高中数学必修二课时跟踪检测(十三) 数系的扩充和复数的概念讲解附答案解析
课时跟踪检测（十三） 数系的扩充和复数的概念
A 级——学考合格性考试达标练
1．复数⎝
⎛⎭
⎫
2－
32i 的虚部为( ) A ．2 B ．－32
C ．2－
32
D ．0
解析：选C 由复数定义知C 正确．故选C.
2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23
D ．2
解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，即b ＝2.故选D.
3．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )
A ．A ∪
B ＝
C B ．A ＝B C ．A ∩(∁SB )＝∅
D ．(∁SA )∪(∁S B )＝C
解析：选D 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁SA )∪(∁S B )＝C 正确．故选D.
4．已知复数z 1＝1＋3i 的实部与复数z 2＝－1－a i 的虚部相等，则实数a 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－1
D ．1
解析：选C 易知1＋3i 的实部为1，－1－a i 的虚部为－a ，则a ＝－1.故选C. 5．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－3
D ．9 解析：选B 因为z 1＝a ＋2i ，z 2
＝3＋(a 2－7)i ，且
z 1＝z 2，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
a 2－7＝2，解得a
＝3.故选B.
6．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．
解析：易知⎩
⎪⎨⎪⎧
4－3a ＝a 2，
－a 2＝4a ，解得a ＝－4.
答案：－4
7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．
解析：由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧
m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.
答案：2
8．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为______． 解析：因为复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－3a ＋2＝0，
a －1≠0，解得a ＝2.
答案：2
9．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值． (1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ； (2)x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0.
解：(1)∵x ，y ∈R ，
∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1＝x －y ，
y ＋1＝－x －y ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3，y ＝－2.
(2)∵x ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，
x ＝3或x ＝－1，
∴x ＝3. 10．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R )，试求m 取何值时？ (1)z 是实数； (2)z 是纯虚数；
(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2>0，解得m ＝－1或m ＝－2，故当m ＝－1或m ＝－2时，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0，求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 是纯虚数．
(3)由lg(m 2－2m －2)>0，且m 2＋3m ＋2>0，解得m <－2或m >3，故当m <－2或m >3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．
B 级——面向全国卷高考高分练
1．复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )
A ．1或－1
B ．1
C ．－1
D ．0或－1
解析：选C 因为复数z ＝1a －1＋(a 2
－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，a －1≠0，
解得a
＝－1.故选C.
2．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋
y 的值为( ) A.1
2 B ．2 C ．0
D ．1
解析：选D 由复数相等的充要条件知，
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－1，
∴x ＋y ＝0.∴2x ＋
y ＝20＝1.故选D.
3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．－3－i
D ．－3＋i
解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝－1.
∴z ＝3－i.故选B. 4．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦⎤－7，916
B.⎣⎡⎦⎤9
16，7 C ．[－1,1]
D.⎣⎡⎦
⎤－9
16，7 解析：选D 由z 1＝z 2得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－
916.由于－1≤sin θ≤1，故－9
16
≤λ≤7.故选D. 5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则a 的取值范围是________．
解析：若复数为纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧
|a －1|－1≠0，
a 2－a －2＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≠0且a ≠2，
a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1. 故复数不是纯虚数时a ≠－1. 答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
6．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹方程是__________．
解析：由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，
消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，
即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 7．定义运算⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a
b c
d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值．
解：由定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc ，
得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.
因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝3x ＋2y ，
x ＋3＝y ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝0，
x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2. C 级——拓展探索性题目应用练
已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，求实数m 的值． 解：设a 为方程的一个实数根，则有 a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0.
由复数相等的充要条件得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，
解得⎩⎨⎧
m ＝112
，
a ＝－1
2.
故实数m 的值为1
12
.
如何学好数学
高中学生不仅仅要“想学”，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。
针对学生学习中出现的上述情况，我们有些建议：
1.树立学好高中数学的信心
进入高中就必须树立正确的学习目标和远大的理想。
学生可以阅读一些数学历史，体会数学家的创造所经历的种种挫折、数学家成长的故事和他们在科学技术进步中的卓越贡献，也可请高二、高三的优秀学生讲讲他们学习数学的方法，以此激励自己积极思维，勇于进取，培养学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
2.培养良好学习习惯
良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。
但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
课前自学是学生上好新课，取得较好学习效果的基础。
课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习主动权。
自学不能搞走过场，要讲究质量，力。
