(甘志国)应注意“区间内”和“区间上”的用法
(甘志国)不能这样“巧用对称求最值”
(甘志国)不能这样“巧用对称求最值”不能这样“巧用对称求最值”甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7~8上)：62-64)我们先看发表的文章《巧用对称求最值》]1[的主要内容：例1 若,,,()423a b c a a b c bc +∈+++=-R 2a b c ++的最小值.解 由已知,b c 位置对称，当2a b c ++取最小值时，b c=成立，此时222()2()423a abc bc a ab b a b +++=++=+=-31a b +=所以22()a b c a b ++=+的最小值是232，当且仅当31==2a b c =时取得最小值.例 2 (1989年苏联奥林匹克数学竞赛题)若,,,()1x y z xyz x y z +∈++=R ，求()()x y y z ++的最小值.解 由已知,x z 对称可得，当()()x y y z ++取最小值时，x z =，所以题设变为222422(2)()1()(2)24x xy y x y xyz x y z x xy y ⎡⎤+++=++=+≤=⎢⎥⎣⎦2()()=()2x y y z x y +++≥所以所求最小值是2，当且仅当1,21x z y ==时取得最小值.例 3 若函数()f x 满足()2(0,()xmf x m m m f x +=>-为常数)，且正实数12,x x 满足12()()f x f x m +=，求12()f x x +的最小值.解 由式子结构知，12,x x 位置对称，当取得最小值时，12xx =成立. 易得(21)()21x x m f x -=+.令12xx =，得12()()2m f x f x ==. 由此可得12223x x ==，进而可求得12()f x x +的最小值是45m .例4 若二次函数2()f x axbx c=++的值域为[0,)+∞，求2244a cc a +++的最小值.解 题设即“0,0,4a c ac >>=”，由式子结构知，当2244a cc a +++取最小值时，a c =，……可得所求最小值为12. 文献[1]中用到的解题原理(有不少文献资料把它叫做“对称原理”)是：求条件最值时，若条件及目标函数均关于变量12,,,(2)n x x x n ≥对称(即把12,,,nx x x 中的任意两个互换，条件及目标函数均不变；要检验2C n次)，则当且仅当12===nx x x 时，目标函数取到最值(是最大值还是最小值要根据具体的情形来确定).也有文献资料用“对称原理”来编拟关于不等式的习题：在ABC ∆中，我们欲求sin sin sin A B C ++的最值.由该题关于,,A B C对称知，当A B C==时，得3,sin sin sin 332A B C A B C π===++=.又0,0,A B C π→→→时3sin sin sin 0032A B C ++→<，，所以可编拟出不等式的习题：在ABC ∆中，求证：3sin sin sin 32A B C ++≤很多考生也愿意用“对称原理”来探求证明不等式的路径、猜测求最值问题的答案，确实比较简洁，有时也有效.但本文要指出：“对称原理”并不正确！反例1 设,,,2x y x y x y ∈≠+=R ，求2x y-的最值. 该题是关于,x y 对称的，但21(1)1x x y x =≠--的值域是(0,)+∞，因而没有最值.反例2 设,,2x y x y ∈+=R ，求x y +的最值. 易知x y +的最大值、最小值均是2，但并不一定是在=x y 时取到.最值.当0x →时，可得200,(,)y f x y →→+∞，所以(,)f x y 只能有最小值.但并不是当且仅当x y =时(,)f x y 取到最小值，因为可以验证(100,100)(99,101)f f >.下面研究反例6的一般情形：设+,,2(x y x y λλ∈+=R 是正常数)，求11(,)f x y x y x y⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 解22111()241(,)2x y xy f x y x y xy xy x y xy xy xy λ⎛⎫+-+⎛⎫=++=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设xy t =，得2241(,)()2(0)f x yg t t t tλλ+==+-<≤.由224141t t tλλ+=⇔=+(1)当2241λλ+≥即025λ<≤+时，函数()g t 是减函数，所以当且仅当2t λ=时()g t 取到最小值，也即当且仅当x y λ==时，(,)f x y 取到最小值21+λλ⎛⎫⎪⎝⎭.(2)2241λλ+<即25λ>+当且仅当241t λ=+时()g t 取到最小值，即当且仅当2241x y xy λλ+=⎧⎪⎨=+⎪⎩也即222(,)41,4x y λλλλλ⎛=-+- ⎝(均有x y ≠)时，(,)f x y 取到最小值22412λ+.反例7 设,,20x y x y ∈+=R ，求44(,)()f x y xy xy =+的最值.当x →-∞时，可得,(,)y f x y →+∞→-∞，所以(,)f x y 只能有最大值.但并不是当且仅当x y =时(,)f x y 取到最小值，因为可以验证(10,10)(9,11)f f <.下面再来研究反例7的一般情形：设,,2(x y x y λλ∈+=R 是正常数)，求44(,)()f x y xy xy =+的最大值.解 可设,(0)x t y t t λλ=±=≥，得32246(,)()2(55)(0)f x yg t t t t t λλλ===-+--≥ 222105()2[3(2105)](0)g t t t t λ⎛⎫-'=-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭所以，当22210521050,+t t ⎡⎤⎫--∈∈∞⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎭，，时，函数()g t 分别是增函数、减函数，得当且仅当22105t -=时，函数()g t 取到最大值，即当且仅当21052105(,)1,133x y λλ⎛⎫⎛⎛-- ⎪ =⎪⎝⎝⎝⎭(均有x y ≠)时，(,)f x y 取到最大值664(51014)27λ.下面再来给出文献[1]中四道例题的正确解答.例1的解答 由题设，可得222423()()22b c b c a a b c bc a b c a a ++⎛⎫⎛⎫-=+++≤+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2a b c++的最小值是232，当且仅当0=31,31b c a b<<=-时取得最小值.(这说明高文得到的“当且仅当31==a b c -=时取得最小值”是错误的.) 例2的解答 由题设，可得1()()()=2x y y z y x y z xz xz xz++=++++≥当且仅当,,()1x y xz y x y z +∈=++=R 时，()()x y y z ++取到最小值且最小值是2.(这说明高文得到的“当且仅当1,21x z y ===时取得最小值”是错误的.) 例3的解答 在原解答中已得(21)()21x x m f x -=+.由12()()f x f x m +=，得12111+=21212x x ++. 设1211=,=2121x x a b ++，得112,216a b ab ab +=≥≤，所以1211121192x x a b ab+⎛⎫⎛⎫=--==≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121224()1215x x f x x m m+⎛⎫+=-≥ ⎪+⎝⎭当且仅当122log 3xx ==时，12()f x x +取到最小值且最小值是45m . 例4的解答 在原解答中已得题设即“0,0,4a c ac >>=”，所以4a c +≥.22222221()818==44()44a c a c a c a c a c c a c ac a ac ac a c a c a c ++-⎛⎫++=⋅=+- ⎪+++++++⎝⎭又8(4)a c a c a c+-+≥+的值随a c +的增加而增加，所以当且仅当2a c ==时，2244a c c a +++取到最小值且最小值是2.参考文献1 高丰平.巧用对称求最值[J].数理天地(高中版)，2013(3)：62 甘志国著.初等数学研究(II)下[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.389-3903 甘志国.也谈一道三角题的解答[J].中学数学教学，2011(2)：41-42。
