第2章 泛函的极值

第2章 泛函的极值

在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。

2.1函数的极值性质

2.1.1 函数的连续性

任意一个多元函数12(),(,,...,)T

n

n f x x x R =∈x x , 0>?ε, 如果0)(>=?εδδ, 当0δ-

0()()f f ε-

那么, 我们称()f x 在0x 处是连续的, 记为0

0()lim ()f f →=x x x x 。

2.1.2 函数的可微性

更进一步, 如果存在1(,,)T

n

n A A R ?=∈A , 使得

01000(,,,,)()

lim

,1i n i i i

f x x x f A i n x x →-=?≤≤-x x x

那么我们称()f x 在0x 处是可微的, 或者说存在(一阶)导数,记为

'()f =x A

或者记为

12

'(),,...,T

n f f f f f x x x ??

???== ??????x ?

其中?为梯度算子(或者Hamilton 算子, 见附1)。同理, 可以定义该函数的两阶导数"()f x

22

2

2

1121222

221

222

22

2

2

2

"()n

n n n n f

f f

x x x x x f f f f f x x x x x f f f x x x x x ???????

??????

???

????

?

==??????????

???

????

????????D x

及更高阶导数。 这里f D 也称为Jacobi 矩阵。

如果函数()f x 在某点0x 足够光滑, 那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开

2

2

1002!

02

0(d )()d d (d )

d d ()d d ()d T

T

f f f f o f f f f +=++

+==x x x x

x x x D x x

?

其中()o ?为高阶小量, 2

d ,d f f 分别为函数()f x 的一阶微分和两阶微分。

换个角度来看, 如果

2

100002!

(d )()(,d )(,d )(d )f f L Q o +-=+

+x x x x x x x x

其中0(,d )L x x 为d x 的线性函数, 而0(,d )Q x x 为d x 的两次函数, 那么0(,d )L x x 为()f x 的一阶微分, 0(,d )Q x x 为()f x 的两阶微分。

2.1.3 函数的极值

对于足够小的0>ε, 如果0(,)O ε?∈x x ，总有0()()f f ≤x x , 那么我们称()f x 在0x 有极大值。

如果0(,)O ε?∈x x ，总有0()()f f ≥x x , 那么我们称()f x 在0x 有极小值。这里00(,){}O εε=-

如果()f x 在某一点0x 附近足够光滑, 那么()f x 在0x 有极值的必要条件为

0d d ()0T

f f ==x x ?

或者说

0()0f =x ?

更进一步, 如果0()0f ≠D x , 那么()f x 在0x 有极大(小)值的充分条件为

02

1

02!d d ()0d d ()d 0(0),

d 0

T

T

f f f f ===

<>?≠x x x D x x x ?

或者说是

00()0()0(0)

f f =<>x D x ?

其中0()0f

2.2泛函的极值

2.2.1函数的邻域 定义在区间(,)a b 上的函数)(0x y y =的一阶ε邻域定义为: 对于0ε?>, 始终满足

00()(),

(,)

'()'(),(,)

y x y x x a b y x y x x a b εε-<∈-<∈

我们称同时满足上述两式的函数()y x 的集合是0()y x 的一阶ε邻域。同样可以定义函数的高阶ε邻域。

2.2.2泛函的极值

变分引理: 如果函数],[)(0

b a C x f ∈, 对于在],[b a 上满足0)()(==b a ηη的、足够

光滑的任意函数)(x η, 如果总是成立

()()d 0b

a

f x x x η=?

那么在(,)x a b ?∈必有

0)(≡x f

证明: 用反证法。 假设有),(0b a x ∈使得0)(0≠x f , 不失一般性设 0)(0>x f 。由

],[)(0

b a C x f ∈, 一定存在0>ε, 使

00()0,[,](,)f x x x x a b εε>∈-+?

这样我们总可以构造下面一个连续函数)(x η

33()(),

(,)()0,(,)

x x x x x αβαβηαβ?--∈=?

??

