2018-2019学年上海市虹口区高二下学期期中统考数学试题(解析版)
C．arcsin D．arcsin
【答案】B
【解析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解.
【详解】
平面α的法向量为 ＝（1，2，﹣2），
联立方程组 ，令x＝1，得y＝﹣2，z＝2，令x＝3，得y＝1，z＝8，
故点P（1，﹣2，2）和点Q（3，1，8）为直线l的两个点，∴ ＝（2，3，6）为直线l的方向向量，
故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查正棱锥全面积的求法，应熟记面积求解公式，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
11．双曲线 1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则a的值为_____．
【答案】1
【解析】根据双曲线焦点的位置，明确渐近线的方程为 ，从而可得a的值.
【详解】
双曲线 ＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，可得： ，解得a＝1．
∵ ，∴直线l与平面α所成角的正弦值为 ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.
二、填空题
5．过点（1，0）且与直线x﹣y＝0平行的直线方程是_____．
【答案】x﹣y﹣1＝0
【解析】利用两条直线平行可得所求直线的斜率，结合点斜式可求方程.
三、解答题
17．抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A（4，4），过抛物线C的焦点F作倾斜角等于45°的直线l，直线l交抛物线C于M、N两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求线段MN的长．
【答案】（1）y2＝4x；（2）8
【解析】（1）设出直线方程，代入点的坐标可得抛物线方程；
（2）写出直线方程，和抛物线联立，结合韦达定理和抛物线定义可得弦长.
2018-2019学年上海市虹口区高二下学期期中统考数学试题
一、单选题
1．直线m⊥平面α，下面判断错误的是（ ）
A．若直线n⊥m，则n∥αB．若直线n⊥α，则n∥m
C．若直线n∥α，则n⊥mD．若直线n∥m，则n⊥α
【答案】A
【解析】结合线面垂直、线线平行及线面平行的相关性质可以判断.
【详解】
由直线m⊥平面α，得：
【答案】（x﹣2）2+y2＝2
【解析】先确定圆心，再求解半径，写出圆的方程.
【详解】
点A（1，1），B（3，﹣1），则AB的中点为M（2，0），AB的长为|AB|＝ ，所以以AB为直径的端点的圆的圆心为M，半径为 ，
所求圆的方程是（x﹣2）2+y2＝2．
故答案为：（x﹣2）2+y2＝2．
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，利用直接法求解圆的方程时，关键是确定圆心和半径.
∵AC⊥BC，根据三垂线定理得CD⊥BC，∴∠ACD＝60°，
设BC＝x，则AC＝ x，AB＝2x，∴AD＝ ，
所以AB边所在直线与桌面所成角为∠ABD，
∵ ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查线面角的求解，线面角的求解的关键是作出线面角，利用直角三角形的知识求解.
4．阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为 ＝（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为 ＝（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为 ，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y﹣2z﹣4＝0，直线l是两平面3x﹣2y﹣7＝0与2y﹣z+6＝0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（ ）
与直线2x﹣y+2＝0关于原点对称的直线2x﹣y﹣2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3 ；
与直线2x﹣y+2＝0关于y轴对称的直线2x+y﹣2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3 ；
与直线2x﹣y+2＝0关于x轴对称的直线2x+y+2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3 ；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查双曲线的对称性，结合图形的特点，可以避免繁琐的计算.
【答案】4π
【解析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.
【详解】
依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为S＝2 ×2＝4 ，圆柱侧面积的求解关键是确定半径和母线长，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
7．以A（1，1），B（3，﹣1）为直径的端点的圆的方程是_____．
2．已知直线1：2x﹣y+2＝0被双曲线C：x2﹣ ＝1截得的线段长等于3 ，下面哪一条直线被双曲线C所截得的弦长不等于3 （ ）
A．2y﹣x+2＝0B．﹣2x﹣y+2＝0
C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0
【答案】A
【解析】结合双曲线图象的对称性可以得出选项.
【详解】
根据双曲线的图象关于x轴，y轴和原点对称可知，
【详解】
连接B1C交BC1于点O，显然OB1＝ ，
∵四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1O，
又AB∩BC1＝B，∴OB1⊥平面ABC1D1，∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1D1，
∴P到平面ABC1D1的距离等于B1O，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
10．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的全面积为_____．
【答案】12
【解析】根据正四棱锥的特点，可知侧面是全等的等腰三角形，求出斜高可得侧面积，结合底面积可得全面积.
【详解】
如图在正四棱锥S﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，E为BC的中点，连接OE，SO，SE，
则SO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以BC⊥SO，
【详解】
∵已知椭圆 ＝1（m＞0）和双曲线 ＝1（n＞0）有相同的焦点F1、F2，
∴m2﹣9＝n2+4，即m2﹣n2＝13，
假设P在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2m，|PF1|﹣|PF2|＝2n，
两式平方差得4|PF1|•|PF2|＝4m2﹣4n2＝4×13，∴|PF1|•|PF2|＝13．
在三角形ABC中，O，E分别为AC，BC的中点，所以OE∥AB，又因为AB⊥BC，所以BC⊥OE．
又OE∩SO＝O，所以BC⊥平面SOE，因为SE⊂平面SOE，
所以SE⊥BC，即SE为侧面SBC的斜高，
三角形SBE为直角三角形，所以SE＝ ＝2．
所以该正四棱锥的全面积S全＝SABCD+4×SSBC＝2×2+4× ＝4+8＝12．
在A中，若直线n⊥m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；
在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；
在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；
在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的判定，可以借助模型求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.
【详解】
设与直线x﹣y＝0平行的直线方程是x﹣y+m＝0，
且直线过点（1，0），则1﹣0+m＝0，解得m＝﹣1，所以所求直线方程是x﹣y﹣1＝0．
故答案为：x﹣y﹣1＝0．
【点睛】
本题主要考查平行直线的求法，注意平行直线方程的设法，属于简单题.
6．将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2．
|OC|2＝m2+25，则|OP|2＝|OC|2﹣|CP|2＝（m2+25）﹣（m2+9）＝16，
则P在以O为圆心，半径为4的圆上，其圆心O到直线3x+4y﹣25＝0的距离d＝ ＝5，则P到直线3x+4y﹣25＝0的距离的最小值为d﹣r＝5﹣4＝1，
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查与圆有关的最值问题，圆上一点到直线的最近（远）距离，一般是通过圆心到直线的最值来实现.
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查双曲线渐近线的应用，求解或使用渐近线时，要先明确焦点的位置.
12．点P是棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1B1上的动点，则四棱锥P﹣ABC1D1的体积为_____．
【答案】
【解析】先利用线面平行把四棱锥P﹣ABC1D1的高转换为B1O，再求出底面积和高，可得几何体的体积.
【详解】
（1）依题意设抛物线C的方程为y2＝2px，将A（4，4）代入得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．
（2）F（1，0），直线l：y＝x﹣1，联立 得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，根据抛物线的定义可得|MN|＝x1+x2+p＝6+2＝8．
【点睛】
【答案】1
【解析】先根据弦长确定圆C的半径的关系式，结合切点的性质，确定P的轨迹，结合轨迹特点求出最值.
【详解】
根据题意，设C的坐标为（m，5），圆C的半径为r，
又由圆C截y轴所得的弦长恒为6，则点（0，2）在圆C上，则r2＝m2+9，
又由过原点O作圆C的一条切线，切点为P，则|CP|2＝r2＝m2+9，
故答案为13．
【点睛】
本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，圆锥曲线问题涉及到曲线上点的问题，一般是考虑定义来解决.
14．正方形铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画圆弧，剪下一个顶角为 的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于_____cm3．
2018-2019学年上海市金山中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市金山中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中，正确的是（ ）A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行【答案】C【解析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A 是否正确； 根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B 是否正确； 根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C 是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D 是否正确．【详解】解：对A ，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A 错误；对B ，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B 错误；对C ，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C 正确；对D ，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.2．如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A.1+2 D.12【答案】B【解析】先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果.【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为，高为2，因此面积为12(1122⨯⨯++=+选B. 【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题.3．如图，在透明望料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③棱11A D 始终与水面EFGH 平行④当1E AA ∈时，AE+BF 是定值。
其中正确说法是（ ）A.①②③B.①③C.①②③④D.①③④ 【答案】D【解析】①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH 的面积不改变；可以通过EF 的变化，而EH 不变判断正误； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论； ④当E ∈AA 1时，AE +BF 是定值．通过水的体积判断即可．【详解】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA 1B 1B 平行平面CC 1D 1D 即可判断①正确；②水面四边形EFGH 的面积不改变；EF 是可以变化的，而EH 不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A 1D 1∥EH ，所以结论正确；④当E ∈AA 1时，AE +BF 是定值，水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选：D ．【点睛】本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．4．设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上,且，则点A 的轨迹为（ ）A.圆或椭圆B.抛物线或双曲线C.椭圆或双曲线D.以上均有可能 【答案】D【解析】试题分析：以BC 为高线，B 为顶点作顶角为60︒的圆锥面，则A 点就在这个圆锥面上，用平面α截这个圆锥面所得截线就是点A 的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.二、填空题5．直线与平面所成角的范围______． 【答案】0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解：根据直线与平面所成角的定义可得 直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.6．方程222220x y kx y k k +--+-=表示一个圆,则实数k 的取值范围是_____.【答案】()1,-+∞【解析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k 的表达式，化简整理得到一元二次不等式的表示式，解不等式即可．【详解】解：∵方程222220x y kx y k k +--+-=表示一个圆，∴()()222440k k k -+--＞∴4k +4＞0，∴k ＞﹣1故答案为：()1,-+∞【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，本题是一个基础题，解题的过程中要注意看清题目中两个二次项的系数，化为1以后再做题目．7．如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________.【答案】【解析】由主视图、俯视图得到三棱柱的侧视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果.