广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试(二)数学理试题
广东省惠州市2016届高三上学期第二次调研考试理数试题解析(解析版)
惠州市2016届高三第二次调研考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}|24x A x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则A B 等于( )（A ）(1,2) （B ） (1,2] （C ） [1,2)（D ） [1,2]【答案】B 【解析】试题分析：集合{}|24xA x =≤= {}|2x x ≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-= {}|1x x >，∴AB =(1,2]，故选B ．考点：集合的交集运算. 2.在复平面内，复数11i i++所对应的点位于( ) （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A 【解析】 试题分析：111122i ii i i -++=+=+，故选A ． 考点：复数的运算.3.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率等于( )（A （B ）2（C（D【答案】C 【解析】试题分析：由渐近线知2ba=，则双曲线的离心率e ==，故选C ． 考点：双曲线的离心率.4.已知两个非零单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是( )（A ）1e 在2e 方向上的投影为cos θ （B ）2212e e = （C ）()()1212e e e e +⊥- （D ）121e e ⋅=【答案】D 【解析】试题分析：∵12,e e 为单位向量，∴[]1212cos ,1,1e e e e ⋅=∈-，故选D ． 考点：向量的运算.5.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积( ) （A ）29π （B ）30π （C ）292π（D ）216π【答案】A 【解析】试题分析：把三棱锥补为长方体，则对角线为外接球直径，∴()22222432R =++ 2429R ⇒=，∴外接球的表面积为2429S R ππ==，故选A ． 考点：三视图.6.惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( ) （A ）31.6岁 （B ）32.6岁 （C ）33.6岁 （D ）36.6岁【答案】C 【解析】试题分析：由面积和为1，知[)25,30的频率为0.2，为保证中位数的左右两边面积都是0.5，必须把[)30,35的面积0.35划分为0.250.1+，此时划分边界为0.2530533.570.35+⨯=，故选C ． 考点：频率分布直方图.7.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图像如图所示，为了得到()cos 22g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需将()f x 的图像( ) （A ）向左平移3π个长度单位 （B ）向右平移3π个长度单位 （C ）向左平移6π个长度单位 （D ）向右平移6π个长度单位【答案】D 【解析】试题分析：由图象知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=- 7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，∴()sin(2)3f x x π=+，为了得到()cos 2sin(2)2g x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ．考点：三角函数图象.8.若函数()x x f x k a a -=⋅-（a >0且1a ≠）在(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图像是( )【答案】C 【解析】试题分析：1()xxx xf x ka aka a -=-=-是奇函数，所以(0)0f =，即10k -=，所以1k =，即1()x x f x a a =-，又函数1,x x y a y a==-在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知1a >，∴函数()log ()log (1)a a g x x k x =+=+，故选C ．考点：函数的奇偶性和单调性.9.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有( ) （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5．若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个．∴共有342A ⨯ 343524120A +⨯=⨯=个，选B ． 考点：排列组合.10.已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则32x y x +++的取值范围是( )（A ）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】试题分析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即ABC ∆的边界及其内部，又因为31122x y y x x +++=+++，而12y x ++表示可行域内一点(),x y 和点()2,1P --连线的斜率，由图可知 12PB PC y k k x +≤≤+，根据原不等式组解得()()2,0,0,2B C ,所以0112111322202422y y x x ++++≤≤⇒≤≤++++535422x y x ++⇒≤≤+．故选B ．考点：线性规划.11.由等式4324321234123(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x ++++=+++++++4b +, 定义映射43214321),,,(b b b b a a a a f +++→，则→)1,2,3,4(f ( ) （A ）0 （B ）10 （C ）15 （D ）16 【答案】A 【解析】试题分析：由定义可知432432124321(1)(1)(1)x x x x x b x b x ++++=+++++ 34(1)b x b +++，令0x =得，123411b b b b ++++=，所以12340b b b b +++=，即(4,3,2,1)0f →，故选A ． 考点：映射的定义.12.如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得AC =学在Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =，据此可得cos 72的值所在区间为( )（A ）()0.1,0.2 （B ）()0.2,0.3 （C ）()0.3,0.4 （D ）()0.4,0.5【答案】C【解析】1cos 72=，令cos 72t =1t=，∴328810t t +-=．令32()881f t t t =+-，则当0t >时，2'()24160f t t t =+>，∴32()881f t t t =+-在()0,+∞上单调递 增．又∵()0.3)(0.40f f <，∴32()881f t t t =+-在()0.3,0.4上有唯一零点，∴cos 72的值所在 区间为()0.3,0.4．故选C ． 考点：函数零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】16【解析】 试题分析：0122310111()()|236S x x dx x x =-=-=⎰． 考点：积分的应用.14.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且60C ∠=︒，c == ．【答案】4 【解析】试题分析：由正弦定理2sin sin a cA C==，∴2sin a A =，sin(60)44sin A B+︒=⋅=．考点：正弦定理.15.如图所示程序框图，输出的结果是 ．【答案】4 【解析】试题分析：本程序框图中循环体为“直到型”循环结构， 第1次循环：011S =+=，2i =，121350a =⨯+=<； 第2次循环：134S =+=，3i =，33413a =⨯+=50<；第3次循环：41317S =+=，4i =，134176950a =⨯+=≥；结束循环， 输出4i =． 考点：程序框图.16.若数列{}n a 满足221n n a a p --=(p 为常数，2n ≥,n N *∈)，则称数列{}n a 为等方差数列，p 为公方差，已知正数等方差数列{}n a 的首项11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，12a a ≠，设集合12231111,1100,n n n n A T T n n N a a a a a a *+⎧⎫⎪⎪==+++≤≤∈⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭，取A 的非空子集B ，若B 的元素都是整数，则B 为“完美子集”，那么集合A 中的完美子集的个数为 ． 【答案】63 【解析】试题分析：根据等方差数列的即时定义得n a =112n n a a T +-==n T k = ()*k N ∈，则()22112k n +-=，由1100n ≤≤得k 可取1,2,3……6，即集合A 中有六个整数，于是A 中的完美子集的个数为62163-=个． 考点：新定义题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为2的等差数列，且31a +是11a +与71a +的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）21n a n =+；（2）224n n S n +=+-.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比中项、等比数列的前n 项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由{}n a 是公差为2的等差数列，且31a +是11a +与71a +的等比中项，知()()()2317111a a a +=++，再利用等差数列的通项公式将3a 和7a 用1a 和d展开，解方程得到1a 的值，从而得到等差数列的通项公式；第二问，利用第一问的结果，先计算n b 的值，代入n S 中，利用分组求和法，得到一个等差数列，一个等比数列，利用前n 项和公式求和化简. 试题解析：（Ⅰ）()()()2317111a a a +=++，又2d =，得1a =3，………………………2分∴1(1)21n a a n d n =+-=+，∴{}n a 的通项公式为21n a n =+……5分（Ⅱ）2n n b a =221n=⋅+121n +=+………………………………………………6分n S =231212121n +++++++231222n n +=++++…………8分24(12)2412n n n n +-=+=+--……………………………………………11分∴数列{}n b 的前n 项和n S 224n n +=+-…………………………………12分考点：等差数列的通项公式、等比中项、等比数列的前n 项和公式. 18.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的概率分布列和数学期望值． 【答案】（1）34；（2）分布列详见解析，66. 【解析】试题分析：本题主要考查等可能事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，分别求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解；第二问，先判断随机变量X 的所有取值情况有90、45、30、-15，然后分别求解出每种情况下的概率，即可列出分布列，最后利用1122n n EX x p x p x p =+++计算数学期望.试题解析：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为40328100++＝8041005=，…………………1分芯片乙为合格品的概率约为40296100++＝7531004=．…………………2分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为90,45,30,15-，…………………………4分(90)P X ==45×34＝35，(45)P X ==15×34＝320， (30)P X ==45×14＝15，(15)P X =-=15×14＝120，……………8分 所以随机变量X 的概率分布列为分3311()904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=．