中考数学压轴题专题复习—旋转的综合含详细答案
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图所示，
(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；
(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；
(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．
【答案】（1）DF=BE且DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE＝∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF＝90°，所以DF⊥BE；
（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF＝kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF＝90°，所以DF⊥BE；
（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF＝180°，所以DF与BE的夹角β＝180°﹣α．
【详解】
（1）DF与BE互相垂直且相等．
证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中
AD＝AB，AF＝AE，
∠BAD＝∠EAF＝90° ∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD≌△EAB
∴∠AFD＝∠AEB，DF＝BE
∵∠AFD+∠AFG＝180°，
∴∠AEG+∠AFG＝180°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥BE
（2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．
延长DF交EB于点H，
∵AD＝kAB，AF＝kAE
∴ADkAB，AFkAE
∴ADAFABAE
∵∠BAD＝∠EAF＝a
∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD∽△EAB
∴DFAFkBEAE
∴DF＝kBE
∵△FAD∽△EAB，
∴∠AFD＝∠AEB，
∵∠AFD+∠AFH＝180°，
∴∠AEH+∠AFH＝180°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠EHF＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥BE
（3）不改变．DF＝kBE，β＝180°﹣a．
延长DF交EB的延长线于点H，
∵AD＝kAB，AF＝kAE
∴ADkAB，AFkAE
∴ADAFABAE
∵∠BAD＝∠EAF＝a
∴∠FAD＝∠EAB
∴△FAD∽△EAB
∴DFAFkBEAE
∴DF＝kBE
由△FAD∽△EAB得∠AFD＝∠AEB
∵∠AFD+∠AFH＝180°
∴∠AEB+∠AFH＝180°
∵四边形AEHF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠EHF＝180°
∵∠EAF＝α，∠EHF＝β
∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a
【点睛】
本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在．
2．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）
（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝ °，CD＝ ； （2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；
（4）若m＝6，n＝42，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．
【答案】（1）90°，2n；（2）无变化；（3）1255；（4）BD=210或21143．
【解析】
试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE∥AB得CDCECBCA即可解决问题．②求出BD、AE即可解决问题．
（2）只要证明△ACE∽△BCD即可．
（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解决问题．
（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，分别求出BD即可．
试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴CECDACCB=12．∵BC=n，∴CD=12n．故答案为90°，12n．
②如图2中，当α=180°时，BD=BC+CD=32n，AE=AC+CE=32m，∴BDAE=nm．故答案为nm．
（2）如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．∵CDBCnCEACm，∴△ACE∽△BCD，∴BDBCnAEACm．
（3）如图4中，当α=∠ACB时．在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB=22ACBC=6．在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，∴AE=22ABBE=2263=35，由（2）可知△ACE∽△BCD，∴BDBCAEAC，∴35BD=810，∴BD=1255．故答案为1255．
（4）∵m=6，n=42，∴CE=3，CD=22，AB=22CABC=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．在Rt△DBC中，BD=22BCCD=224222（）（）=210．
②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴四边形BCEM是矩形，∴342BMECME，，∴AM=5，AE=22AMME=57，由（2）可知DBAE=223，∴BD=21143．
故答案为210或21143．
点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
3．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）
（1）当OC∥AB时，旋转角α＝ 度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．
【答案】（1）60或240；(2) AC=BD，理由见解析；（3）13+12或1312；（4）PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．
【解析】
分析：（1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可．
（3）在图3、图4中，分别求解即可．
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．
详解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
故答案为60或240；
（2）结论：AC=BD，理由如下：
如图2中，∵∠COD=∠AOB=60°，∴∠COA=∠DOB．在△AOC和△BOD中，OAOBCOADOBCOOD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD；
（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=12，OH=32．在Rt△AOH中，AH=22OAOH=132，∴BD=AC=CH+AH=1132．
如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
易知AC=BD=AH﹣CH=1312．
综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为1312或1312；
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．
4．如图1，菱形ABCD，AB4，ADC120，连接对角线AC、BD交于点O，
1如图2，将AOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的A'BO与菱形ABCD重合部分的面积．
2如图3，将A'BO绕点O逆时针旋转交AB于点E'，交BC于点F，
①求证：BE'BF2；
②求出四边形OE'BF的面积．
2023年 九年级数学中考复习 几何图形变换综合压轴题 专题训练(含答案)
2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）
1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．
（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为 ，线段AE与BD的数量关系为 ．
（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．
（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．
2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，的值为
；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；
（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长 ．
3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝ （请直接写出答案）．
4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系是： ；数量关系是： ；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
2019年中考数学二轮复习几何探究题(压轴题) 综合练习 (含答案)
2019年中考数学二轮复习
几何探究题（压轴题）
综合练习
1. (1)阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
(2)问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：BE＋CF＞EF；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
2.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.