【详解】由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，所以侧视图的面积为222⨯=. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8．281()x x -的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答）【答案】56-【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，得3r =，所以展开式中7x 的系数为．故答案为56-． 【考点】二项式定理【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项． ②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．9．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，F ，G ，H ，如果EH ，FG 相交于一点M ，那么M 一定在直线________上．【答案】BD【解析】分析：根据题意，可得直线EH 、FG 分别是平面ABD 、平面BCD 的直线，因此EH 、FG 的交点必定在平面ABD 和平面BCD 的交线上，而平面ABD 平面BCD BD =，由此即可得到点P 在直线BD 上. 详解：点E 、H 分别在AB 、AD 上，而AB 、AD 是平面ABD 内的直线， ∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD ，可得直线EH ∈平面ABD ，点F 、G 分别在BC 、CD 上，而BC 、CD 是平面BCD 内的直线，∴F ∈平面BCD ，G ∈平面BCD ，可得直线FG ∈平面BCD ，因此，直线EH 与FG 的交点必定在平面ABD 和平面BCD 的交线上，平面ABD 平面BCD BD =，∴点M ∈直线BD.故答案为：BD.点睛：本题给出空间四边形，判断直线EH 、FG 的交点与已知直线BD 的位置关系，着重考查了平面的基本性质和空间直线的位置关系判断等知识，属于基础题.10．已知抛物线24y x =上一点0(M x ，则点M 到抛物线焦点的距离等于______________．【答案】4.【解析】分析：把点(0,M x 代入抛物线方程，解得0x ．利用抛物线的定义可得：点M 到抛物线焦点的距离01x +．详解：把点(0,M x代入抛物线方程可得：204x =，解得03x = ． ∴点M 到抛物线焦点的距离014x =+= ．故答案为：4．点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且SA=10，SB=8，SC =6，D 为AB 中点，E 为AC 中点，四棱锥S BCED -的体积为_______.【答案】60【解析】根据V S ﹣ABC ＝V A ﹣SBC 计算三棱锥的体积，根据相似比得出14ADE ABC SS =，从而得出四棱锥与大三棱锥的体积比为34． 【详解】解：∵SA ，SB ，SC 两两垂直，∴SA ⊥平面SBC ，∴V S ﹣ABC ＝V A ﹣SBC 13=S △SBC •SA 11861032=⨯⨯⨯⨯=80， ∵D 为AB 中点，E 为AC 中点，∴14ADE ABC SS =， ∴S 梯形BCED 34=S △ABC ， ∴V S ﹣BCED 34=V S ﹣ABC 60=．故答案为：60【点睛】本题考查了棱锥的体积计算，考查了等积变换，属于中档题．12．有8名同学排成前后两排，每排4人，如果甲乙两同学必须排在前排，丙同学必须排在后排，那么不同的排法有________种(用数字作答).【答案】5760【解析】因为属于有限制条件的排列问题，所以优先考虑有限制条件的元素，可分成三步去做，第一步，排甲乙，第二步，排丙，第三步，排其他人，把每步的方法数，求出后，再相乘即可．【详解】解：可分成3步，第一步，先排甲乙∵甲、乙两同学必须排在前排，有A42＝12种排法第二步，排丙∵丙同学必须排在后排，有A41＝4种排法第三步，排其他同学没有限制，有A55＝120种排法最后，三步的方法数相乘，有12×4×120＝5760中不同的排法．故答案为：5760【点睛】本题主要考查了有限制的排列问题，做题时应优先考虑有限制的元素．13．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是________.【答案】2 3π【解析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA＝OB＝OC＝OD，进而在△A0B中，利用余弦定理求得cos∠AOB的值，则∠AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA＝OB＝OC＝OD＝1，再由AB=△A0B中，利用余弦定理cos∠AOB1131 2112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．14．若直线20mx y m --=与曲线x =有两个公共点，则实数m 的取值范围为___.【答案】()(),11,-∞-+∞U【解析】作出曲线x =的图像，数形结合即可得到结果.【详解】曲线x =即()2211x x y -=≥，其渐近线为：y x =± ， 直线20mx y m --=，即()2y m x =-，直线过定点()2,0在同一坐标系下，作出二者的图象：由图像可得：()(),11,m ∈-∞-+∞U故答案为：()(),11,-∞-+∞U【点睛】直线与双曲线的相交问题，要结合图形分析直线与渐近线平行、与曲线相切等极端位置．本题具体直线斜率取值范围的求法，解题时要注意数形结合思想的合理运用． 15．如图所示，在长方体ABCD EFGH -中，AD =2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF=∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为12，那么点M 到平面EFGH 的距离是_____.【答案】2【解析】取FG 的中点N ，作MO ⊥EH 于O ，连接MN ，ON ，MH ，OG ，通过MG 和平面EFGH 所成角的正切值为12，推出12MO OG =，然后求解即可． 【详解】解：取FG 的中点N ，作MO ⊥EH 于O ，连接MN ，ON ，MH ，OG ，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝2，AB ＝AE ＝1，M 为矩形AEHD 内一点，若∠MGF＝∠MGH ，可得△MNG ≌△MGH ，则△ONG ≌△OGH ，所以ON ＝GH ＝AB ＝1，因为N 是FG 的中点，所以NG 12=FG 12=AD 12=⨯2＝1，所以在Rt △ONG 中，OG ==MG 和平面EFGH 所成角的正切值为12，可得12MO OG =，则MO 122OG ==．则点M 到平面EFGH．【点睛】本题考查直线与平面的所成角的求法，点到平面的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．16．一质点从所有棱长都为1的正五棱柱11111ABCDE A B C D E -的顶点E 出发，沿正五棱柱的棱运动，每经过一条棱称为一次运动，运动方向是1E A B B →→→→⋯，从开始EA 上称为第1棱动，AB 上第2棱动，1BB 上称为第3棱动，…，且第2n +棱动所在棱与第n 棱动所在的棱是异面直线，经过2019次运动后,质点到达顶点位置是________.【答案】1A 点【解析】利用质点运动的周期性，即可得到结果.【详解】根据题意可得质点的运动路线为：111111EA AB BB B C C D D D →→→→→111111DE EA AA A B B C C C →→→→→→111111CD DE EE E A A B B B →→→→→→111111BC CD DD D E E A A A →→→→→→111111AB BC CC C D D E E E →→→→→→1EA AB BB →→→不难发现周期为30，而201930679=⨯+ ，故经过2019次运动后,质点到达顶点位置是1A【点睛】本题以质点在几何体上运动为背景，考查正方体的性质和距离的计算，同时考查了归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于中档题．三、解答题17．如图，梯形ABCD 满足AB//CD ，90,23,1,30ABC AB BC BAD ∠===∠=，现将梯形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω(1)求Ω的体积V(2)求Ω的表面积S【答案】(1)π3(2)3π+ 【解析】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得Ω的体积V （2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应公式可得结果 试题解析：18．在直三棱柱111A?B?C-A B C 中，1,90AB AC BAC ︒==∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60，设1A?A =a .（1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1a =；【解析】（1）∠A 1BC 是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角，即∠A 1BC ＝60°，根据线段的长度关系可得：△A 1BC 为等边三角形，即可得到BC =a ＝1．（2）由B 1C 1∥平面A 1BC ，得点D 到平面A 1BC 的距离等于点B 1到平面A 1BC 的距离．再根据1111B A BC C A B B V V --= 求B 1到平面A 1BC 的距离，分别求出两个三角形的面积即可． 【详解】（1）∵BC ∥B 1C 1，∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角，即∠A 1BC ＝60°，又连接A 1C ，AB ＝AC ，则A 1B ＝A 1C ，∴△A 1BC 为等边三角形， 由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴，∴．（2）易知B 1C 1∥平面A 1BC ，此时有B 1C 1上的任意一点到平面A 1BC 的距离等于点B 1到平面A 1BC 的距离．设其为d ，连接B 1C ，由1111B A BC C A B B V V --=求d ，又∵CA ⊥A 1A ，CA ⊥AB ， ∴CA ⊥平面A 1B 1C ，并且AC ＝1，．因为△A 1B 1B 的面积，并且△A 1BC 的面积2S '==，所以1133S AC S d '⋅⋅=⋅⋅，即d =，所以B 1C 1到平面A 1BC 的距离等于．【点睛】本题主要考查空间中的直线与平面的位置关系，及直线到平面间的距离计算，属于中档题．19．已知关于x 的实系数一元二次方程()2224110.x m x m --++=(1)若方程的一个根为a i a R +∈，，求实数a 的值； (2)若方程的两根为12x x 、，且122x x +=，求实数m 的值。
2018-2019年上海市上外附中高二下期中数学试卷及答案
上外2018年度第二学期高二年级期中测试一、填空题1、已知直线/的一个法向量为〃=(—3,-4),则直线/的斜率为2、过点P(1,M)且与直线2x +3y+ 5 = 0平行的直线方程为3、两条平行线2x — 3y + l = 0与4x—6y + 5 = 0之间的距离是4、已知，方程)，=攵1"和)，=工+ %所对应的图形有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是5、点在曲线/+29一5丁 = 0上，则〃?的值为6、当圆C:』+ y2+京+ 2)，+公=0取得最大面积时，圆心的坐标是7、已知直线/:5x+12)，+ l=0和点4(5,0),则以A为圆心且与直线/相切的圆的方程为8、已知直线2019x + 2020y + /=0(/wR)与圆。
/十卡二？相交于人、§两点，且48 = 3,则OAOB = __________9、己知点点M是圆/+()，-1)2=；上的动点，点％是圆。
一2『+)，2=］上的动点，则|PN|-|PW的最大值是10、曲线c：«+4=1上的点到原点的距离的最小值是。
2 211、已知椭圆5 +亍=1经过点(―2,代)，则它的焦距等于,12、已知两点6(一1,0), Q(l,0),若仍用+ |PR| = 2由段，则动点尸的轨迹方程为o13、已知方程心一3)上+(7-2)产=(欠-3)(7-&)表示的曲线是椭圆,则实数k的取值范围是O2214、如图，椭圆C：子+ ? = 1(〃>2),圆。
：x2 + y2=a2+4,椭圆C的左、右焦点分别为兄、工，过椭圆上一点P和原点。
作直线/作直线交圆。
于M、N两点，若归用・归国=6,则|尸的值为,三、解答题19、已知直线/经过点PC-1,1),且与直线4：/丫-)，+ 2 = 0的夹角为£,求直线/的方程。
320、已知两圆G ：/+),2 7+),一2 = 0和圆。
2：/ + 9=5二、选择题15、直线at+Z?y+c = O （出?>0）的倾斜角是（）A 。
上海市虹口区第三中学2018-2019学年高二数学文期末试题含解析
上海市虹口区第三中学2018-2019学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是A． B． C． D．参考答案：C2. 双曲线上的点P到点(5, 0)的距离是15, 则点P到点(－5, 0)的距离是（）A．7 B．23 C．11或19 D．7或23参考答案：B略3. 复数z满足，则（）A.－iB. iC.D.参考答案：A【分析】利用复数的除法求出z,再求.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4. 已知a＜b，则下列不等式正确的是（）A．B．1﹣a＞1﹣b C．a2＞b2 D．2a＞2b参考答案：B【考点】不等式比较大小；不等关系与不等式．【分析】利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴1﹣a＞1﹣b．故选B．5. 已知随机变量的数学期望E=0.05且η=5+1，则Eη等于A. 1.15B. 1.25C. 0.75D. 2.5参考答案：B6. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（）A．1275 B．2550C．5050 D．2500参考答案：B7. 若集合A={x|x2﹣1≤0}，B={x|≤0}，则A∩B=( )A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}参考答案：B【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用分式不等式的解法求出集合B，二次不等式的解法求出A，然后求解交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣1≤0}={x|﹣≤x≤1}，B={x|≤0}={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}．故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，交集的求法，基本知识的考查．8. 若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．不存在这样的实数k参考答案：B略9. 已知函数，则的值为（）A. B. C.D.参考答案：D10. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．16 B．8 C．4 D．2参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，k的值，可得当k=3时不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1满足条件k＜3，执行循环体，S=1，k=1满足条件k＜3，执行循环体，S=2，k=2满足条件k＜3，执行循环体，S=8，k=3不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8．故选：B．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P在圆外的概率是 .参考答案：略12. 某市有大型超市家、中型超市家、小型超市家. 为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为的样本，应抽取中型超市__________家.参考答案：略13. 圆关于直线对称的圆方程为 .参考答案：14. 函数的导数．参考答案：15. 函数y =的定义域是.参考答案：16. 若函数f(x)=2|x－a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1－x)，且f(x)在[m,+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于_______．参考答案：117. 若圆B: x2＋y2＋b＝0与圆C: x2＋y2－6x＋8y＋16＝0没有公共点，则b的取值范围是________________．参考答案：－4＜b＜0或b＜－64略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市虹口区北虹高级中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市虹口区北虹高级中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题。
