线性代数模拟题
线性代数模拟题A •单选题. 1•下列( A )是4级偶排列. (A) 4321; (B) 4123; (C) 1324; (D) 2341 .
2. 如果
an a12 a13 4an 2an 3a〔2 a13
D a21 a22 a23 1, D1 4a21 2a21 3a?2 a23
a31 a32 a33 4a31 2a31 3a32 a33
那么D1 ( B ) •
(A) 8; (B) 12 ; (C) 24; (D) 24 . 3.设A与B均为n n
矩阵，满足 AB O ，则必有( C ) .
(A) A O或 B O ; (B) A B O;
4.设A为n阶方阵(n 3)，而A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k 0, 1，则必有kA 等于(B )• (A) kA* ; ( B) kn 1A* ; ( C) knA* ; (D) k 1A* .
5.向量组1, 2,•…，s线性相关的充要条件是( C ) (A) 1, 2,•…，s中有一零向量 (B) 1, 2 ,...., s中任意两个向量的分量成比例 (C) 1, 2 ,...., s中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) 1, 2 ,...., s中任意一个向量都是其余向量的线性组合
(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4 8.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,14,1/5
(C) A 0 或 B 0 ； (D) A B 0
.
6.已知 2是非齐次方程组 Ax b的两个不同解,
2是AX 0的基础解系，匕，k?
为任意常数, 则Ax b
的通解为(
(A) k1 1 k2( 1
2) (B) k1 1 k2( 1
(C) k1 1 k2 ( 1 (D) k1 1 k2( 1 2)
7.入=2是A的特征值，则 (A2/3)
的一个特征值是(
-1 ,贝U行列式|B - (a)0 (b)24 (c)60 (d)120 9.若A是(A )，则A必有A A . (A)对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C)可逆矩阵；(D)正交矩阵 10.若A为可逆矩阵， 下列( A ) 恒正确.
(A) 2A 2A ； (B) 1 1 2A 2A 1 ；
(C) (A 1) 1 (A) 1 ; (D)
1 1 1
(A) (A1)1
.
二•计算题或证明题 1.设矩阵
3 2 2
A k 1 k 4 2 3
(1) 当k为何值时，存在可逆矩阵 P,使得1AP为对角矩阵?
(2) 求出P及相应的对角矩阵。
参考答案：
2. 设n阶可逆矩阵A的一个特征值为入，A* 是 A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/入是 A*的一个特征值。 参考答案： 3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解. 2时，无解。
4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示. 1 0 3 2 1 1 3 0 1 1 1 2 “ ,3 J 4 ,5 2 1 7 5 2
4 2 14 6 0
参考答案：
极大无关组为： a-i, a2, a4，且a3 3a1 a2 , a5 5. 若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证： AB BA是对称矩阵.
参考答案: axi X2 X
3
Xi ax2 X
3
Xi X
2 ax
3
1, 2时有唯一解: Xi
a 1
F_2，X2 1
F_2，X3 (a 1)2
a 2
Xi
1时，有无穷多解: X2 X3 1 k1 k
1
k2
k2 参考答案： 线性代数模拟题B •单选题. 1.若( 1)
N(1k4l5) a11ak2a43aga
55是五阶行列式
a
ij
的一项，则k、l的值及该项符号为
(A )• (A) k 2 , l 3，符号为负； (B) k 2 l 3符号为正；
(C) k 3, l 2，符号为负； (D) k 1 , l 2，符号为正.
2.下列行列式( A )的值必为零.
2 (A) n阶行列式中，零元素个数多于 n n个;
(B) n阶行列式中，零元素个数小于 n2 n个； (C) n阶行列式中，零元素个数多于 n个； (D) n阶行列式中，零元素的个数小于 n个.
3. 设A，B均为n阶方阵，若 A B A B A2 B2，则必有( D )• (A) A I ； (B) B O ； (C) A B ； (D) AB BA. 4. 设A与B均为n n矩阵，则必有( C ).
