人教版数学九年级上册 24. 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
学习目标：
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解并掌握垂径定理，并能应用它解决一些简单的 计算、证明问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
1、举例什么是轴对称图形。 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部
分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
A
E
C
.
O
B
A
O.
A
E C
D
B
M
D B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
课堂小结 人教版数学九年级上册 24. 垂直于弦的直径
内容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
1.即 便 我 们 知 道了 制约宇 宙的有 关定律 ，我们 仍然不 能利用 它们去 预言遥 远的未 来。这 是因为 物理方 程的解 会呈现 出一种 称作混 沌的性 质。这 表明方 程可能 是不稳 定的： 在某一 时刻对 系统作 非常微 小的改 变，系 统的未 来行为 很快会 变得完 全不同 . 2.在 不 稳 定 或 混沌 的系统 中，一 般地存 在一个 时间尺 度，初 始状态 下的小 改变在 这个时 间尺度 将增长 到两倍 。在地 球大气 的情形 下，这 个时间 尺度是 五天的 数量级 ，大约 为空气 绕地球 吹一圈 的时间 。 3.人 们 可 以 在 五天 之内作 相当准 确的天 气预报 ，但是 要做更 长远得 多的天 气预报 ，就既 需要大 气现状 的准确 知识， 又需要 一种不 可逾越 的复杂 计算。 我们除 了给出 季度平 均值以 外，没 有办法 对六个 月以后 做具体 的天气 预报。 4.我 们 还 知 道 制约 化学和 生物的 基本定 律，这 样在原 则上， 我们应 能确定 大脑如 何工作 。但是 制约大 脑的方 程几乎 肯定具 有混沌 行为， 初始态 的非常 小的改 变会导 致非常 不同的 结果。 这样， 尽管我 们知道 制约人 类行为 的方程 ，但在 实际上 我们不 能预言 它。 5.宇 宙 的 其 他 地方 对于地 球上发 生的任 何事物 根本不 在乎。 绕着太 阳公转 的行星 的运动 似乎最 终会变 成混沌 ，尽管 其时间 尺度很 长。这 表明随 着时间 流逝， 任何预 言的误 差将越 来越大 。在一 段时间 之后， 就不可 能预言 运动的 细节。 6.太 阳 和 其 他 恒星 绕着银 河系的 运动， 以及银 河系绕 着其局 部星系 团的运 动也是 混沌的 。我们 观测到 ，其他 星系正 离开我 们运动 而去， 而且它 们离开 我们越 远，就 离开得 越快。 这意味 着我们 周围的 宇宙正 在膨胀 ：不同 星系间 的距离 随时间 而增加 。 7.中 国 这 块 大 地上 ，存在 过许多 民族。 这许多 民族， 不管是 共时态 存在还 是历时 态存在 ，均可 以寻到 某种内 在的关 系。族 与族之 间的关 系有两 种：一 为血缘 性；另 为社会 性。民 族之间 不只是 存在着 血缘性 的关系 ，也还 存在社 会性的 关系， 其中最 主要是 文化关 系。 8.目 前 ， 虽 然 “大 众创业 、万众 创新” 的热潮 已遍及 全国， 很多有 志青年 步入创 业大军 ，但大 学生创 业成功 率低仍 是一个 不争的 事实。 可以说 ，我国 大学生 创业还 处于起 步阶段 ，真正 实现大 学生从 入学到 毕业、 从毕业 到创业 ，仍需 要全方 位、多 角度、 系统化 的理念 和实践 支撑， 需要更 多的社 会力量 去思考 、探索 。因此 ，要想 创业成 功，仅 仅具有 迎难而 上的勇 气是不 够的。
一个圆的任意两条 直径总是互相平分， 但它们不一定互相垂 直.因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
M A
C
O
D
B N
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和 一条直线来说，如果具备：
① 经过圆心 ② 垂直于弦
③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论。
A
18.7
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2, 即 R 2 1.7 8 2(R 7 .2 )2.
