第连续系统的时域分析剖析
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第二章 连续系统的时域分析 引言
i(t) L
输入 e(t)
C R u(t) 输出
KVL:
KCL:
描述输入与输出之间 关系的微分方程
L di(t) u(t) e(t) dt
C d u(t) u(t) i(t)
dt
R
LC
d2 u(t) dt2
L R
d u(t) dt
u (t )
e(t )
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n
m
或缩写为： a j y( j) (t) bi f (i) (t)
j0
i0
aj ( j 0,1, 2, , n 1) constant
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bi (i 0,1, 2, , m) constant
an 1
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第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
微分方程的经典解
yh (t) C1et C2tet Cnt n1et
(3) 特征根是成对共轭复根
i i ji ,
in 2
yh (t) e1t (C1 cos1t C2 sin 1t) eit (Cn1 cosit Cn sin it)
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第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
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第二章 连续系统的时域分析 本章的主要内容
难点：
单位冲激响应的求解；
利用卷积积分的性质求系统的零状态响应。
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第二章 连续系统的时域分析 引言
系统分析的任务： 对给定的系统模型和输入信号，求系统的输出响应
连续时间信号输入
连续时间信号输出
LTI连续时间系统
模数 型学
输入激励信号 （t 的函数）
输出响应信号 线性常系数微分方程
（t 的函数）
(linear constant-coefficient differential equation)
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第二章 连续系统的时域分析 引言
n阶常系数线性微分方程的求解法
微分方程求解
时域分析法
变换域法
微分方程的经典法解法
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t) 和特解yp(t)组成
y(t) yh (t) yp (t)
✓ 齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 ✓ 特解yp(t)的形式由t>0时，等号右边激励信号的形 式确定
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ10
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
双零法
建立零输入响应(zero input response)和零状态响应(zero state response)概念
用卷积积分法求系统的零状态响应 双零法是系统分析的基本方法
优点：物理概念明确，运算过程方便。
是近代计算分析系统的强有力工具，是时域与变换域分析线性 系统的一条纽带，给变换域分析赋予清晰的物理概念。
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第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
系统的数学描述
设系统的激励信号为 f (t) ，响应为 y(t)，则线性时不
变(LTI)连续系统的特性可用一个n阶线性常系数微分 方程来描述：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t) bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) b1 f (1) (t) b0 f (t) （通常n m）
第二章 连续系统的时域分析
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第二章 连续系统的时域分析 本章的主要内容
2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的描述：微分方程的建立 LTI连续系统的分析：微分方程的求解 经典法：自由响应和强迫响应 双零法：零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质 2.5 冲激响应表示的系统特性
齐次方程的求解
特征根的求解
微分方程的经典解
齐次方程为
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t)=0
即特征方程(characteristic equation)为
n an-1 n1 a1 a0 0
解得此方程的n个根
1, 2 , , n 称为微分方程的特征根
(characteristic root)
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第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
微分方程的经典解
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根 λ1, λ 2, , λ n
yh (t) C1e1t C2e2t Cnent
(2) 特征根是等实根 λ 1= λ 2== λ n = λ
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第二章 连续系统的时域分析 引言
电路微分方程建立的依据
电路微分方程建立的依据
KCL和KVL定律
电阻 R u(t) i (t )
电容
iC
(t)
C
duC (t) dt
uC
(t
)
1 C
t
iC
(
)d
电感
uL
(t)
L
d
iL d
(t) t
1
iL (t) L
t
uL
d
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输入信号
特解
K
A
Kt Keat(特征根 sa) Keat(特征根 s=a)
