北京四中2014届九年级数学总复习专练：《平面直角坐标系》全章复习与巩固(提高)巩固练习
北京四中2014届九年级数学总复习专练：圆(提高)
一、选择题1．如下图，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如 果∠DAC ＝78°， 那么∠ADO 等于()．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束 呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如下图)，那么光源离地面的垂直高度SO 为()．A ．54mB ．mC ．mD ．m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如下图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、 AD 的长为半径作半圆，那么商标图案(阴影局部)的面积等于().2 A.(4π+8)cm 2 B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm4．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动， 那么的取值X 围 是().A.B.C.D.5.“圆材埋壁〞是我国古代著名的数学著作?九章算术?中的问题：“今有圆材，埋在壁 中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?〞用数学语言可表示为：如图所 示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，那么直径CD 的长为()A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸第5题图第6题图第8题图6．在平面直角坐标系中如下图，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，那么这两个圆的公切线〔和两圆都相切的直线〕有()A.1条B.2条C.3条D.4条7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两局部，那么该弦所对的圆周角为()．A．80°B．100°C．80°或100°D．160°或200°8．如下图，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，那么∠BPC的度数是()．A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°二、填空题9．如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，那么的变化X围是_________.第9题图第10题图10．如下图，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.11．⊙O 1与⊙O 2的半径、分别的两实⊙O 1与⊙O 2 的圆心距=5．那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是__________________.12．圆的直径为13c m ，圆心到直线的距离为6c m ，那么直线和这个圆点 的个数是______.13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，那么另一个圆的半径是 ______________________. 14.正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，那么这个正八边 形EFGHIJLK 的边 长为_______________为_______________． 15．如图(1)(2)⋯(m )是边于2的三角形、四边形、⋯⋯、凸n 边形，分们 的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相到3条弧，4条弧，⋯⋯ (1)图(1)中3条弧的弧长的和为_______________，图(2)中4条弧的弧长的和为 _______________； (2)求图(m)中n 条弧的弧长的和为_______________(用n 表示)． 16．如下图，蒙古包可以近似地看做由圆锥组成，如果想用毛毡搭建20个底面 9πm 2，高为3.5m ，外围高4m 的蒙古包，至少要_______________m 2的毛毡． 三、解答题 17.如图，⊙O 是△A B C 的外接于E ，∠A B C 的平分线B D 交A 〔1〕AF 平分∠BAC ；18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：----〔2〕证明：BF＝FD.18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：----。
2014年中考数学汇编--平面直角坐标系
平面直角坐标系(2014北京市在平面直角坐标系xOy中,对于点( P x y,,我们把点(11P y x'-++,叫做点P的伴随点,已知点1A的伴随点为2A,点2A的伴随点为3A,点3A的伴随点为4A,…,这样依次得到点1A,2A,3A,…,nA,….若点1A的坐标为(3,1,则点3A的坐标为,点2014A的坐标为;若点1A的坐标为(a,b,对于任意的正整数n,点nA均在x轴上方,则a,b应满足的条件为.(2014•赤峰如图所示,在象棋盘上建立平面直角坐标系,使“马”位于点(2,2,“炮”位于点(﹣1,2,写出“兵”所在位置的坐标(﹣2,3.考点:坐标确定位置分析:以“马”的位置向左2个单位,向下2个单位为坐标原点建立平面直角坐标系,然后写出兵的坐标即可.解答:解:建立平面直角坐标系如图,兵的坐标为(﹣2,3.故答案为:(﹣2,3.点评:本题考查了坐标确定位置,确定出原点的位置并建立平面直角坐标系是解题的关键. (2014•海南如图,△ABC与△DEF关于y轴对称,已知A(﹣4,6,B(﹣6,2,E(2, 1,则点D的坐标为((2014•呼和浩特已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(﹣1,4的对应点为C移线段AB,使点A落在A1(0,﹣1,点B落在点B1,则点B1的坐标为(1,1.考点:坐标与图形变化-平移.分析:根据网格结构找出点A1、B1的位置,然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标即可.解答:解:如图,点B1的坐标为(1,1.故答案为:(1,1.点评:本题考查了坐标与图形变化﹣平移,熟练掌握网格结构准确找出点的位置是解题的关键.(2014金华在棋盘中建立如图所示的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们的坐标分别是(-1,1,(0,0和(1,0。
(1如图2,添加棋子C,使A,O,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;(2在其它格点位置添加一颗棋子P,使A,O,B,P成为一个轴对称图形,请直接写出棋子P的位置的坐标(写出2个即可。
北京四中2014届九年级数学总复习专练：实数(提高)知识讲解
实数（提高）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】【 立方根、实数，知识要点】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念1、把下列各数分别填入相应的集合内：，14，π，52-，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【答案与解析】有理数有：14，52-，，0，，π，，0.3737737773……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……，，举一反三：【立方根实数，例1】【变式】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.( )(2)无理数都是无限小数.( )(3)无限小数都是无理数.( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )(5)不带根号的数都是有理数.( )(6)带根号的数都是无理数.( )(7)有理数都是有限小数.( )(8)实数包括有限小数和无限小数.( )【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.