2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题01 集合,常用逻辑用语(解析版)
专题1 集合，常用逻辑用语1.集合的运算.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.2. 充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．3.关于存在性命题与全称命题，一般考查命题的否定. 预测2020年将保持稳定，必考且难度不会太大.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知集合{}220A x x x =-≥，{}03B x x =<<，则A B =I （ ）A ．()1,3-B ．(]0,2C ．[)2,3D ．()2,3【答案】C 【解析】{|0A x x =≤Q 或2}x ≥，{|03}B x x =<<， [2,3)A B ∴⋂=．故选：C.2．（2020届山东省烟台市高三上期末）命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（ ）A ．2x ,10R x x ∀∈-+≤B ．2x ,10R x x ∀∈-+<C ．2000x ,10R x x ∃∈-+≤D ．2000x ,10R x x ∃∈-+<【答案】C 【解析】全称命题的否定“20,10x R x x ∃∈-+≤”，故选C.3．（2020届山东省日照市高三上期末联考）若集合 A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x 2＞1}，则 A∩B=（ ） A ．{x|x ＜﹣1或x ＞1}B ．{﹣2，2} C ．{2}D ．{0}【答案】B 【解析】由B 中不等式解得：x ＞1或x ＜﹣1，即B={x|x ＞1或x ＜﹣1}， ∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∩B={﹣2，2}， 故选B ．4．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知集合{}04A x Z x =∈<<，()(){}120B x x x =+-<，则A B =I （ ） A ．()0,2 B ．()1,2-C ．{}0,1D ．{}1【答案】D 【解析】由题意，集合{}{}041,2,3A x Z x =∈<<=， ()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<， 所以{}1A B ⋂=． 故选D ．5．（2020·云南省玉溪第一中学高二期末（理））“1x =”是“2210x x -+=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】1x =时，2210x x -+=成立，故是充分的，又当2210x x -+=时，即2(1)0x -=，1x =，故是必要的的，因此是充要条件．故选A ．6．（2020届山东省泰安市高三上期末）若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|14}x x <„ B ．{|14}x x << C ．{1,2,3} D ．{2,3}【答案】D 【解析】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ， {|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.故选:D7．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|B x y ==，则A B =U （ ）A ．{}1|2x x -≤≤B ．{}|02x x ≤≤C ．{}1|x x ≥-D ．{}|0x x ≥【答案】C 【解析】由题,因为220x x --≤,则()()210x x -+≤,解得12x -≤≤,即{}|12A x x =-≤≤； 因为0x ≥,则{}|0B x x =≥, 所以{}|1A B x x ⋃=≥- 故选：C8．（2020届山东省潍坊市高三上期中）m 、n 是平面α外的两条直线，在m ∥α的前提下，m ∥n 是n ∥α的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】//m α，则存在l α⊂有//m l .而由//m n 可得//n l ，从而有//n α.反之则不一定成立，,m n 可能相交，平行或异面.所以//m n 是//n α的充分不必要条件，故选A9．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】必要性：设()sin 1f x a x =+，当0a >时，()[]1,1f x a a ∈-+，所以10a -<，即1a >；当0a <时，()[]1,1f x a a ∈+-，所以10a +<，即1a <-.故1a >或1a <-. 充分性：取02x π=，当1a <-时，0sin 10a x +<成立.答案选A10．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知集合{|11}A x x =-≤≤，则A N ⋂=（ ） A ．{1} B ．{0,1} C ．{}1- D ．{0,1}-【答案】B 【解析】由题意{0,1}A N =I ． 故选：B.11．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知集合{}|21xA x =≤，(){}|lg 1B x y x ==-，则()R A C B =I （ ） A ．∅ B ．(0,1) C ．(,1]-∞ D ．(,0]-∞【答案】D 【解析】由题：{|21}{0}xA x x x =≤=≤，(){|lg 1}{|1}B x y x x x ==-=>， {1}RC B x x =≤，()(,0]R A C B =-∞I故选：D12．（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b r r 是非零向量，则2a b =r r是a a bb =r r rr 成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =v v 可知：a b v v ， 方向相同，a b a bvv v v ， 表示 a b v v ， 方向上的单位向量所以a ba b=v v v v 成立;反之不成立.故选B13．（2020届山东省德州市高三上期末）已知全集U =R ，{}2|9A x x =<，{}|24B x x =-<<，则()R A B I ð等于（ ）A ．{}|32x x -<<-B ．{}|34x x <<C ．{}|23x x -<<D ．{}|32x x -<≤-【答案】D 【解析】{}{}2933A x x x x =<=-<<Q ，{}24B x x =-<<，则{2U B x x =≤-ð或}4x ≥，因此，(){}32R A B x x ⋂=-<≤-ð. 故选：D.14．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设集合{2,1,0,1,2}P =--，{}2|20Q x x x =+-<，P Q =I （ ）A ．{1,0}-B ．{1,0,1}-C ．{0,1}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】{}{}2|20|21Q x x x x x =+-<=-<<，所以P Q =I {0,1}， 故选：C.15．（2020·全国高三专题练习（文））“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ） A ．1a ≤- B ．14a -≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤【答案】A 【解析】Q “[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题，21a x ∴≤-对任意的[]1,2x ∈恒成立，由于函数21y x=-在区间[]1,2上单调递增，则min 1y =-，1a ∴≤-. 故选：A.16．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是（ ） A ．对任意x ∈R ，都有221x x +> B ．对任意x ∈R ，都有221x x +≥ C ．存在x ∈R ，使得221x x +> D ．存在x ∈R ，使得221x x +≥【答案】D 【解析】命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是存在x ∈R ，使得221x x +≥. 故选：D.17．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．18．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知集合{}2230A x x x =--<，{}22B x x =-<<，若A B =I （ ）A ．(2,2)-B ．(2,1)-C ．(1,3)-D ．(1,2)-【答案】D 【解析】由(3)(1)0x x -+<得13x -<<，(1,3)A ∴=-，又(2,2)B =-Q ，(1,2)A B ∴=-I ， 故选：D.19．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知命题:p “,10x x R e x ∃∈--≤”，则命题:p ⌝（ ）A ．,10x x R e x ∀∈-->B ．,10x x R e x ∀∉-->C ．,10x x R e x ∀∈--≥D ．,10x x R e x ∃∈-->【答案】A 【解析】因为命题“,p q ∃”的否定为：,p q ∀⌝，因此命题:p “,10xx R e x ∃∈--≤”的否定为：,10xx R e x ∀∈-->，选A.20．（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是（ ） A ．102a <<B ．01a <<C ．1a >D ．24a <<【答案】D 【解析】∵1a >时，()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数，∴函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是(1,)∈+∞a 的一个子集，又(2,4)(1,)⊂+∞，故选：D.21．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知集合{}{}2230,21A x x x B x x x Z =--≤=-≤<∈且，则A B =I （ ）A ．{}2,1--B ．{}1,0-C ．{}2,0-D ．{}1,1-【答案】B 【解析】2230x x --≤解得：13x -≤≤ ，{}13A x x ∴=-≤≤,{}2,1,0B =--， {}1,0A B ∴=-I .故选：B22．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤ (){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A23．（2020届山东省济宁市高三上期末）设集合{|11}M x x =-≤≤，{|124}xN x =<<，则M N =IA ．{|10}x x -≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x ≤<D ．{|12}x x -≤<【答案】B 【解析】因为{|11}M x x =-≤≤，{}|124{|02}xN x x x =<<=<<,所以{|01}M N x x ⋂=<≤，故选B.24．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】∵,x R ∀∈2210ax ax ++>，∴0a =或2440a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即0a =或01a <<，∴01a ≤<．∴“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的充分不必要条件． 故选：A.25．（2020届山东省临沂市高三上期末）设集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B =I （ ） A ．{}6x x > B ．{}12x x <<C ．{}1x x <D ．{}26x x <<【答案】C【解析】()(){}{1601A x x x x x =-->=<Q 或}6x >，{}{}202B x x x x =->=<，因此，{}1A B x x ⋂=<. 故选：C.26．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,3D ．()1,3-【答案】D 【解析】集合A ＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x ＜1}， B ＝{x|x （x ﹣3）＜0}＝{x|0＜x ＜3}， 则A ∪B ＝{x|﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选：D ．27．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知{}|13A x x =-≤<，{}0,2,4,6B =，则A B =I ( ) A ．{}0,2 B ．{}1,0,2-C ．{}|02x x ≤≤D ．{}1|2x x -≤≤【答案】A 【解析】因为{}|13A x x =-≤<，{}0,2,4,6B =， 所以{}0,2A B =I . 故选：A.28．（2020届山东省临沂市高三上期末）“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，故“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的充分不必要条件 故选：A .29．（2020届山东实验中学高三上期中）命题:“(),0,34xxx ∀∈-∞≥”的否定为（ ）A ．[)0000,,34xx x ∃∈+∞<B ．[)0000,,34xx x ∃∈+∞≤C ．()000,0,34xx x ∃∈-∞<D ．()000,0,34xxx ∃∈-∞≤【答案】C 【解析】命题“(),0,34xxx ∀∈-∞≥”是全称命题，则命题的否定是特称命题即()000,0,34xxx ∃∈-∞<，故选：C ．30．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出； 因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.31．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知A ,B ,C 为不共线的三点,则“AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r”是“ABC∆为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方得到222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AB AC ∴⋅=u u u r u u u r ，即AB AC ⊥u u u r u u u r 故ABC ∆为直角三角形，充分性；若ABC ∆为直角三角形，当B Ð或C ∠为直角时，AB AC AB AC +≠-u u u r u u u r u u u r u u u r ，不必要；故选：A32．（2020届山东实验中学高三上期中）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】 {}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为A B B =I ，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D. 二、多选题33．（2020届山东省济宁市高三上期末）下列命题中的真命题是( )A ．1,20x x R -∀∈>B ．()2,10x N x *∀∈->C ．00,lg 1x R x ∃∈<D ．00,tan 2x R x ∃∈= 【答案】ACD【解析】A. 1,20x x R -∀∈>，根据指数函数值域知A 正确；B. ()2,10x N x *∀∈->，取1x =，计算知()210x -=，B 错误；C. 00,lg 1x R x ∃∈<，取01x =，计算0lg 01x =<，故C 正确；D. 00,tan 2x R x ∃∈=，tan y x =的值域为R ，故D 正确；故选：ACD34．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）下列判断正确的是（ ）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】A ．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x ＝1对称，可得P （ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P （ξ≤﹣2）＝P （ξ＞4）＝0.21，故A 正确；B ．若α∥β，∵直线l ⊥平面α，∴直线l ⊥β，∵m ∥β，∴l ⊥m 成立．若l ⊥m ，当m ∥β时，则l 与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．故B 对；C ．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B （4，14），则Eξ＝4×0.25＝1，故C 对； D ．“am 2>bm 2”可推出“a >b ”，但“a >b ”推不出“am 2>bm 2”，比如m ＝0，故D 对；故选：ABCD ．35．（2019·山东高三月考）下列判断正确的是（ ）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】A ．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x ＝1对称，可得P （ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P （ξ≤﹣2）＝P （ξ＞4）＝0.21，故A 正确；B ．若α∥β，∵直线l ⊥平面α，∴直线l ⊥β，∵m ∥β，∴l ⊥m 成立．若l ⊥m ，当m ∥β时，则l 与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．故B 对；C ．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B （4，14），则Eξ＝4×0.25＝1，故C 对； D ．“am 2>bm 2”可推出“a >b ”，但“a >b ”推不出“am 2>bm 2”，比如m ＝0，故D 对；故选：ABCD ．三、填空题36．（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．【答案】1-【解析】由“x R ∃∈，220x x a --<”为假命题，可知，“x R ∀∈，220x x a --≥”为真命题，22a x x ∴≤-恒成立，由二次函数的性质可知，221x x -≥-，则实数1a ≤-，即a 的最大值为1-．故答案为：1-.37．（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由()()2:2110q x a x a a -+++?，解得1a x a ≤≤+，即:1q a x a ≤≤+，要使得p 是q 的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 四、解答题38．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）{}|38A B x x =<<I ；（Ⅱ）(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭U【解析】（I ）当3a =时，{}2|10160A x x x =-+<()(){}|280x x x =--< {}|28x x =<<；{}2|14330B x x x =-+<()(){}|3110x x x =--<{}|311x x =<<；故{}|38A B x x =<<I .（Ⅱ）()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦.()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦. ∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+.∵q 是p 的必要条件，∴A B ⊆.①当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意；②当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，需要212312a a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≤+⎩∴12a <≤.③当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，需要213122a a a a <⎧⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<.综上所述，实数a 的范围是(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭U .。
十年高考真题与优质模拟训练-专题01集合与常用逻辑(解析版)
