反证法 理科 教学设计
反证法教案高中数学
反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。
三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。
四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。
2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。
3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。
4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。
5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。
六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。
七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
反证法教案——精选推荐
反证法教案选修2-2 反证法教学设计⼀、教学⽬标1.知识与能⼒通过实例，培养学⽣⽤反证法证明简单问题的推理技能，进⼀步培养观察能⼒、分析能⼒、逻辑思维能⼒及解决问题的能⼒.2.过程与⽅法了解反证法证题的基本步骤，会⽤反证法证明简单的命题.3.情感、态度、价值观培养学⽣观察、探究、发现的能⼒和空间想象能⼒、逻辑思维能⼒.让学⽣在观察、探究、发现中学习，在⾃主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强⾃信⼼，树⽴积极的学习态度，提⾼学习的⾃我效能感.⼆、教学重点与难点重点：1、理解反证法的概念.2、掌握反证法证题的步骤及体会反证法证明命题的思路⽅法3、能利⽤反证法证明相关的数学问题。
难点：理解“反证法”证明得出“⽭盾的所在”即⽭盾依据。
三、学法指导通过⾃学和⽼师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路⽅法，总结反证法证题的基本步骤。
反证过程中的批判思想更有助于学⽣正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学⽣利⽤反证法对客观世界的认识提出⾃⼰的问题，这正是反证法教学所要教给学⽣的，应该具有的数学能⼒，也是培养学⽣数学素质与数学素养的很好教学机会.四、【教学过程】⼀、引⼊新课上节课我们学习了⽤，直接证明问题的⽅法。
⼀般的，我们⽤综合法来书写过程，⽤分析法来书写步骤，那么还⽤没有其他的证明⽅法呢？2、情景创设-----王戎的故事王戎(⽣于魏青龙元年，卒于晋永兴⼆年，233-305)字睿冲，琅琊临沂⼈。
晋司徒、封安丰县侯，出⾝魏晋⾼门琅琊王⽒。
他是”⽵林七贤”之⼀.⼩故事-----《路边苦李》古时候有个⼈叫王戎，7岁那年的某⼀天和⼩伙伴在路边玩，看见⼀棵李⼦树上的果实多得把树枝都快压断了，⼩伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。
他说：“李⼦是苦的,我不吃。
”⼩伙伴摘来⼀尝，李⼦果然苦的没法吃。
⼩伙伴问王戎:“这就奇怪了!你⼜没有吃,怎么知道李⼦是苦的啊?”假如你就是王戎，应该如何回答？【设计意图】通过对这个问题的解答，使学⽣⾃主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导⼊新课。
高中数学《反证法》教案(北师大版选修
高中数学《反证法》教案(北师大版选修)一、教学目标1.理解并掌握反证法的基本概念和应用方法；2.能够熟练运用反证法解决数学问题；3.培养学生逻辑思维和推理能力；4.培养学生批判性思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点2.1 教学重点1.反证法的基本概念和原理；2.反证法的应用方法；3.反证法解决数学问题的实例。
2.2 教学难点1.理解和掌握反证法的原理；2.运用反证法解决复杂的数学问题。
三、教学内容和教学步骤3.1 反证法的基本概念反证法是一种利用逻辑推理的方法，通过假设命题的否定，推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，从而证明原命题的方法。
3.2 反证法的原理反证法的原理是：如果假设命题的否定，能够推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，则原命题成立。
3.3 反证法的应用方法1.假设命题的否定；2.推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论；3.得出原命题成立的结论。
3.4 反证法解决数学问题的实例示例1：证明根号2是无理数。
解：假设根号2是有理数，即可以表示为p/q（其中p和q互质）。
根据根号2的定义，有（p/q）^2 = 2，即p^2 = 2q^2。
根据整数的奇偶性，可知p为偶数，表示为p = 2m。
代入上述等式，得到(2m)^2 = 2q2，即4m2 = 2q2，简化得到2m2 = q^2。
根据整数的奇偶性，可知q也为偶数，与p、q互质的前提相矛盾。
所以根号2是无理数。
四、教学方法和学时安排4.1 教学方法1.讲解法：通过简洁明了的语言讲解反证法的概念、原理和应用方法；2.实例法：通过实际例子演示反证法的具体应用；3.讨论法：引导学生讨论反证法在数学问题中的应用。