现代汉语下册第五章语法·6章课后习题答案
黄伯荣廖序东?现代汉语?〔增订四版〕下册考虑和练习一答案一、语法学里的词法和句法各研究些什么？语法学里的词法和句法各有研究范围。
词法以词为研究对象，研究词的内部构造、词的形态变化和词的语法分类。
例如语素构成词的类型有哪几种，词形变化的方式及其表示的意义有哪些，词能分多少类，每类词以致每个词有哪些功能或用法，等等。
句法以短语和句子为研究对象，研究语句构造的类型和规那么。
例如短语、句子的构造层次如何，每层中各组成成分之间有什么关系，形成什么类型，表示什么意义，句子有什么语用条件，等等。
二、什么是语法体系？对语法体系的分歧应采取什么态度？语法体系有两个含义，一个是指语法构造成分的组合规那么和关系所构成的整体。
在这个意义上，一种语言只能有一个客观的语法体系。
但是在语法学界，由于众多语法研究者的认识不尽一样，所使用的析句方法和术语也就不同，对同一语法现象分析的结果和解释会出现分歧，从而形成不同的语法体系，这一含义的语法体系应该说成语法学体系。
不同的语法学体系都是为了帮助大家认识和运用好各种语法构造的，它们往往大同小异，各有长短，因此学习的时候要细心观察，拿它来同语言实体相印证，采用符合事实的说法。
不能因体系分歧而否认学习语法的必要性和可能性。
语法学体系的分歧，是人类认识规律决定的，不可防止的。
只有通过对语法的深化研究才有可能逐步减少分歧。
我们有必要分清语法体系的两个含义，知道通常说的语法体系往往是指语法学体系。
三、举例说明语法的抽象性和稳固性。
语法的抽象性指语法不管词、短语和句子的详细意义，而只管其中的语法意义、语法形式和规那么。
例如“牛、太阳、飞机、春天、经济、权利〞这些词的词汇意义各不一样，而语法形式和意义有共同点，即指它们有常做主语、宾语、定语的功能，能单独受数量短语修饰，都有事物意义。
又如“蓝蓝的天、仁慈的愿望、奔跑的羊群、火车的速度、一本书〞，这些短语的详细意义不同，但是语法不管这些，只注意每个短语都是有修饰关系的偏正构造，是定语性质不同的定中短语。
2024年甘肃省临夏州中考语文真题(解析)
2024年临夏州初中毕业暨高中阶段学校招生考试语文试卷考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
所有试题均在答题卡上作答，否则无效。
一、积累与运用（25分）学校开展“大美甘肃，锦绣中华”语文实践活动，请你参与并完成下列任务。
◆美丽家乡1.阅读下面语段，完成题目。
临夏是花儿的故乡。
每年春末夏初，待南阳山上白如霭．雪的杏花飘落，①北塬山上粉红可人的桃花开了，沿大夏河两岸逶迤三十多公里的牡丹花迎来怒放时刻，到处便是姹紫嫣红，氤氲醉人。
清代诗人吴镇曾写诗赞美临夏的牡丹“牡丹随处有，胜绝是河州”，可见临夏牡丹历史悠久。
②临夏人爱“花儿”，就好像临夏人爱牡丹，是灵魂深处的一种情怀，是发自肺腑的一种情感。
“花儿”如同一条民族团结的纽带，成为民族团结的桥梁．．，凝聚起各族儿女，共建美丽的家园。
（选自张宗龙《我的第二故乡是花儿的故乡》，有改动）大美甘肃，魅力陇原！这里有兰州的百年中山桥，奔téng不息的黄河水在此处放慢了脚步；这里有因一碗麻辣烫而被带“火”的天水，让人们重新认识了这座历史文化名城；这里有临夏的“蓝色黄河”，清澈见底的河水在阳光下熠熠生辉；这里有陇南的绿水青山，如画的美景让人仿佛置身于秀丽江南……大漠孤烟，长河落日；敦煌飞天，驼铃声响。
一头连着历史，一头朝向远方。
这里是甘肃，她已等你千年，正张开热情的怀抱迎接你。
（选自《新甘肃·甘肃日报》，有改动）（1）给加点字注音，根据拼音写汉字。
霭．（）雪奔téng（）不息（2）“桥梁”的义项：（名）①架在水面上或空中以便行人、车辆等通行的构筑物。
如：“石拱桥在世界史上出现得比较早。
”②比喻能起______作用的人或事物。
如文段中该词就是这个含义。
桥梁．．（3）下列说法不正确的一项是（）A.画线句①中“沿”“时刻”“到处”的词性分别是介词、名词、副词。
B.“姹紫嫣红”“魅力陇原”“清澈见底”“绿水青山”四个短语类型各不相同。
（甘志国）坐标式三角形面积公式及其应用
（甘志国）坐标式三角形面积公式及其应用坐标式三角形面积公式及其应用甘志国(已发表于中学数学杂志，2015(3)：33-35)高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ?的面积等于( )A.222)(b a b a ?- B.222)(b a b a ?+ C.222)(21b a b a ?- D.222)(21b a b a ?+答案：C.这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：定理1 若三点B A O ,,不共线，则222)(21OB OA OB OA S OAB ?-=. 证明 2222)(21cos 121OB OA OB OA AOB OB OA S OAB ?-=∠-=?.由此结论，还可证得定理2 若三点B A O ,,不共线，且点O 是坐标原点，点B A ,的坐标分别是),(),,(2211y x y x ，则122121y x y x S OAB -=. 证法1 由定理1，得1221221212222212121)())((21y x y x y y x x y x y x S OAB -=+-++=证法2 可得直线AB 的方程是0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y所以坐标原点O 到直线AB 的距离是ABy x y x 1221-，进而可得AOB ?的面积是122112212121y x y x ABy x y x AB S OAB -=-?=. 下面用定理2来简解10道高考题.高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10解 B.得??0,41F ，可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>.由22122212121=+=+=?y y y y y y x x OB OA ，可得221-=y y ，所以由定理2，得212121211222211221212121y y y y y y y y y y y y y x y x S ABO -=-=-?=-=-=所以38928941212121121=-≥-=?+-=+??y y y y y y y S S AFO ABO (可得当且仅当89,3421-==y y 时取等号)所以选B.高考题3 (2011年高考四川卷文科第12题)在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数m ，则=nm( ) A.215B.15C.415D.13解B.