第2部分 专题3 第1讲空间几何体、三视图、表面积与体积-2021届高三高考数学二轮复习课件
考查角度
分值
与棱锥有关的计算；求球的表面积 10
在求点到面的距离时涉及球的表面积；
求四棱锥的体积
11
由三视图求几何体的表面积
5
年份 2019
2018
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅲ卷
题号 16 16 16 9 16
3、12
考查角度 点到平面的距离 多面体的棱长与面的个数
多面体的体积 三视图，几何体表面的最短路径问题
● (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为 原来的一半．
●
(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于
x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
●
1 ． ( 2 0 2 0 ·浙 江 模 拟 ) 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 表 面 两 两 垂 直 的 平 面 共 有
考向2 空间几何体的体积
典例3 (1)(2020·葫芦岛模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱
长为2，在A，B，C，D，C1，D1这六个顶点中，选择两个点与A1，B1构
成正三棱锥P，在剩下的四个顶点中选择两个点与A1，B1构成正三棱锥
Q，M表示P与Q的公共部分，则M的体积为
( A)
A．13
B．
C．36＋18 3
D．36＋24 3
【解析】 (1)设正四棱锥P－ABCD的顶点P在底面的投影为O， 则V正四棱锥＝13S底·PO＝31×( 2)2×PO＝32PO， 由题意可得23PO＝43，所以PO＝2， 由题意可得所求的圆柱的底面直径2R＝BD＝ 2× 2， 所以R＝1，高h＝P2O＝1， 所以S圆柱表面积＝2S底＋S侧＝2πR2＋2πR·h＝2π×12＋2π×1×1＝4π， 故选C．
所以圆锥的侧面积为：πr· r2＋h2＝πr·(4－r)＝2π(4r－r2)， 当且仅当r＝2时，侧面积取得最大值，但是r＜2， 所以该几何体侧面积没有最大值． 故选D．
(2)设圆锥底面半径为r，又母线与底面所成角为π3，则母线l＝2r， 求得圆锥的高为h＝ 3r，则 33π＝13πr2· 3r，解得r＝1． 故圆锥的表面积S＝πr2＋πlr＝π＋2π＝3π.
2．(2020·房山区二模)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的
最长侧棱的长为
(C )
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
【解析】 根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个 三棱锥体和一个四棱锥体的组合体．如图所示：根据三视图中的长度： AB＝AE＝2 2，AB′＝2 2，AD＝2 3，所以最长的侧棱长为2 3.故选 C．
第二部分
专题篇•素养提升()
专题三 立体几何与空间向量(理科) 专题三 立体几何(文科)
第1讲 空间几何体、三视图、表面积与体积(文理)
1 解题策略 • 明方向 2 考点分类 • 析重点 3 易错清零 • 免失误 4 真题回放 • 悟高考 5 预测演练 • 巧押题
● 1．简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有 时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问． ● 2．空间几何体的侧面展开图、截面及简单的组合体问题． ● 3．在一些基础题目中，经常与传统文化结合考查． ● 4．经常在客观题的后几题中考查与球有关的切、接问题．
● (4)注意画直观图时长度的变化．
● (5)求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简 单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个 简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．
●
典例1
的俯视图不可能是
( 1 ) ( 2 0 2 0 ·成 都 模 拟 ) 如 图 是 某 几 何 体 的 正 视 图 和 侧 视 图 ， 则 该 几 何 体
●
3．空间几何体的直观图
● 画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：
● (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应 的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．
●
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴．
的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为
(D )
A．2π
B．4π
C．16π
D．不存在
(2)(2020·江苏省宿迁市重点中学一模)已知一圆锥的体积为
3 3
π，母
线与底面所成角为π3，则该圆锥的表面积为___3_π_.
