常微分方程4
河北专接本数学(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)
河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．方程xy’+3y=0的通解是( )．A．Cx—3B．CxexC．x—3+CD．x—3正确答案：A 涉及知识点：常微分方程2．xdy—ydx=0的通解是( )．A．y=B．y=CxC．y=CexD．y=Clnx正确答案：B 涉及知识点：常微分方程3．方程y”+4y’=x2一1的待定特解形式可设为( )．A．y=x(ax2+b)B．y=x(ax2+bx+c)C．y=ax2+bx+cD．y=ax2+b正确答案：B 涉及知识点：常微分方程4．微分方程y”=y的通解是( )．A．y=C1e2x+C2e—xB．y=C1ex+C2e—xC．y=C1x+C2e—xD．y=(C+x)e—x正确答案：B 涉及知识点：常微分方程5．函数y=3e2x是微分方程y”一4y=0的( )．A．通解B．特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：B 涉及知识点：常微分方程6．方程y”+y=cosx的待定特解形式可设为( )．A．y=axcosxB．y=acosxC．y=acosx+bsinxD．y=x(acosx+bsinx)正确答案：D 涉及知识点：常微分方程7．若某二阶常系数齐次徽分方程的通解为y=C1e—2x+C2ex．则该微分方程为( )．A．y”+y’=0B．y”+2y’=0C．y”+y’—2y=0D．y”一y’—2y=0正确答案：C 涉及知识点：常微分方程填空题8．微分方程xy’一ylny=0的通解为__________．正确答案：y=eCx 涉及知识点：常微分方程9．微分方程y”=2y’的通解为__________．正确答案：y=C1+C2e2x 涉及知识点：常微分方程10．微分方程(y+1)2+x3=0的通解为__________．正确答案：3x4+4(y+1)3=C 涉及知识点：常微分方程11．若f(x)=∫03xf()dt+ln2，则f(x)=__________．正确答案：f(x)=e2xln2 涉及知识点：常微分方程12．方程y”+5y’+4y=3—2x的待定特解形式为__________．正确答案：y*=ax+b 涉及知识点：常微分方程13．方程2y”+y’—y=2ex的待定特解形式为__________．正确答案：y*=aex 涉及知识点：常微分方程14．方程y”—7y’+6y=sinx的待定特解形式为__________．正确答案：y*=Asinx+Bcosx 涉及知识点：常微分方程15．方程2y”+5y’=5xx一2x一1的待定特解形式为__________．正确答案：y*=x(ax2+bx+c) 涉及知识点：常微分方程16．方程y”+3y=2sinx的待定特解形式为．正确答案：y*=Asinx+Bcosx 涉及知识点：常微分方程综合题17．求微分方程的通解或特解，y｜x=π=1正确答案：涉及知识点：常微分方程18．求微分方程的通解或特解y’+ycotx=5ecosx，=一4正确答案：ysinx+5ecosx=1 涉及知识点：常微分方程19．求微分方程的通解或特解y”一2y’—y=0正确答案：涉及知识点：常微分方程20．求微分方程的通解或特解y”一4y’=0正确答案：y=C1+C2e4x 涉及知识点：常微分方程21．求微分方程的通解或特解y”—9y=0正确答案：y=C1e—3x+C2e3x 涉及知识点：常微分方程22．求微分方程的通解或特解y”=x2正确答案：涉及知识点：常微分方程23．求微分方程的通解或特解y”—2y’+y=0正确答案：y=C1ex+C2xex 涉及知识点：常微分方程24．求微分方程的通解或特解y”一e3x=sinx正确答案：y=e3x—sinx+C1x+C2 涉及知识点：常微分方程25．求微分方程的通解或特解(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0正确答案：x4+2x2y2+y=C 涉及知识点：常微分方程26．求微分方程的通解或特解(x2一1)y’+2xy一cosx=0正确答案：涉及知识点：常微分方程27．求微分方程的通解或特解正确答案：x=Cesiny一2(1+siny) 涉及知识点：常微分方程28．求微分方程的通解或特解y’+2xy=，y｜x=0=1正确答案：涉及知识点：常微分方程29．求微分方程的通解或特解y’=e2x—y，y｜x=0=0正确答案：涉及知识点：常微分方程30．已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特征根为0和1，求该方程的通解．正确答案：y=C1+C2ex 涉及知识点：常微分方程31．设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex是某二阶常系数线性非齐次方程的三个解，求该微分方程的通解．正确答案：y=C1ex+C2x2+3 涉及知识点：常微分方程32．设曲线积分∫Lyf(x)dx+[2xf(x)一x2]dy在右半平面(x＞0)内与路径无关，其中f(x)在x＞0时有连续导数，且f(1)=1，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程33．求微分方程y”一4y’+3y=0的解，使得该解所表示的曲线在点(0，2)处与直线x—y+2=0相切．正确答案：涉及知识点：常微分方程34．设函数f(x)可微且满足关系式∫0x[2f(t)一1]df=f(x)一1，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程35．设f(x)为可微函数，可由∫0xtf(t)dt=f(x)+x2所确定，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程。
第四讲 常微分方程
2、特殊情形—高阶常系数线性微分方程的解法 【掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 并会解某些高于二阶的常系数齐次
线性微分方程． 】
（1）二阶常系数齐次线性微分方程及解法 称 y py qy 0 （ p, q 为常数）为二阶常系数齐次线性方程， 称 p q 0 为其特征方程。 1）当 p 4q 0 时，两特征值为 1 2 ，则原方程的通解为
66
新浪微博：考研数学_八哥 例11：设线性无关的函数 y1 x ， y2 x ， y3 x 均是二阶非齐次线性方程
y p x y q x y f x 的解， C1，C2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）