所有满足题意的向量有6个)5,4(),3,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(654321======αααααα，以其中的两个向量为邻边的平行四边形有15C 26==n 个.设),(),,(2211y x y x j i ==αα，得)5,3,1(,);4,2(,2121∈∈y y x x ，由定理2得，以j i αα,为邻边的平行四边形的面积是2211221=-=y x y x S ，可得这样的向量j i αα,有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(.所以51153==n m . 高考题4 (2011年高考四川卷理科第12题) 在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则=nm( ) A.154 B.31 C.52 D.32解基本事件是由向量)3,4(),5,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(中任取两个向量为邻边作平行四边形，得15C 26==n .由定理2可得：组成面积为2的平行四边形的向量有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(. 组成面积为4的平行四边形的向量有2对：)3,2(),1,2();5,2(),3,2(.组成面积为6的平行四边形的向量有2对：)5,4(),1,2();3,4(),3,2(.组成面积为8的平行四边形的向量有3对：)5,4(),3,4();3,4(),1,4();5,2(),1,2(. 组成面积为10的平行四边形的向量有2对：)5,4(),5,2();1,4(),3,2(. 组成面积为14的平行四边形的向量有1对：)3,4(),5,2(. 组成面积为16的平行四边形的向量有1对：)5,4(),1,4(. 组成面积为18的平行四边形的向量有1对：)1,4(),5,2(. 满足条件的事件有523=+=m 个，所以31155==n m . 高考题 5 (2009年高考陕西卷文科、理科第21题)已知双曲线C 的方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，离心率25=e ，顶点到渐近线的距离为552. (1)求双曲线C 的方程；(2)如图1所示，P 是双曲线C 上一点， B A ,两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若??∈=2,31,λλPB AP ，求AOB ?面积的取值范围.图1解 (1)(过程略)1422=-x y . (2)可设0,0),2,(),2,(>>-t s s s B t t A ，由定理2及题设可得st S AOB 2=?. 由PB AP λ=，可得??+++-λλλλ122,12s t s t P ，把它代入双曲线C 的方程，化简得st λλ4)1(2=+，所以≤≤+??? ??+=2311121λλλAOB S 可得AOB ?面积的取值范围是??382，.高考题 6 (2007年高考陕西卷理科第21题即文科第22题)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是36，短轴的一个端点与右焦点的距离是3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB ?面积的最大值.解 (1)(过程略)1322=+y x . (2)设),(),,(2211y x B y x A ，由定理2及题设得12212y x y x S AOB -=?由椭圆的参数方程知，可设ββααsin ,cos 3,sin ,cos 32211====y x y x ，得)sin(321221αβ-=-=?y x y x S AOB从而可得，当且仅当点B A ,是椭圆C 的两个顶点且2π=∠AOB 时AOB ?的面积取到最大值，且最大值是23. 高考题7 (2010年高考重庆卷理科第20题)已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；(2)如图2所示，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N (其中12x x ≠)的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于H G 、两点，求OGH ?的面积.图2解 (1)(过程略)双曲线C 的标准方程为1422=-y x ，其渐近线方程为02=±y x .(2)由“两点确定一直线”可得直线MN 的方程为：44=+y y x xE E . 分别解方程组=+=+??=-=+0244,0244y x y y x x y x y y x x E E E E ，得++-???? ??++E E E EE E E E y x y x H y x y x G 22,24,22,24. 因为点E 在双曲线C 上，所以4422=-E E y x . 由定理2，得24848484821222222==-=----=?E E E E E E OGHy x y x y x S 注下面将指出图2的错误：因为点E 关于x 轴的对称点),(E E y x E -'也在双曲线C 上，而双曲线C 在点E '处的切线方程为1)(4=--y y xx E E 即44=+y y x x E E 也即直线MN ，所以直线MN 与双曲线C 应当相切，而不是相离.高考题8 (2011年高考山东卷理科第22题)已知动直线l 与椭圆123:22=+y x C 交于),(),(2211y x Q y x P 、两不同点，且OPQ ?的面积26=OPQ S ，其中O 为坐标原点. (1)证明：2221x x +和2221y y +均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ?的最大值；(3)椭圆C 上是否存在三点G E D 、、，使得26===OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ?的形状；若不存在，请说明理由.解 (1)可设)sin 2,cos 3()sin 2,cos 3(ββααQ P 、，由定理2，得26)(sin 26=-=βαOPQ S 0)cos(,1)(sin ,26)(sin 26=-=-=-=βαβαβαOPQ S ∈++=k k (2ππβαZ )所以3,3)cos (sin 3)cos (cos 3222122222221==+=+=+=+ y y x x βββα. (2)在(1)的解答中：当k 为奇数时，得)sin 2,cos 3()cos 2,sin 3(ββββQ P 、-，-+)cos (sin 22),cos (sin 23ββββM ，所以β2sin 25212-=?PQ OM . 当k 为偶数时，得)sin 2,cos 3()cos 2,sin 3(ββββQ P 、-，+-)sin cos (22),sin cos (23ββββM ，所以β2sin 25212-=?PQ OM . 所以PQ OM ?的最大值是25. (3)可设)sin 2,cos 3()sin 2,cos 3()sin 2,cos 3(γγββααG E D 、、，由(1)的解答知∈+=-+=-+=-m l k m l k ,,(2,2ππαγππγβππβαZ )把这三式相加，得∈+++++=m l k m l k (23)(0ππZ )，这不可能！所以椭圆C 上不存在三点G E D 、、，使得2 6===OEG ODG ODE S S S . 