新教材人教A版高中数学必修第一册期末综合测试 提升篇(2)(原卷版)
期末复习模拟试题卷2
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题（本题共8个小题，每题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．设集合2|
12x A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}|128x B x =<<则 A B 等于（ ） A ．()2,3 B ．()3.3- C ．()0,3 D ．()1,3
2．下列函数相等的是( )
A ．y x =与y =
B ．y x =与y =
C ．y =与2y =
D ．y x =与2
x y x
=
3．sin 33
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）
A ．6+
B
C ．36-+
D ．3
4．幂函数()2231()69m m f x m m x
-+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或4
5．如图，已知函数()f x 的图象关于坐标原点对称，则函数()f x 的解析式可能是（ ）
A ．2()ln f x x x =
B ．()=ln f x x x
C ．ln ()x f x x
= D ．()x e f x x = 6．定义运算： ,*{ ,a a b
a b b a b ≤=>．例如1*21=，则函数()sin *cos f x x x =的值域为（ ）
A ．22⎡
-⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．⎤⎥⎣⎦
D ．⎡-⎢⎣⎦
7．已知0,0x y >>，且
211x y
+=，若对任意的正数,x y ，不等式222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．4m ≥或2m ≤-
B ．2m ≥或4m ≤-
C ．24m -<<
D ．42m -<< 8．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
二、多项选择题（本题共4个小题，每题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得零分.）
9．下列式子：①1x <；②01x <<；③11x -<<；④10x -<<．其中，可以是21x <的一个充分条件的序号为（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
10．下列命题的是真命题的是（ ）.
A ．若a b >，则
11a b
<； B ．若x y >，m n >，则x n y m ->- C ．若x y >，m n >，则xm yn >
D ．若22ac bc >，则a b >
11．在同一直角坐标系中，函数()1,y log 012x a y a x a a -⎛
⎫==+>≠ ⎪⎝⎭
且的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数f(x)=|tanx |cosx ，则下列说法正确的是（ ）
A ．f(x)的最小正周期为π
B ．f(x)的值域为[−1,1]
C ．f(x)在区间(π2,π)上单调递增
D ．f(x)的图象关于(π2,0)中心对称 三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分。
）
13．若扇形的面积为38
π、半径为1，则扇形的圆心角为__________． 14．已知tan 3α=，则2cos 2sin αα-的值为__________．
15．定义在R 上的奇函数()f x 满足： ()()11f x f x +=-，且当10x -<<时， ()21x f x =-，则()2log 20f =__________．
16．函数()(,)1x b f x a a b R e =+∈+是奇函数，且图象经过点1ln 3,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭，则函数()f x 的值域为______ 四、解答题（本题共6个小题， 17题10分，18-22题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设函数f （x ）ln 2x -（）的定义域为A ，集合B ={x |2x ＞1}．
（1）求A ∪B ；
（2）若集合{x |a ＜x ＜a +1}是A ∩B 的子集，求a 的取值范围．
18．已知函数2(21)423f x x x -=-+．
（1）求函数()f x 的解析式．
（2）若关于x 的方程()(12)22f x m x m =-+-有两个实根，其中一个实根在区间()1,0-内，另一个实根在区间()1,2内，求实数m 的取值范围．
19．已知0a >，函数()sin 2cos 2f x x a x a =++.
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若()f x 在5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上的最大值为2，求a 的值. 20．（本题满分12分）已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
（1）求函数y =f(x)的解析式；
（2）将函数y =√3sin2x −cos2x 的图象做怎样的平移变换可以得到函数f(x)的图象；
（3）若方程f(x)=m 在[−π2，0]上有两个不相等的实数根，求m 的取值范围． 21．用长为18米的篱笆借助一墙角围成一个矩形ABCD （如图所示），在点P 处有一棵树（忽略树的直径）距两墙的距离分别为(014)a a <<米和4米，现需要将此树圈进去，设矩形ABCD 的面积为y （平方米），长BC 为x （米）．
（1）设()y f x =，求()y f x =的解析式并指出其定义域；
（2）试求()y f x =的最小值()g a ．
22．已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数． （1）求函数()y f x =的解析式，并判断函数的单调性（无需证明）；
（2）若对任意的t R ∈，22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立求实数k 的取值范围．。
综合试卷一-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
综合试卷一一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列结论正确的是（）A．y＝f（x）的定义域为[0，+∞）B．y＝f（x）在其定义域上为减函数C．y＝f（x）是偶函数D．y＝f（x）是奇函数3．（5分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b＞c＞0，则B．若a＞b＞0，则b2＜ab＜a2C．若a＞b＞0，则ac2＞bc2D．若a＜b＜0，则5．（5分）已知，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．（5分）设命题p：所有的矩形都是平行四边形，则￢p为（）A．所有的矩形都不是平行四边形B．存在一个平行四边形不是矩形C．存在一个矩形不是平行四边形D．不是矩形的四边形不是平行四边形7．（5分）已知函数，若函数y＝f（x）﹣k有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[1，2]D．[1，2）8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，图象恒过（1，1）点，对任意x1＜x2，都有则不等式的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，log23）C．（﹣∞，0）∪（0，log23）D．（0，log23）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）下列结论正确的是（）A．是第三象限角高一年级数学学科假期作业使用日期：寒假编辑：校对：审核：B ．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为C．若角α的终边过点P（﹣3，4），则D．若角α为锐角，则角2α为钝角10．（5分）已知函数其中a＞0且a≠1，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是奇函数B．函数f（x）在其定义域上有零点C．函数f（x）的图象过定点（0，1）D．当a＞1时，函数f（x）在其定义域上为单调递增函数11．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）在[0，π]上有三个零点C ．当时，函数f（x）取得最大值D．为了得到函数f（x ）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小值为﹣4B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增C．函数f（|x|）为偶函数D．若方程f（|x﹣1|）＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）＝．14．（5分）已知tan（α﹣）＝2，则tanα＝．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x ＞0时，f（x）＝．16．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1，[3]＝3．若f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），则＝，函数g（x）的值域为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①tanα＝4，②7sin2α＝2sinα，③cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知，，cos（α+β）＝﹣，，求cosβ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+4．（1）若函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，求实数k的取值范围；（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+3）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a＝3时，求函数f（x）的最大值．20．（12分）物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，x＞0），其中y1与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2万元和7.2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？21．（12分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）．（1）当a＝时，求函数g（x）＝的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．（12分）已知函数f（x）＝sin（x﹣）+cos（﹣x）+cos x+a的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求使f（x）＜0成立的实数x的取值集合．期末综合一答案1．解：∵集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，∴集合A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，0）}．∴集合A∩B的子集个数为2．故选：C．2．解：设幂函数f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x ）的图象过点，∴，∴，∴y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B 正确，∵函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，故选：B．3．解：∵等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．解：A．∵a＞b＞c＞0，∴ab＞0，∴，∴，∴，故A不正确；B．∵a＞b＞0，∴a（a﹣b）＞0，b（a﹣b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故B正确；C．由a＞b＞0，取c＝0，则ac2＞bc2，故C错误；D．∵a＜b＜0，∴，故D错误．故选：B．5．解：∵a＝tan＝tan （+）＝＝2+＞2，b＝cos＝cos （+）＝﹣sin＜0，c＝cos （﹣）＝cos ＝＜1，∴a＞c＞b．故选：D．6．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：所有的矩形都是平行四边形，则￢p为：存在一个矩形不是平行四边形．故选：C．7．选：A．8．解：由题意可得f（1）＝1，对任意x1＜x2，都有，则f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1即f（x1）+x1＜f（x2）+x2，令g（x）＝f（x）+x，则可得g（x）在R单调递增，且g（1）＝2，由可得，g[log2（2x﹣1）]＜g（1），故，解可得，0＜x＜log23．故选：D．9．解：对于A ：是第而二象限角，所以A不正确；对于B ：若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为：＝．所以B正确；对于C：若角α的终边过点P（﹣3，4），则，所以C正确；对于D：若角α为锐角，则角2α为钝角，反例α＝1°，则2α＝2°是锐角，所以D不正确；故选：BC．10．解：函数其中a＞0且a≠1，由于f（﹣x）＝﹣f（x），且x∈R，所以函数为奇函数．当x ＝0时，f（0）＝0，所以函数在其定义域上有零点，当当a＞1时，函数中都为整函数，故在其定义域上为单调递增函数．故选：ABD．11．解：T ＝＝＝π，故A正确；令f（x）＝0，2x +＝kπ，当x∈[0，π]时，x ＝，，故B不正确；当x ＝时，f（x ）＝取得最大值，故C正确；为了得到函数f（x ）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），故D错误；故选：AC．12．