所以随机变量X 的数学期望值为66．…………………………………12分 考点：等可能事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，EA EB ⊥，BC CD AB 22==．（Ⅰ）求证：AB DE ⊥；（Ⅱ）求二面角C DE A --余弦值．【答案】（1）证明详见解析；（2）. 【解析】试题分析：本题主要考查用空间向量法求二面角的余弦值、直线与平面的判定、向量的运算等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，取AB 中点O ，连结EO ，DO ，利用等腰三角形的性质，可得EO AB ⊥，证明四边形OBCD 为正方形，可得AB OD ⊥，利用线面垂直的判定，可得AB ⊥平面EOD ，从而可得AB ED ⊥；第二问，先利用面面垂直的性质，得⊥EO 面ABCD ，再利用线面垂直的性质，得出OD EO ⊥，利用两两垂直关系建立空间直角坐标系，先求出平面CDE 和平面ADE 的法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥．……1分因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．……2分 又EODO O =，………………………………3分EO ⊂面EOD ，DO ⊂面EOD ，……………4分所以⊥AB 平面EOD ，又ED ⊂面EOD ，所以 ED AB ⊥．………………………………5分（Ⅱ）因面⊥ABE 面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由,,OD OA OE 两两垂直，建立如图的空间直角坐标系xyz O -．………………6分因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OD OA OE ==，设OD a =， 所以(),,0C a a -，(),0,0D a ，()0,0,E a ，()0,,0A a ．所以()0,,0DC a =-，(),0,DE a a =-，(),,0DA a a =-，………………7分 设平面CDE 的一个法向量为()1111,,n x y z =． 则1111100n DC a y a x a z n DE ⎧⋅=-⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-⋅+⋅=⋅=⎩⎪⎩， 所以可取()11,0,1n =……………………8分 设平面ADE 的一个法向量为()2222,,n x y z =．则222222000n DA a x a y a x a z n DE ⎧⋅=-⋅+⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-⋅+⋅=⋅=⎩⎪⎩，所以可取()21,1,1n =………………9分所以121cos ,n n ==分 由图可知二面角C DE A --为钝角，所以二面角的余弦值为．………12分 考点：用空间向量法求二面角的余弦值、直线与平面的判定、向量的运算. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =，且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x +=；（2）在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先设出椭圆的标准方程，根据离心率求出a 和c 的关系，进而根据抛物线的焦点求得c ，进而求得a ，则b 可得，进而求得椭圆的标准方程；第二问，若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断所求的点T 如果存在，只能是只能是()1,0， 当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线方程，与圆方程联立消去y ，根据韦达定理求得12x x +和12x x 的表达式，代入TA TB ⋅的表达式中，求得0TA TB ⋅=，进而推断TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过点T ()1,0.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，离心率c e a ==，…1分 又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===，………2分 ∴椭圆C 的方程是2212y x +=.……………………………………………3分 （Ⅱ）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.………………………………………4分由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0.………………………5分 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0.事实上，点()1,0T 就是所求的点. 证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点()1,0T .……………………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.………………………………7分由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=.…………………8分设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩…………………………………9分又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+…………………………………………………10分 ()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,=………………………………………………………………………11分TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. ………………………………12分 考点：圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题. 21.（本小题满分12分） 已知函数()22ln f x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()11f =-；（2）()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先对()f x 求导，利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性，从而可得函数()f x 的最大值；第二问，（1）先求导函数，利用函数()f x 与()g x x ax =+有相同的极值点，可得1x =是函数()g x 的极值点，从而可求a 的值；（2）先求出()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ⎡⎤∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦，()()22min 1,3,12,x g x g e⎡⎤∀∈==⎢⎥⎣⎦()()2max1033g x g ==，再将对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）()()()()211220x x f x x x x x+-'=-+=->，…………………………1分 由()0,0f x x '⎧>⎨>⎩得01x <<；由()0,f x x '⎧<⎨>⎩得1x >.()f x ∴在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. ……………………2分∴函数()f x 的最大值为()11f =-.…………………………………………3分（Ⅱ）()()2,1a ag x x g x x x'=+∴=-.①由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点， ∴()110g a '=-=，解得1a =.……………………………………………4分经验证，当1a =时，函数()g x 在1x =时取到极小值，符合题意. ……5分②()()2112,11,392ln 3f f f e e ⎛⎫=--=-=-+ ⎪⎝⎭，易知2192ln 321e -+<--<-，即()()131f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭. ()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ⎡⎤∴∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦………7分由①知()()211,1g x x g x x x'=+∴=-. 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]1,3x ∈时，()0g x '>.故()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在(]1,3上为增函数.()()11110,12,3333g e g g e e ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭，而()()11012,133e g g g e e ⎛⎫<+<∴<< ⎪⎝⎭. ()()()()222min max 110,3,12,33x g x g g x g e ⎡⎤∴∀∈====⎢⎥⎣⎦. …………………9分1当10k ->，即1k >时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12max 1k f x g x ⇔-≥-⎡⎤⎣⎦()()12max 1k f x g x ⇔≥-+⎡⎤⎣⎦.()()()()1211123f x g x f g -≤-=--=-， 312,1,1k k k ∴≥-+=->∴>又. ……………………………………………10分2当10k -<，即1k <时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12min 1k f x g x ⇔-≤-⎡⎤⎣⎦()()12min 1k f x g x ⇔≤-+⎡⎤⎣⎦.()()()()1210373392ln 32ln 333f xg x f g -≥-=-+-=-+， 34342ln 3,1,2ln 333k k k ∴≤-+<∴≤-+又. ………………………………11分综上，所求实数k 的取值范围为()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦.…………………12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）求证：DE BC DM AC DM AB ⋅=⋅+⋅．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查圆的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用三角形中的角的相等关系，A BOD ∠=∠，AEO EOD ∠=∠，AEO A ∠=∠，证明EOD ∆和BOD ∆为全等三角形，得直角存在，进而证明DE 是圆O 的切线；第二问，利用切线长定理和切割线定理，建立关联等式，并化简即可证明.试题解析：（Ⅰ）连结OE .∵点D 是BC 中点，点O 是AB 中点， ∴AC OD 21//=，∴A BOD ∠=∠，AEO EOD ∠=∠. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠. 在EOD ∆和BOD ∆中，∵OE OB =，EOD BOD ∴∆≅∆， ∴90OED OBD ∠=∠=，即OE ED ⊥.∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. ………………………………5分 （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .∵EOD ∆≌BOD ∆，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.∵,DE DB 是圆O 的切线，∴DE DB =.∴222DE DB DE BC DE =⋅=⋅. ∵OF AB OD AC 2,2==，∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，∴DF DM DE ⋅=2，∴AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅……………………10分 考点：圆的基本性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ>≤<． 