R R-7.2
O
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
人 教 版 数 学 九年级 上册 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
人 教 版 数 学 九年级 上册 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
①平分弧的直径必平分弧所对的( ) ②平分弦的直线必垂直弦 ( )
③垂直于弦的直径平分这条弦( ) ④平分弦的直径垂直于这条弦( ) ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ( ) ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ( )
垂径定理往往转化成应用勾股定理 解直角三角形
·O
E B
D
C
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
·O
题设
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
结论 A
E
B
｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AE=BE,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
判断下列图形，能否使用垂径定理？
命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的 两条弧。
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 求证：CD是直径， A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
利用新知 解决问题
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
C A
DB
O
利用新知 解决问题
人 教 版 数 学 九年级 上册 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
A
B
•
O
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 人教版数学九年级上册24.垂直于弦的直径 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并
且平分弦所对的两条弧。
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
.C O
命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直 A
E B
平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
D
已求知证：：CCDD是平直分径AB，，AA⌒BC是＝弦B⌒，C（并A且⌒DA＝⌒DB＝⌒DB⌒）DC（DA⌒⊥CA＝BB⌒C）。
●O
思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ A
C
如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设知 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
37.4
C
AD 1 AB 137.418.7, 7.2
22 O DO CD CR7.2.
垂径定理
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧.
辅助线
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
人 教 版 数 学 九年级 上册 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
人 教 版 数 学 九年级 上册 2 4 . 垂 直 于弦的 直径 人 教 版 数 学 九年级 上册 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
2、举例什么是中心对称图形。
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转 后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图 形叫做中心对称图形。 3、圆是不是轴对称图形？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几 次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径
所在直线都是它的对称轴．
C
O
rd
E
A
h
Da
有哪些等量 关系？
d+h=r
r
2
d
2
a 2
2
B
在a，d，r，h中，已知其中任意
两个量，可以求出其它两个量．
人 教 版 数 学 九年级 上册 2 4 . 垂 直 于弦的 直径
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
B
B
B
O
O
C
DC
DC
A
A
O E DC
O D
A
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！
C
推论：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平
·O
分弦所对的两条弧．
M
A
B
D
推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒ ⑤AD=BD.
人教版九年级数学上册24.垂径定理课件
方法归纳：
解决有关弦的问题时，
经常连结半径；过圆心
作一条与弦垂直的线段
等辅助线，为应用垂径
E
定理创造条件。
2m
垂径定理经常和勾股定 理结合使用。
在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的
距离d、弦长a、弓形高h中，任意知道
两个量，可根据 垂径定理 构造直角
三角形求出其余两个量。
C
(a)2 d 2 r2
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有 关的证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思 想和方法，在实验、视察、猜想、抽象、概括、 推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，
重复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
r
2
O
或( a )2 （r h）2 r 2 2
rd A ha
B
D
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相 等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证： 四边形ADOE是正方形．
C
E
·O
A
D
B
小结评学
１、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是它的对称轴．
2、垂径定理及其推论：
直径平分弦
于点Ｅ，则AＥ=BＥ( √ )
４则、AＥ如=图BＥ(4，)，Ａ︵Ｄ⊙＝O中Ｂ︵，Ｄ弦(AB√⊥半) 径ＯD于点Ｅ，
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｏ
Ｏ
Ｅ Ａ
ห้องสมุดไป่ตู้