【解析】 (1)由题意可知几何体是圆锥，设底面半径为r，r∈ (0,2)，高为h，则2r＋2 r2＋h2＝8，即r＋ r2＋h2＝4，
● (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或 是求出一些体积比等．
2 2
Hale Waihona Puke C．2＋ 2D．1＋ 2
【解析】 (1)根据几何体的三视图转换为直 观图为：该几何体为柱体．当选A时，正视图的 中间的竖线为虚线．选项BCD都有可能．
(2)如图所示，在棱长为2的正方体中，点C为 所在棱的中点，则题中的三视图所对应的几何体 为四棱锥P－ABCD，正方体的棱长为2，易知其 棱长分别为：PA＝2，PB＝2 2 ，PD＝2 2 ，PC ＝ 22＋22＋12＝3，则最长的棱长为3．
取A1B1的中点O，连接EO， 可得EO⊥平面A1B1F， 又S△A1B1F＝14×2×2＝1． 则M的体积V＝31S△A1B1F·EO＝31×1×1＝31. 故选A．
(2)由球的半径为R，得半球表面积为2πR2， 又酒杯内壁表面积为134πR2，∴圆柱的侧面积为83πR2． 设圆柱的高为h，则2πR·h＝83πR2，即h＝43R. ∴V1＝πR2·43R＝43πR3，V2＝23πR3． ∴VV12＝4323ππRR33＝2．故选A．
()
A
(2)(2020·唐山二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长
棱的长度为
( B)
A．2 2
B．3
C． 10
D．2 3
(3)(2020·金山区二模)如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图
是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是
( C)
A．2＋
2 2
B．1＋
考点二 空间几何体的表面积与体积
1．柱体、锥体、台体的侧面积公式
(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；
(2)S锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
(3)S台侧＝
1 2
(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜
高)．
2．柱体、锥体、台体的体积公式
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
()
● A．3对
C
● B．4对
● C．5对
● D．6对
●
【解析】 根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：平面
与平面的位置关系：平面ABCD⊥平面PBC、平面ABCD⊥平面PCD、平面PBC⊥平面PCD、平
面 PA B ⊥ 平 面 P B C 、 平 面 PA D ⊥ 平 面 P C D . 故 选 C ．
(3)由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组
合而成，如图，其中半圆锥的底面半径为1，三棱柱的底面是一个边长
为2的正三角形，它们的高分别为：
3
与2，则该几何体的体积V＝
1 3
×
1 2
×π×12× 3＋ 43×22×2＝ 63π＋2 3.故选A．
● 求空间几何体体积的常用方法
● (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；
(3)V台＝
1 3
(S＋
SS′ ＋S′)h(S，S′分别为上、下底面面积，h为
高)(不要求记忆)．
3．球的表面积和体积公式 (1)S球表＝4πR2(R为球的半径)； (2)V球＝43πR3(R为球的半径)．
考向1 空间几何体的表面积
典例2 (1)(2020·河西区二模)已知正四棱锥P－ABCD的底面
● (理科)
年份 卷别
Ⅰ卷 2020
Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 3、10
7 8
考查角度 与棱锥有关的计算；体积、点到直线 的距离、线面角、直线到平面的距离
三视图 由三视图求几何体的表面积
分值 10 5 5
年份 2019 2018
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
12
垂直、外接球、体积
5
空间几何体的结构特征、直观图、数学
(3)水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下 底为1＋ 2，S＝12(1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.
● 1．三视图问题的常见类型及解题策略：
● (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部 分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
● (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直 观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代 入，再看看给出的部分三视图是否符合．
圆锥的体积计算 数学文化与三视图，与外接球有关的 空间几何体体积的最值问题
分值 5 5 5 5 5
10
考点一 空间几何体的三视图
● (1)三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视 图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”． ● (2)空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键． ● (3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线 的画法．
2021版高考数学(文)(全国通用版)课件：空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积
5．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面 上，则球O的表面积为__1_4_π____.
解析 依题意得，长方体的体对角线长为 32＋22＋12＝ 14，记长方体的外接球
的半径为 R，则有 2R＝ 14，R＝ 214，因此球 O 的表面积等于 4πR2＝14π.
(1) 原 图 形 中 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 两 两 垂 直 ， 直 观 图 中 ， x′ 轴 、 y′ 轴 的 夹 角 为 ___4_5_°__或__1_3_5_°_____，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______垂__直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别___平__行__于__坐__标__轴_____； 平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度__不__变____； 平行于y轴的线段在直观图中长度为____原__来__的__一__半________.
