一级倒立摆的LQR控制器设计(一)

沈阳航空航天大学

课程设计

（论文）

题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）

班级 04070202

学号 2010040702069

学生姓名杨贺

指导教师王昱

0. 前言 (1)

0.1 倒立摆的背景及简介 (1)

0.2 MATLAB简介及应用 (1)

1. 一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论 (4)

1.1 一级倒立摆模型基本理论 (4)

1.2 线性二次最优控制LQR基本理论 (7)

2. 方案设计 (10)

3. 软件编程 (10)

4. 系统调试和结果分析 (12)

5. 结论及进一步设想 (13)

参考文献 (14)

课设体会 (15)

直线一级倒立摆LQR控制器的设计（一）

杨贺沈阳航空航天大学自动化学院

摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台，对倒立摆的控制可以用拉格朗日方法建模，设计倒立摆二次型最优LQR控制器，通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。

关键词：倒立摆；状态反馈；MATLAB仿真

0.前言

0.1倒立摆的背景及简介

倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计，倒立摆系统是一个经典的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，是用来检验某种控制理论或方法的经典方案。倒立摆控制理论产生的方法和技术在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。因此研究倒立摆系统具有重要的实践意义，一直受到国内外学者的广泛关注。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的，控制电机可以是单电机，也可以是多级电机。

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。

0.2 MATLAB简介及应用

对于倒立摆的研究，用到的最多的软件就是MATLAB，这次课设也不例外，所以在这里，对MATLAB进行一些简单的介绍。

在20世纪70年代中期，Cleve Moler博士和其同事在美国国家科学基金的资助下开发了调用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序库。EISPACK是特征值求解的FORTRAN程序库，LINPACK是解线性方程的程序库。在当时，这两个程序库代表矩阵

运算的最高水平。

到20世纪70年代后期，身为美国New Mexico大学计算机系系主任的Clev e Moler，在给学生讲授线性代数课程时，想教学生使用EISPACK和LINPACK程序库，但他发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间，于是他开始自己动手，利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序。Cleve Moler给这个接口程序取名为MATLAB，该名为矩阵（matrix）和实验室（laboratory）两个英文单词的前三个字母的组合。在以后的数年里，MATLAB在多所大学里作为教学辅助软件使用，并作为面向大众的免费软件广为流传。

1983年春天，Cleve Moler到Stanford大学讲学，MATLAB深深地吸引了工程师John Little。John Little敏锐地觉察到MATLAB在工程领域的广阔前景。同年，他和Cleve Moler、Sieve Bangert一起，用C语言开发了第二代专业版。这一代的MATLAB语言同时具备了数值计算和数据图示化的功能。

1984年，Cleve Moler和John Lithe成立了MathWorks公司，正式把MATLAB推向市场，并继续进行MATLAB的研究和开发。

在当今30多个数学类科技应用软件中，就软件数学处理的原始内核而言，可分为两大类。一类是数值计算型软件，如MATLAB、Xmath、Gauss等，这类软件长于数值计算，对处理大批数据效率高；另一类是数学分析型软件，如Mathematica、Maple等，这类软件以符号计算见长，能给出解析解和任意精度解，其缺点是处理大量数据时效率较低。MathWorks公司顺应多功能需求之潮流，在其卓越数值计算和图示能力的基础上，又率先在专业水平上开拓了其符号计算、文字处理、可视化建模和实时控制能力，开发了适合多学科、多部门要求的新一代科技应用软件MATLAB。经过多年的国际竞争，MATLAB 已经占据了数值型软件市场的主导地位。

在MATLAB进入市场前，国际上的许多应用软件包都是直接以FORTRAN和C语言等编程语言开发的。这种软件的缺点是使用面窄、接口简陋、程序结构不开放以及没有标准的基库，很难适应各学科的最新发展，因而很难推广。MATLAB的出现，为各国科学家开发学科软件提供了新的基础。在MATLAB问世不久的20世纪80年代中期，原先控制领域里的一些软件包纷纷被淘汰或在MATLAB上重建。