其中

00,

x x αεβε=-=+

可以证明

2

()(,)

x C a b η∈ 这样

00()()d ()()d 0

x b

a

x f x x x f x x x ε

ε

ηη+-=

>?

?

显然与引理条件矛盾, 所以对于任意的],[b a x ∈都有 0)(≡x f

以上结果容易推广到二维或更高维的情形。

如果泛函][y J 在)(0x y y =的一阶ε邻域内都不大(小)于][0y J , 那么我们称泛函

][y J 在)(0x y y =有极大(小)值。 也就是说

0[][]J y J y ≥()极小, 0[][]J y J y ≤()极大 （2.2.1）

使][y J 取到极值的函数称为极值函数。

下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。

01[](,,')d ,

(),()b a

J y F x y y x y a y y b y =

==?

如果*

()y y x =使[](,,')d b a

J y F x y y x =?

取到极值, 则对于*

()y y x =的一阶ε邻域内的函

数()y x 应有

[][*]J y J y ≥()极小或者[][*]J y J y ≤()极大

现在用变分引理导出泛函取极值的必要条件。取

*

()()()y x y x x αη=+

由于10)(,)(y b y y a y ==, 因此

0)()(==b a ηη

当α足够小的时候, ()y x 属于*()y y x =的邻域。当*

()y y x =以及)(x η给定以后, []

J y 应该是关于α的函数

**

[](,,'')d ()b a

J y F x y y x J αηαηα=

++=?

因为][y J 在*

()y y x =处取极值, 0α=应该是()J α的极值点。根据函数极值的必要条件

0d ()|0d J ααα

==

这就意味着

d

[

(

)]()d 0d '

b a

F F

x x y

x y η??-

=???

如果令

y δαη=

那么有

d

[()]d 0d '

b a

F F

J y x y

x y δδ??=

-

=???

考虑到y δ的任意性，根据变分引理有

d ()0d '

F F

y

x y ??-=?? （2.2.2）

这就是该泛函极值问题的Euler 方程。

如果只限定0()y a y =、而放松x b =处的要求，则定义域1{[,],()0}y C a b y a =∈=Y

d

[

()]d 0d ''

b x b

a

F F F

J y x y y

x y y δδδ=???=

-

+=????

（2.2.3）

若()y y x =是泛函[]J y 在Y 上的极值，限定

01{[,],(),()()}o

y C a b y a y y b y b y =∈===?Y

Y

则()y y x =必是泛函[]J y 在o Y 上的极值，根据（2.2.2）有

d ()0,(,)d 'F F

x a b y

x y ??-=∈?? (2.2.4)

代入（2.2.3）并考虑()y b δ的任意性可得

0'

x b

F y =?=? (2.2.5)

要使[]J y 在()y y x =处取极值, 那么意味着必须同时满足（2.2.4）和（2.2.5）

对于更一般的泛函我们同样可以得到下面的泛函极值定理。

定理2.1 如果泛函][y J 在)(0x y y =上达到极值，那么泛函在)(0x y y =上的一阶变分

J δ满足

0=J δ

证明：

根据泛函极值的定义，如果泛函][y J 在)(0x y y =上达到极大值, 那么必定存在)

(0x y 的一个领域, 对于该领域内的任何一个函数)(x y , 使得泛函的增量][][0y J y J J -=?不变号, 由前面的推导(1.4.6)

2

12!

...J J J δδ?=+

+

其中

0d []

|d J y J εεηδε

ε

=+=

22

2

2

d []

|d J y J εεηδε

ε

=+=

显然, 当ε充分小时, J ?的符号由J δ部分确定。如果0≠J δ, 我们总是可以调整ε的符号使得J ?改变符号, 这与假设矛盾。 因此0=J δ是泛函有极值的必要条件。

尽管0=J δ不是泛函有极值的充分条件，但往往仍有意义。对于仅仅满足0=J δ的泛函J ，我们称在该点取驻值。

2.2.3 泛函的Euler 方程

由泛函0=J δ所得到的微分方程（包括边界条件）称为泛函的Euler 方程。 例2.1

[](,,')d b a

J y F x y y x =

?

