数学同步新导学案人教B必修五课件：第一章 解三角形 1.1.2 第2课时
高中必修五导学案 第一章 解三角形(含答案)
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理 【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习过程】1、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？2、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a bA B=， 同理可得sin sin c bC B=，从而sin sin a bA B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a bA B =sin c C=． （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．【学习评价】1．满足a =4，A=045，B=060的△ABC 的边b 的值为（ ） A 62 B 232+ C 13+ D 132+2．△ABC 中6=a ，36=b ，A=030，则边c = （ ） A 6 B 12 C 6或12 D 363．在△ABC 中，若C B A cos sin 2sin ⋅=，C B A 222sin sin sin +=，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B 。
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)
1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
(人教新课标)高二数学必修5第一章 解三角形《正、余弦定理》精品课件
正弦定理的应用举例 一、已知两个角和一边
变式训练一
二、已知两个边和其中一边的一个对角
变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； (2)a＝10，b＝20，∠A＝80°； (3)b＝10，c＝5，∠C＝60°； (4)a＝2，b＝6，∠A＝30°.
余弦定理的由来 /edu/ppt/ppt_playVideo.action?medi aVo.resId=55c96ff1af508f0099b1c5b6
高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度 /edu/ppt/ppt_playVideo.action? mediaVo.resId=55c97049af508f0099b1c5bc
A 5620
a 2 c 2 b 2 134.6 2 161.7 2 87.82 cosB 0.8398 , 2ac 2 134.6 161.7
B 3253
C 180 A B 180 5620 3253 9047
解三角形:
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形素的过程叫做解三角形. 说明： 根据初中学习的三角形全等，我们知道确定一个三角需要
三个条件，所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一 边的对角或者两角和一边，才可以进一步确定三角形其它 的边和角.
回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B sin A c c
两等式间有联系吗？
B
A c a b
a b c sin A sin B
sin C 1
C
a b c sin A sin B sin C
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_2
第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。
主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。
因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。
本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。
对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。
二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。
这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。
在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。
学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。
三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。
（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。
（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。
四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。
难点：测量方法的寻找与计算。
五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。
六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。
知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。
2019-2020版数学同步新导学案人教A必修五讲义：第一章 解三角形1.1.2 第2课时 Wor
姓名，年级：时间：第2课时正弦定理和余弦定理学习目标1。
熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式。
2。
能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一正弦定理、余弦定理及常见变形1．正弦定理及常见变形（1）错误!＝错误!＝错误!＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径）；（2)a＝错误!＝错误!＝2R sin A；(3）sin A＝a2R，sin B＝错误!,sin C＝错误!。
2．余弦定理及常见变形(1)a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C；(2）cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝a2＋b2－c22ab.知识点二有关三角形的隐含条件（1）由A＋B＋C＝180°可得sin（A＋B)＝sin C，cos(A＋B）＝－cos C,(2)由大边对大角可得sin A＞sin B⇔A＞B。
（3）由锐角△ABC可得任意两内角之和大于错误!，进而可得sin A＞cos B.1．当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( ×）2．△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B。
（√）3．在△ABC中，恒有a2＝（b－c）2＋2bc(1－cos A）．（√）4．△ABC中，若c2－a2－b2>0,则角C为钝角．（√)题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC中,若c cos B＝b cos C,cos A＝错误!，求sin B的值．解由c cos B＝b cos C，结合正弦定理，得sin C cos B＝sin B cos C，故sin（B－C）＝0，∵0〈B<π，0〈C〈π，∴－π<B－C〈π,∴B－C＝0，B＝C，故b＝c。
∵cos A＝错误!,∴由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2·错误!＝错误!b2,得3a2＝2b2，再由余弦定理，得cos B＝错误!，故sin B＝错误!.引申探究1．对于本例中的条件，c cos B＝b cos C，能否使用余弦定理?解由余弦定理，得c·错误!＝b·错误!.化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2,∴c2＝b2，从而c＝b.2．本例中的条件c cos B＝b cos C的几何意义是什么?解如图，作AD⊥BC，垂足为D。
人教版高中数学必修五课堂学案配套课件 第一章 1.1.2 第2课时
类型三 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式 例3 在△ABC中，有 (1)a＝bcos C＋ccos B； (2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A， 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.
证明
反思与感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径： 一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦 定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转 化为角的关系.
问题导学
知识点一 余弦定理及其推论
1.a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ，c2＝__a_2_＋__b_2－_____
2abcos C .
b2＋c2－a2
c2＋a2－b2
a2＋b2－c2
2.cos A＝ 2bc ；cos B＝ 2ca ；cos C＝ 2ab .
1234
解析 答案
规律与方法
1.已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求 出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余 弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法， 采用余弦定理较简单. 2.对所给条件进行变形，主要有两种途径 (1)化边为角. (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换.
解答
引申探究 本例条件不变，用正弦定理求c.
解答
反思与感悟 相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三 角形解的个数，解出几个是几个.