有理数集合无理数集合(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较211+的大小．【思路点拨】根据a b <，b c <，则a c <来比较两个实数的大小．【答案与解析】1145144-<-=-=1143144>+=+=．11+【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.举一反三：【 立方根 实数 ，例2】【变式】已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：||||||||x z x y y z x z x z---++++-．【答案】由图知0x y <<，0z >，0x z -<．∴ 0x y -<，0y z +>，0x z +>，0x z -<．∴ ||||||||x z x y y z x z x z---++++- ()()()()1x z x y y z x z x z --=---++++=--． 类型三、实数的运算3【答案与解析】解：（1）当m ≥0m =m =，2m m m +=+=．（2）当m ＜0m =-m =，0m m =-+=．+值为0或2m ．【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对m 的讨论，而开立方不需要讨论符号．举一反三：【 立方根 实数 ，例3】【变式】若a 的两个平方根是方程322x y +=的一组解．（1）求a 的值；（2）求2a 的算术平方根．【答案】解：（1）∵ a 的平方根是322x y +=的一组解，则设a 的平方根为1a ，2a ，则根据题意得：1212322,0,a a a a +=⎧⎨+=⎩解得122,2.a a =⎧⎨=-⎩ ∴ a 为2(2)4±=．（2）∵ 22416a ==．∴ 2a 的算术平方根为4．类型四、实数的综合运用【 立方根 实数 ，例4】4、已知2(21)0a b -++=4=【答案与解析】解：∵2(21)0a b -++=，且2(21)0a b -+≥0≥．∴2(21)0,0a b --==，即210a b -+=，30b -=．解得 b ＝3，a ＝54=得c ＝64．∴6===．【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由210a b -+=，30b -=可求a 、b4=，所以c ＝64可求．举一反三：0=，求x y的值．【答案】解：知条件得2309030x y x x -=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩①②③，由②得29x =，3x =±，∵ 30x +≠，∴ 3x ≠-，则3x =．把3x =代入①得330y -=，y ＝1．∴ 331x y ==．5、如图所示：在平行四边形ABCO 中，点A 、C的坐标分别是A，C ．（1）写出点B 的坐标；（2）将平行四边形ABCO个单位长度，求所得平行四边形A B C O ''''四个顶点的坐标；（3）求平行四边形ABCO 的面积．【思路点拨】（1）由C点坐标可知OC =AB ＝OC ，所以B 点坐标是纵坐标与A 点坐标相同，横坐标即将A点坐标右移（2四个．（3）平行四边形的面积用OC 为底边，A 点或B 点的纵坐标为高来求的．【答案与解析】解：（1）B ．（2）将四个顶点A、B 、(0,0)O、C的横坐标分别减去得：A '，B '、C '、(O '．（3）||210A ABCO S OC y ===平行四边形．【总结升华】有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，在实数范围内，加、减、乘、除、乘方五种运算同有理数一样.。
北京四中2014届中考数学专练总复习 绝对值(提高)知识讲解
绝对值（提高）【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】 要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． ：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩两数异号 正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反． 5. 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小. 【典型例题】 类型一、绝对值的概念1．计算：（1）145-- （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， (2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7， (3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论． 【答案与解析】因为|x|＝6，所以x ＝6或x ＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.举一反三：【变式1】 (1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?【答案】x＝6，y＝±4【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的X围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--．，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 例（简单举例）】【变式1】比大小： （1） 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91101--．【答案】＞；＞【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14． 【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来． 【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数． 又∵ 正数大于一切负数，且|m|＞|n|， ∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．解法二：因为m ＞0，n ＜0且|m|＞|n|，把m ，n ，-m ，-n 表示在数轴上，如图所示．∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．类型三、含有字母的绝对值的化简4.把下列各式去掉绝对值的符号． (1)|a-4|(a ≥4)；(2)|5-b|(b ＞5)． 【答案与解析】(1)∵ a ≥4，∴a-4≥0，∴ |a-4|＝a-4．(2)∵ b ＞5，∴ 5-b ＜0，∴ |5-b|＝-(5-b)＝b-5．【总结升华】由字母的取值X 围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号. 举一反三： 【变式1】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得．∴30a c ->，，，∵．∴ 原式．【变式2】求的最小值．【答案】法一：当2x <-时，则23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+≥ 当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+=当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=-≥综上：当时，取得最小值为：5. 法二：借助数轴分类讨论： ①； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值．所以，时，取最小值5类型四、绝对值非负性的应用5. 已知a 、b 为有理数，且满足：12，则a =_______，b =________．【答案与解析】由，，，可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0． 举一反三： 【变式1】已知，则x 的取值X 围是________． 【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值．【答案】 由题意得∴所以，2b a =类型五、绝对值的实际应用6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻.。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
