九年级数学上册第1章反比例函数1.1反比例函数教案新版湘教版
湘教版九年级数学上册第一章《反比例函数》课件
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是
( A)
A. y 1
2x
B.
y
1 x2
C. y 1
2 x
D. y 1 1
x
3. 填空 (1) 若 y m 1 是反比例函数，则 m 的取值范围
x
是 m≠1 .
(2) 若 y m m 2 是反比例函数，则m的取值范
第1章
九年级数学上（XJ） 教学课件
反比例函数
1.1 反比例函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
导入新课
情境引入
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以 后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小 明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
x
围是 m ≠ 0 且 m ≠ －2 .
(3) 若
m2 y xm2 m1
是反比例函数，则m的取值范围
是 m = －1 .
4. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
解：(1) 设 y k ，因为当 x = 3 时，y =4 ， x 1
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
讲授新课
一 反比例函数的图象和性质
合作探究
例1 画反比例函数 y 6 与 y 12 的图象.
x
x
九年级数学上册 第1章 反比例函数 1.1 反比例函数教学课件上册数学课件
2. ykx1(k0)
3. xyk(k0)
12/10/2021
第十页，共十六页。
四、强化训练
1.下列(xiàliè)函数中，x,y成反比例函数的是
（3）（5）（7）（8）
(1 )y = 3 x -1 (3) xy= -0.5
（5）y= （7）xy=3
(2 )y = 2 x 2
（4）y=
（6）y=
（8）y=
No 和长x之间的关系.。的函数(hánshù)叫做反比例函数(hánshù).其中k叫做比例系数.。解：由反比例函数
(hánshù)的定义得：。所以，当m= -1时，函数(hánshù)解析式为。【例3】已知y是x的反比例函数 (hánshù)，当x=5时，y=10.。因为，当x=5时，y=10，所以有。1.下列函数(hánshù)中，x,y成反比例函数 (hánshù)的是。（3）（5）（7）（8）。本课结束
2 3x
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四、强化训练
2、在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）
（A）y =
8
X+5
（B）y =
3
+7
x
（C）xy = 5 （D） y = 2x2
3、已知函数 y = xm -7 是正比例函数,则 m = 8 ； 已知函数 y = 3xm -7 是反比例函数,则 m = _6__ 。
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四、强化训练
4.已知y与x2成反比例，并且(bìngqiě)当x=3时，y=2． (1)求y与x的函数关系式； (2)求x=1.5时，y的值； (3)求y=18时，x的值.
答案(dá ： àn) （1）
湘教版数学九年级上册1.1反比例函数课件
数．
知识点 2 确定反比例函数表达式
知2－讲
确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于
在反比例函数 y k ( k ≠0 )中只有一个待定系数，因此 x
只需要一对 x , y 的对应值或图像上一个点的坐标，即可
求出 k 的值，从而确定其表达式.
知2－讲
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 3 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 x = -2 时，求 y 的值； (3) 若 y = 4.5，求 x 的值.
总结：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例 关系，如 xy =m ( m 为一个定值 )，则 x 与 y 成反 比例.
知识点 1 反比例函数的定义
知1－导
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表
示? (1) 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速 度 v ( 单位：km/h ) 随此次列车的全程运行时间 t ( 单位：h ) 的变化而变化；
(2) 食堂存煤 15 000 kg ， 试写出可使用的天数 t ( 天 ) 关于平均每天的用煤量 Q ( kg ) 的函数表达式， 并写出自变量的取值范围.
知3－讲
解题秘方：
(1) 根据矩形的面积公式写出函数表达式 ；
(2) 根据“ 可使用的天数 =
存煤量
”
平均每天的用煤量
写出函数表达式.
解： (1) y = 1 000（x＞0）. x
x
的反比例函数，其中 x 是自变量，常数 k ( k ≠ 0 ) 称
为反比例函数的比例系数.
知1－讲
2. 反比例函数的三种情势：
①y
k x，
② y=kx-1，
2018-2019学年湘教版数学九年级上册全册教案
第1章 反比例函数 1．1 反比例函数1．理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．(重点) 2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数模型的思想．(重点)阅读教材P2～3，完成下列内容： (一)知识探究形如y ＝kx (k 是常数，________)的函数称为________，其中x 是________，y 是________．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． (二)自学反馈下列函数中，属于反比例函数的是________；每一个反比例函数的比例系数是多少？ ①y ＝2x ＋1；②y ＝2x 2；③y ＝15x ；④y ＝－23x；⑤xy ＝3；⑥2y ＝x ；⑦xy ＝－1.判断是不是反比例函数，一定要根据反比例函数的定义，牢记反比例函数的三种形式．活动1 小组讨论例 如图，已知菱形ABCD 的面积为180，设它的两条对角线AC ，BD 的长分别为x ，y.写出变量y 与x 之间的函数表达式，并指出它是什么函数．解：∵菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， ∴S 菱形＝12xy ＝180.∴xy ＝360(定值)，即y 与x 成反比例关系． ∴y ＝360x.因此，当菱形的面积一定时，它的一条对角线长y 是另一条对角线长x 的反比例函数． 活动2 跟踪训练1．下面的函数是反比例函数的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x2．在函数y ＝3x 中，自变量x 的取值范围是( )A ．x ≠0B ．x ＞0C ．x ＜0D ．一切实数 3．若函数y ＝kx k－2是反比例函数，则k ＝________.4．已知函数y ＝－6x ，当x ＝－2时，y 的值是________．5．列出下列问题中的函数表达式，并指出它们是什么函数．(1)某农场的粮食总产量为1 500 t ，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式；(3)小明完成100 m 赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式． 活动3 课堂小结本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y ＝kx (k 为常数，k ≠0)，自变量x 不能为零．还能根据定义和表达式判断某两个变量之间的关系是否是函数，是什么函数？【预习导学】 知识探究k ≠0 反比例函数 自变量 因变量 自学反馈 ③④⑤⑦ ③y ＝15x 中k ＝15；④y ＝－23x 中k ＝－23；⑤xy ＝3中k ＝3；⑦xy ＝－1中k ＝－1. 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.1 4.3 5.(1)y ＝1 500x ，反比例函数． (2)y ＝4.75x ，正比例函数． (3)t ＝100v，反比例函数．1．2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数y＝kx(k>0)的图象与性质1．能用“描点法”画反比例函数y＝kx(k>0)的图象．(重点)2．通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数y＝kx(k>0)的性质．(重点)阅读教材P5～7，完成下列内容：(一)知识探究1．类比一次函数的图象画法，画反比例函数的图象的一般步骤：________、________、________. 2．一般地，当k>0时，反比例函数y＝kx的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x轴、y轴都________，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而________．(二)自学反馈你能画出反比例函数y＝2x的图象吗？它是什么形状？有什么特点？活动1小组讨论例1画出反比例函数y＝6x的图象．解：列表，如下：x …－6－5－4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …y＝6x…－1－1.2－1.5－2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 …描点、连线，如图所示：列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；描点时：尽量多描一些点，这样既可以方便连线，又能较准确地表达函数变化趋势；连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性． 例2 在如图所示的平面直角坐标系内，画出反比例函数y ＝3x的图象．解：列表，如下：x …－6－5－4－3－2－1123456…y ＝3x… －12 －35 －34－1－32－3 332134 35 12…描点、连线，如图所示．例3 观察画出的y ＝6x ，y ＝3x 的图象，思考下列问题：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？(2)在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化如何变化？ 解：(1)两个函数的图象都分别位于第一、三象限． (2)y 随x 的增大而减小．(1)当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，每个象限内y 随x 的增大而减小．(2)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有两条：直线y ＝x 和y ＝－x.对称中心是原点． 活动2 跟踪训练1．反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( )A ．减小B ．增大C ．不变D ．先减小，后不变2．反比例函数y ＝2x 的图象位于平面直角坐标系的( )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限3．已知P 1(－2，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(1，y 3)是反比例函数y ＝2x 的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 14．反比例函数y ＝2x的图象与两坐标轴________相交(填“会”或“不会”)．5．已知反比例函数y ＝1－mx的图象如图所示，则m 的取值范围是________． 活动3 课堂小结反比例函数y ＝kx(k>0)的图象与性质：k 的符号 k>0 图象形状 双曲线 图象位置 一、三象限性质每个象限内，y 随x 的增大而减小【预习导学】 知识探究1．列表 描点 连线 2.一 三 曲线 不相交 减小 自学反馈 答案略【合作探究】 活动2 跟踪训练1．A 2.A 3.C 4.不会 5.m ＜1第2课时 反比例函数y ＝kx(k<0)的图象与性质1．会画反比例函数y ＝kx (k<0)的图象．(重点)2．探索并掌握y ＝kx(k<0)的性质．