江苏省常州市2020年中考数学试卷解析版
江苏省常州市2020年中考数学试卷一、选择题（共8题；共16分）1.2的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. -22.计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 四棱柱 D. 四棱锥
4.8的立方根是（ ）
A. 2 B. ±2 C. ±2 D. 25.如果 ，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6.如图，直线a、b被直线c所截， ， ，则 的度数是（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°7.如图， 是 的弦，点C是优弧 上的动点（C不与A、B重合）， ，垂足为H，
点M是 的中点.若 的半径是3，则 长的最大值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 68.如图，点D是 内一点， 与x轴平行， 与y轴平行，
.若反比例函数 的图像经过A、D两点，则k的值是
（ ）
A. B. 4 C. D. 6二、填空题（共10题；共10分）9.计算：|－2|＋(π－1)0
＝________.
10.若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________. 11.地球半径大约是 ，将6400用科学记数法表示为________. 12.分解因式：x3
－x=________．
13.若一次函数 y=kx+2 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是________. 14.若关于x的方程 有一个根是1，则 ________. 15.如图，在 中， 的垂直平分线分别交 、 于点E、F.若 是等边三角形，则 ________°.
16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补
短.在菱形 中， .如图，建立平面直角坐标系 ，使得边 在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________.
17.如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、 ，连接 、 ，则 ________.
18.如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点，连接 ，在直线 和直线 上分别取点F、G，连接 、 .若 ，且直线 与直线 互相垂直，则 的长为________.
三、解答题（共10题；共85分）19.先化简，再求值： ，其中 . 20.解方程和不等式组：
（1）；
（2）21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动
对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图.
（1）本次抽样调查的样本容量是________；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数. 22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中. （1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是________；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率. 23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数. 24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元
. （1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
25.如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 .点B为x轴正半轴
上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D.
（1）求a的值及正比例函数 的表达式；
（2）若 ，求 的面积. 26.如图1，点B在线段 上，Rt△ ≌Rt△ ， ， ， .
（1）点F到直线 的距离是________；
（2）固定△ ，将△ 绕点C按顺时针方向旋转30°，使得 与 重合，并停止旋转. ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，
不要求写画法）该图形的面积为________；②如图2，在旋转过程中，线段 与 交于点O，当 时，求 的长.27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之
间）.我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.
（1）如图2，在平面直角坐标系 中，点E的坐标为 ，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D. ①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_▲__（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_▲__；②若直线n的函数表达式为 ，求 关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系 中，直线l经过点 ，点F是坐标平面内一点，以F为圆心， 为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点 是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是 ，求直线l的函数表达式. 28.如图，二次函数 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
抛物线过点 ，且顶点为D，连接 、 、 、 .
（1）填空： ________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 交直线 于点Q.若 ，求点P的坐标；
（3）点E在直线 上，点E关于直线 对称的点为F，点F关于直线 对称的点为G，连接 .当点F在x轴上时，直接写出 的长.
答案解析部分一、选择题1.【解析】【解答】2的相反数是-2， 故答案为：D. 【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解.2.【解析】【解答】解： . 故答案为：B.【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则：底数不变，指数相减解答即可.3.【解析】【解答】解：由图可知：该几何体是四棱柱. 故答案为：C.【分析】通过俯视图为矩形得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱.4.【解析】【解答】解：∵23=8，
∴8的立方根是2，
故选：D．【分析】根据立方根的定义，即可解答．5.【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： ，故此选项成立； B、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故此选项不成立.故答案为：A.【分析】根据不等式的性质:在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.6.【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠3=180°， ∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵
∴∠2=∠3=40°.故答案为：B.【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答.7.【解析】【解答】解：∵ ∴∠BHC=90°∵在Rt△BHC中，点M是 的中点
∴MH= BC∵BC为 的弦
∴当BC为直径时，MH最大
∵ 的半径是3∴MH最大为3.故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知MH= BC，当BC为直径时长度最大，即可求解.8.【解析】【解答】解：作 交BD的延长线于点E，作 轴于点F
∵ ∴ ∴ 为等腰直角三角形
∵
∴ ，即 ∴DE=AE= ∵BC=AO，且 ， ∴ ∴
∴
∴
设点A ， ∴ 解得： ∴ 故答案为：D.【分析】作 交BD的延长线于点E,作 轴于点F,计算出AE长度,证明△BCD≌△AOF ，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用 ，可计算出 值.二、填空题
9.【解析】【解答】解：原式=2＋1=3. 故答案为：3.【分析】根据绝对值和0次幂的性质求解即可.10.【解析】【解答】解：依题意得：x-1≠0， 解得x≠1，故答案为：x≠1.【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此求得x的取值范围.11.【解析】【解答】解：6400= . 故答案为： .【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中 ，n是比原整数位数少1的数.12.【解析】【解答】本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
x3-x，
=x（x2-1），
=x（x+1）（x-1）．
【分析】由题意可知，先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
13.【解析】【解答】解：∵一次函数 的函数值y随自变量x增大而增大 ∴k＞0.故答案为：k＞0.【分析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可.14.【解析】【解答】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0， 解得a=1.故答案是：1.【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.15.【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC， ∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
2020学年江苏省常州市中考数学试题(含答案)
2020年中考数学试题（江苏常州卷）（本试题满分120分，考试时间120分钟）一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2020年江苏常州2分）在下列实数中，无理数是【 】A ．2B ．3.14C ．12- D ．3【答案】D 。
2．（2020年江苏常州2分）如图所示圆柱的左视图是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】C 。
3．（2020年江苏常州2分）下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是【 】 A ．1y x =- B ．1y x = C ．2y x = D ．2y x=- 【答案】A 。
4．（2020年江苏常州2分）下列计算中，正确的是【 】A ．（a 3b ）2=a 6b 2B ．a•a 4=a 4C ．a 6÷a 2=a 3D ．3a+2b=5ab 【答案】A 。
5．（2020年江苏常州2分）已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差21S 12=甲，乙组数据的方差21S 10=乙，下列结论中正确的是【 】 A ．甲组数据比乙组数据的波动大 B ．乙组数据的比甲组数据的波动大C ．甲组数据与乙组数据的波动一样大D ．甲组数据与乙组数据的波动不能比较【答案】B 。
6．（2020年江苏常州2分）已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是【 】A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断 【答案】C 。
7．（2020年江苏常州2分）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣112345y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最小值，最小值为﹣3；（2）当1<x<22-时，y ＜0；（3）二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是【 】A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B 。
江苏省常州市2020年中考数学试卷
江苏省常州市2020年中考数学试卷一、选择题（共8题；共16分）1.2的相反数是（）A. B. C. 2 D. -22.计算的结果是（）A. B. C. D.3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥4.8的立方根是（）A. 2B. ±2C. ±2D. 25.如果，那么下列不等式正确的是（）A. B. C. D.6.如图，直线a、b被直线c所截，，，则的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点.若的半径是3，则长的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，.若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（）A. B. 4 C. D. 6二、填空题（共10题；共10分）9.计算：|－2|＋(π－1)0＝________.10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是________.11.地球半径大约是，将6400用科学记数法表示为________.12.分解因式：x3－x=________．13.若一次函数y=kx+2 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是________.14.若关于x的方程有一个根是1，则________.15.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F.若是等边三角形，则________°.16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形中，.如图，建立平面直角坐标系，使得边在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________.17.如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则________.18.如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、.若，且直线与直线互相垂直，则的长为________.三、解答题（共10题；共85分）19.先化简，再求值：，其中.20.解方程和不等式组：（1）；（2）21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图.（1）本次抽样调查的样本容量是________；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数.22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中.（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是________；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率.23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，.（1）求证：；（2）若，求的度数.24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元.（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25.如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点.点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D.（1）求a的值及正比例函数的表达式；（2）若，求的面积.26.如图1，点B在线段上，Rt△≌Rt△，，，.（1）点F到直线的距离是________；（2）固定△，将△绕点C按顺时针方向旋转30°，使得与重合，并停止旋转.①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为________；②如图2，在旋转过程中，线段与交于点O，当时，求的长.27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）.我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_▲__（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O 关于直线m的“特征数”为_▲__；②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式.28.如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、.（1）填空：________；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q.若，求点P的坐标；（3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接.当点F在x轴上时，直接写出的长.答案解析部分一、选择题1.【解析】【解答】2的相反数是-2，故答案为：D.【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解.2.【解析】【解答】解：.故答案为：B.【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则：底数不变，指数相减解答即可.3.【解析】【解答】解：由图可知：该几何体是四棱柱.故答案为：C.【分析】通过俯视图为矩形得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱.4.【解析】【解答】解：∵23=8，∴8的立方根是2，故选：D．【分析】根据立方根的定义，即可解答．5.【解析】【解答】解：A、由x＜y可得：，故此选项成立；B、由x＜y可得：，故此选项不成立；C、由x＜y可得：，故此选项不成立；D、由x＜y可得：，故此选项不成立.故答案为：A.【分析】根据不等式的性质:在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.6.【解析】【解答】解：如图，∵∠1+∠3=180°，∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵∴∠2=∠3=40°.故答案为：B.【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答.7.