解：二次函数f（x）在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f（1）＝﹣4，故选项A正确；二次函数f（x）的对称轴为x＝1，其在（0，+∞）上有增有减，故选项B错误；由f（x）得，f（|x|）＝|x|2﹣2|x|﹣3，显然f（|x|）为偶函数，故选项C正确；令h（x）＝f（|x﹣1|）＝|x﹣1|2﹣2|x﹣1|﹣3，方程f（|x﹣1|）＝a 的零点转化为y＝h（x）与y＝a的交点，作出h（x）图象如右图所示：图象关于x＝1 对称，当y＝h（x）与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1+x2+x3+x4＝4，故选项D正确．故选：ACD．13．解：原式＝．故答案为：．14．解：∵tan（α﹣）＝tan（α﹣）＝＝2，则tanα＝﹣3，故答案为：﹣3．15．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝x（x﹣1），设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣x（x+1）．故答案为：﹣x（x+1）．16 .f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），g （）＝f （﹣[]）＝f （）＝f （）＝2，由g（x）＝2x﹣[x]，[x]∈（x﹣1，x]，x﹣[x]∈[0，1），所以g（x）∈[1，2），故答案为：；[1，2）．四、解答题17．解：方案一：选条件①解法一：因为，所以．由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得或因为，所以．因为，由平方关系sin2（α+β）+cos2（α+β）＝1，解得．因为，所以0＜α+β＜π，所以，所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．解法二：因为，所以点在角α的终边上，所以，．以下同解法一．方案二：选条件②因为7sin2α＝2sinα，所以14sinαcosα＝2sinα，因为，所以sinα≠0，所以．由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得．因为，所以．以下同方案一的解法一．方案三：选条件③因为，所以由平方关系sin2α+cos2α＝1，得．因为，所以．以下同方案一的解法一．①18．解：（1）由函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+4知，函数f（x）图象的对称轴为x＝1﹣k．因为函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，所以1﹣k≤2或1﹣k≥4，解得k≤﹣3或k≥﹣1，所以实数k的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）．（2）解法一：若f（x）＞0对一切实数x都成立，则△＜0，所以4（k﹣1）2﹣16＜0，化简得k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，所以实数k的取值范围为（﹣1，3）．解法二：若f（x）＞0对一切实数x都成立，则f（x）min ＞0，所以，化简得k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，所以实数k的为（﹣1，3）．19．解：（1）要使函数有意义，则有，解得﹣3＜x＜3．所以函数f（x）的定义域为（﹣3，3）．（2）函数f（x）为偶函数．理由如下：因为∀x∈（﹣3，3），都有﹣x∈（﹣3，3），且f（﹣x）＝log a（3+x）+log a（﹣x+3）＝log a（3﹣x）+log a（x+3）＝f（x），所以f（x）为偶函数．（3）当a＝3时，f（x）＝log3（3﹣x）+log3（x+3）＝log3[（3﹣x）（x+3）]＝．令t＝9﹣x2，且x∈（﹣3，3），易知，当x＝0时t＝9﹣x2取得最大值9，此时取得最大值log39＝2，所以函数f（x）的最大值为2．20．解：设，其中x＞0，当x＝9时，，解得k＝20，m＝0.8，所以，y2＝0.8x，设两项费用之和为z（单位：万元）则＝＝7.2当且仅当，即x＝4时，“＝”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．21．解：（1）当时，函数，要使根式有意义，只需，所以，化简得3x≥3＝31，解得x≥1，所以函数g（x）的定义域为[1，+∞）；（2）函数f（x）在定义域R上为增函数．证明：在R上任取x1，x2，且x1＜x2，则＝，由x1＜x2，可知，则，又因为，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f （x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域R上为增函数．22．解：（1）∵＝＝＝＝．（1）函数f（x）的最大值为2+a＝1，所以a＝﹣1．（2）对于函数f（x），由，解得，所以f（x）的单调递增区间为．（3）由（1）知．因为f（x）＜0，即．∴，∴．所以，所以使f（x）＜0成立的x的取值集合为．。
2023学年高一数学上学期期末考前提升卷含解析(人教A版2019必修第一册)
2022-2023学年高一数学上学期期中考前必刷卷高一数学·全解全析【分析】求出集合B 再由集合的交集运算可得答案.【详解】集合{}|0=∈>A x Z x ，集合{}{}2|560|16=∈--<=-<<B x R x x x x ，则A B ={}1,2,3,4,5 故选：B ． 2．D【解析】根据角的终边所在象限，确定其正切值和余弦值的符号，即可得出结果. 【详解】角α的终边在第三象限，则tan 0α>，cos 0α<，点P 在第四象限． 故选：D. 3．B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及正切函数的性质，即可得出结论 【详解】∵1030221a -<=<=，1122log 31log 0b =<=，tan531tan 45c ︒>︒==，b ac ∴<<.故选：B. 4．C【分析】根据题意，列方程，即可求解. 【详解】由题意可得，令0.526()31et f t -+==+，即0.5221e t -++=，解得：t =4. 故选：C 5．B【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】()f x 的定义域为R ， ()()3e e 2x xf x x f x ---=-+=-，所以()f x 是奇函数，由此排除CD 选项. ()1e e 1102f --=+>，排除A 选项.故选：B6．C【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可． 【详解】对于A ：令()(),23232k x k Z x k k Z πππ+=∈=-∈,令0k =，可得函数的一个对称中心为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，故正确；对于B ：函数f （x ）的最小正周期为T ＝=22ππ，故正确；对于C ：令()+2232k x k k Z ππππππ-<+<∈，解不等式可得函数的单调递增区间为()512,233k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，故错误；对于D ：正切函数不是轴对称图形，故正确． 故选：C ．【点睛】本题考查与正切函数有关的性质，涉及周期性，单调性和对称性，利用整体代换的思想进行判断是解决本题的关键． 7．B【分析】利用指数函数和对数函数的性质，三角函数的性质比较大小即可 【详解】∵0.81.8 1.8a =<，0.801.8 1.81a =>=， ∴()1,1.8a ∈；∵22log 5log 42b =>=，∴2b >； ∵1,43ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin1cos1>，∴sin1cos10->，又()sin10,1∈，()cos10,1∈， ∴sin1cos11-<，∴()0,1c ∈． 综上可知b a c >>． 故选：B ． 8．D【分析】由函数()f x 有零点，可求得14ω≥，由函数()f x的值域[)M ⊆+∞可求得1912ω≤，综合二者即可得到ω的取值范围. 【详解】定义在[]0,π上的函数()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则,444x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，由函数()f x 有零点，所以04πωπ-≥，解得14ω≥；由函数()f x 的值域M ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎪⎣⎭，所以443ππωπ-≤，解得1912ω≤； 综上，ω的取值范围是119,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：D 9．AC【分析】AC 选项用不等式的基本性质进行证明；B 选项，用作差法比较大小；D 选项，举出反例. 【详解】因为22a b c c>，且20c >，不等式两边同乘以2c 得：a b >；A 正确； ()()b a ma m ab m b b b m -+-=++，由于0b a >>，0m <，而b m +可能大于0，也可能小于0，故B 选项错误；由c d <，则c d ->-，由不等式的基本性质得：a c b d ->-，C 正确； 当2,1a b =-=-时，满足22a b >，0ab >，但11a b>，D 错误. 故选：AC 10．BD【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个分析计算即可 【详解】对于A ，()cos 15cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 30-︒=︒=︒-︒=︒︒+︒︒=，所以A 错误，对于B ，111sin15sin 30sin 75sin15sin 30cos15sin15cos15sin 30248︒︒︒=︒︒︒=︒︒=︒=，所以B正确，对于C ， ()()()()cos 35cos 25sin 35sin 25αααα-︒︒++-︒︒+ ()()cos 3525αα=-︒-︒+⎡⎤⎣⎦ ()1cos 60cos 602=-︒=︒=所以C 错误， 对于D ，22tan 22.512tan 22.511tan 45tan 45tan 22.521tan 22.522︒︒=⨯=︒=︒-︒-︒，所以D 正确，故选：BD 11．AC【分析】令()1236x y zt t ==>=，则236111log ,log ,log log 2log 3log 6t t t x t y t z t ======，然后可逐一判断.【详解】令()1236x y zt t ==>=，则236111log ,log ,log log 2log 3log 6t t t x t y t z t ====== 因为log 6log 3log 20t t t >>>，所以x y z >>，故A 正确；3log log 32log 212420log 2log 3log 2log 3log 2log 3tt t t t t t t t x y --=-==<⋅⋅，即2x y <，故B 错误；111log 2log 3log 60t t t x y z+-=+-=，故C 正确； 111log 2log 3log 6log 40t t t t x y z-+=-+=≠，故D 错误； 故选：AC 12．ABD【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC 选项，再通过4344log log x x -=判断B 选项， 最后结合单调性判断D 选项.【详解】由题意，当0x ≤时，()()21f x x =+：当0<1x <时，()4log f x x =-：当1x ≥时，()4log f x x =，作出函数f (x )的图象，如图所示，易知f (x )与直线1y =有四个交点，分别为（-2，1），（0，1），（14，1），（4，1），因为()f x a=有四个不同的解1234,,,x x x x 且123x x x <<<4x ，所以01a <≤，故C 错误；12210x x -≤<-<≤且122x x +=-，A 正确；341144x x ≤<<≤，又()()343444log log f x x a f x x a =-===，， 所以4344log log x x -=，即341x x =，B 正确；所以4124234411()2x x x x x x x ++=-+，且414x <≤， 构造函数()12g x x x=-+，且14x <≤， 可知g (x )在（1，4]上单调递减，且()3144g =-， 所以()4122341x x x x x ++的最小值为—314．D 正确． 故选：ABD ． 13．10【分析】利用指数的运算性质和对数的运算性质求解【详解】231lg16(1)27lg504π-+++()24331lg 213lg504=-++ 2lg 213lg 50=-++ lg1001910=-+=，故答案为：10 14．2【分析】根据给定条件把正余弦的齐次式化成正切，再代入计算作答. 【详解】因tan 4α=-，则4sin 2cos 4tan 24(4)225cos 3sin 53tan 53(4)αααααα++⨯-+===+++⨯-，所以4sin 2cos 5cos 3sin αααα++的值为2.故答案为：215．35【分析】由对数函数的性质可得点()3,1P 的坐标，由三角函数的定义求得sin α与cos α的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.【详解】易知()()log 21a f x x =-+恒过点()3,1，即()3,1P ， 因为点()3,1P 在角α的终边上，所以OP =所以sin α=cos α，所以3sin 22sin cos 25ααα==⨯， 故答案为：35.16．①②③【分析】由奇偶性判断①，结合①对0x >，0x <，0x =三种情况讨论求值域，判断②，由单调性判断③，由③可知()f x 的图像与函数2y x =的图像只有两个交点，进而判断④，从而得出答案． 【详解】①()()2211x xf x f x x x --==-=--++，即()()0f x f x -+=，故正确； ②当0x >时，()2()0,211f x x=∈+，由①可知当0x <时，()()2,0f x ∈-，当0x =时，()00f =，所以函数()f x 的值域是()2,2-，正确；③当0x >时，2()11f x x=+，由反比例函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，由①可知()f x 在(),0∞-上也是增函数，所以若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠，正确； ④由③可知()f x 的图像与函数2y x =的图像只有两个交点，故错误． 综上正确结论的序号是①②③【点睛】本题考查函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，值域等，属于一般题． 