【答案】（1）cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）5(2,)3π，)6π. 【解析】试题分析：本题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化、参数方程与普通方程的转化等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将直线的参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，即可化为普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=，可得极坐标方程；第二问，将曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=， 转化为普通方程2240x y x +-=，联立方程，解得交点坐标，再转化为极坐标.试题解析：（Ⅰ）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t0y --=，…2分将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.……4分化简得cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……4分（注意解析式不进行此化简步骤也不扣分）24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()221(0)f x x a x a =-++>，()2g x x =+． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）2a ≥.【解析】试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，当1a =，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式的解集，高考一轮复习：。
广东省广州市2016届高考数学二轮专题复习 复数检测试题
复数1.已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线z i z l =--22:的对称点的复数表示是…… ……………（ ）．A .i - .B iC .i -1D .i +1【答案】B 如图，直线l 即是线段OA 的垂直平分线，P 0的对称点即是(0,1)，其对应的复数为i .选B.2.若复数ii z -=1 (i 为虚数单位) ，则=z .因为1111i z i i i -==-=--，则z =3.若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ， (n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ）)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限．【答案】D 因为11lim 311()2n n a S a q a →∞===---，且3012a <-<，即3522a <<。
所以解得2a =或12a =（舍去）。
所以2a =。
所以1121255z i a i i ===-++，即对应坐标为21(,)55-，所以点在第四象限，所以选D. 4.已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．【答案】1a =-因为222()22a i a ai i i -=-+=，所以2122a ai i --=，即210a -=，且22a -=，解得1a =-。
5.已知复数z 满足(1)4i z i +=(i 为虚数单位)，则z =_________________.【答案】22i +由(1)4i z i +=得244(1)4444221(1)(1)22i i i i i i z i i i i --+=====+++-。
6.关于z 的方程20131012210iz ii i iz +-=+-（其中i 为虚数单位），则方程的解z =_______. 【答案】i 21- 由行列式得2013(1)(1)2222z z i i zi i i +--==+=+，即212i z i i +==-。
广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)
2016年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）1．复数z 满足(1i)1i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） ABC ．2D ．1 【答案】D 【解析】1i1i 11i 1iz --===++． 2．设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“x A B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 3．若1cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ） A．9- B．9 C ． 79-D ．79【答案】C 【解析】∵1cos()23πα-=，∴1sin 3α=． ∴27cos(2)cos 22sin 19πααα-=-=-=-． 4．若,x y 满足约束条件10,10,410.x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数13y z x +=+的最大值为（ ）A ．14 B ．23 C ．32D ．2 【答案】C 【解析】目标函数13y x ++点(,)x y 和点(3,1)--由图可知：当其经过点(1,5)A 即max 15133132y z x ++===++ ．5．如图所示的流程图中,若输入,,a b c 的值分别是2,4,5，则输出的x =（ ）A ．1B ．2C ．lg 2D ．10 【答案】A【解析】由题意可知a b c <<，∴lg 2lg51x =+=．6．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数()f x 的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 【答案】D【解析】cos y x =3π−−−−−→向右个单位所有点的纵坐标不变cos()3y x π=-−−−−−−−→横坐标变为原来的一半纵坐标不变cos(2)3y x π=-．∴()cos(2)3f x x π=-．对称轴方程为2,3x k k Z ππ-=∈，即1,26x k k Z ππ=+∈，故选A ．7．以直线y =为渐近线的双曲线的离心率为为（ ）A ．2 BC ．2D【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =，∴b a =a b =224c a =，或2243c a =． ∴2e =，或e =8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A ．310B ．35C ．25D ．15【答案】B【解析】2222322355()35C A A A P A ⋅⋅==． 9．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（ ）A ．2B ．83C ．65D ．85【答案】D【解析】∵AC AM BN λμ=+()()AB BM BC CN λμ=+++11()()22AB AD AD AB λμ=++-11()()22AB AD λμλμ=-++,∴112112λμλμ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 解得6525λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，85λμ+=． 10．已知函数ln ,0,()ln(),0.x x x f x x x x -- >⎧=⎨--+<⎩ 则关于m 的不等式11()ln 22f m <-的解集为（ ）A. 1(0,)2 B ．(0,2) C ．11(,0)(0,)22- D ．(2,0)(0,2)- 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于原点对称，∵0x >时，0x -<，()ln ()f x x x f x -=-+=， 同理：()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数．NA DC MB∵()f x 在(0,)+∞上为减函数，且1(2)ln 22ln 22f =--=-， ∴当0m >时，由11()ln 22f m <-，得1()(2)f f m<，∴12m >，解得102m <<． 根据偶函数的性质知当0m <时，得102m -<<．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）A ．48B ．16C ．32 D．【答案】D【解析】该几何体的直观图，如图：4S =⨯=h =，∴111633V Sh ==⨯=．12．设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()ln xf x f x x x '-=，11()f e e=，则()f x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值，也无极小值 【答案】D【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()()ln xf x f x x x '-=，∴2()()ln xf x f x xx x '-=， ∴()ln ()f x x x x '=，∴2()1ln 2f x x c x =+，∴21()ln 2f x x x cx =+．∵211111()ln 2f c e e e e e=+⨯=，∴12c =． ∴22111()ln ln (ln 1)0222f x x x x '=++=+≥，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()f x 在(0,)+∞上既无极大值也无极小值． 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分ADC BP13．高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为 ． 【答案】6π【解析】∵2222V r h r πππ===，∴1r =，∴侧面展开图的周长为2(2)6r πππ+=．14．过点(3,1)P 的直线l 与圆22:(2)(2)4C x y -+-=相交于,A B 两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾斜角等于 ．【答案】4π 【解析】∵AB 的长取最小值时，AB 垂直于PC ，∴1AB PC k k ⋅=-，即(1)1AB k ⋅-=-， ∴1AB k =，直线l 的倾斜角等于4π． 15．在1020161(2)x展开式中，4x 项的系数为____________．(结果用数值表示)【答案】180【解析】含有4x项为228048201612()180C x x ⋅⋅-=．另解：10102016201611(2)[2]xx=+，∴通项10110201612)rrrr T C x-+=，20161)rx的通项11()(4033)2016221(1)(1)r k r k kk kkk k rrT C xxC x---+=-=-∴1(4033)42010r k r ⎧-=⎪⎨⎪≤≤⎩，∴8r =． ∴4x 项的系数为82102180C =．16．如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =．当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为_________．【答案】D【解析】设AC CD x ==，在ABC ∆中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，∴213x ABC =+-∠，∵sin sin AC AB ABC ACB =∠∠,∴sin sin ABCACB x ∠∠=．在BCD ∆中，BD ====ABCD∵(0,)ABC π∠∈，∴sin()4ABC π∠-可以取到最大值1，∴max 1BD ==．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 【解析】（1）由题意得：12n n S a +=， ① 当2n ≥时，112(1)n n S a --=-，② ①-②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，∴12nn a a -=． 