1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =U ð_______。
【答案】{}4 【解析】由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B ⋃=，则(){}4U C A B ⋃=，故答案为{}4.2.不等式215x +≤的解集是_______. 【答案】[]3,2- 【解析】 【分析】直接去掉绝对值即可得解.【详解】由215x +≤去绝对值可得5215x -≤+≤即-32x ≤≤，故不等式215x +≤的解集是[]3,2-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.3.关于x 的不等式290x kx ++>的解集是R ，求实数k 的取值范围是 _______. 【答案】()6,6- 【解析】 【分析】利用判别式△＜0求出实数k 的取值范围．【详解】关于x 的不等式290x kx ++>的解集为R ，∴△=k 2-4×9＜0，解得-66k <<∴实数k 的取值范围为 ()-6,6.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．4.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______。
【答案】2 【解析】 【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】Q 城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8. 本市共有城市数24 ,∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本， ∴每个个体被抽到的概率是61244=， Q 丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为1824⨯=,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.有n 个元素的集合的3元子集共有20个，则n = _______. 【答案】6 【解析】 【分析】在n 个元素中选取3个元素共有3C n 种，解3C n =20即可得解.【详解】在n 个元素中选取3个元素共有3C n 种，解3C n =20得6n =，故答案为6.【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.6.用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数. 【答案】96 【解析】【分析】利用乘法原理，即可求出结果．【详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A ．【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．7.在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）. 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求．【详解】由6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得666316621(2)2rr r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭ 由6-3r=0，得r=2．∴常数项等于4262240C ⨯=,故答案为240.【点睛】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．8.)m R =∈其中，则实数m =_______.【答案】2或2- 【解析】 【分析】=.2==2592m m +=∴=±故答案为2或2.-【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.9.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示） 【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是.考点：等可能事件的概率.10.集合{}24,A x x x R ==∈，集合{}4,B x kx x R ==∈，若B A ⊆，则实数k = ____. 【答案】0，2，2- 【解析】 【分析】解出集合A ，由B A ⊆可得集合B 的几种情况，分情况讨论即可得解.【详解】{}24,A x x x R ==∈={}-2,2,若B A ⊆，则{}{}{}B=2-2-2,2φ，，，，当B φ= 时，0k =；当 {}2B =时，242k k =∴=； 当{}-2B =时，-24-2k k =∴=；当{}-22B =，时，无k 值存在； 故答案为0，2，2-.【点睛】本题考查了集合子集的应用，注意分类讨论要全面，空集的情况易漏掉.11.若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___.【答案】9 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可． 【详解】∵0m >，0n >，1m n +=，44()54145219n m n mm n m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭…,当且仅当12,33n m == 时“=”成立，故答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．12.定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个。
2018-2019学年上海市向明中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市向明中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．实系数一元二次方程20x x m ++=有两个根αβ、，若3αβ-=，则m 的值为（ ） A.2- B.52C.52或2- D.以上都不对【答案】C【解析】由题意可知：当方程有实根时，实系数一元二次方程根的判别式大于等于零,利用根与系数的关系,结合3αβ-=，最后通过解方程可以求出m 的值. 当方程无实数根时,有虚数根时,利用求根公式,结合3αβ-=，可以求出m 的值. 【详解】当实系数一元二次方程20x x m ++=有两个根实数根αβ、，时21140,4m m ∆=-≥⇒≤1,m αβαβ+=-=.223()9()491492m m αβαβαβαβ-=⇒-=⇒+-=⇒-=⇒=-.当实系数一元二次方程20x x m ++=有两个根虚数根αβ、，时,21140,4m m ∆=-<⇒>方程的根为：12-±,因为3αβ-=，53332m =⇒=⇒=⇒=. 综上所述：m 的值为52或2-. 故选：C 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程根的性质,考查了实系数一元二次方程的求根公式,考查了分类思想2．已知mn 、是两条不同直线,αβ、是两个不同平面,下列命题中的假命题是（ ） A.若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥B.若m n m α⊥，，则n α⊥C.若m n ααβ⋂=，，则m nD.若m α⊥，m 在β内，则αβ⊥ 【答案】C【解析】根据面面平行的判定定理、平行线的性质、线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理对四个选项逐一判断即可选出正确答案. 【详解】选项A ：因为m m αβ⊥⊥，，所以αβ∥,所以本选项是真命题；选项B ：根据平行线的性质由m n m α⊥，，可以推出n α⊥,所以本选项是真命题； 选项C ：根据线面平行的性质定理可知：当m β⊂时,才有m n ,所以本选项是假命题；选项D ：根据面面垂直的判定定理可以由m α⊥，m 在β内,推出αβ⊥,所以本选项是真命题； 故选:C 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、面面平行的判定、平行线的性质、线面平行的性质定理,考查了空间想象能力.3．设O 为坐标原点，复数12z z 、在复平面内对应的点分别为P 、Q ，则下列结论中不一定正确的是（ ） A.12z z OP OQ +=+ B.12z z OP OQ -=- C.12z z OP OQ +=+ D.12z z OP OQ ⋅=⋅【答案】D【解析】设出两个复数的代数式表达式,写出复数12z z 、在复平面内对应的点分别为P 、Q 两点的坐标,运用平面向量运算的坐标表示公式、模的公式,结合复数的运算公式和复数模的计算公式对四个选项逐一判断即可. 【详解】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈,因此(,),(,)P a b Q c d ,(,),(,)OP a b OQ c d ==选项A: (,)O a c b d P OQ ++=+,因为12z z a bi c di +=+++=(OP OQ a +=所以本选项一定正确；选项B: (,)O a c b d P OQ --=-,因为12z z a bi c di -=+--=(OP OQ a -=所以本选项一定正确；选项C:因为12z z +=2OP OQ a +=所以本选项一定正确； 选项D:12()()()a bi c di ac bd bc ad i z z +⋅+=-++=⋅=21z z ⋅=222222222222cos cos OP OQ a b c d OP OQ a c b d b OP OQ c a d ⋅=+⋅+⋅〈⋅++〉〉+〈⋅⋅=,显然本选项不一定正确. 故选：D 【点睛】本题考查了复数的加法、减法、乘法的运算法则,考查了复数模的计算公式,考查了平面向量的运算坐标表示以及平面向量模的计算公式.4．定义八个顶点都在某圆柱的底面圆周上的长方体叫做圆柱的内接长方体,圆柱也叫长方体的外接圆柱,设长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为a b c 、、(其中a b c >>),那么该长方体的外接圆柱侧面积的最大值是（ ）A.πB.πC.πD.abc π【答案】A【解析】分别求出当,,,A B C D 和1111,,,A B C D 在这个圆柱的上下底面时、当11,,,A B B A 和11,,,D C C D 在这个圆柱的上下底面时、当11,,,B C C B 和11,,,A D D A 在这个圆柱的上下底面时,求出外接圆柱侧面积,然后比较即可. 【详解】当,,,A B C D 和1111,,,A B C D 圆柱的高为c ,因此此时该长方体的外接圆柱侧面积为：π况时，该长方体的外接圆柱侧面积为：πππ=π=π=因为a b c >>,所以ππππ>>因此长方体的外接圆柱侧面积的最大值是π故选：A 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力,考查了数学阅读能力.二、填空题5．设m 是常数,若点()05F ，是双曲线22219yx m -=的一个焦点,则m =_______. 【答案】4±【解析】根据双曲线,,a b c 三者之间的关系,结合双曲线的方程和焦点的坐标即可求出m 的值.【详解】因为点()05F ，是双曲线22219y xm -=的一个焦点,所以22222,9,525a m b c ====,而22222259164c a b m m m =+⇒=+⇒=⇒=±.故答案为：4± 【点睛】本题考查了双曲线标准方程基本元素的计算,考查了双曲线,,a b c 三者之间的关系,考查了数学运算能力.620=，则实数a =______.【答案】2±【解析】利用复数模的定义及性质进行化简等式,最后求出实数a 的值. 【详解】20=，222020(1)2523a a i =⇒=⇒+=⇒=±-.故答案为：2± 【点睛】本题考查了复数模的定义及性质,考查了数学运算能力.7．若圆锥的底面积是9π，体积是12π，则该圆锥的侧面积是________. 【答案】15π【解析】由圆锥的底面积可以求出圆锥底面半径,由圆锥的体积可以求出圆锥的高,利用勾股定理可以求出圆锥的母线长,最后利用圆锥的侧面积公式求出该圆锥的侧面积. 【详解】设该圆锥的底面半径、圆锥的高、圆锥的母线长分别为r h l 、、.因为圆锥的底面积是9π,所以293r r ππ=⇒=.因为圆锥的体积是12π，所以211243r h h ππ=⇒=,由勾股定理可知：5l ==,因此该圆锥的侧面积是15rl ππ=. 故答案为：15π 【点睛】本题考查了圆锥的体积公式、侧面积公式,考查了圆锥的底面半径、圆锥高、圆锥母线长之间的关系,考查了数学运算能力. 8． 若13z a i =+，234z i =+，且12z z 为纯虚数，则实数a = ; 【答案】4- 【解析】解：因为12z a 3i a 3i 34i 3a 12(94a )i z 34i 34i 34i 5++-++-==⨯=++-为纯虚数，所以则偶a=-49．已知抛物线()220x py p =>上的点()3m ，到焦点的距离为5,则p =______. 【答案】4【解析】根据抛物线的定义可以把点()3m ，到焦点的距离转化为点()3m ，到该抛物线的准线距离即可求出p 的值.【详解】因为抛物线()220x py p =>的准线方程为：2py =-,根据抛物线的定义可知： 3()542pp --=⇒=.故答案为：4 【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了数学运算能力,属于基础题.10．已知关于x 的方程()()2560x i x pi p R ++++=∈有实数解,则p =_______.【答案】2或3【解析】由题意可知：当x ∈R ,方程()()2560x i x pi p R ++++=∈,根据复数相等,可得方程组,解方程组可得p 的值. 【详解】因为关于x 的方程()()2560x i x pi p R ++++=∈有实数解,所以x R ∃∈使得()()2560x i x pi p R ++++=∈成立.()22256056056()020x x x i x pi x x p x i p p x ⎧++=++++=⇒++++=⇒⇒=⎨+=⎩或3.故答案为：2或3. 【点睛】本题考查了复数系数一元二次方程有实数解问题,利用复数相等的定义是解题的关键.11．在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______.【答案】3π【解析】试题分析：将1B C 平移到1A D 的位置，所以异面直线所成角转化为1BA D ∠，由于1BA D ∆是正三角形，所以13BA D π∠=【考点】异面直线所成角12．若z C ∈，且4z =，则1z i +-的取值范围是________.【答案】[44【解析】由已知z C ∈，且4z =，可以知道复数z 在复平面对应点的轨迹是圆, 由1z i +-的几何意义结合圆的几何性质可以求出1z i +-的取值范围【详解】因为z C ∈，所以设(,)z x yi x y R =+∈因为4z =，所以2216x y +=,复数z 在复平面对应点的轨迹是以原点为圆心半径为4的圆O.式子1z i +-的几何意义是：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离,圆心O 到(1,1)-,由圆的几何性质可知：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离的最大值为4最小值为4因此1z i +-的取值范围是[44.故答案为：[44+ 【点睛】本题考查了复数模的几何意义,考查了圆的几何性质,考查了数形结合思想. 13．正三棱锥的两个侧面所成二面角的大小范围是________. 【答案】(60,180)︒︒【解析】采用极限思想,让顶点无限接近底面,让顶点无限远离底面,推出范围即可. 