A． C1 y1 C2 y2 y3 C． C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3 B． C1 y1 C2 y2 (C1 C2 ) y3 D． C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3 【89】
71
新浪微博：考研数学_八哥 型二： f x pn x e sin x 或 f x pn x e cos x 其中 pn x 为 n 次多项式， a， 皆为实常数 1）若 a i 不是特征根，则令 y e Rn x cos x Tn x sin x 其中 Rn x a0 x a1 x
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第四讲
一、微分方程的概念
常微分方程
【了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念】 微分方程：一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程。 。 微分方程的阶：微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数， 微分方程的解：建立微分方程后，找出满足微分方程的函数，把这函数代入微分方程能使该 方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。 微分方程的通解： 如果微分方程的解中含有任意常数， 且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同，这样的解叫做微分方程的通解。 微分方程的特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。 求微分方程 y f ( x , y ) 满足初始条件 y | x x0 y 0 的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程 的初值问题，记作
四阶常系数齐次线性微分方程
四阶常系数齐次线性微分方程\[a_4y^{(4)}+a_3y^{(3)}+a_2y''+a_1y'+a_0y=0\]的微分方程，其中$a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$为常数，$y^{(4)}$表示$y$的四阶导数，$y''$表示$y$的二阶导数，$y'$表示$y$的一阶导数。
在本文中，我们将详细研究这种类型的微分方程及其解的性质。
一、特征方程和特征根对于四阶常系数线性齐次微分方程，我们可以构造其特征方程。
将$y=e^{rx}$代入方程，可得\[a_4r^4+a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0=0\]这是一个关于$r$的代数方程，称为特征方程。
通过求解特征方程，可以得到其根$r_1,r_2,r_3,r_4$，这些根被称为特征根。
二、特解的形式根据特征根的不同情况，我们可以分为以下几种情况：1.当特征根都是不相同的实数$r_1,r_2,r_3,r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。
2. 当有重根$r_1=r_2=r_3\neq r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x)=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{r_1x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。
3. 当有一对共轭复根$r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha -\beta i$和两个不相同实根$r_3, r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x) = e^{\alpha x}[(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) + C_3e^{r_3x} + C_4e^{r_4x}]\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。
常微分方程解法
常微分方程解法常微分方程是数学中的一门重要分支，研究描述自然界和社会现象中变化规律的方程。
解常微分方程的方法多种多样，下面将介绍常见的几种解法。
一、分离变量法分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，将变量分离。
2. 对两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
3. 左边的积分可以通过换元或者使用常见函数的积分公式进行计算。
4. 右边的积分可以通过与左边的积分结果进行比较来判断是否需要使用特殊的积分技巧。
5. 对左右两边同时积分后，解出方程中的积分常数。
6. 将积分常数代回原方程中，得到完整的解。
二、常数变易法常数变易法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 先求出对应的齐次方程dy/dx+p(x)y=0的通解。
2. 假设原方程的特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定的函数，v(x)是齐次方程的通解。
3. 将y=u(x)v(x)代入原方程中，整理后得到关于u(x)和v(x)的方程。
4. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的值。
5. 将u(x)的值代入v(x)中，得到特解。
6. 特解与齐次方程的通解相加，即得到原方程的完整解。
三、二阶齐次线性方程解法二阶齐次线性方程的一般形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0。
解题步骤如下：1. 求解对应的齐次方程d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0，其中r为未知数。
2. 求解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
3. 根据r1和r2的值，得到齐次方程的通解y=c1e^r1x+c2e^r2x，其中c1、c2为任意常数。
四、变量替换法变量替换法适用于形如dy/dx=f(y/x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 进行变量替换，令u=y/x，即y=ux。
常微分方程4.1
n(x) 是方程的通解呢?