【解析】【解答】解：∵∴∠BHC=90°∵在Rt△BHC中，点M是的中点∴MH= BC∵BC为的弦∴当BC为直径时，MH最大∵的半径是3∴MH最大为3.故答案为：A.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知MH= BC，当BC为直径时长度最大，即可求解.8.【解析】【解答】解：作交BD的延长线于点E，作轴于点F∵∴∴为等腰直角三角形∵∴，即∴DE=AE=∵BC=AO，且，∴∴∴∴设点A ，∴解得：∴故答案为：D.【分析】作交BD的延长线于点E,作轴于点F,计算出AE长度,证明△BCD≌△AOF ，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值.二、填空题9.【解析】【解答】解：原式=2＋1=3.故答案为：3.【分析】根据绝对值和0次幂的性质求解即可.10.【解析】【解答】解：依题意得：x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1.【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此求得x的取值范围.11.【解析】【解答】解：6400= .故答案为：.【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数.12.【解析】【解答】本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．x3-x，=x（x2-1），=x（x+1）（x-1）．【分析】由题意可知，先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．13.【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值y随自变量x增大而增大∴k＞0.故答案为：k＞0.【分析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可.14.【解析】【解答】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，解得a=1.故答案是：1.【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.15.【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案为：30.【分析】根据垂直平分线的性质得出BF=CF，进而根据等边对等角得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.16.【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，∴AD=AB=CD=2，∵∴在Rt△DOA中，∴OD=∴点C的坐标是(2，).故答案为：(2，).【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案.17.【解析】【解答】解：如图，设BC=a，则AC=2a∵正方形∴EC= ，∠ECD=同理：CG= ,∠GCD=∴.故答案为：.【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG 为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.18.【解析】【解答】解：如图，当点F在点D右侧时，过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，∵D，E分别是AB和AC中点，AB= ，∴DE∥BC，BD=AD= ，∠FBM=∠BFD，∴四边形DGMF为平行四边形，则DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，∴tan∠FBM= =tan∠BFD，∴，∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN为等腰直角三角形，∴BN=DN= ，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF= = ，∴FM= = ，∴BM= ，∴BG=10-6=4；当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB 和DG，交点为H，可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，∴BG=MD，BM=DG，∵BF=3DG，∴tan∠BFD= ，同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF= ，设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.综上：BG的值为4或2.故答案为：4或2.【分析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.三、解答题19.【解析】【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项化简，最后代入x 的值计算即可.20.【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，根据“大小小大取中间”找出两解集的公共部分即可.21.【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是25÷25%=100；故答案为：100；【分析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次抽样调查的样本容量；（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图；（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000即可求出结果.22.【解析】【解答】解：（1）∵共有3个号码，∴抽到1号签的概率是，故答案为：；【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）画出树状图，由图可知：所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，从而再利用概率公式求解即可.23.【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.24.【解析】【分析】（1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，根据“ 购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元.”列出方程组，解之即可；（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15-a）千克，由购买两种水果的总价不超过100元列出a的不等式，解之即可解答.25.【解析】【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求；（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解.26.【解析】【解答】解：（1）∵，，∴∠ACB=60°，∵Rt△≌Rt△，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF是∠ACB的平分线，∴点F到直线的距离=EF=1；故答案为：1；（ 2 ）①线段经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE= ，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG= ，∠ACG=∠ECF=30°，∴S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG= ；故答案为：；【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F到直线的距离即为EF的长，于是可得答案；（2）①易知E点和F点的运动轨迹是分别以CF和CE为半径、圆心角为30°的圆弧,据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的长，然后根据S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇）即可求出阴影面积；②作EH⊥CF于点H，如图4，先解Rt△EFH求出FH和EH的长，进而可得CH 形CEG的长，设OH=x，则CO和OE2都可以用含x的代数式表示，然后在Rt△BOC中根据勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可求出结果.27.【解析】【解答】解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，⊙O关于直线m的“特征数”为DB·DE=2×5=10；故答案为：D，10；【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y= x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA= ，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式.注意有两种情况，不要遗漏.28.【解析】【解答】解：（1）∵抛物线过点C（1，0），∴将C（1，0）代入得0=1+b+3，解得b=-4，故答案为：-4；【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长.。
2020年江苏省常州市中考数学试卷
2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）2的相反数是()A．2-B．12-C．12D．22．（2分）计算62m m÷的结果是()A．3m B．4m C．8m D．12m3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是()A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．（2分）8的立方根为()A．22B．22±C．2D．2±5．（2分）如果x y<，那么下列不等式正确的是()A．22x y<B．22x y-<-C．11x y->-D．11x y+>+ 6．（2分）如图，直线a、b被直线c所截，//a b，1140∠=︒，则2∠的度数是()A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒7．（2分）如图，AB是O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合），CH AB⊥，垂足为H，点M是BC的中点．若O的半径是3，则MH长的最大值是()A ．3B ．4C ．5D ．68．（2分）如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，2BD =，135ADB ∠=︒，2ABD S ∆=．若反比例函数(0)k y x x =>的图象经过A 、D 两点，则k 的值是( )A ．22B ．4C ．32D ．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：0|2|(1)π-+-= ．10．（2分）若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是 ． 11．（2分）地球的半径大约为6400km ．数据6400用科学记数法表示为 ．12．（2分）分解因式：3x x -= ．13．（2分）若一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，则实数k 的取值范围是 ．14．（2分）若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a = ．15．（2分）如图，在ABC ∆中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC ∆是等边三角形，则B ∠= ︒．16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2AB =，120DAB ∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy ，使得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．17．（2分）如图，点C 在线段AB 上，且2AC BC =，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接EC 、EG ，则tan CEG ∠= ．18．（2分）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，62AB =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：2(1)(1)x x x +-+，其中2x =．20．（8分）解方程和不等式组：（1）2211x x x+=--； （2）26036x x -<⎧⎨-⎩． 21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 ；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是 ；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40A ∠=︒，80D ∠=︒，求E ∠的度数．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）如图，正比例函数y kx=的图象与反比例函数8(0)y xx=>的图象交于点(,4)A a．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y kx=的表达式；（2）若10BD=，求ACD∆的面积．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt ABC Rt CEF∆≅∆，90ABC CEF∠=∠=︒，30BAC∠=︒，1BC=．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定ABC∆，将CEF∆绕点C按顺时针方向旋转30︒，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE OB=时，求OF的长．27．（10分）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH的值称为I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0,4)．半径为1的O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则O 关于直线m 的“远点”是点 （填“A ”．“ B ”、“ C ”或“D ” )，O 关于直线m 的“特征数”为 ；②若直线n 的函数表达式为34y x =+．求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,4)M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作F ．若F 与直线1相离，点(1,0)N -是F 关于直线1的“远点”．且F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．28．（10分）如图，二次函数23y x bx =++的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点(1,0)C ，且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b = ；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若CQD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．2020年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）2的相反数是( )A ．2-B ．12-C ．12D ．2【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解答】解：2的相反数是2-．故选：A ．2．（2分）计算62m m ÷的结果是( )A ．3mB ．4mC ．8mD ．12m【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：62624m m m m -÷==．故选：B ．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是( )A ．圆柱B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C ．4．（2分）8的立方根为( )A ．22B ．22±C ．2D ．2±【分析】根据立方根的定义求出38的值，即可得出答案．【解答】解：8的立方根是333822==，故选：C ．5．（2分）如果x y <，那么下列不等式正确的是( )A ．22x y <B ．22x y -<-C ．11x y ->-D ．11x y +>+【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：x y <，22x y ∴<，故本选项符合题意；B 、x y <，22x y ∴->-，故本选项不符合题意；C 、x y <，11x y ∴-<-，故本选项不符合题意；D 、x y <，11x y ∴+<+，故本选项不符合题意；故选：A ．6．（2分）如图，直线a 、b 被直线c 所截，//a b ，1140∠=︒，则2∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【分析】先根据邻补角互补求得3∠，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【解答】解：13180∠+∠=︒，140∠=︒，3180118014040∴∠=︒-∠=︒-︒=︒//a b ，2340∴∠=∠=︒．故选：B ．7．（2分）如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点(C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH 的最大值是3．【解答】解：CH AB ⊥，垂足为H ，90CHB ∴∠=︒，点M 是BC 的中点．12MH BC ∴=， BC 的最大值是直径的长，O 的半径是3，MH ∴的最大值为3，故选：A ．8．（2分）如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，2BD =，135ADB ∠=︒，2ABD S ∆=．若反比例函数(0)k y x x=>的图象经过A 、D 两点，则k 的值是( )A ．22B ．4C ．32D ．6【分析】根据三角形面积公式求得22AE =，易证得()AOM CBD AAS ∆≅∆，得出2OM BD =，根据题意得出ADE ∆是等腰直角三角形，得出22DE AE ==，设(2)A m ，则(2D m -32)，根据反比例函数系数k 的几何意义得出关于m 的方程，解方程求得32m =6k =．