江苏省高考数学知识点
④若集合 A=集合 B，则 CBA= Æ ，CAB = Æ
CS（CAB） =D
CAB = Æ ） （注： .
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R
} 二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.
A∪CUA=U
CUU=φ CUφ=U
求补律：A∩CUA=φ
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) 6. 有限集的元素个数
CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式：
(1)card ( A B ) = card ( A) + card ( B ) - card ( A B ) (2)card ( A B C ) = card ( A) + card ( B ) + card (C ) - card ( A B ) - card ( B C ) - card (C + card ( A B C )
ìx + y = 3 例： í î2 x - 3 y = 1
解的集合{(2，1)}. B={y|y =x2+1} 则 A∩ B = Æ ）
②点集与数集的交集是 f . （例：A ={(x，y)| y =x+1} 4. ①n 个元素的子集有 2n 个.
②n 个元素的真子集有 2n －1 个.
③n 个元素的非空真子集有 2n－2 个.
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A；
Í A；
如果 A Í B ，同时 B Í A，那么 A = B. 如果 A Í B，B Í C，那么A Í C . [注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（×）（例：S=N； A= N + ，则 CsA= {0}） ③空集的补集是全集.
(3) card( UA)= card(U)- card(A)
A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）
①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式 x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 Û 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 Û 逆否命题. 例：①若 a + b ¹ 5，则a ¹ 2或b ¹ 3 应是真命题. 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② x ¹ 1且y ¹ 2， 解：逆否：x + y =3
（2）转化为整式不等式（组）
f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) ³ 0 > 0 Û f ( x) g ( x) > 0; ³0Ûì í g ( x) ¹ 0 î g ( x) g ( x)
3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：
ax + b < c ,与 ax + b > c(c > 0) 型的不等式的解法.
y = f ( x)( x Î A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y
的关系，用 y 把 x 表示出，得到 x= j (y). 若对于
y 在 C 中的任何一个值，通过 x= j (y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= j (y)就表示 y 是自变量，x 是 自变量 y 的函数，这样的函数 x= j (y) (y Î C)叫做函数 改写成
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
定义
F:A ®B 反函数
映射 函数
一般研究
图像 性质 二次函数
具体函数
指数 指数函数 对数 对数函数
二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就 相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数
高中数学第一章-集合
考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握 有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条 件的意义．
2
D>0
二次函数
D=0
D<0
y = ax 2 + bx + c
（ a > 0 ）的图象 一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
(a > 0)的根
ax 2 + bx + c = 0
x1 , x2 ( x1 < x2 )
x1 = x2 = -
b 2a
无实根
ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集 ax 2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
y = f ( x)( x Î A) 的反函数，记作 x = f -1 ( y) ,习惯上
y = f -1 ( x)
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（二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
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2
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联 结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p q” )；非 p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用．
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考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 和性质．
{x x < x 或x > x }
1 2
ì bü íx x ¹ - ý 2a þ î
Æ
R
{x x
1
< x <x2 }
Æ
2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0)； ≥0(或 ≤0)的形式， g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)
1
2
m-3 3
m-2
m-1
m
x
（自右向左正负相间） 则不等式 a0 x n
+ a1 x n-1 + a2 x n-2 + ! + an > 0(< 0)(a0 > 0) 的解可以根据各区间的符号确定.
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特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论； ②一元二次不等式 ax +box>0(a>0)解的讨论.
（3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式： 原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；
否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 Û 逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p Þ q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 若 p Þ q 且 q Þ p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p⇔q. 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成 立，这样的证明方法叫做反证法。
高考数学(精讲精练精析)专题7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划试题(江苏版)(含解析)-江
