin B A =， 由正弦定理可得，2a b =，由三角形的大边对大角可得，A B >， 故选：AC ．11．（5分）已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且关于x 的方程()f x x =无实数根，现有下列说法，其中说法正确的是( )A ．若0a >，则不等式(()f f x )x >对一切x R ∈恒成立B ．若0a <，则必然存在实数0x 使不等式00(())f f x x >成立C ．关于x 的方程(())f f x x =一定没有实数根D ．若0a b c ++=，则不等式(()f f x )x <对一切x R ∈恒成立【解答】解：函数[()]f f x 为一个复合函数，可以把方括号里的()f x 看作为一个未知数t ，t的范围就是()f x 的值域；对于A ，[()]f f x 可以看作()f t ，而题中()f x x =无实根，方括号里的()f x 看作为一个未知数t ，则外层为一个开口向上的2次函数，且()f x x =无实根，且0a >， 所以不等式[()]f f x x >对一切x R ∈都成立，A 正确；对于B ，0a <时，由()f x x =无实根知二次函数()y f x x =-开口向下，且与x 轴没有交点， 同理，令()t f x =，则二次函数()y f t t =-也开口向下，且与横轴没有交点， 所以不等式[()]f f x x <对一切x R ∈都成立，B 错误；对于C ，[()]f f x 看为()f t ，而题中()f x x =无实根，所以方程[()]f f x x =无实根，所以C 正确；对于D ，由0a b c ++=知f （1）01=<，又()f x x =无实根，所以0a <， 由选项B 知不等式(()f f x )x <对一切x R ∈恒成立，D 正确． 故选：ACD ．12．（5分）已知圆锥曲线22:1(0)C mx ny n m +=>>与222:1(0,0)C px qy p q -=>>的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则下列说法正确的是( )A ．2C 的离心率为92B ．2CC ．2C 的渐近线方程为y =D ．2C 的渐近线方程为y x = 【解答】解：由题意，不妨取M 为两曲线在第一象限的交点， 令21a m=，21b n =，211a p =，211b q =，则曲线1C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，曲线2C 的方程为22122111(0x y a a b -=>，10)b >，又由两曲线有公共焦点，则2222211a b a b c -=+=，由圆锥曲线定义可得：12||||2MF MF a +=，121||||2MF MF a -=， 解得11||MF a a =+，21||MF a a =-．又1290F MF ∠=︒，∴2221212||||||MF MF F F +=， 可得22212a a c +=，整理得2212112e e +=， Q 134e =，∴232e =；由1322c a =，可得22211221192a b c a a +==，得11142b a =，2C ∴的渐近线方程为14y x =±． 故选：BC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知函数81()(1)1x f x ln x x -=--+，则函数()f x 的图象在(2,5)-处的切线方程为 50y += ．【解答】解：因为81()(1)1x f x ln x x -=--+，点坐标为(2,5)-， 可知点在曲线上， 则219()1(1)f x x x '=--+， 则f '（2）110=-=，即切线的斜率为0， 又因为过点(2,5)-， 所以切线方程为50y +=， 故答案为：50y +=．14．（5分）若正数x ，y 满足53x y xy +=，则5x y +的最小值是 12 ． 【解答】解：正数x ，y 满足53x y xy +=，则153y x+=， 1151551555(5)()(251)(262)12333x y x yx y x y y x y x y x∴+=++=++++=g …，当且仅当2x y ==时取等号， 故5x y +的最小值是12， 故答案为：1215．（5分）已知直线:10l mx ny +-=与圆22:1O x y +=相交的弦长2||AB =，则22m n += ．【解答】解：2222|1|2||21()2AB m n -=-=+Q ， 化简得：2287m n +=． 故答案为：87． 16．（5分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，即当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点(,)C x y 滚动时形成的曲线为()y f x =，则(2019)f = 0 ，20191()i f i ==∑．【解答】解：Q 正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =， 则由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于(0,1)点，即(0)1f =， 当1x =时，C 位于(1,2)点，即f （1）2=， 当2x =时，C 位于(2,1)点，即f （2）1=， 当3x =时，C 位于(3,0)点，即f （3）0=， 当4x =时，C 位于(4,1)点，即f （4）1=， 则(4)()f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4， 则(2019)(50443)f f f =⨯+=（3）0=，20191()504(2101)21050521009i f i ==⨯++++++=+∑，故答案为：0；50521009+．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①1(0)2f =，②()(0)f x f „恒成立，③()f x 的图象关于点(3πω，0)中心对称这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的范围；若ω不存在，说明理由．