山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试数学试题
绝密★启用并使用完毕前
济南市2020年7月高二年级学情检测
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数(2)z i i =-，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数是
.12.12A i B i -+-- C.12 D.12i i +-
2．61()x x
+展开式中的常数项为 A ． 120 B ．70 C ．20 D ． 1
3．正方体1111ABCD A B C D -中， 111BB A D CD ++=
111. B. C. D.A AC BD CD BD
4．已知某种动物由出生算起活到20岁的概率为0．8，活到25岁的概率为0．4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是
A ． 0．6
B ． 0．5
C ．0．4
D ． 0．32
5．曲线()sin 2x f x e x =+在点(0，f (0))处的切线方程为
A ．y ＝2
В． y ＝2x
C ．y ＝x ＋2
D ． y ＝－x ＋2
6·若随机变量2~(6,)3
X B ，则D (2X ＋1)＝ 4
16
17
25 A. B. C. D. 3333
7．若对任意的(0,),ln(2)1x ax x ∈+∞-≥恒成立，则实数a 的最小值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．《山东省高考改革试点方案》规定： 2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B ＋，B 、C
＋、C 、D ＋、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%．7%，3%，选考科目成绩计人考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]， [81，90]，[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]．[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X ～ N （50，256），那么D 等级的原始分最高大约为 附：①若2~(,),X X N Y μ
μσσ-=，则Y ～N （0，1） ；
②当Y ~N （0，1)时，( 1.3)0.9P Y ≤≈．
A ． 23
B ． 29
C ．36
D ． 43
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分．
9．已知复数122
ω=-+，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．||1ω=
B ．2ω的虚部为2-
C ．31ω=-
D ．1ω
在复平面内对应的点在第四象限 10．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况，如下表所示：
女
则下列说法正确的是
附：参考公式：
2 2
()
()()()()
n ad bc
a c
b d a b
c d
χ
-
=
++++
，其中n＝a＋b＋c＋d．独立性检验临界值表
11
12
2
6
.
. 2.706
n
A
n n
Bχ
++
>
<
C．有90%的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关D．没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关
11．如图，棱长为1的正方体
1111
ABCD A B C D
-中，P为线段1
A B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是
A．直线
1
D P与AC所成的角可能是
6
π
B．平面
111
D A P A AP
⊥平面
C．三棱锥
1
D CDP
-的体积为定值
D．平面
1
APD截正方体所得的截面可能是直角三角形
12．已知函数32
()1
f x x ax bx
=++-，则下列结论正确的是
A、存在
x R
∈，使得
()0
f x=
B．a＝1时，点（0，－1）是函数f（x）图象的对称中心
C．b＜0时，f(x)在R上存在减区间
D．b＜0时，若f(x)有且仅有两个零点
12
,x x，且
12
x x
<，则
12
2x x a
+=-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量(2,1,6),(1,,3)
λ
=-=
m n，且m n，则λ的值为________
14．某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为
________．（请用数字作答）
15．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与面ABB 1A 1所成的角为________．
16．甲乙两名同学进行羽毛球比赛，采用三局两胜制，甲每局获胜的概率为p ，甲赢得比赛的概率为q ．若q ＞p ，则p 的取值范围是________；当
q －p 取得最大值时， p 的值为________（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知(12)n x -展开式中只有第5项的二项式系数最大．
（1）求展开式中含2x 的项；
(2)设2012(12)n n n x a a x a x a x -=+++
+，求123n a a a a ++++的值
18． （12分）
已知函数()(1)x f x e a x =-+．
(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间；
(2)求f (x )的极值
19．（12分）
某学校组织一次自然科学夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本．
（1）已知10名同学中有2名共青团员，求抽取的3人中至少有1名共青团员的概率；
（2）设X 表示抽取的3名同学中女生的人数，求X 的分布列及数学期望．
20．（12分）
如图，三棱锥D —ABC 中，AD ＝BD
＝2， AB ＝2，23AC =
，AC ⊥平面ABD ， AE ⊥BC 于点E ．
（1）求证：BD ⊥平面ACD ；
(2)求二面角C —AE —D 的余弦值
21．（12分）
自新型冠状病毒肺炎（COVID —19）疫情爆发以来，国家采取了强有力的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护．以下是济南市2020年1月24月～31日的累计确诊人数统计表与对应的散点图．将1月24日作为第1天，连续8天的时间作为变量x ，每天累计确诊人数作为变量y ． （1）由散点图知，变量y 与x 具有较强的线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程；
（2）经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，如果每一个健康个体被感染的概率为0．3，在一次9人的家庭聚餐中，有一位感染者参加了聚餐，记其余8人中被感染的人数为X ，求P （X ＝k ）取得最大值时k 的值．
参考公式及数据：
1
22
188211
,981,,204,46428n i i
i n i i i i i i i x y nxy b a y bx x
nx x y x x y ====-==--====∑∑∑∑
22．（12分） 已知函数1()ln ,()(1)2
x f x x x x g x e =-=-． （1）若21[,]x e e
∈，求f （x ）的最值； （2）若存在0(0,]x m ∈，使得0()()f x g m ≤ ，求实数m 的取值范围．。
山东省德州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 (含解析)
山东省德州市2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|log2x＜2}，集合B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．（0，4）B．（﹣1，2] C．（0，2] D．（﹣∞，4）2．已知实数a，b，c，满足a＝log35，3b＝4，3c＝，则（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a3．“a＜0”是“∀x∈[1，2]，ax+1＜0”为真命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到2×2列联表如表：选择“物理”选择“历史”总计男生35 20 55女生15 30 45总计50 50 100 附：K2＝P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828 由此得出的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关“B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关“C．有99.9%的把握认为“选择物理与性别有关“D．有99.9%的把握认为“选择物理与性别无关“5．在（x﹣）6的展开式中的常数项为（）A．20 B．﹣C．D．﹣6．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．7．甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则甲队战胜乙队的概率为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝e x﹣（a﹣1）x+1在（0，1）上不单调，则a的取值范围是（）A．（2，e+1）B．[2，e+1]C．（﹣∞，2]∪[e+1，+∞）D．（﹣∞，2）∪（e+1，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．2020年重新提起了地摊经济这个概念，小王对自己在2019年各月份地摊生意的收入、支出（单位：百元）情况的做了一个折线图，如图所示，下列说法中正确的是（）A．利润最高的月份是3月份和10月份B．第三季度平均收入为5000元C．收入最高值是收入最低值的2倍D．1至2月份的支出的变化率与10至11月份的支出的变化率不同10．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（）A．线性回归方程＝x+至少经过点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x n，y n）中的一个点B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数|r|的值越接近于1 C．在研究母亲身高x与女儿身高y的相关关系时，若相关系数|r|＞r0.05，则表明有95%的把握认为x与y之间具有显著线性相关关系D．设回归直线方程为＝5x﹣8，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位11．设随机变量X的分布列为，X0 1 2P a其中ab≠0．则下列说法正确的是（）A．a+b＝1 B．E（X）＝26C．D（X）先增大后减小D．D（X）有最小值12．已知定义在R上的奇函数f（x）图象连续不断，且满足f（x+2）＝f（x），则以下结论成立的是（）A．函数f（x）的周期T＝2B．f（2019）＝f（2020）＝0C．点（1，0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心D．f（x）在[﹣2，2]上有4个零点三、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分）13．曲线y＝x+e x在（0，f（0））处的切线方程为14．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案，该方案中“3”指的是语文、数学、英语为3个必选科目，“1”指的是从物理、历史2门学科中任选1门，“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，则共有种选科组合方式．15．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝a x（a＞0）且a≠1），且f（log4）＝3，则a的值为16．已知函数f（x）＝e x﹣x，g（x）＝x2﹣2mx，若对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，满足f （x1）≥g（x2），则实数m的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知（x﹣）n（n∈N*）展开式的前三项的二项式系数之和为16．（1）求n的值：（2）复数z满足|z|﹣i＝+2+i（i为虚数单位），求z．18．已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1时有极值0．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[﹣4，0]上最值．19．某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元．捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如表：员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 捐款数额120 80 215 50 130 195 300 90 200 225 （1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X，求X的分布列和数学期望．20．已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，已知g（x）＝．（1）请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（2）月产量为多少干件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润．21．某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：年份2015 2016 2017 2018 2019x 1 2 3 4 5 报考人数y30 60 100 140 170（1）经分析，y与x存在显著的线性相关性，求y关于x的线性回归方程＝x+并预测2020年（按x＝6计算）的报考人数；（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N（μ，σ2），根据往年统计数据，μ＝385，σ2＝225，录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在[385，400]之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2020年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）．参考公式和数据：＝，＝﹣，（x i﹣）（y i﹣）＝360．若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．22．已知函数f（x）＝x2﹣4x+mlnx+8，其中m＞0．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，是否存在实数a使得f（x1）≥ax2恒成立，如果存在，请求出实数a的取值范围，如果不存在，请说明理由．山东省德州市2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|log2x＜2}，集合B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．（0，4）B．（﹣1，2] C．（0，2] D．（﹣∞，4）【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，集合B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]．故选：C．2．已知实数a，b，c，满足a＝log35，3b＝4，3c＝，则（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】可得出，然后根据对数函数y＝log3x的单调性即可得出a，b，c的大小关系．解：，又，∴c＜b＜a．故选：D．3．“a＜0”是“∀x∈[1，2]，ax+1＜0”为真命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“a＜0”推不出“∀x∈[1，2]，ax+1＜0”，“∀x∈[1，2]，ax+1＜0”⇒a＜﹣⇒a＜0，从而“a＜0”是“∀x∈[1，2]，ax+1＜0”为真命题的必要不充分条件．解：“a＜0”推不出“∀x∈[1，2]，ax+1＜0”，比如a＝﹣0.1，x＝1，ax+1＝﹣0.1+1＝0.9＞0，反之，“∀x∈[1，2]，ax+1＜0”⇒a＜﹣⇒a＜0，∴“a＜0”是“∀x∈[1，2]，ax+1＜0”为真命题的必要不充分条件．4．为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到2×2列联表如表：选择“物理”选择“历史”总计男生35 20 55女生15 30 45总计50 50 100 附：K2＝P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828 由此得出的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关“B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关“C．有99.9%的把握认为“选择物理与性别有关“D．有99.9%的把握认为“选择物理与性别无关“【分析】根据K2的公式计算出结果，再与表格中的数据对比即可得解．解：由题意可知，≈9.091＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关“，或有99%的把握认为“选择物理与性别有关“．故选：A．5．在（x﹣）6的展开式中的常数项为（）A．20 B．﹣C．D．﹣【分析】根据所给的二项式写出二项式展开式的通项，整理通项到最简形式，使得x的指数等于0，求出对应的r的值，得到结果．解：∵二项式知展开式是＝∴6﹣2r＝0得r＝3，∴展开式中的常数项为＝﹣6．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式分析：在（0，1）上，函数图象在x轴下方，在（1，+∞）上，函数图象在x轴上方，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象靠近x轴，据此分析选项可得答案．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为（0，+∞），当x∈（0，1）时，lnx＜0，f（x）＝＜0，函数图象在x轴下方，当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，f（x）＝＞0，函数图象在x轴上方，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象靠近x轴，分析选项可得A符合；故选：A．7．甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则甲队战胜乙队的概率为（）A．B．C．D．【分析】甲队战胜乙队包含两种情况：①甲连胜2局，②前两局甲队一胜一负，第三局甲队胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲队战胜乙队的概率．解：甲、乙两队进行友谊赛，采取三局两胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中甲队获胜的概率为，设各局比赛相互间没有影响，甲队战胜乙队包含两种情况：①甲连胜2局，概率为p1＝（）2＝，②前两局甲队一胜一负，第三局甲队胜，概率为p2＝＝，则甲队战胜乙队的概率为p＝p1+p2＝＝．故选：C．8．若函数f（x）＝e x﹣（a﹣1）x+1在（0，1）上不单调，则a的取值范围是（）A．（2，e+1）B．[2，e+1]C．（﹣∞，2]∪[e+1，+∞）D．（﹣∞，2）∪（e+1，+∞）【分析】求导得f'（x）＝e x﹣a+1，原问题可转化为f'（x）在（0，1）上有变号零点，由于f'（x）单调递增，只需满足f'（0）•f'（1）＜0，解之即可．解：∵f（x）＝e x﹣（a﹣1）x+1，∴f'（x）＝e x﹣a+1，若f（x）在（0，1）上不单调，则f'（x）在（0，1）上有变号零点，又∵f'（x）单调递增，∴f'（0）•f'（1）＜0，即（1﹣a+1）（e﹣a+1）＜0，解得2＜a＜e+1．∴a的取值范围是（2，e+1）．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．2020年重新提起了地摊经济这个概念，小王对自己在2019年各月份地摊生意的收入、支出（单位：百元）情况的做了一个折线图，如图所示，下列说法中正确的是（）A．利润最高的月份是3月份和10月份B．