ＢＡ Ｅ
ＢＡ
Ｄ 如图（1）
Ｄ 如图（2）
Ｏ Ｅ ＢＡ
Ｄ如图（3）
最新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径学习目标：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.一、知识链接1.说一说什么是轴对称图形？2.你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有什么发现？二、要点探究探究点1：垂径定理及其推论说一说 (1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？(2) 你是怎么得出结论的？问题如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?归纳总结：垂径定理——垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE，AC BC=，AD BD=.想一想下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？归纳总结：垂径定理的几个基本图形典例精析例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm.例2 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.思考探索如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？证明举例如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.(1) CD⊥AB吗？为什么？(2) AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么?归纳总结：垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 例3 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC BD.归纳总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.探究点2：垂径定理的实际应用问题 (教材P82例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？练一练：如图a 、b ，一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm ，则弓形的高为 .归纳总结：在圆中有关弦长a ，半径r ，弦心距d(圆心到弦的距离)，弓形高h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.三、课堂小结则此圆的半径为 .2.⊙O 的直径AB=20cm ，∠BAC=30°则弦AC= .3.(分类讨论题)已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF ，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 .4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．你认为AC 和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD= 600 m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.拓展提升如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围为 .参考答案自主学习一、知识链接1. 解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形.2. 解：能；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．课堂探究二、要点探究探究点2：问题解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦ABOD=OC-CD=R-7.23.2OA AD+学生励志寄语：同学们，通过这节课的学习，你们学到了哪些知识？要珍惜时间好好学习，要明白时间就像日历一样，撕掉一张就不会再回来。
2022九年级数学上册 第24章 圆 24.1圆的有关性 2垂直于弦的直径习题课件 (新版)新人教版
3.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下选项中不一定成立的是D (A.CE) ＝DE B. ＝ C.∠BAC＝∠BAD D.OE＝BE
4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴 交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为 ，那么点P的坐标为 ________. (3，2)
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.2.2822.2.28Monday, February 28, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:42:4309:42:4309:422/28/2022 9:42:43 AM 11、人总是珍惜为得到。22.2.2809:42: 4309:4 2Feb-2 228-Fe b-22 12、人乱于心，不宽余请。09:42:4309:42:4309:42M onday, February 28, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.2.2822.2.2809:42:4309:42:43Februar y 28, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年2月28日 星期一 上午9时42分43秒09:42:4322.2.28 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年2月 上午9时42分22.2.2809:42Februar y 28, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年2月28日 星期一 9时42分43秒09:42:4328 February 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时42分43秒 上午9时42分09:42:4322.2.28
.7米
D.8米
7.在直径为200 cm的圆柱形油箱内装入一些油后，截面如下图(油面在圆心 下).假设油面的宽AB＝160 cm，那么油的最大深度为40________cm.
人教版数学九年级上册.. 垂直于弦的直径完美课件
•
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
演讲完毕，谢谢观看！
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件
练一练(课本83页第二题) 1．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
C
E
·O
A
D
B
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件
5 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
则这弓形所在的圆的半径为
.