专题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划【三年高考】1. 【2016高考江苏12】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则22x y+的取值范围是 .【答案】4 [,13] 5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.2．【2016高考浙江理数改编】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= ．【答案】32考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．3.【2016年高考北京理数改编】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4．考点：线性规划.xy OP【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解.4．【2016年高考四川理数改编】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的 ．（在必要不充分条件、充分不必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故是必要不充分条件.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．5．【2016高考浙江文数改编】若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 . 352 3252考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．6.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果． 7.【2016高考山东理数改编】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是 ．【答案】10考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.8.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为 ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6．考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ①目标函数2100900z x y =+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900zy x =-+经过点M时,z 取得最大值. 解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.10【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】411.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为__________________. 【答案】1【解析】如图，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43，再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =.12.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为____________________.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】18万元13.【2015高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】1514.【2015高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为_______________.【答案】252【解析】画出可行域如图 在△ABC 区域中结合图象可知 当动点在线段AC 上时xy 取得最大 此时2x ＋y ＝10xy ＝12(2x ·y )≤21225()222x y +=当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点(52，5)落在线段AC 上，故最大值为252.15．【2014高考安徽卷文第13题】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.【答案】4A BCyx0 61410A【解析】不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分，则其表示的面积112222422ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=.16．【2014高考福建卷文第11题】已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为_________________.【答案】3717. 【2014高考全国1卷文第11题】设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =___.【答案】3【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：11(,)22a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值18. 【2014高考浙江卷文第12题】若、y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.【答案】]3,1[【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用这部分的考查，主要考查二元一次不等式（组）表示的平面区域、目标函数的最优解问题、与最优解相关的参数问题，高考中一般会以选填题形式考查．从近几年高考试题来看，试题难度较低，属于中低档试题，一般放在选择题的第5-7题或填空题的前两位．从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．对二元一次不等式（组）表示的平面区域的考查，关键明确二元等式表示直线或曲线，而二元不等式表示直线或曲线一侧的平面区域，以小题形式出现.对目标函数的最优解问题的考查，首先要正确画出可行域，明确目标函数的几何意义，以小题形式出现．对与最优解相关的参数问题，在近几年的高考中频频出现，并且题型有所变化，体现“活”“变”“新”等特点，在备考中予以特别关注．故预测2017年高考仍将以目标函数的最值，特别是含参数的线性规划问题，线性规划的综合运用是主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．【2017年高考考点定位】高考对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用的考查有以下几种主要形式：一是不等式（组）表示的平面区域；二是线性目标函数最优解问题；三是非线性目标函数最优解问题；四是线性规划与其他知识的交汇．【考点1】不等式（组）表示的平面区域 【备考知识梳理】二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【规律方法技巧】由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域. 【考点针对训练】1．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】若点(),x y P 满足约束条件022x x y a x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，且点(),x y P 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ．【答案】8【解析】由题意作出其平面区域，∵点(),x y P 所形成区域的面积为12，∴0a >，由2x y a -=，令x =0得2a y =-， 由22x y a x y -=+=⎧⎨⎩解得44,212832312a a a x S a ++=∴=⨯+⨯=∴=（），.2．