(4套)2019年高考数学复习第一轮 不等式(含4套汇总)
2019年高考数学(理)一轮复习第七章 不等式达标测试(三十五) 基本不等式习题及答案
课时达标检测（三十五） 基本不等式1．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.1a ＋1b＞1abC.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：选C 因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：选C 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立．3．当x >0时，函f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2 解析：选B f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.4．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号． 答案：835．已知函f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.答案：36一、选择题 1.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ． B ．C ．解析：选D ∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y 当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 3．若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋b 的最小值为4.4．(2016·铜陵二模)已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 因为a >－1，b >－2，所以a ＋1>0，b ＋2>0，又(a＋1)(b ＋2)≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1＋b ＋222，即16≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋322，整得a ＋b ≥5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，故选B.5．若两个正实x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B ∵不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，∴x ＋y4min ＜m 2－3m ，∵x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x＋2≥24xy ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m ＞4，即(m ＋1)(m －4)＞0，解得m ＜－1或m＞4，故实m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．6．设正实x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xyz取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：选B xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.二、填空题7．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号．答案：48．若实a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析：由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取等号，所以ab 的最小值为2 2.答案：2 29．(2017·青岛模拟)已知实x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.答案：110．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实m 的取值范围是________．解析：不等式2x ＋m ＋8x －1>0可为2(x －1)＋8x －1>－m －2，∵x >1，∴2(x －1)＋8x －1≥2x －8x －1＝8， 当且仅当x ＝3时取等号．∵不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，∴－m －2<8， 解得m >－10. 答案：(－10，＋∞) 三、解答题11．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由(1)知8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋y 的最小值为18.12．(2017·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m 2.。
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习_不等式选讲 第2节 不等式的证明课件 理 新人教B版
第2节不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知识梳理1.均值不等式 定理 1：如果 a ，b ∈R ，那么 a 2＋b 2≥_____，当且仅当________时，等号成立.2ab a ＝b a ＋b ab a ＝b 定理 2：如果 a ，b >0，那么 2≥_____，当且仅当_________时，等号成立即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.3a ＋b ＋c abc a ＝b ＝c 定理 3：如果 a ，b ，c ∈R ＋，那么≥________，当且仅当__________时， 3 等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法a>b①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔______；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b.②作商法(a>0，b>0)：ab>1⇔a>b；ba<1⇔a<b；ab＝1⇔a＝b.(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列推理论证________、_______而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步充寻分求条使件它成立的___________，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( ) 答案(1)× (2)√ (3)× (4)×2.若 a >b >1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋，则 x 与 y 的大小关系是( ) 1 bA.x >yB.x <yC.x ≥yD.x ≤y 1 1b －a （a －b ）（ab －1） 解析 x －y ＝a ＋a －b ＋ ＝a －b ＋ a b ＝ . b ab（a －b ）（ab －1） 由 a >b >1得 a b >1，a －b >0，所以 >0，即 x －y >0，所以 x >y .ab 答案 A3.(教材习题改编 )已知a ≥b >0，M ＝2a 则M ，N 的大小关系为________.－b ，N ＝2ab －a b ，3 2 2 3 解析 2a－b －(2ab －a b )＝2a (a －b )＋b (a －b )＝(a －3 3 2 2 2 2 2 2 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b ). 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0， b 2 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .答案 M ≥N1 1 4.已知 a >0，b >0且 ln(a ＋b )＝0，则＋的最小值是________. a b 1 1 1 1b a a b b a a b解析由题意得，a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴＋＝＋ (a ＋b )＝2＋＋≥2＋2 · a b a b ＝4.当且仅当 a ＝b ＝12时等号成立.∴＋的最小值是 4. 1 1 a b 答案 45.已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥9xy.2 2证明因为x>0，y>0，3 3 3 3所以1＋x＋y2≥3 xy2>0，1＋x2＋y≥3 x2y>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2 x2y＝9xy.考点一比较法证明不等式【例1－1】 (2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a ＋b ＝4， 2 2 c 2 ＋d 证明∵(a (a ＋b ＋2acbd )＝b －2acbd ＝(bc －ad )∴(a ＋d )≥(ac ＋bd ) 又a ＝4，c ＋d ＝16. 因此(ac ＋bd )≤64，从而ac ＋bd ≤8. 2 ＝16.试证明：ac ＋bd ≤8.2 ＋b )(c ＋d )－(ac ＋bd ) 2 2 2 2 ＝a 2 c 2 ＋a 2 d 2 ＋b 2 c 2 ＋b 2 d 2 － 2 c 2 d 2 2 2 c 2 ＋a 2 d 2 2 ≥0， 2 ＋b 2 )(c 2 2 2，2 ＋b 2 2 2 2【例 1－2】 (一题多解)已知 a >0，b >0，求证： ab ＋ ba ≥ a ＋ b .（ a ）3＋（ b ）3－（ a ＋ b ） ab 证明法一因为 ab ＋ ba －( a ＋ b )＝ ab（ a ＋ b ）（ a － b ）2 ＝ ， ab（ a ＋ b ）（ a － b ）2 ∵a >0，b >0，∴ >0. ab因此 ab ＋ ba ≥ a ＋ b .a b ＋ b a a a ＋b b 法二由于 a ＋ b ＝ ab （ a ＋ b ）（ a ＋ b ）（a － ab ＋b ） ＝ ab （ a ＋ b ） a ＋b ＝ ab －1≥2 abab －1＝1.又 a >0，b >0， ab >0，所以 ab ＋ ba ≥ a ＋ b .规律方法 1.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别作商证明不等式，不等式的两边应同号.2.在例1－2证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二利用不等式的性质，把证明a>b转化为证明ab>1(b>0).提醒在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号.【训练 1】设 a ，b 是非负实数，求证：a 2＋b 2≥ ab (a ＋b ).证明因为 a 2＋b 2－ ab (a ＋b )＝(a 2－a ab )＋(b 2－bab ) a a ( a － b )＋b b ( b － a ) 1 1 3 3＝( a － b )(a a －b b )＝(a 2－b 2)(a 2－b 2). 1 1 3 3因为 a ≥0，b ≥0，所以不论 a ≥b ≥0，还是 0≤a ≤b ，都有 a 2－b 2与 a 2－号， 1 1 3 3所以(a 2－b 2)(a 2－b 2)≥0，所以 a 2＋b 2≥ ab (a ＋b ).考点二综合法证明不等式【例2－1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a >0，b >0，且a ＋b ＝2.3 3 证明：(1)(a ＋b )(a ＋b )≥4；5 5(2)a ＋b ≤2.证明 (1)∵a >0，b >0，且a 则(a ＋b )(a ＋b )＝a ＋ab ＋a ＋ab (a ＋b ＋b)＝4＋ab (a ＋3a b ＋3ab 3 ＋b 3 ＝2.5 56 5 5 b ＋b6 ＝(a 3 ＋b 3 ) 2 －2a 3 b 3 2 4 4 ) ＝4＋ab (a 4 －2a 2 b 4 2 －b )≥4. 