设函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-剟，①203ω<„．②02ω<„．③503ω<„． 是否存在ω，使得函数()f x 在[0，]2π上是单调的？【解答】解：①1(0)sin(0)sin 2f ϕϕ=+==Q ，52266k k ππϕππ∴=++或， 22ππϕ-Q 剟，6πϕ∴=．此时()sin()6f x x πω=+． 当[0,],[,]26626x x πππωππω∈+∈+，要使得函数()f x 在[0，]2π上是单调的，262ωπππ+„，∴23ω„．0ω>Q ，∴203ω<„． ②()(0)f x f Q „恒成立，()(0)sin 1max f x f ϕ∴===． 22ππϕ-Q 剟，2πϕ∴=．此时()sin()cos 2f x x x πωω=+=． [0x ∈Q ，]2π，[0,]2x ωπω∈，要使得函数()f x 在[0，]2π上是单调的，2ωππ„，2ω∴„．0ω>Q ，02ω∴<„．③()f x 的图象关于点(3πω，0)中心对称， 3k πωϕπω+=g ，3k πϕπ=-+，22ππϕ-Q 剟，3πϕ∴=-．此时()sin()3f x x πω=-． [0x ∈Q ，]2π，[,]3323x ππωππω-∈--．要使得函数()f x 在[0，]2π上是单调的，232ωπππ-„，∴53ω„．0ω>Q ，503ω∴<„．． 故答案为：①203ω<„．②02ω<„．③503ω<„． 18．（12分）已知等差数列{}n a 满足3221a a =-，47a =，等比数列{}n b 满足35242()b b b b +=+，且2*22()n nb b n N =∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足*1212()n n nc c c S n N b b b ++⋯+=∈，求{}n c 的前n 项和为n T ．【解答】解：（1）等差数列{}n a 满足3221a a =-，47a =， 可得1141222137a d a d a a d +=+-⎧⎨=+=⎩，解得11a =，2d =， 12(1)21n a n n ∴=+-=-，Q 等比数列{}n b 满足35242()b b b b +=+，3222222()b q b q b b q ∴+=+， 即322(1)q q q +=+，2q ∴=，Q 2*22()n nb b n N =∈． 22112b b b q ∴==， 11b ∴=12n n b -∴=，（2）由（1）可得2(121)2n n n S n +-==， ∴1212n n n c c c S b b b ++⋯+=， ∴1121121n n n c c c S b b b ---++⋯+=， 两式相减可得1nn n n nc S S a b -=-=， 1(21)2n n n n c a b n -∴==-，0121123252(21)2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-， 1232123252(21)2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-，两式相减可得1123112(12)12(2222)(21)212(21)2142(21)23(32)212n n n n n n nn T n n n n --+--=++++⋯+--=+⨯--=-+--=-+--，3(23)2n n T n ∴=+-．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为43的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =． （1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取BC 中点G ，连接FG ，OG ， 因为FB FC =， 所以FG BC ⊥，又因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC ⋂平面ABCD BC =，FG ⊂平面FBC ， 所以FG ⊥平面ABCD ， O ，G 分别为BD ，BC 中点，所以//OG AB ，12OG AB = 因为2312EF AB =，//EF AB ， 所以四边形EFGO 为平行四边形， 所以//OE FG ， 所以OE ⊥平面ABCD ．（2）如图，以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，显然二面角Q BC A --为锐二面角，设该二面角为θ，向量(0n =r ，0，1)是平面ABC 的法向量，设平面QBC 的法向量(v x =r，y ，1)，由题意可知sin602FG OE BF ==︒=，所以(2C -，0，0)，(0B ，23，0)，(0E ，0，2)，(1Q ，0，1) 所以(1BQ =u u u r ，23-，1)，(3CQ =u u u r ，0，1)，则00v BQ v CQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，即2310310x y x ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 所以1(3v =-r，3，1)，所以||313cos ||||131n v n v θ===⨯r r g r r ．20．（12分）某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z 近似的服从正态分布2(,)N μσ．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A 、B 、C 三家公司的面试．