【详解】假设顶点无限接近底面的中心,那么这三个侧面就趋向一个平面那两个侧面所成的二面角就无限接近180︒；假设顶点无限远离底面中心,那么三个侧面都垂直于底面,底面两边的夹角就是两个侧面所成二面角的平面角,大小为60︒,因此正三棱锥的两个侧面所成二面角的大小范围是(60,180)︒︒.故答案为：(60,180)︒︒【点睛】本题考查了正三棱锥的结构特征,考查了极限思想,考查了空间想象能力.14．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 【答案】()2,1或满足2a b =的任意一对非零实数对【解析】试题分析：222224()4()4(24)z bz a bi b a bi a b ab ab b i -=+-+=--+-是实数，则2240ab b -=，由于0b ≠，故2a b =． 【考点】复数的概念．15．在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是 ． 【答案】45°【解析】试题分析：根据条件知倒出水的体积为圆柱体积的，而可看出流水之后空出部分恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱，从而该短圆柱的体积为原来圆柱体积的，由此可解出短圆柱的高，进而找出母线和水平面所成的角，根据三角函数求出该角即可．解：如图，∵倒出水；；设圆柱的母线与水平面所成的角为α； 则tanα=；∴α=45°；即圆柱体的母线与水平面所成角的大小是45°． 故答案为：45°．【考点】直线与平面所成的角．16．设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点. 若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 【答案】（2，4）【解析】设直线l 的方程为x ty m =+，()11A x y ，，()22B x y ， 把直线l 的方程代入抛物线方程24y x =，整理可得：2440y ty m --= 则216160t m =+>，124y y t +=，124y y m =-则()()2121242x x ty m ty m t m +=+++=+∴线段AB 的中点()222M t m t +，由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，且()50C ，当0t ≠时，有1MC AB K K =- 即2201125t t m t-⨯=-+-，整理得232m t =- 把232m t =-代入到216160t m =+>可得230t ->，即203t <<由于圆心C 到直线AB 的距离等于半径即2d r ====24r ∴<<，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条当0t =时，这样的直线l 恰有2条，即5x r =±，05r ∴<<综上所述，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()24，点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题。
2018-2019学年上海市虹口区复兴高级中学高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年上海市虹口区复兴高级中学高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）>−1”的()1.若a，b为实数，则“a<−1”是“1aA. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件2.在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A. B.C. D.3.在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是()A. 60B. 70C. 80D. 1004.设(1−2x)2019=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a2019x2019，则22019⋅a0+22018⋅a1+22017⋅a2+⋅⋅⋅+2⋅a2018+a2019的值为()A. 22019B. 1C. 0D. −1二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5.设集合A={−1,0，1}，B={0,1，2，3}，则(∁R A)∩B=______ ．6. 不等式x−1x>1的解集为______．7. 对于实数a 、b ，“若a +b ≤0，则a ≤0或b ≤0”为______ 命题(填“真”、“假”)． 8. 如图，以长方体ABCD −A′B′C′D′的顶底D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB′−的坐标为(5,4，3)，则AC′−的坐标为______ ．9. 某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示(单位：厘米)，则该几何体的体积(单位：立方厘米)是______10. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1内接于球O ，且AB =BC =2，AA 1=2√2，则A 、B 两点之间的球面距离为______．11. 若不等式|ax +2|<6的解集为(−1,2)，则实数a 等于______ ．12. 某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中“同意”的人数为______ 人.同意 不同意 合计高一 2 高二4高三113. 试写出(x −1x )7的展开式中系数最大的项______．14.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60°的概率为______ ．15.已知正数x，y满足1x +1y=1，则4xx−1+9yy−1的最小值为______．16.定义Π(A)为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合M={−23,54,1,4}，集合M的所有非空子集依次记为M1，M2，…，M15，则Π(M1)+Π(M2)+⋯+Π(M15)=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和3，侧棱AA1的长为5．(1)求三棱柱ABC−A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18.已知集合M={0,1，2}，函数y=f(x)的定义域为D={1,2，3，4}，值域为A．(1)若A=M，求不同的函数y=f(x)的个数；(2)若A⊆M，(ⅰ)求不同的函数y=f(x)的个数；(ⅰ)若满足f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，求不同的函数y=f(x)的个数．19. 已知函数f(t)=at 2−√bt +14a (t ∈R,a <0)的最大值为正实数，集合A ={x|x−a x<0}，集合B ={x|x 2<b 2}.(1)求A 和B ；(2)定义A 与B 的差集：A −B ={x|x ∈A 且x ∉B}，设a 、b 、x 设均为整数，且x ∈A ，P(E)为x 取自A −B 的概率，P(F)为x 取自A ∩B 的概率，写出a 与b 的二组值，使P(E)=23，P(F)=13．20. 已知等式(1+x)2n−1=(1+x)n−1(1+x)n ．(1)求(1+x)2n−1的展开式中x n 项的系数，并化简：C n−10C n n +C n−11C n n−11+C n−12C n n−2+⋅⋅⋅+C n−1n−1C n 1；(2)证明：(ⅰ)kC n k =nC n−1k−1； (ⅰ)(C n 1)2+2(C n 2)2+⋅⋅⋅+n(C n n )2=nC 2n−1n ．21. 已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x +a)．(1)当a =5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x 的方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的(3)设a>0，若对任意t∈[12差不超过1，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B>−1⇔a<−1或a>0，【解析】解：1a∵a<−1⇒a<−1或a>0，a<−1或a>0推不出a<−1，>−1”的充分非必要条件．∴“a<−1”是“1a故选：B．>−1的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．首先找出1a本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【解答】解：对于选项B，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB//NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．3.【答案】A【解析】解：高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．4.【答案】C【解析】解：∵(1−2x)2019=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a2019x2019，∴令x=1，可得(1−2)2019=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a2019，∴(2−2)2019=22019⋅a0+22018⋅a1+22017⋅a2+⋅⋅⋅+2⋅a2018+a2019=0，故选：C．由题意可得(1−2)2019=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a2019，从而可得(2−2)2019=22019⋅a0+ 22018⋅a1+22017⋅a2+⋅⋅⋅+2⋅a2018+a2019=0．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．5.【答案】{2,3}【解析】解：因为集合A={−1,0，1}，B={0,1，2，3}，所以(∁R A)∩B={2,3}．故答案为：{2,3}．利用集合补集与交集的定义分析求解即可．本题考查了集合补集与交集的求解，解题的关键是掌握集合补集与交集的定义，属于基础题．6.【答案】(−∞,0)【解析】解：由x−1x>1得：1−1x >1⇒1x<0⇒x<0，故不等式的解集为：(−∞,0)，故答案为：(−∞,0)．根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．7.【答案】假【解析】解：对于实数a 、b ，“若a +b ≤0，则a ≤0或b ≤0”为假命题； 例如：当a +b =−3时，可能a =−1，且b =−2，故该命题为假命题； 故答案为：假．直接利用列举法的应用判断命题的真假．本题考查的知识要点：命题真假的判定，列举法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】(−5,4，3)【解析】解：由题意可知，DB′−=(5,4，3)， 所以DA =5，DC =4，DD′=3， 则A(5,0，0)，C′(0,4，3)， 所以AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,4，3)． 故答案为：(−5,4，3)．利用已知向量的坐标，求出DA =5，DC =4，DD′=3，从而可得点A 和C′的坐标，求解AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标即可．本题考查了空间中点的坐标的求解，空间向量坐标的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．9.【答案】π2+1【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体是由一个底面是直角三角形的三棱锥体和一个底面为半圆的半圆锥组成． 故：V =13⋅12⋅2⋅1⋅3+12⋅13⋅π⋅12⋅3， =1+π2． 故答案为：1+π2．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】2π3【解析】 【分析】此题考查了长方体外接球问题，属于基础题．利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB 所对球心角，得解． 【解答】解：由AB =BC =2，AA 1=2√2， 得AC 1=BD 1=4， ∴△ABO 为正三角形， ∠AOB =π3，∴A ，B 两点间的球面距离为2×π3=2π3，故答案为：2π3．11.【答案】−4【解析】解：∵不等式|ax +2|<6的解集为(−1,2)， ∴{|−a +2|=6|2a +2|=6 ∴a =−4 故答案为：−4利用不等式的解集与方程解的关系，建立方程组，即可求实数a 的值．本题考查不等式的解法，考查学生的计算能力，明确不等式的解集与方程解的关系是关键．12.【答案】126【解析】解：一共105+126+42=273个人，抽样比是13273=121，高一的学生105×121=5人，高二的学生126×121=6人，高三的学生42×121=2人，又高一不同意的有2人，所以高一同意的有3人，高二不同意的有4人，则高二同意的有2人，又高三同意的有1人，故抽取的样本中同意的共有6人，所以总体中同意的共有273×613=126人．故答案为：126．根据抽样比求出各个年级抽取的人数，然后分析数据，最后根据比例求解即可．本题考查了分层抽样的理解和应用，解题的关键是掌握分层抽样的特点，即按比例抽取，考查了逻辑推理能力，属于基础题．13.【答案】35x【解析】解：T r+1=∁7r x7−r(−1x)r=(−1)r∁7r x7−2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4，6，其系数分别为：1，∁72，∁74，∁76．经过比较可得：r=4时满足条件，T5=∁74x−1=35x，故答案为：35x．T r+1=(−1)r∁7r x7−2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4，6，经过比较即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】811【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与上平面A1B1C1D1中一条对角线A1C1成60°的直线有8条，而正方体有12条对角线，所以共有12×8=96(对)对角线所成角为60°，而有一半是重复的，所以从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对， 所以概率为48C 122=811．故答案为：811．正方体的面对角线共有12条，能够数出每条对角线和另外8条构成8对直线所成的角为60°，求出所有对角线所成角为60°的对数，然后利用古典概型的概率公式求解即可． 本题考查了正方体面对角线的关系，考查了古典概型的概率问题，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．15.【答案】25【解析】 【分析】由已知条件可得y =xx−1且x −1>0，代入变形可得4xx−1+9yy−1=13+4x−1+9(x −1)，由基本不等式可得．本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题． 【解答】解：∵正数x ，y 满足1x +1y =1， ∴y =x x−1，∴x −1>0，∴4x x −1+9y y −1=4xx −1+9x x −1xx −1−1=4x x −1+9x =4(x −1)+4x −1+9(x −1)+9 =13+4x −1+9(x −1) ≥13+2√4x−1⋅9(x −1)=25，当且仅当4x−1=9(x −1)即x =53时取等号， ∴4xx−1+9y y−1的最小值为：25． 故答案为25．16.【答案】72【解析】解：∵集合M ={−23,54,1,4}，集合M 的所有非空子集依次记为M 1，M 2，…，M 15， ∴M 1={−23}，M 2={54}，M 3={1}，M 4={4}，M 5={−23,54}，M 6={−23,1}，M 7={−23,4}，M 8={54,1}，M 9={54,4}，M 10={1,4}，M 11={−23,54,1}， M 12={−23,54,4}，M 13={−23,1，4}，M 14={54,1，4}，M 15={−23,54,1,4}， 则Π(M 1)+Π(M 2)+⋯+Π(M 15)=−23+54+1+4−56−23−83+54+5+4−56−103−83+5−103=72．