由①式中令1n =，可得11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=． （2）由12n n n a b n -=⋅得112233n n n T a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅++⋅1211222322n n -=⋅+⋅+⋅++⋅12312122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅01211222222221212nn nn n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=--⋅-∴(1)21nn T n =-⋅+．18．(本小题满分12分)某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．(1)某校高一年级有男生500人，女生4000人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的把握认为“综合素（2生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．（i ）求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；（ii ）记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则,25500500400m ==+．∴25205,20182x y =-==-=而45(1551015)91.1252.706301525208k ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯ ∴没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．（2）（i ）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为15152453+=，∴从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为23．记“所选3名学和g 中恰有2人综合素质评价‘优秀’学生”为事件A ，则事件A 发生的概率为：223224()()(1)339P A C =⨯⨯-=；（ii ）由题意知，随机变量2~(3,)3X B ，∴随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=．19．(本小题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方体．点,E F 分别在线段111,AA A B 上，且113,,24AE A F CE EF ==⊥． （1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CA CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值． 【解析】（1）取线段AB 中点M ，连接EM ，在正方体11ABB A 中，131,2AM A E ==，在Rt EAM ∆和1Rt FA E ∆中，1123AE AM A F A E ==， 又12EAM FA E π∠=∠=，∴1Rt EAM Rt FA E ∆∆∼，∴1AEM A FE ∠=∠，从而1112AEM A EF A FE A EF π∠+∠=∠+∠=，∴2FEM π∠=，即EF EM ⊥． 又,EF CE ME CE E ⊥=， ∴EF ⊥平面CEM ，∵CM ⊂平面CEM ， ∴ CM EF ⊥， 在等腰三角形CAB∆中，CM AB ⊥，又AB 与EF 相交，知CM ⊥平面1AB ， ∵CM ⊂平面ABC ，∴平面11ABB A ⊥平面ABC ；ACBA 1B 1C 1FE（2）在等腰三角形CAB ∆中，由,2CA CB AB ⊥=知CA CB ==1CM =，记线段11A B 中点为N ，连接MN ，由（1）知，,,MC MA MN 两两互相垂直， 以M 为坐标原点，分别以,,MC MA MN 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ，则111(1,0,0),(0,1,),(0,,2),(0,1,0),(1,0,2)24C E F A C ，设平面CEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则,CE EF ⊥⊥n n ，即102202332042x y z x y z y z y z ⎧-++=⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-+=⎪⎩，取2z =，则4,5y x ==，从而得到平面CEF 的一个法向量(5,4,2)=n ．1(1,1,2)AC =-，记直线1AC 与平面CEF 所成角为θ，则111||sin |cos ,|||||AC AC AC θ⋅=<>===⋅n n n 故直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值为18．20．（本小题满分12分）过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为4-．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 的坐标为(4,0)，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．【解析】（1）抛物线的焦点为(,0)2pF ， 故可设直线AB 的方程为2px my =+，由222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y pmx p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，∴24p -=-，由0p >，可得2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）【方法1】依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠．∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-， ∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴1121121151411APy y y y k x y --==---，∴直线AP 的方程为111214()1y y y x x y -=--， 令0y =，可得222111111114444y y x x y --=-=-=， ∴直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．【方法2】直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4M ． 证明如下：依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-，∴214y y =-．∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴,P M 两点连线的斜率为12112150141114PMy y y k y --==---,∴,A M 两点连线的斜率为1121104114AM y yk y x -==--, ∴PM AM k k =，∴P 、A 、M 三点共线， 即直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．21．（本小题满分12分）已知函数2()x ax f x e =，直线1y x e=为曲线()y f x =的切线．（1）求实数a 的值；（2）用m i n {,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数1()min{(),}(0)g x f x x x x=->，若函数2()()h x g x cx =-为增函数，求实数c 的取值范围．【解析】（1）对()f x 求导得222(2)()()x x x xx e x e x x f x a a e e ⋅-⋅-'=⋅=⋅，设直线1y x e=与曲线()y f x =切于点00(,)P x y ，则0200001(2x )1x x ax x e e x a ee ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，解得01a x ==．所以a 的值为1．（2）记函数211()()(),0x x F x f x x x x x e x=--=-+>，下面考察函数()y F x =的符号．对函数()y F x =求导得2(2)1()1,0x x x F x x e x-'=-->． 当2x ≥时()0F x '<恒成立．当02x <<时，2(2)(2)[]12x x x x +--≤=， 从而2222(2x)11111(x)11110x x x F e x e x x x-'=--≤--<--=-<． ∴()0F x '<在(0,)+∞上恒成立，故()y F x =在(0,)+∞上单调递减． ∵2143(1)0,(2)02F F e e =>=-<，∴(1)(2)0F F ⋅<． 又曲线()y F x =在[1,2]上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃惟一的0(1,2)x ∈，使0()0F x =∴00(0,),()0;(,),()0x x F x x x F x ∈>∈+∞<．∴020101()min{(),},xx x x xg x f x x x x x x e ⎧-<≤⎪⎪=-=⎨⎪>⎪⎩，，从而2022201-0()(),xx cx x x x h x g x cx x cx x xe ⎧-<≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩， ∴021120()(2)2,xcx x x x h x x x cx x xe ⎧+-<≤⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩，由函数2()()h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在(0,)+∞上连续不断知()0h x '≥在0(0,)x ，0(,)x +∞上恒成立．①当0x x >时，(2)20x x x cx e --≥在0(,)x +∞上恒成立，即22xxc e-≤在0(,)x +∞上恒成立．记02(),x x u x x x e -=>，则03(),xx u x x x e -'=>， 当x 变化时，()u x '，()u x 变化情况如下表：∴min 3()()(3)u x u x u e ===-极小． 故“22x x c e -≤在0(,)x +∞上恒成立”只需min312()c u x e ≤=-，即312c e ≤-． ②当00x x <<时，21()12h x cx x '=+-，当0c ≤时，()0h x '>在0(0,)x 上恒成立．综合（1）（2）知，当312c e ≤-时，函数2()()h x g x cx =-为增函数．故实数c 的取值范围是31(,]2e-∞-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是O 直径，C 在O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交O 于E ，30AEC ∠=．证明:（1）AF FO =；（2）若CF =AD AE ⋅的值．A【解析】（1）证明：连接,OC AC ， ∵30AEC ∠=，∴60AOC ∠=．∵OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形． ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，即AF FO =． （2）连接BE ，∵CF =AOC ∆为等边三角形,∴1AF =，4AB =． ∵AB 是O 直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠．∵BAE DAF ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆， ∴AD AFAB AE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32c o s (2s i n x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线l 的极坐标方程为sin()14πθ-=．(1)将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；FEBCAD O(2)由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值． 【解析】（1）圆C 的直角坐标方程为22(3)4x y -+=．∵222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===， ∴圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．(2) ∵直线l sin()14πθ-=，∴sin cos 1ρθρθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y -+=． 设直线l 上点P ，切点为A ，圆心(3,0)C ，则有22224PA PC AC PC =-=-， 当PC 最小时，有PA 最小．∵PC ≥=∴2PA ==，∴切线长的最小值为2．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；（2）正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求111a b b c+≥++. 【解析】23(2)(3)5x x x x --+≤--+=， 若不等式231x x m --+≥+有解， 则满足15m +≤，解得64m -≤≤. ∴4M =.（2）由（1）知正数,,a b c 满足24a b c ++=， ∴11111[())]()4a b b c a b b c a b b c+=++++++++11(1)(1144b c a b a b b c ++=++≥+=++， 当且仅当,2a c a b =+=时，取等号.。