函数组的线性相关性
定义4.1 P170
性质 ① ② 函数组的朗斯基行列式
定义4.2 P171
基本性质（同向量函数组）
基本解组与基本定理 定义4.3 方程(4.11)的定义在区间I上的n 个线性无关解称为(4.11)的基本解组。
例3 验证函数组 y1 cos x , y 2 sin x 是下列方程的基本解组.
y y 0
类似于方程组情形我们有 定理4.4 定理4.5 刘维尔公式
定理4.6 设 1( x ), 2 ( x ), , n ( x ) 是方程 (4.11)的任意个解，W(x)是它们的 朗斯基行列式，则对区间I上的任一 x0有 x x p1 ( t )dt W(x) W(x 0 )e 0
线性微分方程解的存在唯一性定理
定理4.1 如果方程(4.5)的系数p k ( x )( k 1,2, , n ) 及其右端函数f (x) 在区间I上有定义且连续 ， x 0 及任意的 y0 , y0 ,...,y0(n 1) ， 则对于I上的任一 方程(4.5)的满足初值条件(4.6)的解在I上存在 且唯一。
第四章 n阶线性微分方程
4.1 n阶线性微分方程一般理论
4.1.1线性微分方程的一般概念 例1 弹簧振动 设质量为m的物体B被系于挂在顶板 上一弹簧（质量忽略不计）的末端，现 在来求该物体在外力扰动时的运动微分 方程式。
d x dx m 2 cx f (t ) dt dt
2
例2 电振荡
R
i
E
电流i满足方程
C
L
d i di i L 2 R 0 dt dt C
2
n阶线性微分方程形式
实验4 常微分方程的数值解法
[内容] 1. 欧拉格式（或改进的欧拉格式），编写 相应的程序并能正确运行。 2. 经典四：先描述清楚问题。
实验4 常微分方程的数值解法 [要求]
1.程序的调试要耐心、细致；
2.语句应尽可能加注注释； 3.本次实验的各个程序(M文件)打包成压缩文件 （格式：学号姓名.RAR，如：200910119李娟.RAR）, 按时提交。
实验4 常微分方程的数值解法
[目的]
1.常微分方程差分算法的计算机实现；
2.进一步理解欧拉格式、改进的欧拉格式（预报—
校正系统）、龙格—库塔格式等算法，会运用这些方
法解决初步的常微分方程的求解问题； 3.进一步熟悉MATLAB数学软件的使用，锻炼程序 调试、排错的能力。
实验4 常微分方程的数值解法
4阶经典Runger-kutta格式解常微分方程
4阶经典Runger-kutta格式解常微分方程用Matlab软件:4阶经典Runger-kutta格式解常微分方程,y,f(x,y)考虑一阶常微分方程初值问题由Lagrange微分中值定理知道，存在y(x),y00,,(x,x)使得: nn，1yxyx,()(),n，1n,,y， ,,,()y(x),y(x)，h*y(,),y(x)，h*Kn1nn，h*,K,y(,),f(,,y(,))[x,x]其中称为在上的平均斜率 y(x)nn，1*[x,x]现在问题转化为如何对进行数值计算，可取在若干个点的斜率，或预Ky(x)nn，1rr,aKa,1报斜率值K,K,,,K的加权平均 ()作为的近似值。
设计K,,iii12ri,1,1i[x,x]K,K,,,K上若干个点斜率值或预报斜率值及加权系数使得差分格式 nn，112rry(x),y(x)，h*aK达到r阶，称为r阶Runge-kutta格式。
,，1nnii,1i 由此导出四阶经典Runge-kutta格式:y,y，h/6*(K，2K，2K，K)n，1n1234K,f(x，y)1nnK,f(x,y，h/2*K) 2n，1/2n1K,f(x,y，h/2*K)3n，1/2n2K,f(x,y，h/2*K)4n，1/2n3程序:(1)调用函数程序:function [x,y]=nark4(dyfun,xspan,y0,h) %用途:四阶经典Runge-Kutta格式解常微分方程y'=f(x,y),y(x0)=y0; %格式:[x,y]=nark4(dyfun,xspan,y0,h) %dyfun为函数f(x,y),xspan为求解区间[x0,xN],y0为初始值y(x0),h为步长，x 返回节点，y返回函数值解x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1k1=feval(dyfun,x(n),y(n));k2=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+h/2*k1);k3=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+h/2*k2);k4=feval(dyfun,x(n+1),y(n)+h*k3);y(n+1)=y(n)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endx=x';y=y';编写程序:>> dyfun=inline('y-2*x/y');>> [x,y]=nark4(dyfun,[0,1],1,0.1);plot(x,y,'-r') >> hold on>> grid on>> [x,y]=nark4(dyfun,[0,1],1,0.05); >> plot(x,y,'-g')>> hold on>> [x,y]=nark4(dyfun,[0,1],1,0.2);plot(x,y,'-b')。