大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（新课标理科与山东卷）专题01集合与常用逻辑本专题考查的知识点为：集合与常用逻辑，历年考题主要以选择题型出现，重点考查的知识点为：集合的混合运算，集合的定义与应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以集合的混合运算为重点较佳.1．【2020年全国1卷理科02】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2}.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2=1，解得：a=−2.故选：B.2．【2020年全国2卷理科01】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则∁U(A∪B)=（）A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：A∪B={−1,0,1,2}，则∁U(A∪B)={−2,3}.故选：A.3．【2020年全国3卷理科01】已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.4．【2020年山东卷01】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}【答案】C【解析】A∪B=[1,3]∪(2,4)=[1,4)故选：C5．【2019年新课标3理科01】已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2}【答案】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：A．6．【2019年全国新课标2理科01】设集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣2，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，+∞）【答案】解：根据题意，A＝{x|x2﹣5x+6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1）；故选：A．7．【2019年全国新课标2理科04】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1(R+r)2+M2r2=（R+r）M1R3．设α=rR ．由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则r的近似值为（）A．√M2M1R B．√M22M1R C．√3M2M13R D．√M23M13R【答案】解：∵α=rR．∴r＝αR，r满足方程：M1(R+r)2+M2r2=（R+r）M1R3．∴M2M1=3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，∴r ＝αR =√M23M 13R ．故选：D ．8．【2019年新课标1理科01】已知集合M ＝{x|﹣4＜x ＜2}，N ＝{x|x 2﹣x ﹣6＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x|﹣4＜x ＜3}B ．{x|﹣4＜x ＜﹣2}C ．{x|﹣2＜x ＜2}D ．{x|2＜x ＜3}【答案】解：∵M ＝{x|﹣4＜x ＜2}，N ＝{x|x 2﹣x ﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x ＜3}， ∴M ∩N ＝{x|﹣2＜x ＜2}． 故选：C ．9．【2019年新课标1理科04】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12（√5−12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】解：头顶至脖子下端的长度为26cm ， 说明头顶到咽喉的长度小于26cm ，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12≈0.618，可得咽喉至肚脐的长度小于260.618≈42cm ，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12， 可得肚脐至足底的长度小于42+260.618=110， 即有该人的身高小于110+68＝178cm ， 又肚脐至足底的长度大于105cm ，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm ， 即该人的身高大于65+105＝170cm ， 故选：B ．10．【2018年新课标1理科02】已知集合A ＝{x|x 2﹣x ﹣2＞0}，则∁R A ＝（ ）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【答案】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A＝{x|﹣1≤x≤2}．故选：B．11．【2018年新课标2理科02】已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．12．【2018年新课标3理科01】已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】解：∵A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{x|x≥1}∩{0，1，2}＝{1，2}．故选：C．13．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅【答案】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．14．【2017年新课标2理科02】设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}【答案】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．15．【2017年新课标2理科07】甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D ．16．【2017年新课标3理科01】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】解：由{x 2+y 2=1y =x，解得：{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22，∴A ∩B 的元素的个数是2个， 故选：B ．17．【2016年新课标1理科01】设集合A ＝{x|x 2﹣4x+3＜0}，B ＝{x|2x ﹣3＞0}，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣3，−32） B ．（﹣3，32）C ．（1，32）D ．（32，3）【答案】解：∵集合A ＝{x|x 2﹣4x+3＜0}＝（1，3）， B ＝{x|2x ﹣3＞0}＝（32，+∞）， ∴A ∩B ＝（32，3）， 故选：D ．18．【2016年新课标2理科02】已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x|（x+1）（x ﹣2）＜0，x ∈Z}，则A∪B等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}【答案】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}．故选：C．19．【2016年新课标3理科01】设集合S＝{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T ＝（）A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【答案】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S＝（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T＝（0，+∞），∴S∩T＝（0，2]∪[3，+∞），故选：D．20．【2015年新课标1理科03】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n【答案】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．21．【2015年新课标2理科01】已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【答案】解：B＝{x|﹣2＜x＜1}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：A．22．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B ＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【答案】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．【2014年新课标2理科01】设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）23．A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}【答案】解：∵N＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1，2}，故选：D．24．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|−√5＜x＜√5}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【答案】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，∴A∩B＝{x|2＜x＜√5或−√5＜x＜0}，A∪B＝R，故选：B．25．【2013年新课标2理科01】已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M＝{x|﹣1＜x＜3}，∵N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{0，1，2}．故选：A．26．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】解：由题意，x＝5时，y＝1，2，3，4，x＝4时，y＝1，2，3，x＝3时，y＝1，2，x＝2时，y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．27．【2019年全国新课标2理科16】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．【答案】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x+√22x+√22x＝1，解得x=√2−1．故答案为：26，√2−1．28．【2016年新课标2理科15】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．【答案】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．29．【2014年新课标1理科14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．【答案】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．1．【甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断】设全集U=R,且A={x||x−1|>2},B={x|x2−6x+8<0},则(∁U A)∩B=()A．[−1,4)B．(2,3) C．(2,3]D．(-1,4)【答案】C【解析】由题意得A={x|x⟨−1或x⟩3}，B={x|2<x<4}，∴∁U A={x|−1≤x≤3}，∴(∁U A)∩B={x|2<x≤3}=(2,3]．故选C．2．【四川省资阳市2020届高三模拟】若集合A={x|y=√x+2}，B={x|y=√x2−1}，则A∩B=（）A．[1,+∞)B．[−2,−1]∪[1,+∞)C．[2,+∞)D．[−2,−1]∪[2,+∞)【答案】B【解析】A=[−2,+∞)，B=(−∞,−1]∪[1,+∞)A∩B=[−2,−1]∪[1,+∞)故选：B3．【内蒙古呼和浩特市2020届高三第二次质量普查调研】设U={−1,0,1,2}，集合A={x|x2<1,x∈U}，则C U A=（）A．{0,1,2}B．{−1,1,2}C．{−1,0,2}D．{−1,0,1}【答案】B【解析】由x2<1得：−1<x<1，所以A={0}，因此∁U A={−1,1,2}，故答案为B4．【湖北省七市州教科研协作体2020届高三下学期5月联合考试】已知集合A={a,a2,0}，B={1,2}，若A∩B={1}，则实数a的值为（）A．−1B．0 C．1 D．±1【答案】A【解析】因为A∩B={1}，所以1∈A，又a≠a2，所以a≠0且a≠1，所以a2=1，所以a=−1(a=1已舍)，此时满足A∩B={1}.故选：A5．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟】已知A={x∈N∗|x≤3}，B= {x|x2−4x≤0}，则A∩B=()A．{1,2,3}B．{1,2}C．(0,3]D．(3,4]【答案】A【解析】因为A={x∈N∗|x≤3}={1,2,3}，B={x|x2−4x≤0}={x|0≤x≤4}，所以A∩B={1,2,3}.故选：A.6．【山东省2020届高三新高考预测】已知集合A={y|y=ln(x−1)}，B={x|x2−4≤0}，则A∩B=（）A．{x|x≥−2}B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2}D．{x|−2≤x≤2}【答案】D【解析】因为函数y=ln(x−1)的值域为R所以A=R,又集合B=[−2,2],所以A∩B=B=[−2,2].故选:D7．【2020届河北省正中实验中学高三下学期6月模拟】已知集合A={x|−2<x≤1,x∈Z}，则集合A中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】A={x|−2<x≤1,x∈Z}={−1,0,1}，所以集合A中元素的个数为3.故选：D.8．【天一大联考2019-2020学年高三毕业班阶段性测试（五）】已知集合A={−1,1,2,3,4,5}，B={x∈N|(x−1)(x−5)<0}，则∁A B=（）．A．{3}B．{2,3}C．{2,3,5}D．{−1,1,5}【答案】D【解析】B={x∈N|(x−1)(x−5)<0}={2,3,4}，所以∁A B={−1,1,5}.故选：D.9．【安徽省淮北市第一中学2020届高三下学期第七次月考】已知集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|y=lg(2−x)}则A∩B=（）A ．(0，2)B ．(−∞，2]C ．(−∞，2)D ．(0，2]【答案】A【解析】 ∵A ＝{y|y ＝2x ，x ∈R}＝{y|y ＞0}，B ＝{x|y ＝lg （2﹣x ）}＝{x|2﹣x ＜0}={x|x ＜2}=（﹣∞，2），∴A∩B＝{x|0＜x ＜2}=(0，2)，故选A.10．【西南名校联盟2020届333高考备考诊断性联考卷（二）】已知集合A ={(x,y )|y =x 2 }，B ={(x,y )|y =x }，则A ∩B 的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由{y =x 2y =x得：{x =0y =0或{x =1y =1 ，所以A ∩B 的元素个数为2. 故选：B ．11．【四川省阆中中学2020届高三适应性考试（二）】已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x,y)|x ∈A,y ∈ A,x −y ∈A },则B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D【解析】列举法得出集合B ={(2,1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10个元素．故答案选D12．【甘肃省定西一中2020届高三诊断】已知集合A ={x|x 2⩽1},B ={x|3x <1}，则A ∪(∁RB )=（） A ．{x|x <0}B ．{x|0⩽x ⩽1}C ．{x|−1⩽x <0}D ．{x|x ⩾−1} 【答案】D【解析】A ={x|−1⩽x ⩽1},B ={x|x <0}，所以A ∪(∁R B )={x|x ⩾−1}.故选：D13．【山东省青岛市2020届高三自主检测】已知全集U =R ，集合M ={x ∈R |x 2−x ≤0 }，集合N ={y ∈R |y =cosx,x ∈R }，则(∁U M )∩N =（）A ．[−1,0)B ．(0,1)C ．(−∞,0)D ．∅【答案】A【解析】∵M={x∈R|x2−x≤0}=[0,1],N={y∈R|y=cosx,x∈R}=[−1,1],∴∁U M=(−∞,0)∪(1,+∞),∴(∁U M)∩N=[−1,0),故选：A14．【福建省漳州市2019届高三毕业班高考模拟（一）】已知集合A={x|x2−2x>0},B= {x|−2<x<3}，则()A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【答案】B【解析】由x2-2x＞0，得：x＜0或x＞2，∴集合A={x|x＜0或x＞2}，A∩B={x|-2＜x＜0或2＜x＜3}，故A不正确．A∪B=R，故B正确，且A⊈B,B⊈A,故C，D选项不正确，故选B15．【2019届百师联盟全国高三冲刺考（三）】设集合M={x|x2+x−6<0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3]【答案】A【解析】因为M={x|x2+x−6<0}=(−3，2)，所以M∩N=[1,2)，选A.16．【山东省泰安市新泰市第二中学2020届高三第四次模拟】设集合A={0,1,2}，B={x|x2−3x+2≤0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{0,1}D．{1,2}【答案】D【解析】由题得B={x|1≤x≤2}，所以A∩B={1,2}.故答案为D17．【湖南省江西省普通高中名校联考2020届高三下学期信息卷】已知集合A={x|x2−5x<−4}，集合B={x|x≤0}，则A∩(∁R B)=()A．(−1,0)B．(−1,4)C．(1,4)D．(0,4)【答案】C【解析】A={x|x2−5x+4<0}={x|1<x<4}，B={x|≤0}，∁R B={x|x>0}，A∩(∁R B)={x|1<x<4}∩{x|x>0}=(1,4).故选：C18．【山东省威海市2020届高三第二次模拟】已知集合A={x|x2+y2=1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0,1]B．[0,+∞)C．{−1,1}D．{0,1}【答案】A【解析】y2=1−x2≥0,−1≤x≤1，B={y|y=x2}=[0,+∞)A∩B=[−1,1]∩[0,+∞)=[0,1]故选：A19．【陕西省2020届高三高考数学模拟】已知集合A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，B=≤−1}，则A∩B=（）{x∈Z|1x−2A．{1}B．{−1,1}C．{1,2}D．{−3,−2,−1,0,1}【答案】A【解析】≤−1}={x∈Z|−1≤x−2<0}={x∈Z|1≤x<2}={1}，所以A∩因为B={x∈Z|1x−2B={1}，故选：A.20．【华大新高考联盟名校2020届高三押题考试】已知集合A={x|y=ln(x2−2x−3)}，集合B={x||2−x|<3}，则A∩B=（）A．{x|x<−1}B．{x|x>3}C．{x|−1<x<3}D．{x|3<x<5}【答案】D【解析】因为x2−2x−3>0，即(x−1)2>4，解得x>3或x<−1，所以集合A={x|x>3或x<−1}，因为|2−x|<3，解得−1<x<5，所以集合B={x|−1<x<5}，故A∩B={x|3<x<5}，故选：D.21．【百校联盟2020届高三教育教学质量监测】已知集合A={x|x2−1<0}，B={x|0<x<2}，则A∩B=（）A．(−1,1)B．(−1,0)C．(0,1)D．(1,2)【答案】C因为A={x|x2−1<0}=(−1,1)，∴A∩B=(0,1).故选：C.22．【辽宁省辽南协作校2020届高三（5月份）模拟】设集合A={x|log2x<1},B={x|x2−x−2<0},则∁B A=()A．（﹣∞,2）B．（﹣1,0] C．（﹣1,2）D．（﹣1,0）【答案】B【解析】∵集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2},B={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}, ∴∁B A={x|−1<x≤0},故选：B23．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第六次模拟】已知集合A={x|1−2xx+3<0}，则∁RA=（）A．(−∞,−3]∪[12,+∞)B．(−∞,−3)∪(12,+∞)C．[−3,12]D．(−3,12)【答案】C 【解析】由1−2xx+3<0，得(2x−1)(x+3)>0，x<−3或x>12，所以A={x|x<−3或x>12}，所以∁RA={x|−3≤x≤12}.故选：C.24．【百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测】已知集合A={x|x2<4}，B= {x|0<x<2}，则（）A．A∩B=A B．A∪B=BC．A∩(∁R B)=A D．B∩(∁RA)=∅【答案】D【解析】因为A={x|x2<4}=(−2,2)，B=(0,2)，所以B⊆A，所以A∩B=B，即A错误；A∪B=A，即B错误；A∩(∁R B)≠A，即C错误；B∩(∁RA)=∅即D正确；故选：D.25．【黑龙江省哈尔滨三中2020届高考数学四模】设集合A={x|x−3<0}，集合B= {x|x2−x−2≤0}，则A∪B=（）A．(−∞,2)B．(−∞,3)C．(−1,2]D．[−1,2]【解析】∵A={x|x−3<0}=(−∞,3),B={x|x2−x−2≤0}=(−1,2)∴A∪B=(−∞,3)故选：B26．【西南名校联盟2020届“333”高考备考诊断性联考卷（三）】已知集合A={x|0<x<4}，集合B={x||x|≥√3,x∈Z}（其中Z表示整数集），则A∩(∁Z B)=（）A．{1,2,3}B．{−1,1}C．{1,2}D．{1}【答案】D【解析】因为B={x||x|≥√3,x∈Z}，所以∁Z B={x||x|≤√3,x∈Z}={−1,0,1}，又A={x|0<x<4}，所以A∩(∁Z B)={1}.故选：D.≥1}，27．【名师联盟2020届高三下学期5月联考】设集合A={x|log2x2<0}，B={x|1x则A∩B=（）A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1]D．(−1,0)∪(0,1)【答案】A【解析】≥1，∴B=(0,1]，∴A∩B=(0,1).∵0<x2<1，∴A=(−1,0)∪(0,1)；∵1x故选：A.>0}，B= 28．【百师联盟2020届高三考前预测诊断联考】设全集是R，集合A={x|x+3x−1{x|−2≤x≤2}，则(∁R A)∩B=（）A．[−2,1]B．[−2,1)C．(−3,2]D．(−∞,2]【答案】A【解析】>0}={x|(x+3)(x−1)>0}={x|x<−3或x>1}＝(−∞,−3)∪(1,+∞)，A={x|x+3x−1∁R A=[−3,1]，B=[−2,2]，(∁R A)∩B=[−2,1]．故选：A．29．【百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测】已知集合A={x|x2<4}，B={x|log2x<1}，则（）A．A∩B=A B．A∪B=BC．A∩(∁R B)=A D．B∩(∁RA)=∅【答案】D【解析】因为A={x|x2<4}=(−2,2)，B={x|log2x<1}=(0,2)，所以B⊆A，依次判断只有D正确．故选：D.30．【百师联盟2020届高三考前预测诊断联考】已知集合A={x|0≤x≤2}，B= {x|x>1}．则A∪(∁R B)=（）A．[0，1] B．（1．2] C．(−∞,2]D．[0,+∞)【答案】C【解析】因为集合A={x|0≤x≤2}，集合B={x|x>1}，由补集运算可得∁R B={x|x≤1}，所以A∪(∁R B)=(−∞,2]．故选：C．。
【数学】2020届高考数学一轮复习：第一章 集合与常用逻辑用语
第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 自然数集正整数集 整数集有理数集实数集 符号NN *或N ＋QR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法 基本关系子集集合A 的元素都是集合B的元素∈A ⇒∈BA ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ，且存在0∈B ，0∉AA B 或B A 相等 集合A ，B 的元素完全相同 A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集任意的，∉∅，∅⊆A ∅3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{|∈A ，且∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{|∈A ，或∈B }A ∪B补集 全集U 中不属于集合A 的元素组成的集合{|∈U ，且∉A }∁U A4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{|0＜＜5，∈N }，则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案：53．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(2019·浙江名校联考)已知∁R M ＝{|ln||＞1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x ＞0，则M ∪N ＝( ) A ．(0，e] B ．[－e ，＋∞) C ．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D ．[－e ，e]解析：选B 由ln||＞1得||＞e ，∴M ＝[－e ，e]．N ＝(0，＋∞)，∴M ∪N ＝[－e ，＋∞)．故选B.2．若集合A ＝{|－2≤≤5}，B ＝{|m ＋1≤≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, ＋1，2－5}，若－4∈A ，则实数的值为________． 解析：∵－4∈A ，∴＋1＝－4或2－5＝－4. ∴＝－5或＝1或＝4.若＝1，则A ＝{0, 2，－4}，满足条件； 若＝4，则A ＝{0, 5，－4}，满足条件； 若＝－5，则A ＝{0，－4,50}，满足条件． 所以＝1或＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(，y )|y ＝2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(，y )|y ≤0，，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.2．已知a ＞0，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0，a 2}，则a 2＋b 2的值为( )C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝4，即a ＝2或a ＝－2，因为a ＞0，所以a ＝2，故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{∈R |a 2－3＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程a 2－3＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4} ，M ＝{|＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{|∈M 且2∉M }的子集有( )C ．