微分方程的经典解
例：求如下所示的微分方程的齐次解
y(t) 5y(t) 6y(t) f (t) , f (t) 10cos(t),t 0
解：系统的特征方程为
2 5 6 0 因式分解： ( 2)( 3) 0
特征根： 1 2, 2 3
对应的齐次解为： yh (t) C1e2t C2e3t
其中C1，C2为待定系数， 在求得全解后，由初始条件确定。
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第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
微分方程的经典解
特解的求解
微分方程的 特解yp(t) 的函数形式与t>0时，等号右边的激励 信号的形式有关。
确定特解形式后，代入原微分方程，求出其待定系数。 常用激励信号对应的特解形式(有限)
（第四、五章）
经典法
全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解
（自由响应） （强迫响应）
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双零法
全响应= 零输入响应 + 零状态响应 （解齐次方程）（经典法或
卷积积分法） 单位冲激响应和单位阶跃响应
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第二章 连续系统的时域分析 引言
经典法
求齐次解(homogeneous solution)和特解(particular solution) 建立自由响应和强迫响应概念
第二章 连续系统的时域分析
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
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第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
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第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
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第二章 连续系统的时域分析
第二章连续时间系统的时域分析
第二章连续时间系统的时域分析2.1 线性连续系统的描述及其响应2.1.1 LTI系统的微分方程描述图2.1 基本元件的电压—电流示意图图2.2 电路图2.1.2 微分方程的经典解2信号与系统2.1.3 零输入响应与零状态响应图2.3 电路图信号与系统 3 2-2 冲激响应和阶跃响应2-2.1 冲激函数的性质图2.4 不连续函数图2.5 单位二次冲激函数2.2.2 任意信号的冲激表示图2.6 用窄脉冲之和近似表示任意信号4信号与系统2.2.3 冲激响应图2.7 冲激响应示意图2.2.4 阶跃响应图2.8 阶跃响应示意图图2.9 常用的补偿分压系统示意图图2.10 不同参数下三种典型的波形示意图信号与系统 5 2.3 卷积积分及其应用2.3.1 卷积积分的定义2.3.2 用卷积积分计算线性时不变系统的零状态响应图2.11 矩形脉冲和锯齿波图2.12 卷积运算过程示意图6信号与系统2.3.4 卷积积分的性质图2.13 卷积的分配律图2.14 卷积的结合律图2.15 例2.8题图信号与系统7图2.16 例2.9题图2.4 习题1. 列写图2.17所示中i1(t)、i2(t)、u0(t)的微分方程。
图 2.172. 已知描述系统的微分方程如下：（1） y″(t)+3y′(t)+2y(t)=0（2） y″(t)+2y′(t)+2y(t)=0（3） y″(t)+2y′(t)+y(t)=0当初始条件为y(0)=1,y′(0)=0时，求零输入响应。
3. 已知描述系统的微分方程如下：（1） y (t)+3y″(t)+2y′(t)=0（2） y (t)+2y″(t)+y′(t)=0当初始状态为y(0)=y′(0)=y (0)=1时，求零输入响应。
4. 已知某LTI系统的微分方程模型为 y″(t)+y′(t)-2y(t)=f（t）8信号与系统（1）用两种方法（微分方程法和卷积积分法）求该系统的阶跃响应g（t）。
（2）用微分方程法求系统对输入f（t）=e-2tcos(3t)ε(t)的零状态响应。
第二章-连续时间系统的时域分析PPT课件
iL(t)L 1 tvL()d
iL(t) L
iL(0)iL(0)L 100 vL()d
vL(t)
如果 vL(t)为有限值，
00vL()d 0，此 iL (时 0)iL (0)
冲激电压或阶
跃电流作用于 电感时：
如v果 L(t)为 (t)，
iL(0)iL(0)
L 10 0 v L ()dL 1, 此 iL 0 时 iL 0
系统的完全响应= 零输入响应+ 零状态响应 (线性系统具有叠加性 )
-
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iC (t) C
vC (t)
电容器的等效电路
vC(0)0,t0
vC(t)C 1 tiC()dC 1 0 iC()dC 10 tiC()d
1t
vC(0)C0iC()d
t0
电路等效为起始状态为零的电容与电压源 vC(0)ut的
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当系统用微分方程表示时，系统的0状态到0 状态有没有 跳变决定于微分方程右端自由项是否包含 (t) 及其各阶导数。 如果包含有 (t) 及其各阶导数，说明相应的0到0 状态发生了 跳变，即 r(0 ) r(0 ) 或 r(0 ) r(0 ) 等等。这时为确定 r(0 ) 、 r(0 ) 等 0 状态值，可以用冲激函数匹配法。它的原理是根据 t 0时刻微分方程左右两端的 (t) 及其各阶导数应该平衡相等。
dt
设
drtatbtc ut
dt
则
r t a t b u t
代入方程 a t b t c u t 3 a t 3 b u t 3 t
得出
a 3
b
3a
0
c 3 b 0
a 3
即
b
9
c 9
第二章连续时间系统的时域分析
B1 cos(wt) B2 sin(wt)
(B1t p Bpt Bp1)et cos(wt) (D1t p Dpt Dp1)et sin(wt)
•若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘 表中特解。
例子2-4
给定微分方程式
d2 dt 2
(t )
例2-2
如图所示机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵
引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为