ABC
(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12.求球的半径关键是 找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．
(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题． (4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点” 作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
【例 4】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，
【例 3】 (1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所
示，则该几何体的体积为 ( C )
A．13＋23π
B．13＋ 32π
C．13＋
2 6π
D．1＋ 62π
(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面 体的三视图，则该多面体的表面积为( B )
2021年高考理数第二轮第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
3
真题感悟 考点整合
热点聚焦 分类突破
归纳总结 思维升华
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真题感悟
1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸 出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是 榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
8
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解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，其对角线长分别为 6 cm 和 4 cm， 故 V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3). 又 V 长方体＝6×6×4＝144(cm3)， 所以模型的体积为 V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)， 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g). 答案 118.8
4
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解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以 是虚线，结合榫头的位置知选A. 答案 A
5
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2.(2019·全 国 Ⅰ 卷 ) 已 知 三 棱 锥 P － ABC 的 四 个 顶 点 在 球 O 的 球 面 上 ， PA ＝ PB ＝ PC ， △ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的 体积为( )
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2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积 S＝2πr(r＋l)； ②圆锥的表面积 S＝πr(r＋l)； ③圆台的表面积 S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ④球的表面积 S＝4πR2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR3.
2021高考数学 命题区间精讲 精讲10 空间几何体的三视图、表面积、体积
空间几何体的三视图、表面积、体积命题点1 空间几何体的三视图、展开图、截面图三视图、展开图、截面图中的几何度量（1）空间几何体的三视图：①在长方体或正方体中根据三视图还原几何体的直观图,能快速确定几何体中线面位置关系；②根据“长对正，宽相等、高平齐”的原则由三视图确定对应几何体中的量．(2）空间几何体表面距离最短问题：其解题思路常常是将几何体展开．一般地，多面体以棱所在的直线为剪开线展开,旋转体以母线为剪开线展开．（3)空间几何体的三类截面:轴截面、横截面与斜截面．利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决．［高考题型全通关］1．［教材改编]已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，有以下结论：①l∶r＝4∶3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3;③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是( )A．①② B．②③ C．①③ D．①②③A［对于①，由题意得错误!＝错误!π，∴错误!＝错误!，∴l∶r＝4∶3，∴该结论正确；对于②，由题意得错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3，∴该结论正确；对于③，由题意得轴截面的三角形的三边长分别为错误!r,错误!r，2r,顶角α最大，其余弦值为cos α＝错误!＝－错误!〈0，∴顶角为钝角，∴轴截面三角形是钝角三角形，∴该结论错误．］2.在正方体ABCD。
A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点（如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧（左)视图为（)C［过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图，则该几何体的侧(左）视图为C．故选C．]3。
(2020·芜湖仿真模拟一）如图，在正方体ABCD。
