高等流体力学第4讲
流体力学精品课件：第4章 流体动力学基础(32学时)
理想流体运动微分方程：
fy
1
p y
dvy dt
fz
1
p z
dvz dt
将三个方程式两边分别乘以 dx、dy、dz，然后相
加：
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dvx dt
dx
dvy dt
dy
dvz dt
dz
定常流动中，第二个括号中的三项和为压力的全Βιβλιοθήκη 分 dp2vy ) z 2
dvz
dt
fz
1
p ( 2vz
z
x 2
v2 z
y 2
2vz ) z 2
上式称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。 加上不可压粘性流体的连续性方程，可组成封闭方程组。
vx v y vz 0 x y z
§4.3 理想流体伯努利方程
f
x
1
p x
dvx dt
§4.6 总流的伯努利方程
三、总流的伯努利方程
总流是由许多微小流束所组成的，任取2个缓变流截面， 列能量方程：
A2
g ( z1
p1
g
v12 2g
)vdA
A1
g ( z1
p1
g
v12 2g
hw' )vdA
0
（1）在缓变流截面上：z p C
g
1
gQ
A
g ( z
p
g
)vdA
(z
p
g
)
§4.6 总流的伯努利方程
（2）引入动能修正系数：
4 流体动力学基础
4.3.3 有能量输入或输出的伯努利方程
Hi
Ho
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 H i z2 H 0 hw g 2 g g 2 g
4.3.4 两断面间有合流或分流的伯努利方程
2 p1 1v12 p2 2 v2 z1 z2 hw12 g 2 g g 2g
v 8.28m / s
Q vA 0.065m3 / s
作压力线 117.6 156.8 27.4 246.8
例：空气由炉口a流入，通过燃烧，经b、c、 d后流出烟囱，空气ρa=1.2kg/m3，烟气 ρ=0.6kg/m3，损失压强pw=29ρv2/2，求出口 流速，作出压力线，并标出c处的各种压强。 解：取a、d断面列能量方程
• 3、水在变直径竖管中流动，已知粗管直径 d1=300mm，流速V1=6m/s。装有压力表的 两断面相距h=3m，为使压力表读值相同， 试求细管直径（水头损失不计）。 • 4、变直径管段AB，dA=0.2m，dB=0.4m， 高差h=1.5m测得PA=30kPa，PB=40kPa， Ｂ点断面平均流速VB=1.5m/s，试求两点间 的水头损失hAB。
4.2.2 理想流体元流伯努利方程的物理意 义和几何意义
物理意义
Z 单位重量流体的位能（比位能）
几何意义
位置水头 压强水头 速度水头 测压管水头 总水头
p g 单位重量流体的压强势能（比压能）
u2 2 g 单位重量流体的动能（比动能） p z 单位重量流体的总势能（比势能） g p u2 z 单位重量流体的总能量（总比能） g 2 g
2 v2
2
pw
p——静压 ρv2/2——动压 (ρa-ρ)g(z2-z1)——位压
流体力学学习课件第四章流体动力学
x y z
dt
dt
dt
1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即
p 0, u 0 ux uy uz 0
t
t
t t t
因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间 dt 的比为速度
分量，即有：
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则：①
dux dt
dx
duy dt
y dt
单位质量流体的惯 性力在X、Y、Z坐 标轴上分量
Z 1 p duz
z dt
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加
速度。 （2）适用条件：a.无粘性流体。
b.可压缩流体及不可压缩流体 c.恒定流及非恒定流
二、粘性流体运动微分方程
1、以应力表示的实际流体运动微分方程 （1）方程推导依据：
g 2g
g
h pA pB u2
g g 2g
理论流速： u 2 pA pB 2gh
实际流速： u 2gh
μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ =0.97 ； h：为两管水头差。
四、实际液体元流能量方程
实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动
时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固