2 2 (2)因为(a ＋b ) 3 ＝a 3 2 2 ＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )3（a ＋b ）2 3（a ＋b ）3 ≤2＋ (a ＋b )＝2＋ ， 4 4 所以(a ＋b )3≤8，因此 a ＋b ≤2.11【例2－2】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x－＋x＋，M为不等式f(x)<2的 2 2解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.－2x ，x ≤－12，(1)解 f (x )＝ 1，－ <x <，当 x ≤－12时，由 f (x )<2得－2x <2， 1 12 22x ，x ≥12.解得 x >－1，所以－1<x ≤－12；当－ <x <时，f (x )<2恒成立.1 12 2当 x ≥时，由 f (x )<2得 2x <2，解得 x <1，所以12<x <1. 1 2所以 f (x )<2的解集 M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )－(1＋ab )＝a ＋b －a－1 ＝(a －1)(1－b )<0， 所以(a ＋b ) <(1＋ab ) 2 2 2 2 b 2 22 2 2 2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和均值不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.【训练 2】 (2018·石家庄调研)已知函数 f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|.(1)求 f (x )的最小值m ； 2 2 2 b c a (2)若 a ，b ，c 均为正实数，且满足 a ＋b ＋c ＝m ，求证：＋＋≥3. a b c(1)解当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x>3；当－1≤x≤2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4，此时，3≤f(x)≤6；当x>2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x>6.综上可知，f(x)的最小值m＝3.(2)证明 a ，b ，c 均大于 0，且 a ＋b ＋c＝3. 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ∵ (a ＋ b ＋ c )＋ ＋＋ ＝ a ＋ ＋ b ＋ ＋ c ＋ ≥ a b c a b cb 2c 2 a2 2a ·a ＋ b ·b ＋ c ·c ＝2(a ＋b ＋c )(当且仅当 a ＝b ＝c ＝1 时取“＝”)，2 2 2 2 2 2b c a b c a 所以＋＋≥a ＋b ＋c ，故＋＋≥3. a b c a b c考点三分析法证明不等式【例3】已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac< 3a.证明由a>b>c且a＋b＋c＝0，知a>0，c<0.要证b2－ac<3a，只需证b2－ac<3a2.∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0，∴(a－b)(a－c)>0显然成立，故原不等式成立.规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q⇐P→P⇐P→P⇐P→…→得到一个明显成立的条件1 12 2 3【训练3】(2018·福州八中质检)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；b(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f.a(1)解依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x<－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅.当x>1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}.b (2)证明要证 f (ab )>|a |f ，a只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1) ∵|a |<1，|b |<1，知a ∴(ab －1)－(b －a ) ＝(a －1)(b 故(ab －1) 2 >(b －a ) <1，b ＝a －a 2 . 2 2 <1，2 2 2 b 2 2 －b ＋12 2 2 －1)>0.2 >(b －a ) 2 成立.从而原不等式成立.。
2019大一轮高考总复习理数文档：第07章 不等式、推理与证明 第3节 基本不等式 含答案 精品
第三节 基本不等式(对应学生用书P 80)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__. (2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时取等号． 2．几个重要的不等式⎭⎪⎬⎪⎫(1)a 2＋b 2≥__2ab __，a ，b ∈R ；(2)b a ＋ab ≥2，ab ＞0；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R ；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R(当且仅当a ＝b 时)等号成立. 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__.4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)提醒：基本不等式中需辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． (2)“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．(3)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( )(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( )(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材习题改编)若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值是____________. 解析：∵x ，y ∈(0，＋∞)，则1＝x ＋4y ≥4xy ，即xy ≤116. 答案：1163．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为____________.解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：54．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____________. 解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10， 所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 25．设a >0，b >0，若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是____________.解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案：4(对应学生用书P 81)利用基本不等式求最值 [析考情]利用基本不等式求最值是基本不等式的考点，主要考查求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有时解答题中也会利用基本不等式求最值．[提能力]命题点1：通过配凑法求最值 【典例1】 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4解析：选C ∵x >2，∴x －2>0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时等号成立，解得x ＝1或3.又∵x >2，∴x ＝3，即a 等于3时，函数f (x )在x ＝3处取得最小值，故选C ． 命题点2：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值【典例2】 已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为____________.解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．答案：83命题点3：通过消元法利用基本(均值)不等式求最值【典例3】 已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为____________. 解析：因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．答案：26－3 [悟技法]利用基本不等式求最值问题的解题策略(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．[刷好题]1．(金榜原创)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．14C ．12D ．22解析：选B ∵a ，b ∈(0，＋∞)， ∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．(2018·太原模拟)已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则代数式2a ＋3b 的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27 解析：选B 因为第一象限的点 (a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋2 6b a ·6ab＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25，选B ．3．设a ，b ，c 均为正数，满足a －2b ＋3c ＝0，则b 2ac 的最小值是____________.解析：∵a －2b ＋3c ＝0， ∴b ＝a ＋3c 2，∴b 2ac ＝a 2＋9c 2＋6ac 4ac ≥6ac ＋6ac 4ac＝3，当且仅当a ＝3c 时取“＝”． 答案：3利用基本不等式解决实际问题 [明技法][提能力]【典例】 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：选B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． [刷好题]如图，某城镇为适应旅游产业的需要，欲在一扇形OAB (其中∠AOB ＝45°，扇形半径为1)的草地上修建一个三角形人造湖OMN (其中点M 在OA 上，点N 在AB ︵或OB 上，∠OMN ＝90°)，且沿湖边OMN 修建休闲走廊，现甲部门需要人造湖的面积最大，乙部门需要人造湖的走廊最长，请你设计出一个方案，则该方案( )A ．只能满足甲部门，能满足乙部门B ．只能满足乙部门，不能满足甲部门C ．可以同时满足两个部门D ．两个部门都不能满足解析：选C 当点N 在AB ︵上时，设OM ＝x ，MN ＝y ，则x 2＋y 2＝1，所以人造湖的面积S ＝12xy ≤12·x 2＋y 22＝14，走廊长l ＝1＋x ＋y ＝1＋(x ＋y )2＝1＋1＋2xy ≤1＋1＋(x 2＋y 2)＝1＋2，上述两个不等式等号成立的条件均为x ＝y ＝22，即点N 在点B 处；当点N 在线段OB 上时，人造湖的面积、休闲走廊长度的最大值显然也在点B 处取得．。
2019届高考数学大一轮复习讲义：第七章 不等式 7.4
