真题北京市中考数学试卷含答案解析
北京市2018年中考数学试卷 考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为
A． B． C． D． 2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 A．||4a B．0cb C．0ac D．0ac
3．方程组33814xyxy的解为
A．12xy B．12xy C．21xy D．21xy 4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为27140m
，则FAST的反射面积总面积约为
A．327.1410m B．427.1410m C．522.510m D．622.510m 5．若正多边形的一个外角是60，则该正多边形的内角和为 A．360 B．540 C．720 D．900
6．如果23ab，那么代数式22()2ababaab的值为 E D C
B
A
A．3 B．23 C．33 D．43 7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系2yaxbxc（0a）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A．10m B．15m C．20m D．22.5m 8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（6，3）时，表示左安门的点的坐标为（5，6）； ②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（12，6）时，表示左安门的点的坐标为（10，12）； ③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（11，5）时，表示左安门的点的坐标为（11，11）； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5，7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5）． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．右图所示的网格是正方形网格，BAC________DAE．（填“”，“”或“”） 10．若x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 11．用一组a，b，c的值说明命题“若ab，则acbc”是错误的，这组值可以是a_____，b______，c_______． 12．如图，点A，B，C，D在O上，CBCD，30CAD，50ACD，则ADB________． 13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若4AB，3AD，则CF的长为________． 14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路
合计
A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 15．某公园划船项目收费标准如下：
船型 两人船 （限乘两人） 四人船 （限乘四人） 六人船 （限乘六人） 八人船 （限乘八人） 每船租金 （元/小时） 90 100 130 150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元． 16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点P． 求作：PQ，使得PQl∥． 18．计算：04sin45(π2)18|1|．
19．解不等式组：3(1)1922xxxx． 20．关于x的一元二次方程210axbx． （1）当2ba时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 21．如图，在四边形ABCD中，ABDC∥，ABAD，对角线AC，BD交于点O，AC
平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若5AB，2BD，求OE的长． 22．如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD． （1）求证：OPCD； （2）连接AD，BC，若50DAB，70CBA，2OA，求OP的长． 23．在平面直角坐标系xOy中，函数kyx（0x）的图象G经过点A（4，1），
直线14lyxb∶与图象G交于点B，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W． ①当1b时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围． 24．如图，Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交AB于点C，连接AC．已知6cmAB，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为1cmy，A，C两点间的距离为2cmy． 小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y，2y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y，2y与x的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 6 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，1y），（x，2y），并画出函数1y，2y的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当APC△为等腰三角形时，AP的长度约为____cm． 25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x≤，5060x≤，6070x≤，7080x≤，8090x≤，90100x≤≤）； b．A课程成绩在7080x≤这一组是： 70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数
A B 70 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______； （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数． 26．在平面直角坐标系xOy中，直线44yx与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线23yaxbxa经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C． （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH． （1）求证：GFGC； （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明． 28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）． 已知点A（2，6），B（2，2），C（6，2）． （1）求d（点O，ABC△）； （2）记函数ykx（11x≤≤，0k）的图象为图形G，若d（G，ABC△）1，直接写出k的取值范围； （3）T的圆心为T（，0），半径为1．若d（T，ABC△）1，直接写出的取值范围．
【中考真题】2022年北京市中考数学试卷(附答案)
2022年北京市中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下面几何体中，是圆锥的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学计数法表示应为（ ） A ．1026.288310⨯B ．112.6288310⨯C ．122.6288310⨯D ．120.26288310⨯3．如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ． 2a -＜B ．1b ＜C ．a b ＞D ．a b -＞5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．346．若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A ．4-B ．14-C ．14D ．47．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x ； ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ；①用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ，其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①二、填空题9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________． 10．分解因式：2xy x -=______． 11．方程215x x=+的解为___________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）13．某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双． 14．如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．15．如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．16．甲工厂将生产的I 号、II 号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，每个包裹的重量及包裹中I 号、II 号产品的重量如下：甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II 号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）． 三、解答题17．计算：0(1)4sin 458 3.π-+-+- 18．解不等式组：274,4.2x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩19．已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值．20．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC∆, 求证：180.A B C ∠+∠+∠= 方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥21．如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(4,3)，(2,0)-，且与y 轴交于点A ．(1)求该函数的解析式及点A 的坐标；(2)当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲、乙两位同学得分的折线图：b ．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c ．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m 的值；(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．24．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD ⊥连接,.AC OD(1)求证：2;BOD A ∠=∠(2)连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．25．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0);y a x h k a =-+<(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x =--+记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为.x t =(1)当2,c m n ==时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点00(,)(1)x m x ≠在抛物线上，若,m n c <<求t 的取值范围及0x 的取值范围． 27．在ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为ABC ∆内一点，连接BD ，DC 延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF 若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；(2)连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”． (1)如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；①连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM =(2)O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）参考答案：1．B 【解析】 【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案． 【详解】解：A 选项为圆柱，不合题意； B 选项为圆锥，符合题意； C 选项为三棱柱，不合题意； D 选项为球，不合题意； 故选B ． 【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥． 2．B 【解析】 【分析】将262 883 000 000写成()11100≤⨯<na a ，n 为正整数的形式即可．【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是2.62883，小数点向左移动了11位， ①262 883 000 000112.6288310=⨯， 故选B ． 【点睛】本题考查用科学计数法表示绝对值大于1的数，掌握()11100≤⨯<na a 中n 的取值方法是解题的关键． 3．A 【解析】 【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，∠=︒．由对顶角相等可得，130故选A．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．【详解】解：点a在-2的右边，故a>-2，故A选项错误；点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；b在a的右边，故b>a，故C选项错误；-＞，故D选项正确，由数轴得：-2<a<-1.5，则1.5<-a<2，1<b<1.5，则a b故选：D．【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．5．A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：①共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．6．C【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方程，解答即可．【详解】①一元二次方程20x x m++=有两个相等的实数根，①∆=0，①2140m-=，解得14m=，故C正确．故选：C．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．7．D【解析】【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解①如图，一共有5条对称轴．故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．8．A【解析】【分析】由图象可知：当y 最大时，x 为0，当x 最大时，y 为零，即y 随x 的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 随行驶时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；①设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x -， 则矩形的面积为：21122y L x x x Lx ⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⎝⎭， 故①不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①①，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．9．x ≥8##8x【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x -8≥0，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：x -8≥0，解得：x ≥8．故答案为：x ≥8．【点睛】0)a ≥是解题的关键． 10．()()11x y y +-【解析】【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 11．x =5【解析】【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．【详解】 解：215x x=+ 方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5, 解得：x =5, 经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0. 故原方程的解为：x =5【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根，12．＞【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：①k >0，①在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25＜，①1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．13．120【解析】【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，①该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040⨯=双． 故答案为：120【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的关键．14．1【解析】【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，①AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，①1DF DE ==， ①1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=． 故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 15．1【解析】【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，①14AE AF BC FC ==，4BC =， ①144AE =， ①1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 16． ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ） ABE 或BCD【解析】【分析】（1）从A ，B ，C ，D ，E 中选出2个或3个，同时满足I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II 号产品最多的方案即可．【详解】解：（1）根据题意，选择ABC 时，装运的I 号产品重量为：53210++=（吨），总重6551619.5++=<（吨），符合要求；选择ABE 时，装运的I 号产品重量为：53311++=（吨），总重6581919.5++=<（吨），符合要求；选择AD 时，装运的I 号产品重量为：549+=（吨），总重671319.5+=<（吨），符合要求；选择ACD 时，装运的I 号产品重量为：52411++=（吨），总重6571819.5++=<（吨），符合要求；选择BCD 时，装运的I 号产品重量为：3249++=（吨），总重5571719.5++=<（吨），符合要求；选择DCE 时，装运的I 号产品重量为：4239++=（吨），总重7582019.5++=>（吨），不符合要求；选择BDE 时，装运的I 号产品重量为：34310++=（吨），总重5782019.5++=>（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC 或ABE 或AD 或ACD 或BCD ．故答案为：ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ）．（2）选择ABC 时，装运的II 号产品重量为：1236++=（吨）；选择ABE 时，装运的II 号产品重量为：1258++=（吨）；选择AD 时，装运的II 号产品重量为：134+=（吨）；选择ACD 时，装运的II 号产品重量为：1337++=（吨）；选择BCD 时，装运的II 号产品重量为：2338++=（吨）；故答案为：ABE 或BCD ．【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．17．4【解析】【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．【详解】 解：0(1)4sin 458 3.π-+-+-=143+ =4．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．18．14x <<【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．【详解】解：274? 4 2x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式①得4x <，故所给不等式组的解集为：14x <<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．19．５【解析】【分析】先根据2220x x +-=，得出222x x +=，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，最后代入求值即可．【详解】解：①2220x x +-=，①222x x +=，①2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，是解题的关键．20．答案见解析【解析】【分析】选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD ∠=∠，C EAC ∠=∠，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180︒．【详解】证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD ∠=∠，C EAC ∠=∠．( 两直线平行，内错角相等）点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C ∴∠+∠+∠=︒．（平角的定义）180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．21．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形，得出AO CO =，BO DO =，再根据AE CF =，得出EO FO =，即可证明结论；（2）先证明DCA DAC ∠=∠，得出DA DC =，证明四边形ABCD 为菱形，得出AC BD ⊥，即可证明结论．(1)证明：①四边形ABCD 为平行四边形，①AO CO =，BO DO =，①AE CF =，①AO AE CO CF -=-，即EO FO =，①四边形EBFD 是平行四边形．(2)①四边形ABCD 为平行四边形，①AB CD ，①DCA BAC ∠=∠，①,BAC DAC ∠=∠①DCA DAC ∠=∠，①DA DC =，①四边形ABCD 为菱形，①AC BD ⊥，即EF BD ⊥，①四边形EBFD 是平行四边形，①四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．22．(1)112y x =+，(0,1) (2)1n ≥【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出y 即可求解．