dy
duz dt
dz uxdux
uyduy
uz duz
1 d (u 2 ) 2
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
②
p dx p dy p dz dp
x y z
（3）
则（1）式
( Xdx Ydy Zdz) 1 (p dx p dy p dz)
流体力学讲义4-2
V22
2
p2
p 01
V
2( p 01 p 2 )
2 gh ( )
作业： (第二版教材) 4.1 , 4.2 , 4.10 ,3.1, 3.2 , 3.4 (对应第一版教材) 4.1 , 4.2 , 4.17 ,4.5, 4.7 , 4.9
Leonhard Euler
§4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分
2.理想正压流体在势力场中的(Bernorlli)伯努利积分 （1）伯努利积分表达式
a) 理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿流线有
P
1 2
b) 理想正压流体在势力场中作定常流动时，沿涡线有
V
2
P C (n)
压力函数
质量力势
1
V
场；由任意物体在原静止流场中运动所造成的流场是无旋流场。
复 习
3. 旋涡产生或消失的条件 只要不满足 Kelvin 定理的任何一个条件，旋涡都会产生或消失。 Kelvin 定理条件：理想正压流体、质量力有势、流场连续
边界层内有旋流动 （1）流体的粘性（非理想流体） 均匀来流 （2）存在间断（非连续流场） 法向间断 曲线激波
f
R ( r ) 2
2 2
1
T S i
1
p
(
V 2
2
i
1 2
2 r 2 ) V 2 V T S
与相对速度垂直
S l 0
在相对流线上投影
沿流线积分
V 2 1 i 2 r 2 C (l ) 2 2
工程流体力学(04)
流体力学基础
第1章 导论 第2章 流体静力学 第3章 理想流体动力学基本方程
第二篇 一元流动
第4章 第5章 不可压缩流体的一元流动 可压缩流体的一元流动
第4章
不可压缩流体的一元流动
4-1 粘性流动的伯努利方程 4-2 流体的两种流态 4-3 圆管中的层流 4-4 明渠中的层流 4-5 层流向紊流的过渡 4-6 紊流的速度分布 4-7 圆管紊流的沿程损失系数λ 4-8 沿程损失系数的实验研究 4-9 局部水头损失 4-10 工程应用举例 4-11 管流中的水击
V2 hj 2g
总水头损失等于沿程水头损失与局部水头损失之和
§4-2
流体运动的两种流态
由沿程水头损失源于流体的粘性切应力。粘性 的存在和影响，使流动呈现出两种不同的流态，沿 程水头损失hf也与流态有关。 19世纪初，许多研究者发现圆管流动中的水头损 失与速度大小有一定的关系。当速度比较小的时候， 水头损失与速度一次方成正比，而速度比较大时， 水头损失与速度的二次方或者接近二次方成正比。 为了揭示问题的实质，1883年英国科学家雷诺 (0．Reynolds)用实验表明，水头损失与速度的关系 之所以不同，是因为流动存在两种不同的流态。
p1 p2 r L 2
L
在管壁上，r＝d／2，切应力最大
p d 0 L 4
由伯努利方程
p1 p2
p1 V z1 g 2 g p2 V z2 hf g 2 g
2 2
2 1
L
p1 p2 p hf g g
p d 0 L 4
1 u 2 ( ) dA 1.33 A A V
p r V L 8
2 0
结合达西公式
高等流体力学PPT课件
2
aij ijkk
uD S r
表示由于流体微团变形而产生的 M 点相对于M点 的速度变化。
uR
1 ur
2
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 对于M 点的速度变化。
M 点相
26
26
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系：
u t x,y,z
u
u(x,
y,
z,
t)
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系：u u(x0, y0, z0,t)
u
t
x0 , y0 ,z0
流体质点速度随时间的变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
25
速度分解定理，应变率张量和旋转率张量
速度分解定理
ui
ui x j
xj
1 2
ui x j
u j xi
1 2
ui x j
u j xi
xj
sij x j aij x j S r A r
Sr 1 ur
2
u uD uR
aij x j ijk x jk r
物质导数
以矢量和张量下标形式表示的物质导数
D
Dt