(重点)阅读教材P7～9，完成下列内容： (一)知识探究当k<0时，反比例函数y ＝kx 的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x 轴、y 轴________，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而________． (二)自学反馈下列函数：①y ＝1x ；②y ＝－3x ；③y ＝12x ；④y ＝－7x .(1)图象位于第二、四象限的有________；(2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大的有________； (3)在每一象限内，y 随x 的增大而减小的有________．活动1 小组讨论例 画反比例函数y 1＝4x 和y 2＝－4x 的图象．解：列表→描点→连线，如图所示．反比例函数y ＝k x 的图象与y ＝－kx的图象关于x 轴、y 轴对称．当k<0时，反比例函数y＝kx 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大． 活动2 跟踪训练1．反比例函数y ＝－1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( )A ．增大B ．减小C ．不变D ．先增大后减小2．反比例函数y ＝－1－a 2x (a 是常数)的图象分布在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限3．点(1，y 1)、(2，y 2)在函数y ＝－2x 的图象上，则y 1________y 2(填“＞”“＝”或“＜”)．4．已知反比例函数y ＝3－kx，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围： (1)函数图象位于第一、三象限； (2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大．牢记函数图象的性质，严格按照函数图象性质判断比例系数的符号．活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 知识探究二 四 曲线 不相交 增大 自学反馈(1)②④ (2)②④ (3)①③ 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．A 2.C 3.＜ 4.(1)∵函数图象位于第一、三象限，∴3－k ＞0.解得k ＜3. (2)∵在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∴3－k ＜0.解得k ＞3.第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用1．能根据已知点坐标确定反比例函数的表达式．2．能借助一次函数与反比例函数的图象解决简单的实际问题．阅读教材P10～11，完成下列内容： 自学反馈已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (2)点B(3，4)、C(－212，－445)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？活动1 小组讨论例1 如图是反比例函数y ＝kx 的图象．根据图象，回答下列问题：(1)k 的取值范围是k>0，还是k<0？说明理由；(2)如果点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)是该函数图象上的两点，试比较y 1，y 2的大小．解：(1)由图可知，反比例函数y ＝kx 的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小，因此，k>0.(2)因为点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)是该图象上的两点，所以点A ，B 都位于第三象限．又因为－3<－2，由反比例函数图象的性质可知：y 1>y 2.例2 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4)．试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象．解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ，其中k 1，k 2为常数，且均不为零．由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式． 因此4＝k 1×(－3)，4＝k 2－3. 解得k 1＝－43，k 2＝－12.因此这两个函数的表达式分别为y ＝－43x 和y ＝－12x .它们的图象如图所示：活动2 跟踪训练1．已知反比例函数y ＝kx的图象经过点(2，－2)，则k 的值为( )A ．4B ．－12C ．－4D ．－22．如图，已知直线y ＝mx 与双曲线y ＝kx 的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标是( )A ．(－3，4)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(4，3)3．设反比例函数y ＝k ＋1x ，(x 1，y 1)、(x 2，y 2)为其图象上的两点，若x 1<0<x 2时，y 1>y 2，则k 的取值范围是________．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象与反比例函数y ＝mx (m ≠0)的图象相交于A 、B 两点．求：(1)根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．活动3 课堂小结 本课时学会解决的问题：1．根据点的坐标确定反比例函数表达式．2．根据反比例函数的图象比较已知两点坐标值的大小． 3．综合利用图象及性质解决一次函数与反比例函数的交点问题．【预习导学】 自学反馈(1)设这个反比例函数为y ＝k x ，∵图象过点A(2，6)，∴6＝k2.解得k ＝12.∴这个反比例函数的表达式为y ＝12x .∵k>0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．(2)把点B 、C 、D 的坐标代入y ＝12x ，可知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，∴点B 、C 在函数y ＝12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上． 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.C 3.k<－1 4.(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，12)，点B 的坐标为(－1，－1)．∵反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象经过点A(2，12)，∴m ＝1.∴反比例函数的表达式为y ＝1x .∵一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(2，12)，点B(－1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝12，－k ＋b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－12.∴一次函数的表达式为y ＝12x －12.(2)由图象可知：当x ＞2或－1＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值.1.3 反比例函数的应用1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．(重点、难点) 2．体会数学与物理间的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．阅读教材P14～15，完成下列内容： 自学反馈某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m 2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N. (1)用含S 的代数式表示p ，p 是S 的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 m 2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6 000 Pa ，木板面积至少要多大？ (4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象；(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流．从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的实际问题．建立反比例函数模型，能帮助我们更好地解决实际问题．活动1 小组讨论例 已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间有如下关系式：U ＝IR ，且该电路的电压U 恒为220 V .(1)写出电流I 关于电阻R 的函数表达式；(2)若该电路的电阻为200 Ω，则通过它的电流是多少？(3)如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻R ，就可以使电路中的电流I 增大？ 分析：由于该电路的电压U 为定值，即该电路的电阻R 与电流I 的乘积为定值，因此该电路的电阻R 与电流I 成反比例函数关系．解：(1)因为U ＝IR ，且U ＝220 V ，所以IR ＝220，即该电路的电流I 关于电阻R 的函数表达式为I ＝220R. (2)因为该电路的电阻R ＝200 Ω，所以通过该电路的电流I ＝220200＝1.1(A)．(3)根据反比例函数的图象及性质可知，当滑动变阻器的电阻R 减小时，就可以使电路中的电流I 增大．当我们把物理电学问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题即可迎刃而解． 活动2 跟踪训练1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m 3)的反比例函数，如图所示，则用气体体积V 表示气压p 的函数表达式为( )A ．p ＝120VB ．p ＝－120VC ．p ＝96VD ．p ＝－96V2．一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20.则y 与x 的函数图象大致是( )3．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是________米．4．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的函数表达式为____________；500度的近视眼镜镜片的焦距为________．5．学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y 与另一边x 之间的函数关系式如图所示．(1)绿化带面积是多少？你能写出这一函数表达式吗？(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40 m ，那么它的宽应控制在什么范围内？x(m) 10 20 30 40 y(m)活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 自学反馈(1)p ＝600S (S>0)，p 是S 的反比例函数． (2)p ＝3 000 Pa. (3)至少0.1 m 2. (4)图略． (5)问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于 6 000，求这些点所处的位置及它们的横坐标的取值范围．实际上这些点都在直线p ＝6 000下方的图象上． 【合作探究】 活动2 跟踪训练 1．C 2.C 3.0.5 4.y ＝100x(x>0) 0.2米 5.(1)绿化带面积为10×40＝400(m 2)．设该反比例函数的表达式为y ＝k x ，∵图象经过点A(40，10)，把x ＝40，y ＝10代入，得10＝k40，解得k ＝400.∴函数表达式为y ＝400x .(2)40 20 40310 若长不超过40 m ，则它的宽应不小于10 m.第2章 一元二次方程 2．1 一元二次方程1．会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想．2．能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．阅读教材P26～27，完成下列问题： (一)知识探究如果一个方程通过整理可以使右边为________，而左边是只含有________个未知数的________次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是____________，其中________，________，________分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉． (二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．