【2015届安徽省淮南一中等四校高三5月联考】设不等式组310060360x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x =（10≠>a a 且）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,321,0【考点2】线性目标函数最优解问题 【备考知识梳理】名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解【规律方法技巧】线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解. 【考点针对训练】1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ . 【答案】3-【解析】可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为(1,0),(5,0),(1,4)A B C -,当目标函数过点(1,4)C 时z 取最小值3-．2. 【2015届浙江省宁波市高三下学期第二次模拟考试】已知点(x ，y)的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数.若4x －y 取到最大值8，则整数a 的最大值为___________. 【答案】5【考点3】非线性规划问题 【备考知识梳理】1.距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. 2.斜率型：形如z ＝y －bx －a. 【规律方法技巧】对于非线性目标函数的最优解问题，关键要搞清目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解． 【考点针对训练】1. 【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 . 【答案】8【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图OAB ∆内部（含边界），再作直线:0l x y +=，向上平移直线l ，z x y =+增大，当l 过点(1,2)B 时，z x y =+取得最大值3，因此2x y +的最大值为8．2. 【2015届湖南省怀化市中小学课改质量检测高三第一次模考】已知实数、x y 满足242y xx y y ⎧≤⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22)2()1(-+-=y x z 的最小值为____________________.【答案】95 【考点4】线性规划问题与其他知识交汇 【备考知识梳理】线性规划问题与其他知识交叉融合，不仅体现了高中数学常用的数学思想方法，比如数形结合思想，转化与化归思想，而且体现了学生综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力． 【规律方法技巧】线性规划问题可以和概率、向量、解析几何等交汇考查，关键是通过转化，最终转化为线性规划问题处理． 【规律方法技巧】1．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O ．若点M 是D 上的动点，则||OM OM OA ⋅的最小值是____________________.【答案】1010 【解析】设点M 的坐标为(,)x y ，则22||OA OMx OM x y⋅=+，根据约束条件画出可行域可知0x >，故222221||1OA OMx yx yOM x⋅==++，而y x 的几何意义为可行域的点与原点所确定直线的斜率，数形结合可知yx 的最大值为3，则||OM OM OA ⋅的最小值为1010.2．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数x ，y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是_______________. 【答案】[7,10]-【两年模拟详解析】1. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(－∞,3]【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域是以(0,0),(0,2),(1,0)O A B 为顶点的三角形内部（含边界），由题意00302303a +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，所以3a ≤．2．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤2，x ＋y ≤8，x ≥1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________． 【答案】1．【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤2，x ＋y≤8，x ≥1，，其是由点()1,7A ,()1,1B -,()5,3C 围成的三角形区域（包含边界），对于目标函数z ＝2x ＋y ，转化为直线2y x z =-+，过点()1,1B -时，z 最小，即2111z =⨯-=．3．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知实数,x y 满足约束条件152x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤-⎩，则2123y x -+的最大值为 . 【答案】75【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中)27,23(),3,1(),4,1(C B A ，而2321321y 2+-=+-x y x 表示可行域的点),(y x P到点)21,23(-E 连线的斜率,因此其最大值为.57231214=+-=EA k 4．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若实数,x y 满足约束条件1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则|3410|x y --的最大值为 .【答案】494【解析】1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示一个三角形ABC 及其内部，其中13(1,0),(0,0),(,)44A B C ，且可行域在直线上方34100x y --=，因此|3410|3410x y x y --=-++，过点13(,)44C 时取最大值，为494．5．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】某工厂用A ，B 两种配件分别生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件、耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 配件、耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时．若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为________万元． 【答案】146．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设不等式组204020xy xy y，，表示的平面区域为D ，若指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是_______. 【答案】(0,1)[3)+∞，【解析】可行域D 为一个开放的区域，如图（阴影部分）.当01a <<时，指数函数xy a =的图像与可行域D 恒有交点；当1a >时，需满足13a ≥，才能使指数函数x y a =的图像与可行域D 有交点；综上a 的取值范围是(0,1)[3)+∞，7．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b ++的最大值为_________. 【答案】75【解析】作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），13(,)22A ，(1,1)C ，设(,)P a b 是可行域内任一点，则OP b k a =的最大值为32312OA k ==，最小值为111OC k ==，23322222a b a b a b a b a +=-=-+++，可见当b a 取最大值3时，22a b a b ++也取最大值为75.8．