(A) A B A B;( B) AB BA;(C) AB BA ; (D) A B A 1 B
5. 如果向量 可由向量组 1, 2,•…，S线性表出，则( D ) (A)存在一组不全为零的数 ki,k2,....,ks，使等式 ki 1 k2 2
(B)存在一组全为零的数 ki,k2,....,ks，使等式 ki i k2 2
(C) 对的线性表示式不唯一 (D) 向量组，1, 2,...., s线性相关 6. 齐次线性方程组Ax 0有非零解的充要条件是( C ) (A) 系数矩阵A的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合 7. 设n阶矩阵A的一个特征值为入，则(入Ar)2+ I必有特征值(C ) (a)入 2+1 (b)入 2-1 (c)2 (d)-2
ks s成立
ks s成立 ⑻ 0 ; (b) — 1 ; (c) 1 ; (d) 2
A 0 0 a 与对角矩阵相似，则 a =( A )
8.已知 (A) AB C (C B) A ; (B) (A B)C AC BC ；
(C) (AB)C A(BC); (D) (AB)C (AC)B. 10.下列矩阵（ B ）不是初等矩阵. 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
(A) 0 1 0 ； （B） 0 0 0 ；（ C） 0 2 0 ; (D) 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
计算题或证明题（ 1 0 1.已知矩阵A, 求A10。其中A
1 2
参考答案：
1 0 2〔0 210
2. 设A为可逆矩阵，入是它的一个特征值，证明：入工 0且入-1是A1的一个特征值。
参考答案：
A10 1 3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解. 4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.
1 1 1 1 2 1 1 0 1 ,,2 “ 7 3 _ 7
4
0 3 1 2
4 1 1 2
参考答案：
极大无关组为： a2,a3,a4，且ai a? a3 a4
5. 若A是对称矩阵，T是正交矩阵，证明 T 1AT是对称矩阵.
a^ X2 X3 a 3 Xi ax2 x3 2 Xi、 x2 ax3 2 参考答案： 当a 1, 2时有唯一
解： x
X1
当a 1时，有无穷多解： X
2
X3
当a 2时， 无解。
a 1 3 3 X ,X
3
a 2 a 2 a 2
2 K k2 ki
k2 参考答案： 线性代数模拟题C m，依下列次序对 aj进行变换后，其结果是( C ) •
交换第一行与第五行，再转置，用 2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列, 最后用4除第二行各元素.
3x ky z 0 kx 5y z 0 (A) k 0 或 k 1 ； (B) k 1 或 k 2 ； (C) k 1 或 k 1 ； (D) k 1 或 k 3 • 3. 设A , B , C , I为同阶矩阵，若ABC I，则下列各式中总是成立的有 (A )•
(A) BCA I ； (B) ACB I ; (C) f BAC I ; (D) CBA 4.设 A , B , C为同阶矩阵， 且 A可逆， 下式( A )必成立.
(A )若 AB AC，贝U B C ； (B) 若AB CB，则 A C ； (C)若 AC BC ,则 A B ； (D若BC O，则B O •
5.若向量组仁 ,2,•…，s的秩为r，则( D ) (A )必定r(B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r个向量线性无关 (D)向量组中任意个r 1向量必定线性相关
6.设向量组 1, 2,
3线性无关，则下列向量组线性相关的是( C )
(A) 1 2 , 2 3 , 3 1 ; (B) 1 , 1 2 , 3 2 1
(C) 1 2
,
2 3, 3 1 ; (D) 1 2 ,2 2 3,3 3
7.设A、B为n阶矩阵, 且A与B相似， I为n 阶单位矩阵，则( B ) (a) 入I-A =入I-B (b)A 与B有相同的特征值和特征向量
(c)A 与B都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A 与kI-B相似(k是常数)
8. 当(C )时，A为正交矩阵，其中
(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组 1, 2, 3, 4线性无关，则向量组( C )
(A) 1 2 , 2 3, 3 4 , 4 1 线性无关；
•单选题. 1.设五阶行列式aj
(A) 8m ； (B) 3m ； (C) 8m ； (D)丄 m • 4
2.如果方程组 4y z 0有非零解，则( D )•
考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷22(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷22(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．≠0的充要条件为( )A．k≠0B．k≠±1C．k≠0且k≠±1D．k≠0或k≠±1正确答案：C解析：≠0→k(k2一1)≠0→k≠0且k≠±1．答案为C。
2．若n阶方阵A满足A2一2A一3I=0，且矩阵A可逆则A-1= ( ) A．A一2IB．2I一AC．一(A—2I)D．(A一2I)正确答案：D解析：由于A(A一2I)=3I，因此A[(A一2I]=I，所以A-1=(A一2I)．答案为D。
3．设A，B是n(≥2)阶可逆方阵，k是一实常数且不为零，下列等式不成立的是( )A．(AB)-1=B-1A-1B．(kA)-1=k-1A-1C．(A’)-1=(A-1)’，A’表示A的转置阵D．(AB)-1=A-1B-1正确答案：D解析：本题考查矩阵求逆阵运算法则．选项A、B、C均正确，选项D中(AB)-1=B-1A-1．答案为D。
4．设A为m×n矩阵，秩为r，C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，秩(B)=r1，则( )A．r1＞r2B．r＜r1C．r=r1D．r1与C有关正确答案：C解析：∵C为可逆阵，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案为C。
5．以下各线性方程组中，解空间的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程组是( )A．B．C．x1—x2—2x3=0D．x1+x2+2x4=0正确答案：C解析：因5—r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能为C或D．因一眼就能看出，A、B中两方程的系数都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代入验证：因α1满足C，不满足D，故选C．答案为C。
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc
![[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/9cbebc6fcfc789eb162dc806.webp)
(1)是否有AB～BA；
(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
24设α为n维非零列向量， (1)证明：A可逆并求A-1；(2)证明：α为矩阵A的特征向量．
25
26设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A*是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵
43设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．
44设A为n阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵（C）正定矩阵Fra bibliotek（D）正交矩阵
考研数学一(线性代数)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是( )．A．若方程组AX=0只有零解，则方程组AX=b有唯一解B．若方程组AX=0有非零解，则方程组AX=b有无穷多个解C．若方程组AX=b无解，则方程组AX=0一定有非零解D．若方程组AX=b有无穷多个解，则方程组AX=0一定有非零解正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分2．设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．A．若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解B．若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解C．若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解D．若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解正确答案：D解析：因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则，即方程组AX=b一定有解，选(D)．知识模块：线性代数部分3．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1．因为A*A=｜A｜E=0，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数部分4．设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是( )．A．α1+α2，α2+α3，α3一α1B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D．α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2—5α3正确答案：C解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)．知识模块：线性代数部分5．设α1，α2为齐次线性方程组AX=0的基础解系，β1，β2为非齐次线性方程组AX=b的两个不同解，则方程组AX=b的通解为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：选(D)，因为α1，α1+α2为方程组AX=0的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组AX=b的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)．知识模块：线性代数部分6．设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆B．r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要条件是r(AB)＜nC．AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)D．A～B的充分必要条件是λE一A～λE一B正确答案：D解析：若A～B，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，于是P-1(λE一A)P=λE一P-1AP一λE一B，即λE一A～λE～B；反之，若λE一A～λE一B，即存在可逆矩阵P，使得P-1(λE一A)P=λE一B，整理得λE一P-1AP=λE 一B，即P-1AP=B，即A～B，应选(D)．知识模块：线性代数部分7．设A为n阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A*的一个特征值为( )．正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有选(B)．知识模块：线性代数部分8．设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．A．矩阵A不可逆B．矩阵A的迹为零C．特征值一1，1对应的特征向量正交D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．知识模块：线性代数部分9．设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=一2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．A．α1+α3B．3α3一α1C．α1+2α2+3α3D．2α1-3α2正确答案：D解析：因为AX=0有非零解，所以，r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α1，α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α1+α3为属于特征值λ0的特征向量，则有A(α1+α3)=λ0(α1+α3)，注意到A(α1+α3)=Oα1一2α3=一2α3，故一2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0，因为α1，α3线性无关，所以有λ0=0，λ0+2=0，矛盾，故α1+α3不是特征向量，同理可证3α3一α1及α1+2α2+3α3也不是特征向量，显然2α1一3α2为特征值0对应的特征向量，选(D)．知识模块：线性代数部分10．设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．矩阵A与单位矩阵E合同B．矩阵A的特征值都是实数C．存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D．存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵正确答案：A解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A)．知识模块：线性代数部分11．设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则( )．A．A的n个特征值都是单值B．A是可逆矩阵C．A存在n个线性无关的特征向量D．A一定为n阶实对称矩阵正确答案：C解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)．知识模块：线性代数部分12．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠0，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1，令AX=λX，由A2X=αβT×αβTX=0=λ2X得λ=0，因为r(0E—A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．知识模块：线性代数部分13．设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．A．CTACB．A-1+B-1C．A*+B*D．A—B正确答案：D解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A-1，B-1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因为C 可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)．知识模块：线性代数部分填空题14．