x －y 2＝1 B.x 2－1＝0 C.1x 2－1＝0 D.x 22－x －13＝02．将方程(2x ＋1)x ＝(3x －2)x ＋2化简整理写成一般形式后，其中a 、b 、c 分别是____________．活动1 小组讨论例1 判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x 2＝0； (2)2(x 2－1)＝3y ； (3)2x 2－3x －1＝0； (4)1x 2－2x ＝0； (5)(x ＋3)2＝(x －3)2； (6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断．例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x 2－13x ＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．活动2跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－13x－1＝0；(4)x2＋2x－3＝1＋x2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81；(3)4x(x＋2)＝25；(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.(1)a取何值时，方程为一元二次方程？(2)a取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x的方程：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.活动3课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】知识探究0一二ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)a b c自学反馈1．D 2.3－2，－3， 2【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)是一元二次方程． 2.(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1. 3.(1)a≠4.(2)a＝4. 4.(1)4x2＝25.(2)x(x－2)＝100.(3)x＝(1－x)2.2．2.1配方法第1课时根据平方根的意义解一元二次方程1．会根据平方根的意义解形如x2＝a(a≥0)或(mx＋n)2＝a(a≥0)的一元二次方程．2．理解解一元二次方程的基本思路，体会降次和转化的思想方法．阅读教材P30～31，完成下列问题：(一)知识探究1．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的________．2．解一元二次方程的基本思路是通过________，将一个一元二次方程转化为两个________方程．(二)自学反馈1．根据平方根的意义解下列方程：(1)x2－49＝0；(2)4x2－49＝0.解：①移项，得x2＝____. 解：②移项，得____．直接开平方，得x＝____. 两边同时除以4，得____．∴x1＝____，x2＝____. 直接开平方，得____．∴x1＝____，x2＝____.用平方根的意义解一元二次方程的一般步骤：先通过移项，用等式的性质等将方程化为形如x2＝a(a≥0)的形式．再利用平方根的意义求得方程的解为x＝±a.2．方程(x＋1)2＝3能根据平方根的意义求解吗？解：若把(x＋1)看成整体，再根据平方根的意义，得x＋1＝________或x＋1＝________，解得x1＝________，x2＝________.若(mx＋n)2＝a(a≥0)，则开平方，得mx＋n＝±a；若a＜0，则此一元二次方程无解．活动1小组讨论例1下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.直接将x的值代入方程，检验方程两边是否相等．例2 根据平方根的意义解下列方程： (1)4x 2－1＝0； (2)13x 2－27＝0.解：原方程可化为x 2＝14. 解：原方程可化为x 2＝81.x ＝±14， x ＝±81， ∴x 1＝12，x 2＝－12. ∴x 1＝9，x 2＝－9.例3 根据平方根的意义解下列方程： (1)(x ＋1)2－25＝0; (2)9(x ＋1)2－25＝0.解：原方程可化为(x ＋1)2＝25. 解：原方程可化为[3(x ＋1)2]＝25. x ＋1＝±5, 3x ＋3＝±5，∴x 1＝4，x 2＝－6. ∴x 1＝23，x 2＝－83.运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．活动2 跟踪训练1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 2．解下列方程： (1)x 2－3＝0; (2)4x 2－20＝0； (3)(x －2)2＝9; (4)(2x ＋1)2－49＝0. 活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 知识探究1．根 2.降次 一元一次 自学反馈1．(1)49±497－7(2)4x2＝49x2＝494x＝±49472－72 2.3－3－1＋3－1－ 3【合作探究】活动2跟踪训练1．B 2.(1)x1＝3，x2＝－ 3.(2)x1＝5，x2＝－ 5.(3)x1＝5，x2＝－1.(4)x1＝3，x2＝－4.第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤，并能熟练运用配方法解二次项系数为“1”的一元二次方程．2．经历用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会“化归”的思想方法．阅读教材P32～33，完成下列问题：(一)知识探究1．在方程的左边加上一次项系数的________的________，再________这个数，使得含未知数的项在一个________里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据____________来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．2．配方是为了直接运用____________，从而把一个一元二次方程转化为两个________方程来解．(二)自学反馈1．用适当的数填空：(1)x2－8x＋(______)2＝(x－______)2；(2)x2＋10x＋(______)2＝(x＋______)2.2．用配方法解下列方程：(1)x2＋2x＝7；(2)x2－5x＋14＝0.活动1小组讨论例用配方法解下列关于x的方程：(1)x2－8x＋1＝0; (2)x2＋1＝3x.解：x1＝4＋15，解：x1＝52＋32，x 2＝4－15. x 2＝－52＋32.(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边．(2)配方时所加常数为一次项系数的一半的平方． (3)注意：配方时一定要在方程的两边同加． 活动2 跟踪训练1．把二次三项式x 2＋8x ＋2进行配方，正确的是( ) A ．(x ＋8)2－1 B ．(x ＋4)2－14 C ．(x ＋4)2＋18 D ．(x ＋2)2－16 2．填空：(1)x 2－4x ＋______＝(x －______)2； (2)x 2＋6x ＋______＝(x ＋______)2； (3)x 2－7x ＋______＝(x －______)2.3．解方程x 2－3x －2＝0，配方，得(x －______)2＋______＝0. 4．用配方法解下列方程： (1)x 2－2x ＝1; (2)x 2＋6x －2＝0； (3)x 2＋4x ＋3＝0; (4)x 2＋x －1＝0. 活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 知识探究1．一半 平方 减去 完全平方式 平方根的意义 2.平方根的意义 一元一次 自学反馈1．(1)4 4 (2)5 5 2.(1)x 1＝－1＋22，x 2＝－1－2 2.(2)x 1＝52＋6，x 2＝52－ 6.【合作探究】 活动2 跟踪训练1．B 2.(1)4 2 (2)9 3 (3)494 72 3.32 －1744．(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)x 1＝11－3，x 2＝－11－3.(3)x 1＝－1，x 2＝－3.(4)x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52. 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练掌握其基本步骤． 2．通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想方法．阅读教材P34～35，完成下列问题： (一)知识探究用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤： (1)化——化二次项系数为________；(2)配——________，使原方程变为(x ＋m)2－n ＝0的形式； (3)移——移项，使方程变为(x ＋m)2＝n 的形式； (4)开——如果n ≥0，就可左右两边开平方得________； (5)解——方程的解为x ＝________. (二)自学反馈1．解方程2x 2－4x －1＝0.解：将方程两边同时除以2，得________． 把方程的左边配方，得________， 即(x －________)2－32＝0.x －1＝________， ∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62.当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质将方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解． 2．用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋2＝5.解一元二次方程的实质是：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．活动1 小组讨论例1 用配方法解方程：(1)2y 2－4y －126＝0； (2)3x(x ＋3)＝94. 解：原方程可化为 解：原方程可化为y 2－2y －63＝0. x 2＋3x －34＝0. ∴y 2－2y ＋12－12－63＝0, ∴x 2＋3x ＋(32)2＝34＋(32)2， 即(y －1)2＝64. 即(x ＋32)2＝3. ∴y －1＝±8. ∴x ＋32＝±3. 解得y 1＝9，y 2＝－7. ∴x 1＝－3＋232，x 2＝－3－232. 例2 用配方法解方程：－3y 2＋12y ＋36＝0.解：方程两边同时除以－3，得y 2－4y －12＝0，即(y －2)2＝16.∴y －2＝±4.∴y 1＝6，y 2＝－2.(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为1的，可以将方程各项除以二次项系数．(2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方．(3)注意：配方时一定要在方程两边同加．活动2 跟踪训练1．用配方法解方程2x 2－4x －3＝0，把二次项系数化为1后，方程两边都应加上( )A ．1B ．2C ．4D ．82．解一元二次方程2x 2＋2x －3＝0，配方正确的是( )A ．(x ＋12)2＝74B ．(x ＋1)2＝4C ．(2x ＋1)2＝4D ．(x ＋12)2＝1343．在下列各式中填上适当的数，使等式成立：(1)2x 2＋4x ＋______＝2(x ＋______)2；(2)3x 2＋6x －1＝3(x ＋______)2＋______.4．用配方法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0； (2)2x 2－4x －3＝0；(3)3x 2－4x ＋1＝0; (4)6x 2－x －12＝0.活动3 课堂小结用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式；②把二次项系数化为1；③配方，得到方程(x ＋m)2－n ＝0的形式；④利用平方根的意义求解．【预习导学】知识探究(1)1 (2)配方 (4)x ＋m ＝±n (5)－m±n自学反馈1．x 2－2x －12＝0 x 2－2x ＋1－1－12＝0 1 ±622．(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(2)x 1＝62，x 2＝－62. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．A 2.A 3.(1)2 1 (2)1 －4 4.(1)x 1＝1，x 2＝－12.(2)x 1＝1＋102，x 2＝1－102.(3)x 1＝1，x 2＝13.(4)x 1＝32，x 2＝－43. 2.2.2 公式法1．经历推导求根公式的过程，进一步发展逻辑思维能力．2．能熟练运用公式法解一元二次方程．阅读教材P35～37，完成下列问题：(一)知识探究1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)在b 2－4ac ≥0的条件下，它的根为：x ＝______________(b 2－4ac ≥0)．我们通常把这个式子叫作一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．2．运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作________．(二)自学反馈1．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，探究求根公式：因为a ≠0，方程两边都除以a ，得______________．把方程的左边配方，得________________，即(x ＋________)2－________＝0.若b 2－4ac ≥0，原方程可化为(x ＋b 2a)2＝(________)2. 由此得出：x ＋b 2a ＝________或x ＋b 2a＝－________. x ＝________或x ＝________.若b 2－4ac ＜0，则此方程________．2．用公式法解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0； (2)5x ＋2＝3x 2；(3)(x －2)(3x －5)＝0; (4)4x 2－3x ＋1＝0.活动1 小组讨论例1 解方程：3x 2＝4x －1.解：将方程化为一般形式，得3x 2－4x ＋1＝0.a ＝3，b ＝－4，c ＝1，b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×1＝4，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝4±42×3＝4±26． ∴x 1＝1，x 2＝13． 例2 用公式法解方程：x(x －6)＋18＝9.解：将方程化为一般形式，得x 2－6x ＋9＝0.因此a ＝1，b ＝－6，c ＝9，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×9＝0，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝6±02×1＝3. ∴x 1＝x 2＝3.活动2 跟踪训练1．用公式法解x 2＋3x ＝1时，先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为( )A ．1，3，－1B ．1，－3，－1C ．1，－3，1D ．1，3，12．用公式法解下列方程：(1)x 2＋5x －1＝0； (2)x 2＋4x －6＝0；(3)x 2＋22x －1＝0; (4)2x 2－3x ＋1＝0.用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a ，b ，c 的值，再判断Δ的正负．活动3 课堂小结用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式，确定a ，b ，c 的值，求出b 2－4ac 的值；②若b 2－4ac ≥0，则代入公式求解；若b 2－4ac<0，则原方程无解．【预习导学】知识探究 1.－b±b 2－4ac 2a2.公式法 自学反馈1．x 2＋b a x ＋c a ＝0 x 2＋b a x ＋(b 2a )2－(b 2a )2＋c a ＝0 b 2ab 2－4ac 4a 2 ±b 2－4ac 2ab 2－4ac 2a b 2－4ac 2a －b ＋b 2－4ac 2a －b －b 2－4ac 2a 无解 2.(1)x 1＝1＋62，x 2＝1－62.(2)x 1＝2，x 2＝－13.(3)x 1＝2，x 2＝53.(4)无解． 【合作探究】活动2 跟踪训练1．A 2.(1)x 1＝－5＋292，x 2＝－5－292.(2)x 1＝－2＋10，x 2＝－2－10.(3)x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.(4)x 1＝1，x 2＝12.2．2.3因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程1．理解因式分解法的基本原理，会用因式分解法解一元二次方程．2．理解一元二次方程与一元一次方程的联系，体会“降次化归”的思想方法．阅读教材P37～39，完成下列问题：(一)知识探究1．对于一元二次方程，先将方程右边化为________，然后对方程左边进行________，使方程化为两个一次式的________的形式，再使这两个一次式分别等于________，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法．2．如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或________，即x＝－1或________．3．若我们把方程x2＋bx＋c＝0的左边进行因式分解后，写成x2＋bx＋c＝________＝0，则d和h 就是方程x2＋bx＋c＝0的根．反过来，如果d和h是方程x2＋bx＋c＝0的根，则方程的左边就可以分解成x2＋bx＋c＝________.(二)自学反馈1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.活动1小组讨论例1用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0，x2＝45.(2)x1＝23，x2＝－12.(3)x1＝－5，x2＝－2.解这里的(2)(3)题时，注意整体化归的思想．例2 用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0； (2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12. 解：(1)x 1＝6，x 2＝－6.(2)x 1＝43，x 2＝－2. (3)x 1＝12，x 2＝－12.(4)x 1＝x 2＝2.注意本例中的方程可以使用多种方法．活动2 跟踪训练1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2－2x ＝0或3x －4＝0B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，∴x ＋2＝02．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0； (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3； (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.3．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 活动3 课堂小结1．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3)令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．归纳解一元二次方程不同方法的优缺点．【预习导学】知识探究。
【K12学习】九年级数学上册全册教案(湘教版)
九年级数学上册全册教案（湘教版）第1章反比例函数1反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入，初步认知．复习小学已学过的反比例关系，例如：当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V 时,请你用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的概念一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v与所用时间t之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.利用的关系式完成下表：随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=的形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．三、运用新知，深化理解见教材P3例题.下列函数关系中，哪些是反比例函数？已知平行四边形的面积是12c2，它的一边是ac，这边上的高是hc，则a与h的函数关系；压强p一定时，压力F与受力面积S的关系；功是常数时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．某乡粮食总产量为吨，那么该乡每人平均拥有粮食y与该乡人口数x的函数关系式．分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解：a=12/h，是反比例函数；F＝pS，是正比例函数；F=/s，是反比例函数；y=/x，是反比例函数．当为何值时，函数y=是反比例函数，并求出其函数解析式．分析：由反比例函数的定义易求出的值．解：由反比例函数的定义可知：2－2＝1，=3/2．所以反比例函数的解析式为y=．当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例.且V=53时，ρ=1．98g／3求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围.求V=93时，二氧化碳的密度.解：略已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．分析：y1与x成正比例，则y1＝1x，y2与x2成反比例，则y2=2x2，又由y＝y1＋y2，可知，y=1x+2x2，只要求出1和2即可求出y与x间的函数关系式．解：因为y1与x成正比例，所以y1＝1x；因为y2与x2成反比例，所以y2=，而y＝y1＋y2，所以y=1x+，当x ＝2与x＝3时，y的值都等于19．【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.2反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质教学目标【知识与技能】会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质，并能灵活应用.教学过程一、情景导入，初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数y=的图象．分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.列表：取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点、、等．连线：用平滑的曲线将象限各点依次连起来，得到图象的个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．思考：观察上图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？探究2：反比例函数所在的象限画出函数y=的图形，并思考下列问题：函数图形的两个分支分别位于哪些象限？在每一象限内，函数值y随自变量x的变化是如何变化的？【归纳结论】一般地，当>0时，反比例函数y=的图象由分别在、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.探究3：反比例函数y=－的图象．可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：可以用画反比例函数y=－的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；可以通过探索函数y=与y=－之间的关系，画出y=－的图象．【归纳结论】一般地，当0时，图象在一、三象限；当0，所以双曲线的两支分别位于、三象限.【答案】c下列反比例函数图象一定在、三象限的是【答案】c已知函数为反比例函数．求的值；它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？当－3≤x≤－时，求此函数的最大值和最小值．作出反比例函数y=的图象，并根据图象解答下列问题：当x＝4时，求y的值；当y＝－2时，求x的值；当y＞2时，求x的范围．解：列表：由图知：y＝3；x＝－6；0＜x＜6作出反比例函数y=－的图象，结合图象回答：教学目标【知识与技能】会求反比例函数的解析式；2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入，初步认知反比例函数有哪些性质？