一个新的锥模型自适应信赖域算法

部， 因此并 增 大信 赖域 半径 ； 反之 ， 则 拒绝 Ｓ ， 同 时也 说 明更好 的点 应该 在信 赖 域 内部 ， 因此并 缩小 信赖 域半 径 ， 重解子问题（ ２ ） ， 直 至试 探 步 ｓ 被
接受 ． 即
ｆ ｚ — ｝ Ｉ Ｓ ， ≥ ；
ｚ ＋ １一 （ 【
ｍｉ ｎ ｑ ｋ （ ｓ ）一 ＋ ５ ＋－ ５ － ｓ Ｂ ｋ ｓ ． ｔ ．１ ｌ ｓ ｌ ｌ ≤ ，
（ ２）
收稿 Ｅ １ 期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ３ — ２ ６ ． 基金项 目： 国 家 自然 科 学 基 金项 目（ １ １ ０ ６ １ ０ １ １ ） ； 广 西 自然 科 学 基 金 项 目 （ ２ ０ １ １ Ｇ ｘ Ｎｓ Ｆ Ａ Ｏ １ ８ １ ３ ８ ） ； 重 庆 文 理 学 院 校 级 科 研 项 目（ Ｙ２ Ｏ １ ３ Ｓ Ｃ４ ２ ） ．
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — １ １ ９ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ７ ４ ３ — ０ ６
一
个新 的锥模 型 自适 应信赖 域算法
冯 琳 ¨ ，段 复 建
（ １ ． 重 庆 文 理 学 院 数 学 与 财 经 学 院 ，重庆 ４ ０ ２ １ ６ ０ ；
２ ． 桂 林 电 子科 技 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ，广 西 桂 林 ５ ４ １ ０ ０ ４ ）
Ｃ Ａｋ ｒ ｋ＜ １
信 赖域 算 法 的基 本 思 想 是 ： 每次 迭 代 ， 求 解 信
赖 域子 问题
１
△ ＋ １＝ ＝ ｃ ２ △ ， ｒ ＞ 叩 ２ ；
（ ３ ）
ｌ ， ７ １≤ ｒ ｋ≤ ，
其中， ０≤ ＇ ７ ＜ ｚ ＜１ ， ０＜ Ｃ ｌ ＜ １ ＜ｆ 。 是 常数 ． （ ３ ）中对 信 赖域 半径 的修正 是根 据 ｒ 将 初 始信 赖域 半径 常数 倍放 大 或缩 小 的 ， 没有利用 ｇ ，
在 当前迭 代点 ｚ ， 设 子 问题 （ ２ ）的解是 Ｓ ，
Ｐ ｒ ｅ ｓ 一一 ｓ 一去ｓ Ｂ
是 厂 （ ｚ ）在点 ｚ 处 的预 估下 降量 ．
Ａｒ ｅ ｓ ＾一 ｆ（ ｘ ）一 ｆ（ ｘｔ ＋ ）
ｇ （ ｚ ）∈ Ｒ 是 ｆ（ ｚ ） 在点 ３ ２ 的梯 度 ； Ｈ（ Ｌ ｚ ）∈ Ｒ 是厂 （ ｚ ） 在点 ｚ的 Ｈｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ 矩阵 ；
摘
要： 对 无 约 束 最 优化 问题 提 出 了一 类 锥 模 型 自适应 信 赖 域 算 法 ． 信 赖 域 半 径 的修 正 采 用 一 个 新
的 自适 应 调 节 策 略 ． 算 法在 每 步 迭 代 中 以 当前 迭 代 点 的 信 息 以及 水 平 向量 信 息 来 调 节 信 赖 域 半 径 的
Ａｒ ｅ ｓ ｒ ｋ— Ｐ —ｒ ｅ — ｓ
ｋ
‘
Ｂ ∈
是 对 称矩 阵 ， 它是 厂（ ｚ ）在点 ３ ２ 的
Ｈｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵或其 近 似 ； 是 满 足 Ｓ ｃ ｈ ｎ ａ ｂ ｅ ｌ和 Ｅ ｓ ｋ ｏ ｗｌ 】 改 进 的
Ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ ｋ ｙ分 解 的安 全 正 定 矩 阵． Ｂ 一 Ｂ ＋ Ｅ ； Ｅ 是 一个 使 得 Ｂ 安 全 正 定 的对 角 矩 阵 ； 当
｛ ） 是某 一 算法 产 生 的迭 代 点 列 ， 并记 ｆ ｋ—
ｆ （ ｘ ） ， ｇ ＾一 ｇ （ ｘ ＾ ） ， Ｈｔ— Ｈ （ ｘ ） ；
是 厂（ ｚ ） 在点 ｚ 处 的实际 下降 量． 定 义 实际下 降量 Ａ ｒ ｅ ｓ 与 预估 下降量 Ｐ ｒ ｅ ｓ 的 比值
考 虑无 约束 最 优化 问题
ｍｉ ｎ ｆ（ ｚ） ，
ｚ∈ Ｒ
其中， ｓ — ｚ— ｚ ， ｇ 一 ｆ （ ｘ ） ， ＞ ０是信 赖域
（ １ ）
半径 ．
其 中， 厂（ － ｚ ） ： Ｒ 一Ｒ 是 二次 连续 可微 函数 ． 本 文采
用 如下 记 号 ：
大小 ． 在适 当 的条 件 下 ， 证 明 了算 法 的全 局 收 敛性 和 Ｑ 二 阶 收敛 性 ， 并 且 给 出 了相 应 的数 值 结 果 ．
关键词 ： 无 约束 最 优 化 ； 信赖域方法 ； 锥 模 型 ；自适 应 ；收敛 性
中图 分 类 号 ：Ｏ ２ ２ １ ． ２ 文献标识码 ： Ａ
第 ４ ７卷 第 ６期 ２ ０ １ ３年 １ ２月
华 中师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＨＵＡＺＨ０ＮＧ Ｎ０ＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ（ Ｎａ
Ｄｅ ｃ ．２ Ｏ１ ３
Ｘｋ， ｒ ｋ＜ ７ ７ ，
视， 特别 是 最近 几年 一直 是 非线性 优 化界研 究 的一 个 热点 ． 目前信赖 域 算法 已经和线 搜 索方 法并 列为
求解 非 线性 优化 问题 的两类 主要 的数 值方 法．
其中， ７∈ （ ｏ ， １ ）是一个 常数 ， 并 修 正信赖 域半 径
时， 取 Ｅ 一 ０；
它衡 量 了二 次模 型 ｑ （ ｓ ）在信赖 域 内对 ｆ（ ｘ ＋ ｓ ）的逼 近程 度 ， 越接 近 于 １ ， 表 明逼 近程 度越 好 ，
因此 接受 ５ ， 同时也说 明更 好 的点应 该在 信赖 域外
正 定
ｌ １ ． １ ｌ表示 Ｅｕ ｃ ｌ ｉ ｄ ｅ ａ ｎ范数 ．
信 赖 域 算 法是 一 种 有 效 的求 解 无 约束 最 优 化 问题 （ １ ）的迭 代 方 法 ． 它 的显 著 特 点 是 强 收 敛 性 ， 稳 定 的数值 性 能 ， 能 有效 地 解 决 病 态 问题 ， 需 要 迭 代 的次 数少 ． 因此在 非线 性 优化 界受 到 了非常 的重