4.2 学时安排本教案预计用时2课时，具体安排如下：第一课时： - 介绍反证法的基本概念和原理（20分钟） - 示例1的讲解和演示（15分钟） - 学生讨论与思考（15分钟）第二课时：- 复习上节课的内容（10分钟）- 示例2的讲解和演示（15分钟）- 学生讨论与思考（20分钟）五、教学评估5.1 自我评估教师可以通过观察学生的学习情况、听取他们的问题和解答，来进行自我评估。
浙教版八年级下册4.6反证法(1课时)教案设计
《反证法》教学设计【内容出处】浙江教育出版社八年级数学下册第4章第6课。
【素养指向】“逻辑推理”之“逆向思维的培养”。
【教学目标】1.了解反证法的含义,了解反证法的基本步骤.2.会利用反证法证明简单命题．3.了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.【时间预设】课内1课时加课前5分钟。
【教学过程】一、先行学习阅读教材中《路边苦李》的故事，试着表述王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法?二、交互学习段落一理解表征〖师生共学〗在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.〖检测评价〗独立完成下面题目，然后在小组内交流，进行互动评析。
说出下列结论的反面。
1.a⊥b2. d是正数3. a≥04. a∥b段落二实践应用〖小组合学〗小组内同学交流讨论，试用反证法证明:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.〖展示评析〗小组推荐代表展示交流，其他小组质疑与补充。
得到结论：已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证: l3与l2相交.证明: 假设____________,即_________.∵_________（已知）,∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,这与“_______________________ _____________”矛盾.∴假设不成立,即求证的命题正确.∴l3与l2相交.〖检测评价〗独立完成下面题目，然后在小组内交流，进行互动评析。
用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°2．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．三、后续学习甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？【教学反思】。
2022年精品 《反证法》优秀教案
反证法一、教学目标1．核心素养通过学习反证法，初步形成根本的数学抽象和逻辑推理能力．2．学习目标了解反证法的思考过程、特点．3．学习重点了解间接证明的一种根本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．4．学习难点根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务任务1预习教材m≠0与椭圆W：错误!＋2＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．1当点B的坐标为0,1，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；2当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】解：1因为四边形OABC为菱形，那么AC与OB相互垂直平分．由于O0,0，B0,1，所以设点A错误!，代入椭圆方程得错误!＋错误!＝1，那么t＝±错误!，故|AC|＝2错误! 2证明假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以≠0由错误!消并整理得1＋422＋8m＋4m2－4＝0[6分]设A1，1，C2，2，那么错误!＝－错误!，错误!＝·错误!＋m＝错误!所以AC的中点为M错误![8分]因为M为AC和OB的交点，且m≠0，≠0，直线OB的斜率为－错误!，因为·错误!＝－错误!≠－1，所以AC与OB不垂直．[10分]所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．探究型多维突破11 二次函数f＝a2＋b＋ca>0的图象与轴有两个不同的交点，假设fc＝0，且001证明：错误!是函数f的一个零点；2试用反证法证明错误!>c【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：1∵f图象与轴有两个不同的交点，∴f＝0有两个不等实根1，2，∵fc＝0，∴1＝c是f＝0的根，又12＝错误!，∴2＝错误!错误!≠c，∴错误!是f＝0的一个根．即错误!是函数f的一个零点．2假设错误!错误!0，由00，知f错误!>0与f错误!＝0矛盾，∴错误!≥c，又∵错误!≠c，∴错误!>c12．数列{a n}满足：a1＝错误!，错误!＝错误!，a n a n＋1错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!b>b t，那么只能有2b＝b r＋b t成立．＋1∴2·错误!错误!－1＝错误!