A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( ）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②A[从上下方向上看,△PAC的投影为①图所示的情况;从左右方向上看,△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC 的投影为④图所示的情况，故选A．］4．（2020·全国卷Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A．E B．FC．G D．HA[该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．]5．［高考改编]某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!D[在棱长为2的正方体中还原该四面体PABC．如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC．因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2,PC＝3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为错误!,故选D．]6．圆锥的母线长为l ，过顶点的最大截面的面积为12l 2，则圆锥底面半径与母线长的比r l的取值范围是( ) A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!D [设圆锥的高为h ，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S ＝12l 2sin θ，而0＜sin θ≤1，所以当sin θ＝1，即截面为等腰直角三角形时取得最大值,故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得l ＞r ≥l cos 45°＝错误!l ,所以错误!≤错误!＜1.]7．如图,已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝错误!,AA 1＝4,若点P 从点A 出发，沿着正三棱柱的表面,经过棱A 1B 1运动到点C 1，则点P 运动的最短路程为( ）A ．5B ．错误!C．4错误!D．6B［将三棱柱展开成如图的图形，让点C1与ABB1A1在同一平面内,C1D⊥AB交A1B1于Q，则C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝错误!,两点之间线段最短，故AC1即为所求的最短距离，因为C1Q＝A1C1×sin 60°＝错误!×错误!＝错误!，所以C1D＝错误!＋4＝错误!，AD＝错误!，所以AC1＝错误!＝错误!＝错误!.]命题点2 空间几何体的表面积、体积求解几何体的表面积或体积的策略（1）直接法:对于规则几何体可直接利用公式计算;（2)割补法：对于不规则几何体，可采用“分割、补体"的思想,采用化整为零或化零为整求解．（3）轴截面法：对于旋转体的表面积问题,常常借助轴截面求解．(4）等体积转化法：对于某些动态三棱锥的体积问题，直接求解1．(2020·潍坊模拟）若圆锥的高等于底面直径,侧面积为5π，则该圆锥的体积为（)A．错误!π B．错误!π C．2π D．错误!πB[圆锥的高等于底面直径,侧面积为错误!π，设底面半径为r，则高h＝2r，∴母线长l＝错误!＝错误!r,∴s＝π×r×错误!r＝错误!π，解得r＝1,该圆锥的体积为V＝错误!π×12×2＝错误!π.故选B．]2．[高考改编］榫卯(sǔn mǎo)是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用．代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图,则该榫的表面积和体积为( )A．8＋16π，2＋8π B．9＋16π，2＋8πC．8＋16π,4＋8π D．9＋16π，4＋8πA[由三视图知该榫头是由上下两部分构成:上方为长方体(底面为边长是1的正方形，高为2)，下方为圆柱（底面圆半径为2，高为2）．其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，2π×2＋2×错误!＋4×错误!＝8＋16π.所以S＝2×（⎭⎫其体积为圆柱与长方体体积之和，所以V＝错误!×2＋1×1×2＝8π＋2。
高考数学总复习 第一节 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积课件 理 新人教A版
2.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括： 正视图 、 侧视图 、 俯视图 ． (2)三视图的画法 ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成 虚线 ． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几何体的正投影图．
3．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 斜二侧 画法来画，其规则是： (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′ 轴的夹角为 45°或 135，° z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面 垂直 ． (2) 原 图 形 中 平 行 于 坐 标 轴 的 线 段 ， 直 观 图 中 仍 分 别 平行于坐标轴 ；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原 长度 不变 ；平行于 y 轴的线段在直观图中长度为 原来的一半．
考纲要求：1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特 征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会 用斜二测法画出它们的直观图．
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三 视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个 公共顶点 的 三角形
棱锥被平行于 底面 的平面所截，截面和底面之间的部 棱台
分叫做棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角腰所在的直线或等腰梯 直角梯形或等腰梯形
形上下底中点连线
球
半圆或圆
2021年高考数学二轮复习 空间几何体的三视图、表面积与体积
