求锐角的三角比的值

求锐角的三角比的值一、基础巩固一．解答题1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c ．若a=2，sin 13A =，求b 和c，【答案】b=c=6.【解析】【分析】先根据sinA=a c 知c=sin a A=6，再根据勾股定理求解可得． 【详解】解：如图，∵a=2，1sin 3A =， ∴c=sin a A =213=6，则，【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．2. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2BC ，求∠B 的正弦、余弦值和正切值．【答案】， ， tanB=2． 【解析】【分析】根据勾股定理与锐角三角函数的定义求解即可．【详解】∵∠C=90°，AC=2BC ，∴设BC=x ，AC=2x ，∴=，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB == tanB=22xAC x BC ==． 【点睛】本题考查了勾股定理与锐角三角函数的定义，在Rt △ABC 中，∠C=90°，锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．3. 在△ABC 中，∠C ，90°，AB ，13，BC ，5，求∠A 的正弦值、余弦值和正切值．【答案】5125131312，，. 【解析】【详解】试题分析：根据解直角三角形的意义，根据勾股定理求出AC 的长，然后根据正弦、余弦、正切的概念可求解.试题解析：∵∠C ，90°，AB ，13，BC ，5，∴12AC ==.∴5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==， 5tan 12BC A AC ==. 4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=2，b=1，求∠A 的三个三角函数值．【答案】，，tanA=2． 【解析】【分析】根据勾股定理，可得c ，根据sinA=a c ，cosA=bc ，tanA=a b，可得答案． 【详解】∵∠C=90°，a=2，b=1，∴=∴sinA=ac 5，cosA=bc =5， tanA=a b=2． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在Rt △ACB 中，∠C=90°，则sinA=a c ，cosA=b c ，tanA=a b． 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，M 是直角边AC 上一点，MN ⊥AB 于点N ，AN=3，AM=4，求cosB 的值．． 【解析】 【分析】易证得△AMN ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到AC AB =AN AM =34，设AC=3x ，AB=4x ，由勾股定理得：x ，在Rt △ABC 中，根据三角函数可求cosB ．【详解】∵∠C=90°，MN ⊥AB ，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A=∠A ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴AC AB =AN AM =34， 设AC=3x ，AB=4x ，由勾股定理得：=，在Rt △ABC 中，cosB=BC AB ==． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题关键是表示出BC ，AB ．6. 如图，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE=3AE ，试求sin，ECM 的值．【解析】 【详解】试题分析：依题意设，AE x = 则3424BE x BC x AM x CD x ，，，，====先证明CEM 是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．试题解析：设，AE x = 则3424BE x BC x AM x CD x ，，，，====5,EC x ∴==,EM ==,CM ==222EM CM CE ∴+=，CEM ∴是直角三角形，sin EM ECM CE ∴∠== 7. 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，求sinA ，cosA ，tanA 的值．【答案】sin A ，35，cos A ，45，tan A ，34， 【解析】【分析】首先利用勾股定理求得AC 的长度为4；然后利用锐角三角函数的定义解答．正弦：把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A余弦：把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A正切：把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA【详解】，Rt ，ABC 中，∠C ，90°，BC ，3，AB ，5，，AC，sin A ，BC AB ，35， c os A ，AC AB ，45， ta n A ，BC AC ，34， 【点睛】本题关键考查了勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，能正确运用定义写出三角比是解决本题的关键，8. 如图，直角坐标系中，P （3，y ）是第一象限内的点，且4tan 3α=，求sinα．【答案】sinα=45． 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．【详解】如图：作PC ⊥x 于C 点， 由4tan 33y α==，得y=4．由勾股定理，得=，45PC sin OP α==． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B （4，2），BA ⊥x 轴于A ．（1）求tan ∠BOA 的值；（2）将点B 绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C ，求点C 的坐标．【答案】（1）12；（2）（﹣2，4）． 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义，对边与邻边的比，即可求解；（2）根据图形，确定旋转以后的位置，可以直接写出坐标．【详解】（1）∵点B （4，2），BA ⊥x 轴于A ，∴OA=4，AB=2，tan ∠BOA=AB OA =24=12； （2）如图，由旋转可知：CD=BA=2，OD=OA=4，∴点C 的坐标是（﹣2，4）．【点评】本题主要考查了正切的定义以及旋转变换作图，正确理解定义是解题的关键．10. 计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°【答案】3﹣2． 【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°＝2×12＝1+2﹣2＝3﹣2． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 11. 计算：3sin60°-2cos30°+tan60°•cot45°．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】原式=3×2-2×2，【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12. 