高中数学人教A版选修2-2同步训练：3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1 数系的扩充和复数的概念1、0a =是复数(),Z a bi a b R =+∈为纯虚数的( )A.充要条件,B.充分不必要条件,C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2、已知cos sin 44z i ππ=+,i 为虚数单位,那么平面内到点()1,2C 的距离等于z 的点的轨迹是( )A.圆B.以点C 圆心,半径等于1的圆C.满足方程221x y +=的曲线D.满足()()221122x y -+-=的曲线3、复数()()22,z a b a a i a b R =-++∈为纯虚数的充要条件是() A. a b =B. 0a <且a b =-C. 0a >且a b ≠D. 0a >且a b =±4、已知复数()2111z a i a =+--是实数,则实数a 的值为( )A. 1或1-B. 1C. 1-D. 0或1-5、若复数()2bi b R -∈的实部与虚部互为相反数,则b 的值为()A. 2-B. 23 C. 23-D. 26、若复数z 满足()21811z i i -=+,则4z i -=( )C.13D.157、已知复数34,z i i =+为虚数单位, z 是z 的共轭复数,则i z= ( ) A. 4355i -+ B. 4355i -- C. 432525i -+ D. 432525i --8、在复平面内,复数12,z z 对应点分别为,A B .已知(1,2)A ,AB =2z ,则2z = ( )A. 45i +B. 54i +C. 34i +D. 54i +或13255i + 9、若,x y R ∈,i 为虚数单位,且()3x y x y i i ++-=-,则复数x yi +在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,则( )A. 2a ≠或1a ≠B. 2a ≠且1a ≠C. 0a =D. 2a =或0a =11、若2222log (32)ilog (21)1x x x x --+++>,则实数x 的值(或取值范围)是__________.12、复数cos sin 22z i ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,若z 是实数,则θ的值为 ;若z 为纯虚数,则θ的值为 .13、设m R ∈,()2221m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m =__________.14、若,1,0t R t t ∈≠-≠时,复数11t t z i t t+=++的模的取值范围是__________.15、已知复数1z i =,212z =-. 1.求1z 及2z 并比较大小; 2.设z C ∈,满足条件21z z z ≤≤的点Z 的轨迹是什么图形?答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：B解析：设所求动点为(),x y ,又1z ==,1=, 即()()22121x y -+-=.故选B.3答案及解析：答案：D解析：由题意可得220a b -=,且0a a +≠,则0a >且a b =±.4答案及解析：答案：C解析： 因为复数()2111z a i a =+--是实数,且a 为实数,则210{10a a -=-≠解得1a =-.5答案及解析：答案：D解析：2bi -的实部为2,虚部为b -,由题意知()2b =--,∴2b =.6答案及解析：答案:C解析:7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：D解析：设()2,z x yi x y R =+∈,由条件得, 2222(1)(2)2041x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩ ∴5{4x y ==或15325x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9答案及解析：答案：A解析：∵()3x y x y i i ++-=-,∴3{1x y x y +=-=-,解得1{2x y ==. ∴复数12i +所对应的点在第一象限.10答案及解析：答案：D解析：∵z 在复平面内对应的点在虚轴上,∴220a a -=,解得2a =或0a =.11答案及解析：答案：-2解析：由题意知2222log (21)0log (32)1x x x x ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩,解得0214x x x x ==-⎧⎨<->⎩或或,即2x =-.12答案及解析： 答案：2π±,0 解析：cos sin sin cos 22z i i ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当z 是实数时, cos 0θ=∵ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2πθ=±; 当z 为纯虚数时sin 0{cos 0θθ-=≠,又ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴0θ=. 13答案及解析：答案：-2解析：由()2221m m m i +-+-是纯虚数可知2220,{10,m m m +-=-≠由此解得2m =-.14答案及解析： 答案：)2,⎡+∞⎣ 解析：22211221+1t t t t z t t t t ++⎛⎫⎛⎫=+≥⋅⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ (当且仅当11t t t t +=+,即12t =-时,等号成立),∴2z ≥.15答案及解析：答案：1. ()221312z =+=, 22213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴12z z >. 2.由21z z z ≤≤及1知12z ≤≤.因为z 的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离,所以1z ≥表示1z =所表示的圆外部所有点组成的集合, 2z ≤表示2z =所表示的圆内部所有点组成的集合,故符合题设条件点的集合是以O 为圆心,以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周),如图所示.解析：由Ruize收集整理。
【高中数学】数系的扩充和复数的概念课件 2022-2023学年高一人教A版(2019)必修第二册
（2）虚数；
（3）纯虚数.
解：(1) 当m 1 Hale Waihona Puke 0,即m 1 时,复数z是实数.
(2) 当m 1 0,即m 1 时,复数z是虚数.
(3) 当m 1 0,且m 1 0，即m 1 时,复数z是纯虚数.
4. 复数相等
=a+bi， = c+di (a,b,c,d∈R)，若 = 则
当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
举个例子
1
1
1
3 2i, 3i, 3 i, 0.2i都是虚数,它们的实部分别是3, ,- 3 ,0,
2
2
2
1
虚部分别是 2, 3 , ,- 0.2,并且其中只有 0.2i是纯虚数.
2
练习2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？
使这个方程有解吗？
数系的扩充：
引入一个
新的数集
正整数集N
自然数集N
整数集Z
0
负整数集
有理数集Q
分数集
实数集R
无理数集
？
？
解方程
x2+1=0
复数的概念：
为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一
个新数i，使得x=i 是方程x2+1=0的解，此时 i2= -1 .
纯虚数集
课后作业：
1.课本P73.习题7.1第1~3题
2.《优化设计——课后训练》练习
2. 复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z=a+bi (a, b∈R)，以后不作特殊说明时，复
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业及答案解析
人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y =D ．2x =，0y =3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ③若x 2+y 2=0，则x =y =0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．以复数3i 3-的实部为虚部的复数是________. 7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______. 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-i【答案】C【解析】复数2i -的虚部为－1，故选C ．2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y = D ．2x =，0y =【答案】B【解析】由题意得：02x x y =⎧⎨+=-⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩故选：B3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意得17,3a a a +=-=，选B.4．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=±本题选择D 选项.5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.6．以复数32i 32i -的实部为虚部的复数是________. 【答案】33i -. 【解析】32i -的虚部为3，32i -的实部为3- ∴所求复数为33i -故答案为：33i -7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______.【答案】12x =，2i y = 【解析】由()212i x y -+=，得210,2i ,x y -=⎧⎨=⎩解得12x =，2i y =.故答案为：12x =，2i y =． 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.【答案】（1）122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）42x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）()2120x y y i -++-= 21020x y y -+=⎧∴⎨-=⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由()()()()12321x y y i x y y i ++-=+++得：23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，解得：42x y =⎧⎨=-⎩能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 【答案】2【解析】依题意可得2220209m m m m m ⎧-=⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎩，即0? 22033m m m m =⎧⎪=≠⎨⎪-<<⎩或且，解得2m =.故答案为:2. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.【答案】（1）1m =（2）1m =或3m =-（3）0m = 【解析】（1）若复数z 是零，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =，即当1m =时，复数z 是零.（2）若复数z 是实数，则2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 即当1m =或3m =-时，复数z 是实数. （3）若复数z 是纯虚数，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩，解得0m =，即当0m =时，复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【答案】①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【解析】()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =.②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠.③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.《7.1.2 复数的几何意义》课后作业基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1BCD ．54．