(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.
(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．
(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．
(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．
图① 图② 图③ 图④
3.已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM.
中考数学压轴题十大题型(含详细答案)
一、中考数学压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线yx m交 y轴的正半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，过点A的直线AF交x轴的负半轴于点F，∠AFO=45°．
（1）求∠FAB的度数；
（2）点 P是线段OB上一点，过点P作 PQ⊥OB交直线 FA于点Q，连接 BQ，取 BQ的中点C，连接AP、AC、CP，过点C作 CR⊥AP于点R，设 BQ的长为d，CR的长为h，求d与
h的函数关系式（不要求写出自变量h的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE⊥OB于点E，CE交 AB于点D，连接 AE，∠AEC=2∠DAP，EP=2，作线段 CD 关于直线AB的对称线段DS，求直线PS与直线 AF的交点K的坐标．
2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，2,0C．直线26yx与x轴交于点A，交y轴于点B．过C点作直线AB的垂线，垂足为E，交y轴于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点G为y轴负半轴上一点，连接EG，过点E作EHEG交x轴于点H．设点G的坐标为0,t，线段AH的长为d．求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）过点C作x轴的垂线，过点G作y轴的垂线，两线交于点M，过点H作HNGM于点N，交直线CD于点K，连接MK，若MK平分NMB，求t的值．
3．如图1，抛物线2(0)yaxbxca的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点E是BD上方抛物线上的一点，连接AE交DB于点F，若AF=2EF，求出点E的坐标．
（3）如图3，点M的坐标为（32，0），点P是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP，将MP沿MD折叠，若点P恰好落在抛物线的对称轴CE上，请求出点P的横坐标．
4．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，cos45B，点O是边BC上的动点，以OB为半径的O与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．
中考数学综合压轴题100题(附答案)
中考数学综合压轴题100题（附答案）
一、中考压轴题
1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），
（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；
（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；
（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．
【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．
（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．
（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．
【解答】解：（1）AB1∥BC．
证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，
∵AC1＝AC，
∴∠AC1C＝∠ACC1，
∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，
∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA＝BC，
∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，
∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，
∴AB1∥BC．（5分）
（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）
（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．
证明：显然△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC＝∠B1AC1，
∴∠B1AB＝∠C1AC，
∵AC1＝AC，
∴∠AC1C＝∠ACC1， ∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，
∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA＝BC，
∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，
∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，
∴AB1∥BC．（13分）
2020中考数学压轴题旋转问题带答案
2020中考冲刺复习
有志者，事竟成。 旋转问题（中考高分必备）
考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。
旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。
一、 直线的旋转
1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4MN，1MA，1MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设xAB．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，
根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；
②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，
根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．
（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC‖ED，
∵CE‖AB，
∴四边形EDBC是平行四边形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30度，
∴AB=4，AC=2 ，
∴AO= = ．
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版压轴题复习——图形的旋转