计算：sin45cos3032cos60︒︒︒+-﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）【解析】【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【详解】解：原式=221322-⨯﹣12⨯（22-）=4【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．13. 计算：1cos3011cos60tan30 -︒++︒︒.【答案】2 3 +【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值代入再通过实数运算法则求出即可.【详解】原式=121 12 -+=（1×2 3=23﹣=23．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值应用,正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.14. 计算.2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos245°【答案】5 2【解析】【分析】直接把特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos245°=2×12+4(2)2=1+2﹣1 2=52．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．15. 计算：（12）﹣1﹣2tan45°+4sin60°【答案】0．【解析】【分析】根据实数的性质进行化简即可求解.【详解】原式＝2﹣＝2﹣﹣＝0．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.16. 计算：sin60cos45tan45 sin30︒-︒︒︒.【答案】【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质计算即可得到结果.【详解】sin60cos45tan45sin30︒-︒︒︒=22112-11.17. 计算：（sin30°，，1+2sin45cos45tan60?tan30︒+︒︒︒，tan45°，【解析】【详解】试题分析：把特殊角的三角函数值代入进行运算即可.试题解析：原式2111,2-+⎛⎫= ⎪⎝⎭121,22=++-32+=18. 计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣12|．【解析】【详解】试题分析，直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．试题解析，解，原式=2+12，1219. 计算：sin30°•tan60°+cos30cot45cos60︒-︒︒.，2-【解析】【详解】试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.试题解析：原式=1122122--.20.245°，sin30°tan60°+12sin60°【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入运算即可．【详解】解：原式211222⎛=-⎝⎭224=-+=．21. 计算：cos30°•tan60°，4sin30°+tan45°，【答案】12【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值计算即可，【详解】原式1 412⨯+=321 2-+=12，22. 计算：2tan60︒，2tan45°，43cos30°+4sin30°，【答案】0【解析】【分析】首先根据特殊角的三角函数值得出各式的值，然后根据实数的计算法则得出答案．【详解】原式43×2+4×12=0，23. 计算：22sin60sin30 cot30s30o oo oco+-，【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入进行运算即可.【详解】原式22123⎛⎫+ ⎪===【点睛】考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角是三角形函数值是解题的关键.24. 计算：21tan60sin452cos30cot45︒︒︒︒-⋅-．【答案】12【解析】【分析】直接代入利用特殊角的三角函数值，进而化简即可得答案．【详解】原式12=-=12=．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．25. 计算：sin30°﹣2cos45°+13tan260°．【答案】1．【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可．【详解】原式=2112223-+⨯=1113223-+⨯=1．．26. 计算：222sin60cos60tan604cos45︒︒︒︒--﹣sin45°•tan45°【答案】32+【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【详解】222sin60cos60tan604cos45︒︒︒︒--﹣sin45°•tan45°212212⨯-=-=32=+=32+． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及分母有理化、二次根式的化简，牢记特殊角的三角函数值，是解决本题的关键．27. （π+4）0|【答案】1【解析】【分析】分别根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值的性质及二次函数化简的法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.π+4，0|=128. 已知α是锐角，cos （a ﹣15°）|cosa ﹣tan 2a |的值．【答案】1﹣3． 【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】∵cos 452=°，又cos （a ﹣15°）=2， ∴α﹣15°=45°，∴α=60°，|cosa ﹣tan 2a |12=-1122=+=1 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 29. 求下列各式的值：（1）22cos 60sin 60︒+︒（2）cos 45tan 45sin 45︒-︒︒（3）1sin 60cos302︒⨯︒+（4）sin 452︒+ （5）2cos 45tan 60cos30︒+︒⨯︒（6）1-cos30tan 30sin 60︒+︒︒（7）sin 45cos60cos45︒︒-︒（8） 260tan 602cos 30︒+︒-︒【答案】（1）1；（2）0；（3）54；（4；（5）2；（6；（7）4；（8 【解析】【详解】（1）22cos 60sin 60︒+︒13=+44=1（2）cos45tan45sin45︒-︒︒=110-=（3）1sin60cos302︒⨯︒+ 32=+445=4（4）sin45︒（5）2cos 45tan60cos30︒+︒⨯︒13=+22=2（6）1-cos30tan30sin60︒+︒︒1= （7）sin45cos60cos45︒︒-︒=424-=- （8）2tan602cos 30︒+︒-︒33=22=30. 若规定：sin （α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．． 【解析】【分析】根据给出的公式，将75°和90°化为特殊角即可求出答案．