【解答】解：作AM y ⊥轴于M ，延长BD ，交AM 于E ，设BC 与y 轴的交点为N ， 四边形OABC 是平行四边形，//OA BC ∴，OA BC =，AOM CNM ∴∠=∠，//BD y 轴，CBD CNM ∴∠=∠，AOM CBD ∴∠=∠， CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，90CDB ∴∠=︒，BE AM ⊥，CDB AMO ∴∠=∠，()AOM CBD AAS ∴∆≅∆，2OM BD ∴==， 122ABD S BD AE ∆==，2BD = 22AE ∴=，135ADB ∠=︒，45ADE ∴∠=︒，ADE ∴∆是等腰直角三角形， 22DE AE ∴==， D ∴的纵坐标为32，设(,2)A m ，则(22D m -，32)，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过A 、D 两点， 2(22)32k m m ∴==-⨯，解得32m =，26k m ∴==．故选：D ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：0|2|(1)π-+-= 3 ．【分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：0|2|(1)π-+-21=+3=，故答案为：3．10．（2分）若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是 1x ≠ ． 【分析】分式有意义时，分母10x -≠，据此求得x 的取值范围．【解答】解：依题意得：10x -≠，解得1x ≠，故答案为：1x ≠．11．（2分）地球的半径大约为6400km ．数据6400用科学记数法表示为 36.410⨯ ．【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：将6400用科学记数法表示为36.410⨯．故答案为：36.410⨯．12．（2分）分解因式：3x x -= (1)(1)x x x +- ．【分析】本题可先提公因式x ，分解成2(1)x x -，而21x -可利用平方差公式分解．【解答】解：3x x -，2(1)x x =-，(1)(1)x x x =+-．故答案为：(1)(1)x x x +-．13．（2分）若一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，则实数k 的取值范围是 0k > ．【分析】根据一次函数的性质，如果y 随x 的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k 的取值范围．【解答】解：一次函数2y kx =+，函数值y 随x 的值增大而增大，0k ∴>．故答案为：0k >．14．（2分）若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a = 1 ．【分析】把1x =代入方程得出120a +-=，求出方程的解即可．【解答】解：关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，∴把1x =代入方程得：120a +-=，解得：1a =，故答案为：1．15．（2分）如图，在ABC∆是∆中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若AFC等边三角形，则B∠=30︒．【分析】根据垂直平分线的性质得到B BCF∠=∠，再利用等边三角形的性质得到∠．60∠=︒，从而可得BAFC【解答】解：EF垂直平分BC，BF CF∴=，∴∠=∠，B BCFACF∆为等边三角形，∴∠=︒，60AFC∴∠=∠=︒．B BCF30故答案为：30．16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，2AB=，120∠=︒．如图，建立平面DAB直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是(2,3)．【分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．【解答】解：四边形ABCD是菱形，且2AB=，∴===，2CD AD AB∠=︒，120DAB∴∠=︒，60OADRt AOD ∆中，30ADO ∠=︒， 112122OA AD ∴==⨯=，22213OD =-=， (2,3)C ∴，故答案为：(2,3)．17．（2分）如图，点C 在线段AB 上，且2AC BC =，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接EC 、EG ，则tan CEG ∠= 12．【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：连接CG ，在正方形ACDE 、BCFG 中，45ECA GCB ∠=∠=︒，90ECG ∴∠=︒，设2AC =，1BC =，22CE ∴=，2CG =，1tan 2CG GEC EC ∴∠==， 故答案为：12．18．（2分）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，62AB =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 4或2 ．【分析】如图，过点B 作BT BF ⊥交ED 的延长线于T ，过点B 作BH DT ⊥于H ，证明四边形DGBT 是平行四边形，求出DH ，TH 即可解决问题．【解答】解：如图，过点B 作BT BF ⊥交ED 的延长线于T ，过点B 作BH DT ⊥于H ．DG BF ⊥，BT BF ⊥，//DG BT ∴，AD DB =，AE EC =，//DE BC ∴，∴四边形DGBT 是平行四边形，BG DT ∴=，DG BT =，45BDH ABC ∠=∠=︒，32AD DB ==，3BH DH ∴==，90TBF BHF ∠=∠=︒，90TBH FBH ∴∠+∠=︒，90FBH F ∠+∠=︒，TBH F ∴∠=∠，1tan tan 3BT DG F TBH BF BF ∴∠=∠===， ∴13TH BH =， 1TH ∴=，134DT TH DH ∴=+=+=，4BG ∴=．当点F 在ED 的延长线上时，同法可得312DT BG ==-=．故答案为4或2．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：2(1)(1)x x x +-+，其中2x =．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：2(1)(1)x x x +-+2221x x x x =++--1x =+，当2x =时，原式213=+=．20．（8分）解方程和不等式组：（1）2211x x x+=--； （2）26036x x -<⎧⎨-⎩． 【分析】（1）方程两边都乘以1x -得出方程22(1)x x -=-，求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以1x -得：22(1)x x -=-，解得：0x =，检验：把0x =代入1x -得：10x -≠，所以0x =是原方程的解，即原方程的解是：0x =；（2）26036x x -<⎧⎨-⎩①②， 解不等式①得：3x <，解不等式②得：2x -，∴不等式组的解集是：23x -<．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 100 ；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：2525%100÷=（人)，则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：10035%35⨯=（人)，踢足球的人数有：10025351525---=（人)，补全统计图如下：（3）根据题意得：152000300100⨯=（人)，答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是13；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，()4263P ∴==和为奇数． 23．（8分）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40A ∠=︒，80D ∠=︒，求E ∠的度数．【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，A FBD ∠=∠，根据AB CD =即可得出AC BD =，进而得出EAC FBD ∆≅∆解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】证明：（1）//EA FB ，A FBD ∴∠=∠，AB CD =，AB BC CD BC ∴+=+，即AC BD =，在EAC ∆与FBD ∆中，EA FB A FBD AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FBD SAS ∴∆≅∆，E F ∴∠=∠；（2）EAC FBD ∆≅∆，80ECA D ∴∠=∠=︒，40A ∠=︒，180408060E ∴∠=︒-︒-︒=︒，答：E ∠的度数为60︒．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买(15)m-千克梨，根据总价=单价⨯数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：326 222x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：86xy=⎧⎨=⎩．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买(15)m-千克梨，依题意，得：86(15)100m m+-，解得：5m．答：最多购买5千克苹果．25．（8分）如图，正比例函数y kx=的图象与反比例函数8(0)y xx=>的图象交于点(,4)A a．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y kx=的表达式；（2）若10BD=，求ACD∆的面积．【分析】（1）把把点(,4)A a代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据10BD =，求出点B 的横坐标，求出OB ，代入求出BC ，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）把点(,4)A a 代入反比例函数8(0)y x x =>得， 824a ==， ∴点(2,4)A ，代入y kx =得，2k =，∴正比例函数的关系式为2y x =，答：2a =，正比例函数的关系式为2y x =；（2）当10BD y ==时，代入2y x =得，5x =，5OB ∴=，当5x =代入8y x =得，85y =，即85BC =， 8421055CD BD BC ∴=-=-=， 142(52)12.625ACD S ∆∴=⨯⨯-=， 26．（10分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt ABC Rt CEF ∆≅∆，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是 1 ；（2）固定ABC ∆，将CEF ∆绕点C 按顺时针方向旋转30︒，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为 ；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【分析】（1）如图1中，作FD AC ⊥于D ．证明()ABC CDF AAS ∆≅∆可得结论．（2）线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．根据EFC AHC ACF CEH ACF S S S S S S ∆∆=+--=阴扇形扇形扇形计算即可．（3）如图2中，过点E 作EH CF ⊥于H ．设OB OE x ==．在Rt EOH ∆中，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作FD AC ⊥于D ，Rt ABC Rt CEF ∆≅∆，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．60ACB ∴∠=︒，30FCE BAC ∠=∠=︒，AC CF =，30ACF ∴∠=︒，BAC FCD ∴∠=∠，在ABC ∆和CDF ∆中，BAC FCD ABC CDF AC CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDF AAS ∴∆≅∆，1FD BC ∴==，故答案为1；（2）线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．2230(3)30236012EFC AHC ACF CEH ACF ECHS S S S S S S πππ∆∆⋅⋅⋅⋅=+--=-=-=阴扇形扇形扇形扇形． 故答案为12π．（3）如图2中，过点E 作EH CF ⊥于H ．设OB OE x ==．在Rt ECF ∆中，1EF =，30ECF ∠=︒，EH CF ⊥，33EC EF ∴==3EH =332CH EH ==， 在Rt BOC ∆中，2221OC OB BC x =++2312OH CH OC x ∴=-=-+ 在Rt EOH ∆中，则有222233((1)2x x =++， 解得7x =或7（不合题意舍弃）， 2741()33OC ∴=+=， 22CF EF ==，42233OF CF OC ∴=-=-=． 27．（10分）如图1，I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为I 关于直线a 的“远点“，把PQ PH 的值称为I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0,4)．半径为1的O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则O 关于直线m 的“远点”是点 D （填“A ”．“ B ”、“ C ”或“D ” )，O 关于直线m 的“特征数”为 ；②若直线n 的函数表达式为34y x =+．求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,4)M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作F ．若F 与直线1相离，点(1,0)N -是F 关于直线1的“远点”．且F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可． ②如图11-中，过点O 作OH ⊥直线n 于H ，交O 于Q ，P ．解直角三角形求出PH ，PQ 的长即可解决问题．（2）如图21-中，设直线l 的解析式为y kx b =+．分两种情形0k >或0k <，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①由题意，点D 是O 关于直线m 的“远点”，O 关于直线m 的特征数2520DB DE ==⨯=，故答案为D ，20．②如图11-中，过点O 作OH ⊥直线n 于H ，交O 于Q ，P ．设直线34y x =+交x 轴于43(F -，0)，交y 轴于(0,4)E ， 4OE ∴=，43OF = 3tan OF FEO OE ∴∠==， 30FEO ∴∠=︒，122OH OE ∴==， 3PH OH OP ∴=+=，O ∴关于直线n 的“特征数” 236PQ PH ==⨯=．（2）如图21-中，设直线l 的解析式为y kx b =+．当0k >时，过点F 作FH ⊥直线l 于H ，交F 于E ，N ．由题意，22EN =，45EN NH =10NH ∴=， (1,0)N -，(1,4)M ，222425MN ∴=+22201010HM MN NH ∴=--=MNH ∴∆是等腰直角三角形，MN 的中点(0,2)K ，5KN HK KM ∴===(2,3)H ∴-，把(2,3)H -，(1,4)M 代入y kx b =+，则有423k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得13113k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线l 的解析式为11133y x =+， 当0k <时，同法可知直线i 经过(2,1)H '，可得直线l 的解析式为37y x =-+．综上所述，满足条件的直线l 的解析式为11133y x =+或37y x =-+． 28．（10分）如图，二次函数23y x bx =++的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点(1,0)C ，且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b = 4- ；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若CQD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．【分析】（1）将点C 坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q 在点D 上方时，过点C 作CE AB ⊥于E ，设BD 与x 轴交于点F ，可得点(1,3)E ，3CE BE ==，1AE =，可得45EBC ECB ∠=∠=︒，1tan 3AE ACE EC ∠==，45BCF ∠=︒，由勾股定理逆定理可得90BCD ∠=︒，可求ACE DBC ∠=∠，可得ACB CFD ∠=∠，可得点F 与点Q 重合，即可求点P 坐标；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH DB ⊥于H ，在线段BH 的延长线上截取HF QH =，连接CQ 交抛物线于点P ，先求直线BD 解析式，点F 坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出CQ 解析式，联立方程组，可求点P 坐标；（3）设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH BD ⊥于H ，过点N 作MN x ⊥轴，过点E 作EM MN ⊥，连接CG ，GF ，先求出45CNH ∠=︒，由轴对称的性质可得EN NF =，45ENB FNB ∠=∠=︒，由“AAS ”可证EMN NKF ∆≅∆，可得95EM NK ==，MN KF =，可求6CF =，由轴对称的性质可得点G 坐标，即可求解．【解答】解：（1）抛物线23y x bx =++的图象过点(1,0)C ，013b ∴=++，4b ∴=-，故答案为：4-；（2）4b =，∴抛物线解析式为243y x x =-+抛物线243y x x =-+的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，∴点(0,3)A ，234x x =-，10x ∴=（舍去），24x =， ∴点(4,3)B ，2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点D 坐标(2,1)-，如图1，当点Q 在点D 上方时，过点C 作CE AB ⊥于E ，设BD 与x 轴交于点F ，点(0,3)A ，点(4,3)B ，点(1,0)C ，CE AB ⊥，∴点(1,3)E ，3CE BE ==，1AE =，45EBC ECB ∴∠=∠=︒，1tan 3AE ACE EC ∠==， 45BCF ∴∠=︒， 点(4,3)B ，点(1,0)C ，点(2,1)D -，9932BC ∴=+=，112CD =+=，22(42)(31)25BD =-++=， 22220BC CD BD +==，90BCD ∴∠=︒，21tan tan 332CD DBC ACE BC ∴∠====∠， ACE DBC ∴∠=∠，ACE ECB DBC BCF ∴∠+∠=∠+∠，ACB CFD ∴∠=∠，又CQD ACB ∠=∠，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点，2043x x ∴=-+，11x ∴=，23x =，∴点(3,0)P ；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH DB ⊥于H ，在线段BH 的延长线上截取HF QH =，连接CQ 交抛物线于点P ，CH DB ⊥，HF QH =，CF CQ ∴=，CFD CQD ∴∠=∠，CQD ACB ∴∠=∠，CH BD ⊥，点(4,3)B ，点(2,1)D -，∴直线BD 解析式为：25y x =-，∴点5(2F ，0)，∴直线CH 解析式为：1122y x =-+， ∴112225y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩， 解得11535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴点H 坐标为11(5，3)5-， FH QH =，∴点19(10Q ，6)5-， ∴直线CQ 解析式为：4433y x =-+， 联立方程组2443343y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：1110x y =⎧⎨=⎩或225389x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴点5(3P ，8)9-； 综上所述：点P 的坐标为(3,0)或5(3，8)9-； （3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH BD ⊥于H ，过点N 作MN x ⊥轴，过点E 作EM MN ⊥，连接CG ，GF ，第31页（共32页）点(0,3)A ，点(1,0)C ，∴直线AC 解析式为：33y x =-+，∴3325y x y x =-+⎧⎨=-⎩， ∴8595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴点N 坐标为8(5，9)5-， 点H 坐标为11(5，3)5-， 2221139(1)()555CH ∴=-+=，222118399()()55555HN =-+-+=， CH HN ∴=，45CNH ∴∠=︒，点E 关于直线BD 对称的点为F ，EN NF ∴=，45ENB FNB ∠=∠=︒，90ENF ∴∠=︒，90ENM FNM ∴∠+∠=︒，又90ENM MEN ∠+∠=︒，MEN FNM ∴∠=∠，()EMN NKF AAS ∴∆≅∆95EM NK ∴==，MN KF =， ∴点E 的横坐标为15-，第32页（共32页） ∴点1(5E -，18)5， 275MN KF ∴==， 8271655CF ∴=+-=， 点F 关于直线BC 对称的点为G ， 6FC CG ∴==，45BCF GCB ∠=∠=︒， 90GCF ∴∠=︒，∴点(1,6)G ，AG ∴=。