()i 用样本平均数x 作为的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；()ii 若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：公司甲岗位 乙岗位 丙岗位 A960064005200B9800 7200 5400 C1000060005000李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4．李华准备依次从A 、B 、C 三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会，李华在某公司选岗时，若以该岗位与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A 、B 、C 公司的哪些岗位？并说明理由． 附：16112.7≈若随机变量2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：样本平均数450.05550.18650.28750.26850.17950.0670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 样本方差2222222(4570)0.05(5570)0.18(6570)0.28(7570)0.26(8570)0.17(9570)0.06161s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；( i )由（1）可知，ˆ70μ=，2ˆ161σ=，故评估成绩Z 服从正态分布(70,161)N ， 所以1ˆˆ(82.7)()(10.6826)0.15872P Z P Z μσ>=>+=-=． 在这2000名毕业生中．能多加三家公司面试的估计有20000.1587317⨯≈人． ()ii 李华可以选择A 公司的甲岗位，B 公司的甲，乙岗位，C 公司的三个岗位， 理由如下：设B ．C 公司提供的工资为B X ，C X ，则B X ，C X 都为随机变量，其分布列为公司 甲岗位 乙岗位 丙岗位 B X980072005400则B 公司的工资期望()98000.372000.354000.47260B E X =⨯+⨯+⨯=（元)， C 公司的工资期望：()100000.360000.350000.46800C E X =⨯+⨯+⨯=（元)，因为A 公司的甲岗位工资9600元大于B ，C 公司的工资期望，乙岗位工资6400元小于B ，C 公司的工资期望，故李华先去A 公司面试，若A 公司给予甲岗位就接受，否则去B 公司；B 公司甲，乙岗位工资都高于C 公司的工资期望，故B 公司提供甲，乙岗位就接受，否则去C 公司；在C 公司可以依次接受甲，乙，丙三种岗位中的一种岗位． 21．（12分）已知函数()1alnx bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，()1lnx kf x x x>+-，求k 的取值范围． 【解答】解：由题意f （1）1=，即切点坐标是(1,1)（Ⅰ）221()()(1)x a lnx b x f x x x +-'=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()1lnx f x x x=++，所以 221(1)(1)()()(2)11lnx k k x f x lnx x x x x---+=+--．考虑函数2(1)(1)()2(0)k x h x lnx x x--=+>，则22(1)(1)2()k x xh x x -++'=． ()i 设0k …，由222(1)(1)()k x x h x x +--'=知，当1x ≠时，()0h x '<．而h （1）0=，故当(0,1)x ∈时，()0h x '<，可得21()01h x x>-； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，可得21()01h x x >- 从而当0x >，且1x ≠时，()()01lnx k f x x x -+>-，即()1lnx kf x x x>+-． ()ii 设01k <<．由于当1(1,)1x k∈-时，2(1)(1)20k x x -++>，故()0h x '>， 而h （1）0=，故当1(1,)1x k∈-时，()0h x >，可得21()01h x x <-，与题设矛盾． ()iii 设1k …．此时()0h x '>，而h （1）0=，故当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，可得21()01h x x <-，与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为(-∞，0]．22．（12分）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求||AF ； （2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于M ，N 两点，设0(M x ，0)y ，当0[3y ∈，4]时，求||MN 的最大值．【解答】解：（1）依题意(0,)2p F 在圆224x y +=上，2044p ∴+=，解得4p =，∴抛物线C的方程为：28x y =，联立22248x y x y⎧+=⎨=⎩消去x 得2840y y +-=，解得4y =-+，||()4222pAF y ∴=--=-+=．（2）y 依题意设切线l 的方程为000()xy y x x p-=-，整理得000x x py py --=，由||2ON =，得：0||py == 所以02084y p y =-且24y >， 所以222222200002016||||442444y MN OM x y py y y y =-=+-=+-=+-- 2020644164y y =-++-，设204[5t y=-∈，12]，则64||16MN tt=++，求导可知：函数在{5，12]上是递减函数，5t∴=，即03y=时，||MN．。
山东省潍坊市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