的Euler 方程为

d

(

)0d '

F F

y

x y ??-

=??

例2.2

2

2011d []()()d ,

(),()2

d b a

y J y p x q x y x y a y y b y x ????=

+==?? ???????

?

d d ()()d d d d d ()()d 0

d d b a

b a

y y J p x q x y y x

x x y p x q x y y x x x δδδδ??????

=

+ ? ?????????????=

-+= ???????

??

得到

d d ()()0d d y p x q x y x x ??

-

+= ???

上式称为Sturm-Liouville 方程。结合边界条件10)(,)(y b y y a y ==, 构成第一边值问题的Sturm-Liouville 问题。

例2.3

()2

2

[]d d x

y G

J y u

u x y =

+??

上述泛函可以写成

[]()d d

G

J y u u x y =

??

?? 其一阶变分为

[]2()d d 2()()d d G

G

J u u x y

u u u u x y

δδδδ==-????

??????

根据格林公式有

2d 2d d 0

G

G

u J u

s u u x y n

δδδ??=-?=

???? 当边界上值给定时, 0G

u δ?=，可以得到相应的Euler 方程

0=?u

这是一个Laplace 方程。如果只在部分边界1G ?上给定函数值，这里12G G G ?=?+?，则除上述的Laplace 方程外还应满足

2

0G u n

??=?

例2.4

()2

2

2

1

[]2d d 2

x x

x y y y G

J y u u u x y =

++?? 其中u 及其法向导数在G 的边界G ?上给定。

泛函的一阶变分为

()2d d x x

x x x y x y y y y y

G

J u

u u u u u x y δδδδ=

++?? 由于

2

2

2

22

2(2)

()

()

2(2)

()

(2)

()

()

()

2xx

xy

yy

xy x yy y xx x xxx x xyy x yyy y xy x yy y xyy xx x xxx yyy xxxx xxyy yyyy u u u u u u x x y y

u u u u u u u u u u u u x y y u u u u u u u u u u x y

y

x

x

u u u u u u u u

y

u x δδδδδδδδδδδδδδδδδδ???++???????=

+

+

---????????=++

-

-

??????-

+++??

=

?222xx x xxx xyy xy x yy y yyy xxxx xxyy yyyy u u u u u u u u u u u y u u u u u u

δδδδδδδδδ?

????--++-?????+++

根据格林公式, 由于u 及其法向导数在G 的边界G ?上给定, 即0G

n

G

u u δδ??==，所以

有

0G

x

G

y

G

u u u δδδ???===

从而

()2d d xxxx

xxyy yyyy G

J u

u u u x y δδ=

++??

当泛函取极值时, 根据变分引理1得到

20xxxx xxyy yyyy u u u ++=

也就是

2

0u u ??=?=

这是一个双调和方程。

例2.5

()22

2

[(,,)]2(,,)d d d x

y z G

J y x y z u

u u uf x y z x y z =

+++???

其中(,,)u x y z 在一部分边界1G ?（12G G G ?=?+?）上给定：1

(,,)

(,,)G u x y z u x y z ?=。

泛函可以写成

()[]2(,,)d d d G

J y u u u f x y z x y z

=

+??? ?

? 其一阶变分为

(

)()()()2

[]22(,,)d d d

2()(,,)d d d

2d 2(,,)

d d d 2d 2(,,)d d d

G G

G G

G G

J y u u uf x y z x y z u u

u u uf x y z x y z u u

S u u uf x y z x y z n u u

S u u uf

x y z x y z n

δδδδδδδδδδδδ??=

+=-+?=+-?+??=+-?+???????

?????

??

???

??????

当泛函取极值时, 根据变分引理2得到对应的Euler 方程为

2

(,,),

(,,)

0,

(,,)u f x y z x y z G

u

x y z G n

?=∈?=∈??