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．310．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．《7.1.2 复数的几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1BCD ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)【答案】B【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 【答案】±2【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析 【解析】(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．CD ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i + B ．i -C ．1D ．1- i【答案】C【解析】由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C 2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+ B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+【答案】A【解析】∵5634z i i +-=+，∴()3456210z i i i =+--=-+，故选：A 3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】34i z =-，5z ∴=，∴()1i 34i 51i 15i z z -+-=--+-=--，∴复数()1i z z -+-在复平面内对应的点为()1,5--，在第三象限.故选：C.4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形中CD BA OA OB ==-， 则(3)(13)42i i i +--+=-，所以CD 对应的复数为42i -，故选D ．5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-【答案】A【解析】12()()i 2z z y x x y -=++-=，即2,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩1x y ∴==，1xy ∴=.故选：A6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．【解析】21|12|d z z i =-=-==7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 【答案】9i + 【解析】BA OA OB =-，所以，表示向量BA 的复数为()()65349i i i +--+=+.故答案为：9i +.8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+； （2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.【答案】（1）18i --；（2）44i -+；（3）(43)a b i -+-【解析】（1）(12)(34)(56)(42i)(56)18i i i i i ++--+=--+=--. （2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+.（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+-能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．C D ．【答案】D【解析】 由题意得1255z z i -=+，所以12()(55)55f z z f i i -=+=+==故选D ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．【答案】(2,)+∞【解析】由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.故答案为(2,)+∞ 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i【解析】(1) AO OA =-，所以AO 所表示的复数为－3－2i . 因为BC AO =，所以BC 所表示的复数为－3－2i .(2) CA OA OC =-，所以CA 所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . (3) OB OA OC =+，所以OB 所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.【答案】（1）016z i =+；（2）复数z 对应点的轨迹为以1,6B （）为圆心，1为半径的圆【解析】（1）由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-， ∴(1,6)OB OA OC =+=， ∴点B 对应的复数016z i =+． （2）设复数z 所对应的点Z ， ∵01z z -=，∴点Z 到点()1,6B 的距离为1，∴复数z 所对应的点Z 的轨迹为以()1,6B 为圆心，1为半径的圆， 且其方程为()()22161x y -+-=.《7.2.2 复数的乘除运算》课后作业基础巩固1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）AB C ．3D ．52．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．2C D ．23．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-4．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 7．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为______. 8．计算：（1）(4)(62)(7)(43)i i i i -+--+； （2）32322323i ii i+-+-+； （3）(2)(1)(1)(1)i i i i i--+-+.能力提升9．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-10．在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z =______.11．在复数范围内解下列一元二次方程： （1）290x +=；（2）210x x -+=.素养达成12．古代以六十年为一个甲子用十天干和十二地支相配六十年轮一遍，周而复始。
高中数学选修22人教A课时跟踪检测：第3章 数系的扩充与复数的引入阶段性测试题三 含解析
阶段性测试题三第三章 数系的扩充与复数的引入 (时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数(1－i)(2＋b i)是纯虚数，则实数b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D.2解析：(1－i)(2＋b i)＝2＋b i －2i －b i 2＝2＋b ＋(b －2)i ，则b ＋2＝0，∴b ＝－2，故选A.答案：A 2．若复数z ＝1－i1＋i，则 z ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD.－i解析：z ＝1－i1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i2＝－i ，∴z ＝i ，故选C. 答案：C3．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D.0或－4解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4，故选C.答案：C4．设i 为虚数单位，则复数3－4ii 的虚部为( )A．3i B．3 C．－3i D.－3解析：3－4ii＝3i－4i2i2＝－3i－4，∴虚部为－3，故选D.答案：D5．在复平面内，复数z＝21＋i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D.第四象限解析：z＝21＋i＝2(1－i)(1＋i)(1－i)＝1－i，其对应的点位于复平面内的第四象限，故选D.答案：D6．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝3－i1＋2i，则|z|＝()A．2 B． 3 C. 2 D.1解析：解法一：z＝(3－i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝1－7i5，|z|＝125＋4925＝2，选C.解法二：|z|＝|3－i||1＋2i|＝105＝2，故选C.答案：C7．复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为() A．2 B．4C．8 2 D.4 2解析：由|z－4i|＝|z＋2|，得x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，得x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝4 2.当且仅当x ＝32，y ＝34时等号成立． 答案：D8．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019(i 为虚数单位)的虚部是( ) A ．i B ．－i C ．1D.－1解析：∵1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i2＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(－i)2 019＝－i 2 019＝－i 2 016·i 3＝i ， ∴它的虚部为1，故选C. 答案：C9．(2019·武邑中学高二月考)已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D.－2解析：解法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i ＝－2i.解法二：由已知得z －1＝－i ， 从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i＝2i ＝－2i.答案：B10．已知复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，则2z －z 2的共轭复数是( ) A ．1－3iB ．1＋3iC．－1＋3i D.－1－3i 解析：∵z＝1－i，∴2 z －z2＝21－i－(1－i)2＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)－(－2i)＝1＋i＋2i＝1＋3i，∴2z－z2的共轭复数是1－3i，故选A. 答案：A11．若z＝4＋3i，则z|z|＝()A．1 B．－1C.45＋35i D.45－35i解析：z|z|＝4－3i5＝45－35i，故选D.答案：D12．对任意复数z＝a＋b i(a，b∈R)，i为虚数单位，则下列结论中正确的是()A．z－z＝2a B．z·z＝|z|2C.zz＝1 D.z2≥0解析：∵z＝a＋b i，∴z＝a－b i.