2.我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗？【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.二、思考探究，获取新知思考：已知反比例函数y=的图象经过点P求的值，并写出该函数的表达式；判断点A，B是否在这个函数的图象上；这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？分析：题中已知图象经过点P，即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出，解析式也就确定了.要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.根据的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.下图是反比例函数y=的图象，根据图象，回答下列问题：的取值范围是>0还是0.因为点A,B是该函数图象上的两点且-3y2.【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知，深化理解若点A，B在双曲线y=－上，则y1、y2中较小的是．【答案】y2已知点A，B是反比例函数y=的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有．A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1c.y1＜y2＜0D.y2＜y1＜0【答案】A若A，B是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是A.b1＜b2B.b1=b2c.b1＞b2D.大小不确定【答案】D函数y=-的图象上有两点A，B，若0＜x1＜x2，则A.y1＜y2B.y1＞y2c.y1=y2D.y1、y2的大小不确定【答案】A已知点P在反比例函数y=的图象上，当x=-3时，求y的值；当1＜x＜3时，求y的取值范围．已知y=过三个点A，B，c．求反比例函数的表达式；求a与b的值．解：将A代入反比例解析式得：=-16，则反比例解析式为y=-；将B代入反比例解析式得：b=-4；将c代入反比例解析式得：2=-，即a=-8.已知反比例函数的图象过点．求这个函数的解析式，并画出图象；若点A在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析：反比例函数的图象过点，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；由点A在反比例函数的图象上，易求出的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解：设：反比例函数的解析式为：y=．而反比例函数的图象过点，即当x＝1时，y＝－2．所以－2=，＝－2．即反比例函数的解析式为：y=－．点A在反比例函数y=－图象上，所以==，点A的坐标为．点A关于x轴的对称点不在这个图象上；点A关于y轴的对称点不在这个图象上；点A关于原点的对称点在这个图象上；【教学说明】通过练习，巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质教学目标【知识与技能】综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图、识图能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入，初步认知正比例函数有哪些性质？一次函数有哪些性质？反比例函数有哪些性质？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P，试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=1x,y=,其中，1,2是常数，且均不为0.由于这两个函数的图象交于P，则P是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=1×,4=解得，1=2=-12所以，正比例函数解析式为y=x,反比例函数解析式为y=-.函数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=的图象上取两点Ｐ，Ｑ，过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1=；过点Ｑ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2=；S1与S2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数y=中比例系数的几何意义：过双曲线y=上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解已知如图，A是反比例函数y=x的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABo的面积是3，则的值是A.3B.-3c.6D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S ＝||．解：根据题意可知：S△AoB＝||＝3，又反比例函数的图象位于象限，＞0，则＝6．【答案】c反比例函数y=与y=在象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接oA、oB，则△AoB的面积为A.B.2c.3D.1分析：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作Bc⊥y轴，点c为垂足，再根据反比例函数系数的几何意义分别求出四边形oEAc、△AoE、△Boc的面积，进而可得出结论．解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作Bc⊥y轴，点c为垂足，∵由反比例函数系数的几何意义可知，S四边形oEAc=6，S△AoE=3，S△Boc=1，∴S△AoB=S四边形oEAc-S△AoE-S△Boc=6-3-1=2．【答案】B已知直线y＝x＋b经过点A，并与双曲线y=的交点为B 和c，求、b的值．解：点A在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3．一次函数的解析式为：y＝x－3．又因为点B也在直线y＝x－3上，所以＝－2－3＝－5，即B．而点B又在反比例函数y=上，所以＝－2×＝10．已知反比例函数y=的图象与一次函数y＝2x－1的图象交于A．分别求出这两个函数的解析式；试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析:因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出1、2的值．把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．解：因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，所以1＝2×1＝2．＝22－1，2＝1．所以反比例函数的解析式为：y=；一次函数解析式为：y＝x－1．点A关于坐标原点的对称点是A′．把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y==－1，所以点A在反比例函数图象上．把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点A′不在一次函数图象上．已知一次函数y＝x＋b的图象经过点A和点B,a＜0，且点B在反比例函数的y=－的图象上．求a的值．求一次函数的解析式，并画出它的图象．利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．如果P、Q是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．分析：由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出、b和a的值．由求出的、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．和都是利用函数的图象进行解题．一次函数和反比例函数的图象为：从图象上可知，当一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：－1≤x≤1．从图象可知，y随x的增大而减小，又＋1＞，所以y1＞y2.或解：当x1＝时，y1＝－2＋1；当x2＝＋1时，y2＝－2×＋1＝－2－1所以y1－y2＝－＝2＞0，即y1＞y2.如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．分析:把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：教学反思．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法．．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入，初步认知复习回顾什么是反比例函数？反比例函数的图象是什么？反比例函数图象有哪些性质?反比例函数的图象对称性如何？【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究，获取新知某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？根据压力F、压强p与受力面积S之间的关系式p=，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？如人对地面的压力F=450N，完成下表：当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解：对于p=，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p 是S的反比例函数.因为F=450N，所以当S=0.0052时，由p=得：p=450/0.005=90000（Pa)类似的，当S=0.012时，p=45000Pa；当S=0.022时，p=22500Pa；当S=0.042时，p=11250Pa 当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数,即pV=)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知，深化理解教材P15例题.一个水池装水123，如果从水管中每小时流出x3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．【答案】y=；x＞0若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是．【答案】y=某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200c2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xc，长为yc，那么这些同学所制作的矩形的长y与宽x之间的函数关系的图象大致是【答案】A下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是A.小明完成百米赛跑时，所用时间t与他的平均速度v 之间的关系B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系c.压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量与所盛水的体积V之间的关系【答案】D在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是．A.y＝3000xB.y＝6000xc.y=D.y=【答案】D一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是【答案】A一个长方体的体积是100c3，它的长是y，宽是5c，高是x．写出长y关于高x的函数关系式，以及自变量x的取值范围；画出中函数的图象；当高是3c时，求长．解：y=；图象略；长为c.【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.3”中第1、2、4题.教学反思本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合的数学思想方法.。
2014新版湘教版九年级数学上教学1.1反比例函数课件(共17张PPT)
小
结
回味无穷
1、通过本节课的学习, 你有哪些收获? 2、你还想知道反比例函数的哪些知识？
结束寄语
• 函数来自现实生活,函数是描述现实 世界变化规律的重要数学模型. • 函数的思想是一种重要的数学思想, 它是刻画两个变量之间关系的重要 手段.