【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z 2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】3-【解析】如下图所示，当直线2y x z =-+经过或行域||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,的边界点(1,1)A --时，目标函数的最小值3-.9．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为 ． 【答案】94【解析】作出约束条件表示的可行域，如图射线OA ，OB 所夹区域且在直线AB 上方(含边界)(AB 待定)，作直线:20l x y +=，平移直线l ，可见当l 过点A 时，z 取得最小值，此时2y x =代入得223x x +=，34x =，故有33(,)42A ，因此3324b =-+，94b =.10．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y的最小值为-2，则实数m 的值为______. 【答案】8【解析】如图，约束条件表示的可行域应该是ABC ∆内部（含边界）（否则可行域不存在），作直线:0l x y -=，当把直线l 向上平移时，z 减小，因此其最小值点是直线21y x =-与直线x y m +=的交点，由212y x x y =-⎧⎨-=-⎩得(3,5)B ，代入x y m +=得8m =.11．【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ． 【答案】4【解析】作出题中约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y +=，当直线l 过点(2,0)C 时，z 取最大值4.12．【徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测】已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 .【答案】2513a ≤【解析】画出由条件05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩决定的的可行域如下图所示，因为22222222()22()()11x y xy m x y x y m x y x y x y y x++≤+⇔≤=+=++++令y t x =，由线性规划知识可知312t ≤≤，则22111x y t y x t+=+++，令13(),(1)2f t t t t =+≤≤，由函数()f t 单调性可知，当32t =时，函数()f t 有最大值136，此时222()x y x y ++有最小值2513，所以2513a ≤及.13．【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ．【答案】6【解析】不等式组+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩表示的区域如图阴影部分所示：当直线20x y z +-=经过点(4,2)B -时，z 取得最大值6.故答案为6.14．【2015届山东师大附中高三第九次模拟】若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为_____________. 【答案】1【解析】由题意得：010x y kx y +=-+=与垂直，因此10, 1.k k -==15.【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】已知实数,x y 满足平面区域10:220220x y D x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为_______________.【答案】816.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则23a b+的最小值为_______________. 【答案】517.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】设⎩⎨⎧<≥-=,2,,2,y x y y x y x z 若22,22≤≤-≤≤-y x ，则z 的最小值为______________. 【答案】-1【解析】符合22,22≤≤-≤≤-y x 的区域如图所示：当2x y ≥时，目标函数z x y =-在A 点取得最小值-1；当2x y <时，目标函数z y =在A 点处取得最小值-1，综上可得：z 的最小值为-1．18.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当APB ∠最大时，PA PB ⋅的值为_____________. 【答案】3219.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-≥+,0121,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则实数m 的值为_____________.【答案】1拓展试题以及解析1.设不等式组204020x yx yy表示的平面区域为D，若指数函数xy a的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是__________________. 【答案】(1]3，【入选理由】本题主要考了简单的线性规划，以及指数函数的图像等相关概念,体现了分类讨论的数学思想,意在考查学生的数形结合能力和计算能力.本题考查线性规划与函数图象性质的交汇，通过研究函数xy a =的性质，来确定a 的取值范围，这是线性规划问题涉及不多，故选此题．2.执行如图的程序框图，如果输入,x y R ∈，那么输出的S 的的最小值是_______________.【答案】255121416182022243x+y-6=0x-y+1=0x+2y-2=0C 621A BOyx【入选理由】本题考查考查程序框图中的顺序结构，条件结构以及相应语句,线性规划的应用等基础知识知识，意在考查画图、用图,分析问题、解决问题、及基本运算能力.该题新颖独特，故选此题．3.已知不等式组202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的平面区域，则231x y z x +-=-的最大值 .【答案】7【入选理由】本题主要考查线性规划的应用等基础知识知识，意在考查学生的画图、用图，以及数形结合能力和计算能力.此题给出的目标函数231x y z x +-=-，似乎不好入手，但整理后2311211x y y z x x +--==+--，转化为斜率，就转化为常规题，高考线性规划问题的命题越来多变灵活，故选此题.。
江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：7-2计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列(必做部分)
第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列1．(2010·江苏卷)已知△ABC 的三边长都是有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．证明 (1)设三边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ，b ，c 是有理数，b 2＋c 2－a 2是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性， ∴b 2＋c 2－a 22bc 必为有理数，∴cos A 是有理数． (2)①当n ＝1时，显然cos A 是有理数；当n ＝2时，∵cos 2A ＝2cos 2A －1，因为cos A 是有理数，∴cos 2A 也是有理数；②假设当n ≤k (k ≥2)时，结论成立，即cos kA 、cos(k －1)A 均是有理数． 当n ＝k ＋1时，cos(k ＋1)A ＝cos kA cos A －sin kA sin A ＝cos kA cos A －12[cos(kA －A )－cos(kA ＋A )] ＝cos kA cos A －12cos(k －1)A ＋12cos(k ＋1)A解得：cos(k ＋1)A ＝2cos kA cos A －cos(k －1)A∵cos A ，cos kA ，cos(k －1)A 均是有理数， ∴2cos kA cos A －cos(k －1)A 是有理数， ∴cos(k ＋1)A 是有理数． 