第三季度平均收入为5000元C．收入最高值是收入最低值的2倍D．1至2月份的支出的变化率与10至11月份的支出的变化率不同【分析】直接利用折线图，根据关系式求出利润，平均值和变化率，从而确定结果．解：根据小王对自己在2019年各月份地摊生意的收入、支出（单位：百元）情况的做了一个折线图，①只有3月份和10月份的利润为最高3000元，其余的月份为1000元和2000元，故选项A正确．第一季度的平均收入为元，第二季度的平均收入为元，②第三季度的平均收入为元，第四季度的平均收入为元．故选项B正确．③根据折线图，2月份的收入最高为8000元，5月份的收入最低为3000元，最高收入为最低收入的倍，故选项C错误．④1至2月份的支出变化率为，10至11月份的支出变化率为，故变化率相同，故选项D错误．故选：AB．10．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（）A．线性回归方程＝x+至少经过点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x n，y n）中的一个点B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数|r|的值越接近于1 C．在研究母亲身高x与女儿身高y的相关关系时，若相关系数|r|＞r0.05，则表明有95%的把握认为x与y之间具有显著线性相关关系D．设回归直线方程为＝5x﹣8，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位【分析】由线性回归方程的特点判断A；由相关系数与变量的相关性判断B与C；由线性回归方程中的性质判断D．解：线性回归方程＝x+可能不经过（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x n，y n）中的任何一个点，故A错误；若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数|r|的值越接近于1，故B正确；在研究母亲身高x与女儿身高y的相关关系时，若相关系数|r|越接近1，则线性相关关系越强，而不能根据|r|＞r0.05来判断线性相关的把握，故C错误；设回归直线方程为＝5x﹣8，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位，故D正确．故选：BD．11．设随机变量X的分布列为，X0 1 2P a其中ab≠0．则下列说法正确的是（）A．a+b＝1 B．E（X）＝26C．D（X）先增大后减小D．D（X）有最小值【分析】利用分布列的性质以及期望与方差，列出表达式，判断选项的正误即可．解：由题意可知a+＝1，即a+b＝1，所以A正确；E（X）＝＝，所以B不正确；D（X）＝a（0﹣）2+（1﹣）2+（2﹣）2＝，b∈（0，1），D′（X）＝b2﹣+，D′（X）＝b2﹣+是二次函数，令b2﹣+＝0，解得b＝∈（0，1），所以b∈（0，），D′（0）＞0，函数是增函数，b∈（，1），D′（0）＜0，函数是减函数，所以D（X）先增大后减小，所以C正确；D不正确；故选：AC．12．已知定义在R上的奇函数f（x）图象连续不断，且满足f（x+2）＝f（x），则以下结论成立的是（）A．函数f（x）的周期T＝2B．f（2019）＝f（2020）＝0C．点（1，0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心D．f（x）在[﹣2，2]上有4个零点【分析】求出函数的周期判断A，求出函数的值判断B，函数的对称性判断C，函数的零点个数判断D．解：定义在R上的奇函数f（x）图象连续不断，且满足f（x+2）＝f（x），所以函数的周期为2，所以A正确；f（﹣1+2）＝f（﹣1），即f（1）＝f（﹣1）＝﹣f（1），所以f（1）＝f（﹣1）＝0，所以f（2019）＝f（1）＝0，f（2020）＝f（0）＝0，所以B正确；所以C正确；f（x）在[﹣2，2]上有f（﹣2）＝f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝0，有5个零点，所以D不正确；故选：ABC．三、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分）13．曲线y＝x+e x在（0，f（0））处的切线方程为y＝2x+1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．解：由y＝x+e x，得y′＝1+e x，∴，又f（0）＝1，∴曲线y＝x+e x在（0，f（0））处的切线方程为y＝2x+1．故答案为：y＝2x+1．14．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案，该方案中“3”指的是语文、数学、英语为3个必选科目，“1”指的是从物理、历史2门学科中任选1门，“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，则共有12种选科组合方式．【分析】根据题意，分2步进行分析：①从物理、历史2门学科中任选1门，②从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，语文、数学、英语为3个必选科目，对其他科目分2步进行分析：①从物理、历史2门学科中任选1门，有2种选法，②从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，有C42＝6种选法；则有2×6＝12种不同的选法组合；故答案为：1215．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝a x（a＞0）且a≠1），且f（log4）＝3，则a的值为【分析】根据f（x）是偶函数，并且x＞0时，f（x）＝a x，，从而可得出a2＝3，并且a＞0，从而解出a即可．解：∵f（x）是偶函数，且x＞0时，f（x）＝a x（a＞0，a≠1），∴，∴．故答案为：．16．已知函数f（x）＝e x﹣x，g（x）＝x2﹣2mx，若对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，满足f （x1）≥g（x2），则实数m的取值范围为[0，+∞）．【分析】若对任意x1∈R，存在x2[1，2]，满足f（x1）≥g（x2），则f（x）min≥g（x）min，再求函数最值解不等式即可求得m的取值范围．解：若对任意x1∈R，存在x2[1，2]，满足f（x1）≥g（x2），则f（x）min≥g（x）min，f′（x）＝e x﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以；当1≤x≤2时，因为g（x）是二次函数，对称轴为x＝m，下面对m进行分类讨论，①当m＜1时，g（x）在区间[1，2]上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝1﹣2m，因为f（x）min≥g（x）min，于是1≥1﹣2m⇒m≥0⇒0≤m＜1；②当1≤m≤2时，g（x）在区间（1，m）上单调递减，在区间（m，2）上单调递增，所以，因为f（x）min≥g（x）min，于是1≥﹣m2，显然成立，故1≤m≤2；③当m＞2时，g（x）在区间[1，2]上单调递减，所以g（x）min＝g（2）＝4﹣4m，因为f（x）min≥g（x）min，于是1≥4﹣4m⇒m≥⇒m＞2；综上所述，m的取值范围为[0，+∞）．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知（x﹣）n（n∈N*）展开式的前三项的二项式系数之和为16．（1）求n的值：（2）复数z满足|z|﹣i＝+2+i（i为虚数单位），求z．【分析】（1）利用前三项的二项式系数和建立方程进行求解即可．（2）利用待定系数法建立方程进行求解．解：（1）由题意知＝16，即1+n+＝16，得n2+n﹣30＝0得n＝5或n＝﹣6（舍），故n＝5．（2）设z＝x+yi，x，y∈R，则方程等价为|z|﹣i＝+2+3i，即﹣i＝x﹣yi+2+3i，即﹣x﹣2+（y﹣4）i＝0，得﹣x﹣2＝0且y﹣4＝0，得x＝3，y＝4，即z＝3+4i．18．已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1时有极值0．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[﹣4，0]上最值．【分析】（1）已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝1处有极值0，即f（﹣1）＝0，f′（﹣1）＝0，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．解：（1）∵f′（x）＝3x2+6ax+b，函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1处有极值0，∴f（﹣1）＝0，f′（﹣1）＝0∴﹣1+3a﹣b+a2＝0，3﹣6a+b＝0．解得a＝2，b＝9；（2）由（1）得：f（x）＝x3+6x2+9x+4，∴f′（x）＝3x2+12x+9∴由f′（x）＝3x2+12x+9＞0，得x∈（﹣∞，﹣3）或（﹣1，+∞）由f′（x）＝3x2+12x+9＜0得x∈（﹣3，﹣1），∴函数f（x）的单调增区间为：[﹣4，﹣3），（﹣1，0]，减区间为：（﹣3，﹣1）．∴f（x）的极小值：f（﹣1）＝0，极大值为：f（﹣3）＝﹣27+54﹣27+4＝4．19．某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元．捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如表：员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 捐款数额120 80 215 50 130 195 300 90 200 225 （1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用古典概型、排列组合能求出选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率．（2）10名员工中捐款数额林于200元的有3人，则随机数量X的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．解：（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人，故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：P＝＝．（2）由题意知10名员工中捐款数额林于200元的有3人，则随机数量X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0 1 2 3PE（X）＝＝．20．已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，已知g（x）＝．（1）请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（2）月产量为多少干件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润．【分析】（1）直接由题意分段写出月利润y关于月产量x的函数解析式；（2）分别利用导数和基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．解：（1）由题意，当0＜x≤10时，y＝．当x＞10时，y＝．∴；（2）①当0＜x≤10时，y，令y′＝0，可得x＝9，当x∈（0，9）时，y′＞0，当x∈（9，10]时，y′＜0．∴x＝9时，y max＝28.6（万元）；②当x＞10时，y＝148﹣2（）（万元）．当且仅当x＝时取等号．综①②知，当x＝9时，y取得最大值28.6万元．故当月产量为9千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为28.6万元．21．某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：年份2015 2016 2017 2018 2019x 1 2 3 4 5 报考人数y30 60 100 140 170 （1）经分析，y与x存在显著的线性相关性，求y关于x的线性回归方程＝x+并预测2020年（按x＝6计算）的报考人数；（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N（μ，σ2），根据往年统计数据，μ＝385，σ2＝225，录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在[385，400]之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2020年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）．参考公式和数据：＝，＝﹣，（x i﹣）（y i﹣）＝360．若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求，取x＝6求得y值即可；（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布N（385，152），求出P（X＞400），乘以208可得直接录取人数，再求出[385，400]之间的录取人数，则答案可求．解：（1），，，＝．．∴y关于x的线性回归方程为．当2020年即x＝6时，人．即预测2020年的报考人数为208人；（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布N（385，152），则400＝385+15，P（X＞400）＝．直接录取人数为208×0.1587＝33.01≈33人．[385，400]之间的录取人数为208×人．∴预测2020年该专业录取的大约人数是33+57＝90人．22．已知函数f（x）＝x2﹣4x+mlnx+8，其中m＞0．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，是否存在实数a使得f（x1）≥ax2恒成立，如果存在，请求出实数a的取值范围，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）求导得f'（x）＝，定义域为（0，+∞），令g（x）＝x2﹣4x+m，然后结合二次函数的性质，分m≥4和0＜m＜4两类讨论g（x）（或f'（x））与0的大小关系即可得解．（2）由（1）可知，0＜m＜4，x2＝4﹣x1，m＝x1•（4﹣x1）；原问题等价于a≤恒成立；而＝（4﹣x1）+x1•lnx1，x1∈（0，2），于是构造函数h（t）＝（4﹣t）+t•lnt，t∈（0，2），只需满足a≤h（t）min，于是再利用导数求出h（t）在（0，2）上的最小值即可．解：（1）定义域为（0，+∞），f'（x）＝x﹣4+＝，令g（x）＝x2﹣4x+m，①当△＝16﹣4m≤0，即m≥4时，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）单调递增；②当△＝16﹣4m＞0，即0＜m＜4时，令g（x）＝0，则x1＝，x2＝，且0＜x1＜x2，在（0，x1）和（x2，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；在（x1，x2）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上所述，当m≥4时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；当0＜m＜4时，f（x）在（0，，）和（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜4，又x1，x2是x2﹣4x+m＝0的两个根，则x1+x2＝4，x1•x2＝m，∴x2＝4﹣x1，m＝x1•（4﹣x1）．若f（x1）≥ax2恒成立，则a≤恒成立，而＝＝＝（4﹣x1）+x1•lnx1，由（1）知，x1＝，∴x1∈（0，2）．令h（t）＝（4﹣t）+t•lnt，t∈（0，2），只要a≤h（t）min即可．h'（t）＝lnt+，令h'（t）＜0，则t∈（0，），令h'（t）＞0，则t∈（，2），∴h（t）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增，∴h（t）min＝h（）＝2﹣．∴存在a≤2﹣，使得f（x1）≥ax2恒成立．。
山东省烟台市2019-2020学年高二数学下学期期中试题【含解析】
山东省烟台市2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题1.已知为虚数单位，若复数满足，则的虚部为（ ）i z 132z ii i +=-+z A. B. C. D. 2i -2-2i2【答案】D 【解析】【分析】设，利用复数的乘除运算以及复数相等求出，再由共轭复数的概念(),z x yi x R y R =+∈∈z 即可求解.【详解】设，(),z x yi x R y R =+∈∈()()113232z ii x yi i i i i+=-⇒++=-++，()15x y i i⇒++=- ，解得，511x y =⎧∴⎨+=-⎩52x y =⎧⎨=-⎩所以，即.52z i =-52z i =+故选：D【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2.位女生和位男生站成一排照相，其中男生不能站在一起的排法种数为（ ）32A. B. C. D. 7260363【答案】A 【解析】【分析】用插空法求解．【详解】先排3位女生，再把2位男生插入空档中，因此排法种数．323472A A =故选：A ．【点睛】本题考查排列的应用，对不相邻元素排列用插空法，相邻元素用捆绑法．3.某教育局安排名骨干教师分别到所农村学校支教，若每所学校至少安排名教师，且每431名教师只能去所学校，则不同安排方案有（ ）A. 种 B. 种C. 种D. 种6243672【答案】C 【解析】【分析】首先从名骨干教师任取名，分成三组，然后三组全排即可求解.42【详解】由题意，先从名骨干教师任取名共有种取法，4224C 所以不同安排方案有：.2343632136C A =⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了组合数、排列数的计算，属于基础题.4.若的展开式中项的系数是，则实数的值是（）6mx ⎛- ⎝3x 240m A.C. D.22±【答案】D 【解析】【分析】利用二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：6mx ⎛-⎝，36662166()((2)r rrr r r rr T C mx C m x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅因为的展开式中项的系数是，6mx ⎛- ⎝3x 240所以当时，有成立，3632r -=66(2)240r r rC m -⋅⋅-=解得，因此有2r =26226(2)240C m m -⋅⋅-=⇒=故选：D【点睛】本题考查了已知二项式展开式中某项的系数求参数问题，考查了数学运算能力.5.甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过场即获胜的概率0.60.54是（ ）A. B. C. D. 0.180.210.390.42【答案】C 【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是：3:1．()()()10.60.610.50.50.610.60.50.510.60.60.50.50.21P =⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯+-⨯⨯⨯=甲队以获胜的概率是：3:020.60.60.50.18P =⨯⨯=则甲队不超过场即获胜的概率4120.210.180.39P P P =+=+=故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．6.已知随机变量，，其正态分布曲线如图所示，则下列说()21~0.4,X N δ()22~0.8,Y N δ法错误的是（ ）A. ()()0.40.8P X P Y ≥=≥B.()()00P X P Y ≥=≥C. 的取值比的取值更集中于平均值左右X Y D. 两支密度曲线与轴之间的面积均为x 1【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布曲线特征以及几何意义逐一判断选择.【详解】,所以A 正确；()()()()110.40.8=0.40.822P X P Y P X P Y ≥=≥∴≥=≥Q ，由图可得，所以B 错误；()()00P X P Y ≥>≥由图可得曲线在均值附近图象比曲线在均值附近图象更陡，所以的取值比X 0.4Y 0.8X 的取值更集中于平均值左右，即C 正确；Y 两支密度曲线与轴之间的面积都等于所有概率和，即均为，所以D 正确；x 1故选：B【点睛】本题考查正态分布曲线相关概念与性质，考查基本分析判断能力，属基础题.7.根据环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是，连续两0.25天为轻度污染的概率是，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空0.1气质量也为轻度污染的概率是（ ）A B. C. D. 0.40.250.10.05【答案】A 【解析】【分析】首先设事件：一天的空气质量为轻度污染，事件：随后一天的空气质量也为轻度污染，A B 根据题意得到，，再代入条件概率公式计算即可.