17．(1)()(]5,3R A B ⋃=-； (2)(]1,2.【分析】（1）解一元一次、一元二次不等式求集合A 、B ，再应用集合的并补运算求()R A B ⋃. （2）由题设可得A 是B 的真子集，结合已知条件列不等式求参数范围. (1)由条件知：[]1,3A =，(][),52,B ∞∞=--⋃+， ∴()5,2RB =-，故()(]5,3R A B ⋃=-．(2)由题意知，集合A 是集合B 的真子集．当1a >时，()121320a a a ---+=->，于是121a a ->-+，而且211a -+<-， ∴(][),211,B a a ∞∞=--+⋃-+，又[]1,3A =，则只需11a -≤，又1a >，解得12a <≤∴实数a的取值范围为(]1,2．18．(1)15(2)10【分析】（1）利用指数、对数的运算性质运算可得答案；（2）先利用诱导公式对9cos23cos()παπα⎛⎫+⎪⎝⎭=-+进行化简求得tanα，对3sin cossin2cosαααα-+进行弦化切后代入tanα的值可得答案．(1)2ln331e25lg252lg0.1252⎛⎫++-÷⎪⎝⎭()231=34lg25lg48⎛⎫+++÷ ⎪⎝⎭1=72154+÷=.(2)由9cossin2tan3cos()cosπαααπαα⎛⎫+⎪-⎝⎭===-+-，3sin13sin cos91cos10sinsin2cos322cosαααααααα----===+-++．19．(1)最小正同期为π，对称轴方程为()212kx kππ=+∈Z(2)32⎡-⎢⎣【分析】（1）利用三角函数的恒等变换公式将()22sin cos3f x x x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭化为只含有一个三角函数形式，即可求得结果；（2）将5()1212g x f x f xππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开化简，然后采用整体处理的方法，求得答案.(1)()22sin cos3f x x x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭1cos 22sin 22x x x ⎫=+-⎪⎪⎭12sin 22x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正同期为22ππ=. 令2()32x k k πππ+=+∈Z ，得对称轴方程为()212k x k ππ=+∈Z . (2)由题意可知3()sin 2cos22cos22623g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以3()2g x -≤≤故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为32⎡-⎢⎣.20．(1)1a =，()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析； (2)14m =.【分析】（1）利用偶函数的性质求a ，利用单调性的定义证明函数()f x 的单调性即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可. （1）因为()313x x a f x a =++为偶函数，且()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，所以()()=f x f x -，解得1a =±，又0a >，所以1a =,()1313x xf x =++； 设120x x >>，则()()()121212121211131313313333xx x x x x x x f x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭，因为120x x >>，所以12330x x ->，1212121133101103333x x x x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()()212f t f t m -≥-，所以212t t m -≥-，平方得()22344140t m t m +-+-≥，又因为对任意R t ∈不等式恒成立，所以()()224443140m m ∆=--⨯⨯-≤，解得14m =. 21．(1)210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩(2)100千台，最大年利润为5 900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040x <<时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值. （1）解：10 000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ，当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-， 当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+， 综上所述210+5002350,0<<40()=1000040x x x W x x x ----⎧⎪⎨⎪⎩. （2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+ 当25x =时， ()W x 取得最大值max ()3900W x =； 当40x ≥时，1000010000()61006100900W x x x x x=--+≤-+=， 当且仅当=100x 时，max ()5900W x = 因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.22．(1)()3sin f x x =，()e e x xg x -=+(2)9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解()f x 和()g x 的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为[]22ee 3,3x x a -+∈-在[)20,x ∈+∞上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出()e e x x h x a -=+的最值，进而求出实数a 的取值范围.（1）因为奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3sin e e x xg x x f x -+=++①，所以()()()()3sin e e x x f g x f x g x x x -+-=-+=-++-②；联立①②得：()3sin f x x =，()e e x x g x -=+；（2）()()()2211e x f x a x g --=-变形为221e e 3sin x x a x -+=，因为[)10,x ∈+∞，所以[]13sin 3,3x ∈-，所以[]22ee 3,3x x a -+∈-，当0a =时，[]2e 3,3x∈-在[)20,x ∈+∞上有解，符合要求；令()e e x x h x a -=+，由对勾函数可知，当1a >时，()e e x xh x a -=+在ln 0,2a x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递减，在ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()min ln 2a h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()[]e e 3,3x xh x a -=+∈-上有解，只需()min 3h x =，解得：94a ≤，所以91,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 若1a ≤且0a ≠，()e e x x h x a -=+在[)0,x ∈+∞上单调递增，要想()[]e e 3,3x xh x a -=+∈-上有解，只需()()min 013h x h a ==+≤，解得：2a ≤，所以()(],00,1a ∈-∞；综上：实数a 的取值范围为9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.。
高中数学人教A版必修第一册综合检测试题
综合检测试题选题明细表一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|2x-1≥1}，B={y|y=log3x，x∈A}，则∁B A等于( B )A.(0，1)B.[0，1)C.(0，1]D.[0，1]解析:由题得A={x|2x-1≥20}={x|x≥1}，B={y|y≥0}，所以∁B A={x|0≤x<1}.故选B.2.若a=0.60.7，b=0.70.6，c=lg 3，则下列结论正确的是( D )A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c解析:因为y=x0.6为增函数，y=0.6x为减函数，所以0.70.6>0.60.6>0.60.7>0.61，c=lg 3<lg √10=0.5， 所以b>a>c.故选D.3.已知正实数x ，y 满足x+2y=2xy ，则x+y 的最小值为( D ) A.4 B.√2 C.√3 D.√2+32解析:因为正实数x ，y 满足x+2y=2xy ， 所以x+2y xy=2，即1y +2x =2，所以x+y=(x+y 2)·(1y +2x )=x 2y +1+12+y x ≥32+2√x 2y ·y x =32+√2，当且仅当x 2=2y 2时，等号成立. 故选D.4.已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=a ，则f(7)等于( B ) A.12B.-12C.log 23D.2解析:因为函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log 2(x+1)+ax ，且f(-3)=-f(3)=a ，所以f(3)=-a ，即2+3a=-a ，所以a=-12，则f(7)=log 28+7a=3-72=-12.故选B.5.已知2sin 2α=1+cos 2α，则tan 2α等于( D ) A.-43 B.43C.-43或0 D.43或0解析:因为{2sin2α=1+cos2α,sin 22α+cos 22α=1,所以{sin2α=0,cos2α=-1或{sin2α=45,cos2α=35.所以tan 2α=0或tan 2α=43.故选D.6.将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象分别向左、向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则ϕ的最小值分别为( A ) A.π6，π3B.π3，π6C.2π3，5π6D.π6，π12解析:函数f(x)的图象向左平移ϕ个单位长度得到函数g(x)= sin(2x+2ϕ+π6)的图象，因为g(x)图象关于y 轴对称，则2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=π6+kπ2，k∈Z ，而ϕ>0， 则ϕmin =π6;函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度得函数h(x)=sin(2x-2ϕ+π6)的图象，因为函数h(x)关于y 轴对称，则有-2ϕ+π6=π2+k π，k ∈Z ，即ϕ=-π6-kπ2，k ∈Z ，而ϕ>0，则ϕmin =π3，所以ϕ的最小值分别为π6，π3.故选A.7.如图所示，其对应的函数解析式可能是( B )A.f(x)=1|x -1|B.f(x)=1||x |-1|C.f(x)=11-x2D.f(x)=11+x 2解析:函数的定义域为{x|x ≠±1}，排除选项A 和D ，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0，可排除选项C.故选B. 8.已知函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( D ) A.[1，3] B.(0，13)C.(0，3]D.[13，3]解析:函数f(x)=ln(1+x 2)-11+|x |，故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)为偶函数，若实数a 满足f(log 3a)+f(lo g 13a)≤2f(1)，即f(log 3a)+f(-log 3a)≤2f(1)，f(log 3a)≤f(1)，所以|log 3a|≤1，即-1≤log 3a ≤1，故13≤a ≤3.故选D.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知f(x)={log 3x ,x >0,2x ,x ≤0,角α的终边经过点(1，2√2)，则下列结论正确的是( AC )A.f(cos α)=-1B.f(sin α)=1C.f(f(cos α))=12D.f(f(sin α))=2解析:因为角α的终边经过点(1，2√2)， 所以sin α=2√23，cos α=13， 所以f(cos α)=f(13)=log 313=-1， f(sin α)=f(2√23)=log 32√23<0， 所以f(f(cos α))=f(-1)=2-1=12， f(f(sin α))=2log 32√23.故选AC.10.下列命题正确的是( ABD ) A.函数f(x)=x+1x (x>0)的最小值为2B.函数y=2-x-4x(x>0)的最大值为-2C.函数f(x)=2x+1x的最小值为2√2D.函数f(x)=2√x 2+1的最小值为3解析:因为x>0，所以f(x)=x+1x≥2√1=2，当且仅当x=1x，即x=1时，取等号，所以函数的最小值为2，所以A 正确;因为x>0，所以f(x)=x+4x≥2√4=4，当且仅当x=4x，即x=2时，取等号，所以函数f(x)的最小值为4，所以函数y 的最大值为-2，所以B 正确;当x=-1时，f(-1)=-3，所以C 错误; 设√x 2+1=t(t ≥1)，则x 2=t 2-1，则f(t)=2t 2+1t=2t+1t，在[1，+∞)上任取t 1，t 2.令t 1<t 2，则f(t 1)-f(t 2)=2(t 1-t 2)+(1t 1-1t 2)=(t 1-t 2)·(2-1t 1t 2).因为1≤t 1<t 2，所以t 1-t 2<0，2-1t 1t 2>0，所以f(t 1)<f(t 2).则f(t)=2t+1t在[1，+∞)上为增函数，所以当t=1时，f(t)的最小值为f(1)=3， 所以D 正确.故选ABD.11.