2020年江苏省常州市中考数学名校精编试卷附解析
2020年江苏省常州市中考数学名校精编试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．某人做掷硬币实验，投掷m次，正面朝上有 n次（即正面朝上的频率是mPn=），则下列说法正确的是（）A．P一定等于12B．P一定不等于12C．多投一次，P 更接近12D．投掷次数逐渐增加，P 稳定在12附近2．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH:HE等于（）A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．3：23．数据1、6、3、9、8的极差是（）A．1 B．5 C．6 D．84．将100个数据分成8个组，如下表：组号12345678频数1114121313x1210则第六组的频数为（）A．12 B．13 C．14 D．155．如果函数y=ax+b（a<0，b<O）和y=kx（k>0）的图象交于点P，那么点P应该位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．若方程组432(3)3x ykx k y+=⎧⎨+-=-⎩的解满足x y=，则k值是（）A． 6 B．154C．234D．2747．已知数据13、2-、0.618、125、34-，任意抽取一个数是负数的概率为（）A．20％B．40％C．60％D．80％8．如图所示的图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最少的是（）9．绝对值等于本身的数是（）A ．正数B ．0C ．负数或0D ． 正数或 010．为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗高度h （米）与升旗时间t （秒）的函数关系的大致图象是二、填空题11．如图：矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．12．如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过A C ，作l 的垂线，垂足分别为E F ，．若1AE =，3CF =，则AB 的长度为 ．13．对于平行四边形ABCD ，给出下列五个条件：①AB=BC ；②AC ⊥BD ；③AC=BD ；④AB ⊥BC ；⑤BD 平分∠ABC ．其中要使该平行四边形成为正方形必须同时满足的两个条件是 (要求填写两组你认为合适条件的编号)．14．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：月用水量(t) 10 13 14 17 18 户数22321则这个抽样调查的总体是 ，个体是 ，样本是 ． 15．围棋有黑、白两种棋子，混合在一起后，随意从中摸出 3个棋子，正好颜色都相同，这是 事件(填“必然”、“不可能”或“不确定”).16．在数学兴趣小组活动中，小明为了求12＋122＋123＋124＋…＋12n 的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则12＋122＋123＋124＋…＋12n 的值为__________（结果用n 表示）．17．如图，从左到右的变换是 ．18．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪 成四个更小的正三角形……如此继续下去，结果如下表. 所剪次数1234…na正三角形个数471013…n则a= (用含n的代数式表示).n解答题19．在下列横线上填写正确的理由．(1)若∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，则∠B=∠C，理由是．(2)若∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，且∠A=∠C，则∠B=∠D，理由是．(3)若∠l+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°，则①∠l=∠3，理由是；②∠4=∠5，理由是．(4)如图，已知∠AOC和∠B0D都是直角，则∠AOD=∠BOC，理由是．20．某人以4 km／h的速度由甲地到乙地，然后又以6 km／h的速度从乙地返回甲地，那么他往返一次的平均速度是．21．太阳的半径约是69660千米，用科学记数法表示（保留3个有效数字）约是千米．22．○中填入最小的正整数，△中填入最小的非负数，□中填人大于-5，而小于 4 的整数的个数，并将计算结果填在下边的横线上.( ○+△)×□= ．23．某次数学测验，以 90 分为标准，老师公布的成绩为：小明+10 分，小刚 0分，小敏-2 分，则小明的实际得分为分，小刚的实际得分为分，小敏的实际得分为分.三、解答题24．如图所示是由小立方块所搭成几何体钓俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块中个数. 请画出相应几何体的主视图和左视图.25．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.(1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；(2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．26．在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为l，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形．(1)画出此中心对称图形的对称中心0；(2)画出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移5格，得到△A2B2C2，那么△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度再能与△CC1C2重合?(直接写出答案)27．已知关于x的方程42+=的解是负数，求a的取值范围．a x1a>228．取出一张长方形的纸，沿一条对角线折叠，如图所示，问：重叠部分是一个什么三角形?并说明理由．29．如图，CD 是△ABC 的AB 边上的高，CB 是△ADC 的中线，已知AD=10，CD=6，请求出△ABC 的面积．30．已知 a ，b ，c 是△ABC 的三边长，请确定代数式222222()4a b c a b +--的值的正负.ABCD【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．B3．D4．D5．C6．D7．B8．B9．D10．B二、填空题11． 412．10 13．取①②⑤中的一个与③④中一个组合即可14．该小区居民的月用水情况，每户家庭的月用水情况，该小区l0户家庭的月用水情况15．不确定16．n211-17．相似变换18．31n +19．(4)同角的余角相等(1)同角的余角相等 (2)等角的补角相等 (3)①同角的补角相等 ②等角的余角相等20．4.8 km/h21．6.97×10422．823．100,90,88三、解答题 24． 如图.25．（1）略 (2）DE=10m．26．(1)BB l，CC l的交点就是对称中心；(2)图略，△A2B2C2绕点C2顺时针方向至少旋转90°可与△CC1C2重合27．1a 28．2等腰三角形，说明∠ABD=∠C′DB=∠BDC29．15．30．是负值。
2020年江苏省常州市中考数学试卷
2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020•常州）2的相反数是（）A．﹣2B．−12C．12D．22．（2分）（2020•常州）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．（2分）（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．（2分）（2020•常州）8的立方根为（）A．2√2B．±2√2C．2D．±25．（2分）（2020•常州）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1 6．（2分）（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（2分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．68．（2分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2√2B．4C．3√2D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2020•常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．（2分）（2020•常州）若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．（2分）（2020•常州）分解因式：x3﹣x＝．13．（2分）（2020•常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是．14．（2分）（2020•常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．（2分）（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．（2分）（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF ＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）（2020•常州）解方程和不等式组：（1）x x−1+21−x =2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6． 21．（8分）（2020•常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 ；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）（2020•常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是 ；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：∠E ＝∠F ；（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．24．（8分）（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．28．（10分）（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x 轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．2020年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020•常州）2的相反数是（ ）A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A ．2．（2分）（2020•常州）计算m 6÷m 2的结果是（ ）A ．m 3B ．m 4C ．m 8D ．m 12【解答】解：m 6÷m 2＝m 6﹣2＝m 4．故选：B ．3．（2分）（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C ．4．（2分）（2020•常州）8的立方根为（ ）A ．2√2B ．±2√2C ．2D ．±2【解答】解：8的立方根是√83=√233=2，故选：C ．5．（2分）（2020•常州）如果x ＜y ，那么下列不等式正确的是（ ）A ．2x ＜2yB ．﹣2x ＜﹣2yC ．x ﹣1＞y ﹣1D ．x +1＞y +1【解答】解：A 、∵x ＜y ，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．6．（2分）（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．7．（2分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH=12BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．8．（2分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2√2B．4C．3√2D．6【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD=√2，∵S△ABD=12BD⋅AE=2，BD=√2，∴AE＝2√2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A（m，√2），则D（m﹣2√2，3√2），∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k=√2m＝（m﹣2√2）×3√2，解得m＝3√2，∴k=√2m＝6．故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2020•常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．10．（2分）（2020•常州）若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．11．（2分）（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×103．【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．12．（2分）（2020•常州）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．13．（2分）（2020•常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是k＞0．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．14．（2分）（2020•常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．15．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．16．（2分）（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，√3）．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA=12AD=12×2=1，OD=√22−12=√3，∴C（2，√3），故答案为：（2，√3）．17．（2分）（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝12．【解答】解：连接CG ， 在正方形ACDE 、BCFG 中， ∠ECA ＝∠GCB ＝45°， ∴∠ECG ＝90°， 设AC ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝2√2，CG =√2， ∴tan ∠GEC =CG EC =12， 故答案为：12．18．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝6√2，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若BF ＝3DG ，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 4或2 ．【解答】解：如图，过点B 作BT ⊥BF 交ED 的延长线于T ，过点B 作BH ⊥DT 于H ．∵DG ⊥BF ，BT ⊥BF ，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3√2，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH=BTBF=DGBF=13，∴THBH =13，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．20．（8分）（2020•常州）解方程和不等式组： （1）x x−1+21−x=2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6．【解答】解：（1）方程两边都乘以x ﹣1得：x ﹣2＝2（x ﹣1）， 解得：x ＝0，检验：把x ＝0代入x ﹣1得：x ﹣1≠0， 所以x ＝0是原方程的解， 即原方程的解是：x ＝0； （2）{2x −6＜0①−3x ≤6②，∵解不等式①得：x ＜3， 解不等式②得：x ≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x ＜3．21．