即当n ＝k ＋1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 是有理数．2．记⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2n 的展开式中，x 的系数为a n ，x 2的系数为b n ，其中n∈N *.(1)求a n ；(2)是否存在常数p ，q (p ＜q )，使b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 2n ，对n ∈N *，n ≥2恒成立？证明你的结论．解 (1)根据多项式乘法运算法则，得 a n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n . (2)计算得b 2＝18，b 3＝732.代入b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 2n ，解得p ＝－2，q ＝－1.下面用数学归纳法证明b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＝13－12n ＋23×14n (n ≥2且n ∈N *)①当n ＝2时，b 2＝18，结论成立． ②设n ＝k 时成立，即b k ＝13－12k ＋23×14k ， 则当n ＝k ＋1时， b k ＋1＝b k ＋a k 2k ＋1＝13－12k ＋23×14k ＋12k ＋1－122k ＋1＝13－12k ＋1＋23×14k ＋1.由①②可得存在常数p ＝－2，q ＝－1使结论对n ∈N *，n ≥2成立．3．(2014·泰州中学调研)已知多项式f (n )＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n . (1)求f (－1)及f (2)的值；(2)试探求对一切整数n ，f (n )是否一定是整数？并证明你的结论． 解 (1)f (－1)＝0，f (2)＝17.(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n ，f (n )是整数．①当n ＝1时，f (1)＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，结论成立，即f (k )＝15k 5＋12k 4＋13k 3－130k 是整数，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝15(k ＋1)5＋12(k ＋1)4＋13(k ＋1)3－130(k ＋1)＝C 05k 5＋C 15k 4＋C 25k 3＋C 35k 2＋C 45k ＋C 555＋C 04k 4＋C 14k 3＋C 24k 2＋C 14k ＋C 442＋C 03k 3＋C 13k 2＋C 23k ＋C 333－130(k ＋1)＝f (k )＋k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1.根据假设f (k )是整数，而k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1显然是整数．∴f (k ＋1)是整数，从而当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①、②可知对一切正整数n ，f (n )是整数． (i)当n ＝0时，f (0)＝0是整数(ii)当n 为负整数时，令n ＝－m ，则m 是正整数，由(i)知f (m )是整数，所以f (n )＝f (－m )＝15(－m )5＋12(－m )4＋13(－m )3－130(－m )＝－15m 5＋12m 4－13m 3＋130m ＝－f (m )＋m 4是整数．综上，对一切整数n ，f (n )一定是整数．4．(2012·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E(ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.5．(2014·无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝7 10.(1)求文娱队的队员人数；(2)写出ξ的概率分布列并计算E(ξ)．解设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，只会一项的人数是(7－2x)人．(1)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝710，∴P(ξ＝0)＝310，即C27－2xC27－x＝310.∴(7－2x)(6－2x)(7－x)(6－x)＝310，解得x＝2.故文娱队共有5人．(2)P(ξ＝1)＝C12·C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C25＝110，ξ的概率分布列为∴E(ξ)＝0×310＋1×35＋2×110＝45.6．(2014·徐州质检)一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．(1)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ.解(1)“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A，B，C.则P(A)＝50100＝12，P(B)＝P(C)＝25100＝14.因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为P 4(3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝14.(2)两次投掷得分ξ的得分可取值为0,1,2,3,4则： P (ξ＝0)＝P (C )P (C )＝116；P (ξ＝1)＝C 12P (B )P (C )＝2×14×14＝18； P (ξ＝2)＝C 12P (A )P (C )＋P (B )P (B )＝516； P (ξ＝3)＝C 12P (A )P (B )＝14；P (ξ＝4)＝P (A )P (A )＝14.∴E (ξ)＝0×116＋1×18＋2×516＋3×14＋4×14＝52.。
江苏高考知识点分析大全
江苏高考知识点分析大全江苏省高考是每年6月举行的一场重要考试，对于考生来说，备考过程中要掌握的知识点非常多。
本文将从不同科目的角度，对江苏高考的知识点进行分类整理和分析，供考生参考。
语文篇江苏高考语文卷相对来说较为灵活，但有一些常见的知识点是必须要掌握的。
1. 诗歌鉴赏：江苏高考经常会出现一篇诗歌赏析的题目，考生在备考过程中要掌握常见的诗歌鉴赏方法和技巧，并多读一些代表性的古代和现代诗歌作品。
2. 文言文阅读：江苏高考语文卷中通常会有一篇关于文言文阅读的题目，考生需要熟悉文言文的基本语法和常用词汇，掌握文言文阅读的技巧。
3. 现代文阅读：江苏高考语文卷中还会出现一篇现代文阅读的题目，考生需要对常见的文学作品、影视作品和新闻等进行广泛的阅读和了解，培养对现实生活的观察和思考能力。
数学篇江苏高考数学卷注重考察学生的思维能力和解决问题的能力，以下是一些重要的知识点。
1. 函数与方程：考生要熟练掌握函数的概念、性质和常见类型，理解函数与方程之间的关系，并能灵活运用解方程的方法解决实际问题。
2. 几何与三角函数：考生需要熟悉几何中的基本概念、定理和证明方法，同时还要掌握三角函数和解三角形的相关知识。
3. 数列与数学归纳法：数列与数学归纳法是江苏高考数学卷中经常出现的考题类型，考生需要掌握数列的概念、性质和常见类型，同时要能正确运用数学归纳法解决相关问题。
英语篇江苏高考英语卷涉及词汇、语法、阅读理解、写作等方面的知识点，以下是重要的考点。
1. 词汇与短语：考生需要熟练掌握英语中常见的词汇和短语，包括动词的时态和语态变化、形容词和副词的比较级和最高级用法等。
2. 语法与句子结构：考生需要掌握英语中的基本语法规则和句子结构，包括主谓一致、定语从句、虚拟语气和倒装句等。
3. 阅读理解：考生需要培养阅读理解的能力，包括对文章主旨的把握、理解常见的修辞手法和推理判断的能力，同时要能运用上下文推测词义和推断文章中的信息。
2019届江苏专用高考数学一轮复习第十六章圆锥曲线与方程16
解析 本题考查求解双曲线的方程.