2016年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
【选修 4-1：几何，△ABC 内接于⊙O，直线 AD 与⊙O 相切于点 A，交 BC 的延长线于点 D，过点 D 作 DE∥CA 交 BA 的延长线于点 E． （I）求证：DE2=AE•BE； （Ⅱ）若直线 EF 与⊙O 相切于点 F，且 EF=4，EA=2，求线段 AC 的长．
2．（5 分）（2016•广州一模）已知复数，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复 数所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出． 【解答】解：∵复数===1+2i，复数 z 的共轭复数=1 2i 所对应的点在第四象 限． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序
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平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是 ． 14．（5 分）已知双曲线 C：（a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B （0，b），且，则双曲线 C 的离心率为 ． 15．（5 分）（x2 x 2）4 的展开式中，x3 16．（ 5 分 ） 已 知 函 数 f（ x） =， 则 函的系数数g（为 x） =（2|用x|f数（字x）填写2 答的案零）点 个 数 为．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD⊥BC，AC=5，CD=5， BD=2AD． （Ⅰ）求 AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
广东省惠州市2016高三第二次调研考试数学理试题(WORD版,含解析)
惠州市2016届高三第二次调研考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，集合，则等于( )（A）(1,2) （B） (1,2] （C） [1,2) （D） [1,2]（2）在复平面内，复数所对应的点位于( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率等于( )（A）（B）（C）（D）（4）已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是( )（A）在方向上的投影为（B）（C）（D）俯视图主视图侧视图（5）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积( )（A）（B）（C）（D）（6）惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )（A）岁（B）岁（C）岁（D）岁（7）函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像( )（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位（8）若函数（0且）在上既是奇函数又是增函数，则的图像是( )（A）（B）（C）（D）（9）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有( )（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个（10）已知变量满足,则的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）（11）由等式,定义映射，则( )（A）0 （B）10 （C）15 （D）16（12）如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为( )（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省惠州市2016届高三上学期第二次调研考试数学(理)
惠州市2016届高三第二次调研考试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|24xA x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则AB 等于( )（A ）(1,2) （B ） (1,2] （C ）【答案】B 【解析】试题分析：集合{}|24xA x =≤= {}|2x x ≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-= {}|1x x >，∴A B =(1,2]，故选B ．考点：集合的交集运算. 2.在复平面内，复数11i i++所对应的点位于( ) （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A 【解析】 试题分析：111122i i i i i -++=+=+，故选A ． 考点：复数的运算.3.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率等于( )（A （B ）2（C （D 【答案】C 【解析】试题分析：由渐近线知2ba=，则双曲线的离心率e =，故选C ． 考点：双曲线的离心率.4.已知两个非零单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确．．．的是( )（A ）1e 在2e 方向上的投影为cos θ （B ）2212e e = （C ）()()1212e e e e +⊥- （D ）121e e ⋅=【答案】D 【解析】试题分析：∵12,e e 为单位向量，∴[]1212cos ,1,1e e e e ⋅=∈-，故选D ． 考点：向量的运算.5.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积( ) （A ）29π （B ）30π （C ）292π（D ）216π【答案】A 【解析】试题分析：把三棱锥补为长方体，则对角线为外接球直径，∴()22222432R =++2429R ⇒=，∴外接球的表面积为2429S R ππ==，故选A ．考点：三视图.6.惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )（A ）31.6岁 （B ）32.6岁 （C ）33.6岁 （D ）36.6岁【答案】C 【解析】试题分析：由面积和为1，知[)25,30的频率为0.2，为保证中位数的左右两边面积都是0.5，必须把[)30,35的面积0.35划分为0.250.1+，此时划分边界为0.2530533.570.35+⨯=，故选C ．考点：频率分布直方图. 7.函数()()s i n fx A xωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图像如图所示，为了得到()c o s 22g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将()f x 的图像( )（A ）向左平移3π个长度单位 （B ）向右平移3π个长度单位 （C ）向左平移6π个长度单位 （D ）向右平移6π个长度单位【答案】D 【解析】试题分析：由图象知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=- 7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，∴()sin(2)3f x x π=+，为了得到()cos 2sin(2)2g x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ． 考点：三角函数图象.8.若函数()x x f x k a a -=⋅-（a >0且1a ≠）在(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图像是( )【答案】C 【解析】试题分析：1()xxx x f x ka aka a-=-=-是奇函数，所以(0)0f =，即10k -=，所以1k =，即1()x x f x a a =-，又函数1,xx y a y a==-在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知1a >，∴函数()log ()log (1)a a g x x k x =+=+，故选C ．考点：函数的奇偶性和单调性.9.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有( ) （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5．若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个．∴共有342A ⨯ 343524120A +⨯=⨯=个，选B ．考点：排列组合.10.已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则32x y x +++的取值范围是( )（A ）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】试题分析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即ABC ∆的边界及其内部，又因为31122x y y x x +++=+++，而12y x ++表示可行域内一点(),x y 和点()2,1P --连线的斜率，由图可知12PB PC y k k x +≤≤+，根据原不等式组解得()()2,0,0,2B C ,所以0112111322202422y y x x ++++≤≤⇒≤≤++++ 535422x y x ++⇒≤≤+．故选B ．考点：线性规划.11.由等式4324321234123(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x ++++=+++++++4b +, 定义映射43214321),,,(b b b b a a a a f +++→，则→)1,2,3,4(f ( ) （A ）0 （B ）10 （C ）15 （D ）16 【答案】A 【解析】试题分析：由定义可知432432124321(1)(1)(1)x x x x x b x b x ++++=+++++34(1)b x b +++，令0x =得，123411b b b b ++++=，所以12340b b b b +++=，即(4,3,2,1)0f →，故选A ．考点：映射的定义.12.如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得AC =Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =，据此可得cos 72的值所在区间为( )（A ）()0.1,0.2 （B ）()0.2,0.3 （C ）()0.3,0.4 （D ）()0.4,0.5【答案】C 【解析】试题分析：1cos 72=，令co s72t =，1t=，∴328810t t +-=．令32()881f t t t =+-，则当0t >时，2'()24160f t t t =+>，∴32()881f t t t =+-在()0,+∞上单调递增．又∵()0.3)(0.40f f <，∴32()881f t t t =+-在()0.3,0.4上有唯一零点，∴cos 72的值所在区间为()0.3,0.4．