∴z－z＝(a＋b i)－(a－b i)＝2b i，A不正确；z·z＝(a＋b i)·(a－b i)＝a2＋b2＝|z|2，B正确；z z ＝a－b ia＋b i＝(a－b i)2(a＋b i)(a－b i)＝a2－b2－2ab ia2＋b2≠1，C不正确；z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i，z2可能为虚数，不能比较大小，D不正确．综上，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知i 是虚数单位，则复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是________． 解析：∵z ＝－3＋i2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，∴复数z 的共轭复数是－1－i. 答案：－1－i 14.1＋i 1－i2 017等于________．解析：1＋i 1－i2 017＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )2 017＝2i 22 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i. 答案：i 15．若复数a ＋i1－i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值为________． 解析：a ＋i1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －1)＋(a ＋1)i2＝a －12＋a ＋12i ，∴⎩⎨⎧a －12＝0，a ＋12≠0，解得a ＝1.答案：116．若x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，则|x |＋|y |＝________. 解析：设x ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，∴(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2a )2＝4，3(a 2＋b 2)＝6，∴a 2＝1，b 2＝1，∴|x |＋|y |＝2a 2＋b 2＝2 2.答案：2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1－i 1＋i＋i. 解：(1)原式＝5－2－3＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)原式＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋i ＝－2i2＋i ＝0.18．(12分)设实部为正数的复数z ，满足|z |＝5，且复数(1＋3i)z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．(1)求复数z ；(2)若复数z ＋m 2(1＋i)－2i ＋2m －5为纯虚数，求实数m 的值． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R ，且a >0)， 由|z |＝5，得a 2＋b 2＝5.又复数(1＋3i)z ＝(a －3b )＋(3a ＋b )i 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．则a －3b ＝3a ＋b ，即a ＝－2b ， 又a >0，所以a ＝2，b ＝－1，则z ＝2－i.(2)z ＋m 2(1＋i)－2i ＋2m －5＝m 2＋2m －3＋(m 2－1)i 为纯虚数， 所以⎩⎨⎧m 2－1≠0，m 2＋2m －3＝0，可得m ＝－3.19．(12分)O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R )，z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．解：由题意知z 1＋z 2为实数，z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，得z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i 的虚部为0，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3；又分母不能为0，∴a ＝3，此时，z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，OZ 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，OZ 2→＝(－1,1)，所以OZ 1→·OZ 2→＝58. 20．(12分)已知复数z 满足z ＋|z |＝1＋3i ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∵z ＋|z |＝1＋3i ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0， ∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－1＋a ＝0，b －3＝0，得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3.∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝3＋4i.21．(12分)设m ∈R ，复数(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i 是纯虚数． (1)求m 的值；(2)若－2＋m i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值． 解：(1)因为复数(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m ≠0，解得⎩⎨⎧m ＝2或m ＝3，m ≠0且m ≠3，所以m ＝2.(2)因为－2＋m i 是方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，所以 (－2＋2i)2＋p (－2＋2i)＋q ＝0， 即(－2p ＋q )＋(2p －8)i ＝0，所以⎩⎨⎧ －2p ＋q ＝0，2p －8＝0，解得⎩⎨⎧p ＝4，q ＝8.22．(12分)已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根． 解：(1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0. ∴⎩⎨⎧ b ＋c ＝0，2＋b ＝0，得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝2. ∴b ，c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边， 即x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的一个根．。
人教版高中数学选修2-2课时跟踪检测(十八)数系的扩充和复数的概念(20210717220041)
课时追踪检测（十八）数系的扩大和复数的观点层级一学业水平达标1．以 3i － 2的虚部为实部，以 3i 2＋ 2i 的实部为虚部的复数是()A ． 3－ 3i ． 3＋ i C ．－ 2＋ 2i. 2＋ 2i分析： 选 A 3i － 2的虚部为3,3i 2＋ 2i ＝－ 3＋ 2i 的实部为－ 3，应选 A.2． 4－ 3a － a 2i ＝ a 2 ＋ 4ai ，则实数 a 的值为 () A ． 1 B ．1 或－ 4 C ．－ 4D ．0 或－ 4 4－3a ＝ a 2，解得 a ＝－ 4.分析： 选 C 由题意知－ a 2＝4a ，3．以下命题中：①若 x ，y ∈ C ，则 x ＋ yi ＝ 1＋ i 的充要条件是x ＝ y ＝ 1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－ z 2 )2＋ (z 2－ z 3)2＝ 0，则 z 1＝ z 2＝ z 3；④若实数 a 与 ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是()A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析： 选 A ① 取 x ＝ i ， y ＝－ i ，则 x ＋ yi ＝ 1＋ i ，但不知足x ＝ y ＝1，故 ① 错； ②③错；对于 ④ ， a ＝ 0 时， ai ＝ 0，④ 错，应选 A.4．复数 z ＝ a 2 － b 2＋ (a ＋|a|)i(a ， b ∈R) 为实数的充要条件是 ( )A ． |a|＝ |b|B ． a ＜ 0 且 a ＝－ bC ． a ＞ 0 且 a ≠bD ． a ≤0分析： 选 D 复数 z 为实数的充要条件是 a ＋|a|＝ 0，故 a ≤0. 5．若复数 cos θ＋ isin θ和 sin θ＋ icos θ相等，则 θ值为 ( ) A.ππ4B.或5π44ππC ． 2k π＋ 4(k ∈ Z)D ． k π＋ 4(k ∈ Z)cos θ＝ sin θ， 分析： 选 D由复数相等定义得sin θ＝ cos θ，π∴ tan θ＝ 1，∴ θ＝ k π＋ 4(k ∈ Z) ，应选 D.6．以下命题中：①若③两个虚数不可以比较大小；④a ∈R ，则x ＋ yiai 为纯虚数；②若a ，b ∈R ，且 a ＞ b ，则 a ＋ i ＞ b ＋ i ；的实部、虚部分别为x ， y. 此中正确命题的序号是________．分析： ① 当 a ＝ 0 时， 0i ＝ 0，故 ① 不正确； ② 虚数不可以比较大小，故 ②不正确； ③ 正确；④x ＋ yi 中未标明 x ， y ∈ R ，故若 x ， y 为复数，则 x ＋ yi 的实部、虚部未必是x ， y.答案： ③7．假如 (m 2－ 1)＋ (m 2－ 2m)i ＞ 1 则实数 m 的值为 ______． m 2－ 2m ＝ 0，分析： 由题意得解得 m ＝ 2.m 2－ 1＞ 1，答案： 28．已知 z 1＝－ 3－ 4i ，z 2＝ (n 2－ 3m － 1)＋ (n 2－ m － 6)i ，且 z 1＝ z 2，则实数 m ＝ ________，n ＝ ________.分析： 由复数相等的充要条件有n 2－ 3m － 1＝－ 3， m ＝ 2， n 2－ m － 6＝－ 4 ?n ＝ ±2.答案： 2 ±29．设复数 z ＝ log 2(m 2－ 3m － 3)＋ log 2 (3－ m)i ， m ∈ R ，假如 z 是纯虚数，求m 的值．m 2－ 3m － 3＞0，3－ m ＞ 0，解： 由题意得解得 m ＝－ 1.2log 2(m － 3m － 3)＝ 0，10．求合适等式 (2x － 1)＋ i ＝ y ＋ (y － 3)i 的 x ， y 的值．此中 x ∈ R ， y 是纯虚数．解： 设 y ＝ bi(b ∈ R 且 b ≠0)，代入等式得 (2x － 1)＋ i ＝ bi ＋ (bi － 3)i ，即 (2x － 1)＋ i ＝－ b ＋ (b － 3)i ，2x － 1＝－ b ， ∴1＝ b － 3，3解得x ＝－2，b ＝4.即 x ＝－ 3， y ＝4i. 2 1．若复数层级二应试能力达标2()A ． a ＝－ 1C ． a ≠－ 1分析：选 C若复数B ． a ≠－ 1 且 a ≠2D ． a ≠2(a 2－ a － 2)＋ (|a －1|－ 1)i 不是纯虚数， 则有 a 2－ a － 2≠0或 |a － 1|－ 1＝ 0，解得 a ≠－ 1.故应选 C.2．已知会合 M ＝{1， (m 2－ 3m － 1)＋ (m 2－ 5m － 6)i} ， N ＝ {1,3} ， M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为 ( )A ． 4B ．－ 1C ．4或－ 1D ．