错误!r－1＋错误!错误!t－1，两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2－r3t－由于r∠B，那么a>b〞的结论的否认应该是A．ab〞的否认应为“a＝b或a180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，那么∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°正确顺序的序号排列为____________．【知识点：反证法】8．解：③①②9．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为1、2、…、n，令＝12…n＋1显然，不含因数1、2、…、要么是质数，要么含有______________的质因数．这说明，除质数1、2、…、之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．n【知识点：反证法】解：质数只有有限多个除1、2、…、n之外10．a，b，c∈0,1．求证：1－ab，1－bc，1－ca不能同时大于14【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证法1：假设1－ab、1－bc、1－ca都大于14∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数1－a＋b2≥1－ab＞14＝12，同理1－b＋c2＞12，1－c＋a2＞12三式相加，得1－a＋b2＋1－b＋c2＋1－c＋a2＞32，即32＞32，矛盾所以1－ab、1－bc、1－ca不能都大于14证法2：假设三个式子同时大于14，即1－ab>14，1－bc>14，1－ca>14，三式相乘得：1－ab1－bc1－ca>143①12．因为01，用反证法证明方程f＝0没有负数根．【知识点：反证法的应用；数学思想：转换与化归】证明：假设方程f＝0有负数根，设为00≠－1．那么有01，∴0<a0<1，∴0<－错误!<1解上述不等式，得错误!<0<0<0矛盾．故方程f＝0没有负数根．数学视野直接论证与间接论证，正论证是用为真的判断来确定某一判断的真实性或虚假性的思维过程根据论证的目的,论证可分为证明与反驳,证明是用为真的判断来确定某一判断的真实性的思维过程,反驳是用为真的判断来确定某一判断的虚假性的思维过程根据论证方式,论证可分为演绎论证、归纳论证和类比论证根据论证的方法,论证可分为直接论证和间接论证;直接论证又可以分为直接证明和直接反驳,间接论证也可以分为间接证明和间接反驳。
人教A版选修2-2第二章 2.2.2反证法 教学设计
反证法(教学设计)【教学目标】知识与技能：1.通过实例理解反证法的概念；2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤。
过程与方法：通过反证法的应用体会“正难则反”的数学思想，提升逻辑推理能力。
情感态度价值观：渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【教学重难点】学习重点：理解反证法的概念、反证法的特点，把握反证法的适用范围。
学习难点：如何假设问题的反面，如何在证明过程中导出矛盾。
【学法指导】通过预习教材和导学案，理解反证法的概念及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤，理解反证法的原理。
合作探究反证法的证明过程和一般思路，掌握反证法的特点和表述的规律及适用题型，提升自己的分析能力和数学论证能力。
【教学过程】一.情景引入（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？分析：假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个球是同色的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
（引出反证法）二．基本概念一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明。
注：反证法是最常见的间接证明法。
反证法证题的基本步骤：①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与定义，公理，定理，事实等矛盾，与假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等），从而否定假设；③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论（其中推出矛盾是反证法证明的关键）三．典型例题例1.求证：在三角形ABC中，至少有一个内角不小于60°。
高一数学《反证法》教案
较空难或难以证明时，就运用反证法进行证明。例如："在△ABC中。若∠C是直角，那么 角∠B一定是锐角。"显然命题的结论是真确的，当是直接证明是较困难的，而用反证法就 容易证明，那么就请同学们证明。 讨论，回答整理指出问题。提醒学生命题结论的反面不止一个时必须将结论的所有反 面的情况逐一驳论，才能肯定原命题据、反证法的思想方法、反证法的解题步骤以及反证 法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需以后随着进一步的学习深入，逐步加强和 提高。 （五）课后作业
课本34页 第5题。 ??