时至今日，经过Math Works公司的不断完善，MATLAB已经发展成为适合多学科、多种工作平台的功能强劲的大型软件。在国外，MATLAB已经经受了多年考验。在欧美等高校，MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB被广泛用于科学研究和解决各种具体问题。

MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着MATLAB 的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。而且新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。简单的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。

MATLAB是一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。新版本的MATLAB语言是基于最为流行的C++语言基础上的，因此语法特征与C++语言极为相似，而且更加简单，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。使之更利于非计算机专业的科技人员使用。而且这种语言可移植性好、可拓展性极强，这也是MATLAB能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。MATLAB自产生之时起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。可用于科学计算和工程绘图。新版本的MATLAB对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使它不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），MATLAB同样表现了出色的处理能力。同时对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，MATLAB也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。另外新版本的MATLAB还着重在图形用户界面（GUI）的制作上作了很大的改善，对这方面有特殊要求的用户也可以得到满足。

MATLAB对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。一般来说，它们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码。领域，诸如数据采集、数据库接口、概率统计、样条拟合、优化算法、偏微分方程求解、神经网络、小波分析、信号处理、图像处理、系统辨识、控制系统设计、LMI控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金融分析、地图工具、非线性控制设计、实时快速原型及半物理仿真、嵌入式系统开发、定点仿真、DSP与通讯、电力系统仿真等，都在工具箱（Toolbox）家族中有了自己的一席之地。

1. 一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR 基本理论

1.1 一级倒立摆模型基本理论

直线一级倒立摆建模：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平

衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。倒立摆系统由水平移动的小车及由其

支撑的单节倒立摆构成。控制输入为驱动力F （N ），是由拖动小车的直流伺服电机提供

的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ（rad ）和小车的位移x （m ）。

图1 倒立摆系统

假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g ；

摆杆的长度：2l =1m ；

小车的质量：M=1kg ；

重力加速度：g=10/s2；

摆杆惯量：I=0.003kgm2；

摆杆的质量在摆杆的中心。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：

M x F b x N ??=-- （1）

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：

2(s i n )d N m x l d t

θ=+ （2）将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：

2()c o s s i n M m x b x m l m l F θθθθ??????

+++-= （3）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：

2(c o s )d P m g m l dt

θ-=- （4）力矩平衡方程如下：

s i n c o s P l N l I θθθ??--= （5）

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：

2()s i n c o s I m l m g l m l x θθθ????

++=- （6）

微分方程模型：设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）

相比很小时，即Φ<<1时，则可以进行如下近似处理： 2c o s 1

s i n ()0d dt θθφ

θ=-=-= （7）

线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：

2()()I ml mgl ml x M m x b x ml u

φφφ?????????+-=???++-=? （8）传递函数模型：对上述方程组进行拉氏变换后得到：

22222()()()()()()()()()

I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s ml s s U s φφ?+-=??++-Φ=?? （9）解上述方程可得输入量为加速度，输出量为摆杆摆角的传递函数：

22()

()()s ml V s I ml s mgl

φ=+- （10）输入量为力，输出量为摆角的传递函数：

22432()()()()ml s s q b I ml M m mgl bmgl U s s s s s q q q

φ=+++-- （11） 22[()()()]q M m I ml ml =++- （12）状态空间数学模型

控制系统的状态空间方程可写成如下形式：

X A X B u Y C X D u

?=+

=+ （13）解代数方程可得如下解： 2222222222()()()()()()()()()x x

I ml b m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mlb mgl M m ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ??

?????????=??-++=++?++++++???=?-+?=++?++++++?

（14）整理后可得系统的状态空间方程：

22222222220

1000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ?????????????????

?????-++??????????????++++++??=+??????????????????????-+?????????????++++++????

u ?（15）

1000000100

x x x y u φφφ??????????????==+?????????????????????

? （16）对于质量均匀分布的摆杆，其转动惯量为：

213

I m l =

（17）代入微分方程模型中得：

221()3ml ml mgl ml x φφ????+-= （18）化简后可得：

3344g x l l φφ??

??=+ （19）设[],T X x x u x φφ????