设，且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分15．设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n一1，则方程组Ax=0的通解为__________.正确答案：解析：知识模块：线性代数部分16．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，Aki≠0，则AX=0的通解为__________．正确答案：C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，又因为Aki≠0，所以r(A*)≥1，从而r(A)=n一1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=｜A｜E=0，所以A*的列向量为方程组AX=0的解向量，故AX=0的通解为C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．知识模块：线性代数部分17．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ks ηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是__________．正确答案：k1+k2+…+ks=1．解析：k1+k2+…+ks=1．显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．知识模块：线性代数部分18．设B≠0为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k=_________，｜B｜=__________．正确答案：k=1，｜B｜=0．解析：令，因为B的列向量为方程组的解且B≠0，所以AB=0且方程组有非零解，故｜A｜=0，解得k=1．因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2＜3，故｜B｜=0．知识模块：线性代数部分19．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分20．正确答案：-1解析：知识模块：线性代数部分21．正确答案：a1+a2+a3+a4=0解析：知识模块：线性代数部分22．设A是三阶矩阵，其三个特征值为，则｜4A*+3E｜=__________．正确答案：10解析：知识模块：线性代数部分23．正确答案：a=2，b=3解析：解得λ=5，a=2，b=3．知识模块：线性代数部分24．设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_________，对应的特征向量为________.正确答案：4；解析：知识模块：线性代数部分25．正确答案：3解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+3—6a=0，a=3．知识模块：线性代数部分26．正确答案：x=3，y=1解析：知识模块：线性代数部分27．设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为，则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分28．设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为__________．正确答案：0或者3解析：因为A2=3A，令AX=λX，因为A2X=λ2X，所以有(λ2一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ3=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模拟试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。
1. 下列说法错误的是（ ）A . 一阶行列式a 的值即aB. 二阶行列式可用划线法计算，要算两项之差C. 三阶行列式可用划线法计算，要算六项之和差D. 四阶行列式可用划线法计算，要算八项之和差2. 对行列式实行下列哪种变换，不会改变行列式的值（ ）A. 转置B. 交换某两行C. 某行乘以一个常数D. 所有元素乘以一个常数3. 有矩阵23⨯A ，23⨯B ，22⨯C ，则下列计算可行的是（ ） A. AB B. CA C. B A + D. T B A +4. A 为4阶方阵，2)(=A R ，则A 中元素11a 的代数余子式=（ ）A . 0 B. 1 C. 2 D. 45. A 、B 都是n 阶方阵，下列正确的是( )A. k k k B A AB =)(（k 为正整数）B. T T T A B AB =)(C. ))((22B A B A B A -+=-D. 2222)(B AB A B A ++=+6. A 可逆，下列错误的是（ ）A ．A 一定是方阵B ．O A ≠C ．A 是满秩矩阵D ．A 的行向量组线性相关7. 设n m A ⨯，则非齐次线性方程组b AX =有唯一解的充分必要条件是（ ）A ．)()|(A R b A R =B ．n A R b A R ==)()|(C ．n b A R =)|(D ．n A R =)(8. 对n 阶方阵A ，2=A ，则=*AA （ ）A ．1B ．2C ．n 2 D. 12-n9. 若n 维向量321,,ααα线性无关，则再往该组添加一个n 维向量后得到的向量组4321,,,αααα（ ）A. 线性无关B. 线性相关C. 无法确定10. 若n 阶方阵A 满足E A =2，则A 的特征值为 ( ) A. 只能为1 B. 只能为1- C.1或1- D. 无法确定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11. 012200021-= _______。
线性代数模拟题一及参考答案
《线性代数》模拟题（一）及参考答案一、填空题1. 行列式3465202081001000D == .2. 若行列式1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233623623623a a a a a a a a a a a a ++=+ . 3. 设三维向量(3,1,2)T α=-，(3,1,4)T β=，若向量γ满足23αγβ+=，则γ= .4. 设A 是三阶方阵，将A 的第一行与第二行交换得到矩阵B ，则||A B -= .5. 三阶方阵A 的逆矩阵的行列式的值为6，则行列式|2|A -= .6. 设200020102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足关系式2AX E A X +=+，则X = .7. 设4阶方阵520021000012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则A 的逆阵1A -= .8. 设A 是43⨯矩阵，且A 的秩()2R A =，又102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB = .9. 设n 阶矩阵A 中所有元素都为(0)a a ≠，则()R A = .10. 已知1(1,4,3)T α=，2(2,,1)T t α=-，3(2,3,1)T α=-线性相关，则t = .11. 设P 是n 阶正交阵，x 是n 维单位向量，则向量y Px =的长度||||Px = .12. 设1(1,1,1)T α=，2(1,0,1)T α=-，3α是正交向量组，则3α= . 13. 若λ是n 阶方阵A 的特征值，则23A E -的特征值是 .14.设三阶方阵A 有三个不同的特征值，其中两个特征值分别为2,3，已知||48A =，则A 的第三个特征值为 . 15. 已知四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为2,3,4,5，E 为四阶单位矩阵，则||B E -= .16. 