已知直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，则( ACD ) A.f(x+π8)是偶函数B.x=3π8是f(x)的一条对称轴C.f(x)在[π8，π2]上单调递减D.y=f(x)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称解析:直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的一条对称轴，所以2×π8+ϕ=k π+π2，k ∈Z ，所以ϕ=π4，所以f(x+π8)=sin(2x+π2)=cos 2x ，是偶函数，故A 正确;由2x+π4=k π+π2(k ∈Z)，解得x=kπ2+π8(k ∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π8(k ∈Z)，而x=3π8不能满足上式，故B 错误;当x ∈[π8，π2]，2x+π4∈[π2，5π4]，此时函数f(x)单调递减，故C 正确;显然，f(x)=sin(2x+π4)与g(x)=sin(2x-π4)的图象关于直线x=π4对称，故D 正确.故选ACD.12.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设 x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如:[-1.5]=-2，[2.1]=2.已知函数f(x)=2x -11+2x，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述正确的是( BCD ) A.g(x)是奇函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R 上是增函数 D.g(x)的值域是{-1，0}解析:因为函数g(x)=[f(x)]，且f(x)=2x -11+2x ，所以g(1)=[f(1)]=0， g(-1)=[f(-1)]=-1， 所以g(-1)≠-g(1)，则g(x)不是奇函数，故选项A 错误; 因为f(x)=2x -11+2x，则f(-x)=2-x -11+2-x =1-2x2x +1=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故选项B 正确; 因为f(x)=2x -11+2x=1+-22x +1，又y=2x +1在R 上为单调递增函数， 则y=-22x +1在R 上为单调递增函数，所以f(x)在R 上为单调递增函数，故选项C 正确; 因为2x >0，则-1<1+-22x +1<1，所以-1<f(x)<1，当-1<f(x)<0时，则g(x)=[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时，则g(x)=[f(x)]=0，所以g(x)∈{-1，0}，则g(x)的值域为{-1，0}，故选项D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，且该函数在第一象限是增函数，则m的值是.解析:由函数f(x)=(m2+m-1)x m+1是幂函数，则m2+m-1=1，解得m=-2或m=1;当m=-2时，f(x)=x-1在第一象限内不是增函数，不符合题意;当m=1时，f(x)=x2在第一象限内是增函数，满足题意.所以m的值是1.答案:114.已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A，函数y=x k，在x∈A时，函数值的取值范围构成集合B，则A∩B=∅的充要条件是.解析:已知函数y=2x，当x>0时，函数值的取值范围构成集合A=(1，+∞)，当x∈(1，+∞)时，函数y=x k∈(0，+∞)，由于A∩B=∅，故x k≤1=x0，故k≤0.故A ∩B= 的充要条件是k ≤0. 答案:k ≤015.已知函数y=f(x)满足f(2)>5，且以(1，1)点为对称中心，写出一个符合条件的函数y= . 解析:因为函数的对称中心为(1，1)， 所以不妨设为分式函数f(x)=a x -1+1，因为f(2)>5，所以f(2)=a+1>5，解得a>4， 不妨取a=5，即y=5x -1+1.答案:y=5x -1+1(答案不唯一)16.已知f(x)=2sin(2x+π3)，若∃x 1，x 2，x 3∈[0，3π2]，且x 1<x 2<x 3，使得f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的最小值为 ，最大值为 .解析:作出f(x)图象如图所示，当f(x)图象与y=√3图象相交时，前三个交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最小;x 1+x 2=π12×2=π6，f(π)=2sin(2π+π3)=√3，x 3=π，所以最小值为π6+π=7π6;当f(x)图象与y=-√3图象相交时，交点横坐标依次为x 1，x 2，x 3，此时x 1+x 2+x 3最大，x 1+x 2=7π12×2=7π6，f(3π2)=2sin(3π+π3)=-√3，x 3=3π2，最大值为7π6+3π2=8π3.答案:7π68π3四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)若函数y=lg(√3-2sin x)+√1-x 2的定义域为A. (1)求集合A;(2)当x ∈A 时，求函数y=cos 2x+sin x 的最大值. 解:(1)由题意可得{√3-2sinx >0,1-x 2≥0, 解得-1≤x ≤1， 即集合A=[-1，1].(2)y=cos 2x+sin x=-sin 2x+sin x+1，x ∈[-1，1]， 令t=sin x ∈[-sin 1，sin 1]， 则y=-t 2+t+1=-(t -12)2+54，故当t=12时，函数取得最大值为54.18.(本小题满分12分)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA=10，OB= x(0<x<10)，线段BA ，CD 与BC ⏜，AD ⏜的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式;(2)记铭牌的截面面积为y ，试问:x 取何值时，y 的值最大?并求出最 大值.解:根据题意，可得BC ⏜=x ·θ，AD ⏜=10θ. 又BA+CD+BC⏜+AD ⏜=30， 所以10-x+10-x+x ·θ+10θ=30， 所以θ=2x+10x+10(0<x<10).(2)y=S 扇形OAD -S 扇形OBC =12θ×102-12θx 2=12θ×(102-x 2)=12θ×(10+x) (10-x)，化简得y=-x 2+5x+50=-(x -52)2+2254.于是，当x=52(满足条件0<x<10)时，y max =2254.所以当x=52时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为2254.19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=log 3(3x+1)-12x.若不等式f(x)-12x-a ≥0对x ∈(-∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围.解:因为不等式f(x)-12x-a ≥0在区间(-∞，0]上恒成立，即a ≤log 3(3x +1)-x 在区间(-∞，0]上恒成立， 令g(x)=log 3(3x +1)-x=log 3(1+13x )，因为x ∈(-∞，0]，所以1+13x ≥2，所以g(x)=log 3(1+13x )≥log 32，所以a ≤log 32，所以a 的取值范围是(-∞，log 32]. 20.(本小题满分12分)已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β=-13，sin(α+β)=79.(1)求tan β2的值;(2)求sin α的值.解:(1)因为cos β=cos 2β2-sin 2β2=cos 2β2-sin 2β2cos 2β2+sin 2β2=1-tan 2β21+tan 2β2，且cos β=-13，所以1-tan 2β21+tan 2β2=-13，解得tan 2β2=2，因为β∈(π2，π)，所以β2∈(π4，π2)，所以tan β2>0，所以tan β2=√2.(2)因为β∈(π2，π)，cos β=-13，所以sin β=√1-cos 2β=√1-(-13) 2=2√23， 又α∈(0，π2)， 故α+β∈(π2，3π2)，又sin(α+β)=79，所以cos(α+β)=-√1-sin 2(α+β)=-√1-(79)2=-4√29.所以sin α=sin[(α+β)-β] =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =79×(-13)-(-4√29)×2√23=13.21.(本小题满分12分)在①f(x)的图象关于直线x=5π6对称，②f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，③f(x)在[-π4，π4]上单调递增，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a 存在，求出a 的值;若a 不存在，说明理由.已知函数f(x)=4sin(ωx+π6)+a(ω∈N *)的最小正周期不小于π3，且 ，是否存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3?解:由于函数f(x)的最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，所以1≤ω≤6，ω∈N *，若选择①，即f(x)的图象关于直线x=5π6对称，有5π6ω+π6=k π+π2(k ∈Z)，解得ω=65k+25(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=3，ω=4， 此时，f(x)=4sin(4x+π6)+a ，由x ∈[0，π12]，得4x+π6∈[π6，π2]，因此当4x+π6=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值4+a ，令4+a=3，解得a=-1<0，不符合题意.故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择②，即f(x)的图象关于点(5π18，0)对称，则有5π18ω+π6=k π(k ∈Z)，解得ω=185k-35(k ∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=1，ω=3. 此时，f(x)=4sin(3x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得3x+π6∈[π6，5π12]，因此当3x+π6=5π12，即x=π12时，f(x)取得最大值4sin 5π12+a=√6+√2+a ，令√6+√2+a=3，解得a=3-√6-√2<0，不符合题意. 故不存在正实数a ，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.若选择③，即f(x)在[-π4，π4]上单调递增，则有{-ωπ4+π6≥2kπ-π2,ωπ4+π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得{ω≤-8k +83,ω≤8k +43(k ∈Z)， 由于1≤ω≤6，ω∈N *，k ∈Z ，所以k=0，ω=1. 此时，f(x)=4sin(x+π6)+a.由x ∈[0，π12]，得x+π6∈[π6，π4]，因此，当x+π6=π4，即x=π12时，f(x)取得最大值2√2+a ，令2√2+a=3，解得a=3-2√2，符合题意.故存在正实数a=3-2√2，使得函数f(x)在[0，π12]上有最大值3.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=ka x -a -x (a>0，且a ≠1)是定义域为R 上的奇函数. (1)求k 的值;(2)若f(1)>0，试求不等式f(x 2+2x)+f(x-4)>0的解集;(3)若f(1)=32，且g(x)=a 2x +a -2x -2mf(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求m 的值.解:(1)因为f(x)是定义域为R 上的奇函数，所以f(0)=0，所以k-1=0，所以k=1，经检验k=1符合题意. (2)因为f(1)>0，所以a-1a >0，又a>0，且a ≠1，所以a>1， 易知f(x)在R 上单调递增， 原不等式化为f(x 2+2x)>f(4-x)， 所以x 2+2x>4-x ，即x 2+3x-4>0， 所以x>1或x<-4，所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}. (3)因为f(1)=32，所以a-1a =32，即2a 2-3a-2=0，解得a=2或a=-12(舍去)，所以g(x)=22x +2-2x -2m(2x -2-x )=(2x -2-x )2-2m(2x -2-x )+2.令t=f(x)=2x -2-x ，因为x ≥1，所以t ≥f(1)=32，所以g(t)=t 2-2mt+2=(t-m)2+2-m 2， 当m ≥32时，当t=m 时，g(t)min =2-m 2=-2，所以m=2，符合题意; 当m<32时，当t=32时，g(t)min =174-3m=-2，解得m=2512>32，舍去.综上可知，m=2.。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
最新人教A版高中数学必修第一册综合测试题及答案