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教学重点 1、 理解反证法的推理依据 2、 掌握反证法证明命题的方法。 3、 反证法证明题的步骤。 教学难点
理解反证法的理论依据和方法。 教学方法
教学过程中主要是师生互动、讲练结合的教学方法。 教学过程中以教师讲解、学生讨论归纳结合实际例题让学生掌握之。 教具准备
多媒体课件PPT四张。（见课件） 教学过程。 1、 复习回顾引入课题。 请同学们回想上一节命题讲的非命题、逆命题中讲到的关键词的否定有哪些？ 正面词等于大于小于是都是至少一个至少n个否定不等于不大于（大于或等于）不小于 （大于或等于）不是不都是一个也没有之多n-1个 那么再请同学们回想初三下学期同 学们学习的反证法，什么叫反证法
否定命题的结论，从此出发，推出矛盾的结果。由于否定命题的结论是错的，则结 论一定是对的。 那么为什么否定命题的结论，推出矛盾的结果，就能断定结论一定是对的了？它的依 据是什么？ 要回答这些问题，那么我们今天就进一步研究反证法证题的方法。 首先我们来回想一下反证法证明题的基本步骤是什么？ 投影ppt 1： 反证法的步骤： 1、 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 2、 从假设出发，经过推理，得出矛盾。 3、 由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
222反证法-高二数学理科选修教学课件(人教A版)
于是得 m 是偶数,
设 m=2k, k 为正整数,
又得 4k2=2n2,
即 2k2=n2,
于是得 n 也是偶数,
此结论与 m, n 互质矛盾,
所以假设不成立, 从而得 2是无理数.
练习: (课本91页) 第 1、2 题.
练习: (课本91页) 1. 证明: 在△ABC中, 若∠C 是直角, 则∠B一 定是锐角.
反证法其实就是对原命题的逆否命题的证明.
例4. 已知直线 a, b 和平面 a, 如果 aa, ba,
且 a//b, 求证 a//a.
证明: 因为 a//b,
ab
所以 a, b 确定一个平面,
设为 b (如图),
b
a
P
因为 aa, ba,
所以 b∩a=b.
假设 a 与 a 不平行, 而 aa,
则 a 与 a 相交, 设交点为 P,
求证
B
2
.
证明: 因为 a, b, c 的倒数成等差数列,
所以
2 b
=
1 a
+
1 c
.
①
假则设B B2,2 不成立,
于是 B 是△ABC的最大角,
则 b>a, b>c,
所以
1 b
1 a
,
1 b
1 c
,
则
2 b
1 a
+
1 c
.
此结论与①矛盾, 所以假设不成立, 原命题得证.
问题 2. 如果两个平面平行, 在一个平面内的 直线是否平行另一个平面? 为什么?
在一个平面内的直线一定
平行另一个平面.
a
l
如图, 平面a//b, 直线 la.
《3.4反证法》教学设计
§4 反证法●三维目标1．知识与技能(1)通过具体的例子了解反证法的思考过程、特点．(2)能用反证法证明一些简单的数学命题．2．过程与方法通过实例分析让学生体会反证法的证明原理．3．情感、态度与价值观通过反证法的运用，使学生在解决问题时有“正难则反”的思维方向，发展学生的思维能力，渗透运用辩证观点解决问题的意识．●重点难点重点：用反证法证明问题的模式．难点：反证法的应用．教学中，为了突出重点，可引导学生通过实例，领会反证法证明数学命题的思路，归纳用反证法证明数学命题的步骤，通过学生的参与，激发学生的求知欲；为了突破难点，可通过实例，引导学生感悟什么条件下使用反证法，如何否定结论，掌握常用矛盾的形式，从而深化学生对反证法的认识．(教师用书独具)●教学建议反证法的教学应以题目为载体，以传授思想为主，不能一味地追求全、难，这样就与教材设置的初衷相违背．要把教学重点放在培养学生的反证意识这个层面上，增强学生的逻辑思维能力．降低例题的难度，只有这样才能留给学生思考的时间与空间，让学生亲身经历知识的发生与发展，只有这样才能真正做到还时间给学生，还机会给学生，还思维给学生，让学生真正发挥学习的主体作用．同时也体现了教育的本质，教会学生如何学，在培养了学生的数学思维品质的同时，还提高了学生的数学素养．●教学流程情境引入：通过问题引入课题⇒探究新知通过问题的求解认识新知⇒抽象概括形成新知⇒力应用与例深化新知⇒练习反馈，形成能力⇒总结归纳，强化能【问题导思】王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子．小伙伴们纷纷爬上树去摘果子，只有王戎站在原地不动．有人问王戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李．”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李．(1)王戎是在怎样知道李子是苦的呢？(2)你认为他的判断方法正确吗？(3)他运用了怎样的推理方法？【提示】(1)假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．(2)正确．(3)反证法．1．反证法的定义在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一．我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证明步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论.已知数列{a n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，其中λ为实数，n 为正整数．求证：{a n }不是等比数列．【思路探究】 本题是以否定形式出现的命题，可考虑用反证法证明，解决本题的关键是作出假设后如何利用等比数列的性质进行推理论证，得出矛盾．