高考题9 (2013年高考山东卷文科第22题)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)B A ,为椭圆C 上满足AOB ?的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.解 (1)(过程略)1222=+y x .(2)当直线OE 的斜率不存在时，可求得2=t 或332. 当直线OE 的斜率不存在时，可设)sin ,cos 2(),sin ,cos 2(ββααB A ，由定理2得212cos ,21)cos(,23)sin(,46)sin(22=-=-=-=-=βαβαβαβαOAB S 或23. 可得-+-+2cos 2sin ,2cos 2cos 2βαβαβαβαE ，所以直线2tan 2:βα+=x y OE ，求得??+±+±2sin ,2cos 2βαβαP ，所以 22cos1=-==βαEP y y t 或332总之，2=t 或332. 高考题10 (2008年高考海南、宁夏卷理科第21题)设函数1()()f x a x a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． (1)求()f x 的解析式.(2)证明：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．答案：(1)11-+=x x y .(2)略.(3)2. 高考题11 (2008年高考海南、宁夏卷文科第21题)设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案：(1)xx y 3-=.(2)6. 下面给出这两道高考题结论的推广.定理 3 (1)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点的切线与两条渐近线x aby x a b y -==,围成三角形的面积是ab S =； (2)曲线)0(≠+=b xbax y 上任一点的切线与两条渐近线ax y x ==,0围成三角形的面积是b S =；(3)曲线)0(≠+++=b dx bc ax y 上任一点的切线与两条渐近线c ax yd x +==+,0围成三角形的面积是b S =.证明 (1)如图3所示，可求得过双曲线上任一点))(,(2220220200b a y a x b y x P =-的切线方程是220202b a y y a x x b =-，还可求得它与两条渐近线x aby x a b y -==,的交点分别为+-+???? ??--002002002002,,,ay bx ab ay bx b a N ay bx ab ay bx b a M ，再由定理2可立得欲证成立.图3(2)由)0(≠+=b x b ax y ，得2x ba y -='.所以过该曲线上任一点???? ?+000,x b ax x P 的切线方程是)(02000x x x b a x b ax y --=--从而可求得它与两条渐近线ax y x ==,0的交点分别为)2,2(,2,0000ax x N x b M，再由定理2可立得欲证成立.(3)因为ad c dx bd x a d x b c ax y -++++=+++=)(，所以曲线)0(≠+++=b dx bc ax y 是由曲线)0(≠+=b x b ax y 沿向量),(ad c d --平移后得到的，所以由结论(2)立得结论(3)成立.(4)。
新中考语文标点符号及使用训练试题及答案(1)
新中考语文标点符号及使用训练试题及答案(1)一、中考语文专项练习：标点符号及使用1．阅读语段，按要求完成下面各题。
作一次心灵旅行，就以那一本本零落的古卷残页为车票，感受着穿跃时空的欣喜①（）我与王维同赏落日，与李白共攀蜀道，与辛弃疾拍遍栏杆。
②是漠北黄沙，还是江南水乡，我都一一留下足迹。
（1）①处正确的标点符号是________（2）“感受着穿跃时空的欣喜”中有一个错别字，应将“________”改为“________”。
（3）给②处补上恰当的关联词语是________【答案】（1）。
（2）跃；越（3）无论（或“不管”）【解析】【分析】（1）本题考查标点符号的运用。
结合句子，该句是一个陈述句，句号是用于陈述句末尾的标点。
应该是句号。
（2）本题考查错别字的辨析与修改。
“穿跃”的“跃”应为“越”。
（3）本题考查关联词的运用。
句子“是漠北黄沙，还是江南水乡，我都一一留下足迹。
”是表条件关系。
所以空白处可填：无论（或“不管”）故答案为：⑴。
⑵跃；越⑶无论（或“不管”）【点评】⑴本题考查正确使用标点符号的能力。
标点符号是辅助文字记录语言的符号，是书面语的有机组成部分，用来表示停顿、语气以及词语的性质和作用。
要分析句子中分句之间的关系，根据标点符号各自的作用，判断标点符号的正误，尤其注意易错易混的标点符号。
⑵此题考查学生辨析汉字字形的能力。
这类题目，音同、音近和形近易混淆字是考查的重点。
这就需要要注意平时多积累，还要掌握做题的技巧，排除法是较好的方法。
⑶此题考查学生正确运用关联词的能力。
需在熟记固定搭配的基础上，根据具体语境判断。
如：表示转折关系：虽然……但是，尽管……还是，然而；假设关系：如果……就，即使……也，倘若……就；并列关系：一边……一边，既……又；递进关系：不但……而且，不仅……还；选择关系：是…… 还是，要么…… 要么，与其……不如；因果关系：因为……所以，之所以……是因为；承接关系：先……再，首先……接着……然后；条件关系：只要……就，只有……才，无论 (不论、不管、任凭)……都(也、还) 。
2014年高考真题——语文重庆卷(逐题详解)
2014·重庆卷(课标语文)一、(本大题共4小题，毎小题3分，共12分)1．[2014·重庆卷] 下列词语中，字形和加点字的读音全都正确的一组是()A．屋檐下绿草如茵刀把．子(bà)相．机行事(xiàng)B．势利眼卑躬屈膝撒．大网(sǎ)博闻强识．(zhì)C．一溜烟通货膨胀狙．击手(jū)蓦．然回首(mù)D．辨证法中流砥柱沏．茶喝(qī)杀一儆．百(jǐng)1．A[解析] 本题考查识记现代汉语普通话常用字的字音和识记并正确书写现代常用规范汉字的能力。
B.撒．大网(sā)；C.蓦．然(mò)；D.辩证法。
2．[2014·重庆卷] 依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是()①再全面的维生素补充剂对健康的弥补作用也不能________膳食结构不合理带来的损害。
想要保持健康，更重要的是维持饮食的平衡以及适度运动。
②在自然环境中怎样才能________病虫害的侵袭呢？与松树共生，就是杨树通过长期自然演化选择的一种自我保护方式。
③有些人严重缺乏安全感，他们把说谎作为一种自我________手段，总是下意识地保护自己，不愿自己的任何行为和心思被人知道。
④现实生活中没有法外之地，互联网同样没有。
查处淫秽网站，________网络暴力，是净化网络环境的需要，更是建立法治社会的需要。
A．抵制抵消防御抵御B．抵消抵御防御抵制C．抵制防御抵御抵消D．抵消抵制抵御防御2．B[解析] 本题考查正确使用词语(包括熟语)的能力，注意辨析近义词，弄清各个词语的意思。
抵制：阻止某些事物，使不能侵入或发生作用。
抵消：两种事物的作用因相反而互相消除。
抵御：抵挡，抵抗。
防御：抗击敌人的进攻。
3．[2014·重庆卷] 依次填入下边一段话中横线处的语句，与上下文衔接最恰当的一组是()乐观的人看见问题后面的机会，________。
机会从来不会主动敲响你的门，无论你等待多少年，________。
应当弄清楚的两个问题