3个D ．2个解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{|2＋－2＝0}，B ＝{|a ＝1}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{|2＋－2＝0}＝{－2,1}．当＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ，b ，c ，d ，e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．2．已知集合A ＝{|－1＜＜3}，B ＝{|－m ＜＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m ＞0时， ∵A ＝{|－1＜＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(2018·北京高考)已知集合A ＝{|||＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{|||＜2}＝{|－2＜＜2}， B ＝{－2,0,1,2}， ∴A ∩B ＝{0,1}．故选A.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{|2－－2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{|－1＜＜2} B ．{|－1≤≤2} C ．{|＜－1}∪{|＞2}D ．{|≤－1}∪{|≥2}解析：选B ∵2－－2＞0，∴(－2)(＋1)＞0， ∴＞2或＜－1，即A ＝{|＞2或＜－1}． 则∁R A ＝{|－1≤≤2}．故选B. 角度二：利用集合运算求参数3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P ＝{|－1＜＜1}，Q ＝{|0＜＜a }，若P ∪Q ＝{|－1＜＜2}，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．32解析：选B 因为P ＝{|－1＜＜1}，Q ＝{|0＜＜a }，所以当a ≤1时，P ∪Q ＝{|－1＜＜1}，不符合题意；当a ＞1时，P ∪Q ＝{|－1＜＜a }，结合P ∪Q ＝{|－1＜＜2}，可得a ＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A ，B ，同时满足A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{1}，A ≠{1}，B ≠{1}，就称有序集对(A ，B )为“好集对”．这里有序集对(A ，B )是指当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )是不同的集对，那么“好集对” 一共有( )个( )A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A＝{|1＜＜4}，B＝{∈|2－6＜0}，则(∁R A)∩B＝()A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C法一：由2－6＜0可得0＜＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁R A＝{|≤1或≥4}，所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B，故排除D，又1,5∈∁R A,1，5∈B，故选C.2．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{|2－3＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a 的值为()A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时，2－3＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(2019·杭州高三四校联考)设集合A＝{|(－3)(－a)＝0，a∈R}，B＝{|(－1)(－4)＝0}，则A∪B的子集个数最多为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D由题意可知，要使A∪B的子集个数最多，则需A∪B中的元素个数最多，此时a≠1，a≠3，且a≠4，即集合A＝{3，a}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4，a}，故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若，y∈R，A＝{|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3，＞0}，则A B为()A．{|0＜＜2} B．{|1＜≤2}C．{|0≤≤1或≥2} D．{|0≤≤1或＞2}解析：选D因为A＝{|0≤≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{|≥0}，A∩B＝{|1＜≤2}，所以A B＝∁A∪B(A∩B)＝{|0≤≤1或＞2}，故选D.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江考前热身联考)已知集合M＝{|y＝2x－x2}，N＝{|－1＜＜1}，则M∪N ＝()A．[0,1)B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选C法一：易知M＝{|0≤≤2}，又N＝{|－1＜＜1}，所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取＝2，则2∈M，所以2∈M∪N，排除A、B；取＝3，则3∉M,3∉N，所以3∉M∪N，排除D，故选C.2．(2019·浙江三地联考)已知集合P＝{|||x＜2}，Q＝{|－1≤≤3}，则P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A由||＜2，可得－2＜＜2，所以P＝{|－2＜＜2}，所以P∩Q＝[－1,2)．3．(2018·嘉兴期末测试)已知集合P＝{|＜1}，Q＝{|＞0}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．∁R P⊆Q解析：选D由已知可得∁R P＝[1，＋∞)，所以∁R P⊆Q.故选D.4．(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则P的子集有________个．解析：集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N＝{2,4}，则P的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个.答案：45．已知集合A ＝{|≥3}，B ＝{|≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为集合A ＝{|≥3}，B ＝{|≥m }，且A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，如图所示，所以m ≥3. 答案：[3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·杭州七校联考)已知集合A ＝{|2＞1}，B ＝{|(2－1)(2－4)＝0}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B A ＝{|＜－1或＞1}，B ＝{－2，－1,1,2}，A ∩B ＝{－2,2}，故选B. 2．(2019·浙江六校联考)已知集合U ＝{|y ＝3x }，A ＝{|y ＝log 9}，B ＝{y |y ＝－2}则A ∩(∁U B )＝()A ．∅B ．RC ．{|＞0}D ．{0}解析：选C 由题意得，U ＝R ，A ＝{|＞0}，因为y ＝－2＜0，所以B ＝{y |y ＜0}，所以∁U B ＝{|≥0}，故A ∩(∁U B )＝{|＞0}．故选C.3．(2019·永康模拟)设集合M ＝{|2－2－3≥0}，N ＝{|－3＜＜3}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∪N ＝RD ．M ∩N ＝∅解析：选C 由2－2－3≥0，解得≥3或≤－1，所以M ＝{|≤－1或≥3}，所以M ∪N ＝R .4．(2019·宁波六校联考)已知集合A ＝{|2－3＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B ∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个不同的元素，∴a ∈A ，∴a 2－3a ＜0，解得0＜a ＜3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.5．(2018·镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－x x ，N ＝{|＜1}，则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞，2)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ＝{|0＜＜2}，N ＝{|＜1}．M ∪N ＝{|＜2}＝(－∞，2)．故选C.6．设集合A ＝{|2－－2≤0}，B ＝{|＜1，且∈}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{|(＋1)(－2)≤0}＝{|－1≤≤2}，因此A ∩B ＝{|－1≤＜1，∈}＝{－1,0}．答案：{－1,0}7．(2018·嘉兴二模)已知集合A ＝{|－1≤≤2}，B ＝{|2－4≤0}，则A ∪B ＝________，A ∩(∁RB )＝________.解析：因为B ＝{|2－4≤0}＝{|0≤≤4}，所以A ∪B ＝{|－1≤≤4}；因为∁R B ＝{|＜0或＞4}，所以A ∩(∁R B )＝{|－1≤＜0}．答案：{|－1≤≤4} {|－1≤＜0}8．设集合A ＝{(，y )|y ≥|－2|，≥0}，B ＝{(，y )|y ≤－＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(，y )∈A ∩B ，且＋2y 的最大值为9，则b 的值是________． 解析：由图可知，当y ＝－往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b ≥2；要使＝＋2y 取得最大值，则过点(0，b )，有0＋2b ＝9⇒b ＝92. 答案：(1)[2，＋∞) (2)929．已知集合A ＝{|4≤2≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{|4≤2≤16}＝{|22≤2≤24}＝{|2≤≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]10．已知集合A ＝{|(＋2m )(－m ＋4)＜0}，其中m ∈R ，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0.(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1－xx ＋2＞0＝{|－2＜＜1}． 当A ＝∅时，m ＝43，不符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{|－2m ＜＜m －4}，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{|m －4＜＜－2m }，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． (2)由(1)知，B ＝{|－2＜＜1}． 当A ＝∅时，m ＝43，符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{|－2m ＜＜m －4}，又因为A ∩B ＝∅，所以－2m ≥1或者m －4≤－2， 即m ≤－12或者m ≤2，所以43＜m ≤2.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{|m －4＜＜－2m }，又因为A ∩B ＝∅，所以m －4≥1或者－2m ≤－2， 即m ≥5或者m ≥1，所以1≤m ＜43.综上所述，实数m 的取值范围为[1,2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意，y ∈S ，必有y ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意，y ∈S ，必有y ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{|∈M ，且∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{|＜0，∈R }，则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{|≥0，∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C.3．已知函数f ()＝x －3－17－x的定义域为集合A ，且B ＝{∈|2＜＜10}，C ＝{∈R |＜a 或＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数f ()＝x －3－17－x， 应满足－3≥0，且7－＞0，解得3≤＜7， 则A ＝{|3≤＜7}， 得到∁R A ＝{|＜3或≥7}，而B ＝{∈|2＜＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}， 所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{∈R |＜a 或＞a ＋1}，要使A ∪C ＝R ， 则有a ≥3，且a ＋1＜7，解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/p A是B的真子集集合与充要条件p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p B是A的真子集p是q的充要条件p⇔q A＝B p是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p A，B互不包含[小题体验]1．下列命题是真命题的是()A．若log2a＞0，则函数f()＝log a(a＞0，a≠1)在其定义域上是减函数B．命题“若y＝0，则＝0”的否命题C．“m＝3”是“直线(m＋3)＋my－2＝0与m－6y＋5＝0垂直”的充要条件D．命题“若cos ＝cos y，则＝y”的逆否命题答案：B2．(2019·温州高考适应性测试)已知α，β∈R，则“α＞β”是“cos α＞cos β”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选Dα＞β⇒/ cos α＞cos β，如α＝π3，β＝π6，π3＞π6，而cosπ3＜cosπ6；cos α＞cos β⇒/ α＞β，如α＝π6，β＝π3，cosπ6＞cosπ3，而π6＜π3.故选D.3．设a，b是向量，则命题“若a＝－b，则|a|＝| b|”的逆否命题为：________.答案：若|a|≠|b|，则a≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·杭州模拟)“＜0”是“ln(＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2＞b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若2－3－4＝0，则＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若＝4，则2－3－4＝0”为真命题B．“若≠4，则2－3－4≠0”为真命题C．“若≠4，则2－3－4≠0”为假命题D．“若＝4，则2－3－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为2－3－4＝0，所以＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若＋y ＝0，则，y 互为相反数”的逆命题； ②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤－1，则2＋＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若＋y ＝0，则，y 互为相反数”的逆命题为“若，y 互为相反数，则＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，但a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 (1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． 2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断． (2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断． 考点二 充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·杭州高三四校联考)“a ＞－1”是“2＋a ＋14＞0(∈R )”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若2＋a ＋14＞0(∈R )，则a 2－1＜0，即－1＜a ＜1，所以“a ＞－1”是“2＋a ＋14＞0(∈R )”的必要不充分条件．故选A.2．(2019·杭州高三质检)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)，则“＞2”是“数列{a n }为单调递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝n＋2(n∈N*)，所以当＞2时，a n＋1－a n＝＞2，则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列，则a n＋1－a n＝＞0即可，所以“＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.法二：根据一次函数y＝＋b的单调性知，“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“＞0”，所以“＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“y≠1”是“≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“＝1且y＝1”是“y＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a＞0，b＞0，则“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＋1＞0，故不等式a＋b≥ab＋1成立的充要条件是(ab＋1)2≤(a＋b)2，即a2＋b2≥a2b2＋1.显然，若a2＋b2≥a2b2＋1，则必有a2＋b2≥1，反之则不成立，所以a2＋b2≥1是a2＋b2≥a2b2＋1成立的必要不充分条件，即a2＋b2≥1是a＋b≥ab＋1成立的必要不充分条件．2．(2019·浙江期初联考)若a，b∈R，使|a|＋|b|＞4成立的一个充分不必要条件是() A．|a＋b|≥4 B．|a|≥4C．|a|≥2且|b|≥2 D．b＜－4解析：选D对选项A，若a＝b＝2，则|a|＋|b|＝2＋2≥4，不能推出|a|＋|b|＞4；对选项B，若a＝4≥4，b＝0，此时不能推出|a|＋|b|＞4；对选项C，若a＝2≥2，b＝2≥2，此时不能推出|a|＋|b|＞4；对选项D，由b＜－4可得|a|＋|b|＞4，但由|a|＋|b|＞4得不到b＜－4.故选D.3．(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，所以腰AD，BC是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l垂直于两腰AD，BC时，l垂直于ABCD所在平面，所以l 垂直于两底AB ，CD ，所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ，CD ，由于AB ∥CD ，所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面，所以l 不一定垂直于两腰AD ，BC ，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的一个充分不必要条件是13＜＜12，则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －m ＋1x －2m ＜0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜＜12，所以B ⊆A .①当m －1＜2m ，即m ＞－1时，A ＝{|m －1＜＜2m }． 由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43；②当m －1＝2m ，即m ＝－1时，A ＝∅，不满足B ⊆A ； ③当m －1＞2m ，即m ＜－1时，A ＝{|2m ＜＜m －1}．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13，m －1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上，m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43.答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2019·杭州名校大联考)已知条件p ：|＋1|＞2，条件q ：＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A 由|＋1|＞2，可得＞1或＜－3，所以綈p ：－3≤≤1；又綈q ：≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥1.2．已知“命题p ：(－m )2＞3(－m )”是“命题q ：2＋3－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：＞m ＋3或＜m ， 命题q ：－4＜＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2－1)＝0”是“＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2－1)＝0，则＝12或＝0，即不一定是＝0；若＝0，则一定能推出(2－1)＝0.故“(2－1)＝0”是“＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3，知a ＞b ，由ab ＜0，知a ＞0＞b ，所以此时有1a ＞1b ，故充分性成立；当1a ＞1b 时，若a ，b 同号，则a ＜b ，若a ，b 异号，则a ＞b ，所以必要性不成立．故选A.3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f ()＝cos(＋φ)(∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若φ＝0，则f()＝cos 为偶函数；若f()＝cos(＋φ)(∈R)为偶函数，则φ＝π(∈)．故“φ＝0”是“f()＝cos(＋φ)(∈R)为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p：“若2＜1，则＜1”的逆命题为q，则p与q的真假性为()A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：选B q：若＜1，则2＜1.∵p：2＜1，则－1＜＜1.∴p真，当＜1时，2＜1不一定成立，∴q假，故选B.5．若＞5是＞a的充分条件，则实数a的取值范围为()A．(5，＋∞) B．[5，＋∞)C．(－∞，5) D．(－∞，5]解析：选D由＞5是＞a的充分条件知，{|＞5}⊆{|＞a}，∴a≤5，故选D.二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．命题“对任意实数∈[1,2]，关于的不等式2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥3 D．a≤3解析：选C即由“对任意实数∈[1,2]，关于的不等式2－a≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数∈[1,2]，关于的不等式2－a≤0恒成立”．