§7.4 基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1．基本不等式：≤ab a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)．b a a b (3)ab ≤2(a ，b ∈R )．(a ＋b2)(4)≥2(a ，b ∈R )．a 2＋b 22(a ＋b2)以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个a ＋b2ab 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2.(简记：积定和最小)p(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大)p 24知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋的最小值是2.( × )1x (2)函数f (x )＝cos x ＋，x ∈的最小值等于4.( × )4cos x (0，π2)(3)“x >0且y >0”是“＋≥2”的充要条件．( × )x y yx (4)若a >0，则a 3＋的最小值为2.( × )1a 2a (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与≥有相同的成立条件．( × )a ＋b2ab (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴≥，x ＋y2xy即xy ≤2＝81，(x ＋y2)当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为×(20－2x )＝(10－x )m ，12∴y ＝x (10－x )≤2＝25，[x ＋(10－x )2]当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋≥2成立”的( )1x A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋≥2＝2.1x x ·1x 因为x ，同号，所以若x ＋≥2，则x >0，>0，所以“x >0”是“x ＋≥2成立”的充要条1x 1x 1x 1x 件，故选C.5．设x >0，则函数y ＝x ＋－的最小值为( )22x ＋132A ．0 B.12C ．1 D.32答案 A解析 y ＝x ＋－＝＋－222x ＋132(x ＋12)1x ＋12≥2－2＝0，当且仅当x ＋＝，即x ＝时等号成立．(x ＋12)·1x ＋12121x ＋1212∴函数的最小值为0.故选A.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2 B ．3C ．4 D ．5答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得＝＋＝5，3x ＋y xy 3y 1x 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3y x ＋12xy )≥(4＋9＋2)＝5，1536当且仅当＝，即y ＝2x 时，“＝”成立，3yx 12xy 故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝·(3x )(4－3x )≤·2＝，1313[3x ＋(4－3x )2]43当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝时，取等号．23(2)函数y ＝(x >1)的最小值为________．x 2＋2x －1答案 2＋23解析 y ＝＝x 2＋2x －1(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋＋2≥2＋2.3x －13当且仅当x －1＝，即x ＝＋1时，等号成立．3x －13命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8 B ．6C ．4 D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有＋＝1，所以1a 1b a ＋b ＝(a ＋b )＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b(1a ＋1b )b a ab b a ·a b 的最小值为4，故选C.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对任意x ≥1，不等式x ＋－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是1x ＋1__________．答案 (－∞，12]解析 因为函数f (x )＝x ＋－1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )＝x ＋1＋－2在1x 1x ＋1[0，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝，因此对任意12x ≥1，不等式x ＋－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝，故实数a 的取值范围是.1x ＋112(－∞，12](2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则＋的最小值为________．y x 1y答案 23＋23解析 ＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x ＝y 时y x 1y yx x ＋2y 3y yx x3y 23yx×x3y 2323＋23yx x3y 3等号成立，所以＋的最小值为.y x 1y 23＋23题型二 基本不等式的实际应用典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，13C (x )＝51x ＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的10 000x商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－－250(13x 2＋10x )＝－x 2＋40x －250；13当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－－250(51x ＋10 000x－1 450)＝1 200－.(x ＋10 000x )∴L (x )＝Error!(2)当0<x <80时，L (x )＝－(x －60)2＋950.13对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2＝1 000(万元)，10 000当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×＝(万元)．600x 3 600x 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为万元．(3 600x＋4x)因为＋4x ≥2＝240，3 600x 3 600x ·4x当且仅当＝4x ，即x ＝30时取得等号，3 600x 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)(2018届山东、湖北重点中学调研)已知函数f (x )＝lg x ，若a >b >0，有|f (a )|＝|f (b )|，则(i 是虚数单位)的取值范围为( )a 2＋(b i )2a －b A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 C解析 因为f (x )＝lg x ，由|f (a )|＝|f (b )|，可得a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，得ab ＝1，所以＝＝a ＋b ＝a ＋>2，故选C.a 2＋(b i )2a －b a 2－b 2a －b 1a (2)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则＋的最小值为( )1a 21b 2A ．2 B ．4 C ．8 D ．9答案 D解析 由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，故有＝1，∴4a 2＋b 2＝1，∴＋＝(4a 2＋b 2)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且4a 2＋b 21a 21b 2(1a 2＋1b 2)b 2a 24a 2b 2仅当＝时，等号成立，∴＋的最小值为9.b 2a 24a 2b 21a 21b 2命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式＋≥恒成立，则m 的最大值为( )3a 1b ma ＋3b A ．9 B ．12 C ．18 D ．24答案 B解析 由＋≥，3a 1b ma ＋3b 得m ≤(a ＋3b )＝＋＋6.(3a ＋1b )9b a ab 又＋＋6≥2＋6＝129ba ab 9，(当且仅当9ba ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立)∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝(a ∈R )，若对于任意的x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值x 2＋ax ＋11x ＋1范围是________．答案 [－83，＋∞)解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a ≥－＋3.x 2＋ax ＋11x ＋1(x ＋8x )设g (x )＝x ＋，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝.8x 173∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝，173∴－＋3≤－，(x ＋8x )83∴a ≥－，故a 的取值范围是.83[－83，＋∞)思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)(2018届辽宁名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，c ＝3ab ，则ab 的最小值为________．答案 13解析 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，可知sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，化简得－2sin B cos C ＝sin B ，∵sin B >0，∴cos C ＝－，12∵c ＝3ab ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴ab ≥，则ab 的最小值为.1313(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则＋的最小值为________．1m 1n 答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，∴A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上(m ，n >0)，∴m ＋n ＝1(m ，n >0)，∴＋＝(m ＋n )＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当1m 1n (1m ＋1n )n m mn n m ·m n m ＝n ＝时取等号，∴＋的最小值为4.121m 1n利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且＋＝1，则x ＋y 的最小值是________．1x 2y (2)函数y ＝1－2x －(x <0)的值域为________．3x错解展示(1)∵x >0，y >0，∴1＝＋≥2，1x 2y 2xy ∴≥2，∴x ＋y ≥2＝4，xy 2xy 2∴x ＋y 的最小值为4.2(2)∵2x ＋≥2，∴y ＝1－2x －≤1－2.3x 63x 6∴函数y ＝1－2x －(x <0)的值域为(－∞，1－2]．3x 6错误答案 (1)4 (2)(－∞，1－2]26现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x＋2y )＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y ＝x 时取等号)，y x 2xy 22∴当x ＝＋1，y ＝2＋时，(x ＋y )min ＝3＋2.222(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －＝1＋(－2x )＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当x ＝－3x (－3x )(－2x )·3－x 6时取等号，故函数y ＝1－2x －(x <0)的值域为[1＋2，＋∞)．