无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高一数学参考答案
=6800 − (4x + 10000) ． x
所以
L(
x)
=
−10x 6800
2 + 600x − 3000，0 x − (4x + 10000)，40 ≤
x
40， x ≤100.
………………………6 分
a 0， g(1) ≤ 0，解得－3≤a＜0． g(2) ≤ 0，
因为 p 为真，则¬p 为假命题， 所以实数 a 的取值范围为(－∞，－3)．………………………………………12 分 （注：其他解答酌情给分．） 22 解：（1）①先证充分性（如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数为偶函数．） 设函数 y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))． 因为函数的图象关于 y 轴对称， 所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即 f(x)＝f(－x)， 所以函数 y＝f(x)为偶函数． ②再证必要性（如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于 y 轴对称．） 设 y＝f(x)是偶函数， 要证明图象关于 y 轴对称， 即证明图象上任意一点关于 y 轴的对称点还在自身图象上， 设 P(x，y)为 f(x)图象上任意一点，则 y＝f(x)， 此时 P 关于 y 轴的对称点 P′(x'，y')， 则 x'＝－x，y'＝y， 又函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)＝f(－x)，即 y＝f(x)＝f(－x)＝y′， 所以点 P′(x'，y′)在函数 f(x)图象上． 所以函数 y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称．……………6 分 （2）g(x)＝(x＋1)4－1， 设 x＝a 为 g(x)的对称轴， 由题意，g(x＋a)＝(x＋1＋a)4－1 为偶函数． 任取 x∈R，g(x＋a)＝g(－x＋a)， 所以(x＋1＋a)4－1＝(－x＋1＋a)4－1， 所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2][ (x＋1＋a)2－(x－1－a)2]＝0， 所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]4(1＋a)x＝0 恒成立， 故 1＋a＝0，则 a＝－1， 所以 g(x)的对称轴为直线 x＝－1． ………………………………………………9 分 （3）因为函数 y＝h(x＋2)为偶函数，且 y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减， 所以│m－2│＜│1－2m－2│，
证明：a＜0 时，ex－a＞0 恒成立，故中函数 f (x)定义域为 R．
高
任取 x1，x2∈R，且 x1＜x2，则潍ex坊1 ex2 ，
：
因为
f
(x1) −
f
(x2 )
=
(1+众号2a 公 ex1 −
) − (1+ a
2a ex2 −
) a
=
2a(ex2 − ex1 ) (ex1 − a)(ex2 − a)
，
因为 ex－1≠0，则 x≠0， 所以 f (x)定义域为{x│x≠0}，
对任意 x≠0，
f
(−x)
=
e−x e−x
+1 −1
=
1 1
+ −
e e
x x
=−f
(x)
所以
f
(x)
=
ex ex
+1 −1
是奇函数．…………………………………………………4
分
（2）①当
a＜0
时，f
(x)为
R
上的单调增函数，学证明如下： 数
无锡市第一中学 2020—2021 学年度第一学期期中试卷
高一数学参考答案
一、选择题．
1．A
2．D
3．A
4．C
5．C
6．DLeabharlann 7．D8．C二、选择题．
9．ABD
10．ABD
11．BCD
12．BC
三、填空题．
13．[0，+∞)
四、解答题．
14．16
15．[2， 20 ] 9
16．－7
17．解：（1）原式＝2＋4＋1＋ 3 2
解得 m＜－3 或 m 1 ， 3
所以 m 的取值范围(－∞，－3)∪( 1 ，＋∞)． …………………………………12 分 3
第 3 页 共 3 页（高一数学参考答案）
当且仅当 4x = 10000 ，即 x＝50 时取等号． x
因为 6400＞6000，所以 x=50 时，L(x)最大． ………………………………11 分 答：月产量为 50 台时，所获的月利润最大，最大月利润为 6400 元． …12 分
21．解：（1）当
a＝1
时，函数
f
(x)
=
ex ex
+1 −1
（2）因为 x＞0，y＞0，
所以1 = 1 + 4 ≥ 2 1 4 = 4 ，
xy
x y xy
所以 xy≥16． ……………………………………………………………………9 分 又因为 xy＞m2＋6m 恒成立，
第 1 页 共 3 页（高一数学参考答案）
所以 16＞m2＋6m， 解得－8＜m＜2， 所以 m 的取值范围为(－8，2)． ………………………………………………12 分 20．解：（1）当 0＜x＜40 时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000；
所以(RB)∩A＝[3，4)． ………………………………………………………6 分
（2）a＞0 时，B＝(a，3a)．
因为命题 p 是命题 q 的必要不充分条件，则 AB， ………………………8 分
a ≤ 2，
所以
4 a
≤ 3a， = 2和4
=
解得
3a不同时成立，
4 3
≤
a
≤
2
，
所以实数 a 的取值范围为[ 4 ，2]．…………………………………………12 分 3
19．解：（1）因为 x＞0，y＞0，
所以 x + y = (x + y)(1 + 4 ) = 5 + 4x + y ≥ 5 + 2 4x y =9 ，
xy
yx
yx
当且仅当 4x = y ，即 x＝3，y＝6 时取等号， yx
所以 x＋y 的最小值为 9． ……………………………………………………6 分
0，