（2）根据题意112x n x +>+结合0x >解出不等式即可求解． (1)解：将(4,3)，(2,0)-代入函数解析式得， 3=402k b k b +⎧⎨=-+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ①函数的解析式为：112y x =+， 当0x =时，得1y =，①点A 的坐标为(0,1)．(2)由题意得，112x n x +>+，即22x n >-， 又由0x >，得220n -≤，解得1n ≥，①n 的取值范围为1n ≥．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关系．23．(1)8.6(2)甲(3)乙【解析】【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．（2）根据方差的计算方法先算出甲乙的方差，再进行比较即可求解．（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲乙丙的平均分，再进行比较即可求解．(1)解：丙的平均数：101010998398108.610+++++++++=， 则8.6m =．(2)2222212(8.68)4(8.69)2(8.67)2(8.610) 1.0410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦甲， 222214(8.67)4(8.610)2(8.69) 1.8410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦乙， 22S S <甲乙，①甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，故答案为：甲．(3)由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为： 甲：889799910=8.6258+++++++， 乙：77799101010=9.758+++++++， 丙：10109989810=9.1258+++++++， ①去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，因此最优秀的是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键． 24．(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】（1）设AB 交CD 于点H ，连接OC ，证明Rt COH Rt DOH ∆≅∆ ，故可得COH DOH ∠=∠ ，于是BC BD = ，即可得到2BOD A ∠=∠；（2）连接，解出60COB ∠=︒，根据AB 为直径得到90ADB ∠=︒，进而得到60ABD ∠=︒，即可证明//OC DB ，故可证明直线CE 为O 的切线．(1)证明：设AB交CD于点H，连接OC，由题可知，∴=，90OC OD∠=∠=︒，OHC OHD=，OH OH()∴∆≅∆，Rt COH Rt DOH HLCOH DOH∴∠=∠，∴=，BC BDCOB BOD∴∠=∠，∠=∠，2COB A∴∠=∠；BOD A2(2)证明：连接AD，=，OA ODOAD ODA ∠=∠∴，同理可得：OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠，①点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠，180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，223060COB CAO ∴∠=∠=⨯︒=︒， AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90903060ABD DAO ∴∠=-∠=︒-︒=︒，60ABD COB ∴∠=∠=︒，//OC DE ∴，CE BE ⊥，CE OC ∴⊥，∴直线CE 为O 的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键． 25．(1)23.20m ；()20.05823.20y x =--+(2)＜【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出1d 和2d ，然后进行比较即可．(1)解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：()8,23.20，①8h =，23.20k =，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ，根据表格中的数据可知，当0x =时，20.00y =，代入()2823.20y a x =-+得： ()220.000823.20a =-+，解得：0.05a =-，①函数关系关系式为：()20.05823.20y x =--+．(2)设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时，()20.05823.20t x =--+，解得：8x =8x =①根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d =第二次训练时，()20.04923.24t x =--+，解得：9x =9x =①根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d =①()()2023.202523.24t t --＜，，①12d d ＜．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出1d 和2d ，是解题的关键．26．(1)（0，2）；2(2)t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x << 【解析】【分析】（1）当x =0时，y =2，可得抛物线与y 轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称，可得t 的值，即可求解；（2）抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），根据抛物线的图象和性质可得当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时；当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，即可求解．(1)解：当2c =时，22y ax bx =++，①当x =0时，y =2，①抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）；①m n =，①点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称， ①1322t +==； (2)解：当x =0时，y =c ，①抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ），①抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），①0a >，①当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时， 1t <，①,m n c <<1＜3，①2t ＞3，即32t >（不合题意，舍去）， 当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，点0(,)x m 在对称轴的右侧，13t <<，此时点(3,)n 到对称轴x t =的距离大于点(1,)m 到对称轴x t =的距离，①13t t -<-，解得：2t <，①,m n c <<1＜3，①2t ＞3，即32t >， ①322t <<， ①0(,)x m ，(1,)m ，对称轴为x t =，①012x t +=， ①013222x +<<，解得：023x <<， ①t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x <<． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27．(1)见解析(2)CD CH =；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明SAS FCE BCD ∆∆，得出CFE CBD ，推出EF BD ∥，再由AF EF ⊥即可证明BD AF ⊥；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证SAS MEC BDC ∆∆，推出ME BD =，通过等量代换得到222AM AE ME =+，利用平行线的性质得出90BHE AEM ，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH =．(1)证明：在FCE ∆和BCD ∆中， CE CD FCE BCD CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，① SAS FCEBCD ∆∆， ① CFE CBD ，① EF BD ∥，①AF EF ⊥，①BD AF ⊥．(2)解：补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，①90ACB ∠=，CM ＝CB ，① AC 垂直平分BM ，①AB AM =，在MEC ∆和BDC ∆中，CM CB MCE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，① SAS MEC BDC ∆∆，① ME BD =，CME CBD ， ①222AB AE BD =+，① 222AM AE ME =+，① 90AEM ∠=︒，①CME CBD ，① BH EM ∥，① 90BHE AEM ，即90DHE ∠=︒， ①12CECD DE ， ① 12CH DE ， ① CD CH =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明90DHE ∠=︒是解题的关键．28．(1)见解析(2)42t -【解析】【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；①延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ≅，得到12TA TO OA ==，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出12NT ON OT OM =-==； （2）连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，则()()max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS -=+--=．(1)解：①点Q 如下图所示．①点(1,1)M ，①点(2,0)P -向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'，①()'1,1P -，①点P'关于点N 的对称点为Q ，()2,2N ，①点Q 的横坐标为：()2215⨯--=，纵坐标为：2213⨯-=，①点()5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；①证明：如图延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，① //AQ OP ，①AQT OPT ∠=∠，在ΔAQT 与ΔOPT ∠中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ΔΔAQT OPT AAS ≅， ①12TA TO OA ==， ① ()3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，①OA =OM =ON =①12TO OA ==①NT ON OT =-= ①12NT OM =； (2)解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，①(,)M a b ，点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，①'1PP OM ==，①点P'关于点N 的对称点为Q ，①'NP NQ =，又①OP OS =，①OM ①ST ，①NM 为Δ'P QT 的中位线，①//NM QT ，1=2NM QT ， ①1NM OM ON t =-=-，①222TQ NM t ==-，①()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS -<<+，结合题意，max PQ PS QS =+，min PQ PS QS =-，①()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -．【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q 和点P'的轨迹是解题的关键．。
