圆锥曲线上四点共圆解决策略

2021-2022年高考数学二轮复习攻克圆锥曲线解答题的策略新人教版

2021-2022年高考数学二轮复习攻克圆锥曲线解答题的策略新人教版摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。关键词：知识储备方法储备思维训练强化训练第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 ②点到直线的距离 ③夹角公式：（3）弦长公式直线上两点间的距离： =或（4）两条直线的位置关系 ①=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程： 22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程： (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：距离式方程：2a =

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M 满足则动点M 的轨迹是（） A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122 tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22 p p x x y + +抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得 ()()03 4 2 22 1 2 2 2 1 =-+-y y x x ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-= 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k 存在。例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解：（1）设B （,）,C(,),BC 中点为(),F(2,0)

次曲线上的四点共圆问题的完整结论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表数学通讯，2013(7下)：40-41) 百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2] 2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k . 文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”. 文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线2 2y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4. 定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆. 证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含2 2,y x 项

高考圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。（2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点 P 的轨迹方程。（2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。，为焦点，，。（1 （2）求的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

第12讲圆与圆锥曲线综合

第12讲圆与圆锥曲线综合【教学目标】知识与技能（1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题；（2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。过程与方法（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题；（2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。情感态度与价值观（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。教学重点：圆和圆锥曲线的综合问题教学难点：圆和圆锥曲线的综合问题考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题] 例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18 2 2 ≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（） A ．1 B ． 21 C ．3 3 D ．3 例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________．例3 已知椭圆E ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2，且621-=?F F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．

高中理科数学解题方法篇(圆锥曲线)

攻克圆锥曲线解答题的策略摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。关键词：知识储备方法储备思维训练强化训练第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- =或12AB y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种（三种形式）标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：22 1(0)x y m n m n + =?< 距离式方程：2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22 p p x x y + +抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设 () 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗经典套路是什么如果有两个参数怎么办设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 0?≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结91876

圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ；在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02 222=-b y a x ；（2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数，λ≠0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）在ABC ?中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出222==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（5）给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6）给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角, （8 ）给出=??+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

高申数学圆锥曲线教学现状及优化策略

高申数学圆锥曲线教学现状及优化策略圆锥曲线的教学内容主要分为椭圆、双曲线、抛物线３个部分，在高考数学中占据着较大的分值，是高中数学教学的重点．因此，针对圆锥曲线教学进行分析与探讨就具有十分重要的现实意义．１教学现状１．１缺乏思考，创新性不足很多学生在解题过程中，过于看重对思路的运用，导致解题往往局限于一种形式，不知不觉中使思维固化，创新性不足．同时，很多学生奉行拿来主义，缺乏思考，只会做同一类型的题目，题目发生变化后解答就出现困难．造成这种现象的原因是对圆锥曲线没有融会贯通，过于依赖教师的帮助，解题过程中一旦遇到困难就会产生放弃的心理．圆锥曲线的解答过程需要学生注重逻辑能力与应用能力的综合运用，因此，就需要从创新性与独立思考能力上进行提高．１．２教材运用不足对于教材的内容运用不足是教师与学生在教学与学习过程中共同面临的问题．传统的高中教学过于看重考试分数，导致在实际教学过程中，尤其是解答习题时，采用高考真题对学生进行训练，忽视了教材例题的运用．同时，教材中众多教学内容运用度不高，尤其是其中带有趣味性的练习题，教师往往会跳过去让学生课外独自解决．教学活动中，对于其中能够拓宽学生思维的思考题重视程度明显不够，教师在教学过程中，偏重于正文的教学，对于思考题往往一语带过，并没有拿出足够的时间进行着重分析，从而不利于教学目标的实现．２教学策略２．１提升学生学习兴趣，注重对数学思想艺术性体验数学同语文、英语等学科一样，具有独特的人文性．在教学过程中，教师如何通过丰富多彩的教学形式增强教学内容的吸引力，成为十分重要的问题．高中生对事物具有很强的好奇心，教师可以充分利用这一点，在圆锥曲线的教学初期，加强学生对其兴趣的培养，为接下来的学习打下基础．例如通过情景设置，利用多媒体进行演示：１）准备１根细线和２个圆钉，画出一个椭圆；２）请学生上台观察椭圆特征，进而引导其进行推导；３）依据推导，安排小组讨论尝试定义