平面直角坐标系篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题专题12平面直角坐标系考点一：平面直角坐标系之坐标特点1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对。
表示为()b a ，，可以用来表示位置。
2.平面直角坐标系各部分的坐标特点：①x 轴上的所有点的坐标可表示为()0 ，x 。
②y 轴上的所有点的坐标可表示为()y ，0。
③第一象限内的所有点的坐标横纵坐标都是正数。
即（﹢，﹢）。
④第二象限内的所有点的坐标横坐标是负数，纵坐标是正数。
即（﹣，﹢）。
⑤第三象限内的所有点的坐标横纵坐标都是负数。
即（﹣，﹣）。
⑥第四象限内的所有点的坐标横坐标是正数，纵坐标是负数。
即（﹢，﹣）。
3.点到坐标轴的距离：点()b a ，到横坐标的距离等于纵坐标的绝对值。
即b 。
点()b a ，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值。
即a 。
1．（2022•六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是（）A ．狐狸B ．猫C ．蜜蜂D ．牛【分析】根据点的坐标解决此题．【解答】解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，1）．∴咚咚﹣咚对应（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚对应（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚对应（1，3），表示T．∴此时，表示的动物是猫．故选：B．2．（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），建立适当的平面直角坐标系，即可解答．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：∴教学楼的坐标是（2，2），故选：D．3．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC ∥y轴，由此即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），∴AB＝6，AB∥x轴，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，∵点C（3，﹣1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），故选：D．4．（2022•宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为（1，3）．若小丽的座位为（3，2），以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（）A．（1，3）B．（3，4）C．（4，2）D．（2，4）【分析】直接利用点的坐标特点得出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置．【解答】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（4，2）．故选：C．5．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据平方数非负数判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．故选：B．6．（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，∴P点在第二象限．故选：B．7．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，∴﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．故选：B．8．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A 点位置．【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，∴点A （﹣1，﹣2）在第三象限，故选：C ．9．（2022•河池）如果点P （m ，1+2m ）在第三象限内，那么m 的取值范围是（）A ．﹣21＜m ＜0B ．m ＞﹣21C ．m ＜0D ．m ＜﹣21【分析】根据点P 在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m 的范围．【解答】解：根据题意得，解①得m ＜0，解②得m ＜．则不等式组的解集是m ＜﹣．故选：D ．10．（2022•兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是．【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；【解答】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，∴黄河母亲像的坐标是（﹣4，1）．故答案为：（﹣4，1）．11．（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第象限．【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围，得到1＜m+2＜2，进而得到点Q所在的象限．【解答】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，∴，∴﹣1＜m＜0，∴1＜m+2＜2，∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，故答案为：二．12．（2022•鄂州）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是．【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案．【解答】解：根据平面内点的平移规律可得，把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，∴（﹣1﹣2，﹣2+3），即（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．（2022•烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为．【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1），故答案为：（4，1）．考点二：平面直角坐标系之坐标变换知识回顾微专题1.平行于x 轴（垂直于y 轴）的直线上的点的坐标：纵坐标相等。
北京四中2014届九年级数学总复习专练：绝对值(提高)知识讲解
绝对值（提高）【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】 要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则ab >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小. 【典型例题】类型一、绝对值的概念(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩1．计算：（1）145--（2）|-4|+|3|+|0|（3）-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.举一反三：【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?【答案】x＝6，y＝±4【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5． 因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 例（简单举例）】 【变式1】比大小： （1） －0.3 31- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--． 