（8分）（2020•常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 100 ； （2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人）， 则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得： 2000×15100=300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22．（8分）（2020•常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是13；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种， ∴P （和为奇数）=46=23．23．（8分）（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：∠E ＝∠F ；（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．【解答】证明：（1）∵EA ∥FB ， ∴∠A ＝∠FBD ， ∵AB ＝CD ， ∴AB +BC ＝CD +BC ， 即AC ＝BD ，在△EAC 与△FBD 中， {EA =FB∠A =∠FBD AC =BD， ∴△EAC ≌△FBD （SAS ）， ∴∠E ＝∠F ；（2）∵△EAC ≌△FBD ， ∴∠ECA ＝∠D ＝80°， ∵∠A ＝40°，∴∠E ＝180°﹣40°﹣80°＝60°， 答：∠E 的度数为60°．24．（8分）（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？ 【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，依题意，得：{x +3y =262x +y =22，解得：{x =8y =6．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元． （2）设购买m 千克苹果，则购买（15﹣m ）千克梨， 依题意，得：8m +6（15﹣m ）≤100， 解得：m ≤5．答：最多购买5千克苹果．25．（8分）（2020•常州）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8x （x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ． （1）求a 的值及正比例函数y ＝kx 的表达式； （2）若BD ＝10，求△ACD 的面积．【解答】解：（1）把点A （a ，4）代入反比例函数y =8x （x ＞0）得， a =84=2， ∴点A （2，4），代入y ＝kx 得，k ＝2， ∴正比例函数的关系式为y ＝2x ， 答：a ＝2，正比例函数的关系式为y ＝2x ； （2）当BD ＝10＝y 时，代入y ＝2x 得，x ＝5， ∴OB ＝5，当x ＝5代入y =8x 得，y =85，即BC =85， ∴CD ＝BD ﹣BC ＝10−85=425，∴S △ACD =12×425×（5﹣2）＝12.6， 26．（10分）（2020•常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． （1）点F 到直线CA 的距离是 1 ；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为π12；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE ＝OB 时，求OF 的长．【解答】解：（1）如图1中，作FD ⊥AC 于D ，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． ∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ， ∴∠ACF ＝30°， ∴∠BAC ＝∠FCD ， 在△ABC 和△CDF 中， {∠BAC =∠FCD∠ABC =∠CDF AC =CF，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH=30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12．故答案为π12．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC=√3EF=√3，EH=√32，CH=√3EH=32，在Rt△BOC中，OC=√OB2+BC2=√1+x2，∴OH＝CH﹣OC=32−√1+x2，在Rt△EOH中，则有x2＝（√32）2+（32−√1+x）2，解得x=√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC=1+(73)2=43，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2−43=23．27．（10分）（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为6；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y=√3x+4交x轴于F（−4√33，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF=4√3 3∴tan∠FEO=OFOE=√33，∴∠FEO＝30°，∴OH=12OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2√2，EN•NH＝4√5，∴NH=√10，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN=√22+42=2√5，∴HM =√MN 2−NH 2=√20−10=√10， ∴△MNH 是等腰直角三角形， ∵MN 的中点K （0，2）， ∴KN ＝HK ＝KM =√5， ∴H （﹣2，3），把H （﹣2，3），M （1，4）代入y ＝kx +b ，则有{k +b =4−2k +b =3，解得{k =13b =113， ∴直线l 的解析式为y =13x +113， 当k ＜0时，同法可知直线i 经过H ′（2，1），可得直线l 的解析式为y ＝﹣3x +7． 综上所述，满足条件的直线l 的解析式为y =13x +113或y ＝﹣3x +7．28．（10分）（2020•常州）如图，二次函数y ＝x 2+bx +3的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点C （1，0），且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b ＝ ﹣4 ；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若∠CQD ＝∠ACB ，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +3的图象过点C （1，0）， ∴0＝1+b +3， ∴b ＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC=CDBC=√232=13=tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD ＝∠ACB ， ∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点， ∴0＝x 2﹣4x +3， ∴x 1＝1，x 2＝3， ∴点P （3，0）；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF ＝QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF ＝QH ， ∴CF ＝CQ ， ∴∠CFD ＝∠CQD ， ∴∠CQD ＝∠ACB ， ∵CH ⊥BD ，∵点B （4，3），点D （2，﹣1）， ∴直线BD 解析式为：y ＝2x ﹣5， ∴点F （52，0），∴直线CH 解析式为：y =−12x +12， ∴{y =−12x +12y =2x −5，解得{x =115y =−35，∴点H 坐标为（115，−35），∵FH ＝QH ， ∴点Q （1910，−65），∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43，联立方程组{y =−43x +43y =x2−4x +3，解得：{x 1=1y 1=0或{x 2=53y 2=−89，∴点P （53，−89）；综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A （0，3），点C （1，0）， ∴直线AC 解析式为：y ＝﹣3x +3， ∴{y =−3x +3y =2x −5， ∴{x =85y =−95， ∴点N 坐标为（85，−95），∵点H 坐标为（115，−35），∴CH 2＝（115−1）2+（35）2=95，HN 2＝（115−85）2+（−35+95）2=95，∴CH ＝HN ，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK=95，MN＝KF，∴点E的横坐标为−1 5，∴点E（−15，185），∴MN=275=KF，∴CF=85+275−1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG=√12+(6−3)2=√10．。
2020年江苏省各地市中考数学试卷解析版
2020年江苏省常州市中考数学试卷一二三四总分题号得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 2 的相反数是（）A. -2B. -C.D. 22.计算m6÷m2 的结果是（）A. m3B. m4C. m8D. m123.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥4.8 的立方根为（）A. B. C. 2 D. ±25.如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A. 2x＜2yB. -2x＜-2yC. x-1＞y-1D. x+1＞y+16.如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1=140°，则∠2 的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD= ，∠ADB=135°，S△ABD=2．若反比例函数y= （x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A. 2B. 4C. 3D. 6二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.计算：|-2|+（π-1）0=______．10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．11.地球的半径大约为6400km．数据6400 用科学记数法表示为______．12.分解因式：x3 -x=_________13.若一次函数y=kx+2 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是______．14.若关于x的方程x2+ax-2=0 有一个根是1，则a=______．15.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=______°．16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是______．17.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．18.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=6 ，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF=3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.解方程和不等式组：（1）（2）+ =2；．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.先化简，再求值：（x+1）2-x（x+1），其中x=2．21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是______；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.在3 张相同的小纸条上分别标上1、2、3 这3 个号码，做成3 支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1 支签，抽到1 号签的概率是______；（2）搅匀后先从中随机抽出1 支签（不放回），再从余下的2 支签中随机抽出1 支签，求抽到的2 支签上签号的和为奇数的概率．23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA=FB，AB=CD．（1）求证：∠E=∠F；（2）若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数．24.某水果店销售苹果和梨，购买1 千克苹果和3 千克梨共需26 元，购买2 千克苹果和1 千克梨共需22 元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15 千克，且总价不超过100 元，那么最多购买多少千克苹果？25.如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y=kx的表达式；（2）若BD=10，求△ACD的面积．26.如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．（1）点F到直线CA的距离是______；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1 中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为______；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE=OB时，求OF的长．27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1 的⊙O 与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为______；②若直线n的函数表达式为y= x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1 相离，点N（-1，0）是⊙F关于直线1 的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4 ，求直线l的函数表达式．28.如图，二次函数y=x2+bx+3 的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b=______；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD=∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：2 的相反数是-2．故选：A．利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：m6÷m2=m6-2=m4．故选：B．利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3.【答案】C【解析】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为三角形，易得出该几何体的形状．主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．4.【答案】C= =2，【解析】解：8 的立方根是故选：C．根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．．本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是5.【答案】A【解析】解：∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴-2x＞-2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x-1＜y-1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．根据不等式的性质逐个判断即可．本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵∠1+∠3=180°，∠1=40°，∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵a∥b，∴∠2=∠3=40°．故选：B ．先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键． 7.【答案】A【解析】解：∵CH ⊥AB ，垂足为 H ，∴∠CHB =90°，∵点 M 是 BC 的中点．∴MH = BC ，∵BC 的最大值是直径的长，⊙O 的半径是 3，∴MH 的最大值为 3，故选：A ．根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得 MH 的最大值是 3 ．本题考查了直角三角形斜边直线的性质，明确 BC 的最大值为⊙O 的直径的长是解题的 关键．8.【答案】D【解析】解：作 AM ⊥y 轴于 M ，延长 BD ，交 AM 于E ，设 BC 与 y 轴的交点为 N ，∵四边形 OABC 是平行四边形，∴OA ∥BC ，OA =BC ，∴∠AOM =∠CNM ，∵BD ∥y 轴，∴∠CBD =∠CNM ，∴∠AOM =∠CBD ，∵CD 与 x 轴平行，BD 与 y 轴平行，∴∠CDB =90°，BE ⊥AM ，∴∠CDB =∠AMO ，∴△AOM ≌△CBD （AAS ），∴OM =BD = ，∵S △ABD = =2，BD = ，∴AE =2 ，∵∠ADB =135°，∴∠ADE =45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE =AE =2 ∴D 的纵坐标为 3 设 A （m ， ），则 D （m -2 ，3 ），，，∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过A、D两点，，∴k= m=（m-2 ）×3解得m=3 ，∴k= m=6．故选：D．根据三角形面积公式求得AE=2 ，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM=BD= ，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE=2 ，设A（m，），则D（m-2 ，3 ），根据反比例函数系数k的几何意义得出关于m的方程，解方程求得m=3，进一步求得k=6．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．9.【答案】3【解析】解：|-2|+（π-1）0=2+1=3，故答案为：3．首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．10.【答案】x≠1【解析】解：依题意得：x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．分式有意义时，分母x-1≠0，据此求得x的取值范围．