【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第一册：本章总结第四章 指数函数与对数函数
[解] (1)当 0≤t≤1 时，点 M(1,4)在线段 y＝kt 上，则 k＝4，
这时 y＝4t；
当 t≥1 时，点 M(1,4)在曲线 y＝(12)t－a 上，则(12)1－a＝4，得 a
＝3，这时
y＝(12)t－3，所以
4t0≤t≤1， f(t)＝12t－3t>1.
(2)由题意知，需 f(t)≥0.25， 当 0≤t≤1 时，由 4t≥0.25， 得 t≥116，所以116≤t≤1； 当 t>1 时，由(12)t－3≥0.25＝(12)2， 得 t≤5，所以 1<t≤5. 所以满足 f(t)≥0.25 时，116≤t≤5. 由此知，服药一次治疗疾病有效的时间为 5－116＝41156小时．
[例 6] 已知函数 f(x)＝aaxx－＋11(a>0，且 a≠1)． (1)求 f(x)的定义域和值域； (2)讨论 f(x)的单调性． [分析] 由指数函数的定义知 y＝ax(a>0，且 a≠1)的定义域 为 x∈R，且 y＝ax>0，因此在求函数值域时可由 ax>0 求 y 的取 值范围．在讨论单调性时，可由定义入手，也可由指数函数单调 性入手．
Байду номын сангаас
[例 7] 设 f(x)＝2－x，x，x≥x<00，. (1)f(x)有零点吗？ (2)设 g(x)＝f(x)＋k，为了使方程 g(x)＝0 有且只有一个根，k 应该怎样限制？ (3)当 k＝－1 时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出来，如 果没有，请说明理由； (4)请给 k 规定一个范围，使得方程 g(x)＝0 总有两个根．
专题五 指数函数、对数函数的实际应用 [例 10] 某医药研究所开发了一种新药，如果成年人按规定 的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与 时间 t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时， 治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间． [分析] 分段求函数的解析式，再利用解析式解决问题．
[例 3]
(B) A．0 C．2
方程 a－x＝logax(a>0，且 a≠1)的实数解的个数为
B．1 D．3
[解析] 本例可用数形结合法画出 y＝a－x 与 y＝logax 的图 象，观察交点个数，要注意对 a 分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论．
当 a>1 时，在同一坐标系中画出 y1＝logax 的图象和 y2＝a－x 的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当 0<a<1 时，由图象(2)知，两图象也只有一个交点．因此，不论何 种情况，方程只有一个实数解．
[例 2] 如图所示，函数 f(x)＝1＋log2x 与 g(x)＝2－x＋1 在同 一平面直角坐标系下的图象大致是( C )
[解析] 因为 f(x)＝1＋log2x，所以 f(x)的图象应由 y＝log2x 的图象沿 y 轴向上平移一个单位而得到，与 x 轴的交点为(12，0)．因 为 g(x)＝2－x＋1＝(12)x－1，所以应由 y＝(12)x 的图象沿 x 轴向右平移 一个单位而得到，故选 C.
函数 y2＝ －x的图象是由幂函数 y＝x12的图象关于 y 轴对称 得到．
由图象可知，显然 y1 与 y2 有一个交点．故选 B.
