推理与证明原(家教,培训机构,教案)

个性化辅导教案 1 学科：数学 任课教师：杨老师 授课时间：2013年 03月24日（星期日） 8:00—10:00

姓名 徐柏林 年级：高二 教学课题 推理与证明

阶段 基础（ ） 提高（√） 强化（ ） 课时计划 第（2）次课，共（）次课

教学 目标

知识点：合情推理、演绎推理、合情推理与演绎推理的区别与联系、直接证明、间接证明、数学归纳法

重点：合情推理、演绎推理、间接证明、数学归纳法 综合能力：知识迁移能力、逻辑推理、类比思想、理解和记忆、灵活运用所学知识解决问题 教学方法 教法：启发式教学、合作探索、讲练结合法

辅助教具：演算纸、笔 课前 检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________

一、课前小测

3.(09·浙江) 观察下列等式：

1535522CC

，

1597399922CCC

，

159131151313131322CCCC

，

1591317157171717171722CCCCC

，

……… 由以上等式推测到一个一般的结论：

对于*nN，1594141414141nnnnnCCCC4121212nnn.

8．椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点，∠F1PF2=θ，则S△F1PF2=b2·tan θ2，类比椭圆的这个性质，双曲线x2a2 - y2b2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，点P为双曲线上任意一点，且∠F1PF2=θ，则S△F1PF2=___________．

二、知识点总结 知识点一：合情推理 1.归纳推理 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的一般步骤： ①通过观察一系列情形发现某些相同的性质； ②从已知的相同的性质中推出一般性命题． 2.类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论

知识点二：演绎推理 是一种由一般到特殊的推理过程，是一种必然性推理．推理是演绎推理的一般模式是“三段论”： 个性化辅导教案 2 ①大前提——已知的一般性推理，即M是P； ②小前提——所研究的特殊情况，即S是M； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断，即S是P． 用集合的知识可以理解为：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所 有元素都具有性质P． 知识点三：合情推理与演绎推理的区别与联系 1.区别 ①从定义上看，合情推理与演绎推理的区别是结论是否为真．合情推理的结论可能为真，但演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，其结论必定为真． ②从推理形式上看，合情推理是由特殊到一般（归纳推理），或由特殊到特殊（类比推理）的认识过程，而演绎推理是由一般到特殊的认识过程． 2.联系 二者相辅相成，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理． 用） 知识点四：直接证明 1.综合法 (1) 综合法的思维步骤为：

其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论. (2) 综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”即“由因导果”. 2.分析法 (1) 分析法的思维步骤为：

其中用Q表示要证明的结论. (2) 分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知，即“执果索因.

知识点五：间接证明 反证法 (1)反证法的主要步骤： ①反设； ②归谬； ③判断； ④结论． (2)反证法导出的矛盾主要有： ①与假设矛盾； ②与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾； ③与公认的简单事实矛盾． 知识点六：数学归纳法 个性化辅导教案 3 用数学归纳法证明命题的步骤： (1)验证n取第一值时命题成立； (2)假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立； (3)结论.

三、经典例解 题型一：类比推理 例2-1 已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A′，B′，C′，则''AAOA+''BBOB+''CCOC=1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”.

''AAOA+''BBOB+''CCOC=ABCOBCSS+ABCOCASS+ABCOABSS=ABCABCSS=1.

请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明. 【解析】结论：在四面体V—BCD内任取一点O，连结VO、DO、BO、CO并延长，分别交四个面于E、F、

G、H点，则VEOE+DFOF+BGOG+CHOH=1.

证：在四面体O—BCD与V—BCD中，VEOE=hh1=hShSBCDBCD31311=BCDVBCDOVV



.

同理，有DFOF=VBCDVBCOVV；BGOG=VCDBVCDOVV；CHOH=VBDCVBDOVV. ∴VEOE+DFOF+BGOG+CHOH=BCDVVBDOVCDOVBCOBCDOVVVVV=BCDVBCDVVV=1. 【点拨】本题考查二维平面到三维空间的类比推理，解答时不能只满足结论形式上的相似，必须保证结论的正确性. 本题只需从计算平面面积着眼，从计算空间体着手，将面类比线、体类比面即可、体积类比面积即可. （6）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足关系______________________． 解析：S2△BCD= S2△ABC+ S2△ACD+ S2△ADB；注意形式上的类比与思想方法上的类比．

（7）已知命题：若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b(m≠n,m,n∈N*)，则am+n= bn-amn-m．现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列，且bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm+n=_____． 解析：设{an}公差为d，则d= an-amn-m = b-an-m，∴am+n=am+nd=a+n·b-an-m = bn-amn-m．

类比此推导方法易知：设{bn}公比为q，由mnmnqbb知，mnaqb，∴mnabq，

∴mnmnmnnmnmabaabbb．故应填mnmnab． （8）在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+„+an=a1+a2+„+a19-n (n∈N*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式_______________成立． 解析：b1b2„bn=b1b2„b17-n，用一般到特殊的思考方法。a1+a2+„+an=a1+a2+„+a19-n不好理解,不妨假定,n=18，这时上面的等式变为:a2+a3+„+a17+a18=0，a2+a18=a3+a17=„=a9+a11=2a10=0，可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质．若给出a9=0,可以引出a1+a17=a2+a16=a3+a15=„ 个性化辅导教案 4 =a8+a10=2a9=0那么应有下面的等式:a1+a2+„+an=a1+a2+„+a17-n类比等比数列:b9=1,b1·b17=b2·b16=„

=b8·b10=b92=1．∴b1·b2„bn=b1·b2„b17-n(n<17,n∈N*)． （9）过双曲线x2a2 - y2b2 =1 (a>0,b>0)的右焦点F(c,0)的直线交双曲线于M、N两点,交y轴于P点，设PM→=λMF→,PN→

=μNF→,则有λ+μ为定值2a2b2；类比双曲线这一结论，在椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0)中，设PM→=λMF→，PN→=μNF→，则有λ+μ

为定值_____________． 解析：- 2a2b2；可以用特殊值法，取x轴，得到定值，再证明即可．

（10）函数y=sinx (0质，设角A,B,C是△ABC的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值为___________． 解析：本组题主要是数学中“升降维”的思想.从二元推广为三元，得f(x1)+f(x2)+f(x3)3≤f(x1+x2+x33)， 所以

sinA+sinB+sinC≤3sinA+B+C3 = 332．

【变式】设等差数列{}na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}nb的前n项积为nT，则4T，________，________，1612TT成等比数列．

【解析】812

48,

TT

TT

题型二：归纳推理 例2-2 观察下列等式：

,1211252161,301312151,412141,612131,21212456153451423413123212nnnninnnninnninnninnininininini