623x 6答案 (1)3＋2 (2)[1＋2，＋∞)26纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．(2017·孝感调研)“a >b >0”是“ab <”的( )a 2＋b 22A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，a 2＋b 22故必要性不成立，故选A.2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.>1(x ∈R )1x 2＋1答案 C解析 当x >0时，x 2＋≥2·x ·＝x ，1412所以lg≥lg x (x >0)，当且仅当x ＝时，等号成立，故选项A 不正确；(x 2＋14)12运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有＝1，故选项D 不正确．1x 2＋13．(2018·青岛质检)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝＋的最小值是( )1a 4b A. B ．4 C. D ．57292答案 C解析 依题意，得＋＝·(a ＋b )1a 4b 12(1a ＋4b )＝≥＝，12[5＋(b a ＋4ab )]12(5＋2b a ·4a b )92当且仅当Error!即a ＝，b ＝时取等号，2343即＋的最小值是.1a 4b 924．(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝＋，则＋的最小值为( )1a 1b 1a 2b A ．4 B ．2 C ．8 D ．162答案 B解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝＋＝，得ab ＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，1a 1b a ＋bab 1a 2b 1a ·2b 21a 2b 即a ＝，b ＝时等号成立．故选B.2225．若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( )1a 2b ab A. B ．2 C ．2 D ．422答案 C解析 由＋＝知，a >0，b >0，所以＝＋≥2，即ab ≥2，当且仅当Error!1a 2b ab ab 1a 2b 2ab 2即a ＝，b ＝2时取“＝”，所以ab 的最小值为2.424226．(2018·平顶山一模)若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )xx 2＋3x ＋1A ．a ≥B ．a >1515C ．a <D ．a ≤1515答案 A解析 因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥max ，(xx 2＋3x ＋1)而对任意x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，xx 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x ＋315当且仅当x ＝，即x ＝1时等号成立，∴a ≥.1x 157．已知2a ＋4b ＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为_______________．答案 0解析 2a ＋4b ＝2a ＋22b ＝2≥2，2a ＋2b ≤1＝20，a ＋2b ≤0，当a ＝2b 时等号成立，2a ＋2b 所以a ＋2b 的最大值为0.8．(2017·襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则＋的最小值为________．1x ＋12y 答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2，∴＋＝[(x ＋1)＋2y ]1x ＋12y 12(1x ＋1＋2y )＝＋5212[2y x ＋1＋2(x ＋1)y ]≥＋×2＝，52122y x ＋1·2(x ＋1)y 92当且仅当Error!即Error!时取等号，故＋的最小值为.1x ＋12y 929．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤，x 2＋4y 22∴6－(x 2＋4y 2)≤，x 2＋4y 22∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝(k 2≠0)，k 2x ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，(5x ＋20x )∵5x ＋≥2＝20，当且仅当5x ＝，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20x 5x ×20x 20x 20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求＋的最小值．1x 1y 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥2.10xy ∵2x ＋5y ＝20，∴2≤20，xy ≤10，10xy 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有Error!解得Error!此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴＋＝·1x 1y (1x ＋1y )2x ＋5y20＝≥＝，120(7＋5yx ＋2x y )120(7＋25y x ·2x y )7＋21020当且仅当＝时，等号成立．5yx 2xy 由Error!解得Error!∴＋的最小值为.1x 1y 7＋2102012．某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2.(1)求f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？解 (1)因为t 1＝，9 000x t 2＝＝，3 0003(100－x ) 1 000100－x 所以f (x )＝t 1＋t 2＝＋，9 000x 1 000100－x 定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N ＋}．(2)f (x )＝＋9 000x 1 000100－x＝10[x ＋(100－x )](9x＋1100－x)＝10，[10＋9(100－x )x ＋x 100－x ]因为1≤x ≤99，x ∈N ＋，所以>0，>0，9(100－x )x x100－x 所以＋9(100－x )xx 100－x ≥2＝6，9(100－x )x·x 100－x 当且仅当＝，即当x ＝75时取等号．9(100－x )xx100－x 即当x ＝75时，f (x )取得最小值．13．(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足＋＝1，则＋的最小值为( )1a 1b 1a －19b －1A ．16 B ．9 C ．6 D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足＋＝1，1a 1b ∴a ＋b ＝ab ，＝1－>0，＝1－>0，1a 1b 1b 1a ∴b >1，a >1，则＋≥21a －19b －19(a －1)(b －1)＝2＝6(当且仅当a ＝，b ＝4时等号成立)，∴＋的最小值为6，9ab －(a ＋b )＋1431a －19b －1故选C.14．(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则＋的最小值为________．1m 2n 答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8(当且仅当＝，即m ＝，n ＝时等1m 2n 2m ＋n m2(2m ＋n )nnm 4mn 4nm 4mn 1412号成立)．15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值xyz 2x 1y 2z 是( )A ．0B ．1 C. D ．394答案 B解析 ＝＝≤＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时xyz xyx 2－3xy ＋4y 21xy＋4yx －314－3z ＝2y 2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大2x 1y 2z 1y 22y (1y －1)值为1.16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．答案 27解析 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝.4a －1a －1又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋＋1＝6(a －1)＋＋15.因为a －1>0，所以6a －16a －16(a －1)＋＋156a －1≥2＋15＝27，6(a －1)×6a －1当且仅当6(a －1)＝(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.6a －1。
2019高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第1课时不等式与不等关系练习理
第1课时 不等式与不等关系1．(2018·北京大兴期末)若a<5，则一定有( ) A ．aln 23<5ln 23B ．|a|ln 23<5ln 23C ．|aln 23|<|5ln 23|D ．a|ln 23|<5|ln 23|答案 D2．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B.ba <1 C ．lg(a －b)>0 D ．(13)a <(13)b答案 D解析 方法一：利用性质判断．方法二(特值法)：令a ＝－1，b ＝－2，则a 2<b 2，b a >1，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C 三项．故选D.3．设a∈R ，则a>1是1a <1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a>1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a>1或a<0.即a>1⇒1a <1，而1a <1错误!a>1，故选A.4．若a ，b 为实数，则1a ＜1b 成立的一个充分而不必要的条件是( )A ．b ＜a ＜0B ．a ＜bC ．b(a －b)＞0D ．a ＞b答案 A解析 由a>b ⇒1a ＜1b 成立的条件是ab ＞0，即a ，b 同号时，若a ＞b ，则1a ＜1b ；a ，b 异号时，若a>b ，则1a ＞1b.5．(2017·广东东莞一模)设a ，b ∈R ，若a ＋|b|<0，则下列不等式成立的是( )A ．a －b>0B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b<0答案 D6．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 一方面，若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1a ，∴b<1a 不成立；另一方面，若b<1a ，则当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，故选D.7．已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( ) A ．log 2a>0 B ．2a －b>1C ．2ab>2 D ．log 2(ab)<－2答案 D解析 方法一(特殊值法)：取a ＝14，b ＝34验证即可．方法二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a －b<0，0<ab<14，log 2(ab)<－2，故选D.8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab<b 2<1 B ．