北京101中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题及答案解析

北京101中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题

一、选择题：共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在等差数列{a n }中，如果a 1+a 2=25，a 3+a 4=45，则a 1=（ ） A. 5

B. 7

C. 9

D. 10

2. tan （α－

π4

）=31

，则tan α=（ ）

A. 2

B. －2

C.

2

1

D. －

2

1 3. 在△ABC 中，若b cos A =a sin B ，则∠A 等于（ ） A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

4. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 己知a =5，c =3，cos A =6

3

，则b =（ ） A. 1

B. 2

C.

2

5

D. 6

5. 设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（ ） A.a 2+3>2a

B. a 2+b 2>0

C.a 3+b 3≥a 2b +ab 2

D. a +

a

1≥2 6. 数列{a n }为公比为q （q ≠1）的等比数列，设b 1=a 1+a 2+a 3+a 4，b 2=a 5+a 6+a 7+a 8，…，b n = a 4n －3+a 4n －2+a 4n －1+a 4n ，则数列b n （ ） A. 是等差数列

B. 是公比为q 的等比数列

C. 是公比为q 4的等比数列

D. 既非等差数列也非等比数列

7. 在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令π=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（ ） A. 17m

B. 16m

C. 15m

D. 14m

8. 已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和. 若

6193=S S ，则12

6S S

=（ ） A.

10

1

B.

10

3

C.

105

D.

10

7 9. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ）

A. y =x 3+

34

x

B. y =sin x +

x

sin 4

C. y =log 3 x +log x 81

D. y =e x +4e －

x

10. 某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20％，后两年每年递减20％，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ） A. 不增不减

B. 约增1.4％

C. 约减9.2％

D. 约减7.8％

二、填空题：共6小题.

11. △ABC 中，cos A cos B －sin A sin B =－2

1

，则角C 的大小为_______. 12. 已知sin α·cos α=

5

2

，则tan α=_________. 13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足对于任意的n ∈N *，a n =3

1

（2+S n ），则数列{a n }的通项为a n =_________. 14. 定义：称

n

p p p n

+++ 21为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n

项的“均倒数”为

1

21

-n ，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 15. 北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A 处，图书馆在B 处，为测量A ，B 两地之间的距离，某同学选定了与A ，B 不共线的C 处，构成△ABC ，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A ，AC ，BC ； ②测量∠A ，∠B ，BC ；③测量∠C ，AC ，BC ；④测量∠A ，∠C ，∠B . 其中一定能唯一确定A ，B 两地之间的距离的所有方案的序号是_______.

16. 有纯酒精a （a >1）升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_______升. 三、解答题：共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 已知函数f （x ）=cos x （3sin x +cos x ）－

2

1

，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；

（2）设α>0，若函数g （x ）=f （x +α）为奇函数，求α的最小值.

18. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足a 3·a 5=112，a 1+a 7=22. （1）求等差数列{a n }的第七项a 7和通项公式a n ；

（2）若数列{b n }的通项b n =a n +a n +1，{b n }的前n 项和S n ，写出使得S n 小于55时所有可能的b n 的取值.

19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知a =2c . （1）若∠A =2∠B ，求cos B ；（2）若AC =2，求△ABC 面积的最大值.

20. 已知数列{a n }满足：a 1=1，|a n +1－a n |=p n ，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和. （1）若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值； （2）若p =

2

1

，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式； （3）在（2）的条件下，令c n =n （a n +1－a n ），求数列{c n }的前n 项和T n .

【参考答案】

一、选择题

1. D

2. A

3. B

4. B

5. A

6. C

7. C

8. B

9. D 10. D 二、填空题 11. 60° 12. 2或5

2

13. （

2

3）n －1

14. 4n －3.

15. ②③

16. （1－a 1）8（2－a

1

）

三、解答题

17.解：（1）f （x ）=cos x （3sin x +cos x ）－

2

1

=sin （2x +π6），

T =π，f （x ）单调递增区间为[－

π3+k π，π

6

+k π]（k ∈Z ）. （2）f （x ）=cos x （3sin x +cos x ）－

2

1

=sin （2x +π6），

g （x ）=f （x +α）=sin[2（x +α）+

π6]=sin[2x +（2α+π

6

）]. 由函数g （x ）=f （x +α）为奇函数，所以g （－x ）=－g （x ）， 即sin[－2x +（2α+

π6）]=－sin[2x +（2α+π

6

）]， 展开整理得cos 2x sin （2α+

π

6

）=0 对?x ∈R 都成立， 所以sin （2α+

π6）=0，即2α+π

6

=k π，k ∈Z ，且α>0，所以αmin =5π12.

18.解：（1）因为{a n }为等差数列，所以a 3+a 5=a 1+a 7=22， 又a 3·a 5=112且d >0，解得a 3=8，a 5=14，则a 7=20. 由??

?=+=+144,

821

1d a d a 解得a 1=2，d =3，所以a n =3n －1.

（2）b n =a n +a n +l =6n +1，S n =2

)

(1n b b +=3n 2+4n <55， 解得－5

3

11

，又n ∈N *，所以n ≤3，n ∈N *. 则b 1=7，b 2=13，b 3=19.

19. 解：（1）在△ABC 中，∠A =2∠B ，∠C =π－2

3A

∠且∠A ∈（0，π）， 由正弦定理2=

c a =C

A sin sin =

1

2

cos 42cos

22cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos cos 2sin 2cos 2sin

223sin sin 22-=+=+=A A A A A A A A A A A A A A A A ， 解方程4cos 2

2A －2cos 2

A

－1=0得cos 2A =22（舍负），

所以，∠A =

π2

，所以cos B =22

.

（2）方法一：cos B =ac b c a 2222-+=2

2224

3c c -，

S =?2ABC （

21ac sin B ）2=4

1

a 2c 2sin 2B =41a 2c 2（1－cos 2B ）=4

1×2c 4

×42481624c c c -+-=16)12(22--c +8，

所以当c 2=12即c =23时，S 2ABC ?取得最大值为8，此时S =?ABC 22. 方法二：过点B 作角B 平分线BM ，由角平分线定理，

x x

AM CM c a 22===

，则x =

2221

22-=+. 由阿波罗尼奥斯圆定义，点B 在以内外角平分线的分点M ，N 为直径的圆上， △ABC 面积最大时，点B 最高.

根据勾股定理：?????+=--=-2222

22)

2(2)

(x R R c x R R c ，

所以?????++=-+-=-,

2222,222222222R xR x R c x xR R R c 所以2R 2=22（2+1）xR ，

所以R =2（2+1）x =22.

所以△ABC 面积最大为22，此时c =23.

20.解：（1）因为{a n }是递增数列，所以a n +l －a n =a n +1－a n =p n . 因为a 1=1，a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2=a 1+3a 3， 则3a 3－3a 2=a 2－a 1，即3p 2－p =0，解得p =

3

1

或p =0. 当p =0时，a n +1=a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，所以p =3

1. （2）由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n+1－a 2n －1>0， 所以（a 2n +1－a 2n ）+（a 2n －a 2n －1）>0. 因为

n

22

1<1221-n ，所以a 2n +1－a 2n 0， 因此a 2n －a 2n －1=（2

1）2n －1=22)1(-n

.

因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n +1－a 2n <0，

所以a 2n +1－a 2n =－（2

1）2n =n n 21

22)1(+-. 所以a n +1－a n =n n 2)1(1+-.

于是a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）

=2

11)21

(12111

+--?+-n =1+21－221+…+2)1(31342)1(-?+=-n n

所以数列{a n }的通项公式为a n =34+31·12

)1(--n n

.