所以 f(x)为 R 上的单调增函数．………………………………………………8 分 ②设命题 p：存在 x∈[1，2]，使得 f (x2＋2ax)＞f (4－a2)成立． 下面研究命题 p 的否定：
第 2 页 共 3 页（高一数学参考答案）
¬p：x∈[1，2]，f (x2＋2ax)≤f (4－a2)恒成立． 若¬p 为真命题，由①，f(x)为 R 上的单调增函数， 故x∈[1，2]，x2＋2ax≤4－a2 恒成立． 设 g(x)＝x2＋2ax＋a2－4，x∈[1，2]，
（2）①当 0＜x＜40 时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000， 所以当 x＝30 时，L(x)max＝L(30)＝6000． ……………………………………8 分
②当 40≤x≤100 时， L(x) = 6800 − (4x + 10000) x
≤ 6800 − 2 4x 10000 = 6400 ， x
＝ 17 ………………………………………………………………………5 分 2
（2）原式＝log3
log3
54 2
+
log2
4
＝5 ………………………………………………………………………10 分
18．解：（1）a＝1 时，B＝(1，3)， …………………………………………………………2 分
则RB＝(－∞，1]∪[3，＋∞)…………………………………………………4 分
湖北省武汉市第十五中学、十七中学、常青一中2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题
2020~2021学年度下学期部分重点中学期中考试高一数学试卷(十五中、十七中、常青一中)一、单选题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．本题共8小题,每小题5分,共40分)1．下列与角94π的终边相同的角的表述中正确的是（ ）． A ．()245k k Z π+︒∈ B ．()93604k k Z π⋅︒+∈C ．()360315k k Z ⋅︒-︒∈D ． ()54k k Z ππ⋅+∈2．下列各组向量中,可以作为平面向量基底的是（ ） A ．()()0,0,1,2a b ==- B ．()()3,5,6,10a b ==-- C ．()()2,3,3,5a b == D ．()()2,3,2,3a b =-=- 3．24tan 7θ=,且α为第三象限角,则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-4．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若每只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为360N ，该学生的体重（单位：kg ）约为（ ）．（参考数据：取重力加速度大小210m/s 1.732g ==）A ．64B ．62C ．76D ．605．已知函数()()[]sin 00,3f x x x x πωω=->∈，的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，1，则ω的取值范围是（ ）． A ．15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．55,63D ．[]0,+∞6．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 轴非负半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值可能大于零的是（ ）．A ．sin cos αα+B ．sin cos αα-C ．sin cos αα⋅D ．sin cos αα7．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，并且2sin 2cos 5αα+=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1731-B ．3117- C ．17- D ．7-8．设212tan13cos 66,,221tan 13a b c ︒=︒-︒==+︒ ） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b c a <<二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，本题共4小题，每小题5分，共20分）9．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足22AB a AC a b ==+，，则下列正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥ C ．1a b ⋅=- D ．()4a b BC +⊥ 10．将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后得到一个奇函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4πC ．0D ．4π- 11．下列说法正确的是（ ）A ．对于任意两个向量,a b ，若a b >且a 与b 同向，则a b >B ．已知6a =，e 为单位向量，若3,4a e π=，则a 在e 上的投影向量为- C ．设,m n 为非零向量，“则存在负数λ，使得0m n ⋅<，是m n λ=”的必要不充分条件D ．0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角12．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<的部分变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）A ．函数的解析式为()52sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 图像的一条对称轴为23x π=- C ．5,212π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心 D ．