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件
C
A
D
B
O
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件
思考题：
7 已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6，CD=8， ⊙O的半径为5， （1）请根据题意画出符合条件的图形
AD=BD
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
O·
A
E
B
D
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O
A
E
D
O
B
A
E
D
A
人教版数学九年级初三上册 24.1.2垂直于弦的直径 名师教学教案 教学设计反思
24.1.2垂直于弦的直径敎學目标知识与技能:1.通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及过程与方法:通过探索垂径定理的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度:1.结合本课特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.敎學重点:垂径定理,会运用垂径定理等结论解决一些有关证明,计算和作图问题.敎學难点:垂径定理.敎學过程一、情境导入,初步认识你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图:课本第82页图24.1-7）敎學说明:赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系,了解我国古代人民的勤劳与智慧,要解决此问题需要用到这节课的知识,这样较好地调动了学生的积极性,开启了学生的思维,成功地引入新课.二、思考探究,获取新知1.圆的轴对称性问题1用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么？由此你能得到什么结论？敎學说明:学生通过自己动手操作,归纳出圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.证明:连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线∴对于圆上任意一点,在圆上都有关于直线CD的对称点,即⊙O关于直线CD对称.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.CD是直径,AB是弦,CD⊥AB所以:AE＝BEAC＝BCAD＝BD垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．三、师生互动,课堂小结1.你能说说物体的三视图与投影之间有什么联系吗？2.画一个几何体的三视图时应注意哪些问题？3.你在画图过程中出现过哪些问题？与同伴交流.敎學说明:师生共同回顾,教师在听取学生的看法后,作必要的总结,加深学生对本节知识的理解.。
人教版数学九年级初三上册 垂直于弦的直径 名师教学教案 教学设计反思
教师姓名杜巧云单位名称周至县二曲初级中学填写时间2020.08.06 学科数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称垂直于弦的直径难点名称圆是轴对称图形难点分析从知识角度分析为什么难垂径定理推导的基础是圆的轴对称性,而证明圆是轴对称图形,要将证明圆的对称转化为证明点的对称,在证明中又要添加两条半径构造等腰三角形,利用三线合一证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上。
才能证明圆是关于直径所在直线的轴对称图形。
转化、构造、严密推理、符号表达,知识本身就比较复杂。
从学生角度分析为什么难学生能知道圆是轴对称图形,但要将观察猜测所得到的结论进行推理验证,有一定的难度。
当直径与弦垂直时,将圆沿直径对折弦的两个端点会重合,从而得出重合的线段和劣弧,学生由于认知水平,无法准确想像。
学生从圆的轴对称性,抽象出图形、符号、语言形成垂径定理、应用垂径定理,从特殊到一般的思维方法,创新应用的解题方法都有待于教师的引导。
难点敎學方法1.通过几何画板的动点功能以及动画设置,化繁难为简易,化枯燥为趣味,直观演示圆是轴对称,并进行规范的证明,理解并掌握垂径定理。
2.设置两道层次递进的习题,经历垂径定理的应用过程,深刻理解方程思想,建立解题模型。
敎學环节敎學过程导入1.把圆沿着任意一条直径所在的直线对折,重复几次,你有什么发现？2.圆是轴对称图形,如何来证明圆是轴对称图形呢？知识讲解（难点突破）1.明确目的:要证明圆是轴对称图形,就是要证明圆上任意点关于直径所在直线的对称点也在圆上。
如图,设⊙O的直径为CD,点A为圆上点C、D以外的任意一点,过点A做CD⊥AB,交⊙O与B,垂足为M.需证明AM＝BM）2.分析:要证AM＝BM,只要证AM,BM构成的两个三角形全等．因此,只要连接OA,OB或AC,BC即可．证明:如图,连接OA,OB,则OA＝OB,在Rt△OAM和Rt△OBM中,∴Rt△OAM≌Rt△OBM,∴AM ＝BM,∴点A 和点B 关于CD 对称, ∵⊙O 关于直径CD 对称,于是,我们可以得到结论圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《圆的有关性质：垂直于弦的直径》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十四章圆《圆的有关性质：垂直于弦的直径》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握“垂直于弦的直径”这一圆的重要性质，能够运用该性质解决相关问题，如证明弦的中点与圆心连线垂直于弦、计算弦的中垂线长度等。
2.数学思维：通过观察和推理，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，加深对圆的基本性质的理解。
3.问题解决：能够运用所学知识解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
4.情感态度：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨的数学态度和探索精神。
教学重点•理解和掌握“垂直于弦的直径”的性质。
•运用该性质解决相关问题。
教学难点•如何引导学生通过观察和推理发现“垂直于弦的直径”的性质。
•如何灵活运用该性质解决复杂的数学问题。
教学资源•九年级人教版数学上册第二十四章教材。
•多媒体课件（包含圆的图形、动态演示等）。
•实物模型（如圆形纸片、直尺等）用于直观展示。
•练习题和例题集。
教学方法•直观演示法：利用实物模型和多媒体课件直观展示圆的性质。
•探究发现法：引导学生通过观察和推理发现“垂直于弦的直径”的性质。
•讲授与练习结合法：在讲授新知识的同时，穿插练习题巩固所学。
教学过程导入新课•情境创设：展示一张圆形纸片，提出问题：“如果我们在这张圆纸片上任意画一条弦，并找到这条弦的中点，然后连接圆心和这个中点，你们认为这条连线与弦之间会有什么关系？”引发学生思考。
•明确目标：告知学生本节课将学习“垂直于弦的直径”的性质，并解释其在圆中的重要性。
新课教学1.观察与推理•利用多媒体课件展示不同位置的弦和垂直于弦的直径的动态效果，引导学生观察弦的中点与圆心连线（即直径）与弦之间的垂直关系。
•提出问题：“为什么垂直于弦的直径会具有这样的性质？”引导学生尝试从圆的定义和性质出发进行推理。
•教师总结并给出“垂直于弦的直径”的正式定义和性质。
2.例题讲解•呈现一道典型例题，如“证明：在圆中，垂直于弦的直径平分这条弦。
人教版九年级上册数学垂直于弦的直径证明及计算训练