山东省潍坊市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．2．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确；故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.3．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.4．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈，当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 6．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D 【解析】 【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ1-0 1P1(1)3p - 2313p 则当p 在(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 8．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 10．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 11．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=【答案】C 【解析】 【分析】判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为3y x =±或y =.A 选项渐近线为3y x =±，B 选项渐近线为y =，C 选项渐近线为12y x =±，D 选项渐近线为y =.所以双曲线C 的方程不可能为221312y x -=.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 12．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(第2套)2020届山东省高考模拟考试数学试题参考答案
且 ABC = ，得 AC = 2 10 .因为 SA2 + AC2 = SC2 ，从而知 SAC = ，即 SA ⊥ AC ，
2
2
所以 SA ⊥ 平面ABC
.又由于 S△ABC
=
1 2
26
=
6
，从而VS −ABC
=
1 3 S△ABC
SA
=
162 3
3=4
3.
6．
A【解析】（方法一）设
A
x,
单 调 递 增 . 从 而 g ( x) 在 x = 2 时 取 得最 小 值 为 g (2) = 16 ， 从 而 点 A 到 圆心 C 的 最 小 值 为
g (2) = 16 = 4 ，所以 AB 的最小值为 4 −1 = 3 ，故选：A
（方法二）由对勾函数的性质，可知 y = x + 4 4 ，当且仅当 x = 2 时取等号，结合图象可知当 A x
解得 = 3 ，故选：A.
4．
B【解析】由二项展开式，知其通项为 Tr+1
=
C1r0
1 x
10−r
(
−
x
)r
( ) = −1 r C1r0 x2r−10 ，
令 2r − 10 = 4 ，解得 r = 7 ，所以 x4 的系数为 (−1)7 C170 = −120 ，故选：B.
5． C【解析】由 SB = 4 ， AB = 2 ，且 SAB = ，得 SA = 2 3 ；又由 AB = 2 ， BC = 6 ， 2
x
+
4 x
，并设
g
(
x)
=
AC 2 ，
则
g ( x)
=
山东省潍坊市2020年高考模拟 数学试题含答案纯word版(2020.2)
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19.（12分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， .
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，证明： .
20．（12分）某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了 、 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．
16.已知函数 ，
①若 ，则不等式 的解集为__________；
②若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入 占比
净利润占比
则下列判断中正确的是
A.该公司2019年度冰箱类电器营销亏损
B.该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供
D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.若 ， ， ，满足 ， ， ，则
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一象限内的交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为
2020届山东省潍坊市高三联合模拟考试数学试题(解析版)
【答案】A
【解析】根据条件设出A，B的坐标，结合向量数量积求出A，B的坐标，结合中点坐标公式建立方程进行求解即可.
【详解】
设双曲线的一条渐近线是 ，设 ， ，则 ， ，
则由 得 ，
得 ，即 ，
得 ，则 ，
即 ，则 的中点为 ，
∵ 的中点在双曲线C上，
∴ ，
即 ，
即 ，
则 ，则 ，
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用三棱柱 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 ， ， ， ，求出 ，再求出 外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.
【详解】
∵三棱柱 的侧棱垂直于底面，
棱柱的体积为 ， ， ， ，
∴ ，∴
∵ ，∴ .
设 外接圆的半径为R，则 ，∴ .
∴外接球的半径为 ，∴球的表面积等于 .