2022年北京市中考数学试卷-含答案详解
2022年北京市中考数学真题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下面几何体中，是圆锥的为( )A. B.C. D.2. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为( )A. 26.2883×1010B. 2.62883×1011C. 2.62883×1012D. 0.262883×10123. 如图，利用工具测量角，则∠1的大小为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )A. a<−2B. b<1C. a>bD. −a>b5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )A. 14B. 13C. 12D. 346. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )A. −4B. −14C. 14D. 47. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 58. 下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 若√x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10. 分解因式：xy2−x=．11. 方程2x+5=1x的解为．12. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1y2(填“>”“=”或“<”)．13. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．14. 如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则SΔACD =．15. 如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC =14，则AE的长为．16. 甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．(1)如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)；(2)如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17. 计算：(π−1)0+4sin45∘−√8+|−3|.18. 解不等式组：{2+x>7−4x, x<4+x2.四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。
北京市历年中考数学试题（含答案）
北京市历年中考数学试题（含答案）北京市历年中考数学试题（含答案）2010年北京市⾼级中等学校招⽣考试数学试卷⼀、选择题（本题共32分，每⼩题4分）1、-2的倒数是 A. 21- B. 21 C. -2 D. 2 2、2010年6⽉3⽇，⼈类⾸次模拟⽕星载⼈航天飞⾏试验“⽕星―500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480⼩时的“⽕星之旅”.将12480⽤科学计数法表⽰应为A. 31048.12?B. 5101248.0?C. 410248.1?D. 310248.1?3、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若AD :AB=3:4，AE=6，则AC 等于A. 3B. 4C. 6D. 84、若菱形两条对⾓线长分别为6和8，则这个菱形的周长为A. 20B. 16C. 12D. 105、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这⼗个数中随机取出⼀个数，取出的数是3的倍数的概率是 A. 51 B. 103 C. 31 D. 21 6、将⼆次函数322+-=x x y 化成的k h x y +-=2)(形式，结果为A. 4)1(2++=x yB. 4)1(2+-=x yC. 2)1(2++=x yD. 2)1(2+-=x y 7、10名同学分成甲、⼄两队进⾏篮球⽐赛，他们的⾝⾼（单位：cm ）如下表所⽰：设两队队员⾝⾼的平均数依次为甲x 、⼄x ，⾝⾼的⽅差依次为2甲S 、2⼄S ，则下列关系中完全正确的是A. 甲x =⼄x ，2甲S >2⼄SB. 甲x =⼄x ，2甲S <2⼄SC. 甲x >⼄x ，2甲S >2⼄SD. 甲x <⼄x ，2甲S <2⼄S 8、美术课上，⽼师要求同学们将右图所⽰的⽩纸只沿虚线裁开，⽤裁开的纸⽚和⽩纸上的阴影部分围成⼀个⽴体模型，然后放在桌⾯上，下列四个⽰意图中，只有⼀个．．．．符合上述要求，那么这个⽰意图是⼆、填空题（本题共16分，每⼩题4分）9、若⼆次根式12-x 有意义，则x 的取值范围是____________.10、分解因式：m m 43-=________________. 11、如图，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂⾜为点E ，连结OC ，若OC=5，CD =8，则AE =______________.12、右图为⼿的⽰意图，在各个⼿指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指⽅向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的⽅式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第12+n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（⽤含n 的代数式表⽰）.三、解答题（本题共30分，每⼩题5分）13、计算： 60tan 342010)31(01--+--14、解分式⽅程212423=---x x xA BC DE15、已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同⼀条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC . 求证：∠ACE =∠DBF .16、已知关于x 的⼀元⼆次⽅程0142=-+-m x x 有两个相等的实数根，求m 的值及⽅程的根.17、列⽅程或⽅程组解应⽤题2009年北京市⽣产运营⽤⽔和居民家庭⽤⽔的总和为5.8亿⽴⽅⽶，其中居民家庭⽤⽔⽐⽣产运营⽤⽔的3倍还多0.6亿⽴⽅⽶，问⽣产运营⽤⽔和居民家庭⽤⽔各多少亿⽴⽅⽶.18、如图，直线32+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .（1）求A ，B 两点的坐标；（2）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且使OP =2O A ，求△ABP 的⾯积.A D四、解答题（本题共20分，每⼩题5分）19、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD =2，BC =4.求∠B 的度数及AC 的长.20、已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上⼀点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC =2∠ACD =90°.（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）如果∠ACB =75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长.21、根据北京市统计局公布的2006―2009年空⽓质量的相关数据，绘制统计图如下：0 220230 240 250 290 280 270 260 2006 2007 2008 2009 2006―2009年北京全年市区空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数统计图 . .. . 241 246 274 285（1）由统计图中的信息可知，北京全年市区空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数与上⼀年相⽐，增加最多的是_______年，增加了_____天；（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年⼗个城市空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数占全年天数百分⽐的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）；表1 2009年⼗个城市空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数占全年天数百分⽐统计图（3）根据表1中的数据将⼗个城市划分为三个组，百分⽐不低于95%的为A 组，不低于85%且低于95%的为B 组，低于85%的为C 组.按此标准，C 组城市数量在这⼗个城市中所占的百分⽐为_________%；请你补全右边的扇形统计图.22、阅读下列材料：⼩贝遇到⼀个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，BA =6cm.现有⼀动点P 按下列⽅式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹⾓为45°的⽅向作直线运动，每次碰到矩形的⼀边，就会改变运动⽅向，沿着与这条边夹⾓为45°的⽅向作直线运动，并且它⼀直按照这种⽅式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹⾓为45°的⽅向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹⾓为45°的⽅向作直线运动，…，如图1所⽰，问P点第⼀次与D 点重合前．．．与边相碰⼏次，P 点第⼀次与D 点重合时．．．所经过的路径总长是多少. ⼩贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形CD B A 11.由轴对称的知识，发现E P P P 232=，E P A P 11=.请你参考⼩贝的思路解决下列问题：2009年⼗个城市空⽓质量达到⼆级和好于⼆级的天数占全年天数百分⽐分组统计图 A 组 20%（1）P 点第⼀次与D 点重合前．．．与边相碰_______次；P 点从A 点出发到第⼀次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是_______cm ；（2）进⼀步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满⾜AD >AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动⽅式，并满⾜前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上，若P 点第⼀次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则AB ：AD 的值为______. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23、已知反⽐例函数xk y =的图象经过点A （3-，1）. （1）试确定此反⽐例函数的解析式；（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反⽐例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P （m ，63+m ）也在此反⽐例函数的图象上（其中021，设Q 点的纵坐标为n ，求9322+-n n 的值.24、在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上.（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直⾓三⾓形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）.①当等腰直⾓三⾓形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另⼀点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停⽌运动，P 点也同时停⽌运动）.