由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 x2 - y2 =k(k>0),即 x2 - y2 =1,∵双曲线与椭圆 x2 + y2 =1
45
4k 5k
12 3
有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 x2 - y2 =1.
45
一题多解 ∵椭圆 x2 + y2 =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆x2 +y2 =1有公共焦点,
2 1 2m 1 2m
所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).
x my t,
由
x2
a2
y2 4a2
得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.
1
因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,
即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,
12 3
12 3
∴a2+b2=(±3)2=9①,
∵双曲线的一条渐近线为y= 5 x,∴ b = 5 ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为x2
2
a2
4
- y2 =1.
5
4.(2017天津文改编,5,5分)已知双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,
2
此时双曲线E的方程为 x2 - y2 =1.
4 16
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为 x2 - y2 =1.
江苏高考数学2019 (2)
江苏高考数学江苏省高考是中国的高考制度之一，在每年的6月份举行。
数学是高考的一门重要科目，也是考生们比较关注的科目之一。
本文将对江苏高考数学年的考试内容进行详细介绍和分析。
考试结构江苏高考数学成绩满分为150分，总共分为两个部分：选择题和填空题。
选择题（90分）选择题共有30道，每道题2分。
选择题主要考察学生的基础知识和解题能力，包括代数、几何、概率统计等内容。
填空题（60分）填空题共有10道，每道题6分。
填空题主要考察学生的计算能力和推理能力，包括解方程、求导、证明等内容。
考试内容选择题选择题涵盖了数学各个主题的知识点，如代数、几何、概率统计等。
以下是部分选择题的题目和解析：1.题目：已知函数$f(x)= \\log_2(x^24x+4)$，求f(f+3)的值。
解析：，将f(f+3)代入原函数中，得到$f(x+3)= \\log_2((x+3)^24(x+3)+4)$。
然后，化简方程，得到$f(x+3)=\\log_2(x^2+2x+1)$。
2.题目：已知三角函数$\\sin A = \\frac{3}{5}$，$\\cos A = \\frac{4}{5}$，求$\\tan A$的值。
解析：根据三角函数的定义，$\\tan A = \\frac{\\sin A}{\\cos A} = \\frac{\\frac{3}{5}}{\\frac{4}{5}} = \\frac{3}{4}$。
填空题填空题主要考察学生的计算和推理能力。
以下是部分填空题的题目和解析：1.题目：已知等差数列$\\{a_n\\}$的公差为2，首项为3，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式f f=f1+(f−1)f其中f1为首项，f为公差。
将已知值代入公式中，得到$a_{10} = 3 + (101)\\times2 = 21$。
2.题目：已知函数f(f)=f2−4f+4，求函数f(f)在f=2处的极值。
解析：，对函数求导，得到f′(f)=2f−4。
几何图形中的数量积问题
几何图形中的数量积问题平面向量数量积是江苏省高考数学中的C 级知识点，每年均以不同形式来考查，尤其例题：已知O 是△ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a ，∠BAC ＝120°，若AO →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y 的最小值是________________．变式1已知△ABC 内接于圆O 中，M 是BC 的中点，AC ＝3.若AO →·AM →＝4，则AB ＝________________．变式2已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c |的最大值是________________．串讲1如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________________．串讲2如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在直线m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，求AB →·AC →的最大值．(2018·南通三模)如图，已知AC ＝2，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM ⊥BN ，则AM →·CN →的最大值为____________．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝2，|c |＝1，(a －c )·(b －c )＝0，求|a －b |的取值范围． 答案：[7－1，7＋1]．解法1如图，设c ＝(1，0)，设A ，B 是以O 为圆心，2为半径的圆上两点， 且AC ⊥BC ，则|a －b |＝AB ＝2MC .4分∵MO 2＋MA 2＝OA 2，而MA ＝MC ，∴MO 2＋MC 2＝4.6分 设M (x ，y )，则x 2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－x ＝32.(*)，8分|a －b |＝AB ＝2MC ＝2（x －1）2＋y 2 ＝2x 2＋y 2－2x ＋1＝232＋x －2x ＋1＝10－4x .10分 由(*)知，1－72≤x ≤1＋72， ∴8－27≤10－4x ≤8＋27，12分即7－1≤10－4x ≤7＋1.∴7－1≤|a －b |≤7＋1. 即|a －b |的取值范围为[7－1，7＋1].14分解法2设c ＝(1，0)，a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由(a －c )·(b －c )＝0得，(2cos α－1)(2cos β－1)＋4sin αsin β＝0，2分 即4cos(α－β)－2(cos α＋cos β)＋1＝0，4分所以8cos 2α－β2－4cos α＋β2cos α－β2－3＝0，6分由|cos α＋β2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－β2－34cos α－β2≤1，解得7－14≤⎪⎪⎪⎪cos α－β2≤7＋14，8分 所以|a －b |＝4⎪⎪⎪⎪sinα－β2＝16－16cos 2α－β2≤16－（7－1）2＝7＋1，10分|a －b |＝16－16cos 2α－β2≥16－（7＋1）2＝7－1，12分即7－1≤|a －b |≤7＋1.所以|a －b |的取值范围为[7－1，7＋1]14分例题 答案：2.解法1以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立直角坐标系，则C ⎝⎛⎭⎫2a ，0，B ()－a ，3a ，用几何方法，可得 O ⎝⎛⎭⎫1a ，33⎝⎛⎭⎫2a ＋1a .由AO →＝xAB →＋yAC →，得⎝⎛⎭⎫1a ，33⎝⎛⎭⎫2a ＋1a ＝(－ax ，3ax)＋⎝⎛⎭⎫2a y ，0，∴x ＝23＋13·1a 2，y ＝23＋13a 2，则x ＋y ≥43＋23a 2·1a2＝2.当a ＝1时，x ＋y 取得最小值为2.解法2因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 120°＝2a·2a ·⎝⎛⎭⎫－12＝－2，设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，又AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝AD →·AB →＝12AB →2＝2a 2，同理， AO →·AC →＝12AC →2＝2a2.∴⎩⎪⎨⎪⎧AO →·AB →＝xAB →2＋yAB →·AC →，AO →·AC →＝xAB →·AC →＋yAC →2.