第七章离散控制系统
离散系统的极小值原理
u * (k ) = 0.2
x* (k ) = 1 − 0.2k
k = 0,1, 2,3, 4,
总结 应用离散欧拉方程求解等式约束和不等式约束 的离散极值问题比较麻烦，而用离散极小值原理处 理这种约束问题却很方便。特别是，当控制序列受 约束时，离散变分法不再适用，只能用离散极小值 原理或离散动态规划来求解离散极小值问题。
2 离散极小值原理
庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系 统的情况。为了获得离散系统的极小值原理，有 人曾经从离散系统与连续系统比较接近这一事实 出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系 统中去，但除了采样周期足够小的情况外，结果 是失败的。 离散极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程 也十分冗长。为了简单起见，下面介绍控制向量 序列不受约束情况下的离散极小值原理，然后不 加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。
因为： ∂Lk = λ (k + 1)
∂x(k )
∂Lk = u (k ) + λ (k + 1) ∂u (k )
∂Lk −1 = −λ ( k ) ∂x(k )
所以由离散欧拉方程（3-6）可得：
λ ( k + 1) = λ ( k ) = c
u ( k ) = −λ ( k + 1) = −c
其中 c为待定的常数。 将 u (k ) = −c 代入状态差分方程，有
离散极小值原理可以叙述如下： 定理3 [定理3-7] （关于离散系统末端状态受约束） [定理3-8] （关于离散系统末端状态自由） 定理3
[定理3-7] 定理3 7]（关于离散系统末端状态受约束） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
零阶保持器
T / 2
e
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
因为
T
2π
s
，所以
j π
2 π sin ( π / s ) G h ( j ) e s π / s
|G h ( j ) |
s
零阶保持器的 频率特性：
T
O -
s
2s
3s
G h ( j )
≥ 2
s
m ax
时，则由采样得到的离散信号能无失真地恢 复到原来的连续信号，这就是采样定理，也 称为香农(Shannon)定理。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
物理意义：如果选择这样一个采样角频率 ≥ 2 ，使得对连续信号中所含的最高 s m ax 频率信号来说，能做到在其一个周期内采 样两次以上，则在经采样所获得的离散信 号中将包含连续信号的全部信息。反之， 如果采样次数太少，就做不到无失真地再 现原连续信号。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
第七章 采样数据控制系统分析
7.1 概 述 一、采样控制系统 采样控制系统，又称断续控制系统、离散 控制系统，它是建立在采样信号基础上的。 如果控制系统中有一处或几处信号是断续 的脉冲或数码，则这样的系统称为离散系统。 通常，把系统中的离散信号是脉冲序列形 式的离散系统，称为采样控制系统； 而把数字序列形式的离散系统，称为数字 控制系统或计算机控制系统。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
7.2 信号的采样与保持 一、采样过程 把连续信号转换成离散信号的过程，叫作 采样过程。 实现采样的装置叫作采样开关或采样器。
e(t) e(t) T e * (t) e * (t)
胡寿松《自动控制原理》课后习题及详解(线性离散系统的分析与校正)【圣才出品】
第 7 章 线性离散系统的分析与校正 7-1 试根据定义 确定下列函数的 和闭合形式的 E（z）： 解：（1）由题意可得
令
，可得：
（2）将
展成部分分式得：
其中，
则有
经采样拉氏变换得：
令
，可得：
。
7-2 试求下列函数的 z 变换：
将 z 1 代入到 D z ，得
1 由劳斯稳定判据可知使系统稳定的 K 值取值范围是 0 K 1.6631。
解：（1）对输入 对 作 z 变换得： 则有： 用幂级数法可得
图 7-3 开环离散系统 作 z 变换得：
所以
（2）由题可知： 且有
则 所以
。
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7-14 试判断下列系统的稳定性： （1）已知闭环离散系统的特征方程为
解：（1）由题可知
图 7-4 离散系统
z 域特征方程为： 特征值为： 由于 z1 1，因此闭环系统不稳定。