[点评] 本题所给方程不能直接求解，而是需构造两个函 数，利用数形结合可从图象上观察到两个函数图象交点的个数， 从而推出这个方程解的个数，关键是较准确地作出 y1＝log2(x＋ 2)与 y2＝ －x的图象．
第四章
指数函数与对数函数
本章总结
专题一 指数与对数的运算问题 指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识 点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考 必考内容之一，教学中应给予足够的重视．
[点评] (1)对于根式的运算结果，不强求形式的统一，但结 果绝不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指 数．(2)指、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据 幂、对数的运算法则及性质加以解决，在运用法则时要注意法则 的逆用．在进行指数、对数的运算时还要注意相互
[点评] 求定义域注意表达式中自变量 x 受限制的条件，求 值域灵活掌握并运用换元法、分离常数法、单调性法、数形结合 法、判别式法等各种方法．
专题三 函数的零点与方程的根 根据函数零点的定义，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x) ＝0 是否有实根，有几个实根．函数的零点、方程的根、函数图 象与 x 轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的 关系，可以解决函数、方程与不等式的问题． 确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二 是利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和单调性， 特别是二重根容易漏掉．
[例 4] 方程 log2(x＋2)＝ －x的实数解有( B )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
[分析] 令 y1＝log2(x＋2)，y2＝ －x，分别作出两个函数图 象，利用数形结合的方法解题．
[解析] 令 y1＝log2(x＋2)，y2＝ －x，分别画出两个函数图 象，如图所示．
函数 y1＝log2(x＋2)的图象是由函数 y＝log2x 的图象向左平 移 2 个单位长度得到．
[例 8] 已知 f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n 是 f(x)的零 点，且 m<n，则实数 a，b，m，n 的大小关系是( A )
A．m<a<b<n B．a<m<n<b C．a<m<b<n D．m<a<n<b [分析] 由 m，n 是 f(x)的零点知 f(m)＝f(n)＝0，采用数形结 合法知，f(x)的零点实际上就是(x－a)(x－b)＝1 的根，即 y＝(x －a)(x－b)与 y＝1 交点的横坐标．
[解] (1)易得 f(x)的定义域为 R. 设 y＝aaxx－＋11，解得 ax＝－yy＋－11. ① ∵ax>0，∴当且仅当－yy＋－11>0 时，方程①有解． 解－yy＋－11>0，得－1<y<1. ∴f(x)的值域为{y|－1<y<1}．
(2)f(x)＝axa＋x＋11－2＝1－ax＋2 1. ①当 a>1 时，∵y＝ax＋1 为增函数，且 ax＋1>0， ∴y＝ax＋2 1为减函数，从而 f(x)＝1－ax＋2 1＝aaxx－＋11为增函数． ②当 0<a<1 时，同理可得 f(x)＝aaxx－＋11为减函数(还可以用单 调性的定义讨论证明)．
间的转化，因此要熟练把握这些运算性质的基本特征：①同 底；②“和积”互化．
专题二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质 指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等 函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数 y＝ax，对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与 a 的取 值有密切的联系，幂函数 y＝xα 的图象与性质与 α 的取值有关， a，α 变化时，函数的图象与性质也随之改变；因此，在 a，α 的 值不确定时，要对它们进行分类讨论．
[例 5] 当 0<x≤13时，logax>8x 恒成立，则实数 a 的取值范
围是( B )
A．(0，
3 3)
B．( 33，1)
C．(1， 3)
D．( 3，2)
[解析] ∵logax>8x，∴logax>0，而 0<x≤13，∴0<a<1，作出 y＝8x 与 y＝logax 的大致图象如图所示，则只需满足 loga13>813＝2 ＝logaa2，解得 a> 33，∴ 33<a<1，故选 B.
[解析] 作出 y＝1 与 y＝(x－a)(x－b)的图象如图． 由图得知 m<a<b<n.
专题四 函数与方程思想的应用 函数思想，是用运动的和变化的观点，集合与对应的思想， 去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函 数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得 解决． 方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建 立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解决． 本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程 f(x)＝0 的实数根，就是确定函数 y＝f(x)的零点，就是求函数 y＝f(x)的 图象与 x 轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模， 解决实际问题．
[例 9] 设 a∈R，试讨论关于 x 的方程 lg(x－1)＋lg(3－x) ＝lg(a－x)的实根的个数．
x－1>0， [解] 原方程⇔a3－－xx>>00，，
x－13－x＝a－x.
即x3－－1x>>00，， x－13－x＝a－x.