数理化 解题研究2019年第13期总第434期应当弄清楚的两个问题甘志国(北京市丰台二中100071)摘 要:在数学中，有两个问题应当弄清楚：(1)定义在R 上的周期函数的一个周期只能是半开半闭区 间，而不能是闭区间和开区间；(2) “最多”与“至多”的涵义不同.弄清楚它们之后，才能正确解题.关键词：周期函数；周期；区间；最多；至多中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008 - 0333(2019)13 - 0002 - 02一、定义在R 上的周期函数的一个周期只能是半开半闭区间，而不能是闭区间和开区间普通高中课程标准实验教科书《数学4 •必修• A版》(人民教育出版社,2007年第2版,2014年第8次印刷)有以下叙述：(1) (第37页)我们可以先在正弦函数的一个周期的区间上(如［-号，弓讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.(2) (第38页)类似地，在余弦函数的一个周期上(如［-,....•(3) 第55页练习的第1题是“画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图(有条件的请用计算器或 计算机检验):(1)/ = *sinx;.......(4) 第58页第2题是“画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图(有条件的可用计算器或计算机作图检验)：(l)y=4sinyz,xeR;……”.(5) 第59页第2题是“以t 为横坐标山为纵坐标，作出函数h =2sin(t +于)在一个周期的闭区间上的图象.(6) 第70页第16题是“画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：(1 )y = *sin (3x -寻),％ w R ;,,笔者认为：若认为闭区间［-F,“］是余弦函数的一个周期，则下一个周期是什么呢？既然上一个周期是闭区间，所以 下一个周期也是闭区间，因而下一个周期只能是闭区间［这样的话,f 同在［- 与这两个周 期上，与分类标准“不重不漏”矛盾！另外，若认为闭区间［-me ］是余弦函数的一个周 期，则余弦函数在该周期上有三个零点-77,0,",这与“余 弦函数在每个周期上有的零点个数是2"矛盾！再者，若认为闭区间［-G*］是余弦函数的一个周期，则余弦函数在该周期上有两个最小值点(-6,6)和一个最大值点0,这与“余弦函数在每个周期的最小值点 和最大值点均唯一”矛盾！所以，说定义在R 上的函数/(%)的一个周期是闭区 间是［a,a +门不妥，应改为半开半闭区间［a,a + T)或(a,a + T ］.题1已知曲线y = sin (3； +卩)〉0)在一个周期，求该曲线的方程.解法1若认为函数y = sin(a>x+^)(w>0)的一个周期是闭区间，则有以下解法：由“五点法”知，可分下面三种情况讨论:¥，0)分别是“五点法”中的第一点和第三点.可得(D •+(P = 2kir ,62 i tO) • — +(p =2kqr + tt(k w Z),解得3=2,(P = 2A ：tt - -~(k e Z).所以此时曲线的方程为y收稿日期:2019 -02 -05作者简介：甘志国(1971 -),湖北省竹溪人，研究生，特级教师，从事解题研究、高考研究和初等数学研究.—2—2019年第13期总第434期数理化解题研究sin（2x-f）.（2）两点（于，°），（守，0）分别是“五点法”中的第三点和第五点.可得O)•+<P=2kp+7T,O2*仏eZ),解得O)•—+<p=2kp+2tta)-2,“2口，"、所以此时曲线的方程为y= I（P=Z/CTT+—（KE.L）.sin（2%+警）•（3）两点（于，0），（警，0）分别是“五点法”中的第一点和第五点.可得(1)・石+<p=2kir,2打(^eZ),解得O)•—+卩二2kir+2tt（x）=4,”20,"所以此时曲线的方程为y=（P=Zkw一—（k e.L）.综上所述,可得所求曲线方程为y=sin（2%-于），或y=sin，或y=解法2若认为函数y=sin（a）x+卩）（仞>0）的一个周期是半开半闭区间，则有以下解法：由“五点法”知，可分下面两种情况讨论：⑴两点（于,°）,（竽,°）分别是“五点法”中的第一点和第三点.……同解法1,可求得此时曲线的方程为y=五点法”中的第三点和第五点.……同解法1,可求得此时曲线的方程为y=综上所述,可得所求曲线方程为y=sin（2x-^）,或y=sin（2x+竽）•注对于题1,解法1错误解法2正确.为防止解法1的错误，我们要注意:定义在R上的周期函数的一个周期只能是半开半闭区间，而不能是闭区间和开区间.二、“最多”与“至多”的涵义不同题2（2014年高考上海卷理科第13题）某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量$表示小白玩该游戏的得分.若E（g）=4.2,则小白得5分的概率至少为—.官方给出的这道高考题的参考答案是0.2（没有解题过程）•笔者猜测这道题的解答过程是：设得分为i的概率是p；（0Wp：Wl）（i=l,2,3,4,5）,可得P］+2p2+3p3+4p t+5p s=4.24pi+4卩2+4卩3+4Pi+4p5=4相减，得Ps=0.2+（3pi+2卩2+P3）MO.2（当且仅当Pi=p2=P3=0,P4=0.8（在几何概型中可以出现这种情形）时,內=0.2）,所以小白得5分的概率至少为0.2.笔者的商榷建议把题中的“至少”改为“最少”.中国社会科学院语言研究所词典编辑室编《现代汉语词典》（商务印书馆,2012年第6版）第1677页对“至少”的解释是“表示最小的限度”，所以“必至少为0.2”的意思是“丹M0.2,但等号不一定能取到”（所以本题的答案可填闭区间［0,0.2］中的任一个数），而在本题中“P&0.2,等号一定能取到”，所以B的最小值是0.2,即p5最少是0.2.我们要注意“最多”与“至多”的涵义不同:/（%）最多是-aj（x'）至多是a<=#（x）Wa恒成立.读者还可由此理解“最少”与“至少”的涵义也不同.题3若一次掷出3个骰子，则（1）在这3个骰子中向上的点数至多是3的概率是____♦（2）在这3个骰子中向上的点数最多是3的概率是解（1）题设即这3个骰子向上的点数只能是1,2,或3,因而所求的概率是=*.（2）-次掷出3个骰子，向上的点数出现的情形有6, =216种•其中，只有一个、两个、三个3点的情形分别有（：；・22=12,（：；・2=6,（：；=1种,共12+6+1=19种.1O所以所求答案是盏.参考文献：［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学［M］.北京：人民教育出版社,2014.［责任编辑:杨惠民］—3—。
2013版高考数学 考前3个月(上)专题复习 专题一 第四讲 基本初等函数及函数的应用课件
本 点.
讲 栏
(2)零点存在性定理
目 开
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲
关 线，且有 f(a)·f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，
即存在 c∈(a，b)使得 f(c)＝0.
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点.
讲 栏
最小值大于 0，转化为求函数的最值问题，而这是导数的基本
目 开
题型.
关 (5)有些比较几个代数式或数式大小的题目，需要构造对应的
函数，利用函数图象或函数的单调性进行比较.
考点与考题
第四讲
【对点真题】
1.(2011·安徽)若点(a，b)在 y＝lg x 图象上，a≠1，则下列点也
在此图象上的是
log
3
0.3
即
5log2
3.4
>
5
> 5log4 3.6 ，故 a>c>b.
考点与考题
第四讲
5.(2012·山东)设函数 f(x)＝1x，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0).