1或6分析：选Bm 2－ 3m － 1＝ 3，由题意知 ∴ m ＝－ 1.m 2－ 5m － 6＝ 0，3．已知对于 x 的方程 x 2＋ (m ＋ 2i) x ＋ 2＋ 2i ＝ 0(m ∈ R) 有实数根 n ，且 z ＝ m ＋ ni ，则复数 z 等于 ()A ． 3＋ iB ． 3－ iC ．－ 3－ iD ．－ 3＋ i分析：选B 由题意知 n 2＋ (m ＋ 2i)n ＋ 2＋ 2i ＝ 0，n 2＋ mn ＋ 2＝ 0， m ＝ 3， 即解得2n ＋ 2＝ 0.n ＝－ 1.∴ z ＝ 3－ i ，故应选 B.4．若复数 z 1＝ sin 2θ＋ icos θ， z 2＝ cos θ＋ i 3sin θ(θ∈ R) ， z 1＝ z 2，则 θ等于 ()πA ． k π(k ∈ Z)B ． 2k π＋ 3(k ∈ Z)πD ． 2k π＋ πC ． 2k π±(k ∈ Z)6 (k ∈ Z)6分析：选Dsin 2θ＝ cos θ，由复数相等的定义可知，cos θ＝ 3sin θ.∴ cos θ＝ 3， sin θ＝ 1π.∴ θ＝ ＋ 2k π， k ∈ Z ，应选 D.2 2 65．已知 z 1＝ (－ 4a ＋ 1)＋ (2a 2＋ 3a)i ， z 2＝ 2a ＋ (a 2＋ a)i ，此中 a ∈ R. 若 z 1＞ z 2，则 a 的取值会合为 ________．2a 2 ＋ 3a ＝ 0，分析： ∵ z 1＞ z 2， ∴ a 2＋ a ＝0，－ 4a ＋ 1＞ 2a ，∴ a ＝ 0，故所求 a 的取值会合为 {0}．答案： {0}6．若 a － 2i ＝ bi ＋ 1(a ， b ∈ R) ，则 b ＋ ai ＝ ________.a ＝ 1， 分析： 依据复数相等的充要条件，得b ＝－ 2，∴ b ＋ ai ＝－ 2＋ i.答案： － 2＋ i7．定义运算 ＝ ad － bc ，假如 (x ＋ y)＋ (x ＋ 3)i ＝，务实数 x ，y 的值．解：由定义运算＝ad－bc，得＝ 3x＋ 2y＋ yi，故有 (x＋ y)＋ (x＋ 3)i＝ 3x＋ 2y＋ yi.x＋ y＝ 3x＋ 2y，由于 x， y 为实数，因此有x＋ 3＝ y，2x＋ y＝ 0，得x＋3＝ y，得 x＝－ 1， y＝ 2.8．已知会合 M ＝{( a＋ 3)＋(b2－ 1)i,8}，会合 N＝ {3i ，(a2－ 1)＋ (b＋ 2)i} 知足 M ∩N ? M ，务实数 a， b 的值．解：依题意，得 (a＋ 3)＋ (b2－ 1)i＝ 3i，①或 8＝ (a2－ 1)＋ (b＋ 2)i.②由①，得 a＝－ 3， b＝±2，由②，得 a＝±3， b＝－ 2.综上， a＝－ 3， b＝ 2，或 a＝－ 3， b＝－ 2 或 a＝ 3， b＝－ 2.。
高中数学第7章复数7.1复数的概念课时作业16数系的扩充和复数的概念新人教A版必修第二册
课时作业16 数系的扩充和复数的概念知识点一 复数的概念 1.下列命题中正确的是( ) A ．0是实数不是复数B ．实数集与复数集的交集是实数集C ．复数集与虚数集的交集是空集D ．若实数a 与a i 对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应 答案 B解析 A 中，0是实数也是复数，A 不正确；B 中，实数集与复数集的交集是实数集，B 正确；C 中，复数集与虚数集的交集是虚数集，C 不正确；D 中，当a ＝0时，a i ＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，D 不正确．故选B.2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i答案 C解析 (1＋3)i 的实部为0，虚部为1＋ 3. 知识点二 复数的分类3.若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1答案 A解析 由复数z 为纯虚数，可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.4．设a ，b ∈R ，则“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b ∈R ，则“a ＝0”时，“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以设a ，b ∈R ，则“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.知识点三 复数相等5.已知复数z 1＝(a ＋2b )＋(a －b )i ，z 2＝－4b ＋(2a ＋1)i(a ，b ∈R )，当z 1＝z 2时，a ＋b ＝________.答案 －1解析 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝－4b ，a －b ＝2a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－65，b ＝15，所以a ＋b ＝－65＋15＝－1.6．求满足下列条件的实数x ，y 的值： (1)x i －i 2＝y ＋2i ； (2)(x 2＋y 2)＋2xy i ＝6－6i ； (3)(2x －1)－(3－y )i ＝0.解 (1)由i 2＝－1可得x i ＋1＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.(2)根据复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝6，2xy ＝－6，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝ 3.(3)由于0＝0＋0i ，则根据复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，－(3－y )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3.7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎨⎧m＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m |<10.∴当m ＝3时，原不等式成立．一、选择题1．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ＝b ＝0，则(a －b )＋(a ＋b )i 不是纯虚数；若(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ≠0.2．设全集I ＝{复数}，R ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则( ) A ．M ∪R ＝I B ．(∁I M )∪R ＝I C ．(∁I M )∩R ＝R D ．M ∩(∁I R )＝∅答案 C解析 根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I ，R ，M 三个集合之间的关系如图所示．所以应有：M ∪R I ，(∁I M )∪R ＝∁I M ，M ∩(∁I R )≠∅，故A ，B ，D 均错误，只有C 正确． 3．以复数52－i x 2＋2x (x 2＋2x ＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点( )A ．在圆x 2＋y 2＝2上 B ．在圆x 2＋y 2＝2外 C ．在圆x 2＋y 2＝2内D ．与圆x 2＋y 2＝2的位置关系不确定 答案 B解析 因为以复数52－i x 2＋2x (x 2＋2x ＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－x 2＋2x .又254＋x 2＋2x ＝(x ＋1)2＋214＞2，所以该点在圆x 2＋y 2＝2外，选B. 4．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D.k π2＋π4(k ∈Z ) 答案 B解析 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4(k ∈Z )．5．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－32 D.16答案 A解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，解得a ＝0.a ＜16，二、填空题 6．给出下列复数：①－2i ，②3＋2，③8i 2，④isinπ，⑤4＋i.其中表示实数的有________(填序号)．答案 ②③④解析 ②显然为实数；③8i 2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数． 7．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________. 答案 －2解析 把原式整理得，(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，解得m ＝－2.8．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析 由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.由于－1≤sin θ≤1，故－916≤λ≤7.三、解答题9．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，求实数m ，n 的值．解 ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2，∴m ＝2，n ＝±2.10．求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6.(1)复数z 是实数的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3，即m ＝－2.∴当m ＝－2时复数z 为实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，即m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 为虚数． (3)复数z 是纯虚数的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－2且m ≠－3，m ≠－3，即m ＝3.∴当m ＝3时复数z 为纯虚数．。
数系的扩充和复数的概念(课件)-人教A版(2019)必修第二册
无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力 的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉 斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。
15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci2, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的 数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可 名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列 的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循 环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。
实数