因为∈[1,2]，所以2∈[1,4]，2－a≤0恒成立，即2≤a，因此a≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若＋y＞0，则＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则m2－2(m＋1)＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()A．①②③B．②③④C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若＞0且y ＞0，则＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若m 2－2(m ＋1)＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0， 即m ＞1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时，0＜≤1；反之，当≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“≤1”的充分不必要条件，故选A.5．命题“对任意∈[1,2)，2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意∈[1,2)，2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”，否命题的真假性为________． 解析：命题的否命题为“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”． 若c ＝0，结论成立．若c ≠0，不等式ac 2≤bc 2也成立． 故否命题为真命题． 答案：真 7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2，且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ，故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ，故③正确．答案：②③8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜13，则有sin(α＋β)＜13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件．答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即q ：1＜m＜32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{|＋m 2≥1}．若“∈A ”是“∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝2－32＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由＋m 2≥1，得≥1－m 2， ∴B ＝{|≥1－m 2}．∵“∈A ”是“∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知p ：≥，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B 由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(－2)(＋1)＞0，解得＜－1或＞2，由p 是q 的充分不必要条件知，＞2，故选B.2．在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为＝{4n ＋|n ∈}，＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]，则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义＝{4n ＋|n ∈}，＝0,1,2,3，可知，只要整数m ＝4n ＋，n ∈，＝0,1,2,3，则m ∈，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a ＋b ∈[3]，不妨设a ＝0，b ＝3，则此时a ∉[1]且b ∉[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a ，b 属于同一类”，不妨设a ＝4m ＋，b ＝4n ＋，m ，n ∈，且＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋0，所以a －b ∈[0]；反之，不妨设a ＝4m ＋1，b ＝4n ＋2，m ，n ∈，1＝0,1,2,3，2＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋(1－2)，若a －b ∈[0]，则1－2＝0，即1＝2，所以整数a ，b 属于同一类，故“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0，B ＝{|(－a )(－a 2－2)＜0，命题p ：∈A ，命题q ：∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{|2＜＜37}，B ＝{|12＜＜146}，因为p 真q 假．所以(∁U B )∩A ＝{|2＜≤12}， 所以的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . 因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{|a ＜＜a 2＋2}． 当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{|2＜＜3a ＋1}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{|3a ＋1＜＜2}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13；综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一 集合及其运算1．(2018·浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}．2．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{|0＜＜2}，B ＝{|≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{|0＜≤1} B ．{|0＜＜1} C ．{|1≤＜2}D ．{|0＜＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{|≥1}， ∴∁R B ＝{|＜1}． ∵集合A ＝{|0＜＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{|0＜＜1}．3．(2017·浙江高考)已知集合P ＝{|－1＜＜1}，Q ＝{|0＜＜2}，那么P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{|－1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{|－1≥0}＝{|≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(，y )|2＋y 2≤3，∈，y ∈}，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4解析：选A 将满足2＋y 2≤3的整数，y 全部列举出，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.6．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：1命题点二 充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f ()＝2＋b ，则“b ＜0”是“f (f ())的最小值与f ()的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A∵f ()＝2＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，当＝－b 2时，f ()min ＝－b 24，又f (f ())＝(f ())2＋bf ()＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24，当f ()＝－b 2时，f (f ())min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f ())可以取到最小值－b24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f ())的最小值与f ()的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0； 当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0， 所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2018·天津高考)设∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜＜1， 则0＜3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“3＜1”； 由3＜1，得＜1，当≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“3＜1”的充分而不必要条件． 5．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6， 故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2π＜θ＜π6＋2π，∈，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b ，得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 命题点三 四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程2＋－m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程2＋－m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程2＋－m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程2＋－m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程2＋－m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程2＋－m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程2＋－m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2018·北京高考)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________．解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求． 当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b . 答案：1，－1(答案不唯一)3．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．解析：因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题， 则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a ＞b ＞c ，则a ＋b ≤c ”是真命题． 由于a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＞2c ，又a ＋b ≤c ，所以c ＜0. 因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c . 答案：－1，－2，－3(答案不唯一)。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题02 相等关系与不等关系,计数原理(解析版)
专题2 相等关系与不等关系，计数原理1.高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.2.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．3.前几年，二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用.预测2020年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.由于文科不学习计数原理这部分内容，2020年可能通过简单古典概率问题考查，如果单独通过客观题考查计数原理、二项式定理的应用等，难度也会降低些.有可能在主观题中考查这部分能内容的“工具性”.第一部分 相等关系与不等关系一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B【解析】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺.故选：B2．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C 【解析】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0()102f =-=-<，13211112()()()022282f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C3．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C 【解析】∵()33log 21loga b ab +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =，∴23a b ab +=，且0a >，0b >， ∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．4．（2020·全国高三专题练习（文））“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ） A ．1a ≤- B ．14a -≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤【答案】A 【解析】Q “[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题，21a x ∴≤-对任意的[]1,2x ∈恒成立， 由于函数21y x=-在区间[]1,2上单调递增，则min 1y =-，1a ∴≤-. 故选：A.5．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】∵,x R ∀∈2210ax ax ++>，∴0a =或2440a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即0a =或01a <<，∴01a ≤<．∴“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的充分不必要条件． 故选：A.6．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1b a<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确；如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确； 如果0a =，12b =-，显然C ，102lg <，不正确；因为指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D ．7．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出； 因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.8．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ ）A ．{1x <-或1}2x > B ．1{1}2x x -<< C ．{21}x x -<< D ．{2x <-或1}x >【答案】A 【解析】Q 不等式220ax bx ++>的解集为{}|12x x -<<,220ax bx ∴++=的两根为1-，2，且0a <，即()212,12b a a-+=--⨯=,解得1,1,a b =-= 则不等式可化为2210x x +-> 解得112x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或 故选A9．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1 B ．92C ．9D ．18【答案】A 【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 故选：A10．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．92【答案】D 【解析】如图可知x ，y 均为正，设=m ,AD AB nAC AE AB AC λμ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，:,,,B D E C 共线， 1,1m n λμ∴+=+=，()()AD AE xAB y AC m AB n AC λμ+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则2x y m n λμ+=+++=，141141419()5(52222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则14x y +的最小值为92，故选D. 11．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-【答案】D 【解析】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-即313ln 3ln ln x x e x xx x----≥=-当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D ．12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．9【答案】D 【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭恒成立， 转化成求41()y a b a b ⎛⎫=++⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，所以9m ≤．故选：D ．13．（2020届山东师范大学附中高三月考）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】A 【解析】∵lg lg lg(2)b a b α+=+，∴2,0,0ab a b a b =+>>，∴121b a+=，21222(2)415259a b a b a b a b a b b a b b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当“a b =”时取等号，∴2a b +的最小值为9. 故选：A.14．（2020届山东实验中学高三上期中）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】{}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为A B B =I ，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D. 15．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】根据题意，设()(2)()g x x f x =-，则()()111g f =-=-，则有(2)(2)g x xf x +=+，(2)(2)g x f x -=--，即有(2)(2)g x g x +=--， 故函数()g x 的图象关于(2,0)对称， 则有()()311g g =-=，当2x >时，()(2)()g x x f x =-，()(2)()()g x x f x f x '=-'+， 又由当2x >时，()()2()x f x f x f x ''+>g ，即当2x >时，()0g x '>， 即函数()g x 在区间(2,)+∞为增函数， 由1()2f x x <-可得(2)()1x f x -<，即()()13g x g <=， 23x ∴<<，Q 函数()g x 的图象关于(2,0)对称，∴函数()g x 在区间(,2)-∞为增函数，由1()2f x x <-可得(2)()1x f x ->，即()1g x >，此时x 不存在， 故选：A ． 二、多选题16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 【答案】BC 【解析】若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错； 若0ab >，0bc ad ->，则0bc ad ab ->，化简得0c da b->，故B 对； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 对； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a bd c==-，故D 错； 故选：BC ．17．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >【答案】CD 【解析】当12,2a b ==-，满足条件．但11a b <不成立，故A 错误， 当0a b >>时，11a b<，故B 错误，11,0b b >>-≠Q ，201b ∴<<，则2a b >，故C 正确，11,0,0a b a b a b >>>-∴+>->Q ，22()()0a b a b a b ∴-=+->，故D 正确.故选：CD ．18．（2020届山东省潍坊市高三上期中）若x y ≥，则下列不等式中正确的是（ ）A ．22x y ≥B ．2x y+≥C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥【答案】AD 【解析】对A ，由指数函数的单调性可知，当x y ≥，有22x y ≥，故A 正确；对B ，当0,0,x y x y <<>时，2x y+≥B 错误；对C ，当0x y ≥≥时，22x y ≥不成立，故C 错误；对D ，2222()0x y xy x y +-=-≥Q 成立，从而有222x y xy +≥成立，故D 正确； 故选：AD.19．（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【答案】BD 【解析】当0x <时，1x x +为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增，所以11()()f f a b >，即3311()()a b>，所以B 正确；若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确； 若0a >，0b >，1a b +≤，根据基本不等式有21,0()224a b a b ab ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD20．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 【答案】AC 【解析】A.∵,u x =v x =,22u v u vx +-==， 由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确．B.125x t -=+126510u v u v+-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误；C.由A 、B 得1615363644t u u =++≥=，16u u =即4u =时取等号，4x =，解得31.52x ==，C 正确；D.4x =时，85t =+，7305t -===>，3t >，D 错． 故选：AC. 三、填空题21．（2020x =______. 【答案】4 【解析】1115=+-=…1=4x =时，等号成立. 故答案为：422．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.