这是一个Poisson 方程。

2.3 泛函的条件极值问题

2.3.1 函数的条件极值问题与Lagrange 乘子

假设求极值的函数为

),...,,(21n x x x f f =

相应的约束条件为

12(,,...,)0,1i n g x x x i s =?≤≤ （2.3.1）

首先, 自变量的微分必须满足约束条件, 也就是说

1

d 0,(1,2,...,)

n

i

j j j

g x i s x

=?==

?∑ 这意味着

d 0,

(1,2,...i g i s ==

x ? （2.3.2）

也就是说d x 必须与每个约束函数的梯度正交。对于极值函数f , 如果在某点的梯度满足

1

,(1,2,...,)s

i i i

i f g i s λλ==-∈=∑??R 那么, 沿着满足约束条件的方向有

1

d d d 0s

i i i f f g λ===-=∑x x ??

该点也就是条件极值点。反之, 如果要求沿着满足约束条件的方向有

d d 0f f ==x ?

必须有

1

,(1,2,...,)s

i i i

i f g R i s λλ==-∈=∑?? 这样, 就有

*0f =? （2.3.3）

而

*

1

s

i

i

i f

f g

λ==+

∑ （2.3.4）

所以对于约束极值问题, 我们可以通过引进拉格朗日乘子),...,2,1(s i R i =∈λ来构造一个新的函数，可以把原来的条件极值问题转化为新函数*f 的无条件极值问题。

2.3.2 存在代数约束下的泛函极值

泛函为

121212[,,...,](,,,...,;',',...,')d b n n n a

J y y y F x y y y y y y x =

?

（2.3.5）

约束条件

12(,,,...,)0

(1,2,...,)i n x y y y i s ?== （2.3.6）

注意∶上述约束是(,)a b 上的恒等式，所以引入的是Lagrange 函数、而不是Lagrange 乘子。

可以通过引进Lagrange 函数12(),(),...()s x x x λλλ,把它转化成下面新泛函的无条件极值问题 1212121212*[,,...,;,,...]*(,,,...,;',',...,';,,...)d b n s n n s a

J y y y F x y y y y y y x λλλλλλ=

?

1

*()s

i i i F F x λ?=??

=+

??

?

∑

（2.3.7）

这里Lagrange 函数12(),(),...()s x x x λλλ是新泛函的自变函数，相应的Euler 方程为

*d *

()0d '

i

i F F y x y ??-

=??, ),...,2,1(n i = （2.3.8） 以及

12(,,,...,)0i n x y y y ?=, (1,2,...,)i s =

这样共有个n s +方程(恒等式)来决定n s +个未知函数1212,,...,;,,...n s y y y λλλ。

例3.6 第1章的短程线问题

10

[,]x x J y z x =

?

, 0),,(=z y x ?

新的泛函为

10

*()(,,)d x x J x x y z x λ???=

+ ???

?

相应的Euler 方程为

d '()0y y x λ?-

=

()0z x λ?-

=

0),,(=z y x ?

2.3.3 存在微分约束下的泛函极值

泛函为

121212[,,...,](,,,...,;',',...,')d b n n n a

J y y y F x y y y y y y x =

?

约束条件

121

2(,,,...,;

',',...,

')0(1,2,...,)i n

n x y y y y y y i s ?== （2.3.9）

上述约束仍是(,)a b 上的恒等式，通过引进Lagrange 函数12(),(),...()s x x x λλλ, 把它转化成下面新泛函的无条件极值问题 1212121212*[,,...,;,,...]*(,,,...,;',',...,';,,...)d b n s n n s a

J y y y F x y y y y y y x λλλλλλ=

?

1

*()s

i i i F F x λ?=??

=+

??

?

∑

（2.3.10）

这里Lagrange 函数12(),(),...()s x x x λλλ是新泛函的自变函数. 相应的Euler 方程为

*d *

()0

d '

i

i F F y x y ??-

=??, ),...,2,1(n i = （2.3.11） 以及

121

2(,,,...,;

',',...,')0i n

n x y y y y y y ?=, (1,2,...,)i s =

2.3.4 存在积分约束下的泛函极值

泛函为

121212[,,...,](,,,...,;',',...,')d b n n n a

J y y y F x y y y y y y x =

?