【自主解答】 假设存在一个实数λ，使{a n }成等比数列， 则有a 22＝a 1a 3，即(23λ－3)2＝λ(49λ－4)， 则49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ， 化简得9＝0，这与实数的大小比较关系矛盾，所以假设不成立，从而{a n }不是等比数列．如命题的结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题即为否定性命题．对否定性命题，往往直接证明需要考虑的情况很多，过程繁琐且容易遗漏；或者，要证的结论与条件的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，此两种情况常用反证法．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：数列{c n }不是等比数列． 【证明】 假设{c n }是等比数列，则当n ≥2时，(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)·(a n ＋1＋b n ＋1)．∴a 2n ＋2a n b n ＋b 2n＝a n －1a n ＋1＋a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＋b n －1b n ＋1. 设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q (p ≠q )． ∵a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1， ∴2a n b n ＝a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1 ＝a n p ·b n ·q ＋b n q ·a n ·p ， ∴2＝q p ＋p q，∵当p ≠q 时，q p ＋p q ＞2或q p ＋p q ＜－2，与q p ＋pq ＝2矛盾．故假设错误，原命题正确．∴{c n }不是等比数列．试证明：在平面上所有通过点(2，0)的直线中，至少通过两个有理点(有理点指坐标x ，y 均为有理数的点)的直线有且只有一条．【思路探究】 本例考查利用反证法证明唯一性命题．“有且只有”的含义有两层：①存在；②唯一．证明存在性只需找到一条满足条件的直线即可，而唯一性从正面很难证明，故可以采用反证法，假设还有其他满足条件的直线，设出直线方程，然后联立方程组，经过整理，得出矛盾，从而说明假设不成立．【自主解答】 ①存在性：直线y ＝0，显然通过点(2，0)，且直线y ＝0至少通过两个有理点，如它通过(0,0)和(1,0)．这说明满足条件的直线存在且至少有一条．②唯一性：显然x ＝2不满足条件，故假设除了直线y ＝0外还存在一条直线y ＝kx ＋b (k ≠0且b ≠0)通过点(2，0)，且该直线通过两个有理点A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)，其中x 1，y 1，x 2，y 2均为有理数．∵直线y ＝kx ＋b 通过点(2，0)，∴b ＝－2k ， 于是y ＝k (x －2)，且k ≠0.又直线通过A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)两点， ∴y 1＝k (x 1－2)，① y 2＝k (x 2－2)，②由①－②得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．③∵A ，B 是两个不同的点，且k ≠0，∴x 1≠x 2，y 1≠y 2， 由③得k ＝y 1－y 2x 1－x 2，且k 是不等于零的有理数．由①得2＝x 1－y 1k.此等式的左边是无理数，右边是有理数，矛盾．∴假设不成立，即在平面上所有通过点(2，0)的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条．综上所述，满足上述条件的直线有且只有一条．1．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性命题和唯一性命题． 2．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于假设结论的反面成立易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．试证明：方程2x ＝3有且只有一个实数根． 【证明】 ①存在性：由f (x )＝2x －3，则f (1)＝－1，f (2)＝1， ∴f (1)f (2)＜0，又∵f (x )＝2x －3在[1,2]上连续， ∴f (x )＝2x －3至少有一个零点， ∴方程2x ＝3至少有一个实数根． ②唯一性：假设方程2x ＝3不只一个实数根，设x 1，x 2是其两个实数根，则x 1≠x 2，∵2x 1＝3,2x 2＝3， ∴2x 1＝2x 2，又∵y ＝2x 是单调函数， ∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾， 故方程2x ＝3有且只有一个实数根．已知f (x )＝x 2＋ax ＋a (a ∈R )，求证：|f (1)|，|f (2)|中至少有一个不小于12.【思路探究】【自主解答】 假设|f (1)|，|f (2)|中没有一个大于或等于12，即|f (1)|，|f (2)|全部小于12，则|f (1)|＝|2a ＋1|＜12，①|f (2)|＝|3a ＋4|<12.②解①②得a 不存在．这与a ∈R 矛盾，故假设错误，即原结论成立．1．当一个命题的结论中有“至多”“至少”等限定字样时，宜用反证法证明． 2．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种情况，反证法都是不完整的．设a ，b ，c ，d 都是正数，求证：下列三个不等式至少有一个不正确． ①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b )(c ＋d )＜ab ＋cd ； ③(a ＋b )cd ＜ab (c ＋d )．