过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直⾓三⾓形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）.若P 点运动到t 秒时，两个等腰直⾓三⾓形分别有⼀条边恰好落在同⼀条直线上，求此刻t 的值.25、问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内⼀点，且AD =CD ，BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的⽐值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对⼀般情况进⾏分析并加以证明.（1）当∠BAC =90°时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；当推出∠DAC =15°时，可进⼀步推出∠DBC 的度数为_________；可得到∠DBC 与∠ABC 度数的⽐值为_______________.（2）当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的⽐值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.2011年北京市⾼级中等学校招⽣考试数学试卷⼀、选择题（本题共32分，每⼩题4分）下⾯各题均有四个选项，其中只有⼀个是符合题意的1．34-的绝对值是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．我国第六次全国⼈⼝普查数据显⽰，居住在城镇的⼈⼝总数达到665 575 306⼈，将665 565 306⽤科学记数法表⽰（保留三个有效数字）约为 A ．766.610? B ．80.66610? C ．86.6610?D ．76.6610? 3．下列图形中，既是中⼼对称图形⼜是轴对称图形的是 A ．等边三⾓形 B ．平⾏四边形 C ．梯形D ．矩形 4．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对⾓线AC 、BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则AOCO 的值为A ．12B ．13C ．14D ．19则这10个区县该⽇⽓温的众数和中位数分别是A ．32，32B ．32，30C ．30，32D ．32，316．⼀个不透明的盒⼦中装有2个⽩球、5个红球和8个黄球，这些球除颜⾊外，没有任何其他区别，现从这个盒⼦中随机摸出⼀个球，摸到红球的概率为A ．815B ．13C ．215D ．1157．抛物线265y x x =-+的顶点坐标为 A ．(34)-， B ．(34)， C ．(34)--， D ．(34)-，8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，2AB =，D 是AB 边上的⼀个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD x =，CE y =，则下列图象中，能表⽰y 与x 的函数关系的图象⼤致是O D C B A CED B AD C B A⼆、填空题（本题共16分，每⼩题4分）9．若分式8x x -的值为0，则x 的值等于_____________．10．分解因式：321025a a a -+=____________．11．若右图是某⼏何体的表⾯展开图，则这个⼏何体是_________．12．在右表中，我们把第i ⾏第j 列的数记为i j a ，（其中i ，j 都是不⼤于5的正整数），对于表中的每个数i j a ，规定如下：当i j ≥时，1i j a =，；当i j <时，0i j a =，．例如：当2i =， 1j =时，211i j a a ==，，．按此规定，13a =，_______；表中的25个数中，共有______个1；计算111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ?+?+++，，，，，，，，，，的值为__________．三、解答题（本题共30分，每⼩题5分）13．计算：()1012cos302π2-??-- 。
2022年北京市中考数学真题(解析版)
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
6.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x 8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
10.分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
北京市2021年中考数学试题及答案(Word版)原卷版+解析版
北京市2021年中考数学试题及答案(Word版)原卷版+解析版2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷原卷版（1-17页）+解析版（17-34页）姓名准考证号考场号座位号考生须知 1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
．．1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A）a＞4 （B）c?b＞0 （C）ac＞0 （D）a?c＞03. 方程式??x?y?3 的解为3x8y14x1x1x2x2（A）? （B）? （C）? （D）?y?2y??2y?1y??14. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（A）7.14?10m （B）7.14?10m （C）2.5?10m （D）2.5?10m 5. 若正多边形的一个外角是60，则该正多边形的内角和为（A）360 （B）540 （C）720 （D）900ooooo32425262?a2?b2?a?6. 如果a?b?23，那么代数式??b?2a??a?b的值为（A）3 （B）23 （C）33 （D）43 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y?ax2?bx?c?a?0?。
往年北京市中考数学真题及答案
往年北京市中考数学真题及答案一. 选择题（本题共32分,每小题4分）下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的．1．9-的相反数是A．19-B．19C．9-D．92．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于往年年6月1日闭幕,本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元,将60 110 000 000用科学记数法表示应为A．96.01110⨯B．960.1110⨯C．106.01110⨯D．110.601110⨯3．正十边形的每个外角等于A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒4．右图是某个几何体的三视图,该几何体是A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱5．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中,准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具,2份是科普读物,1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是A．16B．13C．12D．236．如图,直线AB,CD交于点O,射线OM平分AOC∠,若76BOD∠=︒,则BOM∠等于A．38︒B．104︒C．142︒D．144︒7．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量,如下表所示：用电量（度）120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2A．180,160 B．160,180 C．160,160 D．180,1808． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步,他从点A 出发,沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ,共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （ 单位：秒）,他与教练的距离为y （ 单位：米）,表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的 A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二. 填空题（ 本题共16分,每小题4分） 9． 分解因式：269mn mn m ++= ．10．若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根,则m 的值是 ． 11．如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ,他调整自己的位置,设法使斜边DF 保持水平,并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边40cm DE =,20cm EF =,测得边DF 离地面的高度1.5m AC =,8m CD =,则树高AB = m ．12．在平面直角坐标系xOy 中,我们把横 . 纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点()04A ，,点B 是x 轴正半轴上的整点,记AOB △内部（ 不包括边界）的整点个数为m ．当3m =时,点B 的横坐标的所有可能值是 ；当点B 的横坐标为4n （ n 为正整数）时,m = （ 用含n 的代数式表示．）三. 解答题（ 本题共30分,每小题5分） 13．计算：()11π3182sin 458-⎛⎫-+-︒- ⎪⎝⎭.14．解不等式组：4342 1.x x x x ->⎧⎨+<-⎩，15．已知023a b =≠,求代数式()225224a ba b a b -⋅--的值．16．已知：如图,点E A C ，，在同一条直线上,AB CD ∥,AB CE AC CD ==，．求证：BC ED =.17．如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数()40y x x=>的图象与一次函数y kx k =-的图象的交点为()2A m ，.（ 1）求一次函数的解析式；（ 2）设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ,若P 是x 轴上一点,且满足PAB △的面积是4,直接写出点P 的坐标．18．列方程或方程组解应用题：据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．四. 解答题（ 本题共20分,每小题5分）19．如图,在四边形ABCD 中,对角线AC BD ，交于点E ,9045302BAC CED DCE DE ∠=︒∠=︒∠=︒=，，，，22BE =．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．20．已知：如图,AB 是O ⊙的直径,C 是O ⊙上一点,OD BC ⊥于点D ,过点C 作O ⊙的切线,交OD 的延长线于点E ,连结BE ． （ 1）求证：BE 与O ⊙相切；（ 2）连结AD 并延长交BE 于点F ,若9OB =，2sin 3ABC ∠=,求BF 的长．21．近年来,北京市大力发展轨道交通,轨道运营里程大幅增加,2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．请根据以上信息解答下列问题：（ 1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；（ 2）按照2011年规划方案,预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？ （ 3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务,从2011到2015这4年中,平均每年需新增运营里程多少千米？22．操作与探究：（ 1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点P 的对应点P '.点A B ，在数轴上,对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中点A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1,若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截至2010年底） 开通时间 开通线路 运营里程(千米) 1971 1号线 31 1984 2号线 23 2003 13号线 41 八通线 19 2007 5号线 28 20088号线 5 10号线 25 机场线 28 20094号线 28 2010房山线 22 大兴线22 亦庄线 23 昌平线 21 15号线20是 ；若点B '表示的数是2,则点B 表示的数是 ；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合,则点E 表示的数是 ；（ 2）如图2,在平面直角坐标系xOy 中,对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横. 纵坐标都乘以同一种实数a ,将得到的点先向右平移m 个单位,再向上平移n 个单位（ 00m n >>，）,得到正方形A B C D ''''及其内部的点,其中点A B ，的对应点分别为A B ''，。