若 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共
本 讲
点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是
考点与考题
第四讲
4.函数思想的应用 (1)方程根的分布或根的个数，转化为相应函数零点的分布 或个数.对于一元二次方程实根分布的解决思路及方法是：
本 设二次方程对应的二次函数，然后利用其图象(注意开口的
讲
栏 确定)的特征，对判别式、给定区间边界的函数值、对称轴
目
开 与该区间的关系作全面分析，列出不等式关系，从而解决问
区间数的绝对值与区间值函数的极限
区间数的绝对值与区间值函数的极限要求对于区间数的绝对值与区间值函数的极限进行研究，涉及理论推导和例证分析。
区间数是指形如[a,b]的数集合，其中a和b为实数，且a<=b。
区间的绝对值即为区间内所有数的绝对值的集合，用，a,b，表示。
区间值函数是指将一个区间映射为一个实数的函数。
首先，我们来讨论区间数的绝对值。
对于一个区间[a, b]，其中a和b可能是正数、负数或零。
当a>=0时，区间的绝对值为[a, b]；当a<0且b>=0时，区间的绝对值为[0, max(，a，, b)]；当a<0且b<0时，区间的绝对值为[，b，, ，a，]。
可以看出，区间的绝对值也是一个区间。
接下来，我们来研究区间值函数的极限。
区间值函数是一个从区间集合到实数集合的映射。
我们可以用极限来描述区间值函数的收敛性和稳定性。
设f为一个区间值函数，将区间[a,b]映射为实数f([a,b])。
对于一个给定的实数L，我们想要判断f([a,b])是否趋近于L。
根据极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在一个数δ，使得当区间[a,b]的长度小于δ时，有，f([a,b])-L，<ε。
我们可以通过极限的性质来分析区间值函数的收敛性和稳定性。
如果对于任意的ε>0，都存在一个δ>0，使得当区间[a,b]的长度小于δ时，有，f([a,b])-L，<ε成立，那么我们说f([a,b])收敛于L。
根据区间的性质，我们可以得出一些关于区间值函数的极限的结论：1.如果一个区间[a,b]的长度趋近于0，那么，f([a,b])-L，也趋近于0，即f([a,b])收敛于L。
2.如果两个区间[a,b]和[c,d]满足a<=c<=b<=d，且f([a,b])和f([c,d])都收敛于L，那么f([a,b])和f([c,d])的极限值相等。
3.如果一个区间[a,b]的绝对值为[，a，,，b，]，那么f(，a，,，b，)的极限值与f([a,b])的极限值相等。
(甘志国)方差中亟待澄清的两个错误观点
方差中亟待澄清的两个错误观点甘志国(该文已发表 中学数学杂志，2014(1)：56-58)1 极差、标准差与方差的定义及关于方差的若干结论极差的定义 即一组数据中最大值与最小值的差.标准差与方差的定义 设一组数据n x x x ,,,21 的平均数是x 的差的平方分别是22221)(,,)(,)(x x x x x x n --- ，那么这组数据的标准差与方差分别是： ])()()[(122221x x x x x x n s n -++-+-=① ])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-= ② 方差与标准差均说明了这组数据的波动情况.这两个定义分别见全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修I)》(2006年人民教育出版社，第2版)(下简称《教科书选修I 》)第10页的脚注，或普通高中课程标准实验教科书《数学3·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版)(下简称《教科书必修3》)第66页；《教科书选修I 》第17页，或全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II)》(2006年人民教育出版社，第2版)第15页，或《教科书必修3》第75页及第77页. 定理1 设两组数据n n y y y x x x ,,,;,,,2121 的平均数及方差分别是y x ,及22,t s ，又设另两组数据n m x x x a a a ,,,,,,,2121 与n m y y y a a a ,,,,,,,2121 的平均数及方差分别是Y X ,及22,T S ，则 (1)Y X y x =⇔=；(2)当y x =或Y X =时，2222),(),(T S t s <=>⇔<=>.证明 只证(2).由(1)得y x =且Y X =，所以x n y y y x x x n n =+++=+++ 2121.由此，得⇔-++-<=>-++-⇔<=>22122122)())(,()()(),(x y x y x x x x t s n n ⇔+++-++<=>+++-++2122121221)(2))(,()(2)(x n y y x y y x n x x x x x n n n n 221221),(n n y y x x ++<=>++⇔-++-<=>-++-⇔<=>22122122)())(,()()(),(X y X y X x X x T S n n⇔+++-++<=>+++-++2122121221)(2))(,()(2)(X n y y X y y X n x x X x x n n n n 221221),(n n y y x x ++<=>++所以欲证结论成立.定理2 设b a <，两组数据n n x x x b x x x a ,,,,;,,,,2121 的方差分别为22,t s ，则)(2),(),(2122b a n x x x t s n +<=>+++⇔<=> . 证明 可设n n y n x y n x y n x d n b c n a )1(,,)1(,)1(,)1(,)1(2211+=+=+=+=+= ，得数据n x x x a ,,,,21 即n n y n x y n x y n x c n a )1(,,)1(,)1(,)1(2211+=+=+=+= 的平均数为d c y y y c n <++++,21 ，所以22121212212])1()([])1()([)]([)1(n n n n y n y y y c y n y y y c y y y nc s n +-+++++++-++++++++-=++++++-+=)()1(2)1(212n y y y c n c n n2212121221])1()[(])1()[()][(n n n n y n y y y y n y y y y y y +-++++++-+++++++同理，有+++++-+=+)()1(2)1()1(2122n y y y d n d n n t n2212121221])1()[(])1()[()][(n n n n y n y y y y n y y y y y y +-++++++-+++++++ 所以)()1(2)1(),()()1(2)1(),(21221222n n y y y d n d n n y y y c n c n n t s ++++-+<=>++++-+⇔<=>)(2),()(2),(2121b a n x x x d c n y y y n n +<=>+++⇔+<=>+++⇔ 推论1 设两组数据n n x x x b x x x a ,,,,;,,,,2121 的方差分别为22,t s .(1)若)(221b a n x x x n +=+++ ，则22t s =； (2)若n x x x b a ≤≤≤≤< 21或n x x x b a ≥≥≥≥> 21，则22t s >.推论2 (1)若d c b a ≤≤≤，则数据d a ,的方差不小于数据c b ,的方差(当且仅当“b a =且d c =”时两者相等)；(2)若f e d c b a ≤≤≤≤≤，则数据f e a ,,的方差不小于数据d c b ,,的方差(当且仅当“b a =且f e d c ===”时两者相等).证明 可用推论1(2)来证.下面只证(1).当d b a ≤<时，数据d a ,的方差>数据d b ,的方差.所以当d b a ≤≤时，数据d a ,的方差≥数据d b ,的方差(当且仅当b a =时取等号). 同理，当d c b ≤≤时，数据d b ,的方差≥数据c b ,的方差(当且仅当d c =时取等号). 所以欲证成立.定理3 设n k a ,,是已知的实数，∈≥>n n na k ,2,N ，且kx x x n i a x a x n i =+++=≥> 211),,,3,2(,，则当且仅当),,3,2(,)1(1n i a x a n k x i ==--=时，数据n x x x ,,,21 的方差取最大值.证明 设数据n x x x ,,,21 的方差为2n s .先证当2=n 时成立.由k x x a x a x =+≥>2121,,，得.又 222221222222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k x k x k x s n 从而可得当且仅当a x a k x =-=21,时22s 取最大值.