故答案为：72．先列举出M 1，M 2，…，M 15，由此能求出Π(M 1)+Π(M 2)+⋯+Π(M 15).本题考查集合的子集的运算，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为：V =S △ABC ×AA 1=12×4×3=6．(2)设M 是BC 中点，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A 1(0,0，5)，B(4,0，0)，C(0,3，0)，M(2,32,0)， A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,32,−5)，平面ABC 的法向量n ⃗ =(0,0，1)， 设直线A 1M 与平面ABC 所成角为θ，则sinθ=|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=5√1254=2√55．∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arcsin 2√55．【解析】(1)由三棱柱ABC −A 1B 1C 1的性质能求出其体积．(2)设M 是BC 中点，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．本题考查立体几何中点、线、面的位置关系，考查运算求解能力、空间想象能力、推理论证能力，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，是中档题．18.【答案】解：(1)将集合D 中的1，2，3，4分成3组，有C 42=6种分法， 所以不同的函数个数为C 42⋅A 33=36个；(2)(i)集合D 中的每个元素都有3个元素可能与之相对应， 故不同的函数个数为34=81个；(ii)①若f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=1，则y =f(x)有1个；②若f(1)，f(2)，f(3)，f(4)中1个0，2个1，1个2，则y =f(x)有C 42×2=12个； ③若f(1)，f(2)，f(3)，f(4)中2个0，2个2，则y =f(x)有C 42=6个，综上，不同的函数y =f(x)的个数共有1+12+6=19个．【解析】(1)将集合D 中的元素分成3组，再与集合A 中的元素进行对应；(2)(i)若A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A 到B 的函数个数为n m 个； (ii)用f(1)，f(2)，f(3)，f(4)中0的个数进行分类讨论．本题是函数概念及排列组合的综合题目，考查分步乘法计数原理、分类加法计数原理、排列组合数的应用．属于难题．19.【答案】解：(1)∵函数f(t)=at 2−√bt +14a (t ∈R,a <0)，配方得 f(t)=a(t −√b 2a)2+1−b 4a，由a <0，得最大值 1−b4a >0，b >1．∴A ={x|a <x <0}，集合B ={x|x 2<b 2}={x|−b <x <b}． (2)要使P(E)=23，P(F)=13，可以使：A 中有3个元素，A −B 中有2个元素，A ∩B 中有1个元素，a =−4，b =2． A 中有6个元素，A −B 中有4个元素，A ∩B 中有2个元素．则a =−7，b =3． A 中有9个元素，A −B 中有6个元素，A ∩B 中有3个元素．则a =−10，b =4．【解析】(1)由f(t)有最大值，a <0.由f(t)max =1−b 4a，得b >1，由此能求出集合A 和B ．(2)当A 中有3个整数时，A −B 中有2个，A ∩B 中有1个；当A 中有6个整数时，A −B 中有4个，A ∩B 中有2个；当A 中有9个整数时，A −B 中有6个，A ∩B 中有3个，由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查满足概率的实数值的确定，考查推理论证能力，运算求解能力，是基础题．20.【答案】(1)解：(1+x)2n−1的展开式中含x n 项的系数为C 2n−1n， 由(1+x)n−1(1+x)n =(C n−10+C n−11x +⋅⋅⋅+C n−1n−1x n−1)⋅(C n 0+C n 1x +⋅⋅⋅+C n n x n )， 所以(1+x)n−1(1+x)n 的展开式中含x n 项的系数为C n−10C n n +C n−11C n n−1+⋅⋅⋅+C n−1n−1C n 1，因为(1+x)2n−1=(1+x)n−1(1+x)n ，则C n−10C n n +C n−11C n n−1+⋅⋅⋅+C n−1n−1C n 1=C 2n−1n ， (2)证明：(i)当k ∈N ∗时，kC n k=k ×n!k!(n−k)!=n!(k−1)!(n−k)!=n ×(n−1)!(k−1)!(n−k)!=nC n−1k−1； (ii)(C n 1)2+2(C n 2)2+⋅⋅⋅+n(C n n )2=∑[nk=1k(C n k )2]=∑(nk=1kC n k C n k ) =∑(nk=1nC n−1k−1C n k ) =n ∑(nk=1C n−1k−1C n k )=n ∑(n k=1C n−1n−k C n k)，由(1)可知，C n−10C n n +C n−11C n n−1+⋅⋅⋅+C n−1n−1C n 1=C 2n−1n ， 所以∑(n k=1C n−1n−k C n k )=C 2n−1n ，所以(C n 1)2+2(C n 2)2+⋅⋅⋅+n(C n n )2=nC 2n−1n ．【解析】(1)利用二项式定理的展开式求解含x n 项的系数，然后将(1+x)n−1(1+x)n 展开，求解含x n 项的系数，即可化简可得答案； (2)(i)利用组合数公式进行化简证明即可； (ii)利用组合数公式结合(1)中的结论证明即可．本题考查了二项式定理的应用，主要考查了二项展开式的通项公式的应用，组合数公式以及组合数性质的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)，由f(x)>0；得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x +4=4x+1x >0，即x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}.(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，① 则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②，当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2， 则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t,t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1， 即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1) 设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=rr 2−3r+2， 当r =0时，rr 2−3r+2=0， 当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r−3，∵y =r +2r 在(0,√2)上递减，∴r+2r ≥12+4=92，∴rr2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴实数a的取值范围是a≥23．【解析】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．(1)当a=5时，解不等式即可．(2)根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．(3)根据条件得到f(t)−f(t+1)≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．。
2018-2019学年上海市吴淞中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市吴淞中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列所给的四个命题中，不是真命题的为（ ） A.两个共轭复数的模相等 B.z R z z ∈⇔= C.1212z z z z =⇔=± D.2z z z =⋅【答案】C【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，根据已知中的条件，将z a bi =+代入，解关于a ，b 的方程，求出满足条件的a ，b 的值，可以判断出A ，B ，D 为真命题，举出反例说明，也可能1212z z z z =⇔=±不成立，即可判断C 错误，进而得到答案． 【详解】对于A ，设(,)z a bi a b R =+∈，其共轭复数为z a bi =-，||||z z =共轭复数的模相等，故A 正确； 对于B ，z R z z ∈⇔=，故B 正确；对于C ，例如11z i =+，2z =12||||z z =但不满足12=±z z ，故C 错误；对于D ，设(,)z a b iab R =+∈，其共轭复数为z a bi =-，此时，222||z z z a b =⋅=+，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是复数的基本概念，其中根据复数模的计算方法及复数的基本运算法则，设复数为z a bi =+代入各个选项，判断命题的真假是解答本题的关键． 2．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞的值为 （ ）A.23B.43C.83D.163【答案】D 【解析】【详解】232a a +=，341341223128161,2l 313im nn a a a a a q a a a q q S q →∞++=∴====∴==++-，选D.3．已知两非零向量)(11,a a b =，)(22,b a b =，其中 1a ，2a ，1b ，2b 均为实数，集合}{110A x a x b =+≥，集合}{220B x a x b =+≥，则“//a b ”是“A B =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.即非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据向量平行以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若A B =，则不等式110a x b +≥和220a x b +≥的解集相同， 则120a a >，且方程110a x b +=和220a x b +=同解， 即1122a b a b =，则//a b 成立，即必要性成立； 若//a b ，取111a b ==，221a b ==-，则//a b ，但集合{|10}A x x =+≥，集合{|10}B x x =--≥的解集不同，解集A B =不成立，故充分性不成立，故“//a b ”是“A B =”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，证明充分性不成立时，可举反例证明使解题过程更清晰．4．对平面中的任意平行四边形ABCD ，可以用向量方法证明：)(22222AC BD AB BC +=+，若将上诉结论类比到空间的平行六面体1111ABCD A B C D -，则得到的结论是（ ）A.)(2222112AC AC AB AD +=+B.)(222221112AC BD ABAD AA +=++C.)(2222222111113AC BD AC DB AB AD AA +++=++ D.)(2222222111114AC BD AC DB ABAD AA +++=++【答案】D【解析】由平行六面体的几何特征，其各个面以及对角面都是平行四边形，在平行四边形ABCD 、11ACC A 、11BDD B 分别利用已知结论，可得到选项D 是正确的. 【详解】如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中， 在平行四边形ABCD 中，()22222AC BD AB AD+=+①在平行四边形11ACC A 中，()22221112AC AC AC AA +=+② 在平行四边形11BDD B 中，()22221112B D BD BD BB +=+③②③相加，得()()2222222211111122AC AC B D BD AC AA BD BB +++=+++④ 将①代入④，再结合11AA BB =得，)(2222222111114AC BD AC DB AB AD AA +++=++故选：D. 【点睛】本题考查从平面到空间的类比推理，考查逻辑推理能力和空间想象能力，求解过程中要懂得充分利用条件中的现成结论，进行推理得到答案.二、填空题 5．计算：3lim 2n nn →+∞-=+______．【答案】-1【解析】对分式的分子分母同时除以n ，再利用极限的四则运算求值. 【详解】由题意得：331lim (1)31lim lim 122211lim (1)n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====-+++. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查数列极限运算，考查基本的运算求解能力，属于容易题.6．已知矩阵1123A⎛-⎫= ⎪⎭⎝，41B⎛⎫= ⎪-⎭⎝，则AB=______．【答案】5 5⎛⎫ ⎪⎭⎝【解析】直接根据矩阵与向量积的运算法则进行计算，即可得到答案. 【详解】因为1123A⎛-⎫= ⎪⎭⎝，41B⎛⎫= ⎪-⎭⎝，所以AB=.故答案为：5 5⎛⎫ ⎪⎭⎝.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，即矩阵A中的第一行各个数与B的第一列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第1行第1列的数，其它行列的数依此类推可求得，考查基本运算求解能力.7．若行列式122112xD xx=的第二行，第三列元素的代数余子式的值等于3-，则实数x=______．【答案】-1【解析】根据余子式的定义可知，23121Mx=-，求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【详解】由题意得2312(12)31M xx=-=--=-解得：1x=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查基本运算求解能力，求解时注意行列式的运算，属于容易题．8．在复数范围内分解因式：2132x x -+-=______．【答案】)()(1112x x --+- 【解析】解出方程21302x x -+-=的两根，再利用两根式进行因式分解.【详解】由21302x x -+-=可得：121,1x x ==， 所以2132x x -+-=)()(1112x x --+-.故答案为：)()(1112x x ----. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的情况下因式分解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．曲线22y x =与曲线)(2224x y -+=的交点个数为______． 【答案】3【解析】联立方程，可得)(2224x x -+=，解得0x =或2x =，当2x =时对应两个y 值，当0x =时对应唯一的0y =，即可得出结论．【详解】联立方程得：)()(222224,2242,x y x x y x ⎧-+=⎪⇒-+=⎨=⎪⎩ 解得0x =或2x =，当2x =时，对应2y =±，当0x =时，对应唯一的0y =， 所以两曲线的交点个数为3个. 故答案为：3. 【点睛】本题考查曲线与曲线交点的个数，注意与直线和二次曲线求交点个数的区别与联系，求解时要充分考虑图形的对称性．10．已知实数x ，y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2y x -的最大值是______．【答案】0【解析】先画出约束条件3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2z y x =-的最大值． 【详解】约束条件3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所示的可行域，如图所示三角形：易得：(3,0),(5,0),(1,2)A B C ， 令2z y x =-所以6,10,0A B C z z z =-=-=， 所以max 0z =. 