【答案】＞；＞【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14． 【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m |＞|n |，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来． 【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数． 又∵ 正数大于一切负数，且|m |＞|n |， ∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．解法二：因为m ＞0，n ＜0且|m |＞|n |，把m ，n ，-m ，-n 表示在数轴上，如图所示．∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大， ∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．类型三、含有字母的绝对值的化简4. 把下列各式去掉绝对值的符号． (1)|a -4|(a ≥4)；(2)|5-b |(b ＞5)．【答案与解析】(1)∵ a ≥4，∴a -4≥0，∴ |a -4|＝a -4．(2)∵ b ＞5，∴ 5-b ＜0，∴ |5-b |＝-(5-b )＝b -5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号. 举一反三：【变式1】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得．∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式．【变式2】求的最小值．【答案】法一：当2x <-时，则23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+≥ 当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+= 当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=-≥综上：当时，取得最小值为：5. 法二：借助数轴分类讨论： ①； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值．所以，时，取最小值5类型四、绝对值非负性的应用5. 已知a 、b 为有理数，且满足：12，则a =_______，b =________．【答案与解析】由，，，可得 ∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0． 举一反三： 【变式1】已知，则x 的取值范围是________． 【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值．【答案】 由题意得 ∴所以，2b a类型五、绝对值的实际应用6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛． 【总结升华】绝对值越小，越接近标准. 举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm )依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm ) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻.。
北京四中2014届中考数学专练总复习《平行线与相交线》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《平行线与相交线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3.了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；.【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105知识结构】【知识网络】【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠21 2 ∠1与∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°要点诠释：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB ⊥CD，垂足为O.要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB 与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点三、命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有对，它们分别是，共有对邻补角.【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以再乘以3即可．【答案】6,∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE, ∠BOC与∠AOD，∠BOF与∠AOE, ∠DOF与∠COE ,12【解析】找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.【总结升华】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角.举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.【答案】解：因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,所以∠AOC是∠BOC的补角.因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,∠AOD=∠BOC（已知）,所以∠BOC＋∠BOD=180º.所以∠BOD是∠BOC的补角．所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠B OC没有对顶角.2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.【答案与解析】解：∵a⊥b,∴∠2＝∠1＝90°.又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,又∠3与∠4互为邻补角，所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°.所以∠4＝135°.【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．类型二、平行线的性质与判定3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【答案与解析】解：平行，理由如下：因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠BCD=∠2.所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105经典例题3】举一反三：【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,∴∠2＝∠4.∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.∴∠5＝∠3.又∠3=∠B,∴∠5＝∠B.∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).类型三、命题及平移4.(某某中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件．【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.【解析】解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.举一反三：【变式】下列命题真命题是( )A．互补的两个角不相等 B．相等的两个角是对顶角C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．同角或等角的补角相等【答案】D5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离．【答案与解析】解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求．【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C．举一反三：【变式】下列说法错误的是（）A．平移不改变图形的形状和大小B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等D．经过平移，图形对应点的连线段相等【答案】B类型四、实际应用6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？【答案与解析】解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.。