== 则有： '01000000010001033000441000000100x x x x u g l l x x x y u φφφφφφφ????????????????????????????????????=+????????????????????????????????????????

????

????????==+??????????????????????

（20）课程设计要求：熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用MATLAB 高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。

1.2 线性二次最优控制LQR 基本理论

最优控制理论的形成和发展和整个现代自动控制理论的形成和发展十分不开的。在

20世纪50年代初期，就有人开始发表从工程观点研究最短时间控制问题的文章，尽管其最优性的证明多半借助于几何图形，仅带有启发性质，但毕竟为发展现代控制理论提供了第一批实际模型。由于最优控制问题引人注目的严格表述形式，特别是空间技术的迫切需求，从而吸引了大批科学家的密切注意。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的。而实际上碰到的更多的是容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们去探索、求解最优控制问题的新途径。在种种新方法中，有俩种方法最富成效：一种是苏联学者庞特里亚金的“极大值原理”；另一类是美国学者贝尔曼的“动态规划”。受力学中哈密顿原理的启发，庞特里亚金等人把“极大值原理”作为一种推测首先推测出来，随后不久又提供了一种严格的证明，并于1958年在爱丁堡召开的国际数学会议上首先宣读。“动态规划”是贝尔曼在1953-1957年逐步创立的，他依旧最优性原理发展了变分学中的哈密顿—雅可比理论，构成了“动态规划”。它是一种适用于计算机计算，处理问题范围更广的方法。在现代控制理论的形成和发展中，极大值原理、动态规划和卡尔曼的最优估计理论都起过重要的推动作用。

现代控制理论的形成和发展和数字计算机的飞速发展和广约应用密不可分。由于计算机的“在线”参与控制，这样，既不要求把控制器归结为简单的校正网络，也不一定要求有封闭形式的解析解，因此，使得最优控制的工程实现了可能。反过来又提出了许多新的理论问题，导致最优控制的直接和间接计算方法的大批研究成果的出现，进一步推动了控制理论的发展。现代控制理论的形成和发展和数字计算机的飞速发展和广约应用密不可分。由于计算机的“在线”参与控制，这样，既不要求把控制器归结为简单的校正网络，也不一定要求有封闭形式的解析解，因此，使得最优控制的工程实现了可能。反过来又提出了许多新的理论问题，导致最优控制的直接和间接计算方法的大批研究成果的出现，进一步推动了控制理论的发展。

最优控制的含义就是将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并且用数学语言严格的表示出来，最优控制可分为静态最有和动态最有两类。静态最优是指在稳定情况下实现最优，它反映系统达到稳态后的静态关系。系统中的各变量不随时间变化，而只表示对象在稳定情况下各参数之间的关系，其特性用代数方程来描述。大多数的生产过程受控对象可以用静态最优控制来处。

LQR (linear quadratic regulator)即线性二次型调节器,其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统,而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。LQR最优设计是指设计出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数J取最小值,而K由权矩阵Q 与R唯一决定,故此Q、R 的选择尤为重要。LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。特别可贵的是,LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律,易于构成闭环最优控制。而且MATLAB的应用为LQR理论仿真提供了条件,更为我们实现稳、准、快的控制目标提供了方便。

对于线性系统的控制器设计问题，如果其性能指标是状态变量和(或)控制变量的二次型函数的积分，则这种动态系统的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型最优控制问题或线性二次问题。线性二次型问题的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解过程的规范化，并可简单地采用状态线性反馈控制律构成闭环最优控制系统，能够兼顾多项性能指标，因此得到特别的重视，为现代控制理论中发展较为成熟的一部分。

LQR 最优控制利用廉价成本可以使原系统达到较好的性能指标(事实也可以对不稳定的系统进行整定) ,而且方法简单便于实现 ,同时利用MATLAB 强大的功能体系容易对系统实现仿真。

LQR 控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。本实验的主要内容是让实验者了解并掌握线性二次最优控制LQR 控制的原理和方法，并对直线一级倒立摆进行控制实验。

线性二次最优控制LQR 基本原理为，由系统方程：

Bu AX X .