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代 肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实 数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯 （1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ） 作出了杰出的贡献。
整数集
有理数集
“数”是万物的本 源，支配整个自然界和 人类社会．世间一切事 物都可归结为数或数的 比例，这是世界所以美 好和谐的源泉．
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1 1
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
实数集
实数
பைடு நூலகம்有理数 无理数
7.1复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
09人教A版 必修二
2019_2020学年新教材高中数学第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念课时作业新人教A版必修第二册
7.1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．a ＝0是复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ＝0时，a ＋b i 不一定为纯虚数，因为a ＝0，b ＝0时，a ＋b i ＝0，当a ＋b i 为纯虚数时a ＝0.答案：B2．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( )A ．x ＝0且y ＝3B ．x ＝3且y ＝－3C ．x ＝5且y ＝2D ．x ＝3且y ＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，8x －y ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3，故选A. 答案：A 3．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A ．x ＝－12B ．x ＝－2或x ＝－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－2解析：依题意得x 2＋x －2≠0，解得x ≠1且x ≠－2.答案：D4．若全集C ＝{复数}，Q ＝{有理数}，P ＝{虚数}，则(∁C Q )∪(∁C P )是( )A ．CB ．无理数集C ．QD ．R解析：在全集C 中，有理数集Q 的补集是虚数集P 和无理数集；虚数集P 的补集是实数集，所以(∁C Q )∪(∁C P )是全集C .答案：A二、填空题5．若a －2i ＝b i ＋1，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝________.解析：因为a －2i ＝b i ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，故a 2＋b 2＝5. 答案：5 6．若复数z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－12＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.答案：－17．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于________．解析：因为z <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－9＝0，m ＋1<0，所以m ＝－3.答案：－3三、解答题8．写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ，；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解析：①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．9．求适合方程xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i 的实数x ，y 的值．解析：由复数相等的条件可知：⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝2，－x 2＋y 2＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1.[尖子生题库] 10．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解析：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠－1，m ≠－2且m ≠－1，解得m ≠－2且m ≠－1.∴当m ≠－2且m ≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或m ＝－2，m ≠－1且m ≠－2. 解得m ＝0.∴当m ＝0时，z 为纯虚数．。
数系的扩充与复数的概念+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
我们知道若 a bi 0 则 a __0___ b __0__
如何定义两个复数的相等？
3 、复数相等
注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较 大小。
类型三 复数相等的充要条件的应用 例 3 若实数 x，y 满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，求 x，y 的值．
解：由(1＋i)x＋(1－i)y＝2，得
(x＋y)＋(x－y)i＝2，依复数相等的充要条件有
x＋y＝2， x－y＝0，
解得
x＝1， y＝1.
∴实数 x＝1，y＝1.
3 、复数的分类
思 考？
复数集
复数集，虚数集，实数集， 虚数集
纯虚数集之间的关系？
纯虚数集
实数集
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯
虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618
2i
0
i2
i 1 3
7
5i+8， 3 9 2i
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立 足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观发展规律 的要发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。那么， 在实数集向复数集发展的过程中，我们应该如何发 扬和完善，否定和抛弃呢？
问题：数系为什会一次一次的被扩充？
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
类型一 复数的概念
C
类型二 复数的分类
例2：当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
2023版新高考新教材高考总复习 第13章 数系的扩充与复数的引入 真题及答案
第十三章数系的扩充与复数的引入1.(2022黑龙江3月测试,2)复数z=i(1-i)(i为虚数单位)的共轭复数=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案B∵z=i(1-i)=1+i,∴=1-i.2.(2022陕西质检,3)若复数z=(a为实数,i为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的值可以是()A.2B.1C.0D.-1答案C z=(a+1)i,∵z在复平面内对应的点在第三象限,∴即-1<a<1.∴实数a的值可以是0.故选C.3.(2022陕西榆林二模,1)复数z=i(1+2i3)的实部为()A.-2B.0C.1D.2答案D i(1+2i3)=i(1-2i)=2+i.故其实部为2.4.(2022成都二诊,2)已知复数z满足(1-i)·z=|1+i|(i是虚数单位),则复数z的共轭复数的虚部为()A.1B.iC.-iD.-1答案D因为(1-i)·z=|1+=1+i,则=1-i,故的虚部为-1.故选D.5.(2022云南、宁夏联考,2)设复数z满足(1+i)z=4-2i,则z=()A.1-3iB.1+3iC.-1+3iD.-1-3i答案A因为(1+i)z=4-2i,所以z==1-3i,故选A.6.(2022河南天一联考(五),2)已知a,b∈R,且复数z=+i∈R,则()A.a+b=0B.a+b=2C.a-b=0D.a-b=2答案B z=i,因为z∈R,所以1-=0,所以a+b=2.7.(2022成都模拟,2)若z=1+2i,则=()A.iB.-iC.1D.-1答案B=-i.故选B.8.(2022银川模拟,2)设复数z满足iz=2-i,则z=()A.-1-2iB.1-2iC.1+2iD.-1+2i答案A因为复数z满足zi=2-i,所以z==-1-2i.9.(2022西安二模,2)已知m,n∈R,i是虚数单位,若(m+i)(1-i)=ni,则|n-2mi|=()A.2 D.3答案A由(m+i)(1-i)=ni得m+1+(1-m)i=ni,所以⇒.故选A.10.(2022安徽含山中学三模,2)已知复数z=为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数a=()A.1B.-1C.2D.-2答案B z=≠0,解得a=-1,故选B.11.(2022山西二模,2)已知z=,则z在复平面内对应的点的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)答案A z==i(2-i)=1+2i,∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2).故选A.12.(2022四川高县中学校模拟,2)在复平面内,O为原点,四边形OABC是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别为z1,z2,z3,若z1=1,z3=-2+i,则z2=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案C由复数加法的几何意义可得,z2=z1+z3=1-2+i=-1+i.故选C.13.(2022陕西模拟,2)在复平面内,复数z对应的点为(3,4),则=()A.iC.1-2iD.1+2i答案B因为复数z对应的点为(3,4),所以z=3+4i,所以i,故选B.14.(2022内蒙古赤峰三模,2)若复数z满足z(1-2i)=5,则下列说法正确的是()A.z=1-2iB.z+1是纯虚数C.复数z在复平面内对应的点在第二象限D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上,则cosα=答案D由题意得z==1+2i,其在复平面内对应的点为(1,2),在第一象限,故A,C错误; z+1=2+2i,不是纯虚数,故B错误;因为角α的终边过z在复平面内对应的点(1,2),所以cosα=,故D正确.故选D.15.(多选)(2022湖北九师联盟10月质检,10)设z1,z2是复数,则()A.=-B.若z1z2∈R,则z1=C.若|z1-z2|=0,则=D.若+=0,则z1=z2=0答案AC对于B,取z1=i,z2=2i,满足z1z2∈R,但结论不成立,故B错误.对于D,取z1=i,z2=1,满足+=0,但结论不成立,故D错误.设z1=a+bi,z2=x+yi,a,b,x,y∈R,对于A,==(a-x)-(b-y)i=a-bi-(x-yi)=-成立,故A正确.