t
uk
xk
D
Dt
t
u
t
u
算符
u
ui vj wk
i
x
j
y
k
z
u v w x y z
13
13
物质导数物理意义
D Dt t uk xk
D 物质导数，质点导数，随体导数；
Dt
欧拉参考系中的时间导数，称局部导数或就地导数，表示空
流体力学第04章流体动力学基础详解
均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水
力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式
是不可压缩液体的普遍方程式。
6
二、无粘性流体运动微分方程
理想流体， 0 得：欧拉方程
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
ux
p
4L
(r02
r2)
上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按 抛物面的规律分布的。
13
第二节 元流的伯怒利方程
一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分
沿流线积分得
fx
1
p x
dux dt
fxdx f ydy fzdz dp / d(u2 / 2)
以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为
fy fz
1
1
p y p z
du y dt duz dt
U p / u2 / 2 C
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u2 z C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有： 15
z1
p1
g
d 2ux p
dr2 2 L
dux dr
p
2L
r
C1
利用轴心处的条件 r 0, dux 0 ，得 C1 0 。故
高等流体力学
概念第一章绪论连续介质：但流体力学研究的是流体的宏观运动，不以分子作为流动的基本单元，而是以流体质点为基本单元，把流场看做是由无数流体质点组成的连续体。
流体质点：流场中一个体积很小并可以忽略其几何尺寸，但与分子相比，这个体积可容纳足够多的分子数目的流体元，有一个稳定的平均特性，即满足大数定律理想流体：忽略流体黏性的流体，即μ=0.可压缩流体与不可压缩流体：简单地讲，密度为常数的流体为不可压缩流体，如水、石油及低速流动的气体。
反之，密度不为常数的流体为可压缩流体。
牛顿流体与非牛顿流体：根据流体流动时切应力与流速梯度之间的关系，即牛顿内摩擦定律。
凡是符合牛顿内摩擦定律的成为牛顿流体，如水、空气、石油等。
否则为非牛顿流体，如污泥、泥石流、生物流体、高分子溶液等动力粘度与运动粘度：动力粘度又成为动力黏度系数，动力黏度是流体固有的属性。
运动粘度又称为运动粘性系数，运动黏性系数则取决于流体的运动状态体积力与表面力：体积力亦称质量力，是一种非接触力，即外立场对流体的作用，且外立场作用于流体每一质点上，如重力、惯性力、离心力。
表面力是一种表面接触力，指流体与流体之间或流体与物体之间的相互作用，主要指压力、切应力、阻力等定常流与非定常流：又称恒定流与非恒定流。
若流场中流体质点的所有运动要素均不随时间变化，则这种流动称为定常流；反之只要有一个运动要素随时间变化则为非定常流大气层分为5层：对流层、同温层、中间层、电离层及外逸层第二章流体运动学描述流体质点的位置、速度及加速度的两种方法，即拉格朗日法和欧拉法质点导数：亦称随体导数，表示流体质点的物理量对时间的变化率，亦即跟随流体质点求导数那布拉P9流体质点的运动轨迹称为迹线流线：此曲线上任一点的切线方向就是该点流速方向依照一定次序经过流场中某一固定点的各个质点连线称为脉线，也叫序线。
流体线：在流场中任意指定的一段线，该段线在运动过程中始终保持由原来那些规定的质点所组成。
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第四讲 气体流动的基本方程气体动力学是研究气体与物体之间有相对运动时，气体的运动规律以及气体和物体间相互作用的一门科学。
与液体相比，气体具有较大的压缩性，但这并不意味着所有情况下气体的密度都会有明显的变化。
在这里有必要澄清可压缩流体与可压缩流动这两个概念。
当气体速度流动较小（马赫数小于0.3)时，其密度变化不大，或者说对气流速度的变化不十分敏感，气体的压缩性没有表现出来。
因此，在处理工程实际问题时，可以把低速气流看成是不可压缩流动，把气体可以看作是不可压缩流体。
而当气体以较大的速度流动时，其密度要发生明显的变化，则此时气体的流动必须看成是可压缩流动。