独立 作业
知识的升 华
P4 作业题 祝你成功！
S= n t
2
【反比例函数的定义】
1.由上面的问题中我们得到这样的三个函数
1463 V= t
1000 y= x
1.68×104 S= n
2.上面的函数关系式形式上有什么的共同点?
k 都是 y= x 的形式,其中k是常数.
3.反比例函数的定义
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示
k y （k为常数，且k不为０）的形式，那么 成： x
6 。 已知函数 y = 3xm -7 是反比例函数,则 m = ___
随堂练习
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数 式表示？ （1）一个游泳池的容积为2000 m 3 ,注满游泳池 所用的时间t (单位：h）随注水速度v(单位:m 3/h) 的变化而变化； （2）某长方体的体积为1000cm 3 ，长方体的高h （单位：cm）随底面积s（单位：cm2 ）的变化而 变化； （3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压强p随 物体与地面的接触面积s的变化而变化。
y=
2x 3
y=x
⑥
2 (k= ) 3
xy=3
(k=1)
(k= 3)
练习:
⑴ 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）
3 （A）y = （B） y = x + 7 X+5
九年级数学上册 第1章 反比例函数导学案 (新版)湘教版
建立反比例函数模型【学习目标】：1.能说出反比例函数的概念并能写出实际问题中的成反比例关系的函数表达式.2.会判断哪些函数是反比例函数，并能够运用反比例函数的定义求函数的表达式及函数值.3.综合正比例函数和反比例函数的概念，加深对待定系数法的认识. 【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第2、3页的内容，自主探究，回答下列问题：1.回忆一次函数和正比例函数的概念？画出它们的图象，并结合图象写出它们的性质？2.类比一次函数和正比例函数的定义写出反比例函数的定义，并写出它的意义？3.书上给出的反比例函数的表达形式是ky x=（k 为常数，0k ≠），请你通过变形写出反比例函数其他的表达形式.二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.当路程400=s m ，所花时间)(s t 与速度)/(s m v 的函数关系为_________.2.学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x （米），则另一边的长y （米）与x 的函数关系是__________________.3.下列关系式中，表示y 是x 的反比例函数的有（ ） ①22y x =；②2x y =；③12y x =+；④1y x =-；⑤12y x =+；⑥131--=x y . A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 4.关于x 、y 的函数41-=k x y 是反比例函数，则=k ___________.5.在函数xky =中，当2=x 时，3-=y ，则此函数的表达式为 ，当6x =时，y =_______.6.当m 为何值时，函数()21--=m x m y 是反比例函数，并求出其函数表达式．7.已知反比例函数x ky =和一次函数723-=x y 都经过点)2(，m P ，求反比例函数的表达式.三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1.已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x -成正比例，并且当3x =时，5=y ；当1x = 时，1-=y .求y 与x 之间的函数关系式.2.已知变量x ，y 满足()()102222++=-y x y x ，问x ，y 是否成反比例关系？请说明理由.【当堂检测】：1.下列函数关系式中，是反比例函数关系式是（ ） A. 2x y =B. x y 21=C. 12+=x y D. x k y =2.已知反比例函数xy 2=，当4=x 时，=y ________；当6=y 时，=x ________. 3.某中学学生会的女同学承担了为学校运动会制作250个小花环的任务，则完成任务所用的时间y （天）与她们每天能制作的小花环的数量x （个）之间的函数表达式是________. 【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】： 反比例的实质两种相关联的量，一种量随另一种量变化而变化，但这两种量的积一定是个常数，这时，这两种量是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.通常用x 的变化规来律表示y 的变化规律.反比例关系在应用题中属于归总问题.反映在除法中，当被除数一定，除数和商成反比例关系.在分数中，当分数的分子一定，分母与分数值成反比例关系.在比例中，比的前项一定，比的后项与比值成反比例关系.如果再把总数与份数关系具体化为：在购物问题中，总价一定，单价和数量成反比例关系.在行程问题中，路程一定，速度和时间成反比例关系.【课后精练】： 1.下列函数：①12-=x y ；②x y 5-=；③282-+=x x y ；④33xy =；⑤x y 21=；⑥xay =中，y 是x 的反比例函数的有_______________（填序号）. 2.函数22-=a x y 是反比例函数，则a 的值是____________.3.若函数()1321+++=m m xm y 是反比例函数，则m 的值为（ ）A. 2-=mB. 1=mC. 2=m 或1D. 2-=m 或1- 4.已知变量y 与1-x 成反比例，并且当2=x 时，3-=y . （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求当2=y 时x 的值. .1.2反比例函数的图象与性质（1） 【学习目标】：1.类比用描点法作一次函数图象的方法，作出反比例函数xy 6=的图象，并归纳作图步骤. 2.观察反比例函数x y 6=的图象，并能根据图象说出反比例函数)0(>=k xk y 图象的性质.3.能根据反比例函数的表达式画出反比例函数)0(>=k xky 的大致图象.【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第5、6页的内容，自主探究，回答下列问题： 1.忆一忆：一次函数()0≠+=k b kx y 的作图步骤.2.你能类比一次函数的作图步骤，作出反比例函数x y 6=的图象吗？ 第一步：列表 x … … y … … 第二步：描点第三步：连线（用光滑的曲线的连接）3.观察你所作的反比例函数图象，写出反比例函数)0(>=k xky 的性质.学法指导：将你作的图象与本组同学的图象进行对比后交流.思考：自变量x 的取值要注意什么？自变量x 怎样取值最好？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1. 在右图中画出反比例函数xy 4=的大致图象.2. 反比例函数x y 21=的图象过点A （2，________）和点B （_________，1-）. 3. 反比例函数xy 2=的图象经过第 象限，当0>x 时，y 随x 的增大而 ；当0<x 时，y 随x 的增大而 . 三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1.反比例函数xk y 3-=的图象经过第一、三象限，则k 的取值范围是 . 2.已知一次函数5-=kx y ，y 随x 的增大而增大，那么反比例函数xky =（ ）.A. 在每一象限内，y 随x 的增大而增大B. 当0<x 时，0>yC. 图象在第一、三象限D. 图象在第二、四象限3.如果两点()111y P ，和()222y P ，在反比例函数()0>=k xky 的图象上，那么1y __________2y .（填”＞”、”＜”或”＝”）.【当堂检测】： 作出反比例函数xy 21=的图象. （并写出它图象有几支，位置，对称性，增减性.）【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】： 正反联系正比例和反比例相同与联系： 相同之处：1.事物关系中都有两个变量，一个常量.2.在两个变量中，当一个变量发生变化时，则另一个变量也随之发生变化.3.相对应的两个变量的积或商都是一定的. 相互转化：当正比例中的x 值（自变量的值）转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x 值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例.【课后精练】： 1.反比例函数xy 73=的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限2.已知反比例函数xm y 1-=的图象如图所示，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1>m B. 0>m C. 1<m D. 0<m3.若0<x ，则函数x y =和xy 1=在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）．A B C D 1.2反比例函数的图象与性质（2） 【学习目标】： 1.类比反比例函数)0(>=k x k y 图象的作法，作出反比例函数)0(<=k xky 的图象.2.观察反比例函数)0(<=k x k y 的图象，并能根据图象说出反比例函数)0(<=k xky 图象的性质.3. 理解k 的正负性与反比例函数图象在坐标系中分布情况的关系.【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第7、8、9页的内容，自主探究，回答下列问题： 1.回忆反比例函数x y 6=图象的作法，画出反比例函数xy 6-=的图象. 解：函数自变量x 的取值范围是____________，列表描点并连线：2. 观察你所作的反比例函数x y 6-=的图象，你发现反比例函数)0(<=k xky 的图象有哪些性质呢？3.如果我们把已经画好的反比例函数x y 6=和xy 6-=的图象进行比较，你发现了什么？我们可以在函数x y 6=的图象已作出来的情况下，怎么得到函数xy 6-=的图象？4.反比例函数)0(≠=k xky 的图象与坐标轴是否存在交点？为什么？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1.已知反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点)42(，-A ，则该函数的表达式为 ，两支曲线分别位于__________象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而 .学法指导：从图象的位置、增减性、对称性等方面进行归纳.2.下列四个点中，在反比例函数xy 6-=的图象上的是（ ）. A. ()23-，B. ()23，C. ()32，D. ()32--， 3.若点)y A(51，、)y (72，B 在双曲线xy 2-=上，则1y 和2y 的大小关系为 . 三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1.下列函数中，在每个象限内，y 随x 的增大而减小的有 （填序号） ①x y 3=；②x y 1-=；③12+=x y ；④ 1--=x y ；⑤ xy 23-=.2.已知在反比例函数3m y x+=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，求m 的取值范围.如果点()()12-2,-4,M y N y ，是该图象上的两点，试比较函数值12y y ，的大小.【当堂检测】： 作出反比例函数xy 4-=的图象. （并写出它图象有几支，位置，对称性，增减性.【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】：冷却塔为什么是双曲线型的？