log 12b<log 12a<0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab<1答案 C解析 方法一(特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二(单调性法)： 0<b<a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b>log 12a ，B 不对；a>b>0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定答案 B解析 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋sv 2，乙用时间为4sv 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s （v 1＋v 2）2－4sv 1v 2v 1v 2（v 1＋v 2）＝s （v 1－v 2）2v 1v 2（v 1＋v 2）>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 10．(2018·浙江台州一模)下列四个数中最大的是( ) A ．lg2 B ．lg 2 C ．(lg2)2D ．lg(lg2)答案 A解析 因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0； lg 2－(lg2)2＝lg2(12－lg2)>lg2(12－lg 10)＝0，即lg 2>(lg2)2；lg2－lg 2＝12lg2>0，即lg2>lg 2.所以最大的是lg2.11．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.12．已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝0，且xyz>0，设M ＝1x ＋1y ＋1z ，则( )A ．M>0B ．M<0C ．M ＝0D ．M 不确定 答案 B解析 ∵xyz>0，∴x ≠0，y ≠0，z ≠0.又∵x＋y ＋z ＝0，∴x ＝－(y ＋z)，M ＝1x ＋1y ＋1z ＝yz ＋xz ＋xy xyz ＝yz ＋x （y ＋z ）xyz ＝yz －（y ＋z ）（y ＋z ）xyz ＝－y 2－z 2－yz xyz .∵－y 2－z 2－yz ＝－[(y ＋12z)2＋34z 2]<0，xyz>0，∴M<0.故选B.13．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 答案 (－3π2，π2)解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－3π2<2α－β<π2.(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 答案 (－3，3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3. 14．(2017·《高考调研》原创题)设α∈(0，12)，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________． 答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cos α－sin1sin α)－(cos1cos α＋sin1sin α)＝－2sin1sin α<0. 15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b. 答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b)＝1－a －b ＋ab ＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab ＋1<a ＋b. (2)若a>0，b>0，则不等式－b<1x <a 的解集________．答案 (－∞，－1b )∪(1a，＋∞)解析 由已知，－b<0，a>0，∴1x ∈(－b ，a)＝(－b ，0)∪{0}∪(0，a)．∴x ∈(－∞，－1b )∪(1a，＋∞)．16．设a>b>c>0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z>y>x解析 方法一(特值法)：取a ＝3，b ＝2，c ＝1验证即可．方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)>0，∴y 2>x 2，即y>x.z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0， 故z 2>y 2，即z>y ，故z>y>x.17．已知a ＋b>0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝ (a －b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b>0，(a －b)2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a>0且a≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小． 答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1) 解析 当a>1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又y ＝log a x 为增函数， 所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a<1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1. 又y ＝log a x 为减函数， 所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．综上，对a>0且a≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．1．(2016·山东)已知实数x ，y 满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) B ．sinx>siny C ．x 3>y3 D.1x 2＋1>1y 2＋1答案 C解析 方法一：因为实数x ，y 满足a x<a y(0<a<1)，所以x>y. 对于A ，取x ＝1，y ＝－3，不成立； 对于B ，取x ＝π，y ＝－π，不成立；对于C ，由于f(x)＝x 3在R 上单调递增，故x 3>y 3成立； 对于D ，取x ＝2，y ＝－1，不成立．选C.方法二：根据指数函数的性质得x>y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．2．(2017·北京平谷区质检)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc －ad>0，则c a －db >0；②若ab>0，c a －db >0，则bc －ad>0；③若bc －ad>0，c a －db >0，则ab>0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 对于①，∵ab>0，bc －ad>0，c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴②正确；对于③，∵bc －ad>0，又c a －d b >0，即bc －adab>0，∴ab>0，∴③正确． 3．(2017·浙江温州质检)设a ，b ∈R ，则“a>1，b>1”是“ab>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4>1.故选A.4．(2017·湖北黄冈质检)已知x>y>z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy>yz B ．xz>yz C ．xy>xz D ．x|y|>z|y|答案 C5．下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 ①由a>b ＋1，得a>b ＋1>b ，即a>b.而由a>b 不能得出a>b ＋1，因此，使a>b 成立的充分不必要条件是a>b ＋1；②B 是非充分必要条件；③C 是非充分也非必要条件；④D 是充要条件，故选A.6．若a ，b ，c ∈R ，a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．a|c|>b|c| C.1a <1b D.a c 2＋1>b c 2＋1答案 D解析 方法一：(特殊值法)令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，代入A ，B ，C ，D 中，可知A ，B ，C 均错，故选D. 方法二：(直接法) ∵a>b ，c 2＋1>0，∴a c 2＋1>bc 2＋1，故选D. 7．如果a ，b ，c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab>ac B ．c(b －a)>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac(c －a)>0答案 C解析 由题意知c<0，a>0，则A ，B ，D 一定正确，若b ＝0，则cb 2＝ab 2.故选C. 8．已知a>b>0，且ab ＝1，设c ＝2a ＋b，P ＝log c a ，N ＝log c b ，M ＝log c (ab)，则有( ) A ．P<M<N B ．M<P<N C ．N<P<M D ．P<N<M答案 A解析 因为a>b>0，且ab ＝1，所以a>1，0<b<1，a ＋b>2ab ＝2，0<c ＝2a ＋b<1，所以log c a<log c (ab)<log c b ，即P<M<N ，选A.9．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c ；③a 2>b 2，其中能成为a>b 的充分条件的是________．答案 ①解析 由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a>b ，故“ac 2>bc 2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a<b ；③当a<0，b<0时，a<b ，故②③不是a>b 的充分条件．10．(2017·皖南七校联考)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1bB ．2a>2bC ．|a|>|b|D ．(12)a >(12)b答案 B解析 由a<b<0知ab>0，因此a·1ab <b ·1ab ，即1a >1b 成立；由a<b<0，得－a>－b>0，因此|a|>|b|>0成立；又y ＝(12)x 是减函数，所以(12)a >(12)b成立．11．已知m>1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( ) A ．a>b B ．a ＝bC ．a<bD ．a ，b 的大小不确定答案 C解析 a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1，因为m ＋1＋m>m ＋m －1，所以a<b ，故选C.12．已知a<0，－1<b<0，则a ，ab ，ab 2的大小关系是________． 答案 a<ab 2<ab解析 ∵a－ab ＝a(1－b)<0，∴a<ab.∵ab －ab 2＝ab(1－b)>0，∴ab>ab 2.∵a －ab 2＝a(1－b 2)<0，∴a<ab 2.综上，a<ab 2<ab.故填a<ab 2<ab. 13．设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b<1；②若1b －1a ＝1，则a －b<1；③若|a －b|＝1，则|a －b|<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b|<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 对于①，a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)＝1，若a －b≥1，又a>0，b>0，则a ＋b>a －b≥1，此时(a ＋b)·(a－b)>1，这与“a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)＝1”相矛盾，因此a －b<1，①正确．对于②，取a ＝2，b ＝23，有1b －1a ＝1，此时a －b>1，因此②不正确．对于③，取a ＝9，b ＝4，有|a －b|＝1，但此时|a －b|＝5>1，因此③不正确．对于④，由|a 3－b 3|＝1，得|a －b|(a2＋ab ＋b 2)＝1，|a －b|(a 2＋ab ＋b 2)>|a －b|·(a 2－2ab ＋b 2)＝|a －b|3，于是有|a －b|3<1，|a －b|<1，因此④正确．