故选C ． 考点：函数零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．【答案】16【解析】 试题分析：0122310111()()|236S x x dx x x =-=-=⎰． 考点：积分的应用.14.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且60C ∠=︒，c =，则c o ss i n a A B+= ．【答案】4 【解析】试题分析：由正弦定理2sin sin a cA C==，∴2sin a A =，sin(60)44sin A B+︒=⋅=．考点：正弦定理.15.如图所示程序框图，输出的结果是 ．【答案】4 【解析】试题分析：本程序框图中循环体为“直到型”循环结构， 第1次循环：011S =+=，2i =，121350a =⨯+=<； 第2次循环：134S =+=，3i =，33413a =⨯+=50<；第3次循环：41317S =+=，4i =，134176950a =⨯+=≥；结束循环， 输出4i =． 考点：程序框图.16.若数列{}n a 满足221n n a a p --=(p 为常数，2n ≥,n N *∈)，则称数列{}n a 为等方差数列，p 为公方差，已知正数等方差数列{}n a 的首项11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，12a a ≠，设集合12231111,1100,n n n n A T T n n N a a a a a a *+⎧⎫⎪⎪==+++≤≤∈⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭，取A 的非空子集B ，若B 的元素都是整数，则B 为“完美子集”，那么集合A 中的完美子集的个数为 ． 【答案】63 【解析】试题分析：根据等方差数列的即时定义得n a =112n n a a T +-==，令n T k = ()*k N∈，则()22112k n +-=，由1100n ≤≤得k 可取1,2,3……6，即集合A 中有六个整数，于是A 中的完美子集的个数为62163-=个． 考点：新定义题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为2的等差数列，且31a +是11a +与71a +的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）21n a n =+；（2）224n n S n +=+-. 【解析】试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比中项、等比数列的前n 项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由{}n a 是公差为2的等差数列，且31a +是11a +与71a +的等比中项，知()()()2317111a a a +=++，再利用等差数列的通项公式将3a 和7a 用1a 和d 展开，解方程得到1a 的值，从而得到等差数列的通项公式；第二问，利用第一问的结果，先计算n b 的值，代入n S 中，利用分组求和法，得到一个等差数列，一个等比数列，利用前n 项和公式求和化简.试题解析：（Ⅰ）()()()2317111a a a +=++，又2d =，得1a =3，………………………2分∴1(1)21n a a n d n =+-=+，∴{}n a 的通项公式为21n a n =+……5分（Ⅱ）2n n b a =221n=⋅+121n +=+………………………………………………6分n S =231212121n +++++++231222n n +=++++…………8分24(12)2412n n n n +-=+=+--……………………………………………11分∴数列{}n b 的前n 项和n S 224n n +=+-…………………………………12分考点：等差数列的通项公式、等比中项、等比数列的前n 项和公式.18.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的概率分布列和数学期望值． 【答案】（1）34；（2）分布列详见解析，66. 【解析】试题分析：本题主要考查等可能事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，分别求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解；第二问，先判断随机变量X 的所有取值情况有90、45、30、-15，然后分别求解出每种情况下的概率，即可列出分布列，最后利用1122n n EX x p x p x p =+++计算数学期望.试题解析：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为40328100++＝8041005=，…………………1分 芯片乙为合格品的概率约为40296100++＝7531004=．…………………2分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为90,45,30,15-，…………………………4分(90)P X ==45×34＝35，(45)P X ==15×34＝320， (30)P X ==45×14＝15，(15)P X =-=15×14＝120，……………8分 所以随机变量X 的概率分布列为分3311()904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=．所以随机变量X 的数学期望值为66．…………………………………12分 考点：等可能事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，EA EB ⊥，BC CD AB 22==．（Ⅰ）求证：AB DE ⊥；（Ⅱ）求二面角C DE A --余弦值．【答案】（1）证明详见解析；（2）. 【解析】试题分析：本题主要考查用空间向量法求二面角的余弦值、直线与平面的判定、向量的运算等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，取AB 中点O ，连结EO ，DO ，利用等腰三角形的性质，可得EO AB ⊥，证明四边形OBCD 为正方形，可得AB OD ⊥，利用线面垂直的判定，可得AB ⊥平面EOD ，从而可得AB ED ⊥；第二问，先利用面面垂直的性质，得⊥EO 面ABCD ，再利用线面垂直的性质，得出OD EO ⊥，利用两两垂直关系建立空间直角坐标系，先求出平面CDE 和平面ADE 的法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥．……1分因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．……2分 又EODO O =，………………………………3分EO ⊂面EOD ，DO ⊂面EOD ，……………4分所以⊥AB 平面EOD ，又ED ⊂面EOD ， 所以 ED AB ⊥．………………………………5分（Ⅱ）因面⊥ABE 面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由,,OD OA OE 两两垂直，建立如图的空间直角坐标系xyz O -．………………6分因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OD OA OE ==，设OD a =， 所以(),,0C a a -，(),0,0D a ，()0,0,E a ，()0,,0A a ．所以()0,,0DC a =-，(),0,DE a a =-，(),,0DA a a =-，………………7分 设平面CDE 的一个法向量为()1111,,n x y z =．则111110000n DC a y a x a z n DE ⎧⋅=-⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-⋅+⋅=⋅=⎩⎪⎩，所以可取()11,0,1n =……………………8分 设平面ADE 的一个法向量为()2222,,n x y z =．则2222220000n DA a x a y a x a z n DE ⎧⋅=-⋅+⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-⋅+⋅=⋅=⎩⎪⎩，所以可取()21,1,1n =………………9分所以12cos ,n n ==，………………………………………………11分 由图可知二面角C DE A --为钝角，所以二面角的余弦值为3-．………12分 考点：用空间向量法求二面角的余弦值、直线与平面的判定、向量的运算. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率2e =且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x +=；（2）在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先设出椭圆的标准方程，根据离心率求出a 和c 的关系，进而根据抛物线的焦点求得c ，进而求得a ，则b 可得，进而求得椭圆的标准方程；第二问，若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断所求的点T 如果存在，只能是只能是()1,0，当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线方程，与圆方程联立消去y ，根据韦达定理求得12x x +和12x x 的表达式，代入TA TB ⋅的表达式中，求得0TA TB ⋅=，进而推断TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过点T ()1,0.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，离心率c e a ==，…1分又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===，………2分 ∴椭圆C 的方程是2212y x +=.……………………………………………3分（Ⅱ）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.………………………………………4分由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0.………………………5分 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0.事实上，点()1,0T 就是所求的点. 证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点()1,0T .……………………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.………………………………7分由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=.…………………8分设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩…………………………………9分又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+…………………………………………………10分()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,=………………………………………………………………………11分TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. ………………………………12分考点：圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题. 21.（本小题满分12分） 已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()11f =-；（2）()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先对()f x 求导，利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性，从而可得函数()f x 的最大值；第二问，（1）先求导函数，利用函数()f x 与()g x x ax =+有相同的极值点，可得1x =是函数()g x 的极值点，从而可求a 的值；（2）先求出()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ⎡⎤∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦，()()22min 1,3,12,x g x g e ⎡⎤∀∈==⎢⎥⎣⎦()()2max 1033g x g ==，再将对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）()()()()211220x x f x x x x x+-'=-+=->，…………………………1分 由()0,0f x x '⎧>⎨>⎩得01x <<；由()0,0f x x '⎧<⎨>⎩得1x >.