约束条件为

10

1212(,,,...,;',',...,')d ,

(1,2,...,)x i n n i x x y y y y y y x i s ?α==?

（2.3.12）

注意：与前面不同，这里约束条件为s 个数值等式，而不是恒等式。从而可以通过引进Lagrange 12,,...s λλλ乘子（而不是函数）, 把它转化成下面新泛函的无条件极值问题

1212*

1212121

1

*[,,...,;,,...]

(,,,...,;',',...,';,,...)d *n s s

b n n s j

j

a

j s

j j j J y y y F x y y y y y y x F F λλλλλλλα

λφ===

-

?

?

=+

?

?

?

∑?

∑

（2.3.13）

与新变分问题对应的Euler 方程为

*d *

()0

d '

i

i F F y x y ??-

=??, ),...,2,1(n i = （2.3.14） 以及

10

121

2(,,,...,;

',',...,')d ,

(1,2,...,)

x i n

n i x x y y y y y y x i s ?α==?

注意，现在有n 个微分方程(恒等式)和s 个数值等式, 去决定n 个未知函数12,,...,n y y y 和s 个未知数12,,...s λλλ。

例2.7 悬索问题。 已知空间两点A, B 以及一条长为AB l >的绳索, 假定绳索的长度不可改变, 而弯曲刚度是可以忽略不计。现把绳索的两端悬挂在AB 两点, 求平衡时候绳索的形状。

取和最速降线问题一样的坐标系（图1.2）, 记绳索的方程为 )(x y y = 那么边界条件为

,0)0(==x y

b a x y ==)(

绳索的长度满足

d a x l =?

根据最小势能定理, 在平衡状态下绳索的势能最小

d m i n

a m g x ∏=-→?

其中m 是绳索单位长度的质量。也就是说

d m a x

a M x =

→

?

为了求得上述的条件极值问题, 我们引入新的泛函

(

)*

00

(a a a M

x x l

y x l

λ

λλ=+-=

+-?

?

?

由新泛函的极值条件得到

d '

d d a x

x l

?? = ?=?

例2.8 等周问题为一积分约束下的变分问题.

1

[,]('')d 2

J x y xy yx s =

-?

l l s =

?

例2.9 在约束条件

2

d 1G

u ρτ=???

下使泛函

[](,,,,,,)d x

y z G

J u F x y z u u u u V =

???

取极值的函数满足Euler 方程

d d d d d d y

x z

u u u F F F F u u

x

y

z

λρ?-

-

-

=?

当21

()2F p u qu ??=+?

??时，Euler 方程为

()p u qu u λρ-+= ??

这是个特征值问题。 约束条件表示的是一个归一化条件。在后面我们会详细讨论该问题。

2.4 变分问题中的边界条件

图2.1可动边界

下面我们讨论泛函

10

[](,,')d x x J y F x y y x

=

?

极值问题中的边界条件。如果该泛函自变函数()y y x =的边界位置为01,x x ，那么相应的边界条件可以分为：

(1) 固定边界: 边界位置固定，边界上函数值固定，0011(),

()y x y y x y ==；

(2) 自由边界: 边界位置固定，边界上函数值自由，01,x x 固定，01,y y 自由； (3) 可动边界: 边界位置不定，边界上函数值不定，01,x x 不定，01,y y 也不定； (4) 约束边界: 边界在固定的曲线(或者曲面)上，000111(,)0,(,)0x y x y Γ=Γ=。 自由边界条件可视为特殊的约束边界条件：01const ,const x x ==。也可以考虑混合组合，譬如一端是固定的、另一端是自由的，等等。

为简单起见，假设在0x x =处是固定边界，1x x =是自由、可动或约束边界，而泛函为

10

1[,](,,')d x x J y x F x y y x =

?