设二阶实对称矩阵A 的特征值为2,2-，则2A = .17.设A 为三阶实对称矩阵，1(1,2,3)T α=和2(2,2,)T k α=分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数k = . 18.已知三阶实对称矩阵A 的特征多项式为||(1)(2)(5)E A λλλλ-=-+-，则二次型123(,,)T f x x x x Ax =的正惯性指数为 . 19. 二次型222(,,)(1)2f x y z x a y z yz =+++-为正定，则a 应满足条件 .20. 设三阶实对称矩阵A 满足22A A O +=，且()2R A =，若kE A +为正定矩阵，则数k 应满足的条件是 . 二、单项选择题1. 设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是()A T A A -. ()B (T CAC C 为任意n 阶方阵). ()C T AA . ()D ()(T AA B B 为n 阶方阵). 答 【 】2. 设,A B 是两个n 阶方阵，则下列结论中正确的是()A ()k k k AB A B =. ()B ||||A A -=. ()C ()T T T BA B A =. ()D 22()()E A E A E A -=-+. 答 【 】3. 设齐次线性方程组55510A x ⨯⨯=有非零解，则必有()A ()1R A =. ()B ()5R A =. ()C ||0A =. ()D ||0A ≠. 答【 】 4.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是()A 123,2,3ααα. ()B 122331,,αααααα---.()C 1123,2,αααα-. ()D 1223123,,2ααααααα+-+-. 答【 】 5.设向量组1(1,2,3)T α=，2(0,1,2)T α=，3(0,0,1)T α=，(1,3,6)T β=，则下列结论中正确的是()A 123,,,αααβ线性无关. ()B β不能由123,,ααα线性表示.()C β能由123,,ααα线性表示，且表示法唯一. ()D β能由123,,ααα线性表示，但表示法不唯一. 答 【 】 6. 设有向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,14)T α=，4(1,2,2,0)T α=-，5(2,1,5,10)T α=，则该向量组的最大无关组是()A 123,,ααα. ()B 124,,ααα. ()C 125,,ααα. ()D 1245,,,αααα. 答 【 】7. 设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3. 答【 】 8. 设三维列向量组123,,ααα线性无关，则123(,,)A ααα=是()A 奇异矩阵. ()B 对称矩阵. ()C 正交矩阵. ()D 可逆矩阵. 答【 】 9. 设二阶矩阵A 满足|2|0E A +=，|3|0A E -=，则||A =()A 32-. ()B 23-. ()C 23. ()D 32. 答【 】 10. 设矩阵10000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵10000001y ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则参数,x y 的值分别为()A 0,1x y ==. ()B 1,0x y ==. ()C 0,1x y ==-. ()D 1,0x y =-=. 答【 】 11. 设11012021A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是正定矩阵，则a 的取值范围是()A 5a <. ()B 5a >. ()C 5a <-. ()D 5a >-. 答 【 】12. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有一个非零特征值为()A 1. ()B 2. ()C 3. ()D 4. 答 【 】 13.设202A ⎛= ⎝⎭，则行列式2|22|A A E --的值为()A 0. ()B 4. ()C 16. ()D 32. 答【 】14. 设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -有一个特征值等于()A43. ()B 34. ()C 12. ()D 14. 答 【 】 15. 设222123123121323(,,)224f x x x x x x x x x x x x =+-+--，令123P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则f 经线性变换x Py =后所得到的二次型为 ()A 222123121323494624y y y y y y y y y +-+--. ()B 2221231323264y y y y y y y +---. ()C 22121213446y y y y y y ++-. ()D 222123132349624y y y y y y y +---. 答 【 】 二、计算题：1. 计算下列四阶行列式：(1) 101221010101142D --=--. (2) x a a aax a a D a ax a a a ax=.2. 已知矩阵(2,1,0)A =，(1,2,3)B =，2()51f x x x =-+，求T A B 及()T f A B .3. 设B 为三阶矩阵，且满足2AB A B =+，又301030103A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B .4. 求解齐次线性方程组12341234123420,3630,51050.x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩5. 设有非齐次线性方程组123412342341,23,3,x x x x x x x x t x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩问t 取何值时，方程组有解？在方程组有解时，求其通解.6. 已知向量组:A 1(1,2,3)T α=-，2(0,2,5)T α=-，3(1,0,2)T α=-，（1）求该向量组的秩，判别向量组的线性相关性，并求一个最大无关组.（2）将3α表为12,αα的线性组合. 7.设三阶方阵A 的特征值为11λ=，20λ=，31λ=-，所对应的特征向量分别为1(1,2,2)T p =，2(2,2,1)T p =-，3(2,1,p =-- 2)T ，求A .8. 设011101110A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1) 求一个可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵. (2) 写出A 对应的二次型123(,,)f x x x .9. 设二次型22212312323(,,)4332f x x x x x x x x =+++. (1) 用矩阵记号写出二次型f ； (2) 求一个正交变换，把二次型化为标准形；(3) 判别二次型的正定性.10. 已知2221231231213(,,)4222f x x x x x x tx x x x =+++-为正定二次型， (1) 确定t 的取值范围； (2) 写出f 的规范形.11. 求二次型2212312121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x =--++的规范形. 四、证明题：1. 设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，证明：122331,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.2. 证明：三维向量空间3R 中向量集合{(,,)|0}TV x y z x y z =++=是向量空间，并求出它的维数和一个基. 