+= 确定下列最佳控制向量的矩阵K ：

使得性能指标达到最小值：

式中 Q —正定（或正半定）厄米特或实对称阵

R —为正定厄米特或实对称阵

下面是最优控制LQR 控制原理图：

图2 最优控制

LQR 控制原理图

方程右端第二项是是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q 和R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。并且假设控制向量u(t) 是无约束的。

()()t x *K t u -=)(

dt u R u QX X J 0**?∞+=

对线性系统：

根据期望性能指标选取Q 和R ，利用MATLAB 命令lqr 就可以得到反馈矩阵K 的值。

K=lqr(A,B,Q,R)

改变矩阵Q 的值，可以得到不同的响应效果，Q 值越大（在一定范围之内），系统抵抗干扰的的能力越强，调整时间越短。但是Q 不能过大，其影响将在实验结果中阐释。因此，在本题目中，对于Q 与R 的选择很重要，只有选择好合适的 Q 与R 才能得到MATLAB 仿真的到正确的结果。

本题目的重点就是选择合适的Q 与R 。这需要通过反复的实验得出相对比较理想的Q 与R 。得到满足课设要求的结果。

2. 方案设计

LQR 控制电路的原理框图

图3 LQR 控制电路的原理框图

直线一级倒立摆系统的系统状态方程：

四个状态量x ，.

x ，φ，.φ分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出[]',y φx =包括小车位置和摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，

摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。

假定全状态反馈可以实现（4个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K,用MATLAB 中的lqr 函数，可以得到最优控制器对应的K 。Lqr 函数允许选择两个参数R

?????=+=

CX Y Bu AX X .u x x x x .........301004.2900100000000010????????????+??????????????????????????=??????????????φφφφ...0001000001y u x x x ??????+????????????????????=??????=φφφLQR 控制器设计 MATLAB 仿真

倒立摆模型

和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。假定R=1,Q=C'*C.其中

Q代表小车

1,1

位置权重，而

Q是摆杆角度的权重。当然，也可以通过改变Q矩阵中的非零元素来调3,3

节控制器已得到期望的响应。

3.软件编程

编程思路：在MATLAB中输入倒立摆模型中A阵、B阵、C阵以及自己选定Q阵与R阵，通过MATLAB中的LQR算法算出K阵。最后通过响应的画图程序仿真出响应的倒立摆阶跃响应曲线。

本次课设主要用到的是MATLAB进行仿真，程序如下：

clear;

A=[ 0 1 0 0; %输入矩阵A

0 0 0 0;

0 0 0 1;

0 0 29.4 0];

B=[ 0 1 0 3]'; %输入矩阵B

C=[ 1 0 0 0; %输入矩阵C

0 0 1 0];

D=[ 0 0 ]'; %输入矩阵D

Q11=1000; Q33=200; %确定Q11与Q33

Q=[Q11 0 0 0; %确定矩阵Q

0 0 0 0;

0 0 Q33 0;

0 0 0 0];

R = 1; %确定R值

K = lqr(A,B,Q,R) %算出K阵

Ac = [(A-B*K)]; Bc = [B]; Cc = [C]; Dc = [D];

T=0:0.005:5; %确定T值

U=0.2*ones(size(T)); %确定U值

[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T); %得到相应

plot(T,X(:,1),'-');hold on; %绘制响应曲线

plot(T,X(:,2),'-.');hold on;

plot(T,X(:,3),'.');hold on;

plot(T,X(:,4),'-')

legend('CartPos','CartSpd','PendAng','PendSpd') %图例

运行程序即可得到K 值。

4. 系统设计和结果分析

根据LQR 的基本理论和方案的设计以及MATLAB 程序，在MATLAB 中进行仿真，得到结果。

取1,1Q =1，3,3Q =1时，可得K = [ -1 -1.7855 25.422 4.6849]。

此时系统的响应曲线如下图：

图4 系统阶跃响应曲线1

从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是反方向移动。当缩短稳定时间和上升时间，可以发现：在Q 矩阵中，增加1,1Q 使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。显然这个结果是不符合要求的，不能实现对倒立摆的控制。所以要改变Q 与R ，经过反复的调试，得出比较合理的数值。