北京四中2014届中考数学专练总复习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向 对称轴 顶点坐标 当时开口向上 当时开口向下(轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值X 围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________． 【答案】21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键． 由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【高清课程名称：二次函数复习高清ID 号： 357019关联的位置名称（播放点名称）：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求, ∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0． 由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限． 同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ． 【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集. 【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值X 围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．已知抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点． ①求c 的取值X 围； ②试确定直线1+=cx y 经过的象限，并说明理由．【答案与解析】（1）∵抛物线与x 轴没有交点，∴⊿＜0，即1－2c ＜0，解得c ＞12(2)∵c ＞12，∴直线y=12x ＋1随x 的增大而增大， ∵b=1，∴直线y=12x ＋1经过第一、二、三象限. 【点评】抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点，⊿＜0，可求c 的取值X 围. 举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点， 则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上． (1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足图1所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增大，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z 与x 之间也大致满足图2所示的一次函数关系．(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x之间的函数关系式；(3)要使该商场销售彩电的总收益ω(元)最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少?并求出总收益ω的最大值． 【思路点拨】(2)依题意设y ＝k 1x+800，z ＝k 2x+200．分别将(400，1200)和(200，160)代入两式求出k 1、k 2； (3)由题意ω＝yz ． 【答案与解析】(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售家电的总收益为800×200＝160 000(元)． (2)依题意可设y ＝k 1x+800，z ＝k 2x+200，则有 400k 1+800＝1200，200k 2+200＝160，解得k 1＝1，215k =-，所以y ＝x+800，12005z x =-+． (3)211(800)200(100)16200055yz x x x ω⎛⎫==+-+=--+ ⎪⎝⎭． 政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元． 【点评】求最大值问题一般需列出二次函数关系式．。
中考数学平面直角坐标系训练题库(含答案)(102页)
中考数学平面直角坐标系训练题库（含答案）（102页）一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)位于（）。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D2. 已知点A(3, 4)和点B(2, 1)，则线段AB的中点坐标为（）。
A. (1/2, 3/2)B. (1/2, 7/2)C. (1/2, 3/2)D. (1/2, 3/2)答案：B3. 在平面直角坐标系中，点(3, 3)关于原点对称的点的坐标是（）。
A. (3, 3)B. (3, 3)C. (3, 3)D. (3, 3)答案：C4. 已知点A(2, 3)和点B(2, 3)，则线段AB的长度为（）。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：A5. 在平面直角坐标系中，点(4, 5)关于x轴对称的点的坐标是（）。
A. (4, 5)B. (4, 5)C. (4, 5)D. (4, 5)答案：A二、填空题6. 在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是______。
答案：(3, 4)7. 已知点A(0, 2)和点B(4, 0)，则线段AB的斜率为______。
答案：1/28. 在平面直角坐标系中，点(5, 0)关于原点对称的点的坐标是______。
答案：(5, 0)9. 已知点A(2, 1)和点B(4, 3)，则线段AB的中点坐标为______。
答案：(1, 2)10. 在平面直角坐标系中，点(0, 3)关于y轴对称的点的坐标是______。
答案：(0, 3)（后续题目及答案请见完整题库）三、解答题11. 在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，顶点A的坐标为(1, 2)，顶点C的坐标为(3, 1)。
求矩形对角线AC的长度。
解：我们可以通过坐标计算出对角线AC的长度。
设点B的坐标为(x, y)，则点D的坐标为(3, y)。
由于ABCD是矩形，所以AB和CD平行且等长，AD和BC平行且等长。
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《平面直角坐标系》全章复习与巩固（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．（日照）若点P(m，1－2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（ ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点P(a，b)，ab＞0，a+b＜0，则点P在( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点P(x，y)的坐标满足xy＝0(x≠y)，则点P必在( )． A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．x轴上或y轴上(除原点)
4．（2012江苏南通）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴
对称，则点M的对应的点M1的坐标为（ ）.
