美式期权价格公式
【总0222-量化学术041】BAW美式期权定价公式与代码实现
【总0222-量化学术041】BAW美式期权定价公式与代码实现BAW美式期权定价公式与代码实现原创 cueb 量化金融科技前沿2017-08-01致敬所有为了祖国和平安全奉献一生的军人们！而我国的金融人将在另外一个维度（金融安全维护）维护祖国和平。
金融人只有保持其自身极高的专业素养和专业技能，才能报效祖国。
（该推文由首都经济贸易大学金融学院余颖丰副教授及其团队负责）Barone-Adesi and Whaley(1987)提出一个种基于扩展BSM期权定价公式的方法找出了美式期权的解析解（即闭解）,这就是后来大名鼎鼎的BAW美式期权定价模型。
我们简单介绍一下该定价公式的基本内容。
在该定价模型中，涉及到求解一个非线性方程，该非线性方程没有解析解，我们用到了优化学的基本方法，该优化学问题可视为一无约束条件的优化问题(unconstraint optimization)，当然，也可以视为是找一个非线性方程的根。
在Barone-Adesi and Whaley(1987)的论文中，他们采用了Newton-Raphson算法求解此非线性方程。
下面该美式看涨期权的Matlab程序具体实现代码（有兴趣的读者可以写一下VBA、Python、JAVA和C/C++的版本）。
要实现前面我们讨论的美式看涨期权定价公式，我们编写了一个“BAWAericanCallApprox.m”函数，该函数中涉及到我们编写的另外一个函数“critical_S.m”函数。
“critical_S.m”函数主要是利用Newton-Raphson数值方法来寻找非现象方程的根，即关键标的物价格。
特别需要一提的是“bsm_call.m”程序，该程序是我们自己编写的计算BSM期权定价公式的程序。
该程序的代码在本微信公众号的前面推文中有出现过。
请读者自己找找。
【总001-0220期量化金融前沿精彩推文汇总】文献信息：Barone-Adesi,G.,and R.E.Whaley(1987): Efficeint Analytic Approximation of American Option Values, Jounral of Finance, 42(2).301-320.。
期权定价及风险参数或希腊字母计算公式一览
期权定价风险参数/希腊字母计算公式一览一、Black —Scholes 期权定价模型Black —Scholes 期权定价模型适用于无红利欧式期权的定价，看涨期权定价公式如下：)()(2)(1d N Ke d SN C t T r ---=其中：t T t T r K S d --++=σσ))(2()ln(21；t T d d --=σ12。
二、风险参数/希腊字母Delta ：对标的物价格进行一阶求导，反映的是期权价格对标的物价格的敏感程度。
)(1d N Delta C =；1-)(1d N Delta P =Gamma对标的物价格进行二阶求导，反映的是期权价格对Delta 的敏感度。
t T s d N Gamma Gamma P C -)(1σ'==Vega对波动率进行一阶求导，反映的是期权价格对标的物波动率的敏感程度。
t T S d N Vega Vega P C -'==)(1Theta对时间进行一阶求导，反映的是期权价格对时间流逝的敏感程度。
)(2)(2)(1d N rKe tT S d N Theta t T r C ----'-=σ )-(2)(2)(1d N rKe tT S d N Theta t T r P --+-'-=σ Pho对无风险收益率进行一阶求导，反映的是期权价格对无风险收益率的敏感程度。
)()(2)(d N e t T K ho t T r C ---=ρ)-()(-2)(d N et T K ho t T r P ---=ρ 此外，极值波动率的计算公式为： ∑==N i i i l h N 12)ln(2ln 41σ。
美式期权定价方法综述
美式期权定价方法综述【摘要】本文介绍了几种主要的美式期权定价方法。
其中，对叉树法、蒙特卡洛法和有限差分法进行了较详细的分类综述。
最后，简单介绍了有限元法，近似解析公式法和提前执行权利金法在美式期权定价方面的应用。
【关键词】美式期权；叉树法；蒙特卡洛；有限差分1 叉树方法叉树方法是将期权的基础资产价格过程在风险中性条件下离散化，在利用动态规划的方法求解该期权的价格。
该方法由Cox，Ross和Rubinstein于1979年提出，因此我们将该模型简称为CRR模型。
Hsia（1983）证明在中心极限定理及某些参数下，二叉树模型将收敛为连续的BS模型。
二叉树方法简单易行，迄今已被广泛扩展。
Hull和White（1988）利用控制变异来修正二叉树模型，并用于美式期权定价，发现此法收敛速度更快。
Breen（1991）通过修正二叉树模型发展出加速二叉树模型，研究表明时间间隔固定时，此法可加速二叉树收敛，并提高精确性。
Boyle（1986）发展出三叉树模型，即一段时间内股价可能上涨，下跌之外或持平。
三叉树定价原理与二叉树类似，因而适用于美式及欧式期权定价，且资产预期价格变动或投资者的风险偏好差异不会影响期权价格。
Rubinstein （2000）比较了三叉树与二叉树模型，发现前者的优越性在于比后者多一个自由度，使股价变化与时间分割相互独立。