()f x ∴在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数. ……………………2分 ∴函数()f x 的最大值为()11f =-.…………………………………………3分（Ⅱ）()()2,1a ag x x g x x x'=+∴=-.①由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点， ∴()110g a '=-=，解得1a =.……………………………………………4分经验证，当1a =时，函数()g x 在1x =时取到极小值，符合题意. ……5分②()()2112,11,392ln 3f f f e e ⎛⎫=--=-=-+ ⎪⎝⎭，易知2192ln 321e -+<--<-，即()()131f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭. ()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ⎡⎤∴∀∈==-+==-⎢⎥⎣⎦………7分由①知()()211,1g x x g x x x'=+∴=-. 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]1,3x ∈时，()0g x '>. 故()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，在(]1,3上为增函数.()()11110,12,3333g e g g e e ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭，而()()11012,133e g g g e e ⎛⎫<+<∴<< ⎪⎝⎭. ()()()()222min max 110,3,12,33x g x g g x g e ⎡⎤∴∀∈====⎢⎥⎣⎦. …………………9分1当10k ->，即1k >时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12max 1k f x g x ⇔-≥-⎡⎤⎣⎦()()12max 1k f x g x ⇔≥-+⎡⎤⎣⎦.()()()()1211123f x g x f g -≤-=--=-，312,1,1k k k ∴≥-+=->∴>又. ……………………………………………10分2当10k -<，即1k <时，对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12min 1k f x g x ⇔-≤-⎡⎤⎣⎦()()12min 1k f x g x ⇔≤-+⎡⎤⎣⎦.()()()()1210373392ln 32ln 333f xg x f g -≥-=-+-=-+， 34342ln 3,1,2ln 333k k k ∴≤-+<∴≤-+又. ………………………………11分 综上，所求实数k 的取值范围为()34,2ln 31,3⎛⎤-∞-++∞ ⎥⎝⎦.…………………12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ． （Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）求证：DE BC DM AC DM AB ⋅=⋅+⋅．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查圆的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用三角形中的角的相等关系，A BOD ∠=∠，AEO EOD ∠=∠，AEO A ∠=∠，证明EOD ∆和BOD ∆为全等三角形，得直角存在，进而证明DE 是圆O 的切线；第二问，利用切线长定理和切割线定理，建立关联等式，并化简即可证明.试题解析：（Ⅰ）连结OE .∵点D 是BC 中点，点O 是AB 中点， ∴AC OD 21//=，∴A BOD ∠=∠，AEO EOD ∠=∠. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠. 在EOD ∆和BOD ∆中，∵OE OB =，EOD BOD ∴∆≅∆， ∴90OED OBD ∠=∠=，即OE ED ⊥.∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. ………………………………5分 （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .∵EOD ∆≌BOD ∆，∴DB DE =. ∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.∵,DE DB 是圆O 的切线，∴DE DB =.∴222DE DB DE BC DE =⋅=⋅. ∵OF AB OD AC 2,2==，∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，∴DF DM DE ⋅=2，∴AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅……………………10分考点：圆的基本性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ>≤<． 【答案】（1）cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）5(2,)3π，)6π. 【解析】试题分析：本题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化、参数方程与普通方程的转化等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将直线的参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，即可化为普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=，可得极坐标方程；第二问，将曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=， 转化为普通方程2240x y x +-=，联立方程，解得交点坐标，再转化为极坐标.试题解析：（Ⅰ）将直线:l 1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t0y --=，…2分 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.……4分化简得cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4分（注意解析式不进行此化简步骤也不扣分）24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()221(0)f x x a x a =-++>，()2g x x =+． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）2a≥.【解析】试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，当1a=，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式的解集，。
2016年广东省广州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
]
D．[
，
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9． （5 分） 一个六棱柱的底面是正六边形， 侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 1， 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ A．20π B． C．5π ） D．
10． （5 分）已知下列四个命题： p1：若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； p2：若 f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x） ； p3：若 ，则∃x0∈（0，+∞） ，f（x0）＝1；
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之 和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（
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）
A．2017×22015
B．2017×22014
C．2016×22015
D．2016×22014
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． （5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序 平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量 为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码 是 ． （a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 ，则双曲线 C 的离心率为 ．
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19． （12 分）如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，AC∩BD＝ O，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝2． （I）证明：平面 A1CO⊥平面 BB1D1D； （Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角 B﹣OB1﹣C 的余弦值．
20． （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦 点为 F1（﹣2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y＝kx（k≠0）与椭圆 C
广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题(含详细答案)
1 / 17广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合124xAx ，10B x x ，则U A B I e ＝（A ）12x x （B ）01x x（C ）01x x（D ）12x x （2）已知,a bR ，i 是虚数单位，若i a 与2i b 互为共轭复数，则2i=a b （A ）3+4i （B ）5+4i（C ）34i （D ）54i（3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f ”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若20:,10p x xx R ，则2:,10p x xx R （C ）若p q 为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”（4）已知f x 在R 上是奇函数,且满足4f xf x,当0,2x 时,22f xx ，则7f （A ）2（B ）2（C ）98（D ）98（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）22，（B ）40，（C ）44，（D ）08，（6）各项均为正数的等差数列n a 中，3694a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60（D ）72开始x=1，y=1，k=0s =x -y ，t=x+yx=s ，y=tk=k+1k ≥3输出(x ，y)结束是否。
广东省广州市2016届高考数学二轮专题复习 复数检测试题