A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2) 5．设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位，△PQR的顶点坐标为P（0,3），Q（4,0），R（k，5），其中0
A．1 B．83 C．2 D．12 6．如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐标分别为(-3，2)和(3，2)，则矩形的面积为( )． A．32 B．24 C．6 D．8 7. (湖北武汉)如图所示，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，„顶点依次用A1，A2，A3，A4„表示，则顶点A55
的坐标为( ). A．(13，13) B．(-13，-13) C．(14，14) D．(-14，-14) 8.（台湾）如图，坐标平面上有两直线、m，其方程式分别为y=9、y=-6．若上有一点P，m上有一点Q，PQ与y轴平行，且PQ上有一点R，PR：RQ=1：2，则R点与x轴的距离为何
（ ）.
A．1 B.4 C. 5 D.10 二、填空题 9．如图，图中O点用（0，0）表示，A点用（2，1）表示．若“A左一进二”表示将A向左平移一个单位，再向上平移两个单位，此时A到达C点，则C点为（1，3）。若将A（2，1）“右二进三”到达D点，在图中确定D的位置，可表示为 ．
10. 如果点M（a＋b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第 象限． 11.（贵阳）对任意实数x，点P（x，x2－2x）一定不在第 象限． 12.已知点P（2，-3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，且Q到x轴的距离为5，则点Q的坐标为 。 13．已知正方形的对角线的长为4 cm，取两条对角线所在直线为坐标轴，则正方形的四个顶点的坐标分别为________． 14.将点A（1，－3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到点B（a，b），则ab＝ ． 15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（-1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为 ．
16. （锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），„，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 ． 三、解答题 17．如图，点A表示3街与3大道的十字路口，点B表示5街与5大道的十字路口，如果用（3，3）→（4，3）→（5，3）→（5，4）→（5，5）表示由A到B的一条路径，那么请你用同样的方法找出由A到B的其他三种路径．
18．（河源）在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，-2a）． （1）当a=-1时，点M在坐标系的第 象限；（直接填写答案） （2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围． 19.在如图所示的直角坐标系中，多边形ABCDEF的各顶点的坐标分别是A(1，0)，B(2，3)，C(5，6)，D(7，4)，E (6，2)，F(9，0)，确定这个多边形的面积，你是怎样做的?
20.已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． (1)若折叠后使点B与点A重合，求D点坐标；(*你还能求出点C的坐标?)
A B
(2)若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使//BDOB，此时你能否判断出BC与AB的位置关系?若能，给出证明，若不能试说出理由。(*你能求此时点C的坐标吗？还能„？)
【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D. 2. 【答案】C； 【解析】由ab＞0可知a和b同号，由a+b＜0可知a和b同时为负，所以P(a，b)在第三象限，故选C． 3. 【答案】D； 【解析】由xy＝0，可得x＝0或y＝0，当x＝0时，点P在y轴，当y＝0时，点P在x 轴，故选D． 4. 【答案】D； 【解析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数. 5. 【答案】B；
【解析】如图，，梯PRQQMPPORRMOQSSSS,
即(4)(53)348225=2kk，解得83k.