第4章常微分方程数值解ppt课件
其中L为李普希兹条件。
总目录
本章目录
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.2.3 中心欧拉公式
y(x)的在x=x1处的中心差商式：y' ( x1 )
y(x2 ) y(x0 ) 2h
又y'(x1) f (x1, y(x1)) ，可得到y(x2)的近似值y2计算公式：
y2 y0 2hf ( x1 , y1 )
2k3
k4
k1 f xn , yn
(1)
k2
f
xn
1 2
h,
y
n
1 2
hk1
(2)
k3
f
xn
1 2 h, yn
1 2
hk
2
k4 f xn h, yn hk3
(4-16)
yn1
yn
h 8
k1
3k 2
3k3
k4
k1 f xn , yn
k 2
f
xn
1 3 h, yn
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.1 微分方程在化工中的应用
微分方程在化工中应用的简单而又典型的例子是 套管式换热器的稳态温度分布。首先作以下假设：
1、套管内侧为液体，其温度只随套管的长度改变 而改变，忽略温度的径向变化；套管环隙为蒸汽， 其温度在任何位置均为恒定值，可认为是饱和蒸 汽的温度。
2、忽略套管内侧流体的纵向热传导。
f
(xn1, yn1 )]
(4-10)
上式也称为改进的欧拉公式，它可合并成：
yn1
yn
h(f 2
(xn , yn )
第四章常微分方程参考答案(1)
爱启航在线考研第四章常微分方程4.1答案：应选（C ）解析：原方程写成23e 0+'+=yxyy ，分离变量有23e d =e d y x y y x --，积分得232e 3e --=x y C ，其中C 为任意常数.4.2答案：应填sin e=C xy ，其中C 为任意常数.解析：原方程分离变量，有d cos d ln sin =y xx y y x，积分得1ln |ln |ln |sin |ln =+y x C ，通解为ln sin =y C x 或sin e=C x y ，其中C 为任意常数.4.3答案：应填()2112e-=x y x 解析：原方程化为d 1d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x x y x .积分得通解211ln ||ln ||2y C x x =-，即122ex y Cx -=.由初值(1)1=y 解出12e C =得特解.故答案为：()2112e-=x y x .4.4答案：应选（B ）解析：原方程求导得()2()'=f x f x ，即()2()'=f x f x ，积分得2()e =x f x C ，又(0)ln 2=f ，故ln 2=C ，从而2()e ln 2=x f x .故应选（B ）.4.5解：曲线()=y f x 在点(,)x y 处的切线方程为()'-=-Y y y X x ，令0=X ，得到切线在y 轴截距为'=-xy y xy ，即(1)'=-xy y x .此为一阶可分离变量的方程，于是d 11d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x y x ，两边积分有1ln ||ln =-y C x x ，得爱启航线考研到e =x Cx y .又()11e y -=，故1=C ，于是曲线方程为e =xx y .4.6解：22d d 11+y y y x x x x =∆=+，得2d d 1=+y y x x ，变量分离2d 1d 1=+y x y x.两边积分得1ln arctan y x C =+.可得arctan exy C =又()0y =π，则C =π.所以arctan πexy =，()πarctan141πeπe y ==.4.7解：令=yu x，即=y ux ，则y u x u ''=+，又由题给表达式可得2y u u '=，即有u x u '+2u u =-d 1d 22=-x xu u ，两边积分得1ln 1ln ln u x C -=+，即ln(1ln ln 1=-+⇒-=⇒-=y Cu x C x xy C x x.4.8答案：应填2(ln ||)=+x y y C 解析：将x 看成未知函数，原方程改写为2d 1d 222+==+x x y x y xy y x这是一个伯努利方程，令2=z x ，有d 1d -=z z y y ，得11d d 2e ed (ln ||)-⎛⎫⎰⎰==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰y y y y x z y C y y C .故答案为：2(ln ||)=+x y y C ，其中C 为任意常数.4.9答案：应填()cos +x C x解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案.