A． B． C．— D．
【答案】C
【解析】【详解】
分析：利用诱导公式求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得 的值．
详解：
即 ，
则
故选C．
点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
6．已知直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为 ， ， ， ，则该球的表面积为（）
A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个
B． 可以是某个圆的“优美函数”
C．正弦函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”
D．函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形
【答案】D
【解析】利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数 的图象是中心对称图形，则函数 是“优美函数”，但是函数 是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误.
山东省潍坊市2020届高三2月份数学模拟试题(二)
山东省潍坊市2020届高三2月份数学模拟试题（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2A {|ln 1},B |20x x x x x =<=--<,则A∩B= A.（-1,2）B.（0,2）C.（-1，e ）D.(0，e)2设复数(,)z a bi a b =+∈R ，定义z 1=b+ai.若112z ii i =+-,则z= A.1355i -B. 1355i -+C.3155i -+D. 3155i -- 3.已知命题P ：有的三角形是等边三角形，则 A.p ⌝：有的三角形不是等边三角形B. p ⌝：有的三角形是不等边三角形C.p ⌝：所有的三角形都不是等边三角形D.p ⌝：所有的三角形都是等边三角形4.2018年L 省正式实施高考改革。
新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课，这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。
考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。
某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论错误的是A.样本中的女生偏爱历史B.样本中的女生数量多于男生数量C.样本中的男生偏爱物理D.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量5函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-⋃的图象大致为6.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。
2020届山东省潍坊市高三2月数学模拟卷(二)(解析版)
2020届山东省潍坊市高三2月数学模拟试题（二）一、单选题1．已知集合A ＝{x |lnx ＜1}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2） B ．（0，2）C ．（﹣1，e ）D ．（0，e ）【答案】B【解析】根据题意分别解出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出． 【详解】A ＝{x |lnx ＜1}＝{x |0＜x ＜e }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝(﹣1，2)， 故A ∩B ＝（0，2）. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及对数不等式和一元二次不等式的求解，属于基础题． 2．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），若12z i i i=+-，则z ＝（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i --【答案】C【解析】直接根据复数代数形式的四则运算法则即可求出复数z ． 【详解】 ∵12z ii i=+-， ∴()()()112312555i i i i z i i+-++===-+-，∴z 3155i =-+. 故选：C. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，属于基础题． 3．已知命题P ：有的三角形是等边三角形，则 A ．P ⌝：有的三角形不是等边三角形 B ．P ⌝ ：有的三角形是不等边三角形 C ．P ⌝：所有的三角形都是等边三角形 D ．P ⌝：所有的三角形都不是等边三角形【答案】D【解析】存在量词的否定为全称量词，然后否定结论即可.【详解】因为命题P是特称命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所以命题P的否定是所有的三角形都不是等边三角形.故本题正确答案为D.【点睛】全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.4．2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科实施后，学生将在高二年级将面临着312必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱物理D．样本中的女生偏爱历史【答案】D【解析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论.【详解】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D. 【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题. 5．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断. 【详解】解：因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C , 故选：D . 【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题. 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p+2是素数，素数对(p ，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是 A ．115B ．215C ．245D ．445【答案】D【解析】由题意明确不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果. 【详解】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个， 根据素数对(p ，p+2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)， 共有4组，能够组成孪生素数的概率为2104445P C ==， 故选D 【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力. 7．已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，22AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．9πC ．25π3D ．1219π【答案】D【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．