高考圆锥曲线压轴题型汇总

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高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。题型4有关定点，定值问题。将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。（湖北卷）设A 、B 是椭圆 λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为 λ=++-=2 23,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根， 0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ② ) 3,1(.3) 3(2221N k k k x x 由且+-= +是线段AB 的中点，得 .3)3(,1222 1+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A .0))(())((33, 3212121212 2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意， . ) (3,2 12121y y x x k x x AB ++- =∴≠ . 04),1(3). ,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλΘ

圆锥曲线教学设计

圆锥曲线一、教学内容分析圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。二、学生学习情况分析我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。三、设计思想由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。 3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.

五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题六、教学过程设计【设计思路】 (一)开门见山，提出问题一上课，我就直截了当地给出—— 例题1:(1) 已知A(-2，0)，B(2，0)动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)线段(D)不存在 (2)已知动点M(x，y)满足(x1)2(y2)2|3x4y|，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)两条相交直线【设计意图】

专题直线与圆、圆锥曲线知识点

专题直线与圆、圆锥曲线一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

高中数学解题策略专题精编--圆锥曲线

高中数学解题策略专题--圆锥曲线直线与圆锥曲线的问题是解析几何解答题的主要题型，是历年高考的重点和热点。欲更快地解题，需要解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；（2）对于交点坐标的适当处理。一、条件或目标的认知与转化解题过程是一系列转化过程，解题就是要将所解题转化为已经解过的题。转化的基础是——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可化生为熟或化繁为简。 1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。（1）向弦中点转化例1.已知双曲线 =1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为（1）求双曲线方程；（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。略解：（1）所求双曲线方程为（2）由消去y得：由题意知，当时，① 设中点则C、D均在以A为圆为的同一圆上又 ∴② 于是由②得③ 由②代入①得，解得m<0或m>4 ④ 于是综合③、④得所求m的范围为（2）向弦长转化

例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使成立的直线l 的方程。分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦AD、 BC的中点分别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。略解：椭圆C1的中心点P分所成的比λ=2。（1）点P的轨迹C2的方程为（2）设直线l的方程为① ①代入椭圆C1的方程得，故有故弦AD中点O1坐标为 ②①代入椭圆C2的方程得，又有故弦BC中点O2坐标为， ③∴由②、③得④ 注意到⑤ 于是将②、③、④代入⑤并化简得：由此解得。因此，所求直线l的方程为 2．化繁为简解析几何是用代数方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题有这样的感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界(下篇)

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界（下篇）老师们：四点共圆是一个经典问题，很多优秀老师都以此做为切入点发表研究文章。本文为您收集四点共圆问题的研究现状，尝试剖析作者的研究思路。四点共圆问题有两个研究方向：求证四个点共圆和推导四点共圆的充要条件。以下从三个角度来梳理研究思路。第一境界：掌握已有的解题技巧；第二境界：剖析背后的思维方法；第三境界：分享自己的研究成果。纯几何角度在小编多方查证下：四点共圆问题在80，90年代还曾入选过《初级中学课本_几何》中。（那个时候小编还没出生！所以对于更早的课本有没有四点共圆问题小编就不知道了，在网上只找到了89年版的）以下是该书中涉及证明四个点共圆的定理：图1：对角互补图2：公共弦图3：外角等于内对角图4：相交弦定理?图5：切割线定理可以看出这些证明四点共圆的方法都是纯几何证法。在初中范围内，证明四点共圆的方法一般有7种[1]：1，圆的定义法：根据圆的定义“到定点的距离等于定长的集合为圆”。首先寻找圆心，之后去求出各点到圆心的长度。在高中遇到四点共圆问题时，很多学生和老师的思路也是如此。2，对角互补法：利用“如果一个四边形的对角互补，那么它内接于圆。”