故答案为：0. 【点睛】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域；②求出可行域各个角点的坐标；③将坐标逐一代入目标函数；④验证，求出最优解． 11．如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________.【答案】【解析】由主视图、俯视图得到三棱柱的侧视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果. 【详解】由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，所以侧视图的面积为222⨯=. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12．从双曲线2214y x -=上任意一点M 引实轴的平行线，与它的渐近线相交于,P Q 两点，则MP MQ ⋅的值为______． 【答案】1【解析】利用点M 的任意性，设M 为双曲线实轴的顶点(1,0)，则点,P Q 重合于原点，易得1MP MQ ⋅=． 【详解】双曲线的渐近线为2y x =±， 设M 为双曲线实轴的顶点(1,0)， 所以点,P Q 重合于原点， 所以1MP MQ ⋅=， 故答案为：1. 【点睛】本题考查双曲线的性质，求解过程中利用点M 的任意性，将其取在特殊位置，可使问题的计算量大大减少.13．一平面截一球得到面积为16π的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的体积是______．【解析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的体积． 【详解】设球的截面圆的半径为r ， 则216r ππ=，4r = 设球的半径为R ， 则球心到这个圆面的距离是2R ，由22()162R R =+，解得：R =所以球的体积332443(3237V R ππ===.． 【点睛】本题考查圆的面积、球的体积计算，考查直观想象能力和逻辑思维能力，是基础题． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点)(1,0A -，)(1,0B ，顶点C 在椭圆22198x y +=上，则)(sin sin sin A B A B ++的值是______．【答案】3【解析】在椭圆的焦点ABC ∆中，先利用正弦定理把式子)(sin sin sin A BA B ++转化成边的关系，再利用椭圆的定义进行求值. 【详解】在椭圆的焦点ABC ∆中，26,21CB CA a AB c +====，由正弦定理及诱导公式可得)(sin sin sin sin 63sin 2sin CB CA A B A B C AB A B +++====+. 故答案为：3.本题考查正弦定理与椭圆定义的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 15．已知等差数列}{n a 前n 项和为)(n S n N*∈，函数)()(1332019f x xx x R =++∈，若满足)(2219f a -=，)(201844019f a -=，2019S =______． 【答案】6057【解析】令()()2019g x f x =-，2(2)2000g a -=-，2018(4)2000g a -=，再利用()g x 为奇函数且为增函数得到22018(2)(4)0a a -+-=，最后利用等差数列的求和公式求得2019S 的值. 【详解】令()()2019g x f x =-，则2(2)2000g a -=-，2018(4)2000g a -=， 因为()g x 为奇函数且为增函数，()220182018(2)(4)4g a g a g a -=--=-， 所以2201824a a -=-，所以220186a a +=， 所以120192201820192019()2019()605722a a a a S ++===.故答案为：6057. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与数列知识交会，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查运算求解能力，如何利用奇函数且为增函数的性质，过渡到等差中项是求解本题的关键． 16．在平面直角坐标系中，定义)(1212,d P Q x x y y =-+-为两点)(11,P x y ，)(22,Q x y 之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到)(1,0M -，)(1,0N 两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线；③到)(1,0M -，)(1,0N 两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线； ④到)(1,0M -，)(1,0N 两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形． 其中正确的命题是______（写出所有正确的序号）． 【答案】①②③④【解析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．对①，集合{(,)|||||1}x y x y +=，是一个正方形，故①正确；对②，集合{(,)||1||||1|||}{(,)|0}x y x y x y x y x ++=-+==，故②正确； 对③，集合{(,)||1||||1|||1}x y x y x y ++---=±={(,)||1||1|1}x y x x +--=±，化简得12x =±，故集合是两条平行线，故③正确； 对④，集合{(,)||1||||1|||4}x y x y x y +++-+=，故集合是六边形，如图所示，故④正确；故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查点的轨迹问题，考查“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，新定义创新题，首先要理解清楚所给信息的含义．三、解答题17．四边形ABCD 中，)(6,1AB =，)(,BC x y =，)(2,3CD =--． （1）//BC DA ，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有AC BD ⊥uuu r uu u r，求xy 的值和四边形ABCD 的面积． 【答案】(1) 2x y =- (2) 18xy =-或2-；16ABCD S =．【解析】（1）利用向量的加法求出DA 的坐标，再根据//BC DA 得到x 与y 满足的关系式；（2）根据AC BD ⊥uuu r uu u r得到,x y 的关系，结合（1）中,x y 的关系，得到,x y 的两种取值，再分求出||,||AC BD 代入面积公式，求得四边形ABCD 的面积. 【详解】（1）依题意：)()()()(2,3,6,14,2DA DC CB BA x y x y =++=+--+--=--- ∵//BC DA ∴)()(24x y y x ⋅-=⋅--，即：24x xy y xy -=--，得2x y =-；（2）)(6,1AC AB BC x y =+=++，)(2,3BD BC CD x y =+=-- 当AC BD ⊥uuu r uu u r时，)()()()(62130x x y y +⋅-++⋅-=，得：22412230x x y y +-+--=，代入2x y =-，解方程得：1163x y =-⎧⎨=⎩或2221x y =⎧⎨=-⎩，故18xy =-或2-；当1163x y =-⎧⎨=⎩时，则)((04)8,0AC BD ==-，，， 此时求得：1||||162ABCD S AC BD ⋅==； ②当2221x y =⎧⎨=-⎩时，则)((80)0,4AC BD ==-，，， 此时求得：1||||162ABCD S AC BD ⋅==； ∴16ABCD S =． 【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的坐标运算及对角线互相垂直的四边形的面积求法，考查基本的运算求解能力，注意求解过程中,x y 有两组解，所以求面积时要分情况讨论. 18．如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点；（1）求异面直线与所成角的大小； （2）求正三棱锥的表面积．【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）作的平行线，找出异面直线所成的角，然后在中利用余弦定理求角的大小；（2）将正三棱锥的三个侧面的面积与底面的面积相加，即可得到答案. 【详解】（1）设为底面正三角形的中心，连结，正三棱锥体积：，∴，即为1．作交于，则为中位线，∴即为异面直线的夹角． 在中，，，得，.在中，，，由余弦定理：，∴所求异面直线的夹角为．（2），正三棱锥的表面积为.【点睛】本题考查异面直线所成角、几何体的表面积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，在求解异面直线所成角时，一般是按“一作、二证、三求”的步骤进行.19．在直角坐标系xOy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的一个顶点为(0,)B b -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求1F BN ∆的面积.【答案】（1）22142x y +=； （2）83.【解析】（1）由已知易得c 值与线段MF 2的长度，在直角三角形MF 1F 2中勾股定理求出a 即可写出椭圆C 的标准方程．（2）此题可转化为求以线段为底边的两个三角形的和问题，一个三角形的高为，另一个为|y n |．故只须求y n 即可． 【详解】（1）因为l x ⊥轴，所以2F坐标为)，所以22222211,2,a b c a b ⎧+=⎪⎨⎪=-=⎩解得224,2,a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆方程为22142x y +=.（2）直线2BF的方程为y x =联立22142y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得到N的纵坐标为3.又12F F =所以11212F BN BF F NF F S S S ∆∆∆=+=18233⎫⨯⨯=⎪⎪⎭. 【点睛】本题考查求椭圆的方程，及椭圆中焦点三角形的面积，是直线与椭圆位置关系中一类相对来说比较简单点的题． 20．如图，由半圆()22200，+=≤>x y ry r 和部分抛物线()()2100y a x y a =-≥>，合成的曲线C 称为“羽毛球开线”，曲线C 与x 轴有A B、两个焦点，且经过点()23.，(1)求a r 、的值；(2)设()02N ，，M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点、、P A Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
2018-2019学年第二学期上海市虹口区期中学生学习能力诊断测试初三数学试卷(含答案)
虹口区2018学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试初三数学 试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2019.04考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．32()a 的计算结果为 A ．5a ；B ．6a ；C ．8a ；D ．9a ． 23= 的解为 A ．4x =；B ．7x =；C ．8x =；D ．10x =.3．已知一次函数(3)3y a x =-+，如果y 随自变量x 的增大而增大，那么a 的取值范围为 A ．3a <；B ．3a >；C ．3a <-；D ．3a >-.4．下列事件中，必然事件是A ．在体育中考中，小明考了满分；B ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；C ．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1；D ．四边形的外角和为180度.5．正六边形的半径与边心距之比为A．B；C2；D．6．如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC=4，tan B =2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取 A ．2； B ．3；C ．4；D ．5．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：12-= ▲ .8.在数轴上，表示实数2-的点在原点的 ▲ 侧（填“左”或“右”）． 9．不等式24x ->- 的正整数解为 ▲ .10．如果关于x 的方程2690kx x -+=有两个相等的实数根，那么k 的值为 ▲ ． 11．如果反比例函数的图像经过（1，3），那么该反比例函数的解析式为 ▲ ． 12．如果将抛物线22y x =向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为 ▲ ．第6题图①② 13. 一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有 ▲ 个．那么另一个圆的半径长为 ▲ ． 16．如图，AD ∥BC ，BC =2AD ，AC 与BD 相交于点O ，如果AO a =，OD b =，那么用a 、b表示向量AB 是 ▲ ．17．我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1cos α的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD 的面积为5，如果变形后的平行四边形A 1B 1C 1D 1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为 ▲ ．18．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，点E 在边AD 上且AE =4，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上，A 1B 1与边AD 交于点G ，如果DG =3，那么BF 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 先化简，再求值：35(2)242m m m m -÷+---，其中3m =．20．（本题满分10分）解方程组：22560,312.x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩第17题图1B 第18题图OE第23题图 C A B D F21．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题7分）如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ． （1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的 ▲ ； （2）联结AD ，AD=7，sin ∠DAC 17=，BC =9，求AC 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量（件）与时间（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的 时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE ∥AC ，联结OE 交BC 于点F ，点F 为BC 的中点．（1）求证：四边形AOEB 是平行四边形；（2）如果∠OBC =∠E ，求证：=BO OC AB FC ⋅⋅．C第21题图DB AE P Q第25题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+8y ax bx =+与x 轴相交于点A （-2，0）和点B （4，0），与y 轴相交于点C ，顶点为点P ．点D （0，4）在OC 上，联结BC 、BD ． （1）求抛物线的表达式并直接写出点P 的坐标； （2）点E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△BCD 的面积相等，求点E 的坐标； （3）点Q 在抛物线对称轴上，如果△BCD ∽△CPQ ，求点Q 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =3，AB =4，点P 为射线BC 上一动点，以P 为圆心，BP 长为半径作⊙P ，交射线BC 于点Q ，联结BD 、AQ 相交于点G ，⊙P 与线段BD 、AQ 分别相交于点E 、F ．