2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是使用计算机来模拟基础资产价格变动的随机过程，并求期权价格的方法。
Hull和White（1993）提出蒙特卡洛法时，认为只适用于欧式期权定价。
Tilley（1993）则提出用蒙特卡洛法解决美式期权的提前执行，通过记录基础资产价格路径，并比较提前执行收益与期权价格，判断是否提前执行。
此后学者对这一方法提出新扩展，较为著名的有Barraquand和Martineau（1995）提出的BM模型，和Raymar和Zwecher（1998）提出的RZ模型。
两个模型的提前执行决策都是比较执行价和持有价，但分隔区域的数量不足会造成每一区域持有价格的估计偏差。
欧式与美式期权二叉树定价及程序实现.doc
姓名：卢众专业：数学与应用数学学号： 08101116指导老师：许志军2011 年 6 月 3 日目录一、期权二叉树定价简介 (3)二、假设 (3)三、符号说明 (3)四、欧式二叉树模型 (4)1、一步二叉树模型 (4)2、风险中性定价原理 (5)3、两步二叉树模型 (6)4、多步二叉树模型 (6)五、美式二叉树模型 (7)1、单步二叉树 (7)2、多步二叉树 (8)六、对于其他标的资产的期权的定价 (9)1、支付连续股息收益率股票期权的定价 (9)2、股指期权期权的定价 (10)3、货币期权 (10)4、期货期权 (10)七、实例解析 (10)八、程序 (11)一、期权二叉树定价简介期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。
在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。
二、假设1、市场上无套利机会存在；2、所有的数据来源可靠；三、符号说明编号 符号 意义1 r 无风险利率2 u 股票上涨比率3 d 股票下跌比率4 0S股票初始价格 5 Λ,,,d u f f f 期权价值 6 t 时间步长 7 ∆ 股票数量8 p 股票上涨的概率 9 δ 股票的波动大小 10 1H 股票在初始时刻价格 112H期权的执行价格四、欧式二叉树模型100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.91生的分枝一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step ）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是0S ，基于该股票的欧式期权价格为f 。
期权定价理论知识
期权定价理论知识期权定价理论是金融市场中重要的工具，它用于确定期权的合理价格。
期权是一种金融衍生品，它赋予持有者在未来某个时间点购买或卖出标的资产的权利，但并不强制执行。
期权的价格由多种因素决定，包括标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性以及无风险利率等。
在期权定价理论中，最著名的模型是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型是由费希尔·布莱克和米伦·斯科尔斯于1973年提出的，并且因此获得了诺贝尔经济学奖。
该模型基于一些假设，如市场是完全有效、无风险利率是恒定的等。
根据布莱克-斯科尔斯期权定价模型，期权的价格可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中，C表示看涨期权价格，S表示标的资产价格，N(d1)和N(d2)分别是标准正态分布函数，X表示行权价格，r表示无风险利率，t表示期权到期时间。
公式中的d1和d2可以通过以下公式计算：d1 = (ln(S/X) + (r + (σ^2)/2)*t) / (σ * √t)d2 = d1 - σ * √t该模型通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素，来确定一个看涨期权的合理价格。
类似地，可以用类似的方法计算看跌期权的价格。
虽然布莱克-斯科尔斯期权定价模型是一个重要的理论框架，但它在实际应用中存在一些限制。
例如，该模型假设市场是完全有效的，但实际市场存在各种交易成本、税收和限制等，这些因素都可能影响期权的价格。
此外，该模型假设无风险利率是恒定的，但实际上利率是变化的。
因此，在实际应用中，需要根据实际情况进行调整和修正。
总之，期权定价理论是金融市场中重要的理论工具，它为期权的定价和交易提供了基础。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型是其中最著名的模型之一，它通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素来确定期权的合理价格。
美式看涨——看跌期权在支付红利情况下的价差估计式
从定理 ２ 可以看出美式看涨和看跌期权价差的区间长 度为 Ｓ Ｋ ）（— ）Ｋ １ｅ（’ 对于合理的敲定价格 Ｋ 广 ｅ【 一Ｓ Ｋ ＝ （一 ） ｎ Ｈ， 、 无风险利率ｒ 到期日 美式看涨和 和 看跌期权的 价差非常
收 稿 日期 ：０ ８ ０ — ６ ２０ －３ ２