最新人教A版高中数学必修第一册综合测试题及答案模块综合测评(满分：150分，时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即q p.故p是q的充分不必要条件．]3．若cos α＝－1010，sin 2α＞0，则tan(π－α)等于()A．－3B．3 C．－34 D.34A[∵sin 2α＝2sin αcos α＞0，cos α＝－10 10，∴sin α＝－31010，∴tan α＝sin αcos α＝3，∴tan(π－α)＝－tan α＝－3，故选A.]4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1B．3 C．4D．8C[根据题意，满足条件的集合B可以为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}中的任意一个．] 5．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是()A.1a－b＞1a B.1a＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2 A [取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b＞1a 不成立．] 6．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]D [当a ＝0时，满足条件；当a ≠0时，由题意知a ＞0且Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.]7．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12C [因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝2，所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12， 当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立． 所以xy 有最大值，且最大值为12.] 8．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数是方程x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的解的个数，即方程x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的解的个数，也就是函数y ＝x 12与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.]9．若函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，则函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )C [由题图可得a ＞1，且y ＝a ＋sin bx 的最小正周期T ＝2πb ＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.]10．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞aB [a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226， 因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c .]11．已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称图形B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形 C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同C [①y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π；②y ＝2sin 2x 图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋12k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，最小正周期为π.故选C.]12．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在[－2π，2π]上的交点个数为( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 B [由⎩⎨⎧y ＝sin x ，y ＝tan x ，得sin x ＝tan x ，即sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1cos x ＝0.∴sin x ＝0或1－1cos x ＝0， 即x ＝k π(k ∈Z )，又－2π≤x ≤2π，∴x ＝－2π，－π，0，π，2π， 从而图象的交点个数为5.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．命题p ：“∀x ∈{x |x 是三角形}，x 的内角和是180°”的﹁p 是________． ∃x 0∈{x |x 是三角形}，x 0的内角和不是180° [因为p 是全称量词命题，则﹁p 为存在量词命题．]14．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，∁U B ∩A ＝{9}，则A ＝________.{3,9} [由题意画出Venn 图，如图所示．由图可知，A ＝{3,9}．]15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．1 024 [当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e k 2， 所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.] 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋3，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13 [∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2， ∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k (k ≠0)．① ② ③(1)当k ＝0时，作出函数f (x )的图象如图①所示， 由图象可知f (x )＝－1无解，∴k ＝0不符合题意； (2)当k ＞0时，作出函数f (x )的图象如图②所示， 由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解， 即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k ＜0时，作出函数f (x )的图象如图③所示， 由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f ((x ))－2＝0有3个实根， ∴f (x )＝－1k 有2个实根， ∴1＜－1k ≤3，解得－1＜k ≤－13. 综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－13.]三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝3. (1)求m 的值；(2)判断函数f (x )的奇偶性．[解] (1)∵f (1)＝3，即1＋m ＝3，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x ，其定义域是{x |x ≠0}，关于坐标原点对称，又f (－x )＝－x ＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．18．(本小题满分12分)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若﹁q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围． [解] (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }， ∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4. (2)∵﹁q 是p 的必要条件 ∴p 是﹁q 的充分条件， ∴A ⊆∁R B ，∴m ＞6或m ＜－4.19．(本小题满分12分)设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3. [证明] 由0＜α＜π2，0＜β＜π2，知0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－1114， 故sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 由sin α＝437，可知 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17， ∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32，∴β＝π3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ∈N *，c ∈N *)满足： ①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[1,2]，都有f (x )≥2mx ＋1成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)∵f (1)＝5，∴5＝a ＋c ＋2，∴c ＝3－a .又6＜f (2)＜11，∴6＜4a ＋c ＋4＜11，∴－13＜a ＜43. 又a ∈N *，∴a ＝1，c ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋2.(2)设g (x )＝f (x )－2mx －1＝x 2－2(m －1)x ＋1，x ∈[1,2]，则由已知得 当m －1≤1，即m ≤2时，g (x )min ＝g (1)＝4－2m ≥0，此时m ≤2.当1＜m －1＜2，即2＜m ＜3时，g (x )min ＝g (m －1)＝1－(m －1)2≥0，此时无解． 当m －1≥2，即m ≥3时，g (x )min ＝g (2)＝9－4m ≥0，此时无解． 综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，2]．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．[解] (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π6. 由于f (x )的最小正周期等于2， 所以由题图可知1＜x 0＜2， 故7π6＜πx 0＋π6＜13π6.由f (x 0)＝32，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cosπx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－3222．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，化简得log 44－x ＋14x ＋1＝2kx ，log 44－x ＝－x ＝2kx ，则有(2k ＋1)x ＝0.对任意的x ∈R 恒成立，于是有2k ＋1＝0，k ＝－12.(2)∵f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ，f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根， ∴log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )， 即(1－a )(2x )2＋a ·2x ＋1＝0有唯一实根．令t ＝2x ，则关于t 的方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有唯一的正根．①当1－a ＝0即a ＝1时，方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0，则t ＋1＝0，即t ＝－1，不符合题意．②当1－a ≠0即a ≠1时，Δ＝a 2－4(1－a )＝a 2＋4a －4＝(a ＋2)2－8. 若Δ＝0，则a ＝－2±22， 此时，t ＝a2(a －1).当a ＝－2＋22时，则有t ＝a2(a －1)＜0，方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根，不符合题意；当a ＝－2－22时，则有t ＝a 2(a －1)＞0，且a ·2x－a ＝a (t －1)＝a ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2(a －1)－1＝a (2－a )2(a －1)＞0，方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有两个相等的正根，符合题意．若Δ＞0，则方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有两个不相等的实根，则只需其中有一正根即可满足题意．于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，11－a ＜0，由此解得a ＞1.综上所述，a ＞1或a ＝－2－2 2.。
人教A版高中高一数学必修一综合测试卷(含答案)
人教A版高中高一数学必修一综合测试卷姓名：班级：学号：时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝﹣1}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．[﹣1，2]C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，2] 2．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x﹣e﹣x 3．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，2}D．{2}4．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜0}，B＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣6，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，6）5．（5分）若0＜a＜b＜1，则a b，b a，log b a，的大小关系为（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）＝sinωx+cosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期是π，则函数f（x）在区间[0，100]上的零点个数为（）A．31B．32C．63D．647．（5分）已知偶函数f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝，关于x的不等式f2（x）﹣af（x）＞0在[﹣40，40]上有且只有60个整数解，则实数a的取值范围是（）A．[，ln2）B．（，ln2）C．[，）D．（，）8．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（f（x））恰有8个零点，则a的值不可能为（）A．8B．9C．10D．129．（5分）已知函数若函数y＝f（x）﹣a至多有2个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，1﹣）D．[1，1+e]10．（5分）已知函数f（x）＝x+（其中0＜a≤1），g（x）＝x﹣lnx，若对任意x1，x2∈[l，e]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1﹣，1]C．（0，e﹣2]D．[e﹣2，1] 11．