（1）如果BE=FQ ，求⊙P 的半径；（2）设BP=x ，FQ=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）联结PE 、PF ，如果四边形EGFP 是梯形，求BE 的长．第24题图 x B O C D A P虹口区2018学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试初三数学评分参考建议2019.4说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B二、填空题本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．128．左9．x =1 10．111．3y x=12．22+3y x =（） 13．6 14．92% 15．4 16．2a b - 17．54 18．8三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2345()222m m m m ---÷--（）3222(3)(3)m m m m m --=⋅-+-（）12(+3)m =-当3m =时, 原式=4-20．解：由①得，60x y -=或+0x y =将它们与方程②分别组成方程组，得： 60,312.x y x y -=⎧⎨-=⎩ +0,312.x y x y =⎧⎨-=⎩分别解这两个方程组，得原方程组的解为1124,4;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=-⎩．（代入消元法参照给分）21．解：（1）垂直平分线（或中垂线） （2）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F∵DE 是线段AB 的垂直平分线 ∴AD =BD =7 ∴2CD BC BD =-=在Rt △ADF 中，1sin 717DF AD DAC =⋅∠=⨯=在Rt △ADF中，AF ==同理，CF =∴AC =22．解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠把（2，50）（4，150）代入 得50=2,1504.k b k b +⎧⎨=+⎩解得=50,=50.k b -⎧⎨⎩ ∴y 与x 之间的函数关系式为5050y x =-． （2）设经过x 小时恰好装满第1箱根据题意得805050340x x +-= ∴3x = 答：经过3小时恰好装满第1箱．23．（1）证明：∵BE ∥AC ∴OC CFBE BF=∵点F 为BC 的中点 ∴CF=BF ∴OC=BE ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=CO ∴AO=BE∵BE ∥AC ∴四边形AOEB 是平行四边形（2）证明：∵四边形AOEB 是平行四边形 ∴∠BAO =∠E ∵∠OBC =∠E ∴∠BAO =∠OBC∵∠ACB =∠BCO ∴△COB ∽△CBA ∴BO BC AB AC =∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AC =2OC ∵点F 为BC 的中点 ∴BC =2FC ∴BO FC AB OC= 即=BO OC AB FC⋅⋅24．解：（1）把点A （-2，0）和点B （4，0）代入2+8y ax bx =+ 得0428,01648.a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得1,2.a b =-⎧⎨=⎩∴228y x x =-++ ∴P （1，9）（2）可得点C （0，8）设E （2,28x x x -++）（x >0） 根据题意COE BCD S S =∴1144822x ⨯⨯=⨯⋅解得2x =E （2,8） （3）设点M 为抛物线对称轴上点P 下方一点可得tan ∠CPM =tan ∠ODB =1 ∴∠CPM =∠ODB=45°∴点Q 在抛物线对称轴上且在点P 的上方 ∴∠CPQ =∠CDB =135° ∵△BCD ∽△CPQ ①CP PQ CD BD =解得2PQ =∴点Q （1，11）②CP PQ BD CD =4PQ = 解得1PQ =∴点Q （1，10）综上所述，点Q （1，11）或（1，10）25．（1）∵BE=FQ ∴∠BPE =∠FPQ∵PE=PB ∴∠EBP =12（180°-∠EPB ） 同理∠FQP =12（180°-∠FPQ ） ∴∠EBP=∠FQP ∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠EBP ∴∠FQP =∠ADB ∴tan ∠FQP =tan ∠ADB =43设⊙P 的半径为r∴4432r = 解得r =32∴⊙P 的半径为32（2）过点P 作PM ⊥FQ ，垂足为点M在Rt △ABQ 中，cos AQB ∠=在Rt△PQM中，2cosQM PQ AQB=∠=∵PM⊥FQ∴FQ=2QM2=∴y=256x<≤）（3）设BP=x①EP∥AQ∴∠EPB=∠AQB∴tan∠EPB=tan∠AQB可求得tan∠EPB=24 7∴24472x=解得712x=∴67510 BE x==②PF∥BD∴∠DBC=∠FPQ ∴tan∠DBC=tan∠FPQ 过点F作FN⊥PQ，垂足为点N可得35PN x=，45FN x=∴25QN x=F Q x=2=解得x=1∴655 BE x==综上所述710BE=或65。
2018-2019学年上海市格致中学高二下学期期中数学试题(解析版)
上海市格致中学高二下学期期中数学试题一、单选题 1．给出下列命题（1）若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面； （2）若三条直线两两平行，那么这三条直线共面；（3）若直线a 与直线b 异面，直线b 与直线c 异面，那么直线a 与直线c 异面； （4）若直线a 与直线b 垂直，直线b 与直线c 垂直，那么直线a 与直线c 平行； 其中正确的命题个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A【解析】根据空间直线与平面平行垂直的性质与判定逐个分析即可. 【详解】(1)如正四面体的任意一定点经过的三条棱均相交,但这三条直线异面.故(1)错误. (2)如直三棱柱的三条高均互相平行,但这三条直线异面.故(2)错误.(3)当a 与c 相交且,a c α⊂,b α⊥时可满足直线a 与直线b 异面,直线b 与直线c 异面,但直线a 与直线c 共面.故(3)错误. (4)同(3)可知(4)错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面平行垂直的判定,需举出反例证明结论不正确,属于基础题. 2．在复数范围内，有下列命题：（1）若z 是非零复数，则z z -一定是纯虚数； （2）若复数z 满足22||z z =-，则z 是纯虚数；（3）若复数1z 、2z 满足22120z z +=，则10z =且20z =； （4）若1z 、2z 为两个虚数，则1212z z z z +一定是实数； 其中正确的命题个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】(1)设(),,z a bi a b R =+∈再运算分析即可.(2)取0z =分析即可. (3)举出反例分析即可.(4) 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈再运算分析即可. 【详解】(1)设(),,z a bi a b R =+∈则()2z z a bi a bi bi -=+--=,当0,0a b ≠=时可知(1)错误. (2)取0z =满足22||z z =-,但z 不是纯虚数.故(2)错误.(3)当11z =、2z i =时也满足22120z z +=,故(3)错误.(4) 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈, 则()()()()121222a bi c di a bi c di z z z a z c bd =+-+-+=++为实数.故(4)正确.故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的运算运用,需要根据题意找到反例或者设复数的表达式计算分析.属于中档题.3．已知复数i z x y =+（,x y ∈R ）满足|2|z -=，则yx的最大值为（ ）A ．12B C D【答案】D【解析】根据复数的几何意义求出复数i z x y =+的轨迹方程再根据yx的几何意义求解即可. 【详解】因为|2|z -=,故()2x yi -+=,即()2223x y -+=.又yx的几何意义为(),x y 到()0,0的斜率.故当过原点的直线与()2223x y -+=切于第一象限时y x取得最大值.此时设切线的倾斜角为θ则sin θ=易得3πθ=.故y x 的最大值为tan 3π=故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题. 4．某课外定向小组在一次课外定向活动中要经过A 、B 、C 、D 、E 、F 六个打卡点，要求是：（1）地点A 必须在前三次完成，且在A 处打卡后需立即赶到地点E 打卡；（2）地点B 与地点C 不能相邻打卡，则不同的打卡顺序有（ ） A ．36种 B ．44种C ．48种D ．54种【答案】B【解析】根据题意可分地点A 分别在第1,2,3次打卡三种情况进行计算即可. 【详解】当地点A 在第1次打卡时, 地点E 在第2次打卡,又地点B 与地点C 不能相邻打卡,故此时有()22422312AA -⨯=种情况.当地点A 在第2次打卡时, 地点E 在第3次打卡, 又地点B 与地点C 不能相邻打卡,故此时有12222222316A A A A ⨯⨯+⨯=种情况.当地点A 在第3次打卡时, 地点E 在第4次打卡, 又地点B 与地点C 不能相邻打卡,故此时有1122222216C C A A =种情况.故共有12+16+16=44种情况. 故选：B 【点睛】本题主要考查了排列组合的综合问题,需要根据题意分三种情况进行求解,根据题中的特殊元素满足的条件分析即可.属于中档题.二、填空题5．设复数z 满足()132i z i +=-+,则z =_________. 【答案】13i -.【解析】利用复数的运算法则首先可得出z ，再根据共轭复数的概念可得结果. 【详解】∵复数z 满足()132i z i +=-+， ∴32123iz i i-++==+，∴13z i =+， 故而可得13z i =-，故答案为13i -. 【点睛】本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．6．已知点(2,1)A --、(2,5)B ，直线:360l x ay +-=上点C 满足AC CB =u u u r u u u r，则直线l 的倾斜角大小为________ 【答案】135°【解析】先求出点C 的坐标,再代入直线:360l x ay +-=求解方程进而求得斜率与直线l 的倾斜角即可.【详解】因为AC CB =u u u r u u u r,故C 为(2,1)A --、(2,5)B 的中点2215,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭,即()0,2C . 又直线:360l x ay +-=上有点C ,故02603a a +-=⇒=. 故直线l 的斜率313k =-=-.故倾斜角为135°. 故答案为：135° 【点睛】本题主要考查了向量的应用与直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题. 7．设集合*1{|i ,}in nZ z z n ==+∈N （i 是虚数单位），则集合Z 中所有元素的和为________ 【答案】0【解析】根据复数n i 的周期性求出集合Z 中所有的元素再求和即可. 【详解】因为1i i =,21i =-,3i i =-,41i =,5...i i =故n i 周期为4,所以1i i n nz =+周期也为4.又10i i i i +=-=,221112i i +=--=-,3310i i i i +=-+=,441112i i+=+=. 故{}0,2,2Z =-.所以集合Z 中所有元素的和为0. 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了n i 的周期性运用,属于基础题.8．点A 是圆22450x y ax y +++-=上的一点，且点A 关于直线210x y +-=的对称点也在此圆上，则实数a =________ 【答案】10-【解析】根据圆的对称性可知A 与点A 关于直线210x y +-=的对称点均在圆上, 故直线210x y +-=经过圆心,再代入圆心计算即可. 【详解】由题意,A 与点A 关于直线210x y +-=的对称点均在圆上,故直线210x y +-=经过 圆心,22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故410102aa ---=⇒=-. 故答案为：10- 【点睛】本题主要考查了圆的对称性的运用,属于基础题.9．已知两平行线直线分别过点(2,2)P --、()1,3Q ，设此两平行直线之间的距离为d ，则d 的取值范围为________【答案】【解析】根据极限的思想分析,当两平行线无限接近于重合,即过两条直线均过(2,2)P --、()1,3Q 时距离最小；距离最大时d 为(2,2)P --、()1,3Q 之间的距离.【详解】由题意,当两平行线无限接近于重合时距离d 无限接近于0,距离最大时两条平行线均与直线PQ 垂直,此时d 为(2,2)P --、()1,3Q =故答案为： 【点睛】本题主要考查了极限的思想在解决平面直线距离中的运用,属于中题.10．在平面直角坐标系中，不等式组1010310x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积是________. 【答案】2【解析】作出不等式组所表示区域的图形，计算面积即可求解. 【详解】 作可行域如图：由11x x y =⎧⎨+=⎩可得(1,0)C ，1310x x y =⎧⎨-+=⎩可得(1,4)B ，10310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得(0,1)A ，三角形区域面积为：14122⨯⨯=. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的区域，三角形面积的计算，属于中档题.11．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[)1,5(5)⋃∞，+【解析】直线1y kx ＝+过定点(0,1)在椭圆2215x y m+=外部，再根据椭圆定义得到5m ≠，综合得到答案.【详解】直线1y kx ＝+过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆2215x y m+=外部即可,从而m 1≥，又因为椭圆2215x y m+=中5m ≠，所以m 的取值范围是[)1,5(5)⋃∞，+.故答案为：[)1,5(5)⋃∞，+ 【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，确定直线过定点是解题的关键.12．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _________．【答案】18 【解析】由频率=频数样本容量以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数. 【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则200.240.160.4,50.n n=+=∴=所以第3小组的人数为500.36=18⨯人. 故答案为18 【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.13．已知(,)P x y 是椭圆2212516x y +=上的动点，则4354x y +的最大值为________【答案】5【解析】根据参数方程的方法求解即可. 【详解】因为(,)P x y 是椭圆2212516x y +=上的动点,故可设(5cos ,4sin )P θθ, 故()434cos 3sin 5sin 54x yθθθϕ+=+=+,其中43sin ,cos 55ϕϕ==. 故4354x y +的最大值为5. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查三角换元求函数最值的方法,属于中档题.14．