综上所述，其中的真命题有①④.14．(2018·吉林一中期末)若0<a<b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．b答案 D解析 方法一：0<a<b 且a ＋b ＝1，所以b ＝1－a>a ，所以2a<1，所以0<a<12.同理a ＝1－b<b ，所以b>12，所以12<b<1.由此可排除A 项．对B ，C 两项作差有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b)2>0.可排除C 项．再对B ，D 两项作差有a 2＋b 2－b ＝(1－b)2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝2(b －34)2－18.把结果视为关于b 的函数，定义域b∈(12，1)，得a 2＋b 2－b<0，所以a 2＋b 2<b.故选D.方法二：用特殊值法．根据题目条件0<a<b 且a ＋b ＝1，不妨设a ＝0.4，b ＝0.6，则a 2＋b 2＝0.16＋0.36＝0.52，2ab ＝2×0.4×0.6＝0.48，可见b 最大，故选D. 15．(2018·湖南长沙雅礼中学月考)已知log 14b<log 14a<log 14c ，则( )A ．2b>2a>2cB ．2a >2b >2cC ．2c>2b>2aD ．2c>2a>2b答案 A解析 因为log 14b<log 14a<log 14c ，而对数函数y ＝log 14x 是单调减函数，所以b>a>c ，又因为指数函数y ＝2x是单调增函数，所以2b>2a>2c，故选A. 16．已知2b<2a <1，则下列结论错误的是( ) A ．a 2<b 2B.b a ＋ab >2 C ．ab<b 2 D.1a >1b答案 D解析 因为函数h(x)＝2x在R 上单调递增，由2b<2a<1，即2b<2a<20，可得b<a<0.由b<a<0，可得a 2<b 2，ab<b 2，排除A ，C ；由b a >0，a b >0，a ≠b ，可得b a ＋a b >2，排除B ，选D.。
2019大一轮高考总复习理数文档：第07章 不等式、推理
第四节 合情推理与演绎推理(对应学生用书P 82)1．合情推理 2．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到__特殊__的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 提醒：1．辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据． 2．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)演绎推理的结论一定是正确的．()(5)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×2．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A．28B．76C．123D．199解析：选C从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.4．观察下列不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为____________.解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1165．(教材改编)在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则b1b2b3b4…b n＝____________.答案：b1b2b3b4…b17－n (n<17，n∈N*)(对应学生用书P83)归纳推理[析考情]归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看，找出隐含规律．(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．[提能力]【典例】(1)(2018·郑州模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A．2 011B．2 012C．2 013D．2 014解析：选B根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a, 则第二层的三个数为a＋7, a＋8, a＋9, 第三层的五个数为a＋14, a＋15, a＋16, a＋17, a＋18, 这9个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2012, 得a＝212, 是自然数．故选B．(2)(2018·陕西质检)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝____________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 2 [刷好题]1．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55解析：选D 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.2．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝____________. 解析：第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .答案：n n类比推理 [明技法] 类比推理的分类[提能力]【典例】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想． 解：如题图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，在四面体P －DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．[母题变式] 若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2 A ＋cos 2 B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P －A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P －A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1.[刷好题](2018·杭州模拟)已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)，则数列{b n }也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列， b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n (n ∈N *)，则数列{b n }也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．演绎推理 [析考情]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成． [提能力]【典例】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝a 11＝1≠0∴S n ＋1n ＋1S n n＝2(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[刷好题]已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1 [f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x－x1)>0，2∵x1<x2，∴x2－x1＞0，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．。
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2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若非空集合A,B,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则 A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件D ． “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”必要条件(2008湖北理)2．集合A= {x ∣12x -≤≤}，B={x ∣x<1}，则()R AB ð= （D ）（A ）{x ∣x>1} (B) {x ∣x ≥ 1} (C) {x ∣12x <≤ } (D) {x ∣12x ≤≤} （2007）3．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),a b a b ϕ-那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．已知数列｛an ｝满足a1=3，an+1 - an + 1=0 (n ∈N* ), 则数列｛an ｝的通项公式为 A. an= n 2 +2 B. an= n +2 C. an=4-n D. an= 2 n +16．lgx,lgy,lgz 成等差数列是y2=xz 成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件二、填空题7．函数2)1(log )(++=x x f a ，0(>a 且)1≠a 必过定点 ▲ ；8．已知函数()f x 是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足()()12f x f x +=-， 若当23x <<时，()f x x =，则)5.2007(f =__________ _9．已知当椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b 时，椭圆的面积是πab ．请针对椭圆2212516x y +=，求解下列问题： （1）若m ，n 是实数，且|m |≤5，|n |≤4．求点P （m ，n ）落在椭圆内的概率;（2）若m ，n 是整数，且|m |≤5，|n |≤4．求点P （m ，n ）落在椭圆外的概率以及点P 落在椭圆上的概率。
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第70讲 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式(含解析)
第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式考试说明通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)a-b>0(2)结论(5)结论矛盾假设结论2.(1)(a 1b 1+a 2b 2)2【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用基本不等式可得当且仅当=且=且=时,++取得最小值6+2+2+2;(2)利用柯西不等式的特点结合题意证得结论即可,注意等号成立的条件.解:(1)∵x ,y ,z 是正实数,且满足x+2y+3z=1,∴++=(x+2y+3z )=6++++++=6+++≥6+2+2+2,当且仅当=且=且=时取等号,故++的最小值为6+2+2+2.(2)证明:由柯西不等式可得1=(x+2y+3z )2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2),∴x2+y2+z2≥,当且仅当x==,即x=,y=,z=时取等号,故x2+y2+z2≥.变式题解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则解得(2)证明:由柯西不等式有(+)2=(·+1·)2≤[()2+12][()2+()2]=16,所以+≤4,当且仅当=,即t=1时,等号成立.又(+)2=-3t+12+t+2·≥12-2t≥4(0≤t≤4),所以+≥2,当且仅当t=4时,等号成立.综上,2≤+≤4.例2[思路点拨](1)依据题设借助绝对值三角不等式分析求解;(2)借助题设条件运用基本不等式进行证明.解:(1)∵|x-2m|-|x|≤|x-2m-x|=|2m|,∴要使|x-2m|-|x|<4恒成立,则|m|<2,解得-2<m<2.又∵m∈N*,∴m=1.(2)证明:由(1)可知f(x)=|x-2|-|x|.