故答案为：()cos +x C x ，其中C 为任意常数.4.10答案：应填1爱启航在线考研解析：()2d 2d 22e 4e d e4ed x x xxy x x C x x C--⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰222e (21)e (21)e x x xx C x C --⎡⎤=-+=-+⎣⎦.当0=x 时，1=-y ，则0=C .可得21=-y x ，则()11=y .故答案为1.4.11答案：应填1解析：由11()()'+=y P x y Q x 及22()()'+=y P x y Q x 得()()1212()()()αββαβ'+++=+y y P x ay y Q x .又因12αβ+y y 满足原方程，故应有()()()β+=a Q x Q x ，即1αβ+=.故答案为1.4.12解：()sin d sin d e cos e d -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x gx x x C ()cos cos e cos ed -=+⎰xxx x C又()00g =，故()()cos cos cos 0e cos ed cos ed limlime lim xxxx x x x x Cx x Cg x xxx--→→→++==⋅=⎰⎰cos 0e lim cos e 1x x x -→⋅=.4.13解：2d 1d 2y x x y =-，则2d 2d x x y y =-，即2d 2d x x yy-=-()()2d 2d 222222111e e d e e d e 224yy y y y x y y C y y C y y C --⎛⎫⎰⎰⎡⎤=-+=-+=+++ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰.4.14解：令=tx u ，则u t x d d =，则代入到题给表达式101()d ()d xf tx t f u u x =⎰⎰，可得20()d 2()xf u u xf x x =+⎰.两边求导得()2()2()2f x f x xf x x '=++，则()2()2f x xf x x '+=-.从而11131d d 2222222()e (1)ed 33x x x x f x x C x x C x Cx ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰=-+-+=-+ ⎪⎝ ⎝⎭=⎪⎭⎰.爱启航在线考研4.15解：将原方程改写成211cos sin y x x yy '+=-，并令1z y =，则21z y y ''=-，且原方程化为sin cos z z x x '-=-.d de (sin cos )e d x x z x x x C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰e (sin cos )e d x x x x x C -⎡⎤=-+⎣⎦⎰()e sin ed cose d xxx x x x x C --=-+⎰⎰，其中()sin e d sin d e sin e e cos d x x x x x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰，故()e sin e e sin x x x z x C C x -=-+=-，即1e sin x C x y=-为所求通解.4.16答案：应选（C ）解析：因原方程阶数为2，通解中应包含两个任意常数（可求出通解为3126++x C C x ）；特解中不含有任意常数（3*6=x y 为特解）；36+x Cx 满足原方程，为原方程的解，故选项（A ），（B ），（C ）都不对，应选（C ）.4.17解：（1）令y p '=，则d d p y x ''=，从而2d 1d pp x=+，则2d d 1p x p =+积分得p arctan 1arctan p x C =+，故()1d tan d yp x C x=+=，则两边对x 积分1d tan()d y x C x =+⎰⎰，得()1121sin()d ln cos cos()x C y x x C C x C +==-+++⎰.（2）()10xy xy C '''=⇒=，即1y xC '=，故12ln y C x C =+.4.18解：由21e x y =，得212e x y x '=，()22124e x y x ''=+；由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，()22364e x y x x ''=+.因爱启航在线考研()()()22222211144224e 42e 42e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=.()()()()222232222244264e 412e 42e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-++-=.