函数()f x 的图像左平移12π个单位，再向下移2个单位所得的函数为偶函数 三、填空题：（共计20分，其中每题5分）13．若函数()cos f x a x b =+的最大值是4，最小值为2-．则a b -=_______．14．在ABC 中，点M 、N 满足23AM MC BN NC ==，，若MN x AB y AC =+，则yx=_______． 15．2cos5sin 25sin 65︒-︒=︒_________．16．如图所示：O 是线段外02021A A 外一点，若012A A A ，，．．…2021A 中相邻两点间的距离相等020********,,OA a OA b OA OA OA ==+++=________（用,a b 表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题10分）已知1sin cos 05x x x π+=-<<（） （1）求sin cos x x 的值． （2）求tan x 的值．18．（本小题12分）已知cos sin cos sin 0a b ααβββαπ==<<<（，），（，），． （1）若2a b -=，求证：a b ⊥;（2）设()0,1c =，若a b c +=，求,αβ的值．19．（本小题满分12分）已知,αβ为锐角，()1tan ,cos 210ααβ=+=-． （1）求cos2α的值； （2）求αβ-的值．20．（本小题满分12分）已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>>>，在同一个周期内，当12x π=时，()f x 取到最大值3：当712x π=时，()f x 取到最小值3-． （1）求函数()f x 的单调递减区间． （2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围. 21．（本小题12分）已知函数()2sin sin 2cos ,,0662x f x x x x R ππωωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．从条件， 条件，条件这三个条件中选择一个作为已知条件，()f x 在,a b （）上单调递增，则b a -的最大值为2π；()y f x =的图像与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为2π；()y f x =的对称轴间的最小距离为2π．（1）求()f x 的解析式（2）求方程()20f x +=在110,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的所有解的和（注：如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）．22．（本小题满分12分）已知函数()2sin f x x ω=其中常数0ω>． （1）若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围． （2）令2ω=，将函数()y f x =向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()y g x =的图像，区间[],a b （a b R ∈，，且a b <）满足：()y g x =在[],a b 上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[],a b 中，求b a -的最小值．2020~2021学年度下学期部分重点中学期中考试高一数学试卷答案(十五中、十七中、常青一中)一、单选题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．本题共8小题,每小题5分,共40分)1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】C二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，本题共4小题，每小题5分，共20分）9．【答案】ACD 10．【答案】AD 11．【答案】BC 12．【答案】BC三、填空题：（共计20分，其中每题5分）13．【答案】2或4- 14．【答案】1315． 16．【答案】()1011a b + 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．【答案】（1）()2211sin cos 12sin cos 525x x x x ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭12sin cos 25x x =-（2）∵0x π<< ∴sin cos 0x x -> ∴()()22211249sin cos sin cos 4sin cos 452525x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴7sin cos 5x x -=,1sin cos 5x x +=- 解得34sin ,cos 55x x ==-,∴sin 3tan cos 4x x x ==-18．【答案】（1）()cos cos , sin sin a b αβαβ-=--(cos a b α-=====∴()1cos 1αβ--= ∴()cos 0αβ-=∴()cos cos sin sin cos 0a b αβαβαβ⋅=+=-= ∴a b ⊥（2）∵()()cos cos ,sin sin 0,1a b c αβαβ+=+== ∴cos cos 0sin sin 1αβαβ+=⎧⎨+=⎩①②∴()cos cos cos αβπβ=-=- ∵0βπ<< ∴0πβπ<-< ∵0απ<< ∴απβ=-③将带入解得：1sin sin 2αβ== 19．【答案】（1）因为α为锐角，且1tan 2α= 所以sin αα==所以23cos 22cos 15αα=-=（2）由（1）知，4sin 22cos sin 5ααα==因为,αβ都为锐角，()cos 10αβ+=-所以(sin αβ+=则()()()()sin sin 2sin 2cos cos 2sin 2αβααβααβααβ-=-+=+-+=-⎡⎤⎣⎦ ∵0022ππαβ<<<<，∴02πβ-<-< ∴22ππαβ-<-<∴=4παβ--20．