这里1[,]J y x 表示泛函自变量为自变函数y 和边界的位置1x 。计算

1110

11

1

11111[,][,]

(,,)d (,,)d d

(,,)[

(

)]d d (,)

x x x x x x x x x J y y x x J y x F x y y y y x F x y y x F F

F x y y x y x

y

x y F y

y x y δδδδδδδδοδδ+++-'''=

++-

??'=+

-

'

???++'

??

?

?

(2.4.1 )

由0J δ=可得

01d (

)0,

(,)d F F

x x x y

x y ??-=∈'

?? (2.4.2)

1

1

11(,,)

0,x x F F x y y x y

x x y δδ?'+

=='

? (2.4.3)

(1) 1x x =是自由边界

此时10x δ=，(2.4.3)式变成

1

1

00x x F F y

y y δ??=?

='

'

?? (2.4.4)

(2) 1x x =是可动边界: 注意到 (见图2.1)

111111111111()()()

()()()()()()

y y y x x y x y x y x x y x y x y x x y x δδδδδδδδ=++-=++-'=+≠

代入(2.4.3)，则边界条件变为 1

1

111((,,))

0,x x F F F x y y y x y x x y y δδ??''-

+

=='

'

?? (2.4.5)

这样可得1x x =处的边界条件 1

1

((,,))

0,0x x F F F x y y y y y ??''-

=='

'

?? (2.4.6)

(3) 1x x =是约束边界: 边界在固定的曲线(或者曲面)上，111(,)0x y Γ=, 此时

11111

1

0x y x y δδ?Γ?Γ+

=??

考虑到(2.4.5), 可得(约束)边界条件

1

1

11

11

(,,)//x x F F F x y y y y y x y ??''

-

'

'??=

?Γ??Γ? (2.4.7)

加上约束边界函数

111(,)0x y Γ= (2.4.8)

即得1x x =处的完整的边界条件。

象自由边界条件(2.4.4)、可动边界条件(2.4.6) 和约束边界条件中(2.4.7) 可以通过泛函取驻值(0J δ=)得到，我们称为自然边界条件。反之，固定边界条件和约束边界条件中(2.4.8) 是泛函定义域中规定了的，我们称为固定边界条件。控制方程(2.4.2) 和自然边界条件合称为Euler 方程。

例2.10

2

2

2

[(,,)](

)2d

(2)d

G G

J u x y z p u qu fu V p gu hu S ???=+-

--?

??????? 其一阶变分为 [][][][]222d (22)d 2()()d 2()d 2()d 2()d G G

G

G

G

G

J y p u u qu u f u V p g u hu u S

p u u u p u qu u f u V p g u hu u S u p u qu f u V p hu g u S

n

δδδδδδδδδδδδδδ???=

+---=-+---?=-+-++-??????

????????

??

????????

根据0][=y J δ得到Euler 方程

()p u qu f -+= ??

及自然边界条件

0=???

??-+???G

g hu n u

例2.11 左端在a x =处固定0)(x a x =, 右端在11()y x ?=上移动。 在右端要求满足

1

1

111((,,))

0,x x F F F x y y y x y x x y y δδ??''-

+

=='

'

??

所以在右端有

()1(,,)'()'0,'

F F x y y x y x x y ??'+-==?

例

2.12 10

[]x J y x =

?

；左端0,0x y ==，而右端在Γ上移动

2

1

112

:(1)y x Γ=++

（a ）

控制方程为

/y C '=

所以极值曲线为

y ax = (b)

由于

1112(1)d -d 0x x y += 在右端边界上满足条件

1

1

1(,,)2(1)

1

x x F F F x y y y y y x ??''

-

'

'??=+-

考虑到

'''y y F y F F -==

所以有

1

2(1)]

0x x y '++= (c)

由(a) 、(b) 和(c) 可解答

3

2

11

122

4410

1

1

214a a x a y a

++==--=+ 即a 为满足上述三次方程的一个实根，从而可以得到11,x y 。

也可以通过引进Lagrange 乘子把固定边界问题转换成自由边界问题，如

01[](,,')d ,(),()b a

J y F x y y x y a y y b y =

==?