()0.25P A =()0.1P AB =【详解】令事件：一天的空气质量为轻度污染，A 事件：随后一天的空气质量也为轻度污染，B 由题知：，.()0.25P A =()0.1P AB =所以.()0.1(|)0.4()0.25P AB P B A P A ===故选：A【点睛】本题主要考查条件概率，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.8.设，其中，且，则（ ）()~4,X B p 112p <<()8227P X ==()3P X ==A. B. C. D. 88116818273281【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布概率公式化简求得，再根据二项分布概率公式求结果.()8227P X ==p 【详解】()~4,X B p ∴Q ()222224842(1)(1)2781P X C p p p p ==-=∴-=1221(1)293p p p p <<∴-=∴=Q()3313421323(1)4(3381P X C p p ==-=⨯⨯=故选：D【点睛】本题考查二项分布概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.二、多项选择题9.下列叙述正确的是（ ）A. 相关关系是一种确定性关系，一般可分为正相关和负相关B. 回归直线一定过样本点的中心(),x yC. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好2R 0.982R 0.80D. 某同学研究卖出的热饮杯数与气温（℃）时，一定可卖出杯热饮y x 142【答案】BC 【解析】【分析】根据相关关系的概念，以及回归直线方程的特征，以及相关系数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】相关关系不是确定性关系，当两个变量线性相关时，一般可分为正相关和负相关，所以A 不正确；回归直线一定过样本点的中心，所以B 是正确的；(),x y 在回归分析中，相关系数越大，两个变量的相关性越强，所以为的模型比为2R 0.982R 的模型拟合的效果好，所以C 正确；0.80某同学研究卖出的热饮杯数与气温（℃）时，预测可卖出杯热饮，而不是一定卖出y x 142杯热饮，所以D 不正确142故选：BC.【点睛】本题主要考查了线性相关关系的概念及判定，以及回归直线的特征及应用，属于基础题.10.某课外兴趣小组通过随机调查，利用残联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性22⨯2K 别有关.计算得，经查阅临界值表知，则下列判断正确26.748K =()2 6.6350.010P K ≥=的是（ ）A. 每个数学成绩优秀的人当中就会有名是女生1001B. 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010C. 有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”99%D. 在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”1%【答案】CD 【解析】【分析】根据独立性检验的思想方法进行判断.【详解】因为，所以有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”26.748 6.635K =≥99%即在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.1%故选：CD【点睛】本题考查独立性检验的基本思想及其初步应用，属于基础题.11.袋内有大小完全相同的个黑球和个白球，从中不放回地每次任取个小球，直至取到231白球后停止取球，则（ ）A. 抽取次后停止取球的概率为235B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C. 取球次数的期望为ξ2D. 取球次数的方差为ξ920【答案】BD 【解析】【分析】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下ξξ123ξ的概率，可判断出A 选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为，可判断出B 选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变()()12P P ξξ=+=量的期望和方差，可判断C 、D 选项的正误，综合可得出结论.ξ【详解】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，ξξ123则，，.()315P ξ==()23325410P ξ==⨯=()21135410P ξ==⨯=对于A 选项，抽取次后停止取球的概率为，A 选项错误；2()3210P ξ==对于B 选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B 选项正确；()()3391251010P P ξξ=+==+=对于C 选项，取球次数的期望为，C 选项错误；ξ()3313123510102E ξ=⨯+⨯+⨯=对于D 选项，取球次数的方差为ξ，D 选项正确.()22233333191232521021020D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BD.【点睛】本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量的数学期望与方差的计算，根据题意得出随机变量的概率分布是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12.某班级的全体学生平均分成个小组，且每个小组均有名男生和多名女生.现从各个小64组中随机抽取一名同学参加社区服务活动，若抽取的名学生中至少有一名男生的概率为6，则（ ）728729A. 该班级共有名学生36B. 第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为23C. 抽取的名学生中男女生数量相同的概率是6160729D. 设抽取的名学生中女生数量为，则6X ()43D X =【答案】ACD 【解析】【分析】设该班级每个小组共有名女生，由题意得抽取的名学生中没有男生（即6名学生全为女n 6生）的概率为，解得，结合题设即可判断A 、B ；再根据二项661147293n n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2n =分布的概率公式及其方差公式即可判断C 、D ．【详解】解：设该班级每个小组共有名女生，n∵抽取的名学生中至少有一名男生的概率为，6728729∴抽取的名学生中没有男生（即6名学生全为女生）的概率为，672811729729-=∴，解得，661147293n n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2n =∴每个小组有4名男生、2名女生，共6名学生，∴该班级共有36名学生，则A 对；∴第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为，则B 错；16抽取的名学生中男女生数量相同的概率是，则C 对；633364216066729C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭设抽取的名学生中女生数量为，则，则，则6X 16,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭ ()11461333D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭D 对；故选：ACD ．【点睛】本题主要考查二项分布及其数学期望、方差的应用，考查古典概型的概率计算公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、填空题13.若随机变量，，则______.()2~,X N μσ()()420.1P X P X >=<-=()14P X ≤≤=【答案】0.4【解析】【分析】根据题意可得随机变量服从正态分布，看出这组数据对应的正态曲线的对X ()2~1,X N σ称轴，根据正态曲线的特点，得到得到结果．1x =()()140.54P X P X ≤≤=->【详解】解：因为随机变量，，()2~,X N μσ()()420.1P X P X >=<-=所以，即1μ=()2~1,X N σ所以()()140.540.50.10.4P X P X ≤≤=->=-=故答案为：0.4【点睛】本题考查正态分布，正态曲线的特点，属于基础题．14.由组成没有重复数字的五位奇数有______个.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9【答案】13440【解析】【分析】分有0和无0两类，个位数是奇数，有0时0不能在首位．【详解】有0的五位奇数有个，无0的五位奇数有个，所以所有的五位奇数有113538C C A 1458C A ＋＝13440个．113538C C A 1458C A 故答案为：13440．【点睛】本题考查排列组合的应用，解题时对特殊元素特殊位置优先考虑．数字问题中0是特殊元素，它不能排在首位，在多位数中有0时可以先按排它的位置．15.已知对任意的恒成立，()()()()2*01211...1nn n x a a x a x a x n N =+++++++∈x ∈R 若，则______.450a a +=n =【答案】9【解析】【分析】先由赋值法求出，再利用二项式定理以及展开式的通项公式求即可.0a n 【详解】因为，()()()()2*01211...1nn n x a a x a x a x n N =+++++++∈令，1x =-则，即，()01na =-()()011n a n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数因为，450a a +=由展开式的通项为()11nn x x ⎡⎤=-++⎣⎦得：()()111n rrrr n T C x -+=-+，()()4545110n n n n C C ---+-=所以，45nn C C =解得.9n =故答案为：9【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，需熟记公式，属于中档题.16.在一次篮球投篮测试中，记分规则如下（满分为分）：①每人可投篮次，每投中一107次记分；②若连续两次投中加分，连续三次投中加分，连续四次投中加分，以此10.51 1.5类推，…，七次都投中加分.假设某同学每次投中的概率为，各次投篮相互独立，则：312（1）该同学在测试中得分的概率为______；（2）该同学在测试中得分的概率为______..28【答案】 (1). (2). 151285128【解析】【分析】得2分，只能投中2次，且不相邻；得8分，分为：前3次和后3次均投中，中间一次不中；开始连中5次，第6次不中，第7次中或第1次中，第2次不中，然后连中5次，或分别连中4次和连中2次，中间有1次不中，由此可计算概率．【详解】只得2分，只能投中2次，且不相邻，概率为；2716115()2128P C ==得8分，前3次和后3次均投中，中间一次不中；开始连中5次，第6次不中，第7次中或第1次中，第2次不中，然后连中5次，或分别连中4次和连中2次，中间有1次不中，概率为.77721115(2()2()222128P =+⨯+⨯=故答案为：；．151285128【点睛】本题考查独立重复试验的概率，解题关键是确定事件完成的方法，本题中即中与不中的次数与顺序．四、解答题17.复数对应的点在第一象限，且，复数，1z 2134z i =-+()()224sin 12cos z a i θθ=-++，.()0,θπ∈a R ∈（1）求复数；1z （2）若，求，的值.123455z i z ⎛⎫+= ⎪⎝⎭θa 【答案】（1）（2），112z i =+3πθ=2a =【解析】【分析】（1）设，根据复数的乘法运算以及复数相等即可求解.()10,0z x yi x y =+>>（2）利用复数的乘法运算以及复数相等即可求解.【详解】解：（1）设，()10,0z x yi x y =+>>则，2221234z x y xyi i =-+=-+∴，解得，或，，22324x y xy ⎧-=-⎨=⎩1x =-2y =-1x =2y =因为，，∴，所以0x >0y >12x y =⎧⎨=⎩112z i =+（2）因为，()1343412125555z i i i i⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，()()24sin 12cos 12a i i θθ-++=-+∴，解得，24sin 112cos 2a θθ⎧-=-⎨+=⎩1cos 2θ=∵，∴，()0,θπ∈3πθ=，，223sin 1cos 4θθ=-=24sin 12a θ=-=所以.2a =【点睛】本题考查了复数的四则运算、复数相等求参数，属于基础题.18.已知的展开式中所有偶数项的二项式系数和为.()2*12nx n Nx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭64（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的常数项.221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1），（2）11254500T x =-25280T x =【解析】【分析】（1）由偶数项二项式系数可得，可知展开式中间两项二项式系数最大，利用展开式通7n =项公式求解；（2）由（1）利用展开式通项公式求含和项，结合与相乘即可求解.1x -2x 212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】（1）由展开式中所有的偶数项二项式系数和为，得，641264n -=所以7n =所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.因为的展开式的通项公式为，7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()72714317712121rr r r r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以的展开式中二项式系数最大的项为，()f x 54500T x =-25280T x =（2）由（1）知，且的展开式中项为，7n =7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1x -684T x =-项为，2x 25280T x =所以展开式的常数项为,221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2841280112⨯-+⨯=【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.19.某水果经销商为了对一批刚上市水果进行合理定价，将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：试销单价（元/公斤）x 1617181920日销售量（公斤）y 1681461209056（1）已知变量具有线性相关关系，求该水果日销售量（公斤）关于试销单价（元/,x y y x 公斤）的线性回归方程，并据此分析销售单价时，日销售量的变化情况；[]16,20x ∈（2）若该水果进价为每公斤元，预计在今后的销售中，日销售量和售价仍然服从（1）中15的线性相关关系，该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的售价应x()*x N ∈定为多少元？（参考数据及公式：，，，线性回归方程，5211630ii x==∑116y =5110160iii x y==∑ y bx a =+ ，）1221ni ii ni i x y nxybx nx==-=-∑∑ a y bx =-$$【答案】（1），此水果的日销售量随着售价的增加而减小，平均售价每增加28620y x =-+一元，销量减少公斤（2）水果的销售价应定为每公斤元2819【解析】【分析】（1）根据所给数据求得线性回归方程系数，得回归方程，根据系数的正负可得日销售量的增减；（2）把利润表示为销售量的函数，利用二次函数性质可得最大值．x 【详解】解：（1），，1617181920185x ++++==116y =,210160518116281630518b-⨯⨯==--⨯ 116(28)18620a=--⨯=所以线性回归方程为：，28620y x =-+因为，所以此水果的日销售量随着售价的增加而减小，平均售价每增加一元，280b =-<销量减少公斤.28（2）设日利润为元，ω则，()()262028152810409300x x x x ω=--=-+-因为此函数图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为，1040418567x ==所以当时，取得最大值.19x =ω即该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的销售价应定为每公斤元.19【点睛】本题考查线性回归直线方程及其应用，根据所给数据直接计算即可，属于基础题．20.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：100用时（秒）[)5,10[)10,15[)15,20[)20,25男性人数1522149女性人数511177附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828（1）将用时低于秒的称为“熟练盲拧者”，不低于秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据1515调查数据完成以下列联表，并判断是否有的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性22⨯95%别有关？熟练盲拧者非熟练盲拧者男性女性（2）以这名盲拧魔方爱好者的用时不超过秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者10010的用时不超过秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过秒相互独立.那么在该兴趣1010小组在全市范围内再次随机抽取名爱好者进行测试，其中用时不超过秒的人数最有可2010能（即概率最大）是多少？【答案】（1）填表见解析；有的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关（2）人95%4【解析】【分析】（1）由已知数据直接得到列联表，计算的观测值，对照临界值表即可；22⨯2K k （2）利用服从二项分布，计算的概率最大值.ξk ξ=【详解】解：（1）由题意得列联表如下：熟练盲拧者非熟练盲拧者男性3723女性1624的观测值，2K ()210037241623 4.523 3.84153476040k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关.95%（2）根据题意得，名盲拧魔方爱好者用时不超过秒的概率为，1102011005=设随机抽取了名爱好者中用时不超过秒的人数为，则，2010ξ1~20,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭其中，；()20201455kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,1,2,...,20k =由，得()()()()11P k P k P k P k ξξξξ=≥=+⎧⎪⎨=≥=-⎪⎩201191202020121120201414555514145555k k k kk k k k k k k k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩化简得，解得；()4120214k k k k +≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩162155k ≤≤又，所以，k Z ∈4k =即这名爱好者中用时不超过秒的人数最有可能是人.20104【点睛】本题考查了独立性检验的应用、二项分布的概率最大值，运算量较大，难度中等.21.某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了名职工进行测试，100得到频数分布表如下：日组装个数[)155,165[)165,175[)175,185[)185,195[)195,205[]205,215人数6123430108（1）现从参与测试的日组装个数少于的职工中任意选取人，求至少有人日组装个数17531少于的概率；165（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数服从正态分布，Z (),169N μ近似为这人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.μ100（i ）若组装车间有名职工，求日组装个数超过的职工人数；20000198（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过的职工日工资增加元，若在18550组装车间所有职工中任意选取人，求这三人增加的日工资总额的期望.3附：若随机变量服从正态分布，则，X ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-<<+=，.