本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11.【答案】6.4×103【解析】解：将6400 用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n是正数；当原数的绝对值＜1 时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.【答案】x（x+1）（x-1）【解析】解：x3-x，=x（x2-1），=x（x+1）（x-1）．故答案为：x（x+1）（x-1）．本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1 可利用平方差公式分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13.【答案】k＞0【解析】解：∵一次函数y=kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k 的取值范围．本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0 时y随x的增大而增大．14.【答案】1【解析】解：∵关于x的方程x2+ax-2=0 有一个根是1，∴把x=1 代入方程得：1+a-2=0，解得：a=1，故答案为：1．把x=1 代入方程得出1+a-2=0，求出方程的解即可．本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．15.【答案】30【解析】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°．故答案为：30．根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B．本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF．16.【答案】（2，）【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，∴CD=AD=AB=2，∵∠DAB=120°，∴∠OAD=60°，Rt△AOD中，∠ADO=30°，∴OA= AD= =1，OD= = ，∴C（2，），故答案为：（2，）．根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．此题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．17.【答案】【解析】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA=∠GCB=45°，∴∠ECG=90°，设AC=2，BC=1，∴CE=2 ，CG= ，∴tan∠GEC= = ，故答案为：．根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18.【答案】4【解析】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG=DT，DG=BT，∠BDH=∠ABC=45°，∵AD=DB=3 ，∴BH=DH=3，∵∠TBF=∠BHF=90°，∴∠TBH+∠FBH=90°，∠FBH+∠F=90°，∴∠TBH=∠F，∴tan∠F=tan∠TBH= = = ，∴= ，∴TH=1，∴DT=TH+DH=1+3=4，∴BG=4．故答案为4．如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT 是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．19.【答案】解：（1）方程两边都乘以x-1 得：x-2=2（x-1），解得：x=0，检验：把x=0 代入x-1 得：x-1≠0，所以x=0 是原方程的解，即原方程的解是：x=0；（2），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥-2，∴不等式组的解集是：-2≤x＜3．【解析】（1）方程两边都乘以x-1 得出方程x-2=2（x-1），求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．20.【答案】解：（x+1）2-x（x+1）=x2+2x+1-x2-x=x+1，当x=2 时，原式=2+1=3．【解析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．21.【答案】100【解析】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%=100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%=35（人），踢足球的人数有：100-25-35-15=25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×=300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300 人．（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.【答案】【解析】解：（1）共有3 种可能出现的结果，其中“抽到1 号”的有1 种，因此“抽到1 号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6 种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4 种，∴P（和为奇数）= = ．（1）共有3 种可能出现的结果，其中“抽到1 号”的有1 种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．23.【答案】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A=∠FBD，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA=∠D=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-40°-80°=60°，答：∠E的度数为60°．【解析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A=∠FBD，根据AB=CD即可得出AC=BD ，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．24.【答案】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：每千克苹果的售价为8 元，每千克梨的售价为6 元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15-m）千克梨，依题意，得：8m+6（15-m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5 千克苹果．【解析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1 千克苹果和3 千克梨共需26 元，购买2 千克苹果和1 千克梨共需22 元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买（15-m）千克梨，根据总价=单价×数量结合总价不超过100 元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y= （x＞0）得，a= =2，∴点A（2，4），代入y=kx得，k=2，∴正比例函数的关系式为y=2x，答：a=2，正比例函数的关系式为y=2x；（2）当BD=10=y时，代入y=2x得，x=5，∴OB=5，当x=5 代入y= 得，y= ，即BC= ，∴CD=BD-BC=10- = ，∴S△ACD= ××（5-2）=12.6，【解析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD=10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．26.【答案】1【解析】解：（1）如图1 中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．∴∠ACB=60°，∠FCE=∠BAC=30°，AC=CF，∴∠ACF=30°，∴∠BAC=∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD=BC=1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴=S△EFC+S扇形ACF-S扇形CEH-S△AHC=S扇形ACF-S扇形ECH= - = ．故答案为．（3）如图2 中，过点E作EH⊥CF于H．设OB=OE=x．在Rt△ECF中，∵EF=1，∠ECF=30°，EH⊥CF，∴EC= EF= ，EH= ，CH= EH= ，在Rt△BOC中，OC= ∴OH=CH=OC= -= ，，在Rt△EOH中，则有x2=（）2+（-解得x= 或- （不合题意舍弃），）2，∴OC= = ，∵CF=2EF=2，∴OF=CF-OC=2- = ．（1）如图1 中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴=S△EFC+S扇形ACF-S扇形CEH-S△AHC=S计算即可．扇形ACF（3）如图2 中，过点E作EH⊥CF于H．设OB=OE=x．在Rt△EOH中，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查作图-旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27.【答案】D20【解析】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数=DB•DE=2×5=20，故答案为D，20．②如图1-1 中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y= x+4 交x轴于F（- ，0），交y轴于E（0，4），∴OE=4，OF=∴tan∠FEO= = ，∴∠FEO=30°，∴OH= OE=2，∴PH=OH+OP=3，∴⊙O关于直线n的“特征数”=PQ•PH=2×3=6．（2）如图2-1 中，设直线l的解析式为y=kx+b．当k＞0 时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN=2 ，EN•NH=4 ∴NH=∵N（-1，0），M（1，4），，，∴MN= ∴HM= =2 ，= = ，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN=HK=KM=∴H（-2，3），，把H（-2，3），M（1，4）代入y=kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y= x+ ，当k＜0 时，同法可知直线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y=-3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y= x+ 或y=-3x+7．（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1-1 中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ 的长即可解决问题．（2）如图2-1 中，设直线l的解析式为y=kx+b．分两种情形k＞0 或k＜0，分别求解即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28.【答案】-4【解析】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+3 的图象过点C（1，0），∴0=1+b+3，∴b=-4，故答案为：-4；（2）∵b=4，∴抛物线解析式为y=x2-4x+3∵抛物线y=x2-4x+3 的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B ，∴点A（0，3），3=x2-4x，∴x=0（舍去），x=4，1 2∴点B（4，3），∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴顶点D坐标（2，-1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE=BE=3，AE=1，，∴∠EBC=∠ECB=45°，tan∠ACE=∴∠BCF=45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，-1），∴BC= =3 ，CD= = ，BD= =2 ，∵BC2+CD2=20=BD2，∴∠BCD=90°，∴tan∠DBC= = = =tan∠ACE，∴∠ACE=∠DBC，∴∠ACE+∠ECB=∠DBC+∠BCF，∴∠ACB=∠CFD，又∵∠CQD=∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0=x2-4x+3，∴x=1，x=3，1 2∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF=QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF=QH，∴CF=CQ，∴∠CFD=∠CQD，∴∠CQD=∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，-1），∴直线BD解析式为：y=2x-5，∴点F（，0），∴直线CH解析式为：y=- x+ ，∴，解得，∴点H坐标为（，- ），∵FH=QH，∴点Q（，- ），∴直线CQ解析式为：y=- x+ ，联立方程组解得：，或，∴点P（，- ）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，- ）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，∵点A（0，3），点C（1，0），∴直线AC解析式为：y=-3x+3，∴，∴，∴点N坐标为（，- ），∵点H坐标为（，- ），∴CH2=（-1）2+（）2= ，HN2=（- ）2+（- + ）2= ，∴CH=HN，∴∠CNH=45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN=NF，∠ENB=∠FNB=45°，∴∠ENF=90°，∴∠ENM+∠FNM=90°，又∵∠ENM+∠MEN=90°，∴∠MEN=∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM=NK= ，MN=KF，∴点E的横坐标为- ，∴点E（- ，），∴MN= =KF，∴CF= + -1=6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC=CG=6，∠BCF=∠GCB=45°，∴∠GCF=90°，∴点G（1，6），∴AG= = ．（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE=BE=3，AE=1，可得∠EBC=∠ECB=45°，tan∠ACE=，∠BCF=45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD=90°，可求∠ACE=∠DBC，可得∠ACB=∠CFD ，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF=QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH=45°，由轴对称的性质可得EN=NF，∠ENB=∠FNB=45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM=NK= ，MN=KF，可求CF=6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出∠CNH=45°是本题的关键．2020 年江苏省淮安市中考数学试卷题号得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）1. 2 的相反数是（ ） A. 2 B. -2 C.D. 2. 计算 t 3÷t 2 的结果是（ ） A. t 2 B. tC. t 3 C.D. t 5 3. 下列几何体中，主视图为圆的是（ ）A. B. D.4. 六边形的内角和为（ ）A. 360°B. 540°C. 720°D. 1080°5. 在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）A. （2，3） 6. 一组数据 9、10、10、11、8 的众数是（ ）A. 10 C. 11B. （-3，2）C. （-3，-2）D. （-2，-3）B. 9 D. 87. 如图，点 A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB =54°，则∠ABO 的度数是（ ）A. 54°B. 27°C. 36°D. 108°8. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数 中为“幸福数”的是（ ）A. 205B. 250C. 502D. 520二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）9. 分解因式：m 2-4=______．10. 2020 年 6 月 23 日，中国北斗全球卫星导航系统提前半年全面完成，其星载原子钟 授时精度高达每隔 3000000 年才误差 1 秒．数据 3000000 用科学记数法表示为 ______．11. 已知一组数据 1、3、a 、10 的平均数为 5，则 a =______．12. 方程 +1=0 的解为______．13. 已知直角三角形斜边长为 16，则这个直角三角形斜边上的中线长为______．14. 菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的边长为______．15. 二次函数 y =-x 2-2x +3 的顶点坐标为______ ．16.如图，等腰△ABC的两个顶点A（-1，-4）、B（-4，-1）在反比例函数y= （x＜0）的图象上，AC=BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y= （x＜0）的图象于点D ，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动3 个单位长度，到达反比例函数y= （x＞0）图象上一点，则k2=______．三、解答题（本大题共11小题，共102.0分）17.计算：（1）|-3|+（π-1）0- ；（2）÷（1+ ）．18.解不等式2x-1＞．解：去分母，得2（2x-1）＞3x-1．…（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是______（填“A”或“B”）．A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．19.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15 元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30 辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324 元，求中、小型汽车各有多少辆？20.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO=CO．