这里取1,1Q =4500，3,3Q =150，可得K =[-67.0820 -36.6380 107.8510 19.7621],

00.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.25-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

CartPos

CartSpd

PendAng

PendSpd

系统响应曲线如下：

图5 系统响应曲线2

综上，通过增大Q 矩阵中的1,1Q 和3,3Q ，系统的稳定时间和上升时间变短，超调量和摆杆的角度变化也同时减小。这样的Q 与R 是符合要求的。

5. 结论及进一步设想

LQR 控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。因此，只要建立合适的数学模型，通过现代理论的知识，试出比较合适的矩阵，设计合适的LQR 控制器，并通过MATLAB 进行实现控制系统的仿真，算出合适的K 矩阵，得到了符合要求的仿真结果，即一级倒立摆的各种状态量及控制量的响应曲线，就可以控制倒立摆了。由仿真的结果，可以看出本次试验基本上完成了课设的要求，达到了课设的目的，但由于知识有限，设计的Q 与R 阵还有一些缺陷。

进一步设想：LQR 最优算法是否能与其他算法一起作用来控制系统呢？如果不能，为什么，如果能，得到的控制器对于问题的控制会更准确方便，还是会适得其反呢。这个问题有时间要探究一下。

00.51 1.52 2.53 3.54 4.55-0.015-0.01

-0.005

0.005

0.01

0.015

0.02

CartPos

CartSpd

PendAng

PendSpd

参考文献

[1] 原思聪. MATLAB语言与应用技术. 北京：国防工业出版社，2011

[1] 郝裕森，戴先中. 过程控制工程. 北京：机械工业出版社，2010

[2] 于海生，丁军航等. 可微型计算机控制技术. 北京：清华大学出版社，2010

[3] 刘慧颖MATLAB R2006a基础教程. 北京：清华大学出版社，2007

[4] 程武山智能控制理论、方法与应用. 北京：清华大学出版社，2009

[5] 智能控制及其MATLAB实现.北京：电子工业出版社，2005

[6] 帅黎、陈铁军等. 智能控制实验与综合设计指导北京：清华大学出版社，2008

[7] 何正风MATLAB动态仿真实例教程. 北京：人民邮电出版社，2012

[8] 李人厚，王拓智能控制理论和方法. 西安：西安电子科技大学出版社，2013

课设体会

通过本次课设，我对LQR 算法有了一定的了解，还了解了一些倒立摆的控制方法以及建模问题。对MATLAB 的应用也更加的熟练了，真可谓受益匪浅。对于有些自己不懂的知识，多看书，多请教同学与老师，多探讨。既能学到东西又能和同学们多沟通，多接触，一举多得，通过这次课设，我熟悉了倒立摆实际控制系统的硬件结构形式和倒立摆

控制系统软件。同时复习了MATLAB 应用的一些知识，看到了自己的不足，也学习了许

多。培养了对于科学严谨的态度。

最后，要特别感谢王昱老师对我的耐心指导，在我有不明白的时候给我及时的讲解，让我更加深刻的了解我的课设内容，更让我学到更多的知识，教会了我一些解决问题的

方法，对我的影响很大，特此，表示感谢！

00.51 1.52 2.53 3.54 4.55

-0.015-0.01-0.00500.0050.010.0150.02 CartPos CartSpd PendAng PendSpd

[2013年7月 12日完成]

一阶倒立摆控制系统

一阶直线倒立摆系统姓名：班级：学号：

目录摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16)

摘要：该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。第一部分单阶倒立摆系统建模

（一）对象模型由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。图1.1 一阶倒立摆的物理模型根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4）

自动控制原理课程设计——倒立摆系统控制器设计

一、引言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。问题的提出倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。

单级倒立摆系统的分析与设计

单级倒立摆系统的分析与设计小组成员：武锦张东瀛杨姣李邦志胡友辉一．倒立摆系统简介倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型图1：单级倒立摆系统的物理模型

