人教版高中数学选修4-5-不等式选讲ppt课件
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高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.2 基本不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1.1.2 基本不等式
栏 目 链 接
1．会用基本不等式证明一些简单问题．
2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数
的最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．定理 1. 如果 a， b∈R， 那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)． 思考 1
2 2
栏 目 链 接
3 2 也即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 x 答案： 1＋y2取得最大值 3 2 4 3 2 . 4
题型二
利用基本不等式证明不等式
2 2
1 例2 已知 a，b∈(0，＋∞)且 a＋b＝1，求证：(1)a ＋b ≥ ； 2 1 1 (2) 2＋ 2≥8.
a
b
≥ ab， 2 证明：由 a＋b＝1， a，b ，＋
栏 目 链 接
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
变 式 训 练
2 2 1 ＋ y y 1 x2＋ x2＋ ＋ 2 2 2 3 2 2 ＝ 2 ＝ ， 2 2 4
1＋y2 3 2 当且仅当 x ＝ ，即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 2
2
3 2 x 1＋y 取得最大值 . 4
2
栏 目 链 接
方法二 则x
6x 利用定理 1 有：x2＋32≥________，其中等号成立的
栏 目 链 接
3 条件是：x＝________.
2．定理 2. 如果 a ， b 是正数，那么 “＝”)． 思考 2 如果 x，y 是正数，那么
a＋b
2
≥ ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取
x2＋ y2
2
≥ ________ xy(当且
不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1.1.2 基本不等式
栏 目 链 接
1．会用基本不等式证明一些简单问题．
2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数
的最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．定理 1. 如果 a， b∈R， 那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)． 思考 1
2 2
栏 目 链 接
3 2 也即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 x 答案： 1＋y2取得最大值 3 2 4 3 2 . 4
题型二
利用基本不等式证明不等式
2 2
1 例2 已知 a，b∈(0，＋∞)且 a＋b＝1，求证：(1)a ＋b ≥ ； 2 1 1 (2) 2＋ 2≥8.
a
b
≥ ab， 2 证明：由 a＋b＝1， a，b ，＋
栏 目 链 接
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
变 式 训 练
2 2 1 ＋ y y 1 x2＋ x2＋ ＋ 2 2 2 3 2 2 ＝ 2 ＝ ， 2 2 4
1＋y2 3 2 当且仅当 x ＝ ，即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 2
2
3 2 x 1＋y 取得最大值 . 4
2
栏 目 链 接
方法二 则x
6x 利用定理 1 有：x2＋32≥________，其中等号成立的
栏 目 链 接
3 条件是：x＝________.
2．定理 2. 如果 a ， b 是正数，那么 “＝”)． 思考 2 如果 x，y 是正数，那么
a＋b
2
≥ ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取
x2＋ y2
2
≥ ________ xy(当且
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.2
,则ab的最小值为 ( )
A1a.
2 b
ab
B.2
C.2
D.4
2.已2知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求2x·y的最大值.
【解题探究】1.如何利用条件?
提示:根据 1 2 ab 可得a>0,b>0,然后借助基本不
等式
a b 构造关于
的不等式.
2.如何1a利 b2用“2 x1a+2b2y,+xy=30”这个ab条件?
2.基本不等式
【自主预习】
1.重要不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2___2ab,当且仅当____
时,等号成立.
≥
a=b
2.基本不等式
(1)定理2:如果a,b>0,那么__a__b____a_b_. 2
当且仅当____时,等号成立. a=b
(2)定理2的应用:对两个正实数x,y,
①如果它们的和S是定值,则当且仅当____时,它们的 x=y
(2)技巧:对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结 论结合起来,寻找出变形的思路,构造出基本不等式,切 忌两次使用基本不等式用传递性证明,有时等号不能同 时取到.
【变式训练】1.已知a,b都是正数,且a+b=1. 求证: (1 1 )(1 1 ) 9.
ab
【证明】 1 1 1 a b 2 b ,
4.两个不等式定理的常见变形
(1)ab≤ (3)
a
2
b
2
(2)ab≤ .?
(
a
≥22(ab>0).(4)
2
b
)2
(a>0,b>0).
ba
人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第二课 证明不等式的基本方法 (共39张PPT)
2.放缩法 将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小),使不等 式由繁化简,达到证明的目的.
【变式训练】1.对于任何大于1的自然数n,证明:
【(1证 31明（) 1】 51设）(a1>71b)>…0(,1m 2>n10,1则)＞a
2n 1 . 2 m＜a，
所以
bm b
1
1 2k 1
2k 2k 1
n
n 2
1＜Sn＜
n
12
2
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号, 或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. (3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过 小”.
类型一 比较法证明不等式 【典例1】设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0. 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
人教版高中数学选修4-5-1.1不等式ppt课件
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
用数学式子表示为:
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实 数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的 关系. 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式.
其它重要概念:
绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
基本理论：
O
x
1.实数在数轴系。数轴上的点与实数一一 对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ
a a <b
Ｂ
b x
Ｂ
b a >b
Ａ
a x
设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B ，那么，当 点A在点B的左边时， a < b；当点A在点B的右边时， a > b. 关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a > b，那么a-b是正数； 如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b，那么a-b是负数；反过来也对.
[读教材· 填要点]
1．定理 1 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 等号成立． 2．定理 2(基本不等式) a＋b ≥ 如果 a，b＞0，那么 2 ab，当且仅当 a＝b 时，等 它 时，
号成立．即：两个正数 的算术平均 不小于(即大于或等于) 们的几何平均．
3．算术平均与几何平均
[小问题· 大思维]
a＋b 1．在基本不等式 ≥ ab中，为什么要求 a，b∈(0， 2 ＋∞)?