故1y 与2y 都是方程的解.又因21y x y =不等于常数，故1y 与2y 线性无关.于是方程的通解为()2112212e x y C y C y C C x =+=+.4.19答案：应选（A ）解析：根据高阶线性微分方程根的形式可知，选（A ）.4.20答案：应选（B ）解析：由题意可知，-1是特征方程二重特征根，1是特征方程的特征根，故特征方程为()()2110+-=r r ，即3210+--=r r r .故三阶常系数齐次线性方程为0y y y y ''''''+--=.故选（B ）.4.21答案：应选（C ）解析：：特征方程为2220++=r r 即2(1)1+=-r ，解得特征根为1,21i r =-±.而()e sin x f x x -=，i 1i w ±=-±λ是特征根，故特解的形式为*e (cos sin )x y x a x b x -=+.4.22答案：应填()*22e xy x ax bx c dx =+++解析：特征方程为220-=r r ，特征根10r =,22r =.对21()1=+f x x ，10λ=是特征根，所以()*21y x ax bx c =++.对22()exf x =，22λ=也是特征根，故有*22e =x y dx .从而***12=+y y y 就是特解.故答案为()*22e x y x ax bx c dx =+++.4.23解：所给微分方程的特征方程为256(2)(3)0++=++=r r r r ，特征根为12=-r ,23=-r .于是，对应齐次微分方程的通解为2312)e e xx y x C C --=+.爱启航在线考研设所给非齐次方程的特解为*e xy A -=.将*()y x 代入原方程，可得1A =.由此得所给非齐次方程得特解*e xy -=.从而，所给微分方程得通解为2312()e e e xx x y x C C ---=++，其中1C ,2C 为任意常数.4.24答案：应选（C ）解析：将()()000y y '==代入3e xy py qy '''++=，得()01''=y .()()()()()22000ln 122limlimlimlim 2x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+===='''.故选C.4.25答案：应填12e(cos sin )e xxC x C x ++解析：所给微分方程的特征方程为22201i -+=⇒=±r r r ，从而齐次通解为12e (cos sin )x C x C x +，设特解为e x A ，代入方程得e 2e 2e e 1x x x x A A A A -+=⇒=，即得特解为e x .非齐次通解为12e(cos sin )e xx C x C x ++.。
常微分方程(第四版)A1课件(白底)7-1w
d y f (x, y) 0
x y d x x y
• 即u= (x,y)为一阶齐次线性偏微分方程u f (x, y) u 0 （9）
x
y
• 的解。
• 反之，设u= u(x,y)为方程(9)的解，以方程(8)的任一解y(x)
代入并微分之得 • 即u(x,y(x))=const
d u u u d y u f (x, y) u 0
yi (x0 ) yi0 ,
i 1,
,n
（6）
• 其中fi在域G内满足解的存在唯一性条件。 如存在G内连续、可微且不恒为常数的函数
(x,y1,…,yn)，当yi用方程(6)的解yi =yi(x),i=1,…,n 代替时， 变为常数。则关系式 (x,y1,…,yn)=c (这里c为允许范围内的任意常数)称为方程组(6)
i1
,
yn0
)
yi
(
x0
,
y10
,
, yn0 ) 0
•
(x0, y10, , yn0 )G 的任意性知等式(10)在G内成立。
• 反之，若等式(10)在G内成立。则对方程组(6)的解有
•
或
d dx
(
x,1
(
x),
,n (x))
x
f1
y1
f2
y2
fn
yn
yi i ( x)
0
i1,2, ,n
• 其中φ为某函数。则φ= c是方程组(11)的首次积分。
14
例1 求解方程组
d d
y x
x2
2 xy y2
z2
d
z
2 xz
d x x2 y2 z2
dx
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常微分方程试题6
一，填空题（每题三分）
1，当_________时，方程0),(),(dyyxNdxyxM称为恰当方程，或称全微分方程。
2，函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果______________。
3,方程22yxdxdy定义在矩形区域R:22,22yx上 ,则经过点)0,0(的
解的存在区间是 _____________。
4,函数组ttteee2,,的伏朗斯基行列式为 _______ 。
5.若（t）和（t）都是xˊ= A(t) x的 基解矩阵，则（t）与（t）具有关系：
二，选择题（每题三分）
1，方程0d)ln(dlnyyxxyy是（ ）.