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣|x|，又，则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为（）A．2015B．2016C．2017D．201812．（5分）对任意x∈R，不等式2|sin x|+|sin x﹣a|≥a2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．﹣1≤a≤1C．﹣1≤a≤2D．﹣2≤a≤2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），且f（x）的图象与g （x）＝lg的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于．14．（5分）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5（单位：十万只），若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩十万只．15．（5分）已知正实数x，y，z，则A＝max的最小值为；B ＝max{x，}+max{y，}+max{z，}的最小值为．16．（5分）已知函数，且对于任意的x1，，x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|x1﹣x2|恒成立，则λ的取值范围是．三、解答题（每小题14分，共70分）17．（14分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）用单调性定义证明函数f（x）在区间上是增函数．18．（14分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b为正实数，且3a+2b＝2m，求的最小值．19．（14分）已知函数f（x）＝+lg．（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式f（x（3﹣x））﹣1﹣lg3＞0．20．（14分）已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝﹣x2+2|x﹣a|．（1）若a＝，求函数y＝f（x）的单调增区间；（2）当a＞0时，解不等式f（x）＞﹣ax；（3）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≥2f（x）恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题1.B2.D3.A4.D5.B6.C7.C8.A9.B 10.D 11.C 12.B二、填空题13．814．1.6．15．（2，+∞）．三、解答题17．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，由x＞0时，可知，，又f（x）为奇函数，故，∴函数f（x）在R上的解析式为；（2）证明：设，则＝，∵，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在区间上是增函数，得证．18．解：（1），∴f（x）≥2等价于或或，∴x≤﹣1或﹣1＜x≤0或，∴不等式的解集为；（2）由可知，∴3a+2b＝3，∵a＞0，b＞0，∴，∴当且仅当时取得最小值为8．19．解：（1）f（x）的定义域为（0，4），f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下：设0＜x1＜x2＜4，则：＝，∵0＜x1＜x2＜4，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，∴，，，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，4）上单调递减；（2）∵f（1）＝1+lg3，由得，，∵f（x）在（0，4）上单调递减，∴，解得0＜x＜1或2＜x＜3，∴原不等式的解集为（0，1）∪（2，3）．20．解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．21．解：（1）若a＝，则f（x）＝﹣x2+2|x﹣|＝，当x＜时，y＝﹣（x+1）2+2，可得增区间为（﹣∞，﹣1）；当x≥时，y＝﹣（x﹣1）2，可得增区间为（，1），综上可得，函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1）和（，1）；（2）不等式f（x）＞﹣ax即为2|x﹣a|＞x2﹣ax（a＞0），可得2x﹣2a＞x2﹣ax或2x﹣2a＜ax﹣x2，即为（x﹣2）（x﹣a）＜0或（x+2）（x﹣a）＜0，当a＞2时，﹣2＜x＜a；当0＜a＜2时，﹣2＜x＜a或a＜x＜2；当a＝2时，﹣2＜x＜2，综上可得，当a≥2时，不等式的解集为（﹣2，a]；当0＜a＜2时，不等式的解集为（﹣2，a）∪（a，2）；（3）f（x﹣1）≥2f（x）⇒﹣（x﹣1）2+2|x﹣1﹣a|≥﹣2x2+4|x﹣a|⇒4|x﹣a|﹣2|x﹣（a+1）|≤x2+2x﹣1对x≥0恒成立，由a＞0，可分如下几种情况讨论：①0≤x≤a时，﹣4（x﹣a）+2[x﹣（a+1）]≤x2+2x﹣1即x2+4x+1﹣2a≥0对x∈[0，a]恒成立，由g（x）＝x2+4x+1﹣2a在[0，a]上递增，则g（0）取得最小值，所以只需g（0）≥0，可得a≤，又a＞0，则0＜a≤；②a＜x≤a+1时，4（x﹣a）+2[x﹣（a+1]≤x2+2x﹣1，可得x2﹣4x+1+6a≥0对x∈[a，a+1]恒成立，由①可得h（x）＝x2﹣4x＝1+6a在[a，a+1]递减，所以只需h（a+1）≥0即a2+4a﹣2≥0，可得a≥﹣2或a≤﹣2﹣，由﹣2＜，由①可得﹣2≤a≤；③x＞a+1时，4（x﹣a）﹣2[x﹣（a+1）]≤x2+2x﹣1即x2+2a﹣3≥0对x∈（a+1，+∞）恒成立，由函数k（x）＝x2+2a﹣3在（a+1，+∞）递增，所以只需k（a+1）≥0，即a2+4a﹣2≥0，解得a≥﹣2+或a≤﹣2﹣，由②可得﹣2≤a≤；综上可得，a的范围是[﹣2，]．。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(58)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷2（共30题）一、选择题（共10题）1. 当 a >0，a ≠1 时，函数 f (x )=log a (x −1)+1 的图象恒过定点 A (m,n )，已知函数 f (x )={x 2+mx −3,x ≤0nlnx −2,x >0，若 f (x )−k =0 有两个零点，则 k 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,−4] B ． [−3,+∞) C ． [−4,−3]D ． (−3,+∞)∪{−4}2. 已知 a ，b 是实数，则“a <0，且 b <0”是“ab (a −b )>0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25 D ．8124. 已知函数 f (x )={−x 2+ax,x ≤1,2ax −4,x >1, 若始终存在实数 b ，使得函数 g (x )=f (x )−b 的零点不唯一，则 a 的取值范围是 ( ) A ． [2,3) B ． (−∞,2) C ． (−∞,3) D ． (−∞,3]5. 已知 a >0，b >0，a +b =2，则 y =1a +4b 的最小值是 ( ) A ． 72B ． 4C ． 92D ． 56. 若实数 a ，b 满足 1a +2b =√ab ，则 ab 的最小值为 ( )A ． √2B ． 2C ． 2√2D ． 47. 设 0<x <1，则 a =√2x ，b =1+x ，c =11−x中最大的一个是 ( )A ． aB ． bC ． cD ．无法判断8. 3x 2+6x 2+1 的最小值是 ( ) A ． 3√2−3B ． 3C ． 6√2D ． 6√2−39. 关于函数 f (x )=sin (2x +π6) 有下述三个结论： ① f (x ) 的最小正周期是 2π； ② f (x ) 在区间 (π6,π2) 上单调递减； ③将 f (x ) 图象上所有点向右平行移动 π12个单位长度后，得到函数 g (x )=sin2x 的图象．其中所有正确结论的编号是 ( ) A ．② B ．③ C ．②③ D ．①②③10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2)．若任取 ∀x ∈R ，f (x −1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． [−16,16]B ． [−√66,√66] C ． [−13,13]D ． [−√33,√33]二、填空题（共10题）11. 已知函数 f(x)={x 2+2x +14x 2+8x ,−2<x <0,x 2+2x −1,x ≤−2或x ≥0.若函数 g(x)=a ∣f(x)∣+1 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．12. 若 tan (α+β)=3，tan (β−π4)=2，则 tan (α+π4)= ．13. 已知 tan (π+α)=12，则 sin2α= ．14. 若 tanα=2，则 2sinα−cosαsinα+2cosα 的值为 ．15. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 满足条件 f (x +32)=−f (x )，且函数 y =f (x −34) 为奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数；,0)对称；（2）函数f(x)的图象关于点(−34（3）函数f(x)为R上的偶函数；（4）函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）16.当x∈{x∣ 1≤x≤5}时，不等式x2+ax−2>0有解，则实数a的取值范围是．17.若关于m的方程m2−2am+a+6=0的两个实数根是x，y，则(x−1)2+(y−1)2的最小值是．18.若函数f(x)=Acos(wx+φ)(A>0,w>0,∣φ∣<π)的部分图象如图所示，则w=，f(5π)=．619.设偶函数f(x)定义域为[−5,5]，且f(3)=0，当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是．20.已知x,y∈R，且x+4y=1，则xy的最大值是．三、解答题（共10题）21.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？22.已知集合A={x∣ x2−3x+2≤0}，B={y∣ y2−(a+1)y+a≤0}．(1) 若A⫋B，求实数a的取值范围；(2) 若B⊆A，求实数a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使得A∩B为单元素集合？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．23.已知函数f(x)的定义域为D，值域为f(D)，即f(D)={y∣ y=f(x),x∈D}．若f(D)⊆D，则称f(x)在D上封闭．在(0,1)上是否封闭，并说明理由；(1) 试分别判断函数f(x)=2017x+log2017x，g(x)=x2x+1(2) 函数f(x)=√x+1+k的定义域为D=[a,b]，且存在反函数y=f−1(x)．若函数f(x)在D上封闭，且函数f−1(x)在f(D)上也封闭，求实数k的取值范围；(3) 已知函数f(x)的定义域是D，对任意x,y∈D，若x≠y，有f(x)≠f(y)恒成立，则称f(x)在D上是单射．已知函数f(x)在D上封闭且单射，并且满足f n(D)⫋D，其中f n+1(x)=f(f n(x))，（n∈N∗），f1(x)=f(x)．证明：存在D的真子集D n⫋D n−1⫋⋯⫋D3⫋D2⫋D1⫋D，使得f(x)在所有D i(i=1,2,3,⋯,n)上封闭．在[1,+∞)上是增函数．24.求证：函数f(x)=x+1x25.已知A是定义在[1,2]上且满足如下条件的函数f(x)组成的集合：①对任意x∈[1,2]，都有f(x)∈(1,2)；②存在常数M∈(0,1)，使得对任x1,x2∈[1,2]，都有∣f(x1)−f(x2)∣≤M∣∣x1−x2∣．x2+1，x∈[1,2]，f(x)是否属于A？证明你的结论；(1) f(x)=15(2) 对于f(x)∈A，若存在x0∈(1,2)，使得x0=f(x0)，证明这样的x0是唯一的；x+m，x∈[1,2]，若f(x)∈A，求实数m的取值范围．(3) 设f(x)=√7326.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(x−12)为偶函数．(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 令g(x)=f(x)−∣λx−1∣(λ>0)，讨论函数g(x)在区间(−1,2)上零点个数的所有情况．27.设集合A={x∣ x2+x−6=0}，B={x∣ (x−2)⋅(x−m)=0}，若B⊆A，求实数m的值．28.证明：2sinxcosx−1cos2x−sin2x =tanx−1tanx+1．29.某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1) 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？30.设集合A={x∣ 4x+p<0}，B={x∣ x<−1或x>2}，若A⊆B，求实数p的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】 f (x )=log a (x −1)+1 恒过 (2,1)， 所以 m =2，n =1，f (x )={x 2+2x −3,x ≤0lnx −2,x >0，做出 y =f (x ) 图象如下图示：可得当 k ∈(−3,+∞)∪{−4} 时，y =f (x ) 与 y =k 有两个交点， 即 f (x )−k =0 有两个零点，则 k 的取值范围为 (−3,+∞)∪{−4}．【知识点】函数的零点分布2. 【答案】D【知识点】充分条件与必要条件3. 【答案】B【解析】当 m =2 时，f (x )=(n −8)x +1，要使其在区间 [12,2] 上单调递减，则 n −8<0⇒n <8，于是 mn <16，则 mn 无最大值．当 m ∈[0,2) 时，f (x ) 的图象开口向下，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≤12，即 2n +m ≤18，又 n ≥0，则 mn ≤m (9−m 2)=−12m 2+9m ．而 g (m )=−12m 2+9m 在 [0,2) 上为增函数，所以 m ∈[0,2) 时，g (m )<g (2)=16，故 m ∈[0,2) 时，mn 无最大值．当 m >2 时，f (x ) 的图象开口向上，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≥2，即2m+n≤12，而2m+n≥2√2m⋅n，所以mn≤18，当且仅当{2m+n=12,2m=n.