3. 设α是n 阶矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，证明：1P α-一定是1P AP -的属于特征值λ的特征向量.《线性代数》模拟题（一）参考答案一、填空题1.10.2.36.3.(3,5,8)T .4.0.5.43-.6.300030103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.7.12002500001230011-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 8.2. 9.1. 10.3-. 11.1. 12.(1,2,1)(0)T k k -≠. 13.23λ-. 14.8. 15.24. 16.4004⎛⎫⎪⎝⎭. 17.2-. 18.1. 19.0a >. 20.2k >.二、单项选择题1.C .2.D .3.C .4.A .5.C .6.B .7.B .8.D .9.B . 10.A . 11.B . 12.C . 13.B . 14.B . 15.A . 二、计算题：1.解(1) （法一）（展开法则）221210121121122101221(1)202202(1)(1)22200256142506142D ++-----==⨯--=-=-⨯-=---.(法二)（上三角）10121012101210120125012501250125222112201010026001300130054005400540011D --------=====⨯=-------.(2) 333003000(3)00(3)()300003000x a a a a x a a a a x a x ax a a x a D x a x a x a x a x a ax a x a a x ax a a axx a++-+-===+-=+-+--+-.2.解 22461(1,2,3)1230000T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记T C A B =，则2()()5T f A B f C C C E ==-+，其中2()()()T T T T C A B A B A BA B === ()44T T T BA A B A B C ==，故100246146()45010123113001000001T f A B C C E E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+=-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.解 （法一）由题设，得2AB B A -=，即(2)A E B A -=，其中1012010101A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，220A E -=≠，知1(2)A E --存 在，则1(2)B A E A -=-.又*101(2)020101A E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1*10111(2)(2)02022101A E A E A E --⎛⎫ ⎪-=-= ⎪- ⎪⎝⎭.故 10130120110200300302101103102B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（法二）由题设，得2AB B A -=，即(2)A E B A -=，其中1012010101A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭.由101301101301101301100201(2,)010030~010030~010030~010030101103002204001102001102A E A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知2A E -可逆，且1201(2)030102B A E A --⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.4.解 1211121112013613~0040~00105101500400000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则124223442,,0,,x x x x x x x x =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故通解为12122110(,)0001x c c c c R -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 5.解 111111111111111(,)2311~01112~01112011130111300001B A b t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1t =时，()()2R A R B ==，方程组有无穷多解.此时1111110224~01113~011130000000000B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1342343344224,3,,,x x x x x x x x x x =--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩故通解为1212224113(,)100010x c c c c R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.解 （1）设123101(,,)220352A ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则101101~022~011055000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，知()23R A =<，故该向量组的秩为2，123,,ααα线性相关.由于12(,)2R αα=，即12,αα线性无关，故12,αα即为所求的一个最大无关组.（2）若令31122k k ααα=+，则由101~011000A -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，知121,1k k =-=.故所求的表示式为312ααα=-+.7.解 因A 的特征值互不相等，所以A 与对角阵101⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪-⎝⎭相似，即有可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ，其中123(,,)P p p p = 122221212-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭.故1122112210212210211122102212012210129932121212202212220A P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ=---=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 8.解 (1)由22111101001111111(1)(2)(1)(2)111112A E λλλλλλλλλλλλλλλλ------=--=--=---=-+-=--+---，求得A 的 特征值为12λ=-，231λλ==.当12λ=-时，解(2)0A E x +=.由2111012121~011112000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1111ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.