即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x －2y ＝2a 2，－2x ＋4y a 2＝2a 2.解得⎩⎨⎧x ＝2a 2＋13a 2，y ＝a 2＋23.所以，x ＋y ＝2a 2＋13a 2＋a 2＋23＝43＋13⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥43＋23a 2·1a2＝2.当且仅当a ＝1时，上式等号成立，此时△ABC 是等腰三角形．变式联想变式1 答案：7.解法1因为O 是三角形外心，M 是BC 边的中点.AO →·AM →＝12AO →·()AB →＋AC →＝14AB →2＋14AC →2＝14AB →2＋94＝4，所以AB →2＝7.即AB ＝7. 解法2延长AO 交圆O 于D ，连接BD ，DC ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC.AO →·AM →＝12AD →·12(AB →＋AC →)＝14(AD →·AB →＋AD →·AC →)＝14(AB →＋BD →)·AB →＋14(AC →＋CD →)·AC →＝14AB →2＋14AC →2＝14AB →2＋94＝4，AB →2＝7.即AB ＝7. 解法3建系：以BC 为x 轴，OM 为y 轴，建立平面直角坐标系，设B(－a ，0)，C(a ，0)，O(0，b)，A(c ，d)．由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝c 2＋（d －b ）2，（c －a ）2＋d 2＝9，c 2＋d 2－db ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4－bd ，2ac ＝－1，c 2＋d 2＝4＋db.AB 2＝(a ＋c)2＋d 2＝a 2＋2ac ＋c 2＋d 2＝7，AB ＝7. 变式2答案：2＋1.解法1不妨设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则a －c ＝(1－x ，－y )，3b －c ＝(－x ，3－y )，由题意得－x (1－x )－y (3－y )＝1，整理得x 2＋y 2－x －3y －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝2，它表示以⎝⎛⎭⎫12，32为圆心，以2为半径的圆，则|c |表示该圆上的点到原点(0，0)的距离，从而|c |max ＝2＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝2＋1.解法2由解法1得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝2，令⎩⎨⎧x ＝12＋2cos α，y ＝32＋2sin α，(α为参数)则 |c |2＝⎝⎛⎭⎫12＋2cos α2＋⎝⎛⎭⎫32＋2sin α2＝3＋2cos α＋6sin α＝3＋22cos(α－θ)(其中tan θ＝3)，所以|c |max 2＝3＋22，于是|c |max ＝1＋ 2.串讲激活串讲1答案：4.解法1记AB →，AC →方向上的单位向量分别为a ，b ，则a 2＝b 2＝1，a ·b ＝12，AB →＝4a ，AC→＝6b .从而AD →＝2a ，AE →＝2b ，AF →＝12(AD →＋AE →)＝a ＋b ，BF →＝AF →－AB →＝b －3a ，DE →＝AE →－AD→＝2b －2a .所以BF →·DE →＝(b －3a )·(2b －2a )＝2b 2＋6a 2－8a ·b ＝2＋6－4＝4.解法2取CE 的中点G ，连接BG ，设BG 的中点为M ，连接FM ，则BM →＝DE →，且FM ⊥BM ，所以BF →·BM →＝BM →2＝BM 2＝DE 2＝22＝4.解法3若对坐标法情有独钟，也可以以A 为原点，AB →方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (3，33)，从而D (2，0)，E (1，3)，F ⎝⎛⎭⎫32，32，所以BF→＝⎝⎛⎭⎫－52，32，DE →＝(－1，3)，所以BF →·DE →＝52＋32＝4.串讲2 答案：214. 解法1(AB →＋AC →)2＝(AB →－AC →)2＋4AB →·AC →AB →·AC →＝14(25－CB →2)≤14(25－22)＝214.解法2如图所示，建立直角坐标系，则A(0，3)，设B(x 1，2)，C(x 2，0)，则AB →＝(x 1，－1)，AC →＝(x 2，－3)，因为|AB →＋AC →|＝5，所以(x 1＋x 2)2＋(－4)2＝25，即(x 1＋x 2)2＝9，而AB →·AC →＝x 1x 2＋3≤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋3＝94＋3＝214(当且仅当x 1＝x 2时取等号)． 新题在线答案：14.解法1由题意可知，BM ⊥BN ，∠AMB ＝90°，所以AM ∥BN ，因为AC ＝2，B 为AC 的中点，所以BN ＝BC ＝BA ＝1，设∠NBC ＝∠MAB ＝α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AM →·CN →＝AM →·(BN →－BC →)＝AM →·BN →－AM →·BC →＝|AM →||BN →|－|AM →||BC →|cos α＝|AM →|－|AM →||AB →|cos α＝|AM →|－|AM →|2，令|AM →|＝t ，0＜t ＜1，AM →·CN →＝t －t 2∈⎝⎛⎦⎤0，14，所以AM →·CN →的最大值为14. 解法2AM →·CN →＝(BM →－BA →)·(BN →－BC →)＝－BM →·BC →－BA →·BN →＋BA →·BC →＝BM →·BA →＋cos α－1＝|BM →||BA →|sin α＋cos α－1＝|BM →|2＋|AM →|－1＝－|AM →|2＋|AM →|，以下同解法1.解法3以点B 为坐标原点，线段AC 所在的直线为x 轴，线段AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．设∠NBC ＝∠MAB ＝α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则M(－sin 2α，sin αcos α)，N(cos α，sin α)，A(－1，0)，C(1，0)，AM →·CN →＝(1－sin 2α，sin αcos α)·(cos α－1，sin α)＝(1－sin 2α)(cos α－1)＋sin 2αcos α＝cos α－1＋sin 2α＝－cos 2α＋cos α，令cos α＝t ，0＜t ＜1，以下同解法1.解法4同解法3建系，设直线BN 的斜率为k(k ＞0)，则直线BM 的斜率为－1k，则直线BN 的方程为y ＝kx ，直线BM 的方程为y ＝－1k x ，联立⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2＋y 2＝1，解得N ⎝⎛⎭⎪⎫11＋k 2，k 1＋k 2，联立 ⎩⎨⎧y ＝－1kx ，⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝14，解得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2k 2＋1，k k 2＋1，因为A(－1，0)，C(1，0)，所以AM →＝⎝⎛⎭⎫1k 2＋1，k k 2＋1，CN →＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－1，k 1＋k 2，AM →·CN →＝1k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－1＋k k 2＋1·k 1＋k 2＝1k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋11＋k 2－1＝11＋k 2－ 1k 2＋1，令t ＝11＋k 2，则0＜t ＜1，以下同解法1.。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题12 圆锥曲线的基本问题
y2 x2 程为 a2 － b2 ＝ 1(a>0 ， b>0) ，根据定义 2a ＝ | 152＋12 － 152＋72|＝4，故 a＝2.又 b2＝32－22＝5，故所求双曲线方 y2 x2 程为 4 － 5 ＝1.