2020年北京市中考真题数学含答案
准考证号考场号座位号C ）（D ）2-3-如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为A B C D ，，，ABC ∆ABD ∆(填“>”，“=”或“<”) .ABD下图是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能x l作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线m的图象有两个交点，则的最大值是月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：30日的厨余垃圾分出量统计图：．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100 170 2501）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________（结果取整数）；2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月________倍（结果保留小数点后一位）；．在平面直角坐标系中，的半径为，，为xOy O 1A B 给出如下定义：平移线段，得到的弦（，AB O ''A B 'A①左图，根据图形可知,//ACD BAC AB CD ∠=∠∴）【解析】7=∠DGB(2)如图01，线段平移得到弦AB ''A B ，∴ 为等边三角形''1A B = ''A OB ∆∴此时，即为线段到的“平移距离”'AA AB O ∴ 13d =2，1212,AA AA AM A A =∴⊥又为等边三角形， 11A OB ∆ 160A OM ∴∠=113,22OM A M ∴==在中， ∴1RT A AM ∆22121339942A A A M AM =+=+=∴综上，取值范围是：2d 233922d ≤≤。
2022年北京市中考数学试卷 - 答案
2022年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．B．2．B．3．A．4．D．5．A．6．C．7．D．8．A．二、填空题（共16分，每题2分）x．9．810．(1)(1)-+．x y y11．5x=．12．>．13．120．14．1．15．1．16．解：（1）ABC（或ABE或AD或ACD或BCD或)ACE；（2）ACE．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【解答】解：原式143=+-=+13=．418．【解答】解：由274x>，x x+>-，得：1由42x x +<，得：4x <， 则不等式组的解集为14x <<．19．【解答】解：2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++2241x x =++，2220x x +-=，222x x ∴+=，∴当222x x +=时，原式22(2)1x x =++221=⨯+41=+5=．20．【解答】证明：方法一：//DE BC ，B BAD ∴∠=∠，C CAE ∠=∠，180BAD BAC CAE ∠+∠+∠=︒，180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒；方法二：//CD AB ，A ACD ∴∠=∠，180B BCD ∠+∠=︒，180B ACB A ∴∠+∠+∠=︒．21．【解答】证明：（1）在ABCD 中，OA OC =，OB OD =，AE CF =．OE OF ∴=，∴四边形EBFD 是平行四边形；（2）四边形ABCD 是平行四边形，//AB DC ∴，BAC DCA ∴∠=∠，BAC DAC ∠=∠，DCA DAC ∴∠=∠，DA DC ∴=，∴平行四边形ABCD 为菱形，DB EF ∴⊥，∴平行四边形EBFD 是菱形．22．【解答】解：（1）把(4,3)，(2,0)-分别代入y kx b =+得4320k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴函数解析式为112y x =+， 当0x =时，1112y x =+=， A ∴点坐标为(0,1)；（2）当1n 时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．23． 【解答】解：（1）1(10101099839810)8.610m =⨯+++++++++=；（2）甲同学的方差2_S 甲，乙同学的方差2_S 乙， 2_S 甲，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲；（3）甲同学的最后得分为1(7829410)8.6258⨯+⨯+⨯+=； 乙同学的最后得分为1(3792103)8.6258⨯⨯+⨯+⨯=； 丙同学的最后得分为1(8293103)9.1258⨯⨯+⨯+⨯=， ∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．故答案为：丙．24．【解答】证明：（1）如图，连接AD ，AB是O的直径，AB CD⊥，=，∴BC BD∴∠=∠，CAB BAD∠=∠，BOD BAD2BOD A∴∠=∠；2（2）如图，连接OC，F为AC的中点，∴⊥，DF AC∴=，AD CD∴∠=∠，ADF CDF=，BC BD∴∠=∠，CAB DAB=，OA OD∴∠=∠，OAD ODA∴∠=∠，CDF CAB=，OC OD∴∠=∠，CDF OCDOCD CAB ∴∠=∠，BC BC =，CAB CDE ∴∠=∠，CDE OCD ∴∠=∠，90E ∠=︒，90CDE DCE ∴∠+∠=︒，90OCD DCE ∴∠+∠=︒，即OC CE ⊥， OC 为半径，∴直线CE 为O 的切线．25． 【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)， 8h ∴=，23.20k =，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ，根据表格中的数据可知，当0x =时，20.00y =，代入2(8)23.20y a x =-+得： 220.00(08)23.20a =-+，解得：0.05a =-，∴函数关系式为：20.05(8)23.20y x =--+；（2）设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时，20.05(8)23.20t x =--+，解得：8x =或8x =，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d =+ 第二次训练时，20.04(9)23.24t x =--+，解得：9x =+或9x =，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d =， 20(23.20)25(23.24)t t -<-，∴<12d d ∴<，故答案为：<．26． 【解答】解：（1）将点(1,)m ，(3,)n 代入抛物线解析式， ∴93m a b c n a b c =++⎧⎨=++⎩， m n =，93a b c a b c ∴++=++，整理得，4b a =-，∴抛物线的对称轴为直线4222b a x a a-=-=-=； 2t ∴=，2c =，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0,2)．（2）m n c <<，93a b c a b c c ∴++<++<，解得43a b a -<<-，34a b a ∴<-<， ∴34222a b a a a a <-<，即322t <<． 当32t =时，02x =； 当2t =时，03x =．0x ∴的取值范围023x <<．27．【解答】（1）证明：在BCD ∆和FCE ∆中，BC CF BCD FCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCD FCE SAS ∴∆≅∆，DBC EFC ∴∠=∠，//BD EF ∴，AF EF ⊥，BD AF ∴⊥；（2）解：由题意补全图形如下：=．CD CH证明：延长BC到F，使CF BC=，连接AF，EF，⊥，BC CFAC BF=，∴=，AB AF由（1）可知//=，BD EF，BD EF222=+，AB AE BD222∴=+，AF AE EF∴∠=︒，AEF90∴⊥，AE EF∴⊥，BD AE∴∠=︒，DHE90又CD CE=，∴==．CH CD CE28．【解答】解：（1）①由题意知，(21,01)P'-++，∴-，(1,1)P'如图，点Q即为所求；②连接PP'，45P PO MOx '∠=∠=︒，//PP ON '∴，P N QN '=，PT QT ∴=， 12NT PP '∴=， PP OM '=，12NT OM ∴=； （2）如图，连接PO ，并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 到T ，使ST OM =，由题意知，//PP OM '，PP OM '=，P N NQ '=，2TQ MN ∴=，1MN OM ON t =-=-，22TQ t ∴=-，1(22)21SQ ST TQ t t ∴=-=--=-，在PQS ∆中，PS QS PS QS -<+，PQ ∴的最小值为PS QS -，PQ 的最大值为PS QS +，PQ ∴长的最大值与最小值的差为()()242PS QS PS QS QS t +--==-．。
【难点解析】2022年北京市昌平区中考数学真题汇总 卷(Ⅱ)(含答案及解析)
2022年北京市昌平区中考数学真题汇总 卷（Ⅱ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、下列图形是中心对称图形的是（ ）． A ．B ．C ．D ． 2、下列说法中，不正确的是（ ） A ．13xy -是多项式 B ．2631x x -+的项是26x ，3x -，1 C ．多项式34432a a b -+的次数是4 D ．241x x -+的一次项系数是-4 3、要使式子2x x -有意义，则（ ） ·线○封○密○外A ．0x ≠B ．2x ≠C ．2x >D ．0x >4、火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y （米）与火车行驶时间x （秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．③④D ．①③④5、如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转至△DEC ，使点D 落在BC 的延长线上．已知∠A ＝32°，∠B ＝30°，则∠ACE 的大小是（ ）A ．63°B ．58°C ．54°D ．56°6、文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x 元，由题意可列方程为（ ）A ．（38﹣x ）（160+3x ×120）＝3640B ．（38﹣x ﹣22）（160+120x ）＝3640C ．（38﹣x ﹣22）（160+3x ×120）＝3640D ．（38﹣x ﹣22）（160+3x ×120）＝3640 7、若x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣3＝0的一个根，则m 的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2 8、下列命题正确的是( )A ．零的倒数是零B ．乘积是1的两数互为倒数C ．如果一个数是a ，那么它的倒数是1aD ．任何不等于0的数的倒数都大于零 9、已知点A （m ，2）与点B （1，n ）关于y 轴对称，那么m +n 的值等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．