()220.9545P X μσμσ-<<+=()330.9973P X μσμσ-<<+=【答案】（1）（2）（i ）人（ii ）751492043173【解析】【分析】（1）利用对立事件公式结合古典概型求解（2）（i ）先求平均数，结合公式求得185μ=σ，再求人数；（ii ）先由正态分布得日组装个数为()10.68271980.158652P X ->==以上的概率为.设三人中日组装个数超过个的人数为，增加的日工资总额为，1850.5185ξη得到服从二项分布，由求得期望ξ50ηξ=【详解】（1）设至少有人日组装个数少于为事件，则，1165A ()3123181491204C P A C =-=（2）（个）1606170121803419030200102108185100X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==又，所以，所以，，2169σ=13σ=185μ=13σ=所以.198μσ+=（i ），()10.68271980.158652P X ->==所以日组装个数超过个的人数为（人）1980.15865200003173⨯=（ii ）由正态分布得，日组装个数为以上的概率为.1850.5设这三人中日组装个数超过个的人数为，这三人增加的日工资总额为，则，185ξη50ηξ=且，所以，所以.()~3,0.5B ξ()30.5 1.5E ξ=⨯=()()5075E E ηξ==【点睛】本题考查古典概型，考查正态分布的概率，考查二项分布，考查转化化归能力，其中确定人数与工资总额的函数关系是关键，是中档题22.2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个.已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确6364回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题23目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对3则判乙胜，答错则判甲胜.（1）求甲、乙两人共答对个问题的概率；2（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；（3）求乙答对题目数的分布列和期望.【答案】（1）（2）乙胜出的可能性更大，详见解析（3）分布列见解析；期望为12718281【解析】【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式、次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式n A k 能求出甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．（2）设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类67情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，1:02:03:02:13:13:2第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，计算出甲获胜的概率，1:12:23:3再根据对立事件的概率公式求出乙获胜的概率即可判断；（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，计算出相应的概率，X X 0,1,2,3,4列出分布列，即可求出数学期望；【详解】（1）甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个；两2620人共答题，甲答对个，乙答对个.711所以甲、乙两保学生共答对个问题的概率：2.332112014242333366121133327C C C C P C C C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类67情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，1:02:03:02:13:13:2第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲获胜的概率1:12:23:3()333222122101012424233333336612112121[+]33333333C C C C P A C C C C C C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，3223300123423333361212121173+3333333405C C C C C C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设乙获胜为事件，则为对立事件，B ,A B 所以，()()1P A P B +=()()()2321405P B P A P A =-=>所以乙胜出的可能性更大.（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，X X 0,1,2,3,4()303110327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭()2321312114244233336621212613333135C C C C C P X C C C C +⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222212312212124244242333333666211222182+333333327C C C C C C C P X C C C C C C +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()33312213213324242442333333666221211763+33333405C C C C C C C P X C C C C C C +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()433433621643405C P X C C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭所以随机变量的分布列为X X01234P1272613582717640516405所以期望.()12681761618201234271352740540581E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式、次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式、二项分n A k 布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．。
山东省菏泽市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
山东省菏泽市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种D ．150种2．已知函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]22ln 2,e 2-- B ．(]22ln 2,e 2-- C ．122ln 2,2e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．122ln 2,2e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦3．将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（ ） A ．70B ．40C ．30D ．204．下列函数中，既是奇函数又是()1,1-上的增函数的是（ ） A ．2x y =B ．tan y x =C ．1y x -=D ．cos y x =5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为( )A ．22188x y -=B ．2211616x y -=C ．22188y x -=D ．22188x y -=或22188y x -=6．在区间[-1,4]内取一个数x,则22x x -≥14的概率是（） A ．12B ．13C ．25D ．357．设函数 ()'fx 是奇函数()f x 的导函数，当0x >时，()ln ()0f x x x f x '⋅+<，则使得2(1)()0x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,)8．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ~，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ） A ．23B ．13C ．1D ．09．若(21)2ax dx +=⎰，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．-2C ．2D ．-2或110．曲线3 2y x x =-+在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．21y x =+B ．21y x =-C ．2y x =-+D ．2y x =--11．若点()11P ，为圆C ：22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．210x y +-=D ．210x y ++=12．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程30x ax b ++=没有实根 B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根 D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若不等式26ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为________．14．不等式12x<的解集是_________. 15．若向量()2,1a =-与()1,b y =平行．则y =__．16．各棱长均相等的正三棱锥，其任意两个相邻的面所成的二面角的大小为________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度()%x 对亩产量y (吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量y (吨)与海水浓度()%x 之间的相关关系，用最小二乘法计算得y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ0.09y x a =-+. （1）求ˆ,,am n 的值；（2）统计学中常用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，回归效果越好，如假设23{5x yy x -==-，就说明预报变量y 的差异有85%是解释变量x 引起的.请计算相关指数2R (精确到0.01),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差ˆˆi i i ey y =-，相关指数()()22121ˆ1ni i i nii y yR y y ==-=--∑∑，其中()5210.051ii y y =-=∑）18．某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球，两个“2”号球，三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球，五个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（1）经统计，顾客消费额X 服从正态分布()150,625N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X （单位：元）在区间(]100,150内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若()~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=. （2）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列. （3）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法， 方法一：三次A 箱内摸奖机会； 方法二：一次B 箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.19．（6分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.广告投入x /万元 1 2 3 4 5 销售收益y /万元23257（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：表中的数据显示x 与y 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）若广告投入6万元时，实际销售收益为7.3万元，求残差e .附：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-20．（6分）已知1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右焦点，右焦点()2,0F c 到上顶点的距离为2，若2a =．()1求此椭圆C 的方程;()2直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为1(1,)2P 求直线l 的方程． 21．（6分）极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB|．22．（8分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球， （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功．某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C C A = 种分组方法；则一共有101525+= 种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A = 种对应方法；则安排方法共有256150⨯= 种； 故选D ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决． 2．B 【解析】 【分析】本题可转化为函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，然后对e 2xy x =-求导并判断单调性，可确定e 2xy x =-的图象特征，即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意，可知e 20x x a --=在[]1,1-恰有两个解，即函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，令()e 2xg x x =-，则()e 2xg x '=-，当()0g x '=可得ln 2x =，故1ln 2x -<<时，()0g x '<；ln 21x <<时，()0g x '>. 即()e 2xg x x =-在[]1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增，()112eg -=+，()1e 2g =-，()ln 222ln 2g =-，因为()()11g g ->，所以当22ln 2e 2a -<≤-时，函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，即22ln 2e 2a -<≤-时，函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点.故选B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 3．C 【解析】 【分析】先确定与2位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果 【详解】2位男生在同一组的不同的选法数为222262C C A 30 ，选C.【点睛】本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．B 【解析】 【分析】分别画出各选项的函数图象,由图象即可判断. 【详解】由题,画出各选项函数的图象,则选项A 为选项B 为选项C 为选项D 为由图象可知,选项B 满足既是奇函数又是()1,1-上的增函数, 故选:B 【点睛】本题考查判断函数的单调性和奇偶性,考查基本初等函数的图象与性质. 5．A 【解析】分析：先利用双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利用焦点位置确定双曲线的类型，最后利用几何元素间的等量关系进行求解. 详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a b =，又双曲线2222:x y C a b-=的一个焦点坐标为()4,0，所以2216a =，即228a b ==，即该双曲线的方程为22188x y -=.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，要注意以下等价关系的应用：等轴双曲线的离心率为2，其两条渐近线相互垂直. 6．D 【解析】 【分析】先解不等式，确定解集的范围，然后根据几何概型中的长度模型计算概率. 【详解】因为2214x x-≥，所以220x x --≤，解得[1,2]x ∈-，所以2(1)34(1)5P --==--. 【点睛】几何概型中长度模型（区间长度）的概率计算：P =目标事件对应的区间长度区间总长度.7．D 【解析】分析：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，对()g x 求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得()g x 在()0,∞+上为减函数，分析()g x 的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，结合函数的奇偶性可得在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，进而将不等式变形转化可得()2100x f x -><或()210x f x -<>，解可得x 的取值范围，即可得答案.详解：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>， 其导数()()()()()ln 1ln f x x x f x g x f x x f x x x+⋅=⋅+='⋅''， 又当0x >时，()()ln 0f x x x f x '⋅+<， 则有()()()ln 0f x x x f x g x x'+⋅'=<，即函数()g x 在()0,∞+上为减函数，又()()1ln110g f =⋅=，则在区间()0,1上，()()ln 0g x x f x =⋅>，又由ln 0x <，则()0f x <， 在区间()1,+∞上，()()ln 0g x x f x =⋅<，又由ln 0x >，则()0f x <， 则()f x 在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，又由()f x 为奇函数，则在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，()()210x f x -<⇒()2100x f x -><或()2100x f x -<>，解可得：10x -<<或1x >. 则x 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析()0f x <与()0f x >的解集. 8．B 【解析】因为(),B n p ξ~,所以()()()3001200E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩,解得90013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.即p 等于13.故选B.9．A 【解析】分析：据积分的定义计算即可．详解：()022212,0aa x dx x xa a ⎰+=+=+=解得1a =或2a =-（舍）. 故选A点睛：本题考查的知识点是定积分，根据已知确定原函数是解答的关键． 10．C 【解析】 【分析】求导，把0x =分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程. 【详解】32 2'31y x x y x =-+⇒=-将0x =代入导函数方程，得到1k =- 将0x =代入曲线方程，得到切点为：(0,2) 切线方程为：2y x =-+ 故答案选C 【点睛】本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力. 11．A 【解析】 【分析】根据题意，先求出直线PC 的斜率，根据MN 与PC 垂直求出MN 的斜率，由点斜式，即可求出结果. 