【证明】 假设不等式①②③都正确．∵a ，b ，c ，d 都是正数，∴①与②相乘得 (a ＋b )2＜ab ＋cd .④由③得(a ＋b )cd ＜ab (c ＋d )≤(a ＋b 2)2(c ＋d )，∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b )(c ＋d )，结合②得 4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜13ab .由④得(a ＋b )2＜43ab ，得a 2＋b 2＜－23ab .这与已知a ，b 都是正数矛盾，∴不等式①②③中至少有一个不正确.用反证法证题时未用假设而致误已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＞0，求证：a ＞0且b ＞0.(用反证法证明)【错解】 假设a ≤0或b ≤0，由ab ＞0，得a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0， 又∵a ＋b ＞0，∴a ＞0，b ＞0，这与a ≤0或b ≤0矛盾． 所以假设不成立，原命题由结论成立．【错因分析】 本题形式上是反证法而实质上是综合证法，错解在解题过程中并没有用到假设的结论．【防范措施】 应用反证法证明命题的关键是由假设导出矛盾，从而说明假设不成立．若假设不参与导出矛盾的过程，就不能说明矛盾是由假设造成的，从而也无法否定假设．【正解】假设a≤0或b≤0，不妨设a≤0，又ab＞0，则b＜0，∴a＋b＜0，这与a＋b＞0矛盾．所以，假设不成立，原命题的结论成立．1．用反证法进行证明时要把握好三点(1)必须先否定命题的结论．(2)必须从否定结论开始推理．(3)经过证明后，必须明确说明与谁矛盾，不能只说“矛盾”二字．2．用反证法证明问题时，常见的“结论词与反证词”列表如下：肯定条件p 否定结论q →导致逻辑矛盾→“若p ，则綈q ”为假设→“若p ，则q ”为真1．应用反证法推出矛盾的过程中要把下列哪些作为条件使用：( ) ①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等； ④原结论．A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④【解析】 根据反证法的概念易知选C. 【答案】 C2．异面直线在同一平面内的射影不可能是( ) A ．两条平行直线 B ．两条相交直线 C ．一点与一条直线D ．同一条直线【解析】 假设异面直线在同一平面内的射影是同一条直线，则它们共面，这与它们是异面直线矛盾，所以异面直线在同一平面内的射影不可能是同一条直线．【答案】 D3．用反证法证明“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容是________． 【解析】 假设的内容是结论的否定． 【答案】3a ≤3b4．求证：抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形．【证明】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线上的不同的四点，则有y2i＝2px i，x i＝y2i2p(i＝1,2,3,4)，显然，当四边形任意一边的斜率不存在时，这四点组成的四边形不可能是平行四边形．当四边形每一边的斜率都存在时，可知k AB＝y2－y1x2－x1＝y2－y1y222p－y212p＝2py2＋y1，同理k BC＝2py3＋y2，k CD＝2py4＋y3，k DA＝2py1＋y4，假设四边形ABCD是平行四边形，则k AB＝k CD，k BC＝k DA，从而得y1＝y3，y2＝y4，进而得x1＝x3，x2＝x4，于是点A，C重合，点B，D重合，这与假设A，B，C，D是抛物线上不同的四点相矛盾．故四边形ABCD不可能是平行四边形．一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解【解析】 至多有两个解包含：有两解、有一解、无解三种情况，其否定为至少有三个解．【答案】 C2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )A ．三个内角中至少有一个钝角B ．三个内角中至少有两个钝角C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．【答案】 B3．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【解析】 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则a ＋b ＋c ＋1a ＋1b ＋1c<6. ∵a ，b ，c 都是正数，∴1a ＋a ≥2，1b ＋b ≥2，1c＋c ≥2， ∴a ＋b ＋c ＋1a ＋1b ＋1c≥6，与假设矛盾． ∴a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. 【答案】 D4．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )A ．方程无解B ．方程两解C ．方程至少有两解D ．方程无解或至少有两解【解析】 “唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面应该为D.【答案】 D5．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为：a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数，k∈N*)，且a＞b，那么这两个数列中序号与数值均相同的项有()A．0个B．1个C．