单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0

自动控制原理课程设计-倒立摆系统控制器设计

1 引言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。 1.1 问题的提出倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 1.2 倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，

需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。 2 直线倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函数。 2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法）微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。做以下假设： M小车质量m摆杆质量 b小车摩擦系数I 摆杆惯量

单级倒立摆稳定控制实验

单级倒立摆稳定控制实验一．实验目的 1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立； 2.掌握LQR控制器的设计方法； 3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。二．实验内容图1 一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。图2 直线一级倒立摆系统

其中： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。图3 （a ）小车隔离受力图；（b ）摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： Mx F bx N =--&&& (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()2 2sin d N m x l dt θ=+ (2) 即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-&&&&&

直线一级倒立摆控制器设计自动控制理论课程设计说明书

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计说明书课程名称：自动控制理论设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：电气工程系班级：0806152 设计者：段大坤学号：1082710118 指导教师：郭犇设计时间：2011.6.13-2011.6.20 哈尔滨工业大学教务处

哈尔滨工业大学课程设计任务书

1.1数学模型建立数学模型的建立过程需要用到以下参数： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ摆杆与垂直向上方向的夹角 θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下），其中 θπφ=+ 分析小车水平方向所受的合力可得： Mx F bx N =-- （1）由摆杆水平方向受力分析可得： 2 2(sin )d N m x l dt θ=+ （2）即 2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-（3）将（3）代入（1）可得系统的第一个运动方程： 2()cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-= （4）对摆杆垂直方向的合力进行分析可得： ()2 2cos d P mg m l dt θ-=- （5）即： 2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+（6）力矩平衡方程如下： sin cos Pl Nl I θθθ--=（7）将（6）（7）合并可得第二个运动方程：

2()sin cos I ml mgl mlx θθθ++=- （8） 1、微分方程模型由于θπφ=+，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ和1（弧度）相比很小时，即1 φ时，可进行如下近似处理：cos 1θ=-，sin θφ=-，2 ( )0d dt θ=。用u 代表被控对象的输入力F ，将模型线性化可得系统的微分方程表达式： 2 ()()I ml mgl mlx M m x bx ml u φφφ?+-=?? ++-=?? （9） 2、传递函数模型设初始条件为0，,对（9）进行拉普拉斯变换可得： 222 22 ()()()()()()()()() I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s s ml s s U s ?+Φ-Φ=??++-Φ=??（10）输出为角度φ，解方程组（10）的第一个方程可得： 22()()[]()I ml g X s s ml s +=-Φ （11）或2 22(()()s mls X s I ml s mgl Φ= +-）（12）令小车加速度v x =则有 22()()()s ml V s I ml s mgl Φ=+- 将（11）式代入方程组（10）的第二个方程可得 222 222()()()[]()[]()()()I ml g I ml g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s +++-Φ+-Φ-Φ= 以u 为输入量，以摆杆摆角φ为输出的传递函数为： 2 2 432()()()() ml s s q b I ml M m mgl bmgl U s s s s s q q q Φ=+++--

哈工大一阶倒立摆

哈尔滨工业大学控制科学与工程系控制系统设计课程设计报告

姓名：院（系）：专业：自动化班号：任务起至日期： 2014 年9 月9 日至 2014 年9 月20 日课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。系统内部各相关参数为: M小车质量0.5kg; m摆杆质量0.2kg; b小车摩擦系数0.1N/m/sec; l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m; I摆杆惯量0.006kg*m*m; T采样时间0.005秒。设计要求： 1.推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2.设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。 3.设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度错误！未找到引用源。和小车位移x的稳定时间小于3秒（2）x的上升时间小于1秒（3）错误！未找到引用源。的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。工作量： 1.建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2.倒立摆系统的PID控制器设计、Matlab仿真及实物调试； 3.倒立摆系统的极点配置控制器设计、Matlab仿真及实物调试。