对于C,|z1-z2|=|(a-x)+(b-y)i|=0,则(a-x)2+(b-y)2=0,所以a=x,b=y,从而z1=z2,所以=,故C正确.故选AC.16.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=-i,则()A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轭复数i答案AC依题意得|z|==2,故A选项正确,B选项错误;+i,C选项正确;z2=i,D选项错误,故选AC.二、填空题17.(2022天津南开中学统练(2),10)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.答案-2解析i,由题意得-=0,解得a=-2.18.(2022河北一模,10)i是虚数单位,则的值为.答案1解析∵=|i|=1.小题巧解=1.19.(2022天津塘沽一中一模,10)i是虚数单位,复数z=,则为.答案解析∵z=,∴.20.(2022天津南开中学月考二,10)i是虚数单位,若是纯虚数,则实数m=. 答案-1解析i.由题意得,解得m=-1.小题巧解若(a,b,c,d∈R,c+di≠0)为纯虚数,则ac+bd=0.故2m+2=0,解得m=-1.【】第十三章数系的扩充与复数的引入五年高考考点一复数的概念1.(2022全国甲文,3,5分,基础性)若z=1+i,则|iz+3|=()A.4答案D2.(2022全国乙理,2,5分,基础性)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2答案A3.(2022全国乙文,2,5分,基础性)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1答案A4.(2022北京,2,4分,基础性)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=()A.1B.5C.7D.25答案B5.(2020课标Ⅲ理,2,5分,基础性)复数的虚部是()A.-答案D6.(2020浙江,2,4分,基础性)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C7.(2020课标Ⅰ文,2,5分,基础性)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.D.2答案C8.(2020北京,2,4分,基础性)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i答案B9.(2019课标Ⅰ理,2,5分,基础性)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C10.(2019课标Ⅱ理,2,5分,基础性)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C11.(2020课标Ⅱ理,15,5分,基础性)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=.答案2考点二复数的运算1.(2022新高考Ⅰ,2,5分,基础性)若i(1-z)=1,则z+=()A.-2B.-1C.1D.2答案D2.(2022新高考Ⅱ,2,5分,基础性)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i答案D3.(2022全国甲理,1,5分,基础性)若z=-1+=()A.-1+iC.-i答案C4.(2021新高考Ⅰ,2,5分,基础性)已知z=2-i,则z(+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C5.(2021全国乙理,1,5分,基础性)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C6.(2021全国乙文,2,5分,基础性)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C7.(2020新高考Ⅰ,2,5分,基础性)=()A.1B.-1C.iD.-i答案D8.(2020新高考Ⅱ,2,5分,基础性)(1+2i)(2+i)=()A.-5iB.5iC.-5D.5答案B9.(2021全国甲,理3,文3,5分,基础性)已知(1-i)2z=3+2i,则z=()A.-1-iC.--i答案B10.(2020课标Ⅱ文,2,5分,基础性)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A11.(2020课标Ⅲ文,2,5分,基础性)若(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案D12.(2019浙江,11,4分,基础性)复数z=(i为虚数单位),则|z|=.答案13.(2019江苏,2,5分,基础性)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a 的值是.答案2三年模拟A组考点基础题组考点一复数的概念1.(2022济南一模,2)已知复数z满足z(1+i)=-i(其中i为虚数单位),则z的模为()A. D.2答案B2.(2022福建漳州一模,2)已知z=|,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D3.(2022湖北黄冈蕲春实验高级中学一模,2)已知i是虚数单位,复数z的共轭复数为,若z(1+i)=-2+i,则的虚部为()A.i答案C4.(多选)(2022山东潍坊二模,9)若复数z1=2+3i,z2=-1+i,其中i是虚数单位,则下列说法正确的是()A.∈RB.=·C.若z1+m(m∈R)是纯虚数,则m=-2D.若z1,在复平面内对应的向量分别为,(O为坐标原点),则||=5答案BCD5.(2020河北衡水中学第九次调研,2)复数z=的虚部为()A.i答案A考点二复数的运算1.(2022山东烟台、德州一模,2)若复数z满足(1+2i)z=4+3i,则=()A.-2+iB.-2-iC.2+iD.2-i答案C2.(2022石家庄一模,3)若复数z=(1+2i)(a-i)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(-∞,-2)∪答案B3.(2022辽宁东北育才学校模考六,2)18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义.例如,|z|=|OZ|,即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点的距离.在复平面内,若复数z1=对应的点为Z1,Z为曲线|z-3|=1上的动点,则Z1与Z之间的最小距离为()A.3B.4C.5D.6答案B4.(多选)(2022湖北八市联考,10)2022年1月,中国科学技术大学潘建伟团队和南方科技大学范靖云团队发表学术报告,分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性,再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3=1,它的两个虚数根分别为()A.C.答案CD5.(多选)(2022武汉2月调研,9)已知两个复数z1,z2满足z1z2=i,且z1=1-i,则下列说法正确的是()A.z2=C.|z1+z2|≥2D.·=-i答案ABD6.(2021河北衡水中学第二次联考,3)已知复数z=a+(a-1)i(a∈R),则|z|的最小值为()A. D.1答案B7.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=-i,则()A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轭复数i答案AC8.(2022福建龙岩一模,13)复数z1=cos x-isin x,z2=sin x-icos x,则|z1·z2|=.答案 1B组综合应用题组时间:30分钟分值65分一、单项选择题(每小题5分,共25分)1.(2022河北省级联测第八次联考,2)已知复数z=2+i,则=()A.1+iC.i答案C2.(2022福建南平三模,1)已知复数z=2+,则复数z的虚部为()A.-答案A3.(2022南京三模,2)已知i为虚数单位,复数z满足z(1-i)=4-3i,则|z|=()A.答案D4.(2022广东三模,2)设复数z满足iz=1+i,则|z2-z|=()A.0B.答案D5.(2022湖北龙泉中学、宜昌一中、荆州中学等四校一模,2)在复平面内,复数z对应的点为(1,-2),则(1+i)=()A.-1+3iB.-1-3iC.3+iD.3+3i答案A二、多项选择题(每小题5分,共20分)6.(2022辽宁辽阳二模,9)已知复数z1=1-3i,z2=3+i,则()A.|z1+z2|=6B.-z2=-2+2iC.z1z2=6-8iD.z1z2在复平面内对应的点位于第四象限答案BCD7.(2022湖南师大附中二模,9)设复数z=-i,则下列命题中正确的是()A.|z|2=z·B.z2=C.z的虚部是iD.若z n∈R,则正整数n的最小值是3答案ABD8.(2022广东二模,9)已知复数z的共轭复数是,(1-i)z=1+i,i是虚数单位,则下列结论正确的是()A.z2022=4B.z·的虚部是0C.|z·D.z·+2z在复平面内对应的点在第四象限答案BC9.(2022海南海口学科能力诊断,11)已知复数z及其共轭复数满足z·=4,则下列说法正确的是()A.若z-=0,则z2=4B.若z+=0,则z2=4C.若为纯虚数,则z2=4或z2=-4D.若为实数,则z2=4或z2=-4答案AD三、填空题(每小题5分,共20分)10.(2022辽宁鞍山二模,13)已知i为虚数单位,则=(写成最简形式). 答案1+2i11.(2022长沙雅礼中学等十六校二模,13)已知复数z1=-,则=.答案-i12.(2022广东惠州一模,13)已知i是虚数单位,则复数的模等于. 答案113.(2022湖北黄冈中学等二十一所重点中学第三次联考,13)定义z1,z2∈C,z1⊕z2=(|z1+z2|2-|z1-z2|2),z1⊗z2=z1⊕z2+i(z1⊕iz2).若z1=3+4i,z2=1+4i,则|z1⊗z2|=.答案35【】第十三章数系的扩充与复数的引入考点一复数的概念1.(2019课标Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素养.∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴=-1-2i,故选D.解题关键正确理解共轭复数的概念是求解的关键.2.(2017课标Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.3.(2017课标Ⅲ理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A. B. C. D.2答案C本题考查复数的运算及复数的模.∵(1+i)z=2i,∴z====1+i.∴|z|==.一题多解∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即·|z|=2,∴|z|=.4.(2017课标Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)答案C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.A.i(1+i)2=i×2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.5.(2016课标Ⅰ理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.C.D.2答案B∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴∴|x+yi|=|1+i|==.