2个D．无数多个【解析】假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n，使得a n＝b n，但a＞b，n∈N*，恒有a n＞b n，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n，使得a n＝b n，故选A.【答案】 A二、填空题6．与两条异面直线AB，CD都相交的直线AC，BD的位置关系是________．【解析】假设AC与BD共面于α，则点A，C，B，D都在α内，从而AB与CD共面于α，这与AB，CD异面的条件相矛盾，故AC与BD异面．【答案】异面7．有下列叙述：①“a>b”的反设是“a<b”；②“x＝y”的反设是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反设是“三角形的外心在三角形内”．其中正确的叙述有________．【解析】①的反设是“a≤b”；②的反设是“x≠y”，也就是“x>y或x<y”；③的反设是“三角形的外心在三角形内或在三角形边上”．只有②正确．【答案】②8．完成反证法证题的全过程．已知：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)·…·(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．由于奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝__________________________________＝__________________________________＝0，但奇数≠偶数，矛盾，故p为偶数．【解析】 根据反证法的思考过程及特点填写．【答案】 a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)三、解答题9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．【证明】 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a ，b 无交点，则a ∥b 或a ，b 是异面直线，与已知矛盾；若直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．10．已知数列{b n }的通项公式为b n ＝(23)n －1，求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【证明】 假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为1，公比为23的等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立， ∴2(23)s －1＝(23)r －1＋(23)t －1， 两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r ＜s ＜t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，这与奇数不等于偶数矛盾，故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．11．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14. 【证明】 法一 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c 都是小于1的正数，∴1－a,1－b,1－c 都是正数．(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12， 同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12. 三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14. 法二 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三式相乘得 (1－a )b (1－b )c (1－c )a ＞(14)3.① 因为0＜a ＜1，所以0＜a (1－a )≤(1－a ＋a 2)2＝14. 同理，0＜b (1－b )≤14，0＜c (1－c )≤14. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤(14)3.② 显然①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.(教师用书独具)试求常数m 的范围，使曲线y ＝x 2的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分．【思路探究】 “不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，求m 的取值范围”．再求出m 的取值集合的补集即为原问题的解．【自主解答】 当m ＝0时，显然，在抛物线上不存在两点，使得它们关于该直线对称，故设抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)(m ≠0)对称，满足⎩⎨⎧ x 21＋x 222＝m (x 1＋x 22－3)，x 21－x 22x 1－x 2＝－1m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 22＝m (x 1＋x 2－6)，x 1＋x 2＝－1m . 消去x 2得2x 21＋2m x 1＋1m 2＋6m ＋1＝0. ∵x 1∈R ，∴Δ＝(2m )2－8(1m 2＋6m ＋1)＞0， ∴(2m ＋1)(6m 2－2m ＋1)＜0，∴m ＜－12. 