由于可压缩流动要比不可压缩流动复杂得多，所以在本课程中只能简要地介绍有关气体一元稳定流动的一些基本知识，其中包括气体一元稳定流动的基本方程、声速及马赫数、气流参数、气动函数及其应用以及一元稳定管流等方面的知识，为今后的进一步研究复杂的气体流动打下一个基础。
一、一元稳定气流的基本方程一元稳定流动是一种最简单的理想化的流动模型。
气体在实际管道中的流动都不是真正的一元流动，但在工程上，只要在同一截面的气流参数变化比沿流动方向上的气体参数变化小得多，就可以看作是一元流动。
因此，在工程实际问题中，一元近似方法有着极其广泛的用途。
但是应该记住，一元流动假设只是一个较好的近似，如果需要更精确的结果，则必须用二元或三元流动的理论去处理。
在一元稳定流动中，气体的流动当然仍要遵守自然界中的一些基本定律，如质量守恒定律、牛顿第二定律、热力学第一定律和第二定律。
下面就来推导这些基本定律应用于气体一元稳定流动时的数学表达式，即流动的基本方程式。
（一）状态方程由热力学知道，气体的状态可用压力p 、温度T 和密度ρ等参数来描述，三者之间的函数关系称为状态方程，即(,,)0f p ρT = （4－1） 对完全气体而言，状态方程可写成p ρRT = （4－2） 式中p 绝对压力，Pa ；T 为热力学温度，K ；R 为特定气体的气体常数，对空气来讲R 可取为，287.06J/(kg·K)。
对式(4－2)取对数后再微分，便可得到完全气体状态方程的微分形式，即 d p p d ρρd T T =+ （4－3） 气体的另一个重要参数是比热容，即气体的定压比热容c p 和定容比热容c v ，对完全气体，两者之间存在着下列关系R c c v p =- （4－4） 它们的比值也是一个很重要的参数，称为比热比或绝热指数，用k 来表示。
即p v k c = (4－5)由式（4－4〉和(4－5)便可推出下面的关系式1p kc R k =- (4－6) 在本课程中我们只讨论定比热的完全气体流动问题，并忽略重力等质量力对气流的影响。
（二）连续方程连续方程是把质量守恒定律用于运动流体所得到的数学关系式。
我们已在工程流体力学中推导出了一元稳定流动的连续性方程，即mρAv == 常数 （4－7） 式中mdm dt = ，表示单位时间内流入或流出控制体流体的质量，称为流量，单位为kg/s 。
取对数后再微分可得气体一元稳定流动连续方程的微分形式0d ρρdA A dv v ++=。
(4－8) 式(4－7)和（4－8）便是气体一元稳定流动的连续方程及其微分形式。
其物理意义是沿流程方向各断面上的流量处处相同。
连续方程是一个运动方程，在其推导过程中并不牵涉到力的问题。
因此，无论是对理想流体还是粘性流体来讲都是适用的。
（三）微分形式的动量方程动量方程是把动量定理应用于运动流体所得到的数学关系式。
其内容可表达为:在某一瞬时，单位时间内流出控制体的流体的动量与流入控制体的流体的动量之差等于作用在控制体上的合外力。
图4－1为通过管道（或流管）的一元稳定流，沿流管的轴线方向取间距为ds 的两个截面aa 和bb ，其截面积分别为A 和A +dA 。
截面aa 上的气流参数为p ，ρ，v ，……，截面bb 上的参数p +dp ，ρ+d ρ，v +dv ，……。
取空间aabba为控制体，沿流动方向施用动量方程。
作用在控制体上的外力有： ○1作用在截面aa 上的压力pA ； ○2作用在截bb 上的压力-(p +dp )(A +dA )； ○3作用在流管侧表面上压力在s 方向上的分量 ()sin ()2sin 2dp dA dpp αp dA α+⋅=+○4质量力为ρgAds ，其分量为 －ρgAds cos β=－ρgAdz○5作用在流管侧面上的粘性力分量－δF f 。
单位时间内流入控制体的流体动量为mv &；单位时间内流出控制体的流体动量为()m v dv +&。
这样则有()()()2f dpρAgdz pA p dp A dA p δF -+-++++-()mv dv mv =+- 经合并整理，并略去高阶无穷小量，上式可简化为图9－1 微元控制体0f Adp ρAgdz δF mv+++=& （4－9)假设摩擦力为零，各项同除以A 后可得0dp vdv gdz ρρ++=。
（4－10) 此式便是理想流体一元稳定流动动量方程的微分形式。
对于气体，通常可以忽略其质量力，则上式又可写成 0dp ρvdv +=。
(4－11) 从上式中可以看出，压力增量dp 与速度增量dv 的符号相反。
这意味着，气体压力增大的地方，流速减小；气体压力减小的地方，流速增大，反之亦然。
(四) 能量方程能量方程是热力学第一定律应用于流动气体所得到的数学关系式，它表明了气体在流动过程中能量转换关系。
对于一个确定的系统，热力学第一定律可表示为δQ dE δW =+。
(4－12) 式（4－12)表明，传入系统的热量全部用于增加系统的内能和对外作功。
图9一2给出了一个一元稳定流动的模型。