详解：因为2,22AB BC AC ===，所以AB BC ⊥， 过AC 的中点M 作平面ABC 的垂下MN ，则球心O 在MN 上， 设OM h =，球的半径为R ，则棱锥的高的最大值为R h +，因为1122()232D ABC V R h -=⨯⨯⨯⨯+=，所以3R h +=， 由勾股定理得22(3)2R R =-+，解得116R =，所以球的表面积为1211214369S ππ=⨯=，故选D ．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ） A ．712612+ B ．910+C ．832612+ D ．926+【答案】D【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-，与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=，据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==， 且：254A B AB x x p =++=， 将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -， 故()()22434126MB =-+--=,故△ABM 的周长为12532692644MA AB BM ⎛⎫++=-++=+ ⎪⎝⎭,本题选择D 选项.二、多选题9．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C -【答案】ABD【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故22r ==，故选项D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题． 10．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b += B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg 6b a ->【答案】ACD【解析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>>Q lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD . 【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.11．已知函数f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称B ．f （x ）的周期为2π C ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心 D ．f （x ）在区间42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AB【解析】先根据二倍角公式化简变形函数f （x ），再作出其图象，即可判断各选项的真假． 【详解】因为函数f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx |12=|sin 2x |， 画出函数图象，如图所示；由图可知，f （x ）的对称轴是x 4k π=，k ∈Z ； 所以x 2π=是f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；f （x ）的最小正周期是2π，所以B 正确；f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误； 由图可知，f （x ）12=|sin 2x |在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，D 错误. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，以及利用函数图象研究其性质，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题．12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD【解析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1， ∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---L L （）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（）14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题13．已知向量a =r（1，1），b =r（﹣1，3），c =r（2，1），且（a b rrλ-）∥c r，则λ＝_____. 【答案】17-【解析】先利用向量的坐标运算求出a b λ-rr，再根据向量平行的坐标表示即可求出． 【详解】向量a =r （1，1），b =r （﹣1，3），c =r（2，1），所以a b λ-=rr（1+λ，1﹣3λ），又（a b λ-rr）∥c r，所以，2×（﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ17=-. 故答案为：17-. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量平行的坐标表示的应用，属于基础题． 14．(1+ax 2)(x ﹣3)5的展开式中x 7系数为2，则a 的值为_____. 【答案】2【解析】利用二项式定理展开(x ﹣3)5,可知x 7系数为a ，即可求得． 【详解】∵(1+ax 2)(x ﹣3)5＝（1+ax 2）（x 5﹣15x 4+90x 3﹣270x 2+405x ﹣243）的展开式中x 7系数为a ＝2，则a 的值为2， 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．15．双曲线C ：222210x y a b a b-=（，＞）的左、右焦点为F 1，F 2，直线y =与C 的右支相交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为_____；若该双曲线的焦点_____.【答案】32 22145x y -=.【解析】根据题意可得点P 的坐标，从而求出|PF 1|，|PF 2|，再根据距离公式可以列方程求出,a c b 的值，最后根据,,a b c 的关系，即可求出双曲线的方程． 【详解】把y =代入C 的方程可得x ＝2a ，∴P （2a b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 由双曲线的定义可知：|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，4a =2a =，整理可得8ac ＝12a 2，∴2c ＝3a ，所以双曲线的离心率为32c e a ==.b =32c a ==，解得a ＝2，所以双曲线的方程为：22145x y -=.故答案为：32；22145x y -=．【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单性质的应用，属于基础题．16．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x eπ=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____.【解析】根据题意可知函数f （x ）是一个周期为2e 的偶函数，即可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象，由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得a 的值，再利用二倍角公式化简函数()g x ，然后根据平移法则即可求得()h x ，从而求得()7h ． 