将 z 1 代入到 D z ，得 特征方程为：
1 特征值为： 由于 2 0 ，故闭环系统不稳定。 （2）特征方程为
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则有：
。
7-9 设开环离散系统如图 7-1 所示，试求开环脉冲传递函数 G（z）。
解：系统 a
图 7-1 开环采样系统
系统 b
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7-10 试求图 7-2 闭环离散系统的脉冲传递函数 Φ（z）或输出 z 变换 C（z）。
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
零阶保持器
零阶保持器的作用是使采样信号e*(t) 每一采样瞬时的值e(kT)一直保持到 下一个采样瞬时e[(k+1)T]，从而使采样信号变成阶梯信号eh(t)。
由于处在每个采样区间内的信号值为常数，其导数为零，故称为零阶保持
器。
(kT+)
O kT
t
-1
1(t kT ) 1(t kT ) g (t kT )
(t
kT
)
0
, ,
t kT t kT
e*(t) e(kT )g g (t kT )
k0
将持续时间 移至和式外
e*(t) e(kT )g (t kT )
k0 取采样过程的数学描述为
e*(t) e(kT )g (t kT )
z z e jT
1 z(ejT e jT )
2j
z
2
z(ejT
e jT
)
1
z2
z sinT 2z cosT
1
7. 设 E( s) ，求1e*(t) 的 Z 变换。 s(s 1)
将 E(s) 进行部分分式展开
E(s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
再求其拉氏反变换
e(t)
证明： (1)
Z [e(t nT )] e(kT nT )zk k0
zne[(k n)T ]zk zz k0
zne[(k n)T ]z(kn) k0
zn e(jT )zj ( j k n) jn
由于 j<0 时，e(jT)=0，所以和式下标取值从 j = 0 开始，有
k0 进行拉氏变换
E*(s) L [e*(t )] e(kT )ekTs
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
自动控制原理第七章 采样控制系统
展开为部分分式，即
E ( s)
1 1 1 [ ] 2 j s j s j
求拉氏反变换得 e(t ) 1 [e jt e jt ] 2j 分别求各部分的Z变换，得 Z [e* (t )] 1 [ 化简后得
E( z) z sinT z 2 2 z cosT 1
e(t ) e(nT ) e(nT )(t nT ) e (nT ) (t nT ) 2 2! nT t (n 1)T
外推法: 用采样点数值外推求得采样点之间的数值.
只取第一项 ---- 零阶保持器. 只取前两项 ---- 一阶保持器.
e*(t)
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
自动控制原理
蒋大明
一.Z变换
1. Z变换定义：
Z e
TS
S
*
1 ln Z T
代入上式得:
E ( z) E ( s)
1 s ln z T
e( nT ) z
n 0
n
E ( z ) e(0) Z 0 e(T ) Z 1 e(2T ) Z 2
e(kT)表征采样脉冲的幅值，Z的幂次表征采样脉冲出现的时刻。
-at
(a >0)的Z变换。
e(nT) = e
-a nT
(n = 0, 1, …)
代入Z变换的定义式可得
E(z) = 1 + e
若|e
–aT
-aTz -1
+ e
-2aTz -2
+ e
-3aTz -3
+ …
z
-1|
< 1，该级数收敛，利用等比级数求和公式，其Z变换
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《*****》课程教学大纲（加粗）（一、二···小标题用小四号加粗，正文用5号宋体，黑色，多倍行距1.25）一、课程简介说明:（1）课程简介是综合性概述，200-300字,课程简介中需要简要体现课程的三维目标（即：知识与能力、过程与方法和情感态度价值观），并且与下面的2.1课程目标相呼应，请进行高度提炼，尽量避免简单重复。
（2）课程简介分两段撰写。
第一段介绍课程性质、地位，以及课程主要内容；第二段介绍学生学习完本课程后的收获，即产出。
格式如下：《XXXX》是一门必修课。
课程内容包括……。
段介绍课程性质、地位，以及课程主要内容。
通过《XXXX》课程的学习，可以使学生掌握………………（哪些）知识，培养学生具备………………（哪些）能力，实现/激发/养成/具有/树立………………（哪些）情感态度和价值观。
[此段介绍学生学完本课程后的收获，即产出。