哈尔滨工业大学 (1) 控制系统设计课程设计报告 (1) 一．实验设备简介 (3) 二．直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6) 2.1概述 (6) 2.2数学模型的建立 (7) 2.3一阶倒立摆的状态空间模型： (9) 2.4实际参数代入： (10) 三．定量、定性分析系统的性能 (11) 3.1 对系统的稳定性进行分析 (11) 3.2 对系统的稳定性进行分析： (12) 四. 实际系统的传递函数与状态方程 (13) 五. 系统阶跃响应分析 (14) 六．一阶倒立摆PID控制器设计 (15) 6.1 PID控制分析 (15) 6.2 PID控制参数设定及MATLAB仿真 (17) 6.3 PID控制实验 (18) 七．状态空间极点配置控制器设计 (19) 7.1 状态空间分析 (20) 7.2 极点配置及MA TLAB仿真 (21) 7.3 利用爱克曼公式计算 (21) 八．课程设计心得与体会 (22) 一．实验设备简介倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS）倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。

倒立摆系统的控制器设计

摘要倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 02()0.02725()()0.01021250.26705s G s V s s Φ==- ………… (1) 即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用Matlab 中的Simulink 仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发

散的。最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID 控制法对倒立摆系统进行校正。针对目标一：调整时间0.5(2%)s t s =误差带，最大超调量%10%≤p σ，选取参数利用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为： 135.1547( 5.0887) ()135.1547c s G s s +=+ ………………………… (2) 针对目标二：系统的静态位置误差常数为10；相位裕量为 50 ；增益裕量等于或大于10 分贝。通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为： 1189.6(8.15) ()99.01c s G s s +=+ …………………………… ……………………(3) 针对目标三：调整时间误差带）%2(2s t s =，最大超调量，%15%≤p σ，设计或调整PID 控制器参数，得出调整后的传递函数为： 150()21020c G s s s =++ ………………………………………. .(4)

控制系统课程设计---直线一级倒立摆控制器设计

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：班级：设计者：学号：指导教师：罗晶周乃馨设计时间：2013.9.2——2013.9.13

哈尔滨工业大学课程设计任务书姓名：院（系）：英才学院专业：班号：任务起至日期：2013 年9 月 2 日至2013 年9 月13 日课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。系统内部各相关参数为： M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005 秒。设计要求： 1．推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab 进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2．设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；

（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。 3．设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度θ和小车位移x的稳定时间小于3秒（2）x的上升时间小于1秒（3）θ的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。工作量： 1. 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试； 3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。

单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中仿真

单级倒立摆控制系统设计及simulink仿真摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。单级倒立摆系统是一种广泛应用的物理模型。控制单级倒立摆载体的运动是保证倒立摆稳定性的关键因素。为了避免常用的物理反馈分析方法和运动轨迹摄像制导控制方法的某些缺点，本文从力学的角度提出对倒立摆的运动进行纯角度制导分析，完成了对倒立摆载体的角度制导运动微分方程的数学建模，设计了该模型的模糊控制系统，并利用Matlab\simulink软件工具对倒立摆的运动进行了计算机仿真。实验表明，这种模糊控制配合代数解析方法的运算速度和计算机仿真的效果均较物理反馈制导控制方法有了一定的提高。该方法可以有效地改善单级倒立摆控制系统的性能。本论文的主要工作是研究了直线一级倒立摆系统的模糊控制问题，用Matlab和Simulink对一级倒立摆模糊控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。本文论述了一级倒立摆数学建模方法，推导出他们的微分方程，以及线性化后的状态方程。讨论了单级倒立摆系统的模糊控制方法和操作步骤。用Simulink实现了单级倒立摆模糊控制仿真系统，分别给出一级倒立摆系统控制量的响应曲线。通过仿真说明控制器的有效性和实现性。关键词：单级倒立摆；仿真；模糊控制；运动；建模；Simulink Design of single stage inverted pendulum control system and Simulink simulation Abstract: inverted pendulum system is unstable system with a typical multi variable, nonlinear, strong coupled and fast motion. So the research on the attitude adjustment of the double foot robot and the attitude adjustment of the rocket launching process and the helicopter flight control field have practical,significance. The related scientific research achievements have been applied to many fields such as aerospace science and robotics. Single inverted pendulum system is a widely used physical model. Controlling the movement of the single inverted pendulum is the key factor to guarantee the stability of the inverted pendulum. In order to avoid some shortings of mon physical feedback analysis method and motion trajectory camera guidance control method, this paper presents a pure angle guidance analysis on the motion of the inverted pendulum, and designs the