2021年高考数学二轮复习空间几何体的三视图、表面积与体积1．(xx·江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )【解析】由三视图的知识得B正确．【答案】B2．(xx·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．72 cm3 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3【解析】由题中三视图知，该几何体由一个长方体与一个三棱柱组成，体积V＝3×4×6＋12×3×4×3＝90(cm3)，故选B.【答案】 B3．(xx·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A．4π B．3π C．2π D．π【解析】∵圆柱侧面展开图为矩形，底面圆半径为1，S侧＝2πr·l＝2π×1×1＝2π，故选C.【答案】 C4．(xx·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72【解析】 S 表＝S 底＋S 上＋S 左＋S 前＋前＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5 ＝60.【答案】 B5．(xx·全国大纲高考)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C．9π D.27π4【解析】易知SO ′＝4O ′D ＝1222＋22＝ 2 设球的半径为R ，则(4－R )2＋22＝R 2∴R ＝94，∴S 球＝4πR 2＝81π4. 【答案】 A从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．空间几何体的三视图及确定应用①此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合，主要考查学生的空间想象能力，是每年的必考内容之一．②试题多以选择题的形式出现，属基础题．2．计算空间几何体的表面积与体积①该考向主要以三视图为载体，通常是给出某几何体面积或体积，作为新课标教材的新增内容，日益成为了高考中新的增加点和亮点．主要考查学生的计算能力和空间想象能力及识图能力．②试题多以选择题、填空题为主，多属于中档题．3．多面体与球的切、接问题①该考向命题背景宽，以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接的形式出现，也是高考中的一大热点．主要考查学生的空间想象能力和计算能力．②试题多以选择题、填空题的形式出现，属于中档题.空间几何体的三视图及应用【例1】 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱(2)(xx·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②【解析】(1)直观图为：(2)在空间直角坐标系O－xyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.【答案】(1)B (2)D【规律方法】识与画三视图的关键点：(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廊线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正视图对正，画在正视图的正下方；侧视图要画在正视图的正右方，高度要与正视图平齐．(2)要熟悉各种基本几何体的三视图．[创新预测]1．(1)(xx·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)(xx·昆明调研)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形．若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系0xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为( )A．(1,1,1) B．(1,1，2)C．(1,1，3) D．(2,2，3)【解析】(1)由已知得选项A、B、C与俯视图不符，故选D.(2)因为正视图和侧视图是等边三角形，俯视图是正方形，所以该几何体是正四棱锥，还原几何体并结合其中四个顶点的坐标，建立空间直角坐标系，设O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五个顶点的坐标为S(1,1，z)，正视图为等边三角形，且边长为2，故其高为4－1＝3，又正四棱锥的高与正视图的高相等，故z＝±3，故第五个顶点的坐标可能为(1,1，3)．【答案】(1)D (2)C空间几何体的表面积与体积【例2】(1)(xx·山东高考)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)(xx·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.(3)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18【解析】 (1)设棱锥的高为h ，∵V ＝23，∴V ＝13×S 底·h ＝13×6×34×22×h ＝2 3. ∴h ＝1，由勾股定理知：侧棱长为22＋1＝ 5. ∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为52－12＝2，∴S 侧＝12×2×2×6＝12. (2)由几何体的三视图知，该几何体由两部分组成，一部分是底面半径为 1 m ，高为 4 m 的圆柱，另一部分是底面半径为2 m ，高为2 m 的圆锥．∴V ＝V 柱＋V 锥＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3(m 3)． (3)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积．由几何体的三视图如题图可知，则几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A. 【答案】 (1)12 (2)20π3(3)A 【规律方法】 1.求解几何体的表面积及体积的技巧：(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤：(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[创新预测]2．(1)(xx·全国新课标Ⅰ高考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4(2)(xx·辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π 【解析】(1)还原为直观图放在正方体中如图所示三棱锥D －ABC .AB ＝BC ＝4，AC ＝42， DB ＝DC ＝25，DA ＝422＋4＝6.故最长的棱长为6.故选C. (2)该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V ＝23－12×2π＝8－π，故选C.【答案】 (1)C (2)C多面体与球的切、接问题【例3】 (1)(xx·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π3(2)(xx·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ． 2C ．3D ．4【解析】 (1)连接AC ，BD 相交于O 1，连接A 1C 1，B 1D 1，相交于O 2并连接O 1O 2，则线段O 1O 2的中点为球心．