【详解】由题意知，圆心的坐标为()30C ，，则12PC k =-，由于MN 与PC 垂直，故MN 的斜率2k =， 故弦MN 所在的直线方程为()121y x -=-，即210x y --=. 故选A 【点睛】本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型. 12．A 【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程30x ax b ++=没有实根．详解：结论“方程30x ax b ++=至少有一个实根”的假设是“方程30x ax b ++=没有实根．” 点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．4- 【解析】 【分析】 【详解】因为不等式26ax +<的解集62684ax ax ⇔-<+<⇔-<<()840x a a a -∴<<>（舍），48(<0)x a a a-<<, =4a ∴-，故答案为4-.14．()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 由不等式12x <得120x -<，所以210x x ->，等价于(21)0x x ->，解之得所求不等式的解集. 【详解】 由不等式12x <得120x -<，即120x x -<，所以210x x->，此不等式等价于 (21)0x x ->，解得0x <或12x >， 所以不等式的解集是：()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 故填：()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题. 15．12-【解析】【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得y 的值． 【详解】由题意，向量()2,1a =-与()1,b y =平行，所以210y +=，解得12y ． 故答案为12-． 【点睛】本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 16．1arccos 3【解析】 【分析】取AB 中点D ，连结SD 、CD ，则SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，从而∠SDC 是二面角的平面角，由此能求出结果． 【详解】解：取AB 中点D ，连结SD 、CD ，∵三棱锥S ﹣ABC 是各棱长均相等的正三棱锥， ∴SD ⊥AB ，CD ⊥AB ， ∴∠SDC 是二面角的平面角，设棱长SC ＝2，则SD ＝CD ==∴cos ∠SDC 222123SD CD SC SD CD +-===⨯⨯， ∴∠SDC ＝arccos13． 故各棱长均相等的正三棱锥任意两个相邻的面所成的二面角的大小 为arccos13． 故答案为：arccos13．【点睛】本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）0.89,0,0.01；（2）92%. 【解析】分析：（1）先求出,x y ，再代入方程0.09ˆˆy x a =-+即得ˆa 的值；再求34ˆ,ˆy y ，最后利用残差定义求m,n.(2)直接利用相关指数2R 公式求相关指数2R ，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的. 详解：（1）因为()13456755x =++++=, ()10.570.530.440.360.300.445y =++++=, 所以0.440.ˆ095a=-⨯+，即ˆ0.89a =, 所以线性回归方程为0.090.8ˆ9yx =-+, 所以3330.0950.890.44,0.440.ˆ440ˆym y y =-⨯+==-=-=, 4440.0960.890.36,0.360.35ˆ0ˆ.01yn y y =-⨯+==-=-=. （2）521ˆ()i i i y y =-∑()222220.05000.010.040.0042=-++++=, 所以相关指数20.004210.920.051R =-≈,故亩产量的变化有92%是由海水浓度引起的.点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质和残差，考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) (,)x y 称为样本点的中心，回归直线y bx a ∧=+过样本点的中心. 18． (1) 中奖的人数约为286人. (2)分布列见解析.(3) 这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.【解析】分析：（1）依题意得150μ=，2625σ=，得25σ=，消费额X 在区间(]100,150内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约()10002P X μσμ⨯-<≤，可得其中中奖的人数；（2）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服ξ从二项分布()3,0.6B ，()330.60.4k k k P k C ξ-==，()0,1,2,3k =，从而可得分布列；（3）利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论. 详解：（1）依题意得150μ=，2625σ=，得25σ=，消费额X 在区间(]100,150内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6 人数约()0.95451000210004772P X μσμ⨯-<≤=⨯≈人 其中中奖的人数约为4770.6286⨯=人（2）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数服ξ从二项分布()3,0.6B ，()330.60.4kkkP k C ξ-==，()0,1,2,3k =故的分布列为（3）A 箱摸一次所得奖金的期望为500.1200.250.310.5⨯+⨯+⨯=B 箱摸一次所得奖金的期望为500.5200.535⨯+⨯=方法一所得奖金的期望值为310.531.5⨯=， 方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； ③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19． (1)2a =. (2) 1.20.2y x =+.(3)ˆ0.1e=-. 【解析】分析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为a ，由频率直方图各小长方形的面积总和为1，可得()0.080.10.140.120.040.020.51a a +++++⋅==，从而可得结果；（Ⅱ）利用平均数公式求出平均数、利用样本中心的 性质结合公司可求得回归系数，从而可写出线性回归方程；（Ⅲ）计算当6x =时，销售收益预测值，再求残差值.详解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为a ，由频率直方图各小长方形的面积总和为1，可知()0.080.10.140.120.040.020.51a a +++++⋅==，故2a =.（Ⅱ）由题意，可知1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，根据公式，可求得26953 3.8121.2555310ˆb-⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230ˆ.2a =-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为1.2.2ˆ0yx =+. （Ⅲ）当6x =时，销售收益预测值 1.2607.4ˆ.2y =⨯+=（万元），又实际销售收益为7.3万元，所以残差7.37.4.ˆ01e=-=- 点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n niiii i x y x x y==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20．()1223144x y +=；()24670x y +-=.【解析】 【分析】()1由已知条件得22222a a abc ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，由此求出椭圆方程；()2设()11,A x y ，()22,B x y ，再结合弦AB的中点为1(1,)2P ，求直线l 的方程. 【详解】()1由题意得22222a a abc ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，所以22443a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以223144x y +=．()2设()11,A x y ，()22,B x y ，A ，B 两点在椭圆C 上，∴22113144x y +=，22223144x y +=， 弦AB 的中点为1(1,)2P ，∴1212x x +=，12122y y +=，()121212123y y x x x x y y -+=--+∴23AB k =-，∴直线l 的方程为12(1)23y x -=--，即4670x y +-=. 【点睛】本题考查椭圆方程和直线方程的求法，属于中档题. 21． (Ⅰ)28y x =；（Ⅱ）323AB =. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）两边同时乘以ρ ，利用公式cos ,sin x y ρθρθ== ，代入得到曲线C 的普通方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，转化为t 的二次方程，根据公式21AB t t =-=计算.试题解析：解：（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =. （Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-.所以12323AB t t =-==.22．（1）2 3；（1）分布列详见解析，19()36E X ．【解析】试题分析：本题主要考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，在总数中去掉左右手各取一球，所取颜色相同的情况，即所取颜色均为红色，均为黑色、均为白色的情况；第二问，先分别求出左右手所取的两球颜色相同的概率，再利用独立事件计算两次取球的获得成功的次数为0次、1次、1次的概率，列出分布列，利用计算数学期望．试题解析：（1）设事件为“两手所取的球不同色”，则依题意，的可能取值为0，1，1．左手所取的两球颜色相同的概率为右手所取的两球颜色相同的概率为所以Ｘ的分布列为：Ｘ0 1 1Ｐ考点：概率、离散型随机变量的分布列和数学期望．。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
山东省淄博市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析
山东省淄博市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设i 是虚数单位，则复数22i i -的虚部是（ ） A ．2iB ．2C ．2i -D ．2-【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【详解】 2222112i i i i i-=--=-+Q ，因此，该复数的虚部为2，故选B. 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．在数列|{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭由此归纳出{}n a 的通项公式 B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B Ð是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒【答案】D【解析】分析：演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．详解：A 在数列{a n }中，a 1=1，()111122n n n a a n a --⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，通过计算a 2，a 3，a 4由此归纳出{a n }的通项公式”是归纳推理．B 选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理C 选项“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人数超过50人”是归纳推理；；D 选项选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°，是演绎推理.综上得，D 选项正确故选：D ．点睛：本题考点是进行简单的演绎推理，解题的关键是熟练掌握演绎推理的定义及其推理形式，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理主要形式有三段论，其结构是大前提、小前提、结论． 3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=，若()13f =，则()()()123f f f +++()()42019f f ++=L （）A ．-3B ．0C ．3D ．2019 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()()4f x f x +=，函数()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()2f 、()3f 、()4f 的值，进而结合周期性分析可得答案.【详解】解：根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =-- ，又由()(2)f x f x =-，则有()(2)f x f x --=-，即(2)()f x f x +=-，变形可得：(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0,(2)(02)(0)0,(4)(0)0f f f f f f ==+=-===，又由(1)3f =，则(3)(12)(1)3f f f =+=-=-，故(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+504[(1)(2)(3)(4)]+(1)+(2)+(3)50403030f f f f f f f =+++=⨯++-=.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题.4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为$0.70.35y x =+，那么表中t 的值为（ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5【答案】A【解析】【分析】 先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t 的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t 的一次方程，解方程，得到结果．【详解】 ∵a y bx =- 由回归方程知0.350.7y x =-=2.54 4.534560.744t ++++++-⨯， 解得t=3，故选A ．【点睛】】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错． 5．定义在{|,1}x x R x ∈≠上的函数()()11f x f x -=-+，当1x >时， ()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()()11cos 22g x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（35x -≤≤）的所有零点之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】分析：首先根据()()11f x f x -=-+得到函数()f x 关于()1,0对称，再根据对称性画出函数()f x 在区间[]3,5-上的图像，再根据函数()f x 与函数()1cos π12y x =+图像的交点来求得函数()g x 的零点的和. 详解：因为()()11f x f x -=-+故函数()f x 关于()1,0对称，令()0g x =，即()11cos π22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，画出函数()f x 与函数()1cos π12y x =+图像如下图所示，由于可知，两个函数图像都关于()1,0对称， 两个函数图像一共有8个交点，对称的两个交点的横坐标的和为2，故函数()g x 的8个零点的和为428⨯=.故选D.点睛：本小题主要考查函数的对称性，考查函数的零点的转化方法，考查数形结合的数学思想方法.解决函数的零点问题有两个方法，一个是利用零点的存在性定理，即二分法来解决，这种方法用在判断零点所在的区间很方便.二个是令函数等于零，变为两个函数，利用两个函数图像的交点来得到函数的零点.6．设函数f （x ）＝222,1()log (1),1x x a x f x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，若函数f （x ）的最大值为﹣1，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】【分析】考虑x ≥1时，f （x ）递减，可得f （x ）≤﹣1，当x ＜1时，由二次函数的单调性可得f （x ）max ＝1+a ，由题意可得1+a ≤﹣1，可得a 的范围．【详解】当x ≥1时，f （x ）＝﹣log 1（x+1）递减，可得f （x ）≤f （1）＝﹣1，当且仅当x ＝1时，f （x ）取得最大值﹣1；当x ＜1时，f （x ）＝﹣（x+1）1+1+a ，当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值1+a ，由题意可得1+a ≤﹣1，解得a ≤﹣1．故选：D ．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．7．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．()15,+∞B ．[)15,+∞C ．(),6-∞D ．[)6,+∞ 【答案】B【解析】分析：首先，由()()11f p f q p q +-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x ）=21a x x -+＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a 的取值范围．详解：∵()()11f p f q p q +-+-的几何意义为：表示点（p +1，f （p+1）） 与点（q +1，f （q+1））连线的斜率，∵实数p ，q 在区间（0，1）内，故p +1 和q +1在区间（1，2）内．不等式()()11f p f q p q +-+-＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x ＞﹣1，∴f′（x ）=21a x x -+＞1 在（1，2）内恒成立． 即 a ＞2x 2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x 2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故 x=2时，y=2x 2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a ∈[15，+∞）．故选A ．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.8．若函数()ln f x x =与()()()2424g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点()1,0M 对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞ 【答案】C【解析】【分析】首先求()g x 关于点()1,0M 的函数，转化为其与ln y x =有交点，转化为ln x a x x =-，这样a 的范围就是ln x y x x=-的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题. 【详解】设(),P x y 关于()1,0M 的对称点是()2,P x y '--在()()2424g x x a x a =-+-+- 上，()()()2224224y x a x a y x ax -=--+--+-⇒=-，根据题意可知，ln y x =与()2y x ax a R =-∈有交点， 即2ln ln x x x ax a x x =-⇒=-， 设ln x y x x=- ()0x >， 221ln x x y x-+'=， 令()21ln h x x x =-+，()0x > ()120h x x x'=+>恒成立， ()h x ∴在()0,∞+是单调递增函数，且()10h =，()h x ∴在()0,1()0h x <，即0y '<，()1,+∞时()0h x > ，即0y '> ，ln x y x x=-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以当1x =时函数取得最小值1，即1y ≥ ，a ∴的取值范围是[)1,+∞. 