即{m=3,n=6.时，取“=”，此时满足m>2．故(mn)max=18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性4. 【答案】C【解析】由题可知函数g(x)=f(x)−b的零点不唯一，等价于两函数y=f(x)与y=b图象的交点个数不唯一．因为m(x)=−x2+ax的图象是开口向下、对称轴x=a2的抛物线，n(x)=2ax−4的图象是恒过(0,−4)的直线，注意到m(1)=a−1，n(1)=2a−4，所以分a≤0，0<a≤2，a>2三种情况讨论：①当a≤0时，m(1)>n(1)，又因为y=m(x)在(−∞,a2)上单调递增、在(a2,1)上单调递减，y=n(x)在(0,+∞)上单调递减（当a=0时为常数函数），所以y=f(x)在(−∞,a2)上单调递增、在(a2,1)上单调递减，所以始终存在实数b使得在(−∞,0)上y=f(x)的图象与y=b图象的交点个数不唯一；②当0<a≤2时，y=m(x)在(−∞,a2)上单调递增、在(a2,1)上单调递减，由于y=n(x)在(0,+∞)上单调递增，且n(1)≤0，所以始终存在正实数b使得在(−∞,+∞)上y=f(x)的图象与y=b图象的交点个数不唯一；③当a>2时，y=m(x)在(−∞,1)上单调递增，y=n(x)在(1,+∞)上单调递增，欲使始终存在实数b使得在(−∞,0)上y=f(x)的图象与y=b图象的交点个数不唯一，则必有m(1)>n(1)，即a−1>2a−4，解得：a<3．综上所述，a的取值范围是(−∞,3)．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】由a>0，b>0，a+b=2知1a +4b=12(a+b)(1a+4b)=12(5+ba+4ab)≥92，当且仅当ba =4ab，即b=2a=43时等号成立．【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】C【解析】由题意可知，a>0，b>0，2√2ab ≤1a+2b=√ab，当且仅当1a =2b时取等号，即ab≥2√2，所以(ab)min=2√2．【知识点】均值不等式的应用7. 【答案】C【知识点】不等式的性质8. 【答案】D【解析】3x2+6x2+1=3(x2+1)+6x2+1−3≥2√3(x2+1)⋅6x2+1−3 =2√18−3=6√2−3,当且仅当x2=√2−1时等号成立，故选D．【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】C【解析】由f(x)=sin(2x+π6)可得函数的最小正周期为T=2π2=π，故①不正确；当π6<x<π2时，π2<2x+π6<7π6，所以f(x)在区间(π6,π2)上单调递减，故②正确；将f(x)=sin(2x+π6)图象上所有点向右平行移动π12个单位长度后，得到y=sin(2(x−π12)+π6)=sin2x的图象，即g(x)=sin2x，故③正确．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】B【解析】因为当x≥0时，f(x)=12(∣x−a2∣+∣x−2a2∣−3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)=12(a2−x+2a2−x−3a2)=−x；当a2<x<2a2时，f(x)=12(x−a2+2a2−x−3a2)=−a2；当x≥2a2时，f(x)=12(x−a2+x−2a2−3a2)=x−3a2．综上，函数 f (x )=12(∣x −a 2∣+∣x −2a 2∣−3a 2) 在 x ≥0 时的解析式等价于 f (x )={−x,0≤x ≤a 2,−a 2,a 2<x <2a 2,x −3a 2,x ≥2a 2， 因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x ) 在 R 上的大致图象如图， 观察图象可知，要使 ∀x ∈R ，f (x −1)≤f (x )，则需满足 2a 2−(−4a 2)≤1，解得 −√66≤a ≤√66.【知识点】函数的奇偶性、二次函数的性质与图像二、填空题（共10题） 11. 【答案】 [−1,−45)【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 17【解析】依题意 tan (α+π4)=tan [(α+β)−(β−π4)]=3−21+3×2=17． 【知识点】两角和与差的正切13. 【答案】 45【知识点】二倍角公式14. 【答案】 34【解析】易知 cosα≠0，则 2sinα−cosαsinα+2cosα=2tanα−1tanα+2=2×2−12+2=34．【知识点】同角三角函数的基本关系15. 【答案】（1）（2）（3）【解析】f (x +3)=f [(x +32)+32]=−f (x +32)=f (x )， 所以 f (x ) 是周期为 3 的周期函数，（1）正确； 函数 f (x −34) 是奇函数，其图象关于点 (0,0) 对称， 则 f (x ) 的图象关于点 (−34,0) 对称，（2）正确； 因为 f (x ) 的图象关于点 (−34,0) 对称，−34=−x+(−32+x)2，所以 f (−x )=−f (−32+x)，又 f (−32+x)=−f (−32+x +32)=−f (x )，所以 f (−x )=f (x )，所以 f (x ) 为 R 上的偶函数，（3）正确； f (x ) 是周期函数，在 R 上不可能是单调函数，（4）错误．【知识点】函数的周期性、函数的单调性、抽象函数、函数的奇偶性、函数的对称性16. 【答案】 {a∣ a >−235}【解析】由题知 Δ=a 2+8>0，且 −2<0， 所以方程 x 2+ax −2=0 恒有一正一负两个根． 设 y =x 2+ax −2，作出函数的大致图象如图所示．由图象知，不等式 x 2+ax −2>0 在 1≤x ≤5 范围内有解的充要条件是当 x =5 时，y >0，即 25+5a −2>0，解得 a >−235．【知识点】二次不等式的解法17. 【答案】 8【解析】由题意得 Δ=(−2a )2−4(a +6)≥0，解得 a ≤−2 或 a ≥3． 又 x ，y 是方程 m 2−2am +a +6=0 的两个实数根， 所以 x +y =2a ，xy =a +6， 所以(x −1)2+(y −1)2=x 2+y 2−2(x +y )+2=(x +y )2−2xy −2(x +y )+2=(2a )2−2(a +6)−4a +2=4a 2−6a −10=4(a −34)2−494,所以当 a =3 时，(x −1)2+(y −1)2 取得最小值，最小值为 8． 【知识点】函数的最大（小）值18. 【答案】 2 ； −√3【解析】由函数 f (x )=Acos (wx +φ)(A >0,a >0,w >0,∣φ∣<π) 的部分图象，可得 A =2， 34T =34×2πw=5π12−(−π3)， 解得 w =2．再根据 2×5π12+φ=2kπ，k ∈Z ， 求得 φ=2kπ−5π6，k ∈Z ．又 ∣φ∣<π， 所以 φ=−5π6，则 f (x )=2cos (2x −5π6)．故 f (5π6)=2cos5π6=−√3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】 [−5,−3)∪(0,3)【解析】由题意知，函数 f (x ) 为偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称， 结合图象可得，当 x ∈(−3,0)∪(0,3) 时，f (x )<0； 当 x ∈(−5,−3)∪(3,5) 时，f (x )>0，由 xf (x )<0，当 x >0 时，f (x )<0，得 x ∈(0,3)； 当 x <0 时，f (x )>0，得 x ∈[−5,−3)， 所以不等式 xf (x )<0 的解集是 [−5,−3)∪(0,3)． 【知识点】函数的奇偶性20. 【答案】 116【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共10题）21. 【答案】设 AB 的长为 x 米，则宽 BC 为200x米，总造价y =400(2x +2⋅200x )⋅5+100⋅200x⋅5+60×200=2000(2x +450x)+12000≥2000⋅2√2x ⋅450x+12000=132000,当且仅当 2x =450x，即 x =15 时，y 取到最小值．故处理池的长 AB 设计为 15 米时，可使总造价 y 最低，最低造价为 1322000 元． 【知识点】均值不等式的实际应用问题22. 【答案】(1) a >2． (2) 1≤a ≤2．(3) a ≤1．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算23. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可以），所以 f (x ) 在 (0,1) 上不封闭．令 t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D ．函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )，得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 上单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 上有两个不等的实数根．设 g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1({x ≥−1,x ≥k,)，故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得 k ∈(−54,−1]．或：⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 有两个不等的实数根．令 t =√x +1(t ≥0)，k +1=t 2−t 在 t ∈[0,+∞) 有两个不等根，画图，由数形结合可知，k +1∈(−14,0]，解得 k ∈(−54,−1]．(3) 如果 f (D )=D ，则 f n (D )=D ，与题干 f n (D )⫋D 矛盾．因此 f (D )⫋D ．取 D 1=f (D )，则 D 1⫋D ．接下来证明 f (D 1)⫋D 1．因为 f (x ) 是单射，因此取一个 p ∈D 且 p ∉D 1，由于 f (x ) 在 D 上单射，p 是唯一使得 f (x )=f (p ) 的根，即 f (p )∉f (D 1) 且 f (p )∈f (D )，所以 f (D 1)⫋f (D 1)∪f (p )≤f (D )=D 1，f (D 1)⫋D 1 得证．接着令 D n+1=f (D n )，并重复上述论证证明D n+1⫋D n．【知识点】函数的零点分布、对数函数及其性质24. 【答案】任取x1,x2∈[1,+∞)且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=x12x2+x2−x22x1−x1x1x2=x1x2(x1−x2)+(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2<0,所以f(x1)<f(x2)．所以f(x)在[1,+∞)上是增函数．【知识点】函数的单调性25. 【答案】(1) f(x)=15x2+1，x∈[1,2]，所以f(x)∈[65,95]⫋(1,2)，又∣f(x1)−f(x2)∣=15(x1+x2)∣x2−x2∣≤45∣x1−x2∣，故可令M=45∈(0,1)，所以f(x)∈A．(2) 反证法：x0∈(1,2)，f(x0)=x0，若x0不唯一，即有x1≠x2，x1,x2∈(1,2)，使得x1=f(x1)，x2=f(x2)，故∣f(x1)−f(x2)∣=∣x1−x2∣，又f(x)∈A，所以∣f(x1)−f(x2)∣≤M∣∣x1−x2∣，其中M∈(0,1)，得∣x1−x2∣≤M∣∣x1−x2∣，因为∣x1−x2∣>0，所以M≥1与M∈(0,1)矛盾，故x0是唯一的．(3) f(x)=√73x+m在[1,2]上单调递增，所以f(x)∈[√73+m,√143+m]⫋(1,2)，所以{ √73+m >1,√143+m <2,解得 m ∈(−43,−23)， 又∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣∣∣√73x 1+m −√73x 2+m ∣∣∣=73∣x −x ∣√73x 1+m+√73x 2+m≤M∣∣x 1−x 2∣,M ∈(0,1).当 x 1=x 2 时，显然 M ∈(0,1) 不等式成立， 当 x 1≠x 2，且 x 1,x 2∈[1,2] 时，得73√73x 1+m+√73x 2+m≤M ，因为 √73x 1+m +√73x 2+m ∈(2√73x +m,2√143+m)， 所以 73√73x 1+m+√73x 2+m ∈(6√143+m6√73+m )，所以6√73+m<1，解得 m >−3536，所以 m ∈(−3536,−23)． 【知识点】函数的单调性26. 【答案】(1) 因为 f (0)=0，所以 c =0， 因为 f (x −12) 为偶函数，所以函数 f (x ) 的对称轴为 x =−12，即 −b 2a =−12，即 a =b ，又对于任意 x ∈R 都有 f (x )≥x ，即 ax 2+(b −1)x ≥0 对于任意 x ∈R 都成立， 所以 a >0，且 Δ=(b −1)2≤0．因为 (b −1)2≥0，所以 b =1，a =1． 所以 f (x )=x 2+x ．(2) g (x )=f (x )−∣λx −1∣=x 2+x−∣λx −1∣，因为 λ>0，则转化为即求方程 x 2+x −λ∣∣x −1λ∣∣=0 在 (−1,2) 内的解的个数问题．因为λ>0，当x<1λ时，方程x2+x=1−λx在(−1,2)内必有一解．下面讨论当x≥1λ时，方程x2+x=λx−1在(1λ,2)内的解的个数问题．即x2+(1−λ)x+1=0，判别式Δ=(1−λ)2−4=λ2−2λ−3=(λ+1)(λ−3)，当Δ=0时，可得λ=3，此时x=1，在(−1,2)上有一解；当Δ<0时，可得0<λ<3，此时方程x2+(1−λ)x+1=0无解，即在(−1,2)内也无解；当Δ>0时，可得λ>3，又g(−1)=λ+1>0，g(2)=7−2λ，若7−2λ>0，即λ<72时，对称轴x=λ−12∈(−1,2)，方程x2+(1−λ)x+1=0在(−1,2)内有两解；若7−2λ≤0，即λ≥72时，方程x2+(1−λ)x+1=0在(−1,2)内有一解；综上，当0<λ<3时，g(x)在(−1,2)内有一个零点；当λ=3或λ≥72时，g(x)在(−1,2)内有两个零点；当3<λ<72时，g(x)在(−1,2)内有三个零点．【知识点】函数的零点分布、函数的奇偶性27. 【答案】由题意得，集合A={x∣ x2+x−6=0}={−3,2}，当m=2时，集合B={2}，此时满足条件B⊆A；当m≠2时，集合B={2,m}，又B⊆A，则m=−3．综上所述，m=2或m=−3．【知识点】包含关系、子集与真子集28. 【答案】左边=2sinxcosx−(sin2x+cos2x)cos2x−sin2x=−(sin2x−2sinxcosx+cos2x)cos2x−sin2x=(sinx−cosx)2sin2x−cos2x=(sinx−cosx)2(sinx−cosx)⋅(sinx+cosx)=sinx−cosxsinx+cosx=tanx−1tanx+1=右边,故原等式成立．【知识点】同角三角函数的基本关系29. 【答案】(1) 当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600−300050=12，所以这时租出了88辆车．(2) 设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)=(100−x−300050)(x−150)−x−300050×50，整理得f(x)=−x250+162x−21000=−150(x−4050)2+307050.所以，当x=4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值30. 【答案】A={x∣∣x<−p4}，B={x∣ x<−1或x>2}，因为A⊆B，所以−p4≤−1，即p≥4.所以实数p的取值范围为{p∣ p≥4}．【知识点】包含关系、子集与真子集。