f，外加牵引力为Fs(t)，求外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度
v(t)间的关系。
解：由机械系统元件特性：弹簧在弹性限
Fm k Fk
m
度内，拉力Ｆk与位移x成正比。
t
Fs
x(t) v( )d
３、齐次方程的求解
（1）特征根的求解
齐次方程为：
C0
dn dt n
r(t)
C1
d n1 dt n1
r(t)
Cn1
d dt
r(t)
Cnr(t)
0
齐次方程的解为： r(t) Aet 或Aet 函数的线性组合。
将其解代入齐次方程，并化简：
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0 解得此方程的n个根：1,2 ,,n 称为微分方程的特征根。
２、微分方程的经典法全解形式
则由时域经典法求解可得其完全解为
r(t) rh (t) rp (t) 其中齐次解 rh (t) 由方程右端为零构成的齐次方程而定；
即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。
其中特解 rp (t) 根据方程右端激励构成的“自由项”而定。
注: "自由项"为e(t)代入方程右端化简后的函数式
二、连续系统的时域分析
第二章 连续系统的时域分析
概述： 1.LTI连续系统的时域分析： 建立线性微分方程并 求出响应与激励关系 时域分析法：函数的变量----t（分析是在时间域内进行的） 2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换 域分析法的基础 经典法 求微分方程的解。 3.时域分析法主要内容： 零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积积分
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y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
yp(t) = (P1t + P0)e–2t
6 yp(t ) 6( p1t p0)e2t
yp ' (t ) 2( p1t p 0)e
2t
p1e
2t
2t
5 yp ' (t ) 10( p1t p 0)e
e
t
α≠特征根 （ P1t P0 )e t α=特征根
Pe t
cos t sin t
（ Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t
P1 cos t P2 sin t
α=r重特征根
所有的特征根均≠±jβ
第 7页
特解举例
P1= 1 但 P0未定
第 14 页
全解
全解： y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t
= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入： y(0) = (C1+P0) + C2=1 y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 ： C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解： y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应
第2章 连续系统的时域分析(1)
(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t)；
卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法)
2020/7/30
4
本章主要内容
•LTI系统完全响应的求解；
•冲激响应h(t)的求解；
•卷积的图解说明；
•卷积的性质yzs；t f t ht
•零状态响应：
。
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,
dn1 y(0 ) d t n1
t=0-时，激励未接入，y(0-)、y’(0-)…， 反映系统的历史情况。
初始条件的确定是要解决的问题。
求解微分方程时，要先从y(j)(0-)
y(j)(0+)
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实例
例2.1-3 描述某LTI系统的微分方程为
y'' (t) 2 y' (t) y(t) f '' (t) 2 f (t)
特 解： 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数
定出特解。注意常数情况
全 解：
齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数Ack i。
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系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)
已知y(0) 1, y'(0) 1, f (t) (t),求y 0 和y'(0)
1、将激励代入微分方程
y'' (t) 2 y' (t) y(t) '' (t) 2 (t)
根据微分方程奇异函数对等原理
第二章 连续系统的时域分析法
第二章连续系统的时域分析法时域分析法不通过任何变换，直接求解系统的微分方程。
系统的分析计算全部在时间变量领域内进行。
这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。
本章将在用经典法求解微分方程的基础上，讨论零输入响应，特别是零状态响应的求解。
在引入系统的冲激响应之后，零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分，最后介绍卷积积分的性质。
主要内容§2.1 LTI连续系统的响应§2.2 冲激响应和阶跃响应§2.3 卷积积分§2.4 卷积积分的性质§2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应四、零状态响应五、全响应一、微分方程的经典解：一般而言，如果单输入—单输出系统的激励为f (t )，响应为y (t )，则描述LTI 连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n 阶常系数线性微分方程，它可写为：∑∑==−−−−=++++=++++n i m j j j i i m m m m n n n t f b t y a t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y 00)()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)()()( )()()()( )()()()(L L 即：其中，均为常数，且),,1,0(),,,1,0( m j b n i a j i L L ==1=n a该方程的全解由齐次解和特解组成，即)(t y h )(t y p )()()(t y t y t y p h +=齐次解：齐次解是齐次微分方程0)()()()(0)1(1)1(1)(=++++−−t y a t y a t y a t y n n n L 的解，它是形式为的一些函数的线性组合。