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF______（填“是”或“不是”）平行四边形．21.为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为A、B、C、D，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．请解答下列问题：（1）本次问卷共随机调查了______学生，扇形统计图中C选项对应的圆心角为______度；（2）请补全条形统计图；（3）若该校有1200 名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？22.一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K．搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．（1）第一次摸到字母A的概率为______；（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率．23.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8 千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1 千米）．24.甲、乙两地的路程为290 千米，一辆汽车早上8：00 从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进，当离甲地路程为240 千米时接到通知，要求中午12：00 准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/小时；（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．25.如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A=30°，OP=1，求图中阴影部分的面积．26.[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C 重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B 与点C重合，折痕为MN，求的值；[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．27.如图①，二次函数y=-x2+bx+4 的图象与直线l交于A（-1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线1 于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．（1）b=______，n=______；（2）若点N在点M的上方，且MN=3，求m的值；（3）将直线AB向上平移4 个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．①记△NBC的面积为S，△NAC的面积为S，是否存在m，使得点N在直线AC的1 2上方，且满足S-S=6？若存在，求出m及相应的S，S的值；若不存在，请说明1 2 1 2理由．②当m＞-1 时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD-∠BFC=45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．。
2020年江苏省常州市中考数学教学质量检测试卷附解析
2020年江苏省常州市中考数学教学质量检测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发对奖券一张．在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个．若某人购物刚好满100元，那么他中一等奖的概率是（ ） A ．1001 B ．10001C ．100001D ．100001112．下列命题属于假命题的个数是（ ） ①如果a 是实数，那么20a >； ②直角都相等；③三角形三内角之和等于180°； ④关于x 的方程ax b =的根是b x a=； ⑤在同一平面内不相交的两条直线必平行． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示：视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1243467910 4那么该班学生右眼视力的众数和中位数分别是 （ ） A ．4．9和4．8B ． 4．9和4．7C ．4．9和4．6D ．4．8和4．74．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点0，过点O 作EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，△ABC 的周长是24cm ，BC=10cm ，则△AEF 的周长是（ ） A ．10 cmB ．12cmC ．14 cmD ．34 cm5．如图所示，△ADF ≌△CBE ，则结论：①AF=CE ；②∠1=∠2；③BE=CF ， ④AE=CF ．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．“直线1l 、2l 相交于0，点P 在直线1l 、2l 外，分别画出点P 到直线1l 、2l 的垂线段PM 、 PN”．下列四个图形中画得正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知当1a =,2b =-时，代数式10ab bc ca ++=,则c 的值为（ ） A ． 12B ． 6C ．-6D ． -128．下列各组代数式中，不是同类项的一组是（ ） A ．12-和0B ．213ab c -和2cab C ．2xy 和2x yD ．3xy和xy - 9．某天股票A 开盘价 19 元，上午 11：30 跌1. 5 元，下午收盘时又涨了 0. 5 元，则投票A 这天收盘价为（ ） A ．0.3 元B ．l6.2 元C ．16.8 元D ．18 元二、填空题10．cos45°= ,cos30°= ，cos65°= ,并把它们用“<”号连结 ． 11．如图，AB = CD ，∠AOC= 85°，则∠BOD= ．12．写出线段的中点的定义： ．13．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的面积为 ．14．一水池有2个进水速度相同的进水口，l 个出水口，单开一个进水口每小时可进水2 m 3，单开一个出水口每小时可出水3m 2．某天0 h 到6 h 水池的蓄水量与放水时间的关系如图所示(至少打开一个进水口)，给出以下3个论断：①O h 到3 h 只进水不出水；②3 h 到4 h 时不进水只出水；③4 h 到6 h 不进水不出水． 则错误的论断是 (填序号)．15．当0x a <<时，2x 与ax 的大小关系是 ．16．x 与 2 的和不大于 4，用不等式表示为 ，它的解集为 ．17．某工厂库存原材料x 吨，原计划每天用a 吨，若现在每天少用b 吨，则可以多用 天．18．如果分式211x x -+的值为0，则x= .19．某工厂库存原材料 x(t)，原计划每天用a(t)，若现在每天少用 b( t)，则可以多用 天.20．计算：21()(12)4x x x -+÷-= ． 21．用计算器计算下列各题，并用图表示程序. 5≈ (结果保留 4 个有效数字). 程 序显示(2)3131≈ 结果保留 3 个有效数字).程 序显示(3)23≈ (结果保留 4 个有效数字). 程 序 显示三、解答题22．某类产品按质量共分10 个档次，生产最低档次产品每件利润为 8 元，每提高一个档次每件利润增加 2 元. 用同样的时间，最低档产品每天可生产 60 件，每提高一个档次将少生产 3 件，求生产何种档次的产品所获利润最大？23．通过市场调查发现，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y (千克，)与市场价格x （元/千克)（030x <<)存在下列关系：x (元/千克)5 10 15 20 y (千克)4500400035003000又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z (千克)与市场价格x (元/千克)成正比例关系：400z x =（030x <<）. 现不计其他因素影响，如果需求数量y 等于生产数量z ，那么此时市场处于平衡状态.(1)请通过描点画图探究y 与x 之间的函数关系，并求出函数解析式；(2)根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？(3)如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z 与市场价格x 的函数关系发生改变(但仍成正比例关系)，而需求数量y 与市场价格x 的函数关系未发生变化，那么当 市场处于平衡状态时，需求数量为 3200 千克，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元. 请问这时该农副产品的市场价格为多少元？z 与x 之间的解析式是什么？24．如图，∠1 =∠2，∠1+∠3 =180,问CD 、EF 平行吗？为什么？25．牛郎星和织女星相距大约16.4光年，如果“牛郎”搭乘速度为9×103米/秒的火箭去见“织女”，大约需要多少年？（光速为3×108米/秒）26．把图（1）中的小鱼放大2倍后画在图（2）的方格上．27．画图并回答．(1)以C为顶点在三角形ABC外画∠ACE=∠A，猜测CE与AB的位置关系怎样?(2)过A点画AP上CE，垂足为P，过B点画BQ∥AP，交EC的延长线于点Q；(3)探索：EC与BQ有何位置关系?四边形ABQP是什么四边形(并用三角板来验证)．28．某体育场的环形跑道长 400米，甲、乙二人在跑道上，练习长跑，甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同一起跑线同向出发，起跑后经过多长时间两人才能第一次相遇？29．先约分，再求值：(1)22444xx x--+，其中3x=．(2)222x xy xy--，其中2x=-，2y=30．观察下列等式 (式子中的“ !”是一种数学运算符号)：1! = 1,2! = 2×1 , 3! = 3×2 ×1 , 4! =4×3×2×l，…，计算：!(1)!nn-(n 是正整数).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．B4．C5．C6．A7．D8．C9．D二、填空题10．2,2,0. 4226, cos65°<cos45°<cos30° 11．85°12．把一条线段分成相等的两条线段的点叫做这条线段的中点13．3014．②15．2x ax > 16．x+2≤4，x ≤217．)(b a a bx- 18． 119．2bxa ab-20． 1142x -21． 略三、解答题 22．设生产第 x 种档次的产品所获利润为y 元，由己知得[603(1)][82(1)]y x x =--+-，化简得26108378y x x =-++， x 的取值范围 1≤x ≤10.∵226108378=6(9)864y x x x =-++=--+， 当 x=9 时，864y =最大值，即生产第9 档次的产品所获利润最大，为864 元.23．(1)描点略，100x 5000y =-+(2)市场价格10元/千克，总收人40000元 (3)18元/千克，16009z x =24．平行，说明∠CDF+∠3=180°25．5.5×105年26．略27．(1)CE ∥AB (2)图略 (3)EC ⊥BQ ，ABQP 是长方形28．设起跑后经过x 分钟两人第一次相遇，则甲跑过的路程是250x 米，乙跑过的路程为290x 米.根据题意，得290250400x x -=，解得10x =. 答：起跑后经过10分钟两人第一次相遇.29．(1)22x x +-，5 ； (2)x y -，130．n。
2020年江苏省常州市中考数学第三次联合测评试卷附解析
2020年江苏省常州市中考数学第三次联合测评试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10cm ，PB ＝5cm ，则⊙O 的半径长为（ ）A ．15cmB ．10 cmC ．7.5 cmD ．5 cm2．下列事件是不确定事件的是（ ）A ．宁波今年国庆节当天的最高气温是35℃B ．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球C ．抛掷一石头，石头终将落地D ．有一名运动员奔跑的速度是20米/秒3．函数22(2)4y x =-+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．23 4．在对100个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和、频率之和分别等于 （ ） A ．100，1B ．100，100C ．1，100D ．1．1 5．要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取30台电视机进行试验，在这个问题中，30是（ ）A ．个体B ．总体C ．样本容量D ．总体的一个样本6．下图中经过折叠可以围成一个三棱注的有（ ）A ．B ．C ．D ． 7．如图，CD 是等腰直角三角形斜边AB 上的中线，DE ⊥BC 于E ，则图中等腰直角三角形的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ． 2626xy x y =⎧⎨-=⎩B ． 2131x y y z -=⎧⎨=+⎩C ． 213x y x y +=⎧⎨-=⎩D ． 2121x x y ⎧=⎨+=⎩9．已知二元一次方程组2423m n m n -=⎧⎨-=⎩，，则m n +的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．2-D ．1- 10． 计算32()x 的结果是（ ） A ．5x B ．6xC ．8xD ．9x 11．按表示算式（ ）A ．72÷（-5）×3．2B ．-72÷5×3．2C ．-72÷5×（-3．2）D ．72÷（-5）×（-3．2）二、填空题12．太阳光线可以看成是 ，像这样的光线所形成的投影称为 ．13．把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1，2，3.将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，试求取出的两张卡片数字之和为偶数的概率（要求用树状图或列表方法求解）.14．五边形的内角和等于 度.15．如图所示，AD 是△ABC 的中线，延长AD 到点E ，使DE=AD ，连结EB ，EC ，则四边形ABEC 是平行四边形．这是根据 ．16．若一个等腰三角形三边长均满足方程x 2－6x ＋8＝0，则此三角形的周长为 ．17．我们的人体中含有多少脂肪才能算适当？据科学研究表明，可以利用身体的体重（W ，单位：公斤）和身高（h ，单位：m ）计算身体脂肪水平，也称为质量指数（BMI ：Body Mass Index ）计算公式是2w BMI h=，而且男性的BMI 指数正常范围是24至27，如果现有一位男生的体重是70公斤，身体脂肪水平属正常，那么你能否估计他的身高大约在哪个范围内？(保留3个有效数字)18．一组数据为l ，2，3，4，5，6，则这组数据的中位数是 .19．当x _ _时，12x-的值为正；当x _ _时，221x x -+的值为负. 20． 已知2m n +=，2mn =-，则(1)(1)m n --= .21．某篮球运动员投3分球的命中率为0．5，投2分球的命中率是0．7．一场比赛中据说他投了20次2分球，6次3分球，估计他在这次比赛中能拿 分．22．一个长方形的面积等于(2268a b ab +)cm 2，其中长是(34a b +)cm ，则该长方形的宽是 cm ． 23．某校七（1）班学生为“希望工程”捐款，每人平均2元还多35元，共捐得131元．设这个班的学生有n 人，根据题意，可列方程为 ．24．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为 ．三、解答题25．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2003的倍数的频数 513 17 26 32 36 39 49 55 61 3的倍数的频率（1）完成上表；(2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？(3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？(4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？26．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF=EC ，DE=4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．27．如图①，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线CN 、MB 交于点F ．(1)求证：AN ＝BM ；(2)求证：△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图②中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明)．28．如图是按一定的规律排列的方程组集合和它们的解集合的对应关系图：若方程组集合中的方程组自上而下依次记做方程组 1，方程组 2，方程组 3，……，方程组n……(1)将方程组 1 的解填入图中；(2)请根据方程组和它的解的变化规律，将方程组 n 和它的解直接填入集合的图中；(3）若方程组210x y ax by b+=⎧⎨-=⎩和方程组2x y ax cy c+=⎧⎨-=-⎩的解都是109xy=⎧⎨=-⎩，求a，b，c 的值，并判断这两个方程组是否符合(2)中的规律.29．已知∠AOB=80°，过O作射线0C(不同于OA，OB)，满足∠AOC=35∠BOC，求∠AOC的大小．30．计算下列各式：(1)|21||10||9|-+-++；(2)19|3|||320 +⨯- .【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．A3．A4．A5．C6．D7．C8．C9．Ｄ10．B11．A二、填空题12．平行光线，平行投影13．514．954015．对角线互相平分的四边形是平行四边形16．1017．1.61至1.71m．18．3．519．x≠2x<，020．-321．3722．2ab23．2n+35=13124．答案:4三、解答题25．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；(2）0.31；(3）0.31；(4）0.326．解：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中，∵EF ⊥CE ，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD ． 又∠FAE=∠EDC=90°，EF=EC ，∴Rt △AEF ≌Rt △DCE ．∴AE=CD ． AD=AE+4．∵矩形ABCD 的周长为32 cm ，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6 (cm ）． 27．（1）△BCM ≌△NCA ，AN ＝BM ；（2）△BCF ≌△NCE ，∴CF=CE ，∵∠ECF=60°， ∴△CEF 为等边三角形；（3）图略，第(1)小题的结论仍然成立，第 (2)小题的结论不成立．28．(1) 2 ,-1；(2)，222n+124x y x ny n +=⎧⎨-=⎩，2n ，(21)n --； (3)由题意得20(9)10910a b b +-=⎧⎨+=⎩和20(9)109a b b +-=⎧⎨+=-⎩，解得：1110a b =⎧⎨=⎩和111a b =⎧⎨=-⎩，∴方程组21110100x y x y +=⎧⎨-=⎩ 符合(2)中的规律，方程组2111x y x y +=⎧⎨+=⎩不符合(2)中的规律. 29．分两种情况：若OC 在∠AOB 内部，则∠AOC=30°；若OC 在∠AOB 外部，则∠AOC=120°30．(1)40； (2) 1.5。