人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径证明及计算训练1．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．2．已知：如图，AB是O的一条弦，CD是O的一条直径，并且CD AB⊥，垂足为M．求证：,,===．AM BM AC BC AD BD3．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．4．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．（1）求证：AC＝CD；（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．5．如图，AB为O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长与AC交于点D，过点D作O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：//AC DE；（2）连接CD，若6==，请求出四边形ACDE的面积。
OA AE6．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．（1）求证:AP = AO；（2）若弦AB = 24，求OP的长．7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC 于E．求证：四边形AEOD是正方形．8．已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC．求证：AC2=AE AB．9．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB ，垂足为点E，如果BE=OE ，AB=12，求△ACD的周长10．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．11．如图．O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，225,4A OC ∠=︒=.，求CD 的长．12．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，且1324AB AC BC ===，，求⊙O 的半径．13．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10，弦CD 与AB 相交于点N ，∠ANC=30°，ON ：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M ． （1）求OM 的长； （2）求弦CD 的长．14．如图，O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30°，求弦CD 的长．15．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？16．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C 作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．17．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．18．如图，已知AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，点M在O上，M D∠=∠. （1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；（2）若16AE=，4BE=，求线段CD的长；（3）若MD恰好经过圆心O，求D∠的度数.参考答案1．证明：连结OA 、OC ，如图，∵E、F 分别为弦AB 、CD 的中点， ∴OE⊥AB，AE=BE ，OF⊥CD，CF=DF ， ∵AB=CD ， ∴AE=CF，在Rt△AEO 和Rt△COF 中，AE CFAO CO =⎧⎨=⎩， ∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL ）， ∴OE=OF． 2．证明：连接OA ，OB ，则OA OB =． 在Rt OAM 和Rt OBM 中， ∵,OA OB OM OM ==， ∴Rt OAM Rt OBM ≌． ∴,AM BM AOC BOC =∠=∠． ∴AC BC =． ∴180AOD AOC ∠=︒-∠，180BOD BOC ∠=︒-∠，∴AOD BOD ∠=∠ ∴AD BD =． 3．（解：（1）证明：∵DF ⊥CG ，CD ⊥AB ， ∴∠DEB ＝∠BFG ＝90°， ∵∠DBE ＝∠GBF ， ∴∠D ＝∠G ， ∵∠A ＝∠D ， ∴∠A ＝∠G ， ∴AC ＝CG ．（2）解：设⊙O 的半径为r ．则AG ＝OA +OG ＝r +10， ∵CA ＝CG ，CD ⊥AB ， ∴AE ＝EG ＝102r +，EC ＝ED ＝4， ∴OE ＝AE ﹣OA ＝102r-， 在Rt△OEC 中，∵OC 2＝OE 2+EC 2， ∴r 2＝（102r -）2+42，解得r ＝104373-+或104373--（舍弃）， ∴⊙O 的半径为437103-．4．解：（1）AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，//OC BD ，90AEO ADB ∴∠=∠=︒． OC AD ∴⊥，∴AC CD =，AC CD∴=；（2）由（1）可知OC AD⊥，又8AD=，∴142AE AD==．设O的半径为r，2CE=，2OE r∴=-，由勾股定理得：222AE OE OA+=，2224(2)r r+-=，5r∴=，O∴的半径为5．5．解：(1)证明：∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∴AC∥DE；(2)如图，连接CD，∵AC∥DE，且OA＝AE，∴F为OD的中点，即OF＝FD，又∵AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，∴AFO≌CFD(SAS)，∴S△AFO＝S△CFD，∴S四边形ACDE＝S△ODE，在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝6，∴OE＝12，∴DE＝22OE OD-＝22126-＝63，∴S四边形ACDE＝S△ODE＝12×OD×DE＝12×6×63＝183．6．（1）证明：∵PG平分∠EPF∴∠EPO=∠APO∵OA∥PE∴∠EPO=∠AOP∴∠APO=∠AOP∴AP=AO（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12AB=12∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25在Rt AHO中，222213125OH OA AH--由勾股定理得：2222525526OP OH PH++=则OP的长为26故答案为：267．证明：∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝12AB．同理AE＝CE＝12AC．∵AB＝AC，∴AD＝AE．∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，∴四边形ADOE为矩形．又∵AD ＝AE ，∴矩形ADOE 为正方形．8．连接BC,∵AB⊥CD，CD 为⊙O 的直径∴BC=AC,∴∠CAB=∠CBA又EA=EC,∴∠CAB=∠ECA∴∠CBA=∠ECA∴△AEC∽△ACB,AC AE AB AC∴= 即AC 2=AE ⋅AB.9．