6. 【答案】B； 【解析】分析：因为以矩形ABCD的对角线的交点为原点，建立平面直角坐标系，则A、B两点关于y轴对称且距离为6，同样B、C两点关于x轴对称且距离为4，所以矩形的面积为24，故选B． 7. 【答案】C； 【解析】观察图形可知，由从内到外的第2个正方形数起： A5在第三象限，A6在第二象限，A7在第一象限，A8在第四象限， A9在第三象限，A10在第二象限，A11在第一象限，A12在第四象限， „„ 其一般规律是：由从内到外的第n(n为正整数，且n≥2)个正方形算起： 41nA在第一象限，42nA在第二象限，43nA在第三象限，4nA在第四象限．
那么，点A55在哪个象限呢? 因为55为奇数，所以点A55应该是在第一象限或者是第三象限． 具体地，由4n-1＝55，解得n＝14(由4n-3＝55，则n不是整数) 由此可知，A55在第一象限，且在从内到外的第14个正方形的顶点上． 观察图形，结合已知条件又知： 在第一象限的第1个正方形顶点坐标是(1，1)， 在第一象限的第2个正方形顶点坐标是(2，2)， 在第一象限的第3个正方形顶点坐标是(3，3)， 因此，在第一象限的第14个正方形顶点坐标是(14，14)．即A55(14，14)，故选C． 8. 【答案】B； 【解析】由已知直线L上所有点的纵坐标为9，M上所由点的坐标为-6，由PQ与y轴平行即于x轴垂直，可得出PN=9，QN=6，PQ=PN+QN=9+6=15，根据已知PR：PQ=1：2可求出PR，从而求出R点与x轴的距离． 二、填空题 9. 【答案】(4 ，4). 10.【答案】三； 【解析】先根据点M（a+b，ab）在第二象限确定出a+b＜0，ab＞0，再进一步确定a，b 的符号即可求出答案． 11.【答案】二；
【解析】0x时，则22(2)xxxx，20x，(2)0xx，不可能
(2)0xx，所以横坐标小于0，而纵坐标永远不可能大于0，所以不可能在第二象
限. 12．【答案】（2,5）或(2,-5)； 【解析】点P（2，-3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，可得x＝2， 又且Q到x轴的距离为5，可得y＝±5． 13.【答案】(2，0)，(0，-2)，(-2，0)，(0，2)； 【解析】因为正方形的对角线互相垂直平分，所以取两条对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，各点的坐标为(2，0)，(0，-2)，(-2，0)，(0，2)． 14.【答案】－15. 15.【答案】（3，5）； 【解析】用正方形的边长减去点A的横坐标的长度得到点C的横坐标，加上点A的纵坐标的长度得到点C的纵坐标，从而得解． 16.【答案】（51，50）． 【解析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可． 三、解答题 17.【解析】 解：（3，3）→（3，4）→（3，5）→（4，5）→（5，5） （3，3）→（4，3）→（4，4）→（5，4）→（5，5） （3，3）→（3，4）→（4，4）→（4，5）→（5，5） 18.【解析】 解：（1）二； （2）由题意得，N（a-2,-2a+1）,又N在第三象限，
∴20210aa， 即122a
答：a的取值范围为122a． 19.【解析】 解：如图所示，多边形ABCDEF的面积
()PEFAHMFABGBGHCCDNMDEPNSSSSSS△矩形矩形梯形梯形梯形
1111()()()2222AFAHAGGBBGCHHGDNCMMNDNPEPN
1111118631(14)3(24)2(23)232222222PEPF
315486532522
．
点拨：求不规则图形的面积时，通常转化为规则的图形面积的和与差． 20.【解析】 解：（1）D（1，2）
（2）//BCAB，理由：如图，