即当m ＜－12时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称．而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求m 的范围为m ≥－12.1．在运用反证法解题时，一定要弄清楚结论的反面是什么，这里所有的弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分的反面是“至少存在一条弦能被直线y ＝m (x －3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y ＝m (x －3)垂直平分”．2．在探讨某一问题的解法时，当从正面思考遇到困难时，应从反面的方向去探求．1．证明：1，3，2不可能为同一等差数列的三项．【证明】 假设1，3，2是某一等差数列的三项，让这一等差数列的公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，其中m ，n 为两个正整数．由上面两个等式消去d ，得n ＋2m ＝(n ＋m )3，∵n＋2m为有理数，(n＋m)3为无理数，∴有理数等于无理数．这与有理数不等于无理数矛盾．∴假设不成立，即1，3，2不可能为同一等差数列的三项．2．来自上帝的证明求证：素数有无限个．【证明】假设素数只有有限的n个，那么，可以从小到大依次排列为p1，p2，…，p n，记X＝(p1·p2·…·P n)＋1，显然不能被p1，p2，…，p n中的任何一个素数整除，因此X也是一个素数．因为这与假设的“素数只有有限的n个”相矛盾，所以，素数是无穷的．这个证明最早来自亚里士多德，非常漂亮，是反证法的经典应用，这个证明被欧拉称为“直接来自上帝的证明”，历代的数学家也对其评价很高.。
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直接证明和间接证明
【课题】：反证法
【设计与执教者】：广州市86中学，张科，redfoxzke@sohu.com。
【教学时间】：40分钟
【学情分析】：
【教学目标】：
（1）知识目标：1.理解反证法的概念及其特点；2.掌握用反证法证明问题的基本方法和
步骤. 3.培养学生用反证法简单推理的技能.
（2）过程与方法目标：通过生活中的具体问题的解决引入反证法的基本概念及其特点；
结合具体实例让学生掌握用反证法求解问题的方法和步骤。
（3）情感与能力目标：培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛
盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.
【教学重点】：1. 理解反证法的概念2．掌握用反证法证明问题的基本方法和步骤
【教学难点】：掌握用反证法证明问题的基本方法和步骤
【教学突破点】：从实际问题引入通过日常生活中遇到的实际问题，理解和掌握用反证法证
明问题的基本方法和步骤。
【教法、学法设计】：合作探究式教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、新课引入 问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢？ 问题2、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？ 思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？ 从实际生活的例子出发，使学生对反证法
的基本方法
和步骤有一
个更深刻的
认识。
二、讲授新课 （1）反证法的概念及其运用 1：反证法的概念： 假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法． 2：反证法的基本步骤： 1）:假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：需分成很多类进行讨论； 3）：结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题； 4）：结论为 “唯一”类命题；
（2）运用新知，典例剖析 例1、已知,0a证明x的方程bax有且只有一个根 老师引导学生分析： 1：证明唯一性问题，往往采用反证法。 2：从正面较难说清楚为什么只有一个根，因此考虑反证法。 3：强化反证法的具体步骤： 1）： 假设；2）：推理得出矛盾3）：下结论 4：强调书写规范。 例2、CDAB、为圆的两条相交弦，且不全为直径， 求证：CDAB、不能互相平分。 问题1：圆中两条相互平分的弦有什么特殊性？ 问题2：假设两条弦CDAB、互相平分，如何证明它们都是圆的直径？ 问题3:：这个问题最后是与已知两条弦不全为直径相矛盾，你还有其他证明方法吗？ 例3、求证2是一个无理数。 （老师提示、引导学生求解，关键在于加深对反证法的理解） 小结： 由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等。 及时运用新
知识，巩固
练习，让学
生体验成
功，为了使
学生实现从
掌握知识到
运用知识的
转化，使知
识教育与能
力培养结合
起来
P
O
C
D
B
A
三、分层
练习，巩
固提高
练习： 1、证明：一个三角形内不可能有两个角是直角。 2、求证：,23，5不可能成等差数列。 通过多角度
的练习，并
对典型错误
进行讨论与
矫正，使学
生巩固所学
内容，同时
完成对新知
的迁移。
四、概括梳理，形成系统 （小结） 采取师生互动的形式完成。
1、用反证法证明命题的一般步骤是什么?
2、用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
采取师生互
动的形式完
成。
五、布置作业
1、 课后作业。
2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。