火电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种构筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需设置冷 却构筑物，以使从冷却器排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.英国最早使用这种冷却塔.20世纪30年代以来在各国广泛应用，40年代在中国东北抚顺电厂、阜新电厂先后建成双曲线型冷却塔群.冷却塔由集水池、支柱、塔身和淋水装置组成.集水池多为在地面下约2米深的圆形水池.塔身为有利于自然通风的双曲线形无肋无梁柱的薄壁空间结构，多用钢筋混凝土制造，塔高一般为75～110米，底边直径65～100米.塔内上部为风筒，标高10米以下为配水槽和淋水装置.淋水装置是使水蒸发散热的主要设备.运行时，水从配水槽向下流淋滴溅，空气从塔底侧面进入，与水充分接触后带着热量向上排出.冷却过程以蒸发散热为主，一小部分为对流散热.双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它又比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高. 了解了上述原理后，就知道大型中央空调和火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快，散热效果好.【课后精练】： 1.反比例函数12--=x y 的图象在（ ）A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限 2. 已知A ()11y ，-，B ()22y ，两点在双曲线xmy 23+=上，且 21y y >，则m 的取值范围是（ ）A. 0<mB. 0>mC. 23->mD. 23-<m 3. 已知点()33-，在反比例函数ky x=的图象上. （1）求这个函数的表达式；（2）判断点()()-19-32A B ，，，是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y 随自变量x 的增大如何变化？ 1.2反比例函数的图象与性质（3） 【学习目标】： 1.会通过函数图象对称性，深入探究函数x k y =与xky -=的图象之间的关系. 2.归纳总结k 的正负性与反比例函数图象增减性（图象的变化）之间的关系. 3.能将函数图象和图形面积结合运用，理解反比例函数)0(≠=k xky 中k 表示的几何意义. 【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第10、11页的内容，自主探究，回答下列问题： 1.点A(1,-2)与点B(2,1)在反比例函数-2y x=图象上的是_____________. 2. 当0>x 时，函数xy 5-=的图象在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.通过学习，我们已经知道，过双曲线)0(≠=k xky 上任意一点(12.5)A ，作x 轴、y 轴的垂线AC AB 、，得到矩形OBAC ，求OBAC S 矩形.【变式】：若连结AO ，那么△ABO 的面积又是多少呢？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1. 若反比例函数xy 2=的图象上有两点P 1（2，y 1）和P 2（3，y 2），那么（ ） A ．y 1＜y 2＜0 B ．y 1＞y 2＞0 C ．y 2＜y 1＜0 D ．y 2＞y 1＞0 2. 如图，点A 在反比例函数xky =的图象上，AB 垂直于x 轴， 若2S ABO =∆，那么这个反比例函数的.表达式为 .3.函数x y 3=与xy 3=的交点个数是 个，分别是 . 三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.如图，过反比例函数1(0)y x x=>的图象上任意两点B A 、分别作x 轴的垂线，垂足分别为D C 、，连接OB OA 、，设AOC ∆和BOD ∆的面积分别为21小可得（ ）A. 21S S >B. 21S S <知识小结：根据你计算后发现的规律，小结出面积与K 值之间的关系.A B O CD yxC. 21S S =D. 大小关系无法确定2.在函数)0(<=k xky 的图象上有三点()11y x A ，， ()22y x B ，，()33y x C ，，已知 3210x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）.A. 3210y y y <<<B. 1230y y y <<<C. 3120y y y <<<D. 2130y y y <<<3.函数()0≠=k xky 与()()01≠-=k x k y 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A B C D【当堂检测】：1.反比例函数xky 21-=的图象经过点（-2，3），则k 的值为（ ） A. 6 B. 6- C. 27 D. 27-2.若点A （1，y 1）、B （2，y 2）都在反比例函数()0>=k xky 的图象上，则y 1、y 2的大小关系为（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1≤y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1≥y 2 3.如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数xky =的图象过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．-2C ．4D ．-4【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】： 导航的双曲线我们小时侯都曾梦想，长大以后要当上船长就好了. 在茫茫的大海上，惊涛骇浪，你能顺利地指挥着船队驶向前方吗？好，让我们的双曲线来帮助你吧.它是大海的导航员. 先来看一看原理.假如你站在广场上，广场的东西两侧 各装有一只喇叭，并且放着欢快的音乐：北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太阳， 多么温暖……我站在广场上，听见第一只喇叭把”金色的太阳”传到耳 朵后的半秒钟，又听到了第二声”金色的太阳”.由于两个喇叭 离耳朵的远近不同，所以产生了听觉上的时间差.再换一个地 方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢?实际上，只要人站 的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了.因此可以 找到很多这样的点.这些点就构成了双曲线的一支.轮船航行在海上时，它就处于人的位置.岸上有两个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐.轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线.若再和另一对电台联系，可以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上.这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白了吗？船长们就是这样来导航的.【课后精练】： 1.反比例函数xmy =的图象如图所示，以下结论： ①常数1-<m ；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③若A （-1，h ），B （2，k ）在图象上，则h ＜k ；④若P （x ，y ）在图象上，则()y x P --'，也在图象上． 其中正确的是（ ）A ．①② B．②③ C．③④ D．①④2.若双曲线xky =与直线y =2x +1的一个交点的横坐标为1-，则k 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．23.下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）A B C D4. 在同一坐标系中，函数x ky =和3+=kx y 的图象大致是（ ）1.3反比例函数的应用 【学习目标】：1.能根据题意，建立反比例函数模型，进而解决实际问题.2.能初步分析实际问题中变量之间的关系，体会数学与现实生活的紧密联系.3.熟练应用待定系数法确定反比例函数表达式，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.【体验学习】： 一、新知探究阅读教材第14、15页的内容，自主探究，回答下列问题：1.你能举例说明生活中存在哪些变量具有反比例关系？并试着建立反比例函数模型.2.你能否根据反比例关系，解释铺木板过烂泥湿地的原理？二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：1.在某一电路中保持电压不变，电流I （A ）与电阻R （Ω）将如何变化？已知当电阻Ω=5R 时，电流A I 2=. （1）求I 与R 之间的关系式.（2）电阻是Ω8时，电流是多少？ABC D10，那么电阻R的最小值是多少？（3）如果要求电流的最大值为A（4）如果电路中的电阻是滑动变阻器，怎样调整电阻R，就可以使电路中的电流I减少？2.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间. （1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?（2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：1.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：（1（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此贺卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图）.观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息，解答下列问题：86O y x （1）药物燃烧时和药物燃烧后，分别求出y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围. （2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于6.1毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室.（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【当堂检测】：工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min 时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y （℃）与时间x （min ）成一次函数关系；锻造时，温度y （℃）与时间x （min ）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．（1）分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数关系式，并且写出自变量x 的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】： 生活中的反比例1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间成反比例（即路程一定，速度和时间成反比例）；2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数成反比例；3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西，总价一定，它的单价和数量是反比例；5.长方形的面积一定，长和宽是反比例（提示：但是长方形的周长与长宽不成比例【既不成正比例也不成反比例】）；6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例；7.等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例； 8.