故选C.【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求()g x 关于M ()1,0对称的函数，根据函数有交点转化为ln x a x x=-，0x >，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.9．已知a ，b R ∈，复数21i a bi i +=+，则a b ⨯=（ ） A ．2-B ．1C ．0D ．2【答案】B【解析】分析：先将等式右边化简，然后根据复数相等的条件即可.详解： 2(1)111{11i a bi i i i ia b ab +==-=++=⇒=⇒=故选B.点睛：考查复数的除法运算和复数相等的条件，属于基础题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ）A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC AD ．四边形1AEC F 不可能为梯形【答案】D【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误；对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误；对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确.故选：D11．已知定义在(1,1)-上的函数()f x 与函数1()ln 1x g x x-=+有相同的奇偶性和单调性，则不等式(1)(23)0f x f x -+-<的解集为（）A ．4(,)3-∞B ．4(1,)3C ．4(,)3+∞D ．4(,2)3【答案】D【解析】【分析】先判断()g x 的奇偶性及单调性，即可由()f x 为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.【详解】函数1()ln1xg xx-=+，定义域为()1,1-；则11()ln ln()11xxg x g xx x+--==-=--+，即()g x为奇函数，12()ln ln 111xg xx x-⎛⎫==-+⎪++⎝⎭，函数21yx=+在()1,1-内单调递减，由复合函数的单调性可知1()ln1xg xx-=+在()1,1-内单调递减，由题意可得函数()f x为在()1,1-内单调递减的奇函数，所以不等式(1)(23)0f x f x-+-<变形可得(1)(23)f x f x-<--，即(1)(32)f x f x-<-，则1111321132xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，解不等式组可得021243xxx⎧⎪<<⎪<<⎨⎪⎪>⎩，即4,23x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.12．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着三根金铜石细柱，其中细柱上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若柱上现有个金盘（如图），将柱上的金盘全部移到柱上，至少需要移动次数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为，则，利用该递推关系可求至少需要移动次数.设细柱上套着个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为. 要把最下面的第个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动次. 把第个金盘移到另一个柱子上后，再把个金盘移到该柱子上，故又至少移动次，所以， ，故，，故选B.【点睛】 本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图所示，阴影部分为曲线sin ()y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形，在圆O ：222x y π+=内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为___．【答案】34π【解析】分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线()sin y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形的 面积，利用几何概型求出概率.详解：由题圆O ：222x y π+=的面积为23,πππ⋅= 曲线()sin y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的图形的面积为sin 2sin 2cos 4,0xdx xdx x πππππ--⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 故该点取自阴影部分的概率为34π. 即答案为34π.点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.14．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【答案】12【分析】 由题得高一学生数为600301500⨯，计算即得解. 【详解】 由题得高一学生数为60030=121500⨯. 故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．已知0π⎰cos 6x dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的系数为__________． 【答案】【解析】分析：由微积分基本定理求出a ，再写出二项展开式的通项1r T +，令x 的指数为1，求得r ，从而求得x 的系数．详解：02cos()2sin()2066a x dx x ππππ=+=+=-⎰， 二项式252()x x -展开式通项为251031552()()(2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031r -=，则3r =．∴x 的系数为335(2)C 80-=-． 故答案为－1．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.16．已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>，使()f x 在[1,2]-上取得最大值3，最小值-29，则b 的值为__________．【答案】3【解析】分析：求函数的导数，可判断()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数在闭区间上[]1,2-的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的()f x 的导数()()2'31234f x ax ax ax x =-=-，0a >Q ，∴由()'0f x <解得04x <<，此时函数单调递减.由()'0f x >，解得4x >或0x <，此时函数单调递增. 即函数在[]1,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，即函数在0x =处取得极大值同时也是最大值，则()03f b ==，故答案为3.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设命题函数在单调递增； 命题方程表示焦点在轴上的椭圆.命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围.【答案】【解析】分析：化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围. 详解：由于命题函数在单调递增所以命题方程表示焦点在轴上的椭圆.所以命题“”为真命题,“”为假命题，则命题一真一假①真假时：②：综上所述：的取值范围为：点睛：本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查二次函数的单调性以及椭圆的标准方程与性质，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 18．已知a b ，为实数，函数，函数()ln g x x =．（1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）当0a b ==时，1()ln F x x x=+，定义域为(0,)+∞，由()0F x '=得1x =．列表分析得()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：1()()ln 11G x b x x =+≥-在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立．由于min ()G x 不易求，因此再进行转化：当(0,1)x ∈时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤，令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；同理当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥，令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可. 试题解析：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x'-=，令()0F x '=，得1x =． 列表：x(0,1)1(1,)+∞()F x '-+()F x↘极小值↗所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值．（2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则1()()ln 11G x b x x =+≥-在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立．1）当(0,1)x ∈时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*）则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x'-=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x '+-=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-≤+-<⨯-=，故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=， 即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故，所以（*）成立，满足题意；②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x '--+-==， 因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-⋂（，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b -->，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=， 即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以，此时（*）不成立；所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+≥-恒成立时，12b ≤；2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+≥-可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x'-=++-，(1)0H '=．令1()ln1bQ x b x bx-=++-，则2(1)1()b xQ xx'+-=．①12b≥时，1(1)1212102b x b+->-≥⨯-=，故()0Q x'>，所以函数()y Q x=在(1,)x∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q>=，即()0H x'>，从而函数()y H x=在(1,)x∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H>=，此时（**）成立；②当12b<时，ⅰ）若0b≤，必有()0Q x'<，故函数()y Q x=在(1,)x∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q<=，即()0H x'<，从而函数()y H x=在(1,)x∈+∞时单调递减，所以，此时（**）不成立；ⅱ）若12b<<，则111b->，所以当11,1xb∈-（）时，221[(1)](1)1()0b xb x bQ xx x'--+-==<，故函数()y Q x=在11,1xb∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q<=，即()0H x'<，所以函数()y H x=在11,1xb∈-（）时单调递减，所以，此时（**）不成立；所以当(1,)x∈+∞，1()()ln11G x b xx=+≥-恒成立时，12b≥；综上所述，当(0,1)(1,)x∈+∞U，1()()ln11G x b xx=+≥-恒成立时，12b=，从而实数b的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭．考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性19．在四棱锥P ABCD﹣中，1//,12AD BC AD AB DC BC====，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．（1）证明：//ED面PAB；（2）若2,3PC PA==A PC D--的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）63.【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．试题解析：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P （x ，0，z ），（z ＞0），依题意有，，解得． 则，，．设面PDC 的一个法向量为，由，取x 0=1，得．为面PAC 的一个法向量，且，设二面角A ﹣PC ﹣D 的大小为θ， 则有，即二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．20．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p (01)p <<，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率1P p =；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率22P p =，他发现12P P >，只做一道更容易及格.（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为3P ，从余下的四道题中全做并且及格的概率为4P ，求3P 及4P ；（2）由于p 的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【答案】 (1) 23(32)P p p =-，34(43)P p p =-.(2) 102p <<时，恰做一道及格概率最大；12p =时，13P P =；112p <<时，恰做三道及格概率最大. 【解析】分析：（1）根据题意得到()32331P p p p =+-，()43441P p p p =+-；（2）根据题意得到选择概率较大的即可，分13 P P >且14P P >，31P P >且34P P >，41P P >且43P P >三种情况.详解：（1）()()32233132P p p p pp =+-=-，()()43344143P p p p p p =+-=-；（2）① 13P P >且14P P >，∴102p <<；② 31P P >且34P P >，112p <<； ③ 41P P >且43P P >，无解；综上，102p <<时，恰做一道及格概率最大；12p =时，13P P =；112p <<时，恰做三道及格概率最大.点 睛：这 个 题 目 考 查 的 是 概 率 的 计 算 以 及 多 项 式 比 较 大 小 的 应 用, 分 类 讨 论 的 思 想.。
山东省淄博市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷(I)卷
山东省淄博市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·怀仁期中) 满足的集合A的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2016高二下·广州期中) 在复平面内，复数1+i与1+3i分别对应向量，其中O为坐标原点，则 =（）A .B . 2C .D . 43. （2分） (2018高三上·静安期末) “抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高一上·岳阳期中) 已知，，，则A .B .C .D .5. （2分）用数学归纳法证明1﹣ + ﹣+…+ ﹣ = + +…+ ，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（）A .B . ﹣C . ﹣D . +6. （2分） (2019高一上·儋州期中) 设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的有（）．A . 个B . 个C . 个D . 个7. （2分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A . （0，4]B . [,4]C . [,3]D . [,+)8. （2分）已知命题，命题，则是的（）A . 充分必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分而不必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）下列说法中正确的是（）A . 若为真命题，则均为真命题B . 命题“”的否定是“”C . “”是“恒成立“的充要条件D . 在中，“”是“”的必要不充分条件10. （2分）(2018·淮南模拟) 已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）=x3 ，则f（x）+27f（1﹣x）＞0的解集为（）A . ∅B . （﹣3，）C . （﹣2，）D . （， 3）12. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是关联函数，称为关联区间，若与在上是关联函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·青州模拟) 若的展开式中常数项为43，则 ________．14. （2分） (2020高三上·海淀期末) 用“五点法”作函数的图象时，列表如下：则 ________， ________.15. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 函数f（x）=x3﹣3x的极小值为________．16. （1分）已知定义在R上的函数f（x）是满足f（x）﹣f（﹣x）=0，在（﹣∞，0]上总有＜0，则不等式f（2x﹣1）＜f（3）的解集为________．三、解答题 (共3题；共20分)17. （5分）解答题（Ⅰ）若圆x2+y2=4在伸缩变换（λ＞0）的作用下变成一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆，求λ的值；（Ⅱ）在极坐标系中，已知点A（2，0），点P在曲线C：上运动，求P、A两点间的距离的最小值．18. （5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=（5﹣2m）x是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．19. （10分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为棱CC1上的动点．（1）若E为棱CC1的中点，求证：A1E⊥平面BDE；（2）试确定E点的位置使直线A1C与平面BDE所成角的正弦值是．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共3题；共20分)17-1、18-1、19-1、19-2、。