【答案】由于1x >，故10x ->，故()()3211f x x x =-+≥=-，当且仅当()3211x x -=-，即12x =+时，函数取得最小值为故填：23．（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________． 【答案】1- 【解析】由“x R ∃∈，220x x a --<”为假命题，可知，“x R ∀∈，220x x a --≥”为真命题，22a x x ∴≤-恒成立，由二次函数的性质可知，221x x -≥-， 则实数1a ≤-，即a 的最大值为1-． 故答案为：1-.24．（2020·全国高三专题练习（理））谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数13与115的和表示25等.从11111,,,,,234100101⋅⋅⋅这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列） 【答案】1,21,316【解析】三个埃及分数和为1，一定有一个是12，否则和不可能为1，剩下2个和为12，都小于13也不合题意，否则两个埃及分数的和119145202≤+=<，因此第2个是13，第3个只能是16． 故答案为：1,21,316．25．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________．【解析】由题意可知直线过圆心，即21a b +=()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22a bb a=时，又()0,0a b >> 即a b =时等号成立， 故21a b+的最小值为9. 故答案为：926．（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由()()2:2110q x a x a a -+++?，解得1a x a ≤≤+，即:1q a x a ≤≤+，要使得p 是q 的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．27．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设()()201x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞． （1）当12a =时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____． 【答案】14[0] 【解析】 （1）当12a =时，当x ≤0时，f （x ）＝（x 12-）2≥（12-）214=，当x ＞0时，f （x ）＝x 1x +≥=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为14， （2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件． 若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2， 要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤即实数a 的取值范围是[0] 四、解答题28．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售， ()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ是由当b a -是c b -，c a -的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值； （2）求乐观系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值. 【答案】（1）400,200；（2；（3）400，3). 【解析】（1）依题意总利润＝21500100400004x x x -+--， ＝21400400004x x -+-， ()214004000014000044004x x P x x x x-+-∴==--+,200400200.≥-+= 此时1400004x x=,400x =, 即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元 .（2）由()b a c a λ=+-得b ac aλ-=-，b a -Q 是,c b c a --的比例中项， ()()()2b ac b c a ∴-=--，两边除以()2b a -得()()11c a b a c a c a c ab ab ab ab a------⎛⎫==-⎪----⎝⎭， 1111λλ⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭ 解得λ=.（3）厂家平均利润最大，()4000040000100100200400400a P x x ∴=++=++=元，每件产品的毛利为b a -，())1001b a c a λ∴-=-=，)1003b ∴=元，400a ∴=（元），)1003b =元.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N *∈的收益函数为()2300020R x x x =- （单位：万元），成本函数()5004000C x x =+（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数） （1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义．【答案】（1）()P x =22025004000x x -+-；()MP x =248040x -；（2）14台，1934.3万元；（3）62x =或63；()MP x 反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少. 【解析】（1）由题意知：[]1,100x ∈且*x ∈N ，2()()()300020(5004000)P x R x C x x x x =-=--+220x 2500x 4000=-+-， 2()(1)()20(1)2500(1)4000MP x P x P x x x =+-=-+++-()22202500400048040x x x =---+.（2）每台医疗器材的平均利润()4000202500P x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭2500≤-，当且仅当x =等号成立.因为*x ∈N ，当每月生产14台机器时，每台平均约为1934.3万元，每月生产15台时，每台平均约为1933.3万元，故每月生产14台时，每台医疗器材的平均利润最大为1934.3万元. （3）22()202500400020(62.5)74125P x x x x =-+-=--+， 由()2480400MP x x =-≥，得62x ≤，此时()P x 随x 增大而增大， 由()2480400MP x x =-≤得62x ≥，此时()P x 随x 增大而减小，62x ∴=或63时，()P x 取得最大值.()MP x 反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.30．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（I ）{}|38A B x x =<<I ；（Ⅱ）(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭U 【解析】（I ）当3a =时，{}2|10160A x x x =-+<()(){}|280x x x =--<{}|28x x =<<；{}2|14330B x x x =-+<()(){}|3110x x x =--<{}|311x x =<<；故{}|38A B x x =<<I .（Ⅱ）()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦.()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭， ∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+. ∵q 是p 的必要条件，∴A B ⊆. ①当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意；②当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆， 需要212312a a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≤+⎩∴12a <≤.③当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆， 需要213122a a a a <⎧⎪≤-⎨⎪≤+⎩∴112a ≤<. 综上所述，实数a 的范围是(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭U .第二部分 计数原理一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A ．216 B ．480C ．504D ．624【答案】C【解析】当课程“御”排在第一周时,则共有55120A=种；当课程“御”“乐”均不排在第一周时,则共有114444384C C A⨯⨯=种；则120384504+=,故选：C2．（2020届山东省九校高三上学期联考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A、B、C、D、E（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（）A．20 B．15C．10 D．5【答案】C【解析】此题相当于在正五边形ABCDE中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑A放第一个位置，第二步只能C或D，依次ACEBD或ADBEC两种；同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.故选：C3．（2020·全国高三专题练习（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（）A．36种B．30种C．24种D．20种【答案】D【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3412⨯=种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有248⨯=种方法，综上，共有12820+=种方法.故选：D4．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A ．59B ．49C ．716D ．916【答案】B 【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 2343C A ==36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p 364819m n ===． 故选：B ．5．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A 【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有22A 种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有2323A A 种排法；∴23223224A A A =故选：A.6．（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】的展开式通项为：当，即时，项的系数为： 本题正确选项：7．（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15 B ．815 C ．35D ．320【答案】D 【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物， 基本事件总数为：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种 糖、烟、糖、糖： 332118⨯⨯⨯=种 糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为54336020= 故选：D8．（2020届山东省临沂市高三上期末）6324x x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40 B ．240x -C ．40D ．240x【答案】B 【解析】62x⎛⎝的展开式的通项为()6162kkkkT C x-+⎛=⎝则中间项为313333234631(2)202404T x xC x-⨯⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯=-⎪⎭⎝=⎝.故选：B.9．（2020届山东省潍坊市高三上期中）(82展开式中3x的系数为（）A．-112 B．28 C．56 D．112【答案】D【解析】由8821882((1)2rr r r r r rrT C C x--+=⋅⋅=-⋅⋅⋅．取32r=，得6r=．8(2∴展开式中3x的系数为6268(1)2112C-⋅⋅=．故选：D.二、多选题三、填空题10．（2020届山东省日照市高三上期末联考）二项式261(2)xx-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rrT C x C xx---+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭令1230r-=可得4r=，此时2456260T C==.11．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在2nx⎛⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是．【答案】7【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得8n =，88831883()()(1)22r r rr r r r r r x T C C x x ----+=-=-g g ，令48063r r -==，，可得常数项为7. 12．（2020届山东省德州市高三上期末）6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 【答案】60 6240x【解析】 6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()62612366122kk k k k k C x C x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230k -=，得4k =，所以，展开式中的常数项为426260C ⋅=； 令()662,6k k k a C k N k -=⋅∈≤，令11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，即61766615662222n n n n n n n n C C C C ----+-⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得4733n ≤≤，n N ∈Q ，2n ∴=，因此，展开式中系数最大的项为246662240C x x ⋅⋅=. 故答案为：60；6240x .13．（2020届山东省临沂市高三上期末）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.【答案】25【解析】将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举如下：故所求概率62155P ==. 故答案为：2514．（2020·全国高三专题练习（理））在()82x 的展开式中,含44x y 项的系数是_______.【答案】280【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】()8x 的展开式中：()818r rr r T C x -+= ，取4r =得到44x y 项的系数为(448280C =故答案为：280。
2020届高三数学名校试题汇编(第2期)专题01 集合与常用逻辑用语.doc
【精选+详解】高三数学名校试题汇编（第2期）专题 集合与常用逻辑用语一．基础题1.【2013年浙江省高考测试卷】已知集合{|2,}xA y y x R ==∈，则R C A =（ ） A ．φB ．(,0]-∞C ．(0,)+∞D ．R 【答案】B【解析】20xy =>，{|0}A y y =>，{|0}(,0]R C A y y =≤=-∞2.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】设全集{}N x x x x Q ∈≤-=,052|2，且Q P ⊆，则满足条件的集合P 的个数是A.3B.4C.7D.83.【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】设集合{}{}|31,,|5,,A x x k k N B x x x Q ==+∈=≤∈则A B I 等于（ ） A ． {1,2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}4.【广东省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考】设命题132:<-x p ，021:≤--x x q ，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】:12:12p x q x <<≤<，，故选A ．5.【北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学测试】 已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．6.【北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考】 若集合{}0A x x =≥，且A B B =I ，则集合B 可能是 A ．{}1,2 B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R【答案】A【解析】因为A B B =I ，所以B A ⊆，因为{}1,2A ⊆，所以答案选A.7.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）】设集合{}|31,A x x k k N ==+∈，{}|7,B x x x Q =≤∈，则A B I ＝A ．{}1,3,5B ．{}1,4,7C ．{}4,7D ．{}3,58.【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】 已知函数()()lg 1f x x =-的定义域为M ，函数1y x=的定义域为N ，则M N =I A. {}10x x x <≠且 B . {}10x x x ≤≠且 C. {}1x x > D. {}1x x ≤9.【天津耀华中学2013届高三年级第一次月考】下列命题中是假命题的是 A 、(0,),>2x x sin x π∀∈ B 、000,+=2x R sin x cos x ∃∈C 、 ,3>0xx R ∀∈ D 、00,=0x R lg x ∃∈ 【答案】B【解析】因为000+=224sin x cos x sin x π+≤（），所以B 错误，选B.10.【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】若非空集合2{|11},{|log 0}x x x B x x <->=>或，且若a S ∈，则必有6a S -∈，则所有满足上述条件的集合S 共有A.6个B.7个C.8个D.9个 【答案】B【解析】由题意知，集合S 中包含的元素可以是3，1和5，2和4中的一组、两组、三组即S={3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{3,1,5,2,4},故选B.11.【山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检】已知向量a ϖ，b ϖ，则0=•b a ϖϖ是a ϖ⊥b ϖ的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要12. 【北京东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷】 设集合{xx U =}3<， {}1<=x x A ，则A C U = （ ）A ．{}31<≤x x B ．{}31≤<x xC ．}{31<<x x D ．{}1x x ≥【答案】A【解析】因为{xx U =}3<， {}1<=x x A ，则{13}U C A x x =≤<，选A.13.【山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检】对于函数()3sin cos f x x x =+，下列命题中正确的是 （ ）A ．,()2x R f x ∀∈=B ．,()2x R f x ∃∈=C ．,()2x R f x ∀∈>D ．,()2x R f x ∃∈>14．【河南中原名校2012—2013学年度第一学期期中联考】[设集合A={1，4，x}，B=2{1,}x 且AUB ={1，4，x}，则满足条件的实数x 的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个15.【河南中原名校2012—2013学年度第一学期期中联考】[已知a>l ，22(),xxf x a +=则使，()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A ． 10x -<<B ． 21x -<<C ． 20x -<<D ． 01x <<【答案】A【解析】由220x x +<，得20x -<<，可知A 成立 16.【山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试】 设集合{|31,},{|5,},A x x k k N B x x x Q A B ==+∈=≤∈I 则等于A ．{1，2，4}B ．{1，2，5}C ．{1，4，5}D ．{1，2，4，5}17.【山东省东阿县第一中学2012-2013学年度上学期考试】“3πθ≠”是“21cos ≠θ”的（ ） A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件D. 既不充分也不必要条件18.【山 西 省2012—2013年度高三第二次诊断考试】已知命题:,sin p x x x ∀∈>R ，则p 的否定形式为A ．000,sin x x x ∃∈<RB ．000,sin x x x ∃∈≤RC ．,sin x x x ∀∈≤RD ．,sin x x x ∀∈<R【答案】B【解析】命题中""∀与""∃相对，则000:,sin P x R x x ⌝∃∈≤，故选B 19.【四川省绵阳南山中学高2013级第五期零诊考试】 与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( )A ．若a ∉M ，则b ∉MB ．若b ∉M ，则a ∈MC ．若b ∈M ，则a ∉MD ．若a ∉M ，则b ∈M二．能力题20.【2013年浙江省高考测试卷】已知a,b 是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】显然ab>0时，a,b 表示同号，因此有|a+b|=|a|+|b|成立；当a=b=0时，有|a+b|=|a|+|b|成立，但是ab>0不成立.∴“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的必要不充分条件. 21.【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】下列命题中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥”B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件C.若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真 D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. 22.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “ac b =”，那么p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分又非必要条件23.【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】设集合{1}A x x a x R =-<∈，，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，若A ⋂B=φ，则实数a 的取值范围是 A. {a|0≤a ≤6} B. {a|a ≤2，或a ≥4} C. {a|a ≤0，或a ≥6} D. {a |2≤a ≤4}24.【山东省东阿县第一中学2012-2013学年度上学期考试】已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-=Y 的值为 （ ）A ．1或－1或0B ．－1C ．1或－1D ．025.【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】下列有关命题的叙述，错误的个数为①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。