当231λλ==时，解()0A E x -=.由111111111~000111000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故所求的一个可逆矩阵为123111(,,)110101P ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，并使1211P AP --⎛⎫ ⎪=Λ=⎪ ⎪⎝⎭. (2) 123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-++. 9.解 (1) 112323400(,,)031013T x f x Ax x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2) 2240031031(4)(4)(68)(2)(4)13013A E λλλλλλλλλλλλ---=-=-=--+=-----，求得A 的特征值为12λ=，234λλ==.当12λ=时，解(2)0A E x -=.由2001002011~011011000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1011ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，将1ξ单位化，得1011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭. 当234λλ==时，解(4)0A E x -=.由0000114011~000011000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，将23,ξξ单位化，得2(1,0,0)T p =，3T p =.故正交矩阵为123010(,,)00P p p p ⎛⎫ ==- ⎝，并使1244P AP -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭.所求的一个正交变换为11223301000x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，标准形为222123244f y y y =++. (3) 由于f 的标准形的三个系数全为正（或f 的矩阵A 的特征值全为正），故f 为正定二次型. 10.解 (1) f 的矩阵1140102t A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则21404t t t =->，211111||404242042102100t t t A t t t t t -===-=->--，即有 22t -<<及t <<t的取值范围为t <<(2) 由于三元二次型f 为正定二次型，所以f 的正惯性指数为3，f 的规范形为222123f y y y =++. 11.解 222222221231231223123232231232233(,,)2()32[()]()32[()]44f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =---+=-----+=---+- 2212323()(2)x x x x x =-+--，据此知原二次型的规范形为2212f y y =-.注 本题中二次型的标准形（即合同标准形）也是2212f y y =-.四、证明题：1. 证明 （法一）设有数123,,k k k ，使112223331()()()0k k k αααααα+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.因123,,ααα线性无关，所以1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 此方程组的系数行列式为10111020011=≠，则方程组只有零解，即1230k k k ===.因此122331,,αααααα+++线性无关.依题设知123,,ααα是0Ax =的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知12,αα+2331,αααα++也是该方程组的三个解向量.因122331,,αααααα+++是0Ax =的三个线性无关的解向量，故1223,αααα++31,αα+是该方程组的一个基础解系.（法二）122331123101(,,)(,,)110011ααααααααα⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，记为B AK =.因20K =≠，知K 可逆，所以()()R B R A =.因矩阵A 的列向量组123,,ααα线性无关，则()3R A =，从而()3R B =.故B 的列向量组122331,,αααααα+++线性无关. 依题设知123,,ααα是0Ax =的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知122331,,αααααα+++也是该方程组的三个解 向量.因122331,,αααααα+++是0Ax =的三个线性无关的解向量，故122331,,αααααα+++是该方程组的一个基础解系. 2.解 证明：因齐次线性方程组0x y z ++=的系数矩阵的秩()13R A =<，知0x y z ++=有非零解，所以集合V 是由x y ++0z =的所有解向量构成的非空集合.又根据齐次线性方程组的解向量的性质知，对,a b V ∀∈，有a b V +∈；k R ∀∈，有ka V ∈，即集合V 对向量的加法及乘数封闭，故集合V 是向量空间.因为0x y z ++=的系数矩阵的秩()1R A =，所以0x y z ++=的基础解系中有312-=个线性无关的解向量，即向量空间V 的基中含有2个向量，故向量空间V 的维数dim 2V =.由此知0x y z ++=的任两个线性无关的解向量都是V 的基.3.证明 依题设，有A αλα=，则11P A P αλα--=，即111P APP P αλα---=，111()()P AP P P αλα---=，故依特征值和特征 向量的定义，1P α-一定是1P AP -的属于特征值λ的特征向量.。
考研数学一(线性代数)模拟试卷113(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷113(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：×24×6=一48，选(D)．知识模块：线性代数2．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．A．｜A｜=｜B｜B．｜A｜≠｜B｜C．若｜A｜=0则｜B｜=0D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0正确答案：C解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，PS，Q1，…，QT，使得B=PS…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，且r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数3．设，则( )．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2－1AP1D．B=P1－1AP2－1正确答案：D解析：显然B==P1AP2－1，因为P1－1=P1，所以应选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有( )．A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关正确答案：A解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选(A)．知识模块：线性代数5．