下证当3≥n 时成立.有 222212⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k x n k x n k x ns n n 2222432)1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++=n k x n k x n k n x x x x n n 222324324322)1()(22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++-++++=n k n k x n k x n k n x x x x k x x x x n n n可不妨设n x x x ≤≤≤ 32，得)(432n x x x a k x a +++--<≤ ，又2)()(2)(434343n n n x x x k x x x a k a x x x k +++--+++--=-+++- 所以222423212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤n k a n k x n k x n k x n k x ns n n (当且仅当a x =2时取等号) ③即证得了结论：设n k a ,,是已知的实数，∈≥>n n na k ,2,N ，且k x x x x x x a a x n n =+++≤≤≤≤> 21321,,，若数据n x x x ,,,21 的方差取最大值，则a x =2.因为数据n x x x ,,,21 与数据h x h x h x n ---,,,21 的方差相等，所以求③式右边的最大值，就是等价于求数据n x x x x ,,,,431 的方差在条件a k x x x x x x x a a x n n -=++++≤≤≤≤> 431431,,下的最大值.同理，得a x =3.……；同理，得a x x x n ====-132 .所以：212212)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤n k a n n k x n k x ns n n (当且仅当a x x x n ====-132 时取等号) ④ 由a n k x x a x a x n n )2(,,11--=+≥>及证得的2=n 时的结论，得当且仅当a n k x a x n )1(,1--==时，④式右边取最大值.得欲证结论成立.2 方差中亟待澄清的两个错误观点2.1 错误观点1——极差越大⇔方差越大常有比较两组(或多组)数据的方差的大小的题目，比如下面的20道题：(1)《教科书选修I 》中共有6道：第17-18页的例4，第18页的两道练习题，第19页的最后两道习题，第27页的最后一道复习参考题.(2)下简称《教科书必修3》中共有5道：第74页的甲乙两组数据，第76页例1的四组数据，第77页的例2(即《教科书选修I 》)第27页的最后一道复习参考题)，第79页的练习第1题，第82页的习题第6题.(3)2013-2002年高考卷中共有10道：2013年北京卷文科理科第16(3)题(即下面的高考题1)，2013年江苏卷第6题；2012年北京卷文科理科第17(3)题(即下面的高考题2)，2012年安徽卷理科第5题；2011年辽宁卷文科理科第19(2)题；2010年陕西卷文科第4题；2009年江苏卷第6题；2008年宁夏、海南卷文科理科第16题，2007年宁夏、海南卷理科第11题即文科第12题(即下面的高考题3)，2002年天津卷文科第15题.高考题1 (2013·北京·文理·16)图1是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.图1(1),(2)略；(3)由图1判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.高考题2 (2012·北京·文理·17)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾400 100 100 可回收物30 240 30 其他垃圾 20 20 60(1),(2)略；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,，其中600,0=++>c b a a ，当数据c b a ,,的方差2s 最大时，写出c b a ,,的值(结论不要求证明)，并求此时2s 的值.(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数.)解 (3)当0,600===c b a 时，2s 取最大值，……且最大值是80000.高考题3 (2007·宁夏、海南·文12理11)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：321,,s s s 分别表示甲、乙、丙三名运动员在这次测试成绩的标准差，则有( )A.213s s s >>B.312s s s >>C.321s s s >>D.132s s s >>解 B.笔者按方差的定义计算过上面的20道题，发现它们的答案均适合结论“极差越大⇔方差越大”.下面对高考题3适合这一结论说明如下(用定理1)：把甲、乙的成绩中都去掉5个7、4个8、4个9、5个10后，甲、乙的成绩分别为8,9与7,10，易证它们的平均数相等且前者的方差小于后者的方差，所以由定理1知12s s >.因为数据7,10的极差大于8,9的极差，所以得到的结论适合“极差越大⇔方差越大”. 把甲、丙的成绩中都去掉4个7、5个8、5个9、4个10后，甲、丙的成绩分别为7,10与8,9，易证它们的平均数相等且前者的方差大于后者的方差，所以由定理1知31s s >.因为数据7,10的极差大于8,9的极差，所以得到的结论也适合“极差越大⇔方差越大”.但笔者要指出：以上20道题均适合的结论“极差越大⇔方差越大”并不是普遍成立的.该结论在数据的个数是1,2时恒成立；但在个数大于2时不能恒成立，因为容易举出反例：数据0,6,12的方差比数据0,10,11的方差小，两组数据20,3,12,15与0,3,12,15的方差相等(由推论1(1)可得)，数据0,1的方差比数据0,0的方差大，但均有前者的极差比后者的极差大.可能有的读者认为：当两组数据的平均数相等时，结论“极差越大⇔方差越大”是否普遍成立呢？答案也是否定的：若这两组数据的平均数相差正数ε，则可把平均数小的那组数据的各数均加上ε，得到的新数据的极差及方差均不改变.一组数据的方差反映的是这组数据的波动情况，但波动情况不仅仅是由极差决定的，由方差公式知，它与每一个数据都有关.而解答高考题1、2的第(3)问均只须猜测出(不要求证明)正确结论，这是否更加误导了考生在考试时尽情的使用错误的结论“极差越大⇔方差越大”呢？仅仅用“看”(不包括由方差的定义进行精确计算)得出一组数据的波动情况时，要格外慎重：若两者的方差没有明显差异又没有相应的定理作保证，则不能轻易下结论.下面给出高考题1的完整解答 设从第i 日开始连续三天的空气质量指数方差是)12,,2,1(2 =i s i ，由推论1可得25242423232221,,s s s s s s s <><<，212211211210292928272625,,s s s s s s s s s s ><<>>=>，所以所求最大值为{}2112523,,max s s s .2523,s s 分别是两组数据220,160,40;220,143,57的方差.注意到这两组数据的平均数均是140，得另两组数据160,40;143,57的平均数也相等，由推论2知，前者的方差小于后者的方差，再由定理1(2)得2523s s <.21125,s s 分别是两组数据79,86,158;40,160,220的方差，由220160158867940≤≤≤≤≤及推论2(2)得21125s s >.所以所求最大值为25s ，即从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.笔者认为解答高考题1第(3)问须作必要的计算(包括估算)和推理，绝不能仅由错误的结论“极差越大⇔方差越大”得出正确的结果了事；弄清高考题2第(3)问的道理也须由方差的定义进行严格证明(即定理3及其证明).2 错误观点2——方差越大⇔到平均数的“平均距离”越大《教科书必修3》第75页写道：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：假设样本数据是n x x x ,,,21 ，x 表示这组数据的平均数.i x 到x 的距离是),,2,1(n i x x i =-于是，样本数据是n x x x ,,,21 到x 的“平均距离”是 n xx x x x x S -++-+-=121 ⑤由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用公式①来计算标准差.考虑一个容量为2的样本：21x x <，其样本的标准差为212x x -，记212x x a -=.样本中的个体与平均数之间的距离关系可用图2表示：图2显然，标准差越大，则a 越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.