2020年高考数学(文) 集合与常用逻辑用语(解析版)
专题 集合与常用逻辑用语一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知集合{0,2}=A ，{21012}=--，，，，B ，则A B =I A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{21012}--，，，， A 【解析】由题意{0,2}A B =I ，故选A ．2．(2018浙江)已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则=U A ð A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}C 【解析】因为{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以=U A ð{2，4，5}．故选C ． 3．(2018全国卷Ⅱ)已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{}1,2,3,4,5,7C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}A B =I ，故选C ． 4．(2018北京)已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B =IA ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}A 【解析】{|||2}(2,2)A x x =<=-，{2,0,1,2}B =-，∴{0,1}A B =I ，故选A ． 5．(2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =I A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}C 【解析】由题意知，{|10}A x x =-≥，则{1,2}A B =I ．故选C6．(2018天津)设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}C 【解析】由题意{1,0,1,2,3,4}A B =-U ，∴(){1,0,1}A B C =-U I ，故选C ． 7．已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则A ．3{|}2A B x x =<I B ．A B =∅IC ．3{|}2A B x x =<U D ．A B =R UA 【解析】∵3{|}2B x x =<，∴3{|}2A B x x =<I ， 选A ．8．设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =则A B U =A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4} A 【解析】由并集的概念可知，{1,2,3,4}A B =U ，选A ．9．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6,8}B =，则A B I 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 B 【解析】由集合交集的定义{2,4}A B =I ，选B ．10．设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{1,2,3,4}C =，则()A B C =U IA ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6} B 【解析】∵{1,2,4,6}A B =U ，(){1,2,4}A B C =U I ，选B ． 11．设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =I A ．()1,1- B ．()1,2-C ．()0,2D ．()1,2C 【解析】{|02}M x x =<<，所以{|02}M N x x =<<I ，选C ． 12．已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A ð=A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞UC ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞U C 【解析】{|22}U A x x =-≤≤ð，选C ．13．已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q U =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2) A 【解析】由题意可知{|12}P Q x x =-<<U ，选A ． 14．设集合{}2|30,{|14}A x x xB x x =-<=<<，则A B =I （ ）A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【答案】D 【解析】{}2|30{|03}A x x x x x =-<=<<，AB =I (1,3)故选：D15．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则A B =I （ ）A ．[)21--， B ．(21)--，C ．(16]-，D ．(31)--，【答案】A 【解析】因为{}31, 26|{|}A x xB x x =-<<-=-≤≤，所以 |}1{2A B x x ⋂=-≤<-.故选：A ． 16．设集合{}12A x x =-<≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}12,3x x x -<≤=或【答案】B 因为{}12A x x =-<≤，{}1,0,1,2,3B =-,所以A B =I {0,1,2}.故选:B17．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.18．已知集合{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--C 【解析】{}{}221,0,1,2,3A x x B =-<<=-，,则A B =I {}1,0,1-.故选:C 19．已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =I （ ） A ．[3,0]- B ．[3,1]-C ．[3,0)-D ．[1,0)-【答案】C 【解析】由2230x x +-≤有(1)(3)0x x -+≤,即31x -≤≤,又ln()x -中0x ->即0x <. 故A B =I [3,0)-故选：C20.已知集合{}|124xM x =<≤，{}0,1,2N =，则M N =I （ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1D. ∅【答案】B 【解析】{}{}|124|02xM x x x =<≤=<≤，M N =I {}1,2.故选:B21．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ． 22．(2018北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B 【解析】a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad bc =，则b da c=，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a cb d=，所以ad bc =，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B ．23．(2018天津)设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件，故选A ．24．(2018上海)已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 A 【解析】由1>a 可得11<a 成立；当11<a ，即1110--=<a a a， 解得0<a 或1>a ，推不出1>a 一定成立；所以“1a >”是“11a<”的充分非必要条件．故选A ．25．设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B 【解析】由20x -≥，得2x ≤，由|1|1x -≤，得02x ≤≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件．选B ．26．已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∧B 【解析】取0x =，知1p 成立；若22a b <，得||||a b =，q 为假，所以p q ⌝∧为真，选B ． 27．设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=om n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．28．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ． 29．已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】根据已知，如果直线,a b 相交，则平面,αβ一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面,αβ相交，分别位于这两个平面内的直线不一定相交，故为充分不必要条件，选A ． 30．已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】当0b <时，2min()()24b b f x f =-=-，即2()[,)4b f x ∈-+∞，而222(())()()(())24b b f f x f x bf x f x =+=+-的对称轴也是2b-，又2[,)24b b-∈-+∞，所以当()2bf x=-时，2min(())4bf f x=-，故(())f f x的最小值与()f x的最小值相等；另一方面，取0b=，2()f x x=与4(())f f x x=有相等的最小值0，故选A．31．已知:293p ln ln ln lna⋅>⋅，:q函数()f x lnx a=-在4(0,]e上有2个零点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对p，12932232ln ln ln lna ln ln⋅>⋅⇔⨯13ln042ln a a>⋅⇔<<；对q，函数()f x lnx a=-在(40,e⎤⎦上有2个零点，即函数()4y lnx x e=<≤与y a=的图象有两个交点，因为44lne=，画出它们的图象，可知04a<≤，所以,p q q p⇒⇒，即p是q的充分不必要条件．故选：A．32．“x0＞”是“20x x+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1-,或x＞0}，∵A≠⊂B，故“x＞0”是“20x x+>”成立的充分不必要条件．故选：A．二、填空题33．(2018江苏)已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=I．{1，8}【解析】由集合的交运算可得A B=I{1，8}．34．已知集合{1,2}A=，2{,3B a a=+｝，若{1}A B=I，则实数a的值为____．1【解析】由题意1B∈，显然1a=，此时234a+=，满足题意，故1a=．35．已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B U 中元素的个数为 ． 5【解析】{1,2,3}{2,4,5}{1,2,3,4,5}A B ==U U ，5个元素36．已知集合U ={}1,2,3,4,A ={}1,3,B ={}1,3,4,则A U (U B ð)= ． {1,2,3}【解析】{2}U B =ð，A U (U B ð)={1,2,3}．37．(2018北京)能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为____． 11-（答案不唯一）【解析】由题意知，当1a =，1b =-时，满足a b >，但是11a b>，故答案可以为11-．（答案不唯一，满足0a >，0b <即可）。
2020高考数学复习集合与常用逻辑用语
第一节集合[基础梳理]1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A B且B AA＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A B或B A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B或B A空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且xA}1．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B A.(2)交集的性质：A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．两个防范(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．[四基自测]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A ．{a}A B．a AC．{a}∈A D．a A答案：D2．已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则∁R A＝()A．{x|x≥±4} B．{x|－4＜x＜4}C．{x|－4≤x≤4} D．{x|x≥4}∪{x|x≤－4}3．已知集合A ＝{0，1，2}，集合B 满足A ∪B ＝{0，1，2}，则集合B 有________个． 答案：84．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则A ∪B ＝________． 答案：{x |x ＜2}考点一 集合的概念◄考基础——练透[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个． 故选A. 答案：A(2)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：a ∈{1，2，3}，b ∈{4，5}，则M ＝{5，6，7，8}，即M 中元素的个数为4，故选B. 答案：B(3)已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0，1，2，3，4}，则A ∩B ＝( )A ．{0，2}B ．{0，1，2}C ．{2，3}D ．{0，2，4}解析：∵6x ＋1∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0，1，2，5}，又B ＝{0，1，2，3，4}，∴A ∩B ＝{0，1，2}．故选B.本例(1)变为已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 答案：B与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)AC ．当且仅当a ＜0时，(2，1)AD ．当且仅当a ≤32时，(2，1)A解析：若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＞4，2－a ≤2，即⎩⎨⎧a ＞32，a ≥0，解得a ＞32.即点(2，1)∈A ⇒a ＞32，其等价命题为a ≤32⇒点(2，1)A .故选D. 答案：D考点二 集合间的基本关系◄考能力——知法[例2] (1)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：A ＝{x |(x －3)(x ＋1)≤0，x ∈N *}＝{1，2，3}， 真子集个数为23－1＝7，故选A. 答案：A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，则实数m 的取值范围为________．解析：因为BA ，所以①若B ＝，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案：(－∞，3]1．若本例(2)中，A B ，如何求解？解析：若AB ，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为．2．若本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，如何求解？ 解析：因为BA ，所以①当B ＝时，即2m －1＜m ＋1时，m ＜2，符合题意． ②当B ≠时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＞4，或⎩⎨⎧m ≥2，m ＜－12，即m ＞4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．求集合间关系的常用方法技巧方法解读适合题型列举法 利用列举法，根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系集合为有限集转化法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，使元素结构一致，然后在同一个数轴上表示出两个集合，比较不等式端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系集合为无限集(2019·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}，若A B ，则实数c 的取值范围为( ) A ．(0，1] B ．[1，＋∞) C ．(0，1)D．(1，＋∞)解析：法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2＞0}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}＝{x|0＜x＜c}. 由A B，画出数轴，如图所示，得c≥1，故选B.法二：A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2＞0}＝{x|0＜x＜1}，取c＝1，得B＝{x|0＜x＜1}，则A B成立，可排除C、D；取c＝2，得B＝{x|0＜x＜2}，则AB成立，可排除A，故选B.答案：B考点三集合的运算◄考基础——练透角度1集合的基本运算[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.答案：B(2)(2018·高考天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}解析：全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．故选B.答案：B(3)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(∁U B)∩A＝()A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0，3)C．[0，3) D．(0，3)解析：集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，集合B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}．因为全集U＝R，所以∁U B＝{x|－1＜x＜3}，所以(∁U B)∩A＝(0，3)，故选D.答案：D对于集合的运算，一般涉及离散型数集、连续型数集或抽象集合，破解此类型问题的关键点：(1)化简集合，使集合中的元素特性更明朗；(2)画数轴或韦恩图，并标出元素(或范围)；(3)根据集合运算定义，得出结论．角度2集合的逆运算[例4](1)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝()A．3B．2C．2或3 D．3或1解析：∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a ＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意，综上，a＝3，故选A.答案：A(2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：由|x＋2|＜3，得－3＜x＋2＜3，即－5＜x＜1，所以集合A＝{x|－5＜x＜1}，因为A∩B＝(－1，n)，所以－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，代入可得3(1＋m)＝0，所以m＝－1，解不等式(x＋1)(x－2)＜0得－1＜x＜2，所以B＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝(－1，1)，即n＝1，所以m＝－1，n＝1.答案：－11由集合的运算结果，求集合中的参数是根据运算的意义和方法，先确定集合，再确定参数．1．(2019·济南期中测试)已知集合A ＝{x |ax －6＝0}，B ＝{x ∈N |1≤log 2x ＜2}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的所有值构成的集合是( ) A ．{2} B ．{3} C ．{2，3}D ．{0，2，3}解析：B ＝{x ∈N |1≤log 2x ＜2}＝{2，3}．因为A ∪B ＝B ，所以A B ，当a ＝0时，集合A 为空集，符合题意，当a ≠0时，A ＝{x |ax －6＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6a ，由题意得6a ＝2或6a ＝3，解得a ＝3或a ＝2，所以实数a 的所有值构成的集合是{0，2，3}，故选D. 答案：D2．(2019·广州模拟)已知x ∈R ，集合A ＝{0，1，2，4，5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，若A ∩B ＝{0，2}，则x ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2解析：因为A ＝{0，1，2，4，5}，B ＝{x －2，x ，x ＋2}，且A ∩B ＝{0，2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0x ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋2＝2，当x ＝2时，B ＝{0，2，4}，A ∩B ＝{0，2，4}(舍)；当x ＝0时，B ＝{－2，0，2}，A ∩B ＝{0，2}． 综上，x ＝0.故选B. 答案：B本题的易错点是由0∈B ，2∈B 得到x ＝2或x ＝0后，就直接得到错误答案(x ＝2或x ＝0)，忘记验证A ∩B ＝{0，2}是否成立．1.数学抽象——集合的新定义(创新题)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象.[例1] (2019·中原名校3月联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A ＝{－1，12，1}，B ＝{x |ax 2＝1，a ≥0}，若A 与B 构成“全食”或构成“偏食”，则a 的取值集合为________. 解析：当a ＝0时，B 为空集，满足B A ，此时A 与B 构成“全食”；当a ＞0时，B ＝{1a ，－1a }，由题意知1a ＝1或1a＝12，解得a ＝1或a ＝4.故a 的取值集合为{0，1，4}. 答案：{0，1，4}易错警示 在解决有关A ∩B ＝，AB 等问题时，一定先考虑A 或B 是不是空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2.数学建模——集合思想与方法的应用(教材阅读)[例2] 某店统计了两天的售出商品的情况．第一天售出19种商品，第二天售出了13种商品．这两天都售出的商品有3种.(1)第一天售出，但第二天未售出的商品有________种. (2)这两天共售出________种商品.解析：如图，设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素，则A∩B中共有3个元素.(1)第一天售出，第二天未售出的共有19－3＝16种.(2)这两天共售出的种数为19＋13－3＝29种.