2020年江苏省常州市中考数学试卷梳理
2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020•常州）2的相反数是（）A．﹣2B．−12C．12D．22．（2分）（2020•常州）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．（2分）（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．（2分）（2020•常州）8的立方根为（）A．2√2B．±2√2C．2D．±25．（2分）（2020•常州）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1 6．（2分）（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（2分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．68．（2分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2√2B．4C．3√2D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2020•常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．（2分）（2020•常州）若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．（2分）（2020•常州）分解因式：x3﹣x＝．13．（2分）（2020•常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是．14．（2分）（2020•常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．（2分）（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．（2分）（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF ＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）（2020•常州）解方程和不等式组：（1）xx−1+21−x=2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6．21．（8分）（2020•常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 ； （2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）（2020•常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是 ；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：∠E ＝∠F ；（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．24．（8分）（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．28．（10分）（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x 轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．2020年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020•常州）2的相反数是（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2【解答】解：2的相反数是﹣2． 故选：A ．2．（2分）（2020•常州）计算m 6÷m 2的结果是（ ） A ．m 3B ．m 4C ．m 8D ．m 12【解答】解：m 6÷m 2＝m 6﹣2＝m 4． 故选：B ．3．（2分）（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形， 则可得出该几何体是四棱柱． 故选：C ．4．（2分）（2020•常州）8的立方根为（ ） A ．2√2B ．±2√2C ．2D ．±2【解答】解：8的立方根是√83=√233=2， 故选：C ．5．（2分）（2020•常州）如果x ＜y ，那么下列不等式正确的是（ ） A ．2x ＜2yB ．﹣2x ＜﹣2yC ．x ﹣1＞y ﹣1D ．x +1＞y +1【解答】解：A 、∵x ＜y ，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．6．（2分）（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．7．（2分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH=12BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．8．（2分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2√2B．4C．3√2D．6【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD=√2，∵S△ABD=12BD⋅AE=2，BD=√2，∴AE＝2√2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A（m，√2），则D（m﹣2√2，3√2），∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k=√2m＝（m﹣2√2）×3√2，解得m＝3√2，∴k=√2m＝6．故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2020•常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．10．（2分）（2020•常州）若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．11．（2分）（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×103．【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．12．（2分）（2020•常州）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．13．（2分）（2020•常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是k＞0．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．14．（2分）（2020•常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．15．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．16．（2分）（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，√3）．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA=12AD=12×2=1，OD=√22−12=√3，∴C（2，√3），故答案为：（2，√3）．17．（2分）（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝12．【解答】解：连接CG ， 在正方形ACDE 、BCFG 中， ∠ECA ＝∠GCB ＝45°， ∴∠ECG ＝90°， 设AC ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝2√2，CG =√2， ∴tan ∠GEC =CG EC =12， 故答案为：12．18．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝6√2，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若BF ＝3DG ，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 4或2 ．【解答】解：如图，过点B 作BT ⊥BF 交ED 的延长线于T ，过点B 作BH ⊥DT 于H ．∵DG ⊥BF ，BT ⊥BF ，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3√2，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH=BTBF=DGBF=13，∴THBH =13，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．20．（8分）（2020•常州）解方程和不等式组： （1）x x−1+21−x=2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6．【解答】解：（1）方程两边都乘以x ﹣1得：x ﹣2＝2（x ﹣1）， 解得：x ＝0，检验：把x ＝0代入x ﹣1得：x ﹣1≠0， 所以x ＝0是原方程的解， 即原方程的解是：x ＝0； （2）{2x −6＜0①−3x ≤6②，∵解不等式①得：x ＜3， 解不等式②得：x ≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x ＜3．21．（8分）（2020•常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 100 ； （2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人）， 则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得： 2000×15100=300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22．（8分）（2020•常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是13；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种， ∴P （和为奇数）=46=23．23．（8分）（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：∠E ＝∠F ；（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．【解答】证明：（1）∵EA ∥FB ， ∴∠A ＝∠FBD ， ∵AB ＝CD ， ∴AB +BC ＝CD +BC ， 即AC ＝BD ，在△EAC 与△FBD 中， {EA =FB∠A =∠FBD AC =BD， ∴△EAC ≌△FBD （SAS ）， ∴∠E ＝∠F ；（2）∵△EAC ≌△FBD ， ∴∠ECA ＝∠D ＝80°， ∵∠A ＝40°，∴∠E ＝180°﹣40°﹣80°＝60°， 答：∠E 的度数为60°．24．（8分）（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？ 【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，依题意，得：{x +3y =262x +y =22，解得：{x =8y =6．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元． （2）设购买m 千克苹果，则购买（15﹣m ）千克梨， 依题意，得：8m +6（15﹣m ）≤100， 解得：m ≤5．答：最多购买5千克苹果．25．（8分）（2020•常州）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8x （x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ． （1）求a 的值及正比例函数y ＝kx 的表达式； （2）若BD ＝10，求△ACD 的面积．【解答】解：（1）把点A （a ，4）代入反比例函数y =8x （x ＞0）得， a =84=2， ∴点A （2，4），代入y ＝kx 得，k ＝2， ∴正比例函数的关系式为y ＝2x ， 答：a ＝2，正比例函数的关系式为y ＝2x ； （2）当BD ＝10＝y 时，代入y ＝2x 得，x ＝5， ∴OB ＝5，当x ＝5代入y =8x 得，y =85，即BC =85， ∴CD ＝BD ﹣BC ＝10−85=425，∴S △ACD =12×425×（5﹣2）＝12.6， 26．（10分）（2020•常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． （1）点F 到直线CA 的距离是 1 ；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为π12；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE ＝OB 时，求OF 的长．【解答】解：（1）如图1中，作FD ⊥AC 于D ，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． ∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ， ∴∠ACF ＝30°， ∴∠BAC ＝∠FCD ， 在△ABC 和△CDF 中， {∠BAC =∠FCD∠ABC =∠CDF AC =CF，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH=30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12．故答案为π12．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC=√3EF=√3，EH=√32，CH=√3EH=32，在Rt△BOC中，OC=√OB2+BC2=√1+x2，∴OH＝CH﹣OC=32−√1+x2，在Rt△EOH中，则有x2＝（√32）2+（32−√1+x）2，解得x=√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC=1+(73)2=43，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2−43=23．27．（10分）（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为6；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y=√3x+4交x轴于F（−4√33，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF=4√3 3∴tan∠FEO=OFOE=√33，∴∠FEO＝30°，∴OH=12OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2√2，EN•NH＝4√5，∴NH=√10，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN=√22+42=2√5，∴HM =√MN 2−NH 2=√20−10=√10， ∴△MNH 是等腰直角三角形， ∵MN 的中点K （0，2）， ∴KN ＝HK ＝KM =√5， ∴H （﹣2，3），把H （﹣2，3），M （1，4）代入y ＝kx +b ，则有{k +b =4−2k +b =3，解得{k =13b =113， ∴直线l 的解析式为y =13x +113， 当k ＜0时，同法可知直线i 经过H ′（2，1），可得直线l 的解析式为y ＝﹣3x +7． 综上所述，满足条件的直线l 的解析式为y =13x +113或y ＝﹣3x +7．28．（10分）（2020•常州）如图，二次函数y ＝x 2+bx +3的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点C （1，0），且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b ＝ ﹣4 ；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若∠CQD ＝∠ACB ，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +3的图象过点C （1，0）， ∴0＝1+b +3， ∴b ＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC=CDBC=√232=13=tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD ＝∠ACB ， ∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点， ∴0＝x 2﹣4x +3， ∴x 1＝1，x 2＝3， ∴点P （3，0）；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF ＝QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF ＝QH ， ∴CF ＝CQ ， ∴∠CFD ＝∠CQD ， ∴∠CQD ＝∠ACB ， ∵CH ⊥BD ，∵点B （4，3），点D （2，﹣1）， ∴直线BD 解析式为：y ＝2x ﹣5， ∴点F （52，0），∴直线CH 解析式为：y =−12x +12， ∴{y =−12x +12y =2x −5，解得{x =115y =−35，∴点H 坐标为（115，−35），∵FH ＝QH ， ∴点Q （1910，−65），∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43，联立方程组{y =−43x +43y =x2−4x +3，解得：{x 1=1y 1=0或{x 2=53y 2=−89，∴点P （53，−89）；综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A （0，3），点C （1，0）， ∴直线AC 解析式为：y ＝﹣3x +3， ∴{y =−3x +3y =2x −5， ∴{x =85y =−95， ∴点N 坐标为（85，−95），∵点H 坐标为（115，−35），∴CH 2＝（115−1）2+（35）2=95，HN 2＝（115−85）2+（−35+95）2=95，∴CH ＝HN ，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK=95，MN＝KF，∴点E的横坐标为−1 5，∴点E（−15，185），∴MN=275=KF，∴CF=85+275−1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG=√12+(6−3)2=√10．(素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏)。