整理，得－x2＋5x－3＝a(1<x<3)．
在同一坐标系中分别作出函数 y＝a 及 y＝－x2＋5x－3，x ∈(1,3)的图象，如图所示：
[解] (1)画出 f(x)的图象，如图 1，从图象可以看出，图象 与 x 轴没有交点，f(x)没有零点．
(2)从图 1 可以看出 f(x)>0. 对于 g(x)＝f(x)＋k，为了使方程 g(x)＝0 有且只有一个根，f(x) 的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于 1，否则 g(x)＝0 就 有两个根了． k 应该限制为－1<k<0.几何解释如图 2. (3)有，x＝0，它来源于 2x－1＝0；x＝－1，它来源于－x－1 ＝0. (4)规定 k 的范围是{k|k≤－1}．
【课件】4.4.1、4.4.2 对数函数的概念、图象和性质(课件)(新教材人教版必修第一册)
解：(1)对数函数 y＝log2x， 因为它的底数 2>1， 所以它在(0，＋∞)上是增函数． 又 3.4＜8.5，于是 log23.4<log28.5. (2)对数函数 y＝log0.3x， 因为它的底数 0<0.3<1， 所以它在(0，＋∞)上是减函数． 又 1.8＜2.7，于是 log0.31.8>log0.32.7.
1．比较对数值大小的注意点 (1)比较两个同底数的对数大小首先要根据对数的底数来判断对 数函数的单调性，然后比较真数大小，再利用对数函数的单调性判 断两个对数值的大小．
(2)底数中含有参数时，需要对底数进行讨论． (3)对于不同底的对数，可以估算范围，如 log22<log23<log24，即 1<log23<2，从而借助中间值比较大小． 2．求 y＝logaf(x)型函数的值域的注意点 (1)先求定义域，进而确定 f(x)的取值范围； (2)利用对数函数 y＝logax 的单调性求出 logaf(x)的取值范围．
x∈[1，＋∞)时，y∈ 的特点
_[_0_，__＋__∞_)__
x∈[1，＋∞)时，y∈_(_－__∞_，__0_]_
对称性 函数 y＝logax 与 y＝ x 的图象关于_x_轴__对称
预习验收 衔接课堂
1．下列函数是对数函数的是( D ) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1) C．y＝logax2(a>0，且 a≠1) D．y＝ln x
2．函数 y＝lgxx－＋11的定义域是( C ) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
3．已知 f(x)＝log3x，则 f 95＋f(15)＝_3_. 4.若函数 f(x)＝loga(2x－3)(a>0，且 a≠1)的图象恒过定点 P，则 P 点的坐标是__(2_,_0_)_．
数学人教A版必修第一册4.3.2对数的运算课件
(2)lg
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
24 ×53
解：原式=lg
1
5
1
5－lg
5
＝lg 104＝4
【跟踪训练】
(2)lg
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2
解：原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
如果a 0, 且a 1, M 0, N 0, 那么
（1）log（
log a M log a N；
a MN）
M
（2）log a
log a M - log a N；
N
n
（3）log a M n log a M .
对数的运算性质把乘积转化为加法，把商转化为减法，
把乘方转化为乘法，降低了运算级别，简化了运算。
的运算性质．你认为可以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的
关系，能否利用指数幂运算性
质得出相应的对数运算性质呢？
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R);
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R);
(3)(ab) r a r b r (a 0, r R);
创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
2024年11月10日星期日11时4分32秒
课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解
其推导过程和成立的条件．
教学重点：对数的运算性质
人教A版高中数学必修一课件 《对数》指数函数与对数函数PPT(第一课时对数的概念)
【解】 (1)loge16＝a，即 ln16＝a. (2)log6414＝－13. (3)32＝9. (4)xz＝y.
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4;
(2)log127＝－3； 3
(3)43＝64; (4)14－2＝16. 解：(1)由 log216＝4 可得 24＝16.