山东省济宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题含解析
山东省济宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下面有五个命题：① 函数的最小正周期是；② 终边在轴上的角的集合是；③ 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；④ 把函数；；其中真命题的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④2．复数满足(为虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）附表：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 4．以下说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．若命题:P 存在0x R ∈，使得20010x x -+<，则p ⌝:对任意x R ∈，都有210x x -+≥D ．若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题 5．已知函数()331f x x x =--，若对于区间3,2上的任意12,x x ，都有()()12f x f x t -≤，则实数t的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3D ．06．下列不等式中正确的有( )①sin ,(,0)x x x >∈-∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞ A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②7．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π8．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}9．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为A ．数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析B ．数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析C ．数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品D ．数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发10．设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]22=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）.对于给定的()*1,n n n N >∈，定义()[]()()[]()1111x nn n n x Cx x x x --+=--+，[)1,x ∈+∞.若当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数()xn f x C =的值域是(](],,a b c d ⋃（,,,a b c d R ∈），则n 的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．811．己知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．012．下列说法中：①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越弱；②回归直线ˆˆˆybx a =+过样本点中心(),x y ；③相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越不好．④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.正确．．的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知点(0,2)A ，(1,3)B -，(1,5)C -，则△ABC 的面积是________ 14．已知数据12n x ,x ,,x 的方差为1，则数据i 3x 1(i 1,2,,n)+=的方差为____.15．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列五个命题： ①曲线C 关于直线y =x 对称；②曲线C 关于点1144⎛⎫⎪⎝⎭，对称；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为4； ④当01x x ≠≠且时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负数； ⑤曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是16. 上述命题中，为真命题的是_____.（将所有真命题的编号填在横线上）16．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,1对称,()()311g x x =-+,若函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点为112220192019,,,,()()(),,x y x y x y ⋯,则()20191i j i x y =+=∑_____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：甲班（人数） 3 6 12 15 9乙班（人数） 4 7 16 12 6现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.（1）由以上统计数据填写22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助；（2）对甲乙两班60分及以下的同学进行定期辅导，一个月后从中抽取3人课堂检测，X表示抽取到的甲班学生人数，求()E X及至少抽到甲班1名同学的概率.18．《厉害了，我的国》这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图.根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了y与时间变量t的两个回归模型①：(1)ˆy bt a=+；②(2)ˆdty ce=.（1）求a，b（精确到0.01）；（2）乙求得模型②的回归方程为(2)0.180.5ˆ1ty e=，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由.附：参考公式：1221ˆni iiniit y ntybt nt==-=-∑∑，ˆˆa y bt=-，22121()1(ˆ)ni iiniiy yRy y==-=--∑∑.参考数据：y9(1)1i iit y=∑921iit=∑9(1)21(ˆ)i iiy y=-∑9(2)21(ˆ)i iiy y=-∑921()iiy y=-∑1.39 76.94 285 0.22 0.09 3.7219．（6分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知线C 的极坐标方程为：ρ＝22sin （θ+4π），过P （0，1）的直线l 的参数方程为：12312x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点． （1）求出直线l 与曲线C 的直角坐标方程． （2）求｜PM ｜2+｜PN ｜2的值．20．（6分）（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ； （2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 21．（6分）如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售情况的某项指标统计：（I ）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；（Ⅱ）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析，共选了3次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X ，求X 的分布列及数学期望 22．（8分） [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()42f x x x =++-的最小值为n . （1）求n 的值；（2）若不等式4x a x n -++≥恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】①先进行化简，再利用求周期的公式即可判断出是否正确； ②对k 分奇数、偶数讨论即可；③令h （x ）=x ﹣sinx ，利用导数研究其单调性即可； ④利用三角函数的平移变换化简求解即可．【详解】①函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，∴最小正周期T==π，∴函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①正确；②当k=2n（n为偶数）时，a==nπ，表示的是终边在x轴上的角，故②不正确；③令h（x）=x﹣sinx，则h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数h（x）在实数集R上单调递增，故函数y=sinx与y=x最多只能一个交点，因此③不正确；④把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin（2x﹣）=3sin2x的图象，故④正确．综上可知：只有①④正确．故选B．【点睛】本题综合考查了三角函数的周期性、单调性、三角函数取值及终边相同的角，利用诱导公式进行化简和利用导数判断单调性是解题的关键．2．D【解析】【分析】利用复数的四则运算法则，可求出，从而可求出在复平面内所对应的点的坐标，从而可得到答案.【详解】由题意，，则复数在复平面内所对应的点为，在第四象限.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.3．A【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得2K，与邻界值比较，即可得到结论.详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K-==⨯⨯⨯，27.89710.828K<<，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断. 4．D 【解析】 【分析】根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出,A C 正确；解方程得到解集和2x =的包含关系，结合充要条件的判定可知B 正确；根据复合命题的真假性可知D 错误，由此可得结果. 【详解】A 选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”，可知A 正确；B 选项：由2320x x -+=，解得1,2x =，因此“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要，可知B正确；C 选项：根据命题的否定可知:p ⌝对任意x ∈R ，都有210x x -+≥，可知C 正确；D 选项：由p 且q 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，因此D 不正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，等价于对于区间[﹣3，2]上 的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出 结论． 【详解】对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ， 等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ， ∵f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，∴f′（x ）=3x 2﹣3=3（x ﹣1）（x +1）， ∵x ∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减， ∴f （x ）max =f （2）=f （﹣1）=1，f （x ）min =f （﹣3）=﹣19， ∴f （x ）max ﹣f （x ）min =20， ∴t ≥20，∴实数t 的最小值是20， 故答案为A 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键． 6．B 【解析】 【分析】逐一对每个选项进行判断,得到答案. 【详解】①()sin ,,0x x x >∈-∞,设函数()sin f x x x =-,()f x 递减,()(0)0f x f >=,即sin x x >,正确②1,xe x x R ≥+∈,设函数()1xg x e x =--,()g x 在(0,)+∞递增,()g x 在(,0)-∞递减,()(0)0g x g ≥=,即1x e x ≥+,正确③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞,由②知x e x >,设函数()ln m x x x =-,()m x 在(0,1)递减,()m x 在(1,)+∞递增,()(1)10m x m ≥=>,即ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞正确 答案为B 【点睛】本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力. 7．C 【解析】 【分析】根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫++=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2+=+232k ππϕπ∴，12k πϕπ∴=+0ϕ>，∴当0k =时，min 12πϕ=，故选C【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化 8．A【解析】 【分析】 【详解】试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为()U C A B ⋂,故选A ． 考点：集合的运算 9．B 【解析】 【分析】根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。
山东省潍坊市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题含解析
山东省潍坊市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()331f x x x =--，若对于区间3,2上的任意12,x x ，都有()()12f x f x t -≤，则实数t的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0【答案】A 【解析】 【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ，等价于对于区间[﹣3，2]上 的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出 结论． 【详解】对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ， 等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x ，都有f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t ， ∵f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，∴f′（x ）=3x 2﹣3=3（x ﹣1）（x +1）， ∵x ∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减， ∴f （x ）max =f （2）=f （﹣1）=1，f （x ）min =f （﹣3）=﹣19， ∴f （x ）max ﹣f （x ）min =20， ∴t ≥20，∴实数t 的最小值是20， 故答案为A 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．2．已知x ，0y >，21x y +=，若21x y+>234m m ++恒成立，则实数m 的取值范围是A ．1m ≥-或4m ≤-B ．4m ≥或1m ≤-C ．41m -<<D ．14-<<m【答案】C 【解析】分析：用“1”的替换先解21x y+的最小值，再解m 的取值范围。
详解：()2121128x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⨯=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2034m m <+-的解集为()4,1-，故选C 点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出b aa b+的模型，再验证条件。
2019-2020学年山东省泰安市高二数学下学期期末考试数学试题
泰安市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题2020.7注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4,5S =，{}2,3,4T =，则()U ST =（ ）A ．{}1,4,5,6B ．{}11,5C ．{}4D ．{}1,2,3,4,52．已知(1)i z i +=，i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知命题12:,p x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --，则命题p 的否定是（ ）A ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x xx --B ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x x x -- C ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --< D ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x xx --<4．已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<5．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p ．某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X ．若()8D X =，(20)(30)P X P X =<=，则p =（ ） A ．0.16 B ．0.2 C ．0.8 D ．0.846．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当24x 时，()21f x x =-，则(2020)f =（ ）A ．3B ．5C ．7D ．97．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．9a B ．8a C ．9a D ．10a8．若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22ln 30x x x mx +-+成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +- B ．32e e++ C ．4 D ．21e - 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列等式正确的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++= B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m mn nA C n = D ．11m mn n A A n m+=-10．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（ ） A ．0.1q = B ．()2E X =，() 1.4D X = C ．()2E X =，() 1.8D X = D ．()5E Y =，()7.2D Y = 11．已知函数1()ln ||f x x x x=-+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 恰有2个零点B ．()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是增函数C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >，且()()120f x f x +=，则121x x =12．