∴半径R ＝|OB |＝|OO 1|2＋|O 1B |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1，∴V 球＝43πR 3＝43π，故选D. (2)由题意知，几何体为三棱柱，设最大球的半径为R .∴2R ＝(6＋8)－10＝4，∴R ＝2.【答案】 (1)D (2)B【规律方法】 多面体与球接、切问题的求解策略：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[创新预测]3．(1)(xx·辽宁高考)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310 (2)(xx·全国课标Ⅱ高考)已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．【解析】 (1)根据球的内接三棱柱的性质求解．因为直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝122＋52＝13，即R ＝132. (2)本题先求出正四棱锥的高h ，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V 四棱锥O ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322， ∴OA 2＝h 2＋(AC 2)2＝184＋64＝6. ∴S 球＝4πOA 2＝24π.【答案】 (1)C (2)24π[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点：失分盲点1．(1)台体的构成：台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．(2)三视图的不唯一性：空间几何体的不同放置位置对三视图会有影响．(3)三视图轮廓线的虚实：正确确定三视图的轮廓线，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．(4)元素与位置的变与不变：几何体的展开与折叠问题，准确确定前后两个图形间的联系及元素与位置之间的变化与稳定．2．(1)球的外切四棱锥与内接四棱锥是不一样的，两者不能混淆．(2)球的体积公式与锥体的体积公式的系数不一样，两者不能混淆．答题指导1．(1)看到三视图，想到几何体的直观图．(2)看到三棱锥的体积，想到定底定高．(3)看到求几何体的表面积、体积，想到几何体的表面积、体积公式．2．(1)看到球的表面积、体积问题，想到球的表面积、体积公式．(2)看到球的组合体问题，想到寻找一个合适的轴截面．(3)看到球的截面，想到球的截面性质．方法规律1．(1)画三视图的规则：长对正，高平齐，宽相等．(2)转化思想的应用：将空间问题转化为平面问题．(3)几何体体积：注意割补法(将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解)．(4)几何体表面上最短距离问题：常常利用几何体的表面展开图解决．2．(1)球的直径：球的直径等于它的内接正方体的对角线长，等于它的外切正方体的棱长．(2)与球有关的接切问题：要注意球心的位置以及球心与其他点形成的直角三角形．有关球的组合体的图形与数据处理所谓空间想象力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象概括的能力，空间想象能力在立体几何中主要体现在能对空间几何体的各个元素在空间中的位置进行准确判断，能画出空间几何体的直观图，并在直观图中把各种位置关系表达出来．球是基本的空间几何体之一，单一的球的直观图容易画出，但是当球与其他空间几何体组成组合体时，其直观图就很难作出，因此与球有关的组合体的图形处理成为空间想象能力考查的重要问题．【典例】若三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.83π B.433πC.43π D.163π【解析】如图所示，由SA＝SB＝SC可知点S在底面上的射影为△ABC的外心．由于底面是直角三角形，故其外心为斜边的中点O′，设该三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则OO′＝3－R，在△OO′A中，R2＝(3－R)2＋12，即R＝23，所以球的表面积为4πR2＝16π3.【答案】 D【规律感悟】多面体的外接球的球心是到多面体的各个顶点距离相等的点，在确定多面体外接球的球心时要抓住这个特点．> egJ24089 5E19 帙727299 6AA3 檣39547 9A7B 驻21772 550C 唌29000 7148 煈 25066 61EA 懪h27745 6C61 污。
高考数学 专题八 立体几何 1 空间几何体的三视图、表面积和体积课件 文
专题八 立体几何
§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
12/10/2021
考点清单
考点一 空间几何体的结构及其三视图和直观图
考向基础 一、空间几何体的结构 1.多面体的结构特征
12/10/2021
12/10/2021
2.旋转体的结构特征
12/10/2021
【知识拓展】 1.特殊的四棱柱
ABCD, 底面四边形ABCD是正方形,且PA=AB=BC=CD=DA=4,
∴S△PAB=S△PAD= 1 ×4×4=8,S△PBC=S△PCD=1 ×4×42 =842 ,S正方2形ABCD=42=16,
2
2
∴四棱锥P-ABCD的表面积S=2×8+2×8 2+16=32+16 .故2 选D.
答案 D
考向基础
考点二 空间几何体的表面积
1.多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是表面展开图的面积.
2.旋转体的表面积
圆柱(底面半径为 r,母线长为l)
圆锥(底面半径 圆台(上、下底面半 为r,母线长为l) 径为r‘,r,母线长为l)
球(半径 为R)
侧பைடு நூலகம்展 开图
底面积 侧面积 表面积
12/10/2021
的表面积为
.
12/10/2021
解析 如图,设E为AB的中点,O为底面正方形对角线的交点,连接SO,SE, OE,∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,各侧面都是全等的正三角形,∴SE⊥
AB,则SE= S=A2-A=E2 .∴2 5S-侧2=45 4S5△S2A3B=4×
×AB×SE=21 ×5×
2
2
设△ABC外接圆的半径为r,则2r= 6,解得r=2 , 3
高考数学课件——第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
3 又长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V2=4×6×6=144(cm3), 所以该模型体积为 V=V2-V1=144-12=132(cm3), 其质量为 0.9×132=118.8(g).