【详解】解：原式=sin （30°+45°）+sin （30°+60°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°+sin30°•cos60°+cos30°•sin60°=12×22+×2+12×12+2×2=4+414+34【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是将75°和90°化为特殊角进行计算，本题属于基础题型．二、拓展提升31. 如图，已知△ABC 中，∠C=90°，且BC=1.5，求AC ．【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A 的度数，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】∵∠C=90°，且sinA=2， ∴∠A=60°，∴tanA=BC AC ，∴1.5AC =解得：AC=2． 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确得出∠A 的度数是解题关键．32. 已知α为锐角，sin （α+15°）4cosα+tanα+（13）﹣1的值． 【答案】4．【解析】 【分析】首先得出α的值，进而利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质化简求出答案．【详解】∵sin （α+15°）sin 60︒ ∴α+15°=60︒，∴α=45°，﹣4cosα+tanα+（13）﹣1﹣+1+3=4．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．33. 计算：（3，π，0+11()3-，2cos60°， 【答案】3【解析】【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】原式=1＋3－2×12＝334. ()1306045()o sin sin cos --︒⨯︒【答案】1【解析】【分析】)原式利用特殊角的三角函数值，二次根式，负整数指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=（12）-12）-1）=2×（）=1-【点睛】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35. 计算下列各式(1)tan30°×sin45°＋tan60°×cos60°(2)sin 230°＋2sin60°＋tan45°－tan60°＋cos 230°.【答案】（1）6＋3；（2）2. 【解析】【分析】（1）首先代入特殊角的三角函数值，然后化简二次根式即可；（2）首先代入特殊角的三角函数值，然后化简二次根式即可．【详解】解：(1)×12(2)原式＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2×2＋12⎛ ⎝⎭2＝14134＝2.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值． 36. (1)2sin603tan30+(2)22sin 60cos 60tan45+- (3)cos60tan45sin60tan30sin30-++sin602cos45+-． 【答案】（1）（2）0；（3）35-；（4）122+ 【解析】【分析】，1）根据特殊角的三角函数值可求得结果；，2）根据特殊角的三角函数值可求得结果；，3）根据特殊角的三角函数值可求得结果；，4）根据特殊角的三角函数值可求得结果；【详解】解：（1）3 2sin603tan30232+=⨯== （2）22sin 60cos60tan45110+-=-=， （3）111cos60tan45sin602tan30sin30326-+-+===+（421sin602cos452222+-=⨯-= 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.37. 在△ABC 中，已知∠A ＝60°，∠B 为锐角，且tanA ，cosB 恰为一元二次方程2x 2－3mx ＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC 的形状．【答案】mABC 是直角三角形．【解析】【分析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．【详解】解：∵∠A ＝60°，∴tanA .把x 2x 2－3mx ＋3＝0，得2－＋3＝0，解得m .把m2x2－3mx＋3＝0得2x2－3mx＋3＝0，解得x1x2∴cos B＝2，即∠B＝30°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程和判断三角形，解题关键是熟记特殊三角函数值.38. （1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．【答案】（1）α=30°；（2）α=60°．【解析】【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；（2）先求出sinα的值，然后求出角的度数．【详解】解：（1）解得：tanα=3，则α=30°；（2）解得：则α=60°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．39. 计算：（1）sin3011sin60tan30︒︒︒++；（2）tan30°•tan60°+sin245°+cos245°；（3）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°．【答案】（1）2；（2）2；（3）1．【解析】【分析】分别代入特殊角的三角函数值，进一步计算得出答案即可．【详解】（1）sin 3011sin 60tan 30︒︒︒++1==+=2=2；（2）tan30°•tan60°+sin 245°+cos 245°=32⎝⎭+2⎝⎭=1+12+12=2；（3）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°=21×12 =32﹣12=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数，识记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．40. 已知正六边形ABCDEF 的边长为1，QR 是正六边形内平行于AB 的任意线段，求以QR 为底边的内接于正六边形ABCDEF 的△PQR 的最大面积．【解析】【分析】要使△PQR 的面积最大，P 点应在DE 上；Q ，R 点应分别在AF 、BC 上．过P 点PH ⊥QR 于H ，连接AE 、BD 分别交QR 、QR 于M 、N ，FC 交AE 于G ，可设PH=x ，再用含x 的式子表示QR ，根据平方的非负性，得出△PQR 的最大面积．【详解】解：过P 点PH ⊥QR 于H ，连接AE 、BD 分别交QR 、QR 于M 、N ，FC 交AE 于G ，∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴∠EFA=∠FAB=∠ABC=()621801206-⨯︒=︒，EF=FA=AB=1， ∵QR ∥AB ，∴四边形ABNM 、ABDE 、MHPE 、MNDE 都是矩形，∠EFG=∠AFG=60︒，∴，设PH=x ，则x ，QM=NR=AM•tan30°=1，QR=2(1x ，△PQR 的面积=12(3﹣)2，当时，△PQR ． 【点评】本题考查了正六边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平方的非负性等知识，作出常用辅助线是解题的关键．。