跟踪训练 1 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A＝
π3，a＝ 3，b＝1，则 c 等于
A.1
√B.2
C. 3－1
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学案新人教B版必修5(2021学年)
高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理１.1．２余弦定理学案新人教Ｂ版必修５编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章解三角形１.１正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理学案新人教B版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.１。
２余弦定理1.理解用向量的工具推导余弦定理的过程，并能初步运用余弦定理解斜三角形.2．掌握三角形的面积公式．3.能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算有关的三角形问题．1.余弦定理（1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具；（２)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例；（3)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一;(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理知,三角形是确定的,所以解也是唯一的.【做一做1－1】在△ABC中，AB=１,BC=2,∠Ｂ=60°,则AＣ的长为_＿__＿_＿_.【做一做1-2】在△ABＣ中，ａ２-ｃ2＋b２＝aｂ,则∠Ｃ＝_____＿__。
2.余弦定理的应用(1）利用余弦定理判断三角形的形状由余弦定理，当边ｃ为最大边时,如果c2=ａ２+b2，则△ABC为___＿三角形;如果c2＜ａ2+b2,则△ABC为____三角形；如果ｃ2＞ａ2+b2，则△ABＣ为___＿三角形.(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题①已知三边,_＿___＿__；②已知两边和它们的夹角,求___＿＿＿和其他___＿__;③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时，也可用余弦定理，如已知a，ｂ,Ａ,可先用余弦定理___＿____＿_,求出c，此时c的个数即为三角形解的个数.使用余弦定理求角时,一般在判断三条边的大小后,可先求最大角,也可先求最小角,如果最大角小于６０°或最小角大于6０°,可知三角形无解．【做一做２-１】在△ABC中,若siｎＡ∶sin Ｂ∶sin C=2∶3∶4，则该三角形的形状为( ）.A.直角三角形B.等边三角形Ｃ．锐角三角形Ｄ．钝角三角形【做一做2-2】在△AＢC中,已知c=２a cos B,则△ABＣ的形状为__＿___＿_三角形．３.三角形的面积公式（1）S＝错误!a·h a（h a表示ａ边上的高)；（２)S=错误!ab sin C＝错误!_＿___＿=错误!___＿__；（3)S=１２r(a+b+c）（ｒ为三角形的内切圆半径)；（4）S＝错误!（其中p＝错误!（a＋b＋c））.【做一做3－1】在△ＡBC中,角Ａ,B，C的对边边长分别为ａ,b,c，且a＝１，∠B=45°，S=2,则c=__＿_。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(二)课件 新人教B版必修5
1.2 应用举例(二)
5
预课当习堂导讲检学义测
∴sin∠ABC＝ACB·sCin
A＝2·si栏CnON61目T2EN0索T°S＝PA引G2E2，
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD 中，由正弦定理，得sin∠BDBCD＝sin∠CDCBD， ∴sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD＝10t1·s0in 31t20°＝12.
1.2 应用举例(二)
10
预课当解习堂导讲检设学义测∠AOB＝α，在△AB栏C中目，索由引余弦定理， 挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
得AB2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)， 于是，四边形OACB的面积为 S＝S△AOB＋S△ABC＝12OA·OB·sin α＋ 43AB2
四边形 OACB 面积最大.
规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会 审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中 进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.
1.2 应用举例(二)
12
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
跟踪演练2 如图所示，在△CAONBTCEN中TS P，AGE已知BC＝15，AB∶AC＝
第一章《解三角形》课件(新人教B版必修5)ppt培训课件
Q
P
105o
C
v
B
4 5 o 10
4v
A
解 ： 由 正 弦 定 理 得 ， B C A B s in C A Bs in A C B
Hale Waihona Puke sin vtCABsin41v2t0o
解得sinCAB 3 8
cosCAB 61 8
s i n P A B s i n （ C A B 4 5 o ） s i n C A B c o s 4 5 o c o s C A B s i n 4 5 o
本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
解三角形 应用举例
2020/6/29
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
求解三角形应用题的一般步骤：
1、分析题意，弄清已知和所求； 2、根据提意，画出示意图； 3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； 4、正确运用正、余弦定理。
方向角
C B
方位角 A
图2
2020/6/29
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
方向角和方位角的区别
南偏东45o
西
北
东
45o
南
方向角 一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南
方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指 锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度.
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
典型例题
例在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c7， 2
且tanAtanB 3tanA•tanB 3，又ABC的面积为
SABC
3 3，求ab的值 2
2020/6/29
高中数学必修5《解三角形》课件
∵30°<C<150°，∴C＝90°，
从而A＝180°－(B＋C)＝60°，
a＝ c2－b2＝4 3.
(2)∵A＋B＋C＝180°， ∴A＝180°－(B＋C) ＝180°－(75°＋45°)＝60°. 又∵sina A＝sinb B， ∴a＝bssiinn AB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6， 同理，c＝ssiinn CBb＝ssiinn 7455°°×2＝ 3＋1.