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) ．A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1．因为A*A=｜A｜E=O，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为－α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数6．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．令AX=λX，由A2X=αβT．αβTX=O=λ2X得λ=0，因为r(0E—A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．知识模块：线性代数7．设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．A．r(A)=r(B)B．｜A｜=｜B｜C．A～BD．A，B与同一个实对称矩阵合同正确答案：D解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B 合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．知识模块：线性代数填空题8．设A=，则(A+3E)－1(A2一9E)=_________．正确答案：解析：(A+3E)－1(A2一9E)=(A+3E)－1(A+3E)(A一3E)=A一3E=．知识模块：线性代数9．设A=，则A－1=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数10．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数11．设，且α，β，γ两两正交，则a=________，b=________．正确答案：a=一4，b=一13解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=一4，b=一13．知识模块：线性代数12．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ks ηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是_________．正确答案：k1+k2+…+ks=1解析：k1+k2+…+ks=1，显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．知识模块：线性代数13．设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为_________．正确答案：0或者3解析：因为A2=3A，令AX=λX，因为A2X=λ2X，所以有(λ2一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ3=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．知识模块：线性代数14．设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是________．正确答案：t＞2解析：二次型的矩阵为A=，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，=1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数自考题分类模拟7
A.α2线性无关
B.α1线性无关
C.α1，α2线性无关
D.α1线性相关
答案：B
[解答] ∵任意一个含零向量的向量组必为线性相关组，∴α1，α2线性相关．单个向量α线性相关
α=0．单个向量α线性无关
α≠0．答案为B．
9. 设α=(1，2，4)，β=(0，1，3)，是为任意实数，则
A.α-β线性相关
B.α+β线性相关
C.kα线性无关
D.α-β线性无关
答案：D
[解答] ∵单个非零向量线性无关，∴α-β，α+β都线性无关，当k=0时kα线性相关．当k≠0时，kα线性无关．答案为D．
10. 若向量α与β线性相关，则
A.其中必有一个零向量
B.α=kβ，k为非零常数
C.α与β的对应分量成比例
D.α与β均为非零向量
答案：C
[解答] 当α为零向量而β为非零向量时，B中等式不成立，仅有C一定成立．答案为C．
11. 设向量α1，α2线性相关且β1=α1+2α2，β2=2α1-α2，则β1与β2
A.线性相关
B.线性无关
C.对应分量成比例
D.满足β1=kβ2
答案：A
[解答] 由α1，α2线性相关，故存在不全为0的k1，k2，使k1α1+k2α2=0，又设x1β1+x2β2=x1(α12α2)+x2(2α2-α1)=(x1+2x2)a1+(2x1-x2)α2=0，
A.存在不全为零的k1，k2，…，ks使得β=k1α1+…+ksαs
B.存在全不为零的k1，k2，…，ks使得β=k1α1+…+ksαs
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
线性代数模拟卷3套及答案
试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011 一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分）1.设阶方阵可逆且满足，则必有 （ ）2.设是的解，则是的解 （ ）3.若矩阵的列向量组线性相关，则矩阵的行向量组不一定线性相关 （ ）4.设表示向量的长度，则 （ ）5.设是的解，则是的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式 ＝ ；2.若为的解，则或必为 的解；3.设n 维向量组，当时，一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；4.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）1.；2.若线性方程组有解，问常数应满足的条件？3.设是方程组的解向量，若也是的解，则；4.求齐次线性方程组的基础解系；5.已知矩阵与矩阵相似，求的值；6.设为正定二次型，求.四、证明题（10分）：设向量组线性无关，证明线性无关。
n C B A ,,E ABC =E CBA =21,ηη==x x b AX =21ηη+=x b AX =A A x x x x λλ=21,ηη==x x b AX =21ηη-=x 0=AX 231013412-βα,)0(,≠=A b b X βα-αβ-m ααα,,,:21 T n m >T A 2A 2111121111211112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 4321,,,a a a a s ηηη,,,21 b X =A )0(≠b s s k k k ηηη+++ 2211=+++s k k k 21⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-020332202432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x A 3122⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B y x ,3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=a 321,,ααα321211,,αααααα+++试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)1.是阶矩阵，则；（ ）2.若均为阶矩阵，则；（ ）3.向量组线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）4.若是齐次线性方程组的两个线性无关解向量，则不是的解； （ ）5.设为阶矩阵，则与具有相同的特征向量。