答案：(1)16(2)29课时规范练A组基础对点练1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝() A．{0，2}B．{1，2}C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}解析：A∩B＝{0，2}∩{－2，－1，0，1，2}＝{0，2}．故选A.答案：A2．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}解析：∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1，2}．故选C.答案：C3．(2018·高考天津卷)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C ＝()A．{－1，1}B．{0，1}C．{－1，0，1} D．{2，3，4}解析：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，∴A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}． 又C ＝{x ∈R |－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1，0，1}． 故选C. 答案：C4．若集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ∩N ＝D ．NM解析：因为M ＝{x ||x |≤1}，所以M ＝{x |－1≤x ≤1}，因为N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，所以N ＝{y |0≤y ≤1}，所以N M ，故选D.答案：D5．(2019·日照3月联考)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( )A ．B ．{(4，0)，(3，0)} C. [－3，3]D ．[－4，4]解析：由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R }，所以M ∩N ＝[－4，4]．故选D. 答案：D6．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，6}解析：由题意知A ∪B ＝{1，2，4，6}， ∴(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}． 答案：B7．设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：由集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，易知A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，故选C.8．已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝________． 答案：{－1，2}9．已知集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，3}，B ＝{1，3，4}，则A ∪(∁U B )＝________． 解析：∁U B ＝{2}，∴A ∪∁U B ＝{1，2，3}． 答案：{1，2，3}B 组 能力提升练10．已知全集U ＝{0，1，2，3}，∁U M ＝{2}，则集合M ＝( ) A ．{1，3} B ．{0，1，3} C ．{0，3}D ．{2}解析：M ＝{0，1，3}． 答案：B11．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( ) A ．0 B ．2C ．0或2D ．0或1或2解析：∵A ∩B ＝B ，∴B A ，∴m ＝0或m ＝2.答案：C12．设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2＞0，B ＝{x ∈R |0＜x ＜2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1，2]B ．[1，2)C ．(1，2)D ．[1，2]解析：依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x ＜2}＝[1，2)，选B. 答案：B13．(2019·惠州模拟)已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：由题意知，B ＝{0，1，2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D. 答案：D14．设集合A ＝{3，m }，B ＝{3m ，3}，且A ＝B ，则实数m 的值是________．15．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．答案：516．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝________．解析：∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}＝{x|2＜x＜5}，A－B＝{x|x∈A 且x B}，∴A－B＝{0，1，2，5}．答案：{0，1，2，5}17．已知集合M＝{x|y＝x－1}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝________．解析：由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x＜2}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．∴∁R(M∩N)＝{x|x＜1或x≥2}，即∁R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1)∪[2，＋∞)第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[基础梳理]1．四种命题(1)四种命题及其相互关系(2)互为逆否命题的真假判断：互为逆否的两个命题同真或同假．2．充分条件与必要条件的判断若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p q且q pp是q的必要不充分条件p q且q pp是q的充要条件p qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．[四基自测]1．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” C ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2” 答案：B3．(2018·高考北京卷改编)设a 、b 、c 为非零实数，则“b 2＝ac ”是a 、b 、c 成等比数列的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C4．对于下列四个命题 (1)“x 2＋2x －3＜0”是命题．(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”． (3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．(4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”． 正确的有________． 答案：(3)(4)5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，则a ＋b 与a 平行的充要条件是m 为__________．解析：a ＋b ＝(－1＋m ，3)， a ＋b 与a 平行，则有 2(－1＋m )＝－3，∴m ＝－12. 当m ＝－12时，a ＋b 与a 平行． 答案：－12考点一四种命题及其关系◄考基础——练透[例1](1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假(2)给出下列四个结论：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题为真命题；②“∃x0∈R，使得x02－x0>0”的否定是：“x∈R，均有x2－x<0”；③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}，p且q为真命题．其中正确结论的序号是__________．(填写所有正确结论的序号)解析：(1)易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．故选B.(2)对于①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对于②，命题“∃x0∈R，使得x02－x0>0”的否定应是：“x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；对于③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；对于④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．答案：(1)B(2)①④判断命题真假的方法方法解读适合题型直接法判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明简单命题判断反例法说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可简单命题判断转化法转化为等价的逆否命题复杂命题1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.答案：C2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题解析：A中逆命题为“若x＞|y| ，则x＞y”，是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．答案：A考点二充分条件、必要条件的判断◄考能力——知法[例2](1)(2018·高考天津卷)设x∈R，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－12＜12”是“x3＜1”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12得－12＜x －12＜12，解得0＜x ＜1. 由x 3＜1得x ＜1.当0＜x ＜1时能得到x ＜1一定成立；当x ＜1时，0＜x ＜1不一定成立．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． 答案：A(2)(2018·高考北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：|a －3b |＝|3a ＋b ||a －3b |2＝|3a ＋b |2a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 22a 2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0a ⊥b ，故选C.答案：C(3)(2019·日照3月联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ＜0时，由图象的平移变换可知，函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时，m ≤0，所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A. 答案：A1．将本例(1)改为：设x ∈R ，“x 2＜1是|x －12|＜12”的什么条件？ 解析：由x 2＜1得－1＜x ＜1，集合A ＝(－1，1)，|x－12|＜12的解集为B＝(0，1)．∴A是B的必要不充分条件．2．将本例(2)改为：设“a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|”是“a⊥b”的什么条件？答案：充要条件充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题.充分条件与必要条件的两种判断方法见下表：条件定义法集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}p是q的充分条件p⇒q A B p是q的必要条件q⇒p A B p是q的充要条件p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/p A B p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p A Bp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/pA B且A B1．若p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A2．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B3．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A考点三 充分条件、必要条件的应用◄考素养——懂理[例3] (1)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________． 解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]． 答案：[0，3](2)已知p ：(1－x3)2≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析： 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，所以綈q ：A ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}， 由p ：(1－x3)2≤4，解得－3≤x ≤9， 所以綈p ：B ＝{x |x ＞9或x ＜－3}． 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件．所以AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－3，1＋m ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－3，1＋m ＞9，即m ≥8或m ＞8，所以m ≥8.答案：[8，＋∞)1.对于含有“否定”型的命题的充分、必要条件关系求参数，可以进行等价转化，具体关键点为：(1)求，分别求出p 、q 为真命题时的参数； (2)变，用到否定时，变为否定结论； (3)转，进行等价转化；(4)结，利用转化后的关系求解参数得出结论. 2.利用集合的包含关系求参数时，其关键点为： (1)化简，化简每个命题，成为集合形式； (2)转化，将充分必要条件关系转化集合包含关系； (3)求解，利用集合包含关系求解不等式； (4)结论，得出结论.1．已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________． 解析：p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知BA ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.答案：（－∞，－7]∪[1，＋∞)2．(2019·豫南九校联考)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为__________． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}． 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}， 设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分的条件， ∴BA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m≥10，且不能同时取得等号．解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)逻辑推理——命题及充要条件关系中的学科素养判断命题真假，判断条件的关系，都要用到逻辑推理，判断命题为真，需要用数学理论推理证明符合数学结论，判断命题为假，需要用反例验证产生矛盾.判断p是q的条件，既需要验证p能否推出q，也需要反推．都体现了“逻辑推理”的核心素养.[例] (2019·南昌二中月考)给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量a，b，“|a|＞1，|b|＞1”是“|a＋b|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件；④命题p：“x0∈R，使e x0≥x0＋1且ln x0≤x0－1”的否定为綈p：“x∈R，都有e x＜x＋1且ln x＞x－1”.其中正确命题的个数是()A.0B．1C.2 D．3解析：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”能够推出“ab＞1”，“ab＞1”不能推出“a＞1且b＞1”，故①正确；②已知平面向量a，b，“|a|＞1，|b|＞1”不能推出“|a＋b|＞1”，|a＋b|＞1不能推出|a|＞1且|b|＞1，故②不正确；③已知a，b∈R，当a2＋b2≥1时，a2＋b2＋2|a|·|b|≥1，则(|a|＋|b|)2≥1，则|a|＋|b|≥1，又a＝0.5，b＝0.5满足|a|＋|b|≥1，但a2＋b2＝0.5＜1，所以“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件，故③正确；④命题p：“x0∈R，使e x0≥x0＋1且ln x0≤x0－1”的否定为綈p：“x∈R，都有e x＜x＋1或ln x＞x－1”，故④不正确.所以正确命题的个数为2.故选C.答案：C课时规范练A组基础对点练1．设a＞b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是()A．ac2＞bc2 B.ab＞1C．a－c＞b－c D．a2＞b2解析：对于选项A，a＞b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a＞b，若a＞0，b＜0，则a b＜1，故B错；对于选项C，a＞b，则a－c＞b－c，故C正确；对于选项D，a＞b，若a，b均小于0，则a2＜b2，故D错，综上，真命题为C.答案：C2．(2019·太原期末联考)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性：若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b ＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D3．设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D. 答案：D4．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 解析：由原命题和逆否命题的关系可知D 正确． 答案：D5．“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的充分不必要条件，故选A. 答案：A6．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案：B7．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________． 答案：若x ≤1，则x ≤08．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________解析：由正弦定理，得asin A＝bsin B，故a≤b⇔sin A≤sin B.答案：充要9．“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的__________条件．解析：由log12(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要10．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的______条件．答案：既不充分也不必要B组能力提升练11．若x，y∈R，则x>y的一个充分不必要条件是()A．|x|>|y| B．x2>y2C.x>y D．x3>y3解析：由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由x>y可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C.答案：C12．“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝12，x2＝20.故选A.答案：A13．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵cos 2α＝cos2α－sin2α，∴当sin α＝cos α时，cos 2α＝0，充分性成立；当cos 2α＝0时，∵cos2α－sin2α＝0，∴cos α＝sin α或cos α＝－sin α，必要性不成立，故选A.14．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥4 B．a＞4C．a≥1 D．a＞1解析：要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B15．(2018·高考北京卷)能说明“若a＞b，则1a＜1b”为假命题的一组a，b的值依次为________．解析：只要保证a为正b为负即可满足要求．当a＞0＞b时，1a ＞0＞1b.答案：1，－1(答案不唯一)16．如果“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为__________．解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[基础梳理]1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等3.名称形式全称命题特称命题语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示x∈M，p(x)x∈M，p(x0)否定x0∈M，綈p(x0)x∈M，綈p(x)1．一种关系逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．两类否定(1)綈(p∧q)⇔(綈p)∨(綈q)．(2)綈(p∨q)⇔(綈p)∧(綈q)．3．三句口决p∧q全真为真，p∨q有真即真，綈p与p真假相反．[四基自测]1．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为() A．1B．2C．3 D．4答案：B2．设命题p：n0∈N，n02＞2n0，则綈p为()A．n∈N，n2＞2n B．n0∈N，n02≤2n0C．n∈N，n2≤2n D．n0∈N，n02＝2n0答案：C3．若命题p：x∈R，x2＋2x＋2≤0，其綈p为()A．x∈R，x2＋2x＋2＞0B．x0∈R，x02＋2x0＋2＞0C．x∈R，x2＋2x＋2≥0D．x0∈R，x02＋2x0＋2≤0答案：B4．命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定为________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是5”5．给出下列命题：①x∈N，x3＞x2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；③x0∈R，x02－x0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案：①②③考点一含有逻辑联结词的命题真假的判断◄考基础——练透[例1](1)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数1＋i1＋2i的虚部为－15i，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∧(綈q)B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝－5i＋i＝6i，故命题p为真命题，则綈p为假命题；复数1＋i1＋2i＝（1＋i）·（1－2i）（1＋2i）·（1－2i）＝35－15i，则z的虚部为－15，故命题q为假命题，则綈q为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，p∧q为假命题．故选C.