(2)由
1．对数的概念 一 般 地 ， 如 果 ax ＝ N(a>0 ， 且 a≠1) ， 那 么 数 x 叫 做 _以___a_为___底__N__的__对__数____ ， 记 作 _x_＝___lo_g_a_N__ ， 其 中 a 叫 做 ___对__数__的__底__数____，N 叫做真 __数___．
把对数式 loga49＝2 写成指数式为( )
A．a49＝2
B．2a＝49
C．492＝a
D．a2＝49
答案：D
log32x－ 5 1＝0，则 x＝________．
答案：3
指数式与对数式的互化
将下列指数式与对数式互化： (1)ea＝16; (2)64－13＝14； (3)log39＝2; (4)logxy＝z(x＞0 且 x≠1，y＞0)．
log127＝－3 3
可得13－3＝27.
(3)由 43＝64 可得 log464＝3.
(4)由14－2＝16
可得
log116＝－2. 4源自利用对数式与指数式的关系求值
求下列各式中 x 的值： (1)log27x＝－23； (2)logx16＝－4； (3)lg10100＝x; (4)－lne－3＝x.
4.3对数 第一课时 对数
的概念
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
人教A版高中数学必修第一册 对数函数的图像和性质 课件(2)(共27张PPT)
(2)log0.56，log0.54；
(3)log 13 2 与 log 15 2;
(4)log23 与 log54.
解：(1)因为函数 y＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且 6＜8，
所以 lg 6＜lg 8.
(2)因为函数 y＝log0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且 6＞4，
性质？
2. 反函数的概念是什么？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
知识清单
1．对数函数的图象及性质
a 的范围
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1
a＞1
图 象
a 的范围
(0，＋∞)
定义域
性
值域
R
(1,0) ，即 x＝ 1 时，y＝ 0
质 定点
单调性 在(0，＋∞)上是 减函数 在(0，＋∞)上是 增函数
5
2
5
10
解题方法（对数函数图象的变化规律）
1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x
轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向
越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各
图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.
人教A版必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.4.2 对数函数的图像和性质
课程目标
1、掌握对数函数的图象和性质,培养学生实际应用函
数的能力；
2、通过观察图象,分析、归纳、总结对数函数的性质；
3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并
养成勇于探索的良好习惯.
高一上学期数学人教A版必修第一册4.2指数函数(指数函数的概念+指数函数的图像和性质)课件
4.2 指数函数
导问：创设情境，引入主题
给我一个支点，我能够撬动地球。
----阿基米德
给我一张足够大的纸，
我能够上月球，你信吗？
给你一张纸，你能折几次呢？
导问：创设情境，引入主题
如果你有一张面积无限、强度无
限，厚度为0.01毫米的纸，如果
折叠能力无限，那么多次对折，
纸张的厚度会变成多少呢？
导问：创设情境，引入主题
导问：创设情境，引入主题
问题1：一张薄薄的纸，却折叠出了惊天的气势，蕴含着神秘的数学知识。
若把纸张的初始厚度设为1，经过x次对折后， 纸张厚度y与对折次数x之间
的关系是什么？
对折次数
纸张厚度
每折叠一次，得到的纸张的厚度都约
0
1
1
为前一次的2倍.也就是每次的厚度相
比于折叠之前都增长了100%，我们称
这节课我们都学了什么？
R
对称性
定义域
定义
值域
指
数
函
数
奇偶性
图
性
象
质
非奇非偶函数
单调性
过定点（0，1）
在第一象限内“底大图高”
感谢凝听！
2
3
···
这个100%为增长率。
···
增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
导问：创设情境，引入主题
问题2:《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。“
设原长度为1，设
取ｘ天之后，剩
1
长度都变为前一天的
2
一半.也就是每天的长
3
度相比于前一天都衰
下y，请完成表格：
···
新教材人教A版数学必修第一册4.3.1 对数的概念课件
对数与指数的关系 指数式与对数式的互化(其中 a>0，且 a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子 logmN 中，底数 m 的范围是什么？ 提示：m>0 且 m≠1.