∵α∈(0,1),β∈(0,1),∴f(α)+f(β)=2-2α+2-2β=3,即α+β=,∴+=2(α+β)=2≥2=18,当且仅当=,即α=,β=时取等号,故+≥18.变式题证明:要证+≤1,只需证a+b+2≤1,即证2≤,即证≤,而a+b=≥2,所以≤成立,所以原不等式成立.【备选理由】例1既考查了绝对值不等式,又考查了柯西不等式,是一道很好的不等式选讲考题.例2是全国卷考题,考查了综合法证明不等式.例3考查了综合法与分析法的结合,同时考查利用绝对值不等式求最值,是对上一节知识的整合.希望对考生的复习有一定的导向作用.1[配例1使用]已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值.解:(1)因为|x+a|+|x-b|≥|a+b|,所以f(x)≥|a+b|+c,当且仅当(x+a)(x-b)≤0时,等号成立,又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得(4+9+1)≥=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2≥,当且仅当==,即a=,b=,c=时,等号成立,所以a2+b2+c2的最小值为.2[配例2使用][2015·全国卷Ⅱ]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明:(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.3[配例2使用][2017·广州模拟](1)已知a+b+c=1,证明:(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥;(2)若对任意实数x,不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)证明:因为a+b+c=1,所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+5,所以要证(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥,只需证a2+b2+c2≥.因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2.因为a+b+c=1,所以a2+b2+c2≥,所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥.(2)设f(x)=|x-a|+|2x-1|,≥2”.则“对任意实数x,不等式|x-a|+|2x-1|≥2恒成立”等价于“f(x)min当a<时,f(x)==f=-a,此时f(x)min要使|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,必须-a≥2,解得a≤-.当a=时,≥不可能恒成立.当a>时,f(x)==f=a-,此时f(x)min要使|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,必须a-≥2,解得a≥.综上可知,实数a的取值范围为-∞,-∪,+∞.。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第七章 不等式7.4
§7.4 基本不等式及其应用考情考向分析 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．[P101练习T3]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．[P101练习T4]若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件． 答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件．5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________． 答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2 ≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0， 当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立． ∴函数的最小值为0.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________．答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5， 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y，即y ＝2x 时，“＝”成立， 故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x ) ≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________．答案 4解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 8解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋4≥4＋4＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立．题型二 基本不等式的实际应用典例 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250； 当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250 ＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．答案 9解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. (2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是________．答案 92解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， ∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92. 命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为________． 答案 12解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b， 得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6.又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是________．答案 1解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________． 答案 32解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意．故1m ＋4n 的最小值为32.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________．现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)． 答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的________条件．答案 充分不必要解析 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．2．下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ③解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)， 当且仅当x ＝12时，等号成立；故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 92解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.4．(2017·苏北四市期末)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为__________． 答案 8解析 方法一 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.方法二 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x－6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．答案 2 2解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫xx 2＋3x ＋1max ，而对任意x ∈(0，＋∞)， xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15.7．已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________.答案6－22解析 a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2时取等号，所以1b －b＝2，解得b ＝6－22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－6－22. 8．已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y 的最小值为________．答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1， ∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋2y＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12×22y x ＋1·2(x ＋1)y ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝23时取等号，故1x ＋1＋2y的最小值为92.9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元， 则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？ 解 (1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3,所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x >3，y >3)．(2)方法一 S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x ＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值． 方法二 设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x >3)， 则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝40， 当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为________．答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a >0，∴b >1，a >1， 则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6.14．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)， 由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n＋4≥24＋4＝8 ⎝⎛⎭⎫当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立.15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值是________．答案 1解析 xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 答案 27解析 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1. 又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15. 因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15 ≥2 6(a －1)×6a －1＋15＝27， 当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。