210、点P （4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（3，﹣4）B ．（﹣4，3）C ．（﹣4，﹣3）D ．（4，3） 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、已知关于x ，y 的二元一次方程组2586235x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩的解x ，y 互为相反数，则a 的值为______． 2、若将数轴折叠，使得表示-1的点与表示5的点重合，则原点与表示_______的点重合． 3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，连接AE ．若AC ＝6，BC ＝8，则△ADE 的面积为____．·线○封○密○外4、983018'''︒=___________度，903527'︒-︒=___________︒___________'．5、多项式x 3-4x 2y 3＋26的次数是_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是线段AC 上一动点，CQ ⊥BP 于点Q ，D 是线段BQ 上一点，E 是射线CQ 上一点，且满足CE AC BD AB =，连接AE ，DE ．（1）如图1，当AB ＝AC 时，用等式表示线段DE 与AE 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当AC ＝2AB ＝6时，用等式表示线段DE 与AE 之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若12CP AP =，AE ⊥CQ ，直接写出A ，D 两点之间的距离． 2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A （1，0），B （0，2），二次函数y ＝x 2+bx ﹣2的图象经过C 点．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线的一个动点且在x 轴的下方，则当点P 运动至何处时，恰好使△PBC 的面积等于△ABC 的面积的两倍． （3）若点Q 是抛物线上的一个动点，则当点Q 运动至何处时，恰好使∠QAC ＝45°？请你求出此时的Q 点坐标． 3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 是∠COB 的平分线，OE ⊥OF ． （1）图中∠BOE 的补角是 ； （2）若∠COF =2∠COE ，求△BOE 的度数； （3）试判断 OF 是否平分∠AOC ，请说明理由． 4、为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： ·线○封○·密○外（1）此次调查的总人数为________；（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°；（3）请将条形统计图补充完整；（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A 类和D 类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．5、在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．-参考答案- 一、单选题 1、A【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．【详解】解：选项B 、C 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项A 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．2、C【分析】根据多项式的定义及项数、次数定义依次判断．【详解】 ·线○封○密○外解：A . 13xy -是多项式，故该项不符合题意； B . 2631x x -+的项是26x ，3x -，1，故该项不符合题意；C . 多项式34432a a b -+的次数是5，故该项符合题意；D . 241x x -+的一次项系数是-4，故该项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了多项式的定义及项数的定义、次数的定义，正确掌握多项式的各定义是解题的关键．3、B【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求得答案．【详解】 解：要使式子2x x -有意义， 则20x -≠2x ∴≠ 故选B【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是“分母不为0”是解题的关键．4、D【分析】根据函数的图象即可确定在BC 段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．【详解】解：在BC 段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确；火车的长度是150米，故②错误；整个火车都在隧道内的时间是：45-5-5=35秒，故③正确；隧道长是：45×30-150=1200（米），故④正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 5、C 【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠ACD =63°，再由△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转至△DEC ，得到△ABC ≌△DEC ，证明∠BCE =∠ACD ，利用平角为180°即可解答． 【详解】 解：∵∠A =33°，∠B =30°， ∴∠ACD =∠A +∠B =33°+30°=63°， ∵△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转至△DEC ， ∴△ABC ≌△DEC ， ∴∠ACB =∠DCE ， ∴∠BCE =∠ACD ， ∴∠BCE =63°， ∴∠ACE =180°-∠ACD -∠BCE =180°-63°-63°=54°． 故选：C ． 【点睛】 ·线○封○密·○外本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC ≌△DE C ．6、D【分析】由这种工艺品的销售价每个降低x 元，可得出每个工艺品的销售利润为（38-x -22）元，销售量为（160+3x ×120）个，利用销售总利润=每个的销售利润×销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这种工艺品的销售价每个降低x 元，∴每个工艺品的销售利润为（38-x -22）元，销售量为（160+3x ×120）个．依题意得：（38-x -22）（160+3x×120）=3640．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7、D【分析】把x =1代入方程x 2+mx -3=0，得出一个关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：把x =1代入方程x 2+mx -3=0得：1+m -3=0，解得：m =2．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m 的方程．8、B【分析】根据倒数的概念、有理数的大小比较法则判断．【详解】解：A 、零没有倒数，本选项说法错误；B 、乘积是1的两数互为倒数，本选项说法正确；C 、如果0a =，则a 没有倒数，本选项说法错误；D 、2-的倒数是12-，102-<，则任何不等于0的数的倒数都大于零说法错误； 故选：B ． 【点睛】 本题考查了有理数的乘法及倒数的概念，熟练掌握倒数概念是关键． 9、B 【分析】 关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此先求出m ，n 的值，然后代入代数式求解即可得． 【详解】 解：∵(),2A m 与点()1,B n 关于y 轴对称， ∴1m =-，2n =， ∴121m n +=-+=， 故选：B ． 【点睛】 题目主要考查点关于坐标轴对称的特点，求代数式的值，理解题意，熟练掌握点关于坐标轴对称的特·线○封○密○外点是解题关键．10、B【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案．【详解】解：点P（4，-3）关于原点对称的点的坐标是（-4，3），故选：B．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．二、填空题1、-3【分析】两个方程相加得出3x+3y=3a+9，根据已知条件x，y互为相反数知x+y=0，得出关于a的方程，解方程即可．【详解】解：两个方程相加得：3x+3y=3a+9，∵x、y互为相反数，∴x+y=0，∴3x+3y=0，∴3a+9=0，解得：a=-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质；根据题意得出关于a 的方程是解决问题的关键． 2、4 【分析】设原点与表示x 的点重合，先根据题意求出数轴上折叠的那个地方表示的数为1522，则022x +=，由此即可得到答案． 【详解】解：设原点与表示x 的点重合，∵将数轴折叠，使得表示-1的点与表示5的点重合， ∴数轴上折叠的那个地方表示的数为1522， ∴022x +=， 解得4x =， 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查了数轴上两点中点的计算方法，解一元一次方程，解题的关键在于能够根据题意求出折叠点表示的数． 3、6.72 【分析】 连接BE ，延长CD 交BE 与点H ，作CF ⊥AB ，垂足为F ．首先证明DC 垂直平分线段BE ，△ABE 是直角三角形，利用三角形的面积求出EH ，得到BE 的长，在Rt △ABE 中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】 ·线○封○密·○外解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CF⊥AB，垂足为F．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8．∴AB，∵D是AB的中点，∴AD=BD=CD=5，∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CF，∴12×6×8=12×10×CF，解得CF=4.8．∵将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，∴BC=CE，BD=DE，∴CH⊥BE，BH=HE．∵AD=DB=DE，∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，∴S△ECD=S△ACD，∴12DC•HE=12AD•CF，∵DC=AD，∴HE=CF=4.8．∴BE=2EH=9.6．∵∠AEB =90°，∴AE． ∴S △ADE =12EH •AE =12×2.8×4.8=6.72． 故答案为：6.72．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 4、98.505； 54； 33 【分析】 根据度数的单位换算方法及度数的计算法则解答． 【详解】 解：983018'''︒=98.505°，903527'︒-︒=5433'︒， 故答案为：98.505,54,33． 【点睛】 此题考查了角度的计算，正确掌握角度的进率计算是解题的关键． 5、5 【分析】 根据多项式次数的定义解答． 【详解】 解：多项式各项的次数分别为：3、5、0， 故答案为：5． 【点睛】 ·线○封○密·○外此题考查了多项式次数的定义：多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，熟记定义是解题的关键．三、解答题1、（1）DE =，理由见解析（2）DE AE =，理由见解析 （3）125 【分析】（1）连接AD ．根据,90CQ BP BAC ⊥∠=︒，可得90BAC CQP ∠∠==，从而得到APB CPQ ∠=∠，再由,CE AC AB AC BD AB==，可得BD CE =，从而得到ABD ACE ≅，进而得到,AD AE BAD CAE =∠=∠，即可求解；（2）连接AD ．先证明ABD ACE ，可得到2,AE AC BAD CAE AD AB==∠=∠，从而得到90BAC DAE ∠=∠=︒，再由勾股定理，即可求解；（3）根据题意可先证明四边形ADQE 是矩形，可得到AD ⊥BP ，再由12CP AP =，可得AP =4，再由勾股定理可得5BP ==，然后根据三角形的面积，即可求解．