2．对数式 logaN 是不是 loga 与 N 的乘积？ 提示：不是，logaN 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是 一个实数．
第四
章
指数函数与对数函数
4．3 对数
新课程标准解读
核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数，并能进行简单的化简计算
数学运算
4．3.1 对数的概念
某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，……
所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；
对于D，因为log25x＝12，所以2512＝x，所以x＝5，故D错误．故选A、B. 答案：AB
4．已知logx16＝2，则x等于
[问题] 依次类推，1 个这样的细胞分裂 x 次得到的细胞个数 N 是多少？ 分裂多少次得到的细胞个数为 8 和 256？如果已知细胞分裂后的个数 N，如何 求分裂次数？
知识点一 对数的概念
1．定义 一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做__以__a__为__底__N__的__对__数__， 记作__x_＝__lo_g_a_N____，其中 a 叫做_对__数__的__底__数___，N 叫做__真__数__． 2．常用对数与自然对数
人教A版高中数学必修第一册第四章章末重构拓展课件
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
17．(本小题满分15分)设函数f (x)＝log2(ax－bx)，且f (1)＝1，f (2)＝ log212． (1)求a，b的值； (2)求函数f (x)的零点； (3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．
类型3 指数函数、对数函数的性质及应用 1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用 性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或 不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． 2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，提升数学运算和逻辑推 理素养．
√ √
时间/min 0
1
2
3
4
水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53
5 67.27
设茶水温度从100 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，现给出以下 三种函数模型： ①y＝kx＋b(k<0，x≥0)； ②y＝kax＋b(k>0，0<a<1，x≥0)； ③y＝loga(x＋k)＋b(a>1，k>0，x≥0)．
√ √ √
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
√ √
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册
知识点二 比较大小
3．已知 log3 b＜log3 a＜log3 c，则( )
5
5
5
A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b
答案 B
解析 由于函数 y＝log3 x 为减函数，因此由 log3 b＜log3 a＜log3 c 可得
5
5
5
5
b＞a＞c，又由于函数 y＝7x 为增函数，所以 7b＞7a＞7c.
7．不等式
log1
2
x－12>－1
的解集是(
)
A.－32，52
B.－32，12∪12，52
C.－12，12∪12，52
D.－32，12∪12，2
答案 B
解析
由
log1
2
x－12＝－log2x－12>－1，得
log2x－12<1＝log22，即 0<x－12<2，即
－32<x<52，且 x≠12.
1－x 13．已知函数 f(x)＝lg 1＋x的定义域为(－1,1)． (1)求 f20120＋f－20120； (2)探究函数 f(x)的单调性，并证明．
解 (1)∵函数 f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
1＋x
1－x
且 f(－x)＝lg 1－x＝－lg 1＋x＝－f(x)，
4．设 a＝log2 3，b＝30.01，c＝ln 22，则(
)
A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<a<c
答案 A
解析
先和 0 比较，a＝log2 3>log21＝0，b＝30.01>0，c＝ln
人教高中数学必修一A版《指数函数》指数函数与对数函数说课教学课件复习(指数函数的概念、图象及性质)
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第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
第2课时
指数函数的性质的应用
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[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示： (2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝13－1＝3， f(π)＝3π，g(－π)＝13－π＝3π， f(m)＝3m，g(－m)＝13－m＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函 数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
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利用指数函数的单调性比较大小
【例 1】 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5 和 1.53.2； (2)0.6－1.2 和 0.6－1.5； (3)1.70.2 和 0.92.1； (4)a1.1 与 a0.3(a>0 且 a≠1)．
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[解] (1)1.52.5,1.53.2 可看作函数 y＝1.5x 的两个函数值，由于底数 1.5>1，所以函数 y＝1.5x 在 R 上是增函数，因为 2.5<3.2，所以 1.52.5<1.53.2.
[答案] (1)× (2)× (3)√
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2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是( )
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。