基金项 目： 红河学院硕博启动项 目（Ｓ ００ １ Ｘ Ｓ７０１ 作者简 介： 张德 ￣（９ ０ ）男， １８ 一 ， 云南楚雄人 ， 助教 ， 硕士研 究生， 从事金融数学方面研 究。
ｓ Ｋ １ ， 么必 然 存在 套 利机 会 。 ｅ（ 那 一 ｒ
关键词 ： 美式期权 ； 无套利定价原理 ； 红利 ； 资组合 ； 投 估计式 中图分类 号： ８０９ 文献标志码 ： 文章编号 ：６３ ２ １ ２ ０ ）１ ０ ８ — ２ Ｆ ３ ．１ Ａ １７ — ９ Ｘ（０ ８ ０ 卜 ０ ５ ０
在标的资产不支付红利的情况下欧式看涨一看跌期权二美式看涨看跌期权在支付红利情况下的平价公式得到广泛的应用看跌只要知道欧式看涨期权的价差估计式价格根据平价公式就可以得出看跌涨期权的价格但对于美式期只权而言能得到它们的估计范围
２０ ０ ８年第 １ 期 １ 总第 ３ Ｏ期
经济研究导刊
Ｅ ＣＯＮＯＭＩ ＥＳ ＡＲＣＨ ＵＩ ＣＲ Ｅ Ｇ ＤＥ
（ ） ２ 。
定理２ Ｃ 和 分别 标的 不支 喏 ＾ Ｉ 是在 资产 付红利 情况下 的美式看涨和看跌期权， 则
Ｓ Ｋ Ｃ —ｌ Ｓ Ｋ ≤ｔ ， ， ￣ ｔ Ｐ ≤ 广 ｅ（ －＜ ≤Ｉ ） （ ３ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
、
在 支付 红 利情 况 下 的 欧式 看涨一 看 跌 期 权
平价公 式
日之 前 的 任 何 时 刻 实 施 ， 以讨 论 美 式期 权 在 分 红 情 况 下 的 平 价 关 系尤 为 复 杂 并 且 具 有很 强 的 应 用 价值 。 扩 展 了 所
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
期权定价期权定价公式
期权定价—期权定价公式什么是期权定价？期权定价是指确定期权在市场上的合理价格的过程。
期权是一种金融工具，它授予买方在未来某一特定时间点购买或出售标的资产的权利，而不是义务。
期权的价格取决于多种因素，包括标的资产价格、行使价格、到期时间、无风险利率和波动率等。
期权定价的目标是确定一个公平的市场价格，使得买卖双方在交易中均获得合理回报。
对于买方来说，期权的价格应该对应于未来可能获得的收益；对于卖方来说，期权的价格应该对应于承担的风险以及可能获得的收益。
期权定价公式的重要性期权定价公式是用于计算期权合理价格的数学模型。
它基于一些假设和前提条件，通过对相关变量进行运算，得出期权的价格。
期权定价公式对于市场参与者来说具有重要意义，它为投资者提供了一个参考，可以帮助他们做出更明智的投资决策。
期权定价公式的提出可以追溯到20世纪70年代初，当时经济学家Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的Black-Scholes模型。
该模型基于一些假设，包括期权在到期前不支付股息、标的资产价格在特定时间内的变动是连续且满足几何布朗运动以及市场不存在无风险套利机会等。
Black-Scholes模型是第一个用于计算期权价格的理论模型，它提供了一个简单而有效的方法来评估期权的价格。
在此之后，许多其他的期权定价模型相继被提出，如Binomial模型、Trinomial模型、Monte Carlo模拟和Heston模型等。
这些模型都是基于不同的假设和计算方法，用于满足不同的情景和需求。
期权定价公式的基本要素期权定价公式通常包括以下几个基本要素：1.标的资产价格（S）：标的资产是期权所关联的基础资产，它可以是股票、商品、外汇等。
标的资产价格是期权定价的一个重要变量，它代表了期权的内在价值。
2.行使价格（X）：行使价格是期权合约约定的价格，买方可以在到期时基于该价格购买或者出售标的资产。
行使价格与标的资产价格之间的差异会影响期权的价值。
期权定价公式及其应用解读
（7）
为要套期保值此期权,投资者必须卖空 2 (t, S ) 股此股票
下面求复制期权的证券组合
期权价格的分解：
Ct nt St 0 Ct nt St S t 0 St
Ct nt St ) 由此可知证券组合（portfolio） (nt , 0 St
是自融资证券组合
(四) 方程（7）解的概率表示 命题 2 设
第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大 于标的股票的价值，这显然也是不可能的。 第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零， 这也违背了股票市场的实际情况。
(2) 斯普伦克莱 ( Sprenkle ,1961) 在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行 了长期的研究。
其中，
1 S 1 2 d1 log ( )T , 2 T K
d 2 d1 T
(4) 塞缪尔森 (Samuelson, 1965)
1965年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上 述 成果统一在一个模型中。
C(S , T ) Se
e
y2 2
dy
图1
期权价格曲线随到期时间T的变化
Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的 波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。 例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉 及的两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实 际上都是近似等号）
Ke
rT
15e
0.1( 0.25 )
rs ds
T
则Feynman-Kac公式成立：
(t , x) E p [e t
h( y
(t , x ) T
美式期权定价
美式期权定价由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。
由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。
但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。
提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。
事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。
对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。
看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。
提前执行可以获得执行价格的利息收入。
许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ），假设：1．市场无摩擦2．无违约风险3．竞争的市场4．无套利机会1．带息价格和除息价格每股股票在时间支付红利元。
当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。
可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。
()()t e c d t S t S +=这里()t S c 表示股票在时间的带息价格，()t S e表示股票在时间的除息价格。
这个假设的证明是非常直接的。
如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +≠，则存在套利机会。
首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。
因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。
因为红利是确定知道的，所以只要()()()t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。
其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。
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美式期权价格公式
美式期权是一种可以在到期日前任意时间行使的期权合约，与欧式期
权相比，具有更高的灵活性。
因此，为了计算美式期权的价格，我们需要
使用不同的公式。
美式期权的价格可以通过两种方法进行计算：理论定价方法和模拟方法。
下面我们将介绍具体的美式期权定价公式，包括Black-Scholes期权
定价模型、树模型（二叉树和三叉树）和蒙特卡洛模拟方法。
1. Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型是最常见的对欧式期权进行定价的模型。
然而，对于美式期权，Black-Scholes模型并不适用。
美式期权的特点是可以在到期日前任意时间行使，因此在到期前，股
价可能会有剧烈波动。
这种情况下，使用Black-Scholes模型来计算美式
期权的价格会导致低估。
2.树模型（二叉树和三叉树）
树模型是一种常用的计算美式期权价格的方法。
树模型基于假设股价
会按照指数过程增长，并根据风险中性概率构建一个期权价格的二叉或三
叉树。
对于二叉树模型，可以根据不同的参数（股价、期权价格、无风险利
率等）构建一棵二叉树，并通过回溯计算每个节点的期权价格。
通过比较
每个节点的预期回报和早期执行的收益，可以决定何时行使期权。
类似地，三叉树模型也是一种计算美式期权价格的有效方法。
三叉树
模型在二叉树模型的基础上增加了一个附加节点，使得股价有三种可能的
变动。
这样可以更准确地估计股价的变动范围，提高美式期权价格的准确性。
3.蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的计算美式期权价格的方法。
该方法通过生成大量的随机路径，以确定期权价格的期望值。
在蒙特卡洛模拟中，我们首先需要设定一个股价的路径模型，如几何布朗运动模型。
然后，通过生成多条随机路径，计算每条路径对应的期权价格，并取平均值作为期权价格的估计值。
蒙特卡洛模拟方法的优点在于可以处理复杂的期权合约和多种因素的影响，但由于需要生成大量路径进行模拟，计算速度可能较慢。
总结起来，美式期权的价格计算相对于欧式期权较为复杂。
传统的Black-Scholes模型并不能直接用于美式期权的定价，而需要使用树模型和蒙特卡洛模拟方法来计算美式期权的价格。
这些方法可以根据不同的参数和假设，计算出较为准确的美式期权价格。