【答案】（1）由题意可得3A =．周期7221212T πππω⎛⎫=-=⎪⎝⎭．∴2ω=．由22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，以及πϕπ-<<，可得3πϕ=，故函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 由3222,232k x k k Z ππππ+≤+≤+∈求得721212k x k πππ+≤≤+，故函数的减区间为 7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． （2）,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x m =+-有两个零点，故有2个实数根．即函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像与直线16m y -=有2个交点．再由22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，结合函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可得16m ⎤-∈⎥⎣⎦，解得1,7m ⎡⎤∈⎣⎦． 21．【答案】（1）()1cos sin coscos sinsin coscos sin266662xf x x x x x ππππωωωωω+=++--1cos x x ωω=--2sin 16x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选均表示T π=,则2ω=，即()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （2）26t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭即1sin 2162x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ 令26t x π=-∵110,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴162,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即16,63t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦11192331,,,,,666666t ππππππ=-时1sin 2t =-2580,,,,2,333x πππππ=， 相加之和为8π 所有解的和为8π 22．【答案】（1）因为()0,2sin y f x x ωω>==在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得304ω<≤所以ω的取值范围为30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．（3）令()22sin y f x x ωω===，的图像向左平移6π个单位长度，可得函数 2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像；再向上平移1个单位长度得到函数()2sin 213y g x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭的图像 令()0g x =，求得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ∴72236x k πππ+=+，或∴1122,36x k k Z πππ+=+∈求得512x k ππ=+或3,4x k k Z ππ=+∈故函数()g x 的零点为512x k ππ=+或3,4x k k Z ππ=+∈所以相邻两个零点之间的距离3π或23π选取相邻两个零点之间的距离为3π，周期为π一个周期内有2个零点，要得到100个零点，需要50个周期，即50π()min 1484933b a πππ-=+=．。
江苏省南京市第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷(解析版)
南京一中2020~2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1．复数4＋2i－1＋2i的虚部为( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i 【答案】B【考点】复数的运算及概念【解析】由题意可知，4＋2i －1＋2i ＝(4＋2i)(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)＝－10i5＝－2i ，则其虚部为－2，所以答案选B.2．已知向量→a ＝(1，2)，→b ＝(3，0)，若(λ→a －→b )⊥→a ，则实数λ＝( )A ．0B ．35 C ．1 D ．3【答案】B【考点】平面向量的垂直坐标运算【解析】由题意λ→a －→b ＝(λ－3，2λ)，因为(λ→a －→b )⊥→a ，所以(λ－3，2λ) (1，2)＝0，即λ－3＋4λ＝0，解得λ＝35，故答案选B.3．复数z 满足z －1＝(z ＋1)i ，则|z |的值是( )A ． 2B ．2C ．1D ．3 【答案】C【考点】复数的运算与共轭复数的模【解析】由题意可知，z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝i ，所以z ＝－i ，|z |＝1，故答案选C.4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形面积( )A ．2 2B ．1C ． 2D ． 2(1＋2) 【答案】A【考点】斜二测画法的应用：直观图与原图【解析】由题意可知，原图为平行四边形，且底边OA ＝1，高OB ＝2×2＝22，所以原图形面积为22，故答案选A.5．若两个向量→a ，→b 的夹角是2π3，→a 是单位向量，|→b |＝2，→c ＝2→a ＋→b ，则向量→c 与→b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】B【考点