如图所示电路中，开关A 、B 、C 断开的概率分别是0.3、0.2、0.1，且开关A 、B 、C 断开是相互独立的，则此电路连通的概率为________【答案】0.686【解析】由题可知当此电路连通时开关A 联通,,B C 至少有一个连通时线路是连通的,再利用分步原理计算即可. 【详解】由题得当此电路连通时开关A 联通,,B C 至少有一个连通. 故概率为()()10.310.20.10.70.980.686-⨯-⨯=⨯=. 故答案为：0.686 【点睛】本题主要考查了概率的实际运用,需要根据题意分析到连通时满足的情况再求解,属于基础题.15．如图，质点M 从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过AB ，第二次运动经过BC ，第三次运动经过1CC ，且对于任意的正整数n ，第2n +次运动所经过的棱与第n 次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2019次运动后，点M 到达的顶点为________点【答案】1C【解析】由题意设第n 次运动前起始点为A ,分析第2n +次运动后所在的位置与A 的位置关系即可. 【详解】由题,不妨设第n 次运动前质点在点A 处.则第n 次运动经过的AB 或AD ,当第n 次运动经过AB 时,第1n +次运动经过1BB 或BC .又第2n +次运动所经过的棱与第n 次运动所经过的棱所在的直线是异面直线,故第2n +次运动只能经过11B C 或1CC .即第2n +次运动后只可能在1C 处.同理当第n 次运动经过AD 时也有第2n +次运动后只可能在1C 处.故从A 开始第3次运动后必定在1C .第6次运动后必定回到A ,即6次运动为一个周期. 又20196336...3÷=,故经过2019次运动后与经过3次后的位置相同,即1C 处. 故答案为：1C 【点睛】本题主要考查了异面直线的性质与推理判断的问题.需要根据题意分析前几次运动的规律找到运动的周期性进行分析,属于中档题.三、解答题16．正八边形12345678A A A A A A A A 的中心为O ，从向量i OA u u u r（1,2,,8i =⋅⋅⋅）中任取两个不同向量m OA u u u u r 、n OA u u u u r （,{1,2,3,4,5,6,7,8}m n ∈，m n ≠），则使得0m n OA OA ⋅=u u u u r u u u u r的概率等于___ 【答案】27【解析】根据图像的对称性可先任意选一个向量对应的概率相等,再分析选另一个向量使得0m n OA OA ⋅=u u u u r u u u u r的概率即可.【详解】由题,可分两步选取m OA u u u u r 、n OA u u u u r ,第一步先选取m OA u u u u r ,此时8个向量i OA u u u r（1,2,,8i =⋅⋅⋅）被选取的概率相同,故任意选一个向量后再选一个向量使得0m n OA OA ⋅=u u u u r u u u u r的概率即为“任取两个不同向量m OA u u u u r 、n OA u u u ur （,{1,2,3,4,5,6,7,8}m n ∈,m n ≠）,则使得0m n OA OA ⋅=u u u u r u u u u r”的概率.不妨设第一次选取的向量为1OA u u u r ,则剩下的7个向量中仅有37,OA OA u u u u r u u u u r 满足.故概率为27故答案为：27【点睛】本题主要考查了分步计数求解概率的方法,属于基础题.17．设1201211()2n n n n n n x a x a x a x a x a ---+=+++⋅⋅⋅++（*n ∈N ）. （1）若0a 、1a 、2a 成等差数列，求n 的值；（2）设0121n n n A a a a a a -=+++⋅⋅⋅++，求21lim 32n n n nn A →∞++的值.【答案】（1）8n =；（2）1.【解析】(1)根据二项展开式的通项公式求出0a 、1a 、2a 再根据等差数列的性质求解即可.(2)令1x =即可得n A ,再根据数列的极限求解21lim 32n n n nn A →∞++即可.【详解】(1)由题, 001na C ==,111122nn C a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,()2221128n n n a C -⎛⎫== ⎪⎝⎭.又0a 、1a 、2a 成等差数列,故()212198028n nnn n-⨯=+⇒-+=.显然1n≠故8n=.(2)令1x=可得012113122n nn n nA a a a a a-⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故312113123lim lim lim13232213n nnnnn n n nn n n→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⋅++⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了二项式定理求项的系数关系的方法与数列的极限求解.属于中档题. 18．如图，点A在平面α外，△BCD在平面α内，E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点.（1）求证：E、F、G、H四点在同一平面上；（2）若6AC=，8BD=，异面直线AC与BD所成角为60°，求EG的长.【答案】（1）证明见解析；（21337【解析】(1)证明四边形EFGH为平行四边形,即可.(2)由(1)四边形EFGH为平行四边形,再根据中位线关系求出,EF FG的长,再利用解三角形的方法求解EG的长即可.【详解】(1)因为E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点.故//FG BD且12FG BD=,同理//EH BD且12EH BD=,故//FG EH且FG EH=.故四边形EFGH为平行四边形.故E、F、G、H四点在同一平面上(2) 由(1)四边形EFGH为平行四边形,且142FG BD==,132FE AC==.又异面直线AC与BD所成角为60°,故,FG FE所成角为60°,故60GFE∠=︒或120︒.当60GFE∠=︒时,2222cos60251213EG FE FG FE FG=+-⋅︒=-=.此时13EG=当120GFE ∠=︒时,2222cos120251237EG FE FG FE FG =+-⋅︒=+=.此时EG =所以EG【点睛】本题主要考查了点共面的证明与根据线线角和余弦定理求解线段长度的问题,需要注意线线角为60°则夹角可能为60︒或120︒两种情况.属于中档题.19．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题： （1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数） 【答案】（1）75；（2）65；（3）1318. 【解析】(1)易得可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人.再用组合的方法求解即可.(2)先求得不考虑必须男女医生的总情况数,再减去只有男医生的情况数即可. (3)先计算男医生甲与女医生乙被同时选中的概率,再用1去减计算即可. 【详解】(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种,其中只有男医生的情况数有455C =,不可能存在只有女医生的情况.故共有70565-=种不同的建组方案.(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为375935512618C C ==.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为51311818-=. 【点睛】本题主要考查了组合的实际运用题,需要根据题意分析特殊元素满足的条件求解.同时在事件的正面情况数较多的情况下可以考虑先求事件的对立事件.属于中档题.20．已知抛物线2:4x C y =的焦点为F ，直线:240l x y --=，点(1,2)P ，M 是抛物线C 上的动点.（1）求||||MP MF +的最小值及相应点M 的坐标； （2）点M 到直线l 距离的最小值及相应点M 的坐标；（3）直线l '过点P 与抛物线C 交于A 、B 两点，交直线l 于Q 点，若QA a AP =u u u r u u u r，QB bBP =u u u r u u u r，求+a b 的值.【答案】（1）3，1(1,)4；（2）10，1(1,)4；（3）0.【解析】(1)根据抛物线的定义转换线段关系求解即可.(2)设2,4t M t ⎛⎫⎪⎝⎭再求出点到线的距离公式分析最值即可.(3)设直线l '方程为2(1)y k x -=-,再联立直线l '与抛物线和:240l x y --=,分别表示出,,Q A B 的坐标,再根据QA a AP =u u u r u u u r ,QB bBP =u u u r u u u r表达出+a b 再代入韦达定理化简即可. 【详解】(1) 作MN 垂直于准线于N ,则||||=||||MP MF MP MN ++,由图易得当直线PM x ⊥轴时||||MP MF +取得最小值213+= ,此时M 与(1,2)P 横坐标相同,此时11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭. 即当11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭时||||MP MF +取得最小值3.(2) 设2,4t M t ⎛⎫⎪⎝⎭则点M 到直线:240l x y --=距离2224212t t d --=+2228172525t t t -+-+==.当1t =751025=. 故当11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭时M 到直线l 距离的最小值取510. (3)显然直线l '有斜率,设直线l '方程为2(1)y k x -=-.()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y .联立22(1)4y k x x y -=-⎧⎪⎨=⎪⎩24480x kx k ⇒-+-=.则12124,48x x k x x k +==-. 02(1)2824021y k x k x x y k -=-⎧-⇒=⎨--=-⎩. 又QA a AP =u u u r u u u r ,故()1011x x a x -=-,故1011x x a x -=-, QB bBP =u u u r u u u r ,故()2021x x b x -=-,故2021x x b x -=-. 所以()()()120121210201212221111x x x x x x x x x x x a b x x x x +-++---+=+=----. 又()()()1201212282242424821k x x x x x x x k k k k -+-++-=-+--- 41648160k k k =-+-+=.故0a b +=【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求线段和的最小值问题与抛物线上的点到线的距离的最小值问题.同时也考查了联立直线与抛物线的方程,再利用韦达定理表达所给的解析式进行化简求解的问题.属于难题.。
上海市2018-2019学年学年高二第二学期阶段性检测数学试题
2018学年第二学期阶段检测高二数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知i 为虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a =______.2.椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为______. 3.以椭圆2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______. 4.某圆锥体的侧面图是圆心角为23π的扇形，当侧面积是27π时，则该圆锥体的体积是______. 5.已知实数x 、y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为______.6.已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的体积相等，则它们的表面积之比:S S =圆柱球______.（用数值作答）7.若虛数1z 、2z 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，则pq =______.8.已知双曲线221x y -=，1A 、2A 是它的两个顶点，点P 是双曲线上的点，且直线1PA 的斜率是12，则直线2PA 的斜率为______.9.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3R π，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R =______.10.关于x的方程1x +=m 的取值范围是______. 11.棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在线段1AB 、1BC 上运动（不包括线段端点），且AM BN =.以下结论：①1AA MN ⊥；②若点M 、N 分别为线段1AB 、1BC 的中点，则由线MN 与1AB 确定的平面在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为等边三角形；③四面体MBCN 的体积的最大值为124；④直线1D M 与直线1A N 的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）12.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，则22a b +的最小值为______.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑13.设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ）A. 直线l 不平行于直线mB. 直线l 与直线m 异面C. 直线l 与直线m 没有公共点D. 直线l 与直线m 不垂直14.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A 1a b +> B. 1a b +< C. 221a b +< D. 221a b +>15.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A. 0B.79 C. 0或79 D. 以上都不对16.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1..（1）求二面角1B AC B --的大小；（用反三角函数表示）（2）求直线1A B 与平面11BDD B 所成角大小. 18.已知抛物线24y x =，(),0A a 是x 轴上一点，(),P x y 是抛物线上任意一点.（1）若1a =，求PA 的最小值；（2）已知O 为坐标原点，若PA 的最小值为OA ，求实数a 的取值范围.19.如图，已知四面体ABCD 中，DA DB DC ===且DA DB DC ==两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心.（1）过O 作OE AD ⊥，求DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积；（2）将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角记为θ，求cos θ的取值范围. 20.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，2AD =，90ADF ∠=︒.的（1）求异面直线BE 和CD 所成角大小；（2）求几何体EF ABCD -的体积；（3）若平面ABCD 内有一经过点B 的曲线Γ，该曲线上的任一动点都满足EQ 与CD 所成角的大小恰等于BE 与CD 所成角.试判断曲线Γ的形状并说明理由.21.椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为，直线l 与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 作直线l 的垂线，垂足为D .若OA OB ⊥，求点D 的轨迹方程；（3）设直线OA ，l ，OB 斜率分别为1k ，k ，2k ，其中0k >且212k k k =.设OAB ∆的面积为S .以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，求12S S S +的取值范围.的的。