法二
x2 y2 y2 x2 ＋ ＝1 的焦点坐标是(0，± 3)，设双曲线方程为 2－ 2＝ 27 36 a b
解析
c (1)因为双曲线的离心率 e＝ ＝2，所以 b＝ 3a，所以双曲 a
b p 线的渐近线方程为 y＝± 与抛物线的准线 x＝－2相交于 ax＝± 3x，
p A －2， p 1 p 3 3 ，B－ ，－ p，所以△AOB 的面积为2×2× 3p p 2 2 2
热点与突破
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
x2 y2 【例 1】 设双曲线与椭圆 ＋ ＝1 有共同的焦点，且与椭圆相 27 36 交，一个交点的坐标为 ( 15，4)，则此双曲线的标准方程是 ________________． 解析 法一 x2 y2 3)，设双曲线方 27＋36＝1 的焦点坐标是(0，±
2 2
16 15 1(a>0，b>0)，则 a ＋b ＝9， 2 － 2 ＝1，解得 a2＝4，b2＝5，故 a b y2 x2 所求双曲线方程为 4 － 5 ＝1. 法三 x2 y2 设双曲线方程为 ＋ ＝1(27<λ<36)， 由于双曲线过 27－λ 36－λ
15 16 点( 15，4)，故 ＋ ＝1，解得 λ1＝32，λ2＝0(舍去)，故 27－λ 36－λ y2 x2 所求双曲线方程为 4 － 5 ＝1. 答案 y2 x2 － ＝1 4 5
热点二 圆锥曲线的几何性质 x2 2 【例 2】 (2013· 浙江卷改编)如图，F1，F2 是椭圆 C1： ＋y ＝1 4 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象 限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 ________．
江苏高考数学试卷及解析
2024江苏高考数学试卷及解析2024年江苏高考数学试卷及解析一、确定文章类型本文是一篇说明文，旨在为读者解析2024年江苏高考数学试卷的题型、难度及考察重点。
文章将通过总分总的逻辑结构，对试卷进行全面阐述，以便为广大考生提供备考参考。
二、提取关键词1.2024年江苏高考数学试卷2.题型及难度3.考察重点4.备考策略三、展开情节首先，我们来了解一下2024年江苏高考数学试卷的基本情况。
据悉，2024年江苏高考数学试卷将沿用全国卷，由教育部考试中心统一命题，全面考察学生的数学素养和解决问题的能力。
试卷总分为150分，考试时间为120分钟。
接下来，我们详细分析一下试卷的题型及难度。
据考纲分析，2024年江苏高考数学试卷将分为选择题、填空题和解答题三个部分。
选择题注重基础知识的理解和应用，难度适中；填空题则更加注重思维能力和计算能力，难度稍高；解答题则是考察学生综合运用数学知识解决问题的能力，难度较大。
总体而言，试卷难度适中，侧重于基础知识的理解和应用。
接下来，我们进一步深入探讨试卷的考察重点。
根据往年经验，高考数学试卷主要考察学生的数学素养、基础知识的掌握程度、思维能力和解决问题的能力。
具体而言，试卷将涉及到数与代数、空间几何、概率统计等多个知识点，着重考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
最后，我们来探讨一下应对2024年江苏高考数学试卷的备考策略。
首先，考生需要夯实基础，熟练掌握各个知识点，做到举一反三、触类旁通。
其次，考生需要注重思维能力的训练，通过多种题型的练习来提高自己的思维能力和解决问题的能力。
同时，考生还需要注重实践操作，通过解决实际问题来提高自己的数学应用能力。
最后，考生应该在平时的复习中注重时间管理，提高做题速度和效率，以便在考试中取得优异的成绩。
四、引用权威资料为了使文章更加权威可信，我们引用了教育部考试中心发布的《2024年江苏高考数学考试大纲》，详细阐述了高考数学试卷的题型、难度及考察重点。
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
平行，OO 为铅垂线( O 在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1 (米)与 D 到 OO 的距离来自a(米)之间满足关系式
h1
1 40
a2
；右侧曲线
BO
上任一点
F
到
MN
的距离
h2
(米)与
F
到
OO
的距离
b(米)
之间满足关系式
h2
1 b3 800
6b .已知点
B
到 OO 的距离为
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间 为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效. 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置． 上．． 1.已知集合 A {1, 0,1, 2}, B {0, 2, 3}，则 A B _____.
【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数的公式进行求解即可．
【详解】∵数据 4, 2a, 3 a, 5, 6 的平均数为 4 ∴ 4 2a 3 a 5 6 20 ，即 a 2 .
今年江苏省高考数学
今年江苏省高考数学
今年江苏省高考数学考试的部分共计100分，包括选择题、填空题和解答题。
选择题占60分，填空题占30分，解答题占
10分。
其中选择题分为单选题和多选题，共计50道题目。
每道题目
有ABCDE五个选项，考生需要在答题卡上选出唯一正确的选项。
填空题共有10道，每道题都需要考生写出完整的解答过程，
按正确答案给出对应的数值。
解答题共有5道，每道题都是计算题或者证明题。
考生需要按照题目要求进行求解或证明，并且写出完整的解题过程，逐步推导出最终答案。
今年的数学考试内容涉及数列、函数、三角函数、数与式、平面几何等知识点，注重考察考生对基础概念和方法的理解和应用能力。
考试时间为120分钟。
考生需要合理安排答题时间，尽量留出时间检查和修改答案。
根据往年的经验，数学考试难度适中，注重综合应用题的考查，也有一些基础题目。
建议考生在考前进行充分的复习和题型训练，做好备考准备。
希望所有考生都能在今年的数学考试中取得好成绩，实现自己的高考目标！。