答案：C(2)(2019·太原模拟)已知命题p：x0∈R，x02－x0＋1≥0；命题q：若a＜b，则1a＞1b，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)解析：x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34＞0，所以x0∈R，使x02－x0＋1≥0成立，故p为真命题，綈p为假命题，又易知命题q为假命题，所以綈q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p∧(綈q)为真命题，故选B.答案：B1.复合命题的真假判断方法解读适合题型直接法(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假能够顺利分解为简单命题转化法根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性原命题的真假性不易判断(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假.(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真.(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假.(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真.(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真.1．(2019·石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p或q B．p且qC．q D．綈p解析：取x＝π3，y＝5π6，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题，故选B.答案：B2．①若命题p∧q为假命题，则命题p为假命题．②若命题p 或q 为假命题，则命题p 是假命题． ③若命题p 是假命题，则命题p ∨q 为假命题．④如果“若p 则q ”是真命题，则“若綈q 则綈p ”是真命题． 其中真命题的是__________．解析：①假命题，若p ∧q 为假，只要其中一个命题为假，即可． ②真命题，p ∨q 为假，则p 、q 均假． ③假命题，因q 可能为真．④真命题，因后一个命题是前一个命题的逆否命题． 答案：②④考点二 全称命题、特称命题◄考基础——练透 角度1 全称命题、特称命题的真假判断 [例2] (1)下列命题中的假命题是( ) A ．x ∈R ，x 2≥0 B ．x ∈R ，2x －1＞0 C ．x 0∈R ，lg x 0＜1 D ．x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2解析：对于sin x 0＋cos x 0＝2sin(x 0＋π4)≤2≠2， D 为假命题． 答案：D (2)已知命题p ：x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：∵方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y ＝x 2－x ＋1，其图象开口向上，∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 为真命题．对于命题q ，取a ＝2，b ＝－3，22<(－3)2，而2>－3，∴q 为假命题，綈q 为真命题．因此p ∧(綈q )为真命题．选B.答案：B角度2全称命题、特称命题的否定[例3](1)命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B．x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．x0∈[0，＋∞)，x03＋x0＜0D．x0∈[0，＋∞)，x03＋x0≥0答案：C(2)命题“x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．x(0，＋∞)，ln x＝x－1C．x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．x0(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.答案：A1．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真2.(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．1．下列命题中的假命题是( ) A ．x ∈R ，e x ＞0 B ．x ∈N ，x 2＞0 C ．x 0∈R ，ln x 0＜1D ．x 0∈N *，sin π2x 0＝1解析：当x ＝0时，x 2＝0. 答案：B 2．已知命题p ：x 0＞1，x 02－1＞0，那么綈p 是( )A ．x ＞1，x 2－1＞0B ．x ＞1，x 2－1≤0C ．x 0＞1，x 02－1≤0D ．x 0≤1，x 02－1≤0答案：B考点三 根据量词的意义求参数◄考能力——知法 角度1x 1∈D 1，x 2∈D 2，使得f (x 1)＝g (x 2)[例4] 已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，函数g (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －2a ＋2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2 解析：当x ∈[0，1]时，f (x )∈[0，1]，g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2，由题意得[0，1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2≠．若[0，1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2＝，则2－2a >1或2－3a 2<0，即a <12或a >43.故实数a 的取值范围是12≤a≤43.故选A. 答案：Ax1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集非空，即A∩B≠．其解题关键点为：(1)当x1∈D1时，求f(x)的值域A；(2)当x2∈D2时，求g(x)的值域B；(3)若A∩B＝，求参数范围；(4)若A∩B≠，求A∩B＝时参数的补集．角度2x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)[例5]已知函数f(x)＝x2＋2x＋a和函数g(x)＝2x＋x＋1，对任意x1∈[－1，＋∞)，总存在x2∈R使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是__________．解析：因为f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x＋x＋1在[－1，＋∞)上单调递增，所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a－1≤－2，所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]对x1∈D1，x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集，即A B.其解法关键点为：(1)当x1∈D1时，求f(x)的值域A；(2)当x2∈D2时，求g(x)的值域B；(3)利用A B，求参数得结论．。
2020年高考数学(文)热点专练02 集合与常用逻辑用语(解析版)
2020年高考数学（文）热点02 集合与常用逻辑用语【命题趋势】1.在新一轮课改中集合仍然作为一个必考内容出现，集合之间的混合运算以及集合信息的迁移一直高考的一个热点，主要还是放在选择题前两题为主，此部分内容较为简单，常与函数、方程、不等式结合起来考查.2.常见的逻辑用语部分对于数学来说是一种工具类的知识点，很容易与各个知识点相结合起来进行考查.立体几何，数列，三角函数，解析几何等.但是近几年全国卷出现的频率较少.但随着新课标的进行，综合一些趋势方向，相信常用逻辑用语也会逐渐加入高考行列.【考查题型】选择题【满分技巧】给定集合是不等式的解集的用数轴.给定集合是点集的用数形结合去求.给定集合是抽象几何的用Venn 图去求.对于常见的逻辑词来说，重难点是要分清楚命题的否定与否命题之间的区别于联系.原命题与你否命题等价，剩下两个等价.亦可以采用逆向思维去求.对于充分必要条件问题，最好的理解方法亦是转化成集合与子集的观点去探究 .充分亦是子集.充要亦是集合相等.主要是观察两个集合哪一个范围更大一些.范围小的就是范围大的的充分，亦是范围大的是范围小的的必要即可.【常考知识】集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019全国Ⅰ文2）已知集合，则A ．B ．C ．D ．【答案】C{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UA B ===，，U B A =I ð{}1,6{}1,7{}6,7{}1,6,7【解析】 因为， 所以， 则. 故选C ． 2.（2019全国Ⅱ文1）已知集合，，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ． 【答案】A【解析】 ，，.故选C.【名师点睛】对于有关不等式的集合之间的运算画数轴是最简便，不容易出错的 3.（2019天津文1）设集合，， ，则（A ）{2}（B ）{2，3} （C ）{-1，2，3} （D ）{1，2，3，4} 【答案】D【解析】 设集合，， 则. 又， 所以. 故选D.4．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】集合{|32,}A x x n n N ==+∈，当0n =时，322n +=，当1n =时， 325n +=，当2n =时，328n +=，当3n =时，3211n +=，当4n =时，3214n +=，∵{6,8,10,12,14}B =，∴A B I 中元素的个数为2，选D ．【名师点睛】集合运算中，应当特别注意集合中的取值范围5．已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+∈≤，{(,)|||2,B x y x =≤||2,,}y x y Z ∈≤，定义集合12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为{}1234567234{}}23{567U A B ===，，，，，，，，，，，，，，C 17{}6U A =，，{67?}U B A =I ，ð={|1}A x x >-{|2}B x x =<∅(1,)A =-+∞(,2)B =-∞(1,2)A B =-I {}1,1,2,3,5A =-{}2,3,4B ={|13}C x R x =∈<„()A C B =I U {}1,1,2,3,5A =-{}13C x x =∈<R „{}1,2A C =I {}2,3,4B ={}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==I U UA ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C【解析】由题意知，，，所以由新定义集合可知，或.当时，，，所以此时中元素的个数有：个；当时，，，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，即此时有， 由分类计数原理知，中元素的个数为个，故应选C ．【名师点睛】本题主要考查学生的运算能力以及细心程度，属于新定义问题.通过理解新定义计算法则，此题容易遗漏某些点.6．设整数,集合，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若和都在中，则下列选项正确的是A ．,B ．,C ．,D ．,【答案】B【解析】特殊值法,不妨令,,则, ,故选B ．如果利用直接法：因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立， 此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z {(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z A B ⊕111,0x y =±=110,1x y ==±111,0x y =±=123,2,1,0,1,2,3x x +=---122,1,0,1,2y y +=--A B ⊕7535⨯=110,1x y ==±122,1,0,1,2x x +=--123,2,1,0,1,2,3y y +=---12y y +3-35210⨯=A B ⊕351045+=4n ≥{}1,2,3,,X n =L (),,x y z (),,z w x S (),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉2,3,4x y z ===1w =()(),,3,4,1y z w S =∈()(),,2,3,1x y w S =∈(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈x y z <<y z x <<z x y <<z w x <<w x z <<x z w <<w x y z <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈x y z w <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.7．已知全集为，集合，，则A ．B ．{}|24x x ≤≤C ．{|024}x x x ≤<>或D ．{|024}x x x ≤≤≥或【答案】C【解析】，，∴[0,2)(4,)R A B =+∞I U ð【名师点睛】考查指数函数有关性质，注意指数函数底数为0到1的数，是单调递减函数另外集合属于一元二次不等式的解法.8．已知,A B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且{3}A B =I ，{9}U B A =I ð，则A =A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}【答案】D【解析】因为{3}A B =I ，所以3∈A ，又因为{9}U B A =I ð，所以9∈A ，所以选D ．本题也可以用Venn 图的方法帮助理解．9.（2019北京文6） 设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】 若，则是偶函数；反之，若为偶函数，则，即， 即对成立，可得，故“”是“为偶函数”的充分必要条件.故选C.10.（2019浙江5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的y z w x <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈z w x y <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈R 112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2|680B x x x =-+≤R A C B =I {}|0x x ≤[)0,A =+∞[]2,4B =0b =()cos f x x =()f x ()()f x f x -=()()cos sin cos sin cos sin x b x x b x x b x -+-=-=+sin 0b x =x ∀0b =0b =()f xA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 因为a ＞0，b ＞0，若a +b ≤4，则，则，即. 反之，若，取，，则，但，即推不出a +b ≤4，所以a +b ≤4是的充分不必要条件.故选A ．11.（2019全国Ⅱ文11）记不等式组表示的平面区域为D .命题 ；命题.下面给出了四个命题 ① ② ③ ④ 这四个命题中，所有真命题的编号是A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④ 【答案】 A【解析】 作出不等式组的平面区域如图阴影部分所示. 由图可知，命题；是真命题，则假命题； 命题是假命题，则￢q 真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：真； 假；●真；❍假；故答案 ●正确．故选A ．4a b +4ab „44a b ab +⇒剟4ab „1a =4b =44ab =„5a b +=4ab „4ab „6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…:(,),29p x y D x y ∃∈+…:(,),212q x y D x y ∀∈+„p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝p q ⌝∧⌝620x y x y +⎧⎨-⎩……():,,29p x y D x y ∃∈+…p ⌝():,,212q x y D x y ∀∈+„p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝p q ⌝∧⌝【名师点睛】线性规划与逻辑词相结合是比较新颖的题型，需要对线性规划一个充分的理解，需要对图像有一个比较清晰的认识理解.从图形中去挖掘信息.另此题比较简单的方法在所在的区域找特殊点进行验证.12．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．13．(2018北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad bc =，则b d a c=，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a c b d=，所以ad bc =，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B ． 14．（2017山东）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∧【答案】B【解析】取0x =，知1p 成立；若22a b <，得||||a b =，q 为假，所以p q ⌝∧为真.选B ．15．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】.C【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >； 当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ． 16．已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】根据已知，如果直线,a b 相交，则平面,αβ一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面,αβ相交，分别位于这两个平面内的直线不一定相交，故为充分不必要条件，选A ．17．“sin cos αα=”是“cos20α=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵22cos 2cos sin ααα=-，当sin cos αα=时，cos20α=，充分性成立；当cos20α=时，即22cos sin 0αα-=，∴cos sin αα=或cos sin αα=-，必要性不成立．18．函数()f x 在0=x x 处导数存在，若()00p f x '=：，0:q x x =是()f x 的极值点，则A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】Cb【解析】设3()f x x =，(0)0f '=，但是()f x 是单调增函数，在0x =处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C ．【名师点睛】充分必要条件的选择与应用通过集合的观点去认识理解，对于这种题目迎刃而解.主要看的是谁的范围更小谁的范围更大.。
课标Ⅰ卷2020届高考数学一轮第一章集合与常用逻辑用语.常用逻辑用语理
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
答案 Ｂ
解析 “ 若 ｘ≠１ 或 ｙ≠２，则 ｘｙ≠２” 的逆否命题为“ 若 ｘｙ ＝
２，则 ｘ ＝ １ 且 ｙ ＝ ２”．
由
ｘ＝１
且 ｙ＝２
可以得出
ｘｙ ＝ ２，反之不成立，例如取
ｘ＝
１ ２
，
ｙ ＝ ４．
∴ “ ｘｙ ＝ ２” 是“ ｘ ＝ １ 且 ｙ ＝ ２” 的必要不充分条件．
（ ２） ∵
θ－
π １２
＜
π １２
⇔－
π １２
＜θ－
π １２
＜
π １２
⇔０＜θ＜
π ６
，
( ) ｓｉｎ θ＜
１ ２
⇔θ∈
２ｋπ － ７６π，２ｋπ ＋
π ６
，ｋ∈Ｚ，
( ) ( ) ０，
π ６
⫋
２ｋπ － ７６π，２ｋπ ＋
π ６
，ｋ∈Ｚ，
∴“
θ－
π １２
π
１
＜ １２ ” 是“ ｓｉｎ θ＜ ２ ” 的充分而不必要条件．
直接判断不方便的情况，具体方法是通过判断原命题的逆否命
题的真假来间接判断原命题的真假．常用结论如下：
（１） ¬ ｑ 是¬ ｐ 的充分不必要条件⇔ｐ 是 ｑ 的充分不必要
2020届高考数学一轮课件：第一讲 集合与常用逻辑用语
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3.充要条件、集合与含量词命题的等价互化. 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即 A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)A⊆B⇔∀x∈A,x∈B⇔p是q的充分条件. (2)B⊆A⇔∀x∈B,x∈A⇔p是q的必要条件. (3)A⫋B⇔∀x∈A,x∈B,∃y∈B,使得y∉A⇔p是q的充分不必要条件. (4)B⫋A⇔∀x∈B,x∈A,∃y∈A,使得y∉B⇔p是q的必要不充分条件. (5)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=B⇔∀x∈A,x∈B,∀y∈B,y∈A⇔p是q的充分必要条件.
第一讲 集合与常用逻辑用语
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高考预测:对集合的考查仍会以集合的基本运算作为核心,以一 元一次或二次不等式的求解作为背景,交集与并集是命题的重点; 常用逻辑用语的考查频率比较低,考点相对分散,应注意新教材中 已经删除了四种形式的命题以及逻辑联结词,故高考只能从量词与 充要条件中选一个考查.
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一、解决集合问题,掌握三个“基本” 1.掌握集合的基本概念,关键是准确理解元素的“三性” (1)搞清“三性” ①确定性:对应元素与集合的关系,是解决集合问题的基础. ②互异性:集合中任意两个元素都不相等,这是“三性”中的重点. ③无序性:集合中的元素之间没有顺序的差异. (2)解决集合概念问题的基本步骤
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二、常用逻辑用语——关注两个重点 1.关注量词——否定与判断 (1)含量词的命题的否定——讲规矩 ①改写量词.找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含 义加上量词,再改变量词. ②否定结论.对原命题的结论进行否定. 全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
专题1 集合,常用逻辑用语--《2021届新高考地区优质数学试卷分项解析01》【原卷版】
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专题1 集合，常用逻辑用语 一、单选题 1．（2021届山东德州·高三期中）已知集合128xAxN，集合2Byyx，则AB等于
（ ） A．0,1,2 B．0,1,2,3 C．1,2 D．1,2,3 2．（2021届山东德州·高三期中）若2:140pax是2:60qxx的充分不必要条件，则a的值
为（ ）
A．1 B．1 C．33或33 D．1或1
3．（2021届山东临沂·高三期中）设集合12AxZx，21Bxx，则AB（ ）
A．1,0,1 B．0 C．1,0 D．1,0,1,2 4．（2021届山东临沂·高三期中）设a，bR，则“lnlnab”是“ln0ab”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021届山东临沂·高三期中）已知命题:pmR，23logxfxmx是增函数，则p为（ ）
A．mR，23logxfxmx是减函数
B．mR，23logxfxmx是增函数
C．mR，23logxfxmx不是增函数
D．mR，23logxfxmx不是增函数
6．（2021届山东潍坊·高三期中）已知集合24Axx，53Bxx，则AB（ ）
A．54xx B．52xx C．23xx D．34xx 7．（2021届山东潍坊·高三期中）“1a”是“120aa”的（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2021届烟台市福山区教育局高三期中）已知集合21,0,1,212ABxx，，，则