λ为特征方程的根----特征根。
t Ce λ特征根：特征方程00111=++++−−a a a n n n λλλL ),,2,1(n i i L =λ的n 个根称为微分方程的特征根。
第二章连续系统的时域分析
解得系数为 代入得
A1 2 A2 4
rzi (t) 2e2t 4et ,t 0
（3）零状态响应rzs(t) 满足 r”(t) + 3r’(t) + 2r(t) = 2δ(t) + 6u(t) 利用系数匹配法解得：
r'zs (0) r'zs (0) 2 2 rzs (0) rzs (0) 0 0
利用初始值解得： A1 1 A2 0
全响应为：
r(t)
e2t
3
t0
（2）零输入响应rzi(t), 激励为0 ， rzi (0+)= rzi (0-)= rzi (0-)=2 rzi’(0+)= rzi’(0-)= rzi’(0-)=0
根据特征根求得通解为：
rzi (t) A1e2t A2et
四．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)
零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
①自由响应：也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励 形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。
解得 A1 + B0 = 2 A2= –1
最后得微分方程的全解为
r(t) 2e2t e3t te2t
上式第一项的系数A1+B0= 2，不能区分A1和B0，因而也不能 区分自由响应和强迫响应。
二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0－ 状态和 0＋ 状态 0－ 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储 能产生的； 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统 的储能，还受激励的影响。 从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及 其各阶导数。
第7章 连续系统的时域和频域分析
• 本章将研究连续系统的时域分析（激励与响应） 和在频域（包括复频域即s域）中的关系及其应用。
• 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行 分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供 系统时间响应的全部信息。频域、复频域分析法 在线性连续系统分析中也具有独特用途和优势； 系统的频域分析主要包括求表征系统频率特性的 频率响应特征量和在频域求解系统输出两方面内 容。本章介绍的连续系统分析对于研究系统性质、 系统对信号的传输、处理能力和系统设计有重要 意义。
（7.1.2）
H ( j) 反映了响应y(t)的幅度和相位，代表了系统对信号的处理结果。
▲
■
第2页
2.一般信号f(t)作用于LTI系统的响应
• 同样，一般信号f(t)作用于LTI系统时，系统
输出的响应在时域是该信号与系统响应函
数的卷积，因此在频域是信号的频谱函数
与系统函数的频谱函数（冲激响应）的乘
• （3）系统的响应由零输入（Zero-input）响应和零状态 (Zero-state) 响 应组成。即
•
完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
▲
■
第 11 页
4.关于0-和0+初始值
• （1）0-状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的。 • 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值反映了系统的历史情况而与激励无关。
积，LTI系统的时域分析与频域分析的关系
如图7-1-1所示。
f(t)
LTI系统 h(t) y(t)
f(t) X h(t ) =y(t)
F(j ).H(j)=Y(j)
▲
■
第3页
7.1.2无失真传输
连续时间信号与系统的时域分析
连续时间信号与系统的时域分析时域分析是信号与系统理论中的重要内容。
连续时间信号与系统的时域分析主要研究信号在时间域上的性质和系统对信号的响应。
在时域分析中，我们将信号表示为时间的函数。
连续时间信号可以用数学公式或图形来描述。
常见的连续时间信号有冲激信号、单位阶跃信号和正弦信号等。
冲激信号是时域中的一种特殊信号，其幅值在某个时间点上突然增加，然后迅速恢复为零。
可以表示为δ(t)。
冲激信号在连续时间系统中具有重要的作用，它是其他信号的基础。
单位阶跃信号是时域中的另一种特殊信号，它在某个时间点上突然从零增加到一个常数。
可以表示为u(t)。
单位阶跃信号可以用来描述系统的初始条件或系统的响应。
正弦信号是一种周期信号，它在时间域上呈现出振荡的特点。
正弦信号的频率、幅度和相位可以描述信号的特性。
正弦信号在连续时间系统中经常出现，用于分析系统的频率响应和振荡现象。
在时域分析中，我们还需要了解系统对信号的响应。
系统可以是线性或非线性的。
线性系统具有叠加性质，即输入信号的线性组合对应于输出信号的线性组合。
非线性系统则不具备这种性质。
系统对信号的响应可以分为零状态响应和零输入响应。
零状态响应是指系统在特定初始条件下对输入信号的响应。
零输入响应是指系统在没有输入信号的情况下对初始条件的响应。
时域分析的关键是求解系统的微分方程或差分方程。
通过解析或数值方法可以得到系统的零状态响应和零输入响应。
零状态响应是由输入信号的初始条件决定的，而零输入响应则只与系统本身相关。
通过时域分析，我们可以了解信号在时间域上的特性和系统对信号的响应。
这对于信号处理、通信系统和控制系统等领域具有重要意义。
了解信号与系统的时域分析可以帮助我们设计和优化系统，改善信号的质量和性能。
时域分析是信号与系统理论中的重要内容。
连续时间信号与系统的时域分析主要研究信号在时间域上的性质和系统对信号的响应。
在时域分析中，我们将信号表示为时间的函数。
连续时间信号可以用数学公式或图形来描述。