单级倒立摆经典控制系统

单级倒立摆经典控制系统摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。

至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念图1 一级倒立摆装置倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。

单级倒立摆

2011级自动化1班杨辉云 P111813841 一级倒立摆的模糊控制一．倒立摆的模型搭建 1. 单级倒立摆系统的数学模型对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数 f c =0.1。摆杆 θ 传送带导轨直线单级倒立摆 2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为 L （q ，。 .q ）=V （q ，。 q ）—G （q ，。 q ）（1）式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。 dt d x ??L — x ??L + x ??D = fi （2）

式中：D 是系统耗散能， f c 为系统的第i 个广义坐标上的外力。一级倒立摆系统的总动能为： V=θθcos x ml ml 3 2)(212 22。。。+++x m M （3）一级倒立摆系统的势能为： G=θcos mgl θ （4）一级倒立摆系统的耗散能为： D= 2 2 1 。x f c （5）一级倒立摆系统的拉格朗日方程为： 0=??+??-??θ θθD L L dt d (6) F X D X L X L dt d =??+??-?? (7) 将（1）到（5）式带入（6）式得到如下： 0sin sin sin cos m 3 422=-+。。。。。。 ——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8）（M+m ）F x ml ml x f c =+ +θθθθsin cos 2。。 — （9）一级倒立摆系统有四个变量：。。，，， θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得到系统的状态空间模型如下： =。X ? ?????0 000 0189.000748 .01-- 579.20 386.00 ??????0100+x ? ???? ? ??? ???-8173.007467 .00

一级倒立摆控制系统设计

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：

一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！ 1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为（2）摆杆重心的运动方程为得 sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=- 2 22 2(sin ) (2) (cos ) (3) x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=-

一阶倒立摆控制系统设计

课程设计说明书课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号

课程设计（论文）任务书指导教师签字：系（教研室）主任签字： 2013年3月5日

目录一、建立一阶倒立摆数学模型 (4) 1. 一阶倒立摆的微分方程模型 (4) 2. 一阶倒立摆的传递函数模型 (6) 3. 一阶倒立摆的状态空间模型 (7) 二、一阶倒立摆matlab仿真 (9) 三、倒立摆系统的PID控制算法设计 (13) 四、倒立摆系统的最优控制算法设计 (23) 五、总结............................................................................................... 错误！未定义书签。六、参考文献 (29)

一、建立一阶倒立摆数学模型首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。系统内部各相关参数定义如下： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ摆杆与垂直向上方向的夹角 θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1-2 小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有负号。

基于LQR的一级倒立摆设计说明

直线一级倒立摆LQR 控制器的设计摘要在控制理论上倒立摆使许多抽象的概念可以直观的表达出来。无论是在实践还是理论上都具有深刻的意义。可以用拉格朗日方法建模，设计倒立摆二次型最优控制器，通过MATLAB 仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。关键词：二次型；倒立摆；稳定控制前言倒立摆的最初研究开始于20世纪50年代，由美国麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计；而后人们有参照双足机器人控制问题研究出二级倒立摆设备，从而提高了检验控制论和方法的能力，也拓宽了检验围。在控制理论上倒立摆使许多抽象概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以直观的表现出来。同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。课程设计要求：熟悉倒立摆实际控制系统；对倒立摆系统建模；进行控制算法设计；进行系统调试和分析；利用MATLAB 高级语言编程，实现倒立摆稳定控制；实时输出波形，得出结论。一. 线性二次最优控制LQR 基本理论 LQR 控制器是应用线性二次型最优控制原理设计的控制器。它的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。线性二次最优控制LQR 基本原理为，由系统方程： X AX BU ? =+ 确定下列最佳控制向量的矩阵K ：使得性能指标达到最小值： ()() *u t K x t =-)(* * J X QX U RU dt ∞ =+?