进行证明。找出四边形的一组对角，之后证明它们互补，进而得出四个点共圆。3，公共边法：利用“有相同边的两个三角形，且公共边的对应的角相等且在边的同一侧，那么这两个三角形内接于同一个圆”，进行证明。4，外角等于它的内对角法：找到一个角的外角和其内对角相等即可得证。其原理和对角互补法相似，不过多阐述。5，圆幂定理：圆幂定理即为相交弦定理，切割线定理和割线定理的统一形式。它的具体内容为：如果交点为P的两条相交直线与圆O 相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。一般运用其逆定理证明四点共圆，很多高中老师都是运用圆幂定理去推导四点共圆的充要条件。6，证明四点组成的图形是矩形，等腰梯形等必有外接圆的图形[2]。7，托勒密定理：托勒密定理为“圆的凸内接四边形的对边乘积和等于对角线乘积”。运用托勒密定理的逆定理进行证明。以上即为初中（30年前）常见的证明四点共圆的方式。虽然说现在这些定理推论都不教了，但是遇到四点共圆问题还是要用这些东西。名义上是减负，但是不会这些去证明四点共圆问题反而让学生感到更加困难。那我们为什么要介绍四点共圆问题的纯几何方法呢？经过小编大量的阅读四点共圆方面的文章，发现很多老师的工作都是基于这些纯几何的定理推论。解析几何角度在高中知识点的范畴内，四点共圆问题很少有纯几何的题目（除了数学竞赛外[3]）。作为圆锥曲线的一部分，圆的问题

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ）（2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞）（2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22）（2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。（3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切；（3）相离：0?中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论（1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ；（2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题：例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)

圆锥曲线最值问题求解的六种策略

圆锥曲线最值问题求解的六种策略上海中学数学?2011年第5期35 圆锥曲线最值问题求解的六种策略 317523浙江省温岭市泽国中学王强圆锥曲线中最值问题是高中数学的重点内容,是高考中的一类常见问题,由于它能很好地考查学生的逻辑思维能力,体现了圆锥曲线与三角,函数,不等式,方程,平面向量等代数知识之间的横向联系,使问题具有高度的综合性和灵活性.圆锥曲线中的最值问题, 通常有两类:一类是有关长度,面积,角度等的最值问题;另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题.这些问题往往通过回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式等知识以及观图,设参,转化,替换等途径来解决. 一 ,利用圆锥曲线定义圆锥曲线的定义统一刻画了动点与两定点距离和或差的不变性,或者动点到定点,定直线

距离比的不变性.利用这种不变关系将动态与静态结合,解题策略是转化思想,通过”化曲为AF=,又AG=,易得EC=4,FG=, 046√6 1 由余弦定理可得cos//AFG一一÷,故二面角’A—DE～C的大小为120.. 点评:思路3抓住DE_l-面BCE这一有利条件,依据”一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面”,由垂面法作出二面角的平面角,最后用余弦定理解出AFG,计算更直接. 思路4:(体积转化法)如图4,由,,一一一一,求出点A到平面 DEC的距离d一-6-,再厶求点A到DE的距离 /-~A h一,设二面角A—o DE—C的大小为,易知

图4 C >9’.sino=y-～~.一12... 点评:思路4虽不必添加辅助线,但需建立直”处理就可很快地解决值问题. 例1已知抛物线Y.一4x,定点A(3,1),F 是抛物线的焦点,在抛物线上求一点P,使JAPJ+JPFJ取最小值,并求的最小值. 分析:由点A引准线的垂线,垂足Q,则 1APl+lPF1一IAPl+lPQl,即为最小值. 解:如图1,..Y一4x, .. 声一2,焦点F(1,0),由点A引准线一1的垂线,垂足Q,则lAPI+lPFI — IAPl+lPQl,即为最小值.(1APl+IPFI)… 一4. , p,/