2020版高考数学复习三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象与性质讲义理(含解析)

第3讲 三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，

3π2，－1，(2π，0)．

余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)． 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 1．概念辨析 (1)y＝tanx在整个定义域上是增函数．( ) (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．( )

(3)由sinπ6＋2π3＝sinπ6知，2π3是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．( ) (4)三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．小题热身

(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为( )

A．4π B．2π C．π D.π2 答案 C 解析 函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期T＝2π2＝π.故选C. (2)函数y＝1－2cosx的单调递减区间是________． 答案 [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 解析 y＝1－2cosx的单调递减区间就是y＝cosx的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．

(3)函数y＝3－2sinx＋π4的最大值为________，此时x＝________.

答案 5 5π4＋2kπ(k∈Z) 解析 函数y＝3－2sinx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝3π2＋2kπ，即x＝5π4

＋2kπ(k∈Z)． (4)cos23°，sin68°，cos97°从小到大的顺序是________． 答案 cos97°解析 sin68°＝sin(90°－22°)＝cos22°. 因为余弦函数y＝cosx在[0，π]上是单调递减的， 且22°<23°<97°， 所以cos97°即cos97°

题型 一 三角函数的定义域和值域 1．函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是( ) A．{xx≠π6 B．[xx≠－π12 C．{xx≠kπ＋π6k∈Z D．{xx≠kπ2＋π6k∈Z 答案 D 解析 由2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，

解得x≠kπ2＋π6，k∈Z， 所以函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是 {xx≠kπ2＋π6，k∈Z. 2．函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3 答案 A

解析 因为0≤x≤9，所以－π3≤π6x－π3≤7π6，

所以sinπ6x－π3∈－32，1. 所以y∈[－3，2]，所以ymax＋ymin＝2－3. 3．(2018·长沙质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．

答案 －12－2，1

解析 令t＝sinx－cosx，则t＝2sinx－π4∈[－2，2]． 由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得 sinxcosx＝12(1－t2)，

所以y＝t＋12(1－t2)，t∈[－2，2]的值域即为所求． 因为y＝t＋12(1－t2)＝－12(t－1)2＋1， 当t＝－2时，ymin＝－12－2， 当t＝1时，ymax＝1， 所以原函数的值域为－12－2，1. 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的三种求法

1．函数y＝cosx－32的定义域为( ) A.－π6，π6 B.kπ－π6，kπ＋π6(k∈Z) C.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z) D．R 答案 C

解析 由cosx－32≥0，得cosx≥32， ∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z. 2．已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是________． 答案 π3，π

解析 因为x∈－π3，a，所以x＋π6∈－π6，a＋π6. 因为x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域是－12，1， 由函数y＝sinx的图象和性质可知，π2≤a＋π6≤7π6， 解得a∈π3，π. 3．函数y＝－cos2x＋3cosx－1的最大值为________． 答案 1

解析 由题意可得y＝－cosx－322＋54，－1≤cosx≤1，所以当cosx＝1时，ymax＝1. 题型 二 三角函数的单调性

1．(2018·乌鲁木齐一模)已知π3为函数f(x)＝sin(2x＋φ)0f(x)的单调递增区间是( )

A.2kπ－5π12，2kπ＋π12(k∈Z)

B.2kπ＋π12，2kπ＋7π12(k∈Z) C.kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z) D.kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z) 答案 C 解析 由于π3为函数f(x)＝sin(2x＋φ)0

则fπ3＝0，所以sin2π3＋φ＝0， 解得φ＝π3，故f(x)＝sin2x＋π3， 令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 解得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)， 故函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)． 2．已知ω>0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.12，54 B.12，34

C.0，12 D．(0,2] 答案 A 解析 由π2

π2ω＋π4，πω＋π

4⊆

2kπ＋π2，2kπ＋3π

2(k∈Z)，

当k＝0时，由 π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，求得12≤ω≤54. 3．函数y＝|tanx|在－π2，3π2上的单调减区间为________． 答案 －π2，0和π2，π 解析 如图，观察图象可知，y＝|tanx|在－π2，3π2上的单调减区间为－π2，0和π2，π.

条件探究1 将举例说明1中的函数改为f(x)＝sin－2x＋π3，求其单调减区间． 解 由已知函数为y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin

2x－π

3

的单调增区间．

由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得

kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.

故所给函数的单调减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)． 条件探究2 若举例说明1中函数的定义域改为[0，π]，求其单调递增区间． 解 记A＝{xkπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z，B＝[0，π]． 观察数轴可知A∩B＝0，π12∪7π12，π 所以函数y＝f(x)，x∈[0，π]的单调递增区间为0，π12和7π12，π.

求三角函数单调区间的两种方法 (1)复合函数法

(2)图象法 画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

1．在下列给出的函数中，以π为周期且在0，π2上是减函数的是( ) A．y＝cosx2 B．y＝cos(－2x) C．y＝sin2x＋π4 D．y＝tanx－π4 答案 B 解析 y＝cosx2的周期为4π，不符合要求．y＝cos(－2x)＝cos2x，令t＝2x，t＝2x 在x∈0，π2上为增函数，y＝cost在t∈(0，π)上为减函数，所以y＝cos(－2x)在

0，π

2

上为减函数，符合要求．同理可得y＝sin2x＋π4在0，π2上先增后减，y＝tanx－π4在

0，π

2上为增函数．

2．已知函数f(x)＝2sinx＋7π3，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是________． 答案 c

解析 f(x)＝2sinx＋π3＋2π＝2sinx＋π3，

a＝fπ7＝2sin10π21，b＝fπ6＝2sinπ2，c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3，因为y＝sinx在0，π2上单调递增， 且π3<10π21题型 三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性

角度1 三角函数的周期性 1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为( )

A.π4 B.π2 C．π D．2π 答案 C

解析 由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosx＝12sin2x，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.

角度2 三角函数的奇偶性 2．(2018·烟台检测)若函数f(x)＝cos2x＋φ－π3(0________. 答案 5π6

解析 因为f(x)为奇函数，所以φ－π3＝π2＋kπ(k∈Z)，φ＝5π6＋kπ，k∈Z.又因