用数学式子表示为:
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实 数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的 关系. 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
同解不等式:
形式不同但解相同的不等式.
其它重要概念:
绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
基本理论：
O
x
1.实数在数轴系。数轴上的点与实数一一 对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ
a a <b
Ｂ
b x
Ｂ
b a >b
Ａ
a x
设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B ，那么，当 点A在点B的左边时， a < b；当点A在点B的右边时， a > b. 关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a > b，那么a-b是正数； 如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b，那么a-b是负数；反过来也对.
[读教材· 填要点]
1．定理 1 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 等号成立． 2．定理 2(基本不等式) a＋b ≥ 如果 a，b＞0，那么 2 ab，当且仅当 a＝b 时，等 它 时，
号成立．即：两个正数 的算术平均 不小于(即大于或等于) 们的几何平均．
3．算术平均与几何平均
[小问题· 大思维]
a＋b 1．在基本不等式 ≥ ab中，为什么要求 a，b∈(0， 2 ＋∞)?
人教A版高中数学选修4-5课件：第一讲 1.1.1不等式(共60张PPT)
语言是心灵和文化教养的反映。 只会在水泥地上走路的人，永远不会留下深深的脚印。 别拿自己的无知说成是别人的愚昧！ 不要觉得全心全意去做看起来微不足道的事，是一种浪费，小事做的得心应手了，大事自然水到渠成。 如果我坚持什么，就是用大炮也不能打倒我。 相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 没有所谓失败，除非你不再尝试。 哪怕是最没有希望的事情，只要有一个勇敢普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 只有想不到的事，没有做不到的事。 对自己不满是任何真正有才能的人的根本特征之一。 在灾难面前不屈服，而应更加勇敢地去正视它。 进取用汗水谱写着自己奋斗和希望之歌。 天才是由于对事业的热爱感而发展起来的，简直可以说天才。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 愚者用肉体监视心灵，智者用心灵监视肉体。 不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。 利人乎即为，不利人乎即止。——《 墨子》
人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第二课 证明不等式的基本方法 (共39张PPT)
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30
【证明】要证
f(x
为1 ) 偶函数,只需证明其对称轴 2
为x=0,
即只需证 b =10,只要证a=-b,由已知,抛物线f(x+1)
的对称轴x=2a 2-1与对称轴x= 关于y轴对称,
所以
-1=
b 2a,所以a=-b,所以
b 2a为偶函数.
b
2a
b 2a
f(x 1) 2
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28
(3)适用方法:当要证的不等式不知从何入手时,可考虑 用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题 目往往更为有效.
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29
【变式训练】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y=f(x+1)
与f(x)的图象关于y轴对称,求证: f(x 1 ) 为偶函数. 2
sin 1 cos
又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α-
所以2sin2α≤ . sin
1 cos
≤0, sin
1 cos
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15
类型二 综合法证明不等式 【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,试证明:b>c. 【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab. 又a2+c2≥2ac,且a>0,所以2ab≥2ac,所以b≥c. 若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b. 从而a=b=c,这与bc>a2矛盾.从而b>c.
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13
2.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π), 求证:2sin2α≤ sin .
人教A版高中数学选修4-5课件基本不等式1(1)
为ａ、ｂ
的算术平均数， 称为ａ、小于（即大于或等于） 它们的几何平均数
均值定理的 几何意义
A
C
.o
B
D
E
思考2
当且仅当
时
中的“=”号成立．
这句话的含义是:
当
当
思考3
和 成立的条件相同吗？ 如：成立，而不成立。
成立的条件_______ 成立的条件______
例1求证：
（２）已知
都是正数，求证
证明：由
都是正数，得
练习1
例2求证：（1）在所有周长相同的矩
形中，正方形的面积最大；（2）在所 有面积相同的矩形中，正方形的周长最 短。
变形. 已知
1如果积 有最小值
2如果和 有最大值
都是正数，求证： 是定值 那么当
是定值 那么当
证：∵
∴
1当
（定值）时，
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
定理１：如果，那么 （当且仅当时取“=”号）．
我们可以用比较法证明．
探究
你能从几何的角度解释定理１吗？ 几何解释１－课本第五页．
动画
几何解释２
几何解释３
a
a
思考1
定理如２果（均是值定正理数） ，那么
(当且仅当
时取“=”号）．
概念
如果ａ、ｂ都是正数，我们就称
有最小值，最小值为几？
解：∵
∴
∴
=
当且仅当
即
时
有最小值1
练习3
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大 值．
例4
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
人教版高中数学选修4-5课件-不等式
2.下列不等式:
(1)x2+3>2x(x∈R).
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正確的個數 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】選C.因為x2+3-2x=(x-1)2+2>0, 所以(1)正確;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3) =(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正負不確定, 所以(2)不正確;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0. 所以(3)正確.
故不正確.
(4)因為a- 1<b- 1,且a>0,b>0, 所以a2b-b<a ab2-ba⇒a2b-ab2-b+a<0,
⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a<b,正確.
【方法技巧】 1.利用不等式的性質判斷命題真假的技巧 (1)要判斷一個命題為真命題,必須嚴格證明. (2)要判斷一個命題為假命題,或者舉反例,或者由題中 條件推出與結論相反的結果.其中,舉反例在解選擇題 時用處很大.
2.運用不等式的性質判斷命題真假的三點注意事項 (1)倒數法則要求兩數同號. (2)兩邊同乘以一個數,不等號方向是否改變要視此數 的正負而定. (3)同向不等式可以相加,異向不等式可以相減.
【變式訓練】1.下列命題中正確的是_________ . ①若a>b>0,c>d>0,那麼 a b ; ②若a,b∈R,則a2+b2+5≥2(d2a-bc).