工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例； 9.分子一定，分母和分率成反比例. 【课后精练】：1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V （单位：m 3）满足函数关系式ρ=Vk （k 为常数，k ≠0），其图象如图所示，则k 的值为（ ）A ．9B ．9-C ．4D ．4-2.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个”E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x ，y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是（ ）A B C D 3.我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y （℃）随时间x （小时）变化的函数图象，其中BC 段是双曲线xky =的一部分．请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？ （2）求k 的值；（3）当x =16时，大棚内的温度约为多少度？答案：1.1建立反比例函数模型 【当堂检测】： 1. B2.21；31 3.xy 250=【课后精练】： 1. ②⑤ 2.1± 3. A 4.（1）13--=x y ；（2）21-=x 1.2反比例函数的图象与性质（1）【当堂检测】： 图略【课后精练】： 1. B 2. A 3. D1.2反比例函数的图象与性质（2） 【当堂检测】： 图略【课后精练】： 1. D 2. D3. （1）9 yx =-（2）A在，B不在（3）二、四象限；在每个象限内，y随x增大而增大1.2反比例函数的图象与性质（3）【当堂检测】：1. C2. C3. D【课后精练】：1. C2. B3. C4. A1.3实际生活中反比例函数【当堂检测】：【课后精练】：1. A2. A。
湘教版九年级上册数学精品教学课件 第1章 反比例函数 反比例函数图象与性质的综合应用
y
Ox
k1＞0
④
k2＜0
b＞0
× × 例4 函数 y=kx－k 与 y k (k 0) 的图象大致是(
x
y
y
k＜0 k＞0
A.
O
x
k＜0 B.
O
D)
k＞0
x
由一次函数与 y 轴 y 由一次函数增
y
交点知－k＞0，
减性得 k＞0
× 则 k＜0 C.
Ox
√D. O
x
提示：由于两个函数表达式都含有相同的系数 k，可 对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
A
B
C
O
x
2. 如图，过反比例函数 y= k 图象上的一点 P，作 x
PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = -12 .
y
提示：当反比例函数图象
P
在第二、四象限时，注意
k＜0.
AO
x
k y=
x
3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
y
解析：y1＞y2 即一次函数 图象处于反比例函数图象
的上方时. 观察右图，可
－2 O 3x
知－2＜x＜0 或 x＞3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小
更加简洁明了.
练一练 如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比
例函数
y2
k2 x
的图象交于 A，B 两点，观察图象，当
y1＞y2 时，x 的取值范围
x
图象的交点坐标为 (2，6)，(－2，－6) ．
解析：联立两个函数表达式，解方程即可.
湘教版初中数学九年级上册1.1 反比例函数1
1
3
-1
二、课堂检测
1、当 m =
，函数 y (m 2)x3m2 是反比例函数。
2、若 y 与 x-2 成反比例，且当 x=-1 时，y=3，则 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式。 （2）求当 x=5 时，y 的值
3．已知函数 y＝y1＋y2，y1 与 x＋1 成正比例，y2 与 x 成反比例，且当 x＝1 时，y＝
5． 已 知 y 与 x 成 反 比 例 ， 且 当 x＝ － 2 时 ， y＝ 3， 则 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式
是
，当 x＝－3 时，y＝
6、当 m＝ 时，关于 x 的函数 y (m 1)x m2 2 是反比例函数？
7.如果 y 与 x 成正比例，z 与 x 成反比例，那么 y 与 x 之间的函数关系是 （ ）
（一）复习巩固
1.在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 和 y，当 x 在其取值范围内任意取
一个值时， y
，则称 x 为
，y 叫 x
的
.
2.一次函数的解析式是：
；当
时，称为正比例函
数.
3.一条直线经过点（2，3）、（4，7），求该直线的解析式.
以上这种求函数解析式的方法叫：
.
学生自 主回顾
（二）自主探究 提出问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？ （1）京沪线铁路全程为 1463km，乘坐某次列车所用时间 t（单位:h）随该列车
A 正比例关系 B 反比例关系 C 一次函数关系 D 不确定
8、在下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（
）
A、 y 8 x5
B y 3 7 C、xy=5 x
D、
y
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第1章 反比例函数
1．1 反比例函数
教学目标
【知识与技能】
理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式．
【过程与方法】
经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力．
【情感态度】
培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值．
【教学重点】
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数表达式．
【教学难点】
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数的模型思想．
教学过程
一、情景导入，初步认知
1．复习小学已学过的反比例关系，例如：
(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt＝s(s是常数)
(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)
2．电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U＝220V时，请你用含R的代数式表示I吗？
【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础．
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数的概念
(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？
并写出它们之间的关系式．
(2)利用(1)的关系式完成下表：
所用时间t(s) 121 137 139 143 149
平均速度v(m/s)
(3)随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？
(4)平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？
(5)观察上述函数表达式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？
【归纳结论】一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成y＝(k为常数且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例
函数．其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数．
【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流．学生用自己的语言说明两个变量间的关
系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．
探究2：反比例函数的自变量的取值范围
思考：在上面的问题中，对于反比例函数v＝3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变
量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围．由于
t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0.
【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P3例题．
2．下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；
(2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系；
(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．
(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．
分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的表达式经过整理后是否符合y＝(k是常数，k≠0)．所以此题必
须先写出函数表达式，后解答．
解：(1)a＝12h，是反比例函数；
(2)F＝pS，是正比例函数；
(3)F＝Ws，是反比例函数；
(4)y＝mx，是反比例函数．
3．当m为何值时，函数y＝4x2m－2是反比例函数，并求出其函数表达式．
分析：由反比例函数的定义易求出m的值．
解：由反比例函数的定义可知：2m－2＝1，m＝32.所以反比例函数的表达式为y＝4x.
4．当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例．且V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3
(1)求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
(2)求V＝9m3时，二氧化碳的密度．
解：略
5．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19.求y与x间的函数
关系式．
分析：y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x2成反比例，则y2＝k2x2，又由y＝y1＋y2，可知，y＝k1x＋k2x2，只要求出
k1和k2即可求出y与x间的函数关系式．
解：因为y1与x成正比例，所以y1＝k1x；
因为y2与x2成反比例，
所以y2＝k2x2，
而y＝y1＋y2，所以y＝k1x＋k2x2，
当x＝2与x＝3时，y的值都等于19.
所以19＝2k1＋k2419＝3k1＋k29.
解得k1＝5k2＝36
所以y＝5x＋36x2.
【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的表达式．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题．
教学反思
学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数表达式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知
数．在这方面应多加练习．