(A)可分离变量方程 （B）线性方程 (C)全微分方程 （D）贝努利方程
2，方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（ ）.
(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1 (C) x=±1 (D) y=1, x=1
3，n阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．
(A)n维 （B）1n维 （C）1n维 （D）2n维
4. 已知12(),()XtXt分别是方程组122120()(),()()310312XtXtXtXt 的解，
则下列函数为方程组122()()312XtXt的解是 ( ) .
（A）12()()XtXt （B）122()2()XtXt （ C ） 12()()XtXt （ D ）122()2()XtXt
5,下列函数组中为方程032yyy的基本解组的是 （ ）
(A)xxee3, （B）xxee3, （C）xxee3, （D）xxee3,
三，计算题（每题六分）
1，21ddxxyxy 2，0 )d( d)(3223yyyxxxyx
3，1)ln(yxy 4，1442'''tteexxx
5，xyy5sin5
四，若2114A试求方程组xAx的解12(),(0)t并求expAt。
五，证明：设(,)fxy及fy连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件
是它有仅依赖与x的积分因子.
六，证明
假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组mtceAxx'
有一解形如mtpet)(,其中c，p是常数向量。
答案:
一，填空题
1，xNyM 2，存在常数Ｌ>0，对于所有Ryxyx)(),,(2,211都有使得不等
式212,211)(),(yyLyxfyxf成立 3，4141x
4，ttttttttteeeeeeeee22242 5，()(),det0ttcc
二，选择题
1，B 2，A 3，A 4，C 5，C
三，计算题
1，解 当0y时，分离变量得xxxyyd1d2，等式两端积分得
Cxyln)1ln(21ln2
，即通解为 21xCy（C为任意常数）
2，解 由于xNxyyM2，所以原方程是全微分方程．取
)0,0(),(00yx
，原方程的通积分为103023dd)(Cyyxxyxyx，
即Cyyxx42242 （C为任意常数）
3， 令py，则原方程的参数形式为pyppxln1 由基本关系式 yxydd，
有ppppxyy)d11(dd2pp)d11(积分得Cppyln
得原方程参数形式通解为Cppyppxlnln1
4，解：特征方程0442，22,1，故有基本解组te2，tte2，
对于方程texxx44'''，因为1不是特征根，故有形如
t
Aetx)(
1
的特解，将其代入texxx2'''44，得teAet222，解
之得21A，对于方程144'''xxx，因为0不是特征根，
故有形如Atx)(3的特解，将其代入144'''xxx，得41A，所
以原方程的通解为4121)()(22212tttetetccetx
5，方程的特征根为01，52，齐次方程的通解为
xCCy5
21
e
，因为ii5不是特征根。所以，设非齐次方
程的特解为xBxAxy5cos5sin)(1，代入原方程，比较系数得
0252512525BA
BA
确定出 501A， 501B
原方程的通解为 )5sin5(cos501e521xxCCyx
四，解：221()69014p解得1,23此时 k=112n
1
2
v
1
1112
3322120()()(3)()!itit
ittteAEeti
由公式expAt= 10()!intiiteAEi得
33310111exp(3)01111ttt
ttAteEtAEetett
五，1 若该方程为线性方程则有()()dypxyQxdx（*）此方程有积分因子
()()pxdxxe
()x
只与x有关
2 若该方程有只与x有关的积分因子()x则
()()(,)0xdyxfxydx
为恰当方程,从而
(()(,))()xfxydxydx ()()fxyx
()()()()()x
fdyQxpxyQxx
其中()()()xpxx于是
方程化为(()())0dypxyQxdx即方程为一阶线性方程.-
六，证：设方程有形如mtpet)(的解，则p是可以确定出来的。
事实上，将mtpe代入方程得mtmtmtceApempe，因为0mte，所以
cApemp
，cPAmE)(（1），
又m不是矩阵A的特征值，0)det(AmE
所以1)(AmE存在，于是由（1）得cAmEp1)(存在。
故方程有一解mtmtpeceAmEt1)()(