故选B.评析本题考查复数相等的条件,属容易题.6.(2016课标Ⅰ文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3答案A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.解后反思将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.评析本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式是解题关键.7.(2016课标Ⅱ文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案C z=3-2i,所以=3+2i,故选C.8.(2016课标Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,则=()A.1B.-1C.+iD.-i答案D由z=4+3i得|z|==5,=4-3i,则=-i,故选D.9.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B∵==-1+i,∴复数在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.10.(2015课标Ⅰ理,1,5分)设复数z满足=i,则|z|=()A.1B.C.D.2答案A由已知=i,可得z====i,∴|z|=|i|=1,故选A.11.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的为()A.iB.-iC.1D.-1答案A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,∴i607的共轭复数为i.12.(2014课标Ⅱ理,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案A由题意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.13.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.14.(2014课标Ⅰ文,3,5分)设z=+i,则|z|=()A. B. C. D.2答案B z=+i=+i=+i,因此|z|===,故选B.15.(2013课标Ⅰ理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-C.4D.答案D∵|4+3i|==5,∴z===+i,虚部为,故选D.16.(2013课标Ⅱ文,2,5分)=()A.2B.2C.D.1答案C==|1-i|=.选C.17.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4答案C z===-1-i,所以|z|=,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.评析本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.18.(2012课标文,2,5分)复数z=的共轭复数是()A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i答案D z====-1+i,=-1-i,故选D.评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.19.(2011课标理,1,5分)复数的共轭复数是()A.-iB.iC.-iD.i答案C==i,其共轭复数为-i,故选C.评析本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念,属容易题.20.(2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)答案A由已知可得⇒⇒-3<m<1.故选A.方法总结复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的对应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.21.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B设z=a+bi(a、b∈R),则2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.22.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.答案2解析本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,∴a-2=0,解得a=2.解题关键掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.23.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案解析本题考查复数的运算.∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,∴|z|==.24.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.25.(2016北京理,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=. 答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-1.26.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案-2解析∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,∴解得a=-2.27.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=.答案3解析复数a+bi(a,b∈R)的模为=,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.考点二复数的运算1.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=,则|z|=()A.2B.C.D.1答案C本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.∵z=====-i,∴|z|==,故选C.易错警示易将i2误算为1,导致计算出错.2.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数z=2+i,则z·=()A. B. C.3 D.5答案D本题主要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运算.∵z=2+i,∴=2-i,∴z·=(2+i)·(2-i)=4+1=5,故选D.3.(2018课标Ⅱ文,1,5分)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i答案D本题主要考查复数的四则运算.i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.4.(2018课标Ⅲ,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D本题考查复数的运算.(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.5.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.∵==+i,∴其共轭复数为-i,又-i在复平面内对应的点在第四象限,故选D.6.(2017课标Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i答案B本题考查复数的基本运算.(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.7.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=()A.-2iB.2iC.-2D.2答案A本题考查复数的运算.由zi=1+i得z==1-i,所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.8.(2016课标Ⅲ理,2,5分)若z=1+2i,则=()A.1B.-1C.iD.-i答案C∵z=(1+2i)(1-2i)=5,∴==i,故选C.9.(2016北京文,2,5分)复数=()A.iB.1+iC.-iD.1-i答案A====i,故选A.10.(2015课标Ⅱ理,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案B∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,∴解得a=0.11.(2015课标Ⅰ文,3,5分)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C由已知得z=+1=2-i,故选C.12.(2015课标Ⅱ文,2,5分)若a为实数,且=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案D由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.13.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i答案C(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.14.(2015湖南文,1,5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案D z====-i(1-i)=-1-i.故选D.15.(2014课标Ⅰ理,2,5分)=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案D=·(1+i)=·(1+i)=-1-i,故选D.16.(2014课标Ⅱ文,2,5分)=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案B===-1+2i,故选B.17.(2013课标Ⅱ理,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答案A由题意得z===-1+i,故选A.18.(2013课标Ⅰ文,2,5分)=()A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i答案B====-1+i,故选B.19.(2011课标文,2,5分)复数=()A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i答案C===-2+i,故选C.评析本题主要考查复数的基本运算,分母实数化是解答本题的关键,属容易题.20.(2018天津,理9,文9,5分)i是虚数单位,复数=.答案4-i解析本题主要考查复数的四则运算.===4-i.21.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=.答案5解析本题主要考查复数的运算.由(1+i)z=1-7i得z====-3-4i,∴|z|==5.22.(2016天津理,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为. 答案2解析由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则解得所以=2.【】。