【详解】因为f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ）， 所以f （x ）的周期为2e .当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示， 方程1()22f x sin x eπ=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数122y sinx e π=的交点的横坐标， 由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3ea ，故a 43=， 因为235()314222g x sinx cos x ππ=+=-+， 所以345325()()()22322232h x cos x cos x πππ=--+=--+， 故3253310(7)232h sin π+=+=. 故答案为：33104+.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，图象的应用，方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系的应用，二倍角公式的应用，以及平移法则的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．四、解答题17．现在给出三个条件：①a ＝2；②B 4π=；③c 3=.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足233b c cosA acosC =（），求△ABC 的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）【答案】选①③；S △ABC =【解析】由题目条件，化边为角即可求出3A π=，再根据解三角形 “知三求三”（至少知一边），所以搭配①③或①②，都可确定三角形△ABC ，求得其面积． 【详解】 如选①③因为(2)b cosA -=，由正弦定理可得，2sinBcosA =sinCcosA +sinAcosC)=， 因为sinB ≠0，所以cosA = 又因为a ＝2，c =，2=， 解得，b ＝2，c ＝故S △ABC 1112222bcsinA ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查补全题目条件解三角形， 涉及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．18．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1) ()1322n n a n N -*=⨯-∈;(2) 1122n n n T -+=-. 【解析】试题分析：(1)由()(){}1121,2222n n n n n a a a a a ++=++=++得，故数列是等比数列;(2)13122n n n b n a --=+，利用错位相减法求和即可. 试题解析：（Ⅰ），()()1121,222n n n n a a a a ++=+∴+=+Q ， 则数列{}2n a +是以3为首项，以2为公比的等比数列，1232n n a -∴+=⨯，即()1*322n n a n N -=⨯-∈.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()1222log 2log 3log 21n n n b a n -=+-==-，13122n n n b n a --∴=+. 012210122122222n n n n n T ----∴=+++⋯++， 1231101221222222n n n n n T ---=+++⋯++， 13n 11111111112211222222212n n n n n n n n T ----+∴=++⋯+-=-=--，则1122n n n T -+=-.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，23,AD =3,AB =3,AP =//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，90APB ︒∠=，点E 满足2133PE PA PB =+u u u v u u u v u u u v .（1）证明：PE DC ⊥； （2）求二面角A-PD-E 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）22613【解析】（1）由勾股定理计算出PB ，然后求数量积PE AB ⋅u u u r u u u r得PE AB ⊥，由线面垂直可得PE AD ⊥，从而可证得PE ⊥平面ABCD 得证线线垂直； （2）建立如图所示的直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．【详解】（1）证明：在Rt PAB ∆中，由勾股定理，得22PB AB AP =-223(3)=-6=因为21,33PE PA PB =+u u u r u u u r r AB PB PA =-u u u r u u u r u u u r，所以21()33PE AB PA PB PB PA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22211333PA PB PA PB =-++⋅u uu r u u u r u u u r u u u r22211(3)(6)0333=-⨯+⨯+⨯0=. 所以PE AB ⊥u u u r u u u r，所以PE AB ⊥.因为AD ⊥平面P AB ，PE ⊂平面P AB ， 所以PE AD ⊥.又因为,PE AB ⊥AB AD A ⋂=， 所以PE ⊥平面ABCD. 又因为DC ⊂平面ABCD ， 所以PE DC ⊥.（2）由21,33PE PA PB =+u u u r u u u r u u u r 得2EB AE =u u u r u u u r.所以点E 是靠近点A 的线段AB 的三等分点.所以113AE AB ==. 分别以,AB uuu r AD u u u r所在方向为y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),A (0,0,3),D (0,1,0),E ()2,1,0P .设平面PDE 的法向量为()111,,m x y z =u r， 由00m EP m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1112030x y z =-+=⎪⎩. 令11z =，则(0,3,1)m =-u r；设平面APD 的法向量为()222,,,n x y z =r 2,1,0),AP =u u u r (0,0,23)AD =u u u r， 由00n AP n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得2222030x y z +==⎪⎩，令21x =，则()1,2,0n =-r.设向量m u r 与n r的夹角为θ，则cos ||||m n m n θ⋅=⋅u r ru r r 222226(23)11(2)=+⨯+-2613=-. 所以二面角A PD E --226. 【点睛】本题考查用线面垂直证明线线垂直，考查用向量法求二面角．证明垂直时关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，解题中掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转化．而求空间角常用方法就是建立空间直角坐标系，用向量法求空间角． 20．已知P 是圆F 1：（x +1）2+y 2＝16上任意一点，F 2（1，0），线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）记曲线C 与x 轴交于A ，B 两点，M 是直线x ＝1上任意一点，直线MA ，MB 与曲线C 的另一个交点分别为D ，E ，求证：直线DE 过定点H （4，0）.