2019版高考数学一轮复习不等式选讲课时训练选修4
选修45 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1，解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)．2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－<x<－1；32当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4，得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<.52∴ 原不等式的解集为.(－32，52)3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②.解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0，解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1，∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x＋1，所以所以{x ＋1≥0，－x －1≤2x ＋a ≤x ＋1，){x ≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，)因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)．7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|.(1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：或②：{x ≤0，－x ＋（x －3）≥1)或③：不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解{0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1){x ≥3，x －x ＋3≥ 1.)不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|.(1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3，当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3.(2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ，即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3，解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)．(1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥，12解得x≥或x≤，3212∴ 不等式的解集为∪.(－∞，12][32，＋∞)(2) ∵ |ax －1|＋|ax －a|≥|a－1|，∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1.∴ a≥2或a≤0.∵ a>0，∴ a≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)．10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|.(1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x∈R ，f(x)≥t 2－t ，求实数t 的取值范围．112解：(1) f(x)＝{－x －3，x <－12，3x －1，－12≤x <2，x ＋3，x ≥2，)当x<－时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；12当－≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；12当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－，若∀x∈R ，f(x)≥t 2－t 恒成立，52112则只需f(x)min ＝－≥t 2－，解得≤t≤5.5211t 212即t 的取值范围是.[12，5]11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|.(1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得＋>a 成立，求实数a 的取值范围．3x 2－x解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x∈∅；当－1<x≤时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤；1212当x>时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以<x≤2.1212综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) ＋＝＋，由柯西不等式得(＋)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]3x 2－x 3x 2－x 3x 2－x ＝8，∴ ＋≤2，当且仅当x ＝时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，2)．3x 2－x 2322第2课时 不等式证明的基本方法1. 已知x≥1，y≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x≥1，y≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0.从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy.证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab·2xy＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy.当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当＝＝，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，x －11y ＋22z －33所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M.(1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥＋3t.3t (1) 解：依题意，得f(x)＝于是得f(x)≤3⇒或{－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，){x ≤－1，－3x ≤3)或解得－1≤x≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．{－1＜x ＜12，2－x ≤3){x ≥12，3x ≤3，)(2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－＝＝.3t t3－3t2＋t －3t （t －3）（t2＋1）t ∵t∈M，∴t－3≥0，t 2＋1＞0.∴≥0.∴t 2＋1≥＋3t.（t －3）（t2＋1）t 3t 5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：＋＋≥a＋b ＋c.b2a c2b a2c证明：∵ a ，b ，c 为正实数，∴ a ＋≥2b，b ＋≥2c，c ＋≥2a，b2a c2b a2c 将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋＋＋≥2a＋2b ＋2c ，b2a c2b a2c ∴ ＋＋≥a＋b ＋c.b2a c2b a2c 6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：＋＋≥9.1a11a21a3证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以＋＋＝(a 1＋a 2＋a 3)1a11a21a3≥3(a 1a 2a 3)·3＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以(1a1＋1a2＋1a3)13(1a1·1a2·1a3)13 ＋＋≥9.1a11a21a37. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求＋＋的最小值．1x 2y 3z 解：＋＋＝(x ＋2y ＋3z)1x 2y 3z (1x ＋42y ＋93z )＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋2y x 3z x 4x 2y 12z 2y 9x 3z 18y3z≥14＋2＋2＋2＝36，2y x ·4x 2y 3z x ·9x 3z 12z 2y ·18y 3z 当且仅当x ＝y ＝z ＝时等号成立，16∴ ＋＋的最小值为36.1x 2y 3z 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy＋yz ＋zx.证明：∵ x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求＋＋的最小值，并指出1a ＋11b ＋11c ＋1取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a ＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10.∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·≥(1＋＋2)2.(1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1)2当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴＋＋≥，1a ＋11b ＋11c ＋111＋6210∴ 2(c ＋1)＋2(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，2∴ c ＝，b ＝，a ＝.8－527152－17723－102710. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤；127(2) a 2＋b 2＋c 2≥.3abc证明：(1) a ＋b ＋c≥3·，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等3abc 12713号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c)2＝，由(1)知≤，13133abc 13∴ a 2＋b 2＋c 2≥，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．3abc 11. 已知函数f(x)＝，g(x)＝.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求3x ＋614－x 实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a.∵ f(x)＋g(x)＝＋3x ＋614－x ＝×＋1×，3x ＋214－x 由柯西不等式得，(×＋1×)2≤(3＋1)·(x ＋2＋14－x)＝64，3x ＋214－x ∴ f(x)＋g(x)＝＋≤8，当且仅当x ＝10时取等号．3x ＋614－x 故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。