《教科书必修3》第77页又写道：从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s ——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具，即公式②.显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.由以上论述可知，一组数据n x x x ,,,21 到其平均数的“平均距离”S (见公式⑤)与方差2s (见公式②)都可以刻画这批数据的离散程度(分散程度、整齐程度、稳定程度、波动情况).但能否说“2s 越大S ⇔越大”呢？可证该结论在1=n 时成立：02==S s ；在2=n 时也成立：22S s =且0≥S ；但在3≥n 时不能恒成立，可举出反例如下：(1)数据0,4,11与数据1,3,11的平均数均是5，且21S S =即()()511535131511545031-+-+-=-+-+-，但2221s s >即])511()53()51[(31])511()54()50[(31222222-+-+->-+-+-； (2)数据0,39,108与数据9,29,109的平均数均是49，且21S S <即()()4910949294993149108493949031-+-+-<-+-+-，但2221s s >即])49109()4929()499[(31])49108()4939()490[(31222222-+-+->-+-+-；(3)数据0,2,4与数据1,2,3的平均数均是2，且21S S >即()()2322213124222031-+-+->-+-+-，但2221s s >即])23()22()21[(31])24()22()20[(31222222-+-+->-+-+-. 这一反例更加说明了仅仅用“看”(不包括由方差的定义进行精确计算)得出n 个数据的波动情况时，要格外慎重：能“看”出这组数据到其平均数的“平均距离”S 就不错了，何况“2s 越大S ⇔越大”在3≥n 时并不是恒成立.但对于“平均距离”S ，也有类似于定理3的结论(且证明过程也类似)：定理4 设n k a ,,是已知的实数，∈≥>n n na k ,2,N ，且kx x x n i a x a x n i =+++=≥> 211),,,3,2(,，则当且仅当),,3,2(,)1(1n i a x a n k x i ==--=时，数据n x x x ,,,21 到其平均数的“平均距离”n S 取最大值.证明 先证当2=n 时成立.由k x x a x a x =+≥>2121,,，得.又222222212k x k x k x S -=-+-= 从而可得当且仅当a x a k x =-=21,时2S 取最大值.下证当3≥n 时成立.下面的证明要用到结论： 对于函数∈-+-=x x x x f (22)(βαR )，有：其图象关于直线βα+=x 对称；函数)(x f 在闭区间],[v u 上的最大值是{})(),(max v f u f .nk x n k x n k x nS n n -++-+-= 21 n k x n k x n k x n k n x x x x n n -++-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++= 32432)1( 可不妨设n x x x ≤≤≤ 32，得)(432n x x x a k x a +++--<≤ ，由所给的结论可证得 nk a n k x n k x n k x n k x nS n n -+-++-+-+-≤ 431(当且仅当a x =2时取等号) ⑥ 即证得了结论：设n k a ,,是已知的实数，∈≥>n n na k ,2,N ，且k x x x x x x a a x n n =+++≤≤≤≤> 21321,,，若数据n x x x ,,,21 到其平均数的“平均距离”n S 取最大值，则a x =2.因为数据n x x x ,,,21 到其平均数的“平均距离”与数据h x h x h x n ---,,,21 到其平均数的“平均距离”相等，所以求⑥式右边的最大值，就是等价于求数据n x x x x ,,,,431 到其平均数的“平均距离”在条件a k x x x x x x x a a x n n -=++++≤≤≤≤> 431431,,下的最大值.同理，得a x =3.……；同理，得a x x x n ====-132 .所以： nk a n n k x n k x nS n n --+-+-≤)2(1(当且仅当a x x x n ====-132 时取等号) ⑦ 由a n k x x a x a x n n )2(,,11--=+≥>及证得的2=n 时的结论，得当且仅当a n k x a x n )1(,1--==时，⑦式右边取最大值.得欲证结论成立.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应注意“区间内”和“区间上”的用法
甘志国(已发表于 中学数学杂志，2015(3)：封三)
高考题1 (2012·安徽·理·19)设函数)0(e1e)(abaaxfxx.
(1)求)(xf在),0[内的最小值；(2)略.
答案 (1)当10a时，最小值为2b(且最小值点为axln)；当1a时，最小
值为baa1(且最小值点为0x)；(2)略.
笔者认为，这里的“),0[内”应改为“),0[上”.
中国社会科学院语言研究所词典编辑室编《现代汉语词典》(商务印书馆，2012年第6
版)第938页给出了“区间内”中的“内”的解释：方位词，里边(跟“外”相对)；第1137
页给出了“区间上”中的“上”的解释：方位词，用在名词后，表示在物体的表面，比如脸
上、墙上、桌子上.
由此解释可知，“),0[内”就是“),0(上”，这样第(1)问的答案就应当是：当
10a
时，最小值为2b(且最小值点为axln)；当1a时，无最小值.
是用“区间内”还是用“区间上”，我们先来看看普通高中课程标准实验教科书(人民教
育出版社，2007年第2版)《数学1·必修·A版》第28-29页及《数学·选修2-2·A版》
第23页、第26页第4题、第30页的相应叙述：
(1)一般地，设函数)(xf的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有
)()(21xfxf
，那么就说函数)(xf在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有
)()(21xfxf
，那么就说函数)(xf在区间D上是减函数.
如果函数)(xfy在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数)(xfy在这一区间
具有(严格的)单调性，区间D叫做)(xfy的单调区间.
(2)①一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间),(ba内，如果0)(xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递增；如
果0)(xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递减.
②证明函数762)(23xxxf在(0,2)内是减函数.
③一般地，如果在区间],[ba上函数)(xfy的图象是一条连续不断的曲线，那么它必
有最大值和最小值.
笔者还发现，《数学1·必修·A版》使用的都是“区间上”，这是准确的(因为它符合
“上”的含义)；《数学·选修2-2·A版》对于开区间使用的都是“区间内”，对于闭区间使
用的都是“区间上”，这也是准确的(因为它们分别符合“内”、“上”的含义).
所以，笔者认为：对于所有的区间(包括无穷区间)，都可以说“区间上”；只有开区间(包
括区间端点都取不到的无穷区间)才可以说“区间内”.对于不是开区间(包括区间端点都取不
到的无穷区间)的区间，若说该区间内的点，就是指不包括该区间端点的点，这种说话我们
应尽量回避(因为很啰嗦，且绝大多数读者都不熟悉).
所以，以上(1)中“定义域I内”的说法也不对，应改为“定义域I上”.
我们再来看三道高考题.
高考题2 (2013·全国课标I·文·9)函数xxxfsin)cos1()(在],[的图象大
致为( )
A. B. C. D.
答案 C.
注 笔者认为应把题目中的“在],[”改成“在],[上”，否则语句不通顺，是
病句.
高考题3 (2013·全国大纲·理·9)若函数xaxxxf1)(2在,21是增函数，
则a的取值范围是( )
A.]0,1[ B.),1[ C.[0,3] D.),3[
答案 D.
注 笔者认为应把题目中的“在,21”改成“在,21上”，否则语句不通顺，
是病句.
高考题4 (2013·江苏·9)抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域
为D(包含三角形内部和边界).若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围
是 .
答案 21,2.
注 笔者认为应把题目中的“区域D内”改成“区域D上”，否则正确答案是21,2.