4．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°； (2)a＝10，b＝20，A＝80°； (3)b＝10，c＝5 6，C＝60°.
解析： (1)∵a＝7，b＝8，∴a<b， 又∵A＝105°>90°，∴本题无解． (2)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， ∵bsin A＝20·sin 80°>20·sin 60°＝10 3， ∴a<b·sin A，∴本题无解．
【正解】 由正弦定理sina A＝sinb B得
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
已知两边及一边的对角解三角形
已知△ABC中，a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，求B，C 及c.
• [思路点拨] 由题目已知条件，选用正弦定理 求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．
[规范解答] a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
[提示] ∠C＝90°，∠B＝30°，a＝2 3，b＝2.
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知识点二 用两边夹角表示的三角形面积公式 一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即 S△ABC＝12absin C ＝_12_b_c_s_in__A_＝__12_a_cs_i_n_B__.
思考 1 S△ABC＝12absin C 中，bsin C 的几何意义是什么？ 答案 BC边上的高.
反思感悟 求三角形面积，主要用两组公式 (1) 12×底×高. (2)两边与其夹角正弦的乘积的一半.
选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求.
跟踪训练 2
在△ABC 中，已知A→B·A→C＝tan A，当 A＝π6时，△ABC 的面积为
1 6
.
解析 ∵A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos A＝tan A，
例2 在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为
A.9
B.18
√C.9 3
D.18 3
解析 由正弦定理得sAinCB＝sBinCA，
∴AC＝BCsi·nsiAn B＝6×sisnin301°20°＝6 3.
又∵C＝180°－120°－30°＝30°，
∴S△ABC＝12AC·BC·sin C＝12×6 3×6×12＝9 3.
(1)求A的大小；
解 由题意及余弦定理知，
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ac＋2bbcc－ac＝12， ∵A∈(0，π)，∴A＝3π. (2)求bsicn B的值. 解 由 b2＝ac，得bc＝ab，
∴bsicn
B＝sin
B·ba＝sin
sin B·sin
AB＝sin
A＝
3 2.
题型二 求三角形面积
解 如图，作AD⊥BC，垂足为D. 则ccos B＝BD，bcos C＝CD. ∴ccos B＝bcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等.
反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段. (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.
跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
1 自主学习
PART ONE
知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形
1.正弦定理及常见变形
a (1)sin
b
c
A＝__s_in__B__＝__s_in__C__＝2R(其中
R
是△ABC_外__接__圆__的__半__径__)；
(2)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA＝2Rsin A；
(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 在△ABC 中，若 ccos B＝bcos C，cos A＝23，求 sin B 的值. 解 由ccos B＝bcos C，结合正弦定理， 得sin Ccos B＝sin Bcos C， 故sin(B－C)＝0，∵0<B<π，0<C<π， ∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c. ∵cos A＝23，∴由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2·23＝23b2， 得3a2＝2b2， 再由余弦定理，得 cos B＝ 66，故 sin B＝ 630.
∴|A→B||A→C|＝csoins2AA， ∴S△ABC＝12|A→B||A→C|sin A ＝12 csoins22AA＝12 tan2A
＝16.
题型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状
a＋b 例 3 在△ABC 中，已知 a， b， c 分别是角 A，B，C 的对边，若 a ＝ cos B＋cos A
√ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
解析 由正弦定理知，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. ∴sin2A＋sin2B<sin2C可化为a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0.
a2＋b2－c2 ∴cos C＝ 2ab <0. ∴角C为钝角，△ABC为钝角三角形.
cos B ，试判断三角形的形状.
反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理. (2)变形要注意等价性，如sin 2A＝sin 2B⇏2A＝2B. c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是
引申探究 1.对于本例中的条件，ccos B＝bcos C，能否使用余弦定理？
a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 解 由余弦定理，得 c· 2ac ＝b· 2ab . 化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2， ∴c2＝b2，从而c＝b.
2.本例中的条件ccos B＝bcos C的几何意义是什么？
2.余弦定理及常见变形 (1)a2＝_b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A_， b2＝_a_2_＋__c_2－__2__a_cc_o_s__B_， c2＝_a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s _C_；
b2＋c2－a2 (2)cos A＝____2_b_c____，
a2＋c2－b2 cos B＝ ____2_a_c___，
第一章 1.1.2 余弦定理
第2课时 正弦定理和余弦定理
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式. 2.掌握用两边夹角表示的三角形面积. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状 判断等问题.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
思考 2 如何用AB，AD，角A表示▱ABCD的面积？ 答案 S▱ABCD＝AB·AD·sin A.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.( × ) 2.△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B.( √ ) 3.在△ABC中，恒有a2＝(b－c)2＋2bc(1－cos A).( √ ) 4.△ABC中，若c2－a2－b2>0，则角C为钝角.( √ ) 5.△ABC的面积S＝41R abc(其中R为△ABC外接圆半径).( √ )