]示例：《自动控制原理》是一门自动化类专业的专业基础课。
课程内容包括控制系统数学模型的建立、系统性能分析和系统的校正与设计方法，离散控制系统的分析设计方法、现代控制理论分析设计方法、非线性系统分析方法，控制系统分析与设计基础。
通过《自动控制原理》课程的学习，可以使学生掌握自动控制原理及系统的基本概念、定理和分析方法；培养学生对实际控制系统进行建模及时频域等性能分析的基本能力，并能针对对象特性和控制要求设计合理控制方案，同时了解控制学科发展动态，跟进学科的最新进展；学生在XX知识讲授和XX小组活动[具体请老师细化]中，能够帮助学生养成严谨的科学思维方式，激发探索精神和创新意识。
二、课程目标及其对结业要求的支撑2.1课程目标说明：（1）详细描述课程的三维目标。
即：知识与能力、过程与方法和情感态度和价值观。
需准确表达学生学习本课程后，在每个课程目标上的完整产出，即学生的学习本门课程的收获。
离散控制与连续控制的比较
离散控制与连续控制的比较控制系统是现代工业领域中至关重要的一部分，它的作用是使得系统能够按照预定的目标和要求来运行。
控制系统可以分为离散控制和连续控制两种类型，两者在工业应用中都有着广泛的应用。
本文将比较离散控制和连续控制的几个方面，以期能够更好地了解两种控制方式的特点和应用范围。
一、定义与特点离散控制是指在时间上是离散的控制方式，系统的状态和控制量只在某些特定的时刻发生改变。
它使用离散的数值来表示系统的状态和控制量，比如开关的开和关、数字信号的高低等。
离散控制通常使用开关、计数器、触发器等离散元件和数字信号处理器等离散设备来实现。
连续控制是指在时间上是连续的控制方式，系统的状态和控制量可以在任意时刻上取任意的数值。
它使用连续的数值来表示系统的状态和控制量，比如电压、电流、位移等。
连续控制通常使用模拟元件和模拟信号处理器等连续设备来实现。
离散控制和连续控制的主要区别在于时间上的离散与连续。
离散控制适用于系统状态和控制量变化较慢、时间要求不高的应用，而连续控制适用于系统状态和控制量变化较快、时间要求较高的应用。
离散控制相对简单、易于实现和维护，但精度较低；连续控制更加精确和灵活，但实现和维护成本较高。
二、应用领域离散控制广泛应用于工业自动化领域，例如工业生产线上的输送机控制、流水线上的机械手控制、自动化仓库的堆垛机控制等。
离散控制可以实现简单的开关控制、计数控制、逻辑控制等功能。
连续控制广泛应用于工业过程控制领域，例如化工生产中的压力、温度、液位等参数的控制、电力系统中的发电机励磁控制等。
连续控制可以实现连续变化的控制，具有更高的精度和灵活性。
三、控制方式比较1. 精度比较：连续控制通常具有更高的精度，能够满足对系统状态和控制量更高的要求，而离散控制的精度相对较低。
2. 实现成本比较：离散控制相对简单、易于实现和维护，所需的设备成本相对较低；而连续控制实现和维护成本较高，需要使用专门的模拟设备和仪器。
《自动控制原理》离散系统的数学模型
K (t) L1[G(s)]
(7-55)
再将 K (t) 按采样周期离散化，得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进
行 z 变换，按式(7-53)求出 G(z) 。这一过程比较复杂。其实，如果把 z 变
换表 7—2 中的时间函数 e(t) 看成 K (t) ，那么表中的 E(s) 就是 G(s) (见式 (７-55)，而 E(z) 则相当于 G(z) 。因此，根据 z 变换表 7—2，可以直接从 G(s) 得到 G(z) ，而不必逐步推导。
本章所研究的离散系统为线性定常离散系统。 注意 zx：离散系统有本质连续和本质离散两种情况
本质连续的离散系统：如液位 炉温采样控制系统中的被控对象 本质离散的离散系统：如计算机。系统直接进行离散计算 问题：如何建立离散系统的数学模型？ c(n) F[r(n)] F 的具体形式？ 分析：本质连续的离散系统的方框图， 能否 G(s)?G(z)=?
众所周知，利用传递函数研究线性连续系统的特性，有公认的方便 之处。对于线性连续系统，传递函数定义为在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。对于线性离散系统，定义类似。
设开环离散系统如图 7-22 所示，如果系统的初始条件为零，输入信号
为 r(t) ，采样后 r*(t) 的 z 变换函数为 R(z) ，系统连续部分的输出为 c(t) ，
微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法[EX]*也要求出齐次方程 的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的 后两种解法。
(1)迭代法 又称递推法 若已知差分方程(7-49)或(7-50)，并且给定输入序列和输出序列的初 值，则可以利用递推关系可以一步一步地算出输出序列。 例 7-14 已知差分方程