结合勾股定理,得到 OC2=ON2+NC2,R2=(3-R)2+3,R=2,
所以表面积为 S=4πR2=16π,故选 A.
︱高中总复习︱二轮·文数
(2)(2018·长沙市、南昌市部分学校二次联考)已知一块直三棱柱形状的玉石,记为 三棱柱 ABC-A1B1C1,其中 AB=10 cm,AC=6 cm,BC=8 cm,AA1=4 cm,若将此玉石加工成一 个球,则此球的最大体积为( ) (A) 4π cm3
︱高中总复习︱二轮·文数
热点训练1:(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱 表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B, 则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )
(A)2 17 (B)2 5
(C)3
(D)2
︱高中总复习︱二轮·文数
AB=AC=BD=CD=AD=2 2 ,AO=OC=OB=OD=2,
则三棱锥 A-BCD 的表面积为 S = A-BCD 1 ×4×2×2+ 3 ×(2 2 )2×2=8+4 3 .
2
4
故选 A.
答案:(2)A
︱高中总复习︱二轮·文数
(3)(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该
︱高中总复习︱二轮·文数
高三复习资料 2021新高考版数学教师用书(课件) §8.1 空间几何体的三视图、表面积与体积
考点三 空间几何体的表面积
1.多面体的表面积等于其各个面的面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台和球的表面积公式:
名称
表面积
侧面积
圆柱
S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
S侧=2πrl
圆锥
S=πr2+πrl=πr(r+l)
S侧=πrl
圆台
S=π(r'2+r2+r'l+rl)
S侧=π(r+r')l
球
S=4πR2
8-
4π 3
-(24-6π)=32+
22π 3
.
答案 32+ 22 π
3
栏目索引
例3 底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥. 如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的侧面积为4 3 ,求该半 球的体积.
解题导引 要求半球的体积,需求其半径,因为是正四棱锥内接于半球,所
(2)每相邻两个四边形的公共边都 顶点的三角形
截面之间的部分
互相平行
侧棱
① 平行且相等
相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 ② 平行四边形
③ 三角形
④ 梯形
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
图形
圆台
栏目索引 球
母线
平行、相等且垂直于底面 相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 大圆
以球心为正四棱锥底面的中心O,因此OC=SO即为半径,设出半径r,可求出
SA=AB;再由已知的侧面积建立等量关系求得r,从而求出半球体积.1 解析 连接AC,BD交于点O,连接SO,设球的半径为r,由题意可知,SO=AO=OC=
高考数学二轮复习(文)专题三第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积课件(57张)
图1
图2
考点一
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3.(2019课标全国Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表
之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信
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的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多
考点二 空间几何体的表面积与体积
命题角度一 空间几何体的表面积
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1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为
(B ) A.12 2 π B.12π C.8 2 π D.10π
考点二
考点一
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A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 答案 B 由于P为BD1的中点,结合正投影的性质知B正确.
考点一
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2.(2019湖南模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是三棱锥P-
ABC的三视图,PA是其最长的棱,则直线PA与平面ABC所成角的正切值为
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(C )
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的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求出内切球 的半径.
考点三 栏目索引
1.(2019运城联考)一块木料的三视图如图所示,将它经过切削、打磨成半径
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最大的球,则该木料最多加工出球的个数是 ( B )
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A. 3 + 2+ 5
2
2
C. 1 + 2 + 5
2
B. 1 +2 2 + 5
2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档 理
§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5， 因此V ＝43πR 3＝500π3. 4． 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5． 假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一 空间几何体的结构特点 例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等． 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发 从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点． 答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等． 思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系． 答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点． 易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中， 应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形． 题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发 先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积． 答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华 解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿 棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好． 标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得． 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同， 故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4． 如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析 由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5． 某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7． 已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 3π 解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解 那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组 专项能力提升(时刻：30分钟)1． 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2． 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解 当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等， 得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。