在此模型中，气体与外界热源有热量的交换，并通过叶轮机的转轴与外界有功的交换。
在流管中任取两个垂直子流动方向的截面1－1和2－2，它们与其中间的管壁组成一个控制体，取t 时刻占据控制体的流体为系统，经过dt 时间后，此系统位于新的位置1′－1′'和2′－2′之间。
○1系统能量的变化为 II III I II ()()t dt t dE E E E E +=+-+。
由于流动稳定，所以有II I dE E E =-。
系统动能的变化为22222121II I ()222k v v v v dE dm dm dm -=-=。
系统位能的变化为21()h dE dmg z z =-，系统内能的变化图9－2 控制体模型21()u dE dm u u =-，式中u 为单位质量气体所具有的内能。
因此，经过dt 时间，系统能量的变化为222121211[()()()]2k h u dE dE dE dE dm v v g z z u u =++=-+-+-。
（a ）○2外界传入系统的热量 由于我们只注意气体的宏观运动，这里无需考虑传热过程的细节，仅仅用传热量δQ 来表示传热对流动的影响。
通常规定，外界向系统传入热量为正；反之，系统向外界传出热量为负。
○3系统对外所作的功 a.机械或称轴功δW s ：通常规定，系统对外作功为正；反之，外界对系统作功为负。
b.流动功δW p ：是指流体压力所作的功，并规定流体对外作功为正，外界对流体作功为负。
则2121222111212121()p p p p pδW p A dx p A dx dm dm dm ρρρρ=-=-=-。
c.壁面摩擦力所作的功：一般情况下，这部分功是很难精确计算的。
有一种情况其值为零，即当控制体的侧表面与饥匣内壁或管道内相重合时。
因为此时壁面上流体的运动速度为零，既使有摩擦力存在，它也不对控制体内的流体作功。
因此，在dt 时间内，系统对外所作的功为2121()s p s p pδW δW δW δW dm ρρ=+=+-。
（b ）将(a)、(b)两式代入式(4－12)得2221212121211[()()()()]2s p p dQ dm v v g z z u u δW ρρ=-+-+-+-+。
将上式各项同除以dt ，则可得2221212121211[()()()()]2sp p Q m v v g z z u u W ρρ=-+-+-+-+ 。
(4－13) 式中Q δQ dt = ——单位时间内流过控制面的热交换量；sW δW dt = 为单位时间内控制体内流体对外输出的轴功功率。
式（4－13）便是适用于控制体的一元稳定流动的能量方程式。
实用上，通常将u 和p /ρ两项合并起来称为热焓，用符号h 表示，即ph u ρ=+。
（4－14） 另外，对气体来说，可以不考虑其位能的变化。
这样引入热焓后能量方程可表示为2221211[()()]2sQ m v v h h W =-+-+ ， 将上式两边同除以m，则得 2221211()()2s q v v h h w =-+-+，或2221211()()2s q w v v h h -=-+-。
（4－15）式中q 为外界加给流过控制体的每单位质量气体的热量；w s 为流过控制体的每单位质量气体对外界所作的机械功(轴功)。
式(4－15)便是热焓形式的能量方程，式中各项的单位均为J/kg 。
它表明，外界加给 气流的热量和外界对气流所作的机械功用来增大气体的焓和动能。
对既没有热量交换也没有机械功输入输出的绝能流动过程，因q =0，w s =0能量方程可简化为2211221122h v h v +=+=常数。
（4－16） 对定比热容的完全气体，h =c p T ，则有2211221122p p c T v c T v +=+=常数 （4－17）从式(4－17)可以看出，在绝能流动中各截面上气流的焓和动能之和保持不变。
如果气体的焓减小(表现为温度下降)，则气体的动能增大(表现为速度增大)；反之亦然。
例4－1 某涡轮喷气发动机，空气进入压气机时的温度T l =290K ，经压气机压缩后，出口温度上升至T 2=450K ，如图所示。
假设压气机迸出口的空气流速近似相等，如果通过压气机的空气流量为13.2lkg/s ，求带动压气机所需的功率(设空气比热容为常数)。
解：在压气饥中，外界并未向气体加入热量，气体向外界散出的热量也可以忽略不计，故空气通过压气饥可近似地认为是绝热过程，即q =0。
又因v 1≈v 2，故由式(10－15)，有 212122()()1s p kw h h c T T R T T k -=-=-=--。
将已知数据代入上式，得 1.4287.06(450290)160.8kJ/kg 1.41s w =-⨯⨯-=--，即压气机每压缩1kg 空气需授功160.8kJ ，负号表示外界对气体作功。