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）根据椭圆的定义即可求出点Q 的轨迹方程；（2）设出点M 的坐标，表示出直线MA 的方程，与椭圆方程联立可求得点D 的坐标，同理可求得点E 的坐标，再利用三点共线的条件HD HE k k =即可证出． 【详解】（1）由已知|QF 1|+|QF 2|＝|QF 1|+|QP |＝|PF 1|＝4，所以点Q 的轨迹为以为F 1，F 2焦点，长轴长为4的椭圆， 故2a ＝4，a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝3所以曲线C 的方程为22143x y +=（2）由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0），设点M 的坐标为（1，m ） 直线MA 的方程为：23m y x =+（）将23m y x =+（）与22143x y +=联立消去y 整理得：（4m 2+27）x 2+16m 2x +16m 2﹣108＝0， 设点D 的坐标为（x D ，y D ），则22161082427D m x m --=+， 故22548427D m x m -=+，则23623427D Dm m y x m =+=+（） 直线MB 的方程为：y ＝﹣m （x ﹣2）将y ＝﹣m （x ﹣2）与22143x y +=联立消去y 整理得：（4m 2+3）x 2﹣16m 2x +16m 2﹣12＝0设点E 的坐标为（x E ，y E ），则221612243E m x m -=+， 故228643E m x m -=+，则212243E Em y m x m =--=+（） HD 的斜率为12223664548442749D D y m mk x m m m ===----++（）HE 的斜率为222212648644349E E y m mk x m m m ===----++（）因为k 1＝k 2，所以直线DE 经过定点H . 【点睛】本题主要考查定义法求轨迹，以及椭圆中的定点问题的解法应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．21．近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：1()()nix x y y r --=∑22(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：25.2≈【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【解析】（1）分别求出3x =，16y =，从而521()10ii x x =-=∑，521()254i i y y =-=∑，51()()47i i i x x y y =--=∑，求出()()0.933niix x y y r --==≈∑，从而得到管理时间y 与土地使用面积x 线性相关．（2）完善列联表，求出218.7510.828K =>，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【详解】 解：依题意：123458101325243,1655x y ++++++++====故51()()(2)(8)(1)(6)192847i x x y y =--=-⨯-÷-⨯-+⨯+⨯=∑552211()411410,()643698164254i i x x y y ==-=+++=-=++++=∑∑则5()()0.933x x y y r --===≈∑，故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关． （2）依题意，完善表格如下：计算得2k 的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16， 故35125(0)(),6216P X ===1235125(1)(),6672P X C ==⨯⨯=233332515(2)(11(3)62),721666P P X X C C ⎛⎫=== ⎪⎭⨯⎝==⨯= 故x 的分布列为则数学期望为12525511()012321672722162E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （或由1(3,)6X B ~，得11()362E X =⨯=【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．22．已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n ni n =-->+∑成立.【答案】（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）证明见解析【解析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；（2）由2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，构造函数()ln 1g x x x k =-+-，求导函数研究单调性，进而得()g x 的最大值，即得k 的取值范围； （3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立，令2141x i =--，整理得：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭，将两边不等式全相加即可得到结论.【详解】（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-， 即(1)1y k x =+-.（2）由2()f x x x ≤+，()ln f x x x kx =+，则2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，设()ln 1g x x x k =-+-，1()1g x x'=-， ()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增， ()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，∴ln 10x x k -+-≤，∴max ()(1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤. （3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立， 令2141x i =--，由于*i N∈，21041i >-. 故，2211ln14141i i <---，整理得：()221ln 41141i i ->--， 变形得：()21ln 411(21)(21)i i i ->-+-，即：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭1,2,3,,i n =K K 时，11ln 31123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，11ln 51123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭……，第 21 页 共 21 页 ()2111ln 41122121n n n ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭两边同时相加得：()22211122ln 4112212121n i n n n i n n n n =-⎛⎫->--=> ⎪+++⎝⎭∑， 所以不等式在*n N ∈上恒成立.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，构造函数，考查导数的应用，转化思想，考查不等式的证明，属于难题.。