复数1.已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线z i z l =--22:的对称点的复数表示是…… ……………（ ）．A .i - .B iC .i -1D .i +1【答案】B 如图，直线l 即是线段OA 的垂直平分线，P 0的对称点即是(0,1)，其对应的复数为i .选B.2.若复数ii z -=1 (i 为虚数单位) ，则=z .因为1111i z i i i -==-=--，则z =3.若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ， (n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ）)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限．【答案】D 因为11lim 311()2n n a S a q a →∞===---，且3012a <-<，即3522a <<。
所以解得2a =或12a =（舍去）。
所以2a =。
所以1121255z i a i i ===-++，即对应坐标为21(,)55-，所以点在第四象限，所以选D. 4.已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．【答案】1a =-因为222()22a i a ai i i -=-+=，所以2122a ai i --=，即210a -=，且22a -=，解得1a =-。
5.已知复数z 满足(1)4i z i +=(i 为虚数单位)，则z =_________________.【答案】22i +由(1)4i z i +=得244(1)4444221(1)(1)22i i i i i i z i i i i --+=====+++-。
6.关于z 的方程20131012210iz ii i iz +-=+-（其中i 为虚数单位），则方程的解z =_______. 【答案】i 21- 由行列式得2013(1)(1)2222z z i i zi i i +--==+=+，即212i z i i +==-。
2016届广州二模高考模拟试卷(文数)
2016届广州二模高考模拟试卷数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数321iz i i =+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） （A ）12i + （B ）1i - （C ）1i - （D ）12i -（2）已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z zB ∈∈+==,,，则B 的子集．．个数为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）8（3）已知2.12=a ，8.021-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2log 25=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ） c a b << （D ）a c b <<（4）已知向量(a =r ，()3,b m =r ，若向量b r 在a r方向上的投影为3，则实数m ＝（ ） （A ）3 （B ）3- （C（D）-（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且65101=-+a a a ，则11S =（ ）（A ）55 （B ）66 （C ）110 （D ）132 （6）已知34cos sin =+θθ)40(πθ<<，则θθcos sin -的值为（ ） （A ）32 （B ）32- （C ）31 （D ）31-（7）已知圆O ：224x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为（ ）（A） （B（C）（D）-或 （8）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）（A ）1007 （B ）2015（C ）2016 （D ）3024（9）已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的 一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）03=±y x （B ）03=±y x （C ）02=±y x（D ） 02=±y x （10）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2(1)4n n S a n++=，则n a =（ ） （A ）2n n （B ）12-⋅n n （C ）nn 2⋅ （D ）12n n - （11）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ） （A ）π42616++ （B ）π32616++ （C ）π42610++ （D ）π32610++（12）如图，偶函数()x f 的图象如字母M ，奇函数()x g 的图象如字母N ，若方程()()0=x g f ，()()0=x f g 的实根个数分别为m 、n（ ）（A ）18 （B ）16 （C ）14 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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荔湾区2015-2016学年第一学期高三调研测试（二） 数学（理科） 本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i为虚数单位,复数3(1)zi的虚部为（ ） A．2i B．i C．1 D．2 2．已知集合(,)3xAxyy，(,)2xBxyy，则AB（ ） A．0 B．1 C．0,1 D．1,0 3．下列函数中,既是偶函数,又在(0,)单调递增的函数是（ ） A．lgyx B．2xy
C．1yx D．lgyx 4．设,ab是两条不同的直线，,是两个不同的平面，a，b，
则//是ab的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．如图1，阅读程序框图，若输出的S的值等于55，那么在程序框图中
的判断框内应填写的条件是（ ） A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞11 6．从数字1、2、3、4、5、6中随机取出3个不同的数字构成一个三位数，
则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45 7．等差数列}{na的前n项和为nS，若当首项1a和公差d变化时，31011aaa++是一个定值，则
下列选项中为定值的是（ ） A．17S B．16S C．15S D．14S 8．在数列{}na中，11a=，()()111nnnaa+=-+，记nS为{}na的前n项和，则2015S=（ ） A.－1008 B．－1007 C．－1006 D．－1005 9．有四个关于三角函数的命题:
1p:xR,22sin cos 122xx+=;
2p:(),cos=coscosxyRxyxy、$?-;
3p:0,x,1cos2sin2xx;
4p:,tan =cos xRxx$?.
其中真命题的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．某几何体的三视图如图2所示，则这个几何体外接球的表面积为（ ） A．20π B． 40π C．50π D.60π 11．已知函数322()364,(0)fxxaxaaa有且仅有一个零点0x,若00x，则a的取值范围是（ ） A. 0,1 B．1,2 C.0,2 D． 0,1
12．已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且321PFF，椭圆的
离心率为1e，双曲线的离心率为2e，则2221
31ee( )
A．5 B．4 C．3 D．2
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13--21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22--24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分) 13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，2),B(7，5),C在线段AB上，且满足2ACBC，
则OC的长等于________． 14．过点P（2，3）作圆22C: 4xy+=的切线，切点分别为AB、，则直线AB的方程为_____________． 15．设,xy满足约束条件 14,10xxy,则224zxy的取值范围是___ ___． 16．在521xx的展开式中，5x的系数是__________．
三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，且满足2cos2bCac． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若ABC的面积为3，求b的取值范围．
18．（本小题满分12分）某售报亭每天以每份0.5元的价格从报社购进某日报，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩余报纸以每份0.1元的价格退回报社.售报亭记录近100天的日需求量,绘出频率分布直方图如图所示．若售报亭一天进货数为400份，以X（单位：份，150550X）表示该报纸的日需求量,Y(单位:元)表示该报纸的日利润． （Ⅰ）将Y表示为X的函数； （Ⅱ）在直方图的日需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 日需求量落入该区间的频率作为日需求量取该区间中点值的概率，求利润Y的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）如图3，在三棱柱111ABCABC中，
底面ABC为正三角形，且113AB，12AA,点A在下底面的射影是111ABC的中心O． （Ⅰ）求证：111AABC； （Ⅱ）求二面角111BAAC的平面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知,AB的坐标分别为(2, 0)，
(2, 0).直线,APBP相交于点P，且它们的斜率之积为34．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设Q的坐标为1,0,直线AP与直线2x交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PQ的位置关系，并加以证明． 21．（本小题满分12分）已知m为实数，函数1lnfxmxx． （Ⅰ）当0,1x时，讨论函数fx的单调性；
（Ⅱ）若120xx，求证：21221lnlnxxxxx．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。作答时请用2B铅笔将所选题号后的方框涂黑，并在括号内写上该题号。 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图4，圆O的直径AB＝8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P． （Ⅰ）求证：PECEBE2； （Ⅱ）若EC＝25，求PB的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中, 直线l经过点P(2,1),且倾斜角为45°,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程是2sin2cos0,直线l与曲线C在第一、四象限分别交于A、B两点． （Ⅰ）写出直线l的参数方程,曲线C的普通方程； （Ⅱ）求:APBP的值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数212)(xxxf． （Ⅰ）解不等式0)(xf； （Ⅱ）若存在实数x，使得axxf)(，求实数a的取值范围． 2015-2016学年第一学期高三调研测试（二） 理科数学参考答案与评分标准 说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D A C B C A A C B B
三、填空题(本大概题共4小题，每小题5分,共20分) 13. 32 14．2340xy 15. 9,172 16. 51 三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解：⑴由正弦定理得2sincos2sinsinBCAC， …………1分 在ABC中，sinsin()sincossincosABCBCCB， …………3分 sin(2cos1)0CB， …………4分
又0,sin0CC，1cos2B， …………5分
又 0,3BB． …………6分 ⑵1sin3,42ABCSacBac， …………8分 由余弦定理得222222cos4bacacBacacac， ………10分 当且仅当2ac时，“＝”成立， 2b为所求． …………12分
18解：（Ⅰ）当150400X时， …………1分 0.50.44000.9160YXXX， …………3分
当400550X时， …………4分 0.5400200Y， …………5分