期末复习：题型热搜卷2 函数奇偶性的应用-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
专题二 函数的奇偶性的应用【题型1】 利用奇偶性求参数的值1、若函数()()213f x kx k x =+-+是偶函数，则k 等于____.2、已知2()f x ax bx =+是定义在[1a -，2]a 上的偶函数，那么a b +的值是()A ．13-B ．13C ．12-D ．123、已知函数f （x ）的定义域为（3－2a ，a ＋1），且f （x ＋1）为偶函数，则实数a 的值可以是（ ）A.2B.23C.4D.64、已知函数2()21xx b f x -=+为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b＝_____．【题型2】 利用奇偶性求函数的值5、如图,给出奇函数()y f x =的局部图象，则()()21f f -+-的值为( )A ．2-B ．2C ．1D ．06、已知函数2()221x f x x -=++，若()2f m =，则()(f m -= ) A ．2 B ．0 C ．2- D ．4-7、已知函数331()5f x ax bx x=+--，且(2)2f -=，那么f （2）等于( )A ．12-B ．2C ．18-D ．108、设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝12对称，则f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4）＋f （5）＝________.9、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）－g （x ）＝x 3＋x 2＋1，则f （1）＋g （1）等于（ ）A.－3B.－1C.1D.3【题型3】 利用奇偶性求函数解析式10、已知定义在R 上的奇函数分()f x ，当0x >时，2()2f x x x =-+（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）写出()f x 单调区间（不必证明）11、设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )＝x 5＋x 3＋b . （1）求b 值；（2）若f (x )在[0，2]上单调递增，且f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．【题型4】 利用奇偶性求函数的最值或值域12、已知函数f （x ）＝mx 2＋nx ＋3m ＋n 是偶函数，且其定义域为[m －1,2m ].（1）求m ，n 的值；（2）求函数f （x ）在其定义域上的最大值.13、已知二次函数()()21f x x ax a R =-++∈（1）若函数()f x 为偶函数，求a 的值（2）若函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值为()g a ，求()g a 的最小值14、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =--． （1）求当0x >时，函数()f x 的解析式；（2）作出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的增区间（不需要证明）； （3）若函数()(),([2,4])1f xg x x x x =+∈-，求函数()g x 的最小值．答案解析1、【答案】1【解析】由于函数()()213f x kx k x =+-+是偶函数，所以()()f x f x =-即()()221313kx k x kx k x +-+=--+，所以()210k x -=恒成立，所以1k =.2、【解析】解：依题意得：()()f x f x -=，0b ∴=，又12a a -=-，13a ∴=， 13a b ∴+=．故选：B ． 3、【答案】A【解析】因为函数f （x ）的定义域为（3－2a ，a ＋1），所以在函数f （x ＋1）中，3－2a <x ＋1<a ＋1，则函数f （x ＋1）的定义域为（2－2a ，a ），又因为f （x ＋1）为偶函数，所以2－2a ＝－a ，a ＝2，故选A. 4、【答案】2.【解析】因为函数()221xx b f x -=+为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.又()002100212b b f --===+，所以b ＝1.故a ＋b ＝2. 5、【答案】A【解析】由图知()()131,322f f ==， 又()f x 为奇函数,所以()()()()21212f f f f -+-=--=-.故选A.6、【解析】解：根据题意，222()222112xx xf x x x ----=-=-++，则222222()()222211212x xx x xf x f x x x ----+-=++-==-+++，则有()()2f m f m +-=-，又由()2f m =，则()4f m -=-； 故选：D ．7、【解答】解：令331()g x ax bx x=+-， 则()()g x g x -=-是奇函数，(2)(2)52f g -=--=，故(2)7g -=，g （2）7=-，故f （2）g =（2）512-=-， 故选：A ． 8、【答案】【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （0）＝0.又f （x ）关于直线x ＝对称，∴f ＝f .①在①式中，当x ＝时，f （0）＝f （1）＝0.在①式中，以＋x 代替x ，得f （－x ）＝f （1＋x ）.∴f （2）＝f （1＋1）＝f （－1）＝－f （1）＝0，f （3）＝f （1＋2）＝f （－2）＝－f （2）＝0，同理， f （4）＝f （5）＝0.∴f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4）＋f （5）＝0.9、【答案】C【解析】分别令x ＝1和x ＝－1可得f （1）－g （1）＝3和f （－1）－g （－1）＝1，因为函数f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f （－1）＝f （1），g （－1）＝－g （1），即f （－1）－g （－1）＝1⇒f （1）＋g （1）＝1，则⇒⇒f （1）＋g （1）＝1，故选C.10、【解答】解（Ⅰ）根据题意，设0x <，则0x ->，22()()2()2f x x x x x -=--+-=--， 又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-． 于是0x <时，2()2f x x x =+，又由()f x 为R 上的奇函数，则(0)0f =，则222,(0)()0,(0)2,(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：222,(0)()0,(0)2,(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩；可知()f x 在[1-，1]上单调递增，在(,1)-∞-、(1,)+∞上单调递减．11、[解] (1)因为函数f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (0)＝0，解得b ＝0.(2)因为函数f (x )在[0，2]上是增函数，又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在[－2，2]上是单调递增的，因为f (m )＋f (m －1)>0， 所以f (m －1)>－f (m )＝f (－m )， 所以m －1>－m ，①又需要不等式f (m )＋f (m －1)>0在函数f (x )定义域范围内有意义．所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，－2≤m －1≤2② 解①②得12<m ≤2，所以m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，2. 12、【答案】（1）∵函数f （x ）＝mx 2＋nx ＋3m ＋n 是偶函数， ∴函数的定义域关于原点对称， 又∵函数f （x ）的定义域为[m －1,2m ].∴m －1＋2m ＝0，解得m ＝，又由f （－x ）＝mx 2－nx ＋3m ＋n ＝f （x ）＝mx 2＋nx ＋3m ＋n ， 可得n ＝0.（2）由（1）得函数的解析式为f （x ）＝x 2＋1，定义域为[－，].其图象是开口向上，且以y 轴为对称轴的抛物线，当x ＝±时，f （x ）取最大值.13、【详解】（1）因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，即2211x ax x ax --+=-++，0ax =恒成立，所以0a =；（2）222()1()124a a f x x ax x =-++=--++， 当12a≤-，即2a ≤-时，()(1)g a f a =-=-， 当112a -<<，即22a -<<时，2()()124a a g a f ==+， 当12a≥，即2a ≥时，()(1)g a f a ==， 综上，2,2()1,224,2a a a g a a a a -≤-⎧⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎩． 从而2a ≤-时，()2g a ≥，2a ≥时，()2g a ≥，22a -<<时，min ()(0)1g a g ==．所以()g a 的最小值为1．14、【详解】（Ⅰ）设0x >，则0x -<，由当0x ≤时，2()2f x x x =--，则()22f x x x -=-+，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，，则()()22f x f x x x -=-=-+，所以()22f x x x =-，综上所述，()222,02,0x x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩. （Ⅱ）函数()f x 的图象如下：由图像可知：增区间为(],1-∞-和[)1,+∞.（Ⅲ）由（Ⅰ）可得当[2,4]x ∈，22()223()111f x x x x xg x x x x x x --=+=+=--- ()12111x x =--+-，所以函数在[]2,4单调递增，所以()2min 22322221g ⨯-⨯==-。
高中数学人教A版高一年级第一学期期末(必修1+必修4)数学考试卷(文档有答案)(最新整理)
C
A
D
B
O
C.
16
按照弓形的面积计算实际面积为（
2
3 ）平方米。
3
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约 0.9 平方米（参考数据 3 1.73，
3.14 )。
(12) 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f x ， 满 足 对 任 意 的 x R 有 f x 2 f x ， 且 当 x 2,3 时 ，
.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 10 分）
（1）计算：
(log2
3)2
log2
3
lg lg
6 2
log2
6
.
（2）若
tan
1 3
，求
sin 5 cos
2 cos sin
.
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（18）（本小题满分 12 分）
OAOB OB OC OB OC OA =0 ， OB CA 0 OB CA ，
A
E O
同理 OA BC,OC AB O 为 ABC 的垂心，故选 D
B
D
C
(11)【解析】如图，由题意可得： AOB 2 ,OA 4 3
A
在 Rt△AOD 中，可得：∠AOD= ，∠DAO= ，OD= 1 AO= 1 4 2 ，
1 3
3
0,1
，
c
ln3
1
，
2
1
且
a
1 2
3
3
1 4
，
b
1 3
3
3
1 ，据此可知： b a ，综上可得： c b a ，故选 D． 3
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实数 k 的取值范围； 3
（ 2）若函数 f (x) 的图象过点 P(1, ) ，是否存在正数 2
m( m
1) ，使函数
g ( x) log m[ a 2x a 2x mf ( x)] 在 [1,log 2 3] 上的最大值为 0？
若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
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3.14) 。 (12) 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f x ， 满 足 对 任 意 的 x R 有 f x 2
f x ， 且 当 x 2,3 时 ，
fx
2x 2 12x 18 ，若函数 y f (x) log a x 1 在 R 上至少有六个零点， 则 a 的取值范围是
3
，故选 A ．
3
（13） 2
1
（ 14）
2
（ 15） 5 , 4
5 （或 a ）
4
9
（ 16）
4
（13）【解析】函数 f x 的图象过点 2,4 ，可得 4 a 2 ，又 a 0 ，解得 a 2 ． （14）【解析】 cos18o cos42o cos72o sin 42o cos18o cos42o sin18o sin 42o cos60o 1 ．
D． 3
0，
) 的图象的一部分，
则该解析式为（
）
A ． y 2 sin(2x )
3
3
C． y
2 sin(y 2 sin( x ) 3 24
D． y
2 sin(2 x
2 )
3
3
y
2
7
35