解：连接OC ．∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE =DE =12CD ．∵AB =12cm ，∴AO =BO =CO =6cm ．∵BE =OE ，∴BE =OE =3cm ，AE =9cm ．在Rt△COE 中，∵CD ⊥AB ，∴OE 2+CE 2=OC 2，∴CE 2263-=33∴CD =2CE =3cm ． 同理可AC =AD =63，∴△ACD 的周长为183．10．试题解析：如图，连接ON，OA，∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，∴AD=12AB=3.6m．又∵CD=2.4m，设OA=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9，∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB=2m，∴CH=2.4-2=0.4（m），∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5（m），在Rt△OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96（m2），2.96m），2.963m，∴此货船能顺利通过这座拱桥．11．解：∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE =DE ，∠CEO =90°，∵∠A=22.5°，∴∠COE =45°，在Rt△OCE 中，OC =2，∠COE =45°，所以CE =OE ，由勾股定理可得：CE 2+OE 2=OC 2，所以2 CE 2=OC 2，∴CE =∴CD =2CE =12．连接OA 交BC 于D 点，连接BO因为AB=AC ，所以弧AB ＝弧AC ，则OA 垂直平分BC （垂径定理），BD= 12，在直角三角形ABC 中根据勾股定理AD ＝5，在直角三角形OBD 中，设半径OB ＝x ，则有：()222125x x =+-，解方程得：x ＝16.9，答：⊙O 的半径为16.9.13．试题解析：∵AB=10，∴OA=5，∵ON：AN=2：3，∴ON=2，∵∠ANC=30°，∴∠ONM=30°， ∴OM=12ON=1；（2）如图，连接OC ，由勾股定理得：CM 2=CO 2-OM 2=25-1=24， ∴CM=26 ，∴CD=2CM=46．14．解：过点O 作OH CD ⊥，垂足为H .∵ 26AE EB ==，，∴ 4,2OA OB OE ===.∵ ∠30DEB =︒，∴ 1OH HD ==，,224115HD -∴ CD =1515．（1）∵直径AB=26m ，∴OD=11AB 2613m 22=⨯=，∵OE⊥CD，∴1DE CD 2=，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x ，ED=12x ，∴在Rt△ODE 中（5x ）2+（12x ）2=132，解得x=1，∴C D=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，∴824=（小时），即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．16．解：（1）如图1，连接OC．∵ AE=4，BE=2，∴AB =6，∴CO =AO=3，∴OE =AE-AO=1，∵CD⊥AB，22223122OC OE--∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE，∴ CD=2CE=42（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N．∵CD⊥AB，∴∠BED=90°．∵ M为BD中点，BD =DM，∴EM =12∴∠DEM=∠D，∴∠CEN=∠DEM=∠D．∵∠B=∠C，90∠+∠=︒B D∴∠+∠=︒C CEN90∴∠CNE =90°，即ME⊥AB．17．试题解析：（1）∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形．∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE•A E，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD==2．18．（1）BC∥MD．理由如下：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∴∠D=∠C，∴BC∥MD；（2）连接OC．∵AE=16，BE=4，∴OB=1642=10，∴OE=10﹣4=6．∵CD⊥AB，∴CE=12CD．在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得：CE=8，∴CD=2CE=16；（3）如图2．∵∠M=12∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=12∠BOD，即∠BOD=2∠D．∵AB⊥CD，∴∠BOD+∠D=90°，即3∠D=90°，解得：∠D=30°．。
2021年人教版数学九年级上册24 垂直于弦的直径(第2课时)教案与反思
24.1.2 垂直于弦的直径(第2课时)前事不忘，后事之师。
《战国策·赵策》圣哲学校蔡雨欣一、基本目标【知识与技能】1．理解与掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，获得几何学习的一些常用方法：合情推理、证明、抽象概括等．【情感态度与价值观】通过观察、操作、变换和研究的过程，进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论．【教学难点】垂径定理及其推论的运用．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．圆是__轴对称__图形，任何一条直径所在直线都是圆的__对称轴__.2．垂径定理：垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧．即一条直线如果满足：①CD经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M；那么可以推出：③__AM_＝_BM__ ，④__AC＝BC__，⑤__AD＝BD.3．垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解答】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连结OB .根据垂径定理，得C 是AB 的中点，D 是AB ︵ 的中点，CD 就是水深，则BC ＝AB ＝0.3米．由题意知，OD ＝OB ＝0.5米，在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2＝0.4米， 所以CD ＝OD －OC ＝0.1米，即此时的水深为0.1米．【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是多少？解：连结AO .由题意可知，OA ＝OC ＝5，则OD ＝OC －CD ＝5－1＝4.∵OC ⊥AB ，∴∠ODA ＝90°，∴AD ＝OA 2－OD 2＝3.又∵AB 为⊙O 的弦，∴AB ＝2AD ＝6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB ＝10 cm ，水面宽AB ＝16 cm.求截面圆心O 到水面的距离．解：过点O 作OC ⊥AB 于点C .∵OC ⊥AB ，AB ＝16 cm ，∴∠OCB＝90°，BC＝错误!未定义书签。