已知甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红1，2，3球，白球，黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．2()5P B =B ．()1511P B A = C ．事件B 与事件1A 相互独立 D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()2ln 23y x x =-++的定义域为________．14．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种（用数字作答）．第一列 第二列 第三列第一行第二行 第三行 15．已知函数1121,12()log ,1x x f x x x -⎧⎛⎫<⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩，则(0)(2)f f +=________；若[()]2f f a =，则实数a =________．（本题第一空2分，第二空3分）16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知复数5112z i i=+++，i 为虚数单位． （1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值． 18．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①第5项的系数与第3项的系数之比是14:3 ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55 ③22110n n nC C -+-=已知在n的展开式中，________． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访了男性、女性居民各50名，其中每人每天健身时间不少于1小时的称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”．已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“健身族”与“性别”有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：)20k 0.251.32320．（12分） 已知函数2()21xf x a =-+为奇函数．（1）求实数a 的值，并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()2220f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理，历史这两门科目采用原始分计分；思想政治，地理，化学，生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治，地理，化学，生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.8,36)N ．若()2~,Y N μσ，令Y μησ-=，则~(0,1)N η，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值． 附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η≈，( 1.04)0.85P η≈． 22．（12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，若()12f x mx >恒成立，求实数m 的取值范围．高二年级考试数学▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁及评分标准2020.7一、单项选择题：二、多项选择题：三、填空题：13．(1,3)- 14．12 15．1，1 16．1ln2- 四、解答题： 17．（10分） 解：（1）5112z i i=+++5(12)1(12)(12)i i i i -=+++-2i =- 3分∴||z =2z i =+ 5分 （2）由（1）知，2z i =-∵复数z 是方程20x mx n ++=的一个根∴2(2)(2)0i m i n -+-+=即(23)(4)0m n m i ++-+= 7分∴23040m n m ++=⎧⎨+=⎩8分解得45m n =-⎧⎨=⎩∴4m =-，5n = 10分 18．（12分）解：方案一：选条件①（1）1rr n r r n T C -+⎛= ⎝356(1)n rr r n C x -=- 2分由题知，4422(1)14(1)3n n C C -=-， ∴!2!(2)!144!(4)!!3n n n n -⨯=-整理得(3)(2)56n n --=，即25500n n --=，解得10n =或n =-5（舍去）． 4分 ∴10n =∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x =-=-∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =- 6分 （2）由（1）知，10n =， ∴556110(1)r rrr T C x -+=- 9分令5556r-=，解得0r =，51T x = ∴展开式中含5x 的项是第1项，51T x = 12分方案二：选条件② （1）由题意得，21212552n nnnnn nC CC C -++=+==整理得21100n n +-= 解得10n =或11n =-（舍）∴10n = 4分 ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x =-=-∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-． 6分 （2）同方案一（2） 方案三：选条件③（1）222211110n n nn n n C C C C C -++-=-==∴10n =， 4分 ∴展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第6项，555566610(1)252T C x x =-=-．∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =- 6分 （2）同方案一（2） 19．（12分）解：（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时 3分由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时， ∵1.15小时=69分钟<70分钟∴该社区不可称为“健身社区” 6分 （2）根据列联表中的数据，得到22()100(40203010) 4.762 3.841()()()()70305050n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯ 9分∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“健康族”与“性别”有关系． 12分 20．（12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R122()2121x x x f x a a +--=-=-++∵函数()f x 为奇函数 ∴()()f x f x -=-恒成立即1222121x x x a a +-=-+++恒成立 ∴()2212021x x a +-=+恒成立∴1a = 2分∴2()121x f x =-+ 设12,x x R ∈，且12x x <，则()()121222112121x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭4分 ()()()12122222121x x x x -=++∵2xy =是R 上的增函数 ∴12220xx -<∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <∴函数()f x 是R 上的增函数． 6分 （2）∵()f x 是奇函数∴()()2220f t f t tk ++->对任意的t R ∈恒成立等价于()()222f t f tk t +>-对任意的t R ∈恒成立 9分又()f x 在R 上是增函数∴222t tk t +>-对任意的t R ∈恒成立即2220t kt -+>对任意的t R ∈恒成立 10分 ∴2160k ∆=-<，即44k -<<∴实数k 的取值范围是(4,4)- 12分 21．（12分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，335310101(0)12012C P X C ====，1255310505(1)12012C C P X C ====，2155310505(2)12012C C P X C ====，35310101(3)12012C P X C ==== 3分所以，随机变量X 的分布列为∴1()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 4分 （2）①由~(75.8,36)Y N 得75.8μ=，6σ= 令75.86Y Y μησ--==，则675.8Y η=+ 设该划线分为m ，则()0.85P Y m ≈ ∴75.8(675.8)0.856m P m P ηη-⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭∵当~(0,1)N η时，( 1.04)0.85P η≈ ∴( 1.04)0.85P η-≈ 6分∴75.81.046m -≈- ∴69.56m ≈∴70m = 7分 ②由①知(71)(675.871)(0.8)(0.8)0.788P Y P P P ηηη=+=-=≈即事件“每个学生生物统考成绩不低于71分”的概率约为0.788∴~(800,0.788)B ξ，8008000()0.788(10.788)kk k P k C ξ-==- 9分由()(1)()(1)P k P k P k P k ξξξξ==-⎧⎨==+⎩得80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788)0.788(10.788)0.788(10.788)k k k k k kk k k k k kC C C C -----++-⎧--⎨--⎩ 10分 解得630.188631.188k 又k N ∈，∴631k =∴当631k =时，()P k ξ=取得最大值． 12分 22．（12分）解：（1）由题知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞222()(0)x ax f x x x-+'=> 令2()22g x x ax =-+，则216a ∆=-当0∆即44a -时，()0g x ，即()0f x '∴函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ 2分 当0>即4a <-或4a >时，令()0g x =解得x =x =若4a <-，则044a a -+<<∵0x >∴()0g x >，即()0f x '>∴函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ 4分若4a >，则044a a +->>，令()0f x '>，即()0g x >，解得04a x <<或4a x >；令()0f x '<，即()0g x <x <<．∴函数()f x 的单调递增区间为0,4a ⎛ ⎪⎝⎭，4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间为44a a ⎛+ ⎪⎝⎭．综上，当4a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为0,4a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭．单调递减区间为⎝⎭6分 （2）222()(0)x ax f x x x -+'=>若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，则1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两不等正实根由（1）知，4a >， ∴1222ax x +=>，121x x =∴1201x x <<< 8分 ()12f x mx >恒成立，即()12f x m x >恒成立()2221311111111112212ln 222ln 22ln 1f x x ax x xx x x x x xx x x -+--+===--+ 10分 令3()22ln h t t t t t =--+，则2()32ln h t t t '=-+当01t <<时，()0h t '<∴()h t 在(0,1)上为减函数∴当01t <<时，()(1)3h t h >=-∴()123f x x >-∴3m -∴实数m 的取值范围(,3]-∞- 12分。
山东省2019-2020高二数学下学期4月月考试题(含解析)
山东省济南市历城第二中学2017-2018学年高二下学期4月月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，,故选A.2.设复数满足，则=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求出z，求z模即可.【详解】因为，所以，所以，选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数模的概念，属于容易题.3.对于独立性检验，下列说法正确的是（）A. 时，有95%的把握说事件与无关B. 时，有99%的把握说事件与有关C. 时，有95%的把握说事件与有关D. 时，有99%的把握说事件与无关【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验中卡方的概念知，选B.【详解】根据独立性检验中卡方的概念知,时，有99%的把握说事件与有关选B.【点睛】本题主要考查了独立性检验中卡方的概念，属于中档题.4.等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列中,可求出结果.【详解】因为等差数列中，所以，，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列前n项和，属于中档题.5.设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若数列是等差数列，且，则的值（）A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负【答案】A【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，数列{an}是等差数列，且a3＜0，∴a2+a4=2a3＜0，a1+a5=2a3＜0，x≥0，f（x）单调递减，所以在R上，f（x）都单调递减，因为f（0）=0，所以x≥0时，f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，∴f（a3）＞0∴f（a1）+f（a5）＞0，∴f（a2）+f（a4）＞0．故选A．6.使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.7.已知变量满足约束条件，若使取得最小值的最优解有无穷多个，则实数的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出可行域，根据最优解有无穷多个，知直线与边界重合，分类讨论即可求解.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由得，若，则直线，此时取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若，则直线在轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线与直线平行时满足题意，此时，解得；若，则直线在轴上的截距取得最小值时，取得最小值，此时当直线与直线平行时满足题意，此时，解得.综上可知，或，故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划中可行域及最优解问题，以及分类讨论思想，属于中档题.8.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，求导当，当，所以函数在上增函数在上减函数，所以，即可得出结论.【详解】因为，当，当，所以函数在上增函数在上减函数，所以，，故选C.【点睛】本题主要考查了观察推理能力，函数的极值，函数的导数在单调性极值方面的应用，属于中档题.9.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（）A. 丁B. 乙C. 丙D. 甲【答案】D【解析】【分析】利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案.【详解】假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为：甲【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.10.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的增减性和奇偶性，转化，即可求解.【详解】由函数，可得，所以函数为奇函数，又，因为，所以，所以函数为单调递增函数，因为，即，所以，解得，故选D.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点.11.已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易知抛物线方程为，利用抛物线定义确定出A点坐标，求出A关于准线的对称点B，则，利用三点共线即可求出最值.【详解】由题意，椭圆，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线，抛物线的焦点坐标为，椭圆与抛物线有相同的焦点，，即，则抛物线方程为，准线方程为，，由抛物线的定义得：到准线的距离为，即点的纵坐标，又点在抛物线上，，不妨取点坐标，关于准线的对称点的坐标为，则，即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题.12.已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的反函数，则方程在上有解，即可求出k的取值范围.【详解】由题设问题可化为函数的反函数的图像与在区间上有解的问题.即方程在区间上有解，由此可得，即，所以.【点睛】本题主要考查了互为反函数的概念，以及方程有解求参数的取值范围，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列中，已知，则=________________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可求出公比，利用与的关系求解.【详解】由，即，∴，所以【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，属于中档题.14.设正实数，满足，则的最小值是．【答案】9【解析】试题分析：，所以，当且仅当时，取最小值9.考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则=_________________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，所以对称中心为，利用中心对称可求出结果.【详解】由题可得：，所以对称中心为，设上任意一点，因为关于对称，所以关于其对称的对称点为在上，且，所以，故【点睛】本题主要考查了函数的对称中心及其对称中心的性质，属于中档题.解题时，自变量和为对称中心横坐标的2倍等于1时，则对应函数值和为对称中心纵坐标和的2倍等于2，这是此类问题的解题关键.16.给出下列命题：①设表示不超过的最大整数，则；②定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知且为6的“闭集”，则这样的集合共有7个；③已知函数为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上有最小值.其中正确的命题序号是__________．【答案】①②【解析】对于①，如果，则，也就是，所以，进一步计算可以得到该和为，故①正确；对于②，我们把分成四组：，由题设可知不是“闭集”中的元素，其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”中同时出现或同时不出现，故所求的“闭集”的个数为，故②正确；对于③，因为在上的最大值为，故在上的最大值为，所以在上的最小值为，在上的最小值为，故③错．综上，填①②．点睛：（1）根据可以得到，因此，这样的共有，它们的和为，依据这个规律可以写出和并计算该和．（2）根据闭集的要求，中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算．（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角所对的边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，且，求．【答案】（Ⅰ）。