初三数学中考压轴题复习——图形的旋转
一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）
1．（10分）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．
（1）求证：△MNC是直角三角形；
（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；
②当S△MNC=S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．
2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，
（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；
（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．
①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；
②当时，求AD的长．
3．（10分）将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，在AE上取点N，使∠MCN=90°．设AC=2，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．
（1）求证：MN∥DE；
（2）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试S△MNC与S△ABC之间的关系；
②S△MNC与S△ABC之间满足怎样的关系时，试探求直线AD与⊙N的各种位置．
4．（10分）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．
中考专题1 【原创】2019年中考数学图形变换压轴题汇总(28道题)后附答案详解(word)
中考专题2019年中考数学图形变换压轴题汇总(28道题)后附答案详解(word)
1 中考专题1 图形变换压轴题汇总（28道题）后附答案详解
1．（2017•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
2．（2017•连云港四模）阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？ 中考专题2019年中考数学图形变换压轴题汇总(28道题)后附答案详解(word)
2 3．（2017•金乡县模拟）请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
备战中考数学圆的综合-经典压轴题附详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；
（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602．
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．
（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN． ∴△OAE≌△OCN．
2020-2021中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题及详细答案.doc
2020-2021 中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题及详细答案
一、圆的综合
1．如图 1，以边长为 4 的正方形纸片 ABCD的边 AB 为直径作 ⊙ O，交对角线 AC 于点 E．
（1）图 1 中，线段 AE= ；
（2）如图 2，在图 1 的基础上，以点 A 为端点作 ∠ DAM=30° ，交 CD 于点 M ，沿 AM 将四
边形 ABCM 剪掉，使 Rt△ADM 绕点 A 逆时针旋转（如图 3），设旋转角为 α（ 0°＜ α＜
150 °），在旋转过程中 AD 与 ⊙O 交于点 F．
① 当 α =30时°，请求出线段 AF 的长；
② 当 α =60时°，求出线段 AF 的长；判断此时 DM 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；
③ 当 α= °时， DM 与 ⊙ O 相切．
【答案】（ 1） 2 （2） ①2②2 ，相离 ③ 当 α=90°时， DM 与 ⊙ O 相切
【解析】（ 1）连接 BE，∵ AC是正方形 ABCD的对角线， ∴ ∠BAC=45°，
∴△
角三角形，又 ∵ AB=8， ∴ AE=4 ；
AEB 是等腰直
（ 2） ① 连接 OA、OF，由题意得， ∠NAD=30°， ∠ DAM=30°，故可得 ∠ OAM=30°，
∠DAM=30 °则， ∠ OAF=60 ，°又 ∵ OA=OF， ∴ △ OAF是等边三角形， ∵OA=4， ∴ AF=OA=4；
② 连接 B'F，此时 ∠ NAD=60 °， ∵ AB'=8， ∠DAM=30 °， ∴ AF=AB'cos∠ DAM=8× =4 ；
此时 DM 与 ⊙ O 的位置关系是相离；
③ ∵AD=8，直径的长度相等，
∴ 当 DM
2022年中考数学复习之挑战压轴题(选择题)：图像的平移、折叠、旋转(含答案)
2022年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：图像的平移、折叠、旋转
一．选择题（共10小题）
1．（2021•绵阳模拟）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021•佳木斯二模）如图，在正方形ABCD中，M是AB上一动点，E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得EF，连接DE，DF，CF．下列结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③∠AEM＝∠FEC；④∠BCM+∠DCF＝45°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
3．（2018•乐清市模拟）如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC＝60°，BC＝6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，（B与B′，C与C′分别对应），点D从点B运动运动至点C，△B′C′D面积的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
4．（2020•卧龙区一模）如图，已知点A1（1，1），将点A1向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点A2；将点A2向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点A3；将点A3向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到点A4，…按这个规律平移下去得到点An（n为正整数），则点An的坐标是（ ）
A．（2n，2n﹣1） B．（2n﹣1，2n）
C．（2n﹣1，2n+1） D．（2n﹣1，2n﹣1）
5．（2021•宜兴市校级二模）如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处，连接BF，且BE＝EF，∠BEF的正弦值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．