新泛函为

12102

1*[,,](,,')d (|)(|

)

b

a

b

a J y F x y y x y

y y y λλλλ=+-+-?

2.5 Hamilton 原理

以相空间作为描述对象，一个力学系统的动能可以表示为

),...,,;,...,,(2121n n q q q

q q q T T = 其中，n q q q ,...,,21为广义坐标，n q q q

,...,,21为广义速度。势能可以表示为

12(,,...,)n V V q q q =

定义Lagrange 函数为

1212(,,...,;,,...,)n n L q q q q

q q T V =- （2.5.1） 定义Hamilton 泛函为

1212(,,...,;,,...,)d f t n n t H L q q q q q q t =

?

（2.5.2）

Hamilton 原理：给定初始时刻0t t =以及终止时刻1t t =的状态（位置），在所有可能的运动中，真实的运动应该使得Hamilton 泛函取极小值，也就是说 0

1212(,,...,;,,...,)d m in f t n n t H L q q q q q q t =

→?

（2.5.3）

0=H δ （2.5.4）

例2.13 弹簧的自由振动问题

2

2

22

1

1

12

2

2

,,

()d f t t T m x

V kx H m x

kx t =

=

=

-?

Hamilton 泛函的变分为

()d f t t H m x

x kx x t δδδ=

-?

|()d f f

t t t

t m x x m x x k x x t

δδδ=+--?

()d 0

f

t t m x k x x t δ

=-+=? 由极值条件得到运动方程为

0=+kx x

m 例2.14 单摆。ρ为均匀摆杆的（线）密度，M

是小球的质量，L 是摆杆长。

图2.2单摆和双摆

左图中单摆

(

)2

2

3221

11

122

2

3

()d ()L T x x M L L M L ρθθρθ=

+=+?

2

12

(1cos )(1cos )V L g M gL ρθθ=

-+-

()d f t t H T V t =

-?

0H δ=?运动方程

1

132

()()sin 0L M L L M g ρθρθ+++= 至于右图中的双摆问题，留作读者自行解决。

例2.15：Euler-Bernouillie 梁弯曲的振动问题。

2

22

1

1

2

2

20

d d ,d d ()f

l l t t w T w x V E I x x H T V dt

ρ??==

?

??=

-?

?

?

其中l 为梁的长度，ρ为梁单位长度的质量，w 为梁的挠度, EI 为梁的弯曲刚度。动能中已略去梁单元转动的动能。

Hamilton 泛函的变分为 ()()()00

22

220

d d d d d d d |()d d d d d d f

f f

f

f f

t l t l l

t t t l

t xxxx xx x

xxx t t t l

t l

xxxx

xx x

xxx t t w w H w w E I x t x x w

w x w

E Iw w t x E Iw w E Iw w t w

E Iw w x t E Iw w E Iw w t

δρδδρδρδδδρδδδ??

=

-??

??

=

-+--=-+--??

?

??

??

??

由泛函极值问题得到梁的振动方程

0=+xxxx

EIw w

ρ

而边界条件可从

()0

d 0f

t l xx x

xxx t EIw w EIw w t δδ-=?

得到，譬如梁弯曲的自然边界条件为

0,

0xx xxx w w ==

习题

1. 在条件(,0)0,(,1)1u x u x ==下，求下列泛函的极值

11

00

[]e

sin d d y

u y F u u x y =

??

2. 求长度为l b a >-曲线(),()()0y x y a y b ==，使得它与线段a x b ≤≤所围的面积最大。

3. 已给定侧面面积，试求体积最大的旋转体。

4. 在条件0011()(),()()y x x y x x ?ψ==下，求下列泛函的变分 10

22

[][]d x x F y y y x '=

+?

5. 由Hamilton 原理推导弦振动方程。