（1）解：DE =理由：如图，连接AD ．∵,90CQ BP BAC ⊥∠=︒，∴90BAC CQP ∠∠==， ∵APB CPQ ∠=∠， ∴180180BAC APB CQP CPQ ∠∠∠∠--=--，∴ABD ACE ∠=∠， ∵,CE AC AB AC BD AB ==， ∴BD CE =， ∴ABD ACE ≅， ∴,AD AE BAD CAE =∠=∠， ∴BAD CAD CAE CAD +=+∠∠∠∠，即BAC DAE ∠=∠， ∴90DAE ∠=︒，在Rt △DAE 中，∵AD AE =，∴DE ==； （2）解：DE AE =， 理由：如图，连接AD ． ·线○封○密○外∵,90CQ BP BAC ∠⊥=，∴90BAC COP ∠∠==，∵APB CPQ ∠=∠，∴180180BAC APB CQP CPQ ∠∠∠∠--=--，∴ABD ACE ∠=∠， ∵CE AC BD AB=， ∴ABD ACE ， ∴2,AE AC BAD CAE AD AB==∠=∠， ∴BAD CAD CAE CAD +=+∠∠∠∠，即90BAC DAE ∠=∠=︒， 在Rt △DAE 中，∵12AD AE =，∴DE ==； （3） 解： 由（2）得：∠DAE =90°，∵AE ⊥CQ ，BP ⊥CQ ，∴∠DQE =∠AEQ =90°，PQ ∥AE ，∴四边形ADQE 是矩形，∴∠ADP =90°，即AD ⊥BP ， ∵12CP AP =，AC =6， ∴AP =4， ∵AC ＝2AB ＝6， ∴AB =3， ∵∠BAC =90°，∴5BP == ， ∵1122AD BP AB AP ⨯=⨯ ， ∴341255AB AP AD BP ⨯⨯=== ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、全等三角形、矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形、全等三角形、矩形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键． 2、（1）222y x x -=-；（2）当点P 运动至坐标为()2,2-或111,39时，恰好使△PBC 的面积等于△ABC 的面积的两倍； （3）Q ⎝⎭或.Q ⎝⎭ 【分析】 （1）如图，过C 作1CQ OQ 于1,Q 先证明1,ABO CAQ ≌ 111,2,OA CQ OB AQ 可得3,1,C 再代入二次函数y ＝x 2+bx ﹣2中，再利用待定系数法求解b 即可； （2）先求解155,,22ABC AB S AB AC 过P 作PH y ∥轴交BC 于,H 再求解直线BC 为：12,3y x 设2,22,P x x x 则1,2,3H x x 再利用21545,23PBC C B S x x x x 再解·线○封○密○外方程即可；（3）分两种情况讨论：如图，作B 关于AC 的对称点,N 连接,CN 作CAN ∠的角平分线,AH 交CN 于,H 交抛物线于,Q 由,AB AC ⊥ 则45,,QAC AB AC AN 再求解AH 的解析式，再求解AH 与抛物线的交点坐标即可，如图，同理可得：当AH 平分BAC ∠时，射线AH 与抛物线的交点Q 满足45,QAC 按同样的方法可得答案.【详解】解：（1）如图，过C 作11CQ OQ 于1,Q则190,AOB AQ C 而,,90,AB AC AB AC BAC190,BAO ABO BAO CAQ1,ABO CAQ1,ABO CAQ ≌ 而1,0,0,2,A B111,2,OA CQ OB AQ3,1,C二次函数y ＝x 2+bx ﹣2的图象经过C 点，9321,b 解得：2,b =-∴ 二次函数的解析式为：22 2.y x x（2） 1,0,0,2,,,A B ABAC AB AC 2215125,,22ABC AB S AB AC 25,PBC ABC S S 过P 作PH y ∥轴交BC 于,H 设直线BC 为,y mx n =+31,2m n n 解得：1,32m n 所以直线BC 为：12,3y x 设2,22,P x x x 则1,2,3H x x 22152224,33PH x x x x x 21545,23PBC C B S x x x x整理得：23520,x x --= 解得：1212,,3x x 当2x =时，2,y =-·线○封○密○外当13x =-时，11,9y 2,2P 或111,.39P 所以当点P 运动至坐标为()2,2-或111,39时，恰好使△PBC 的面积等于△ABC 的面积的两倍． （3）如图，作B 关于AC 的对称点,N 连接,CN 作CAN ∠的角平分线,AH 交CN 于,H 交抛物线于,Q 由,AB AC ⊥ 则45,,QAC ABAC AN0,2,1,0,B A 2,2,N,ACAN AH 平分,CAN ,CH NH3,1,C 则51,,22H同理可得直线AH 的解析式为：11,33yx 2113322y x y xx解得：51096110918xy或51096110918xy（不合题意，舍去）.Q∴⎝⎭如图，同理可得：当AH平分BAC∠时，射线AH与抛物线的交点Q 满足45,QAC同理：33,,22H直线AH为：33,y x23322y xy x x解得：521293212xy或521293212xy（不合题意舍去）.Q∴⎝⎭【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数关系式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键.3、（1）∠AOE和∠DOE；（2）∠BOE=30°；（3）OF平分AOC．理由见解析．·线○封○密○外【分析】（1）根据补角的定义，依据图形可直接得出答案；（2）根据互余和∠COF＝2∠COE，可求出∠COF、∠COE，再根据角平分线的意义可求答案；（3）根据互余，互补、角平分线的意义，证明∠FOA＝∠COF即可．【详解】解：（1）∵∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE ∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE故答案为：∠AOE或∠DOE；（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，∴∠COF＝23×90°＝60°，∠COE＝13×90°＝30°，∵OE是∠COB的平分线，∴∠BOE＝∠COE＝30°；（3）OF平分∠AOC，∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．∴∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°，∵∠BOE＋∠EOC＋∠COF＋∠FOA＝180°，∴∠COE＋∠FOA＝90°，∴∠FOA＝∠COF，即，OF平分∠AOC．【点睛】考查互为余角、互为补角、角平分线的意义，解题的关键是熟知：如果两角之和等于180°，那么这两个角互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角；如果两个角的和是直角，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角．4、（1）20人（2）36（3）见解析（4）12 【分析】 （1）由条形统计图中B 类学生数及扇形统计图中B 类学生的百分比即可求得参与调查的总人数； （2）由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与360°的积即为所求的结果； （3）现两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得C 类、D 类学生的人数，从而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图； （4）记A 类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D 类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，从而可求得概率． （1） 由条形统计图知，B 类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B 类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：1050%20÷=（人） 故答案为：20人 （2） 由扇形统计图知，D 类学生所占的百分比为：115%50%25%10%---=，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36° 故答案为：36 （3） C 类学生总人数为：20×25%=5（人），则C 类学生中女生人数为：523-=（人） D 类学生总人数为：20×10%=2（人），则C 类学生中男生人数为：211-=（人） ·线○封○密○外补充完整的条形统计图如下：（4）记A 类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D 类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下：则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：3162= 【点睛】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息．5、（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF =-【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒， ∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒， ∴AD AF =， 在Rt ADB 中，30B ∠=︒， ∴22AB AD AF ==； （2）AB AF AE =+，证明如下： 如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =， ∵60BAC ∠=︒， ∴AEG △是等边三角形， ·线○封○密○外∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EABGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示： 在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =， ∵60BAD ∠=︒， ∴AEN △是等边三角形， ∴60AEN FNE ∠=∠=︒， ∵60CEF AEN ∠=∠=︒ ∴NEF AEC ∠=∠， 在NEF 与AEC △中， ·线○封○密·○外60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，∴BN AF =，∴AB AN BN AE AF =-=-，∴AB AE AF =-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。
2021年北京市中考数学试题(word版,含答案解析)
2021年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱2．（2分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012B．1.692×1012C．1.692×1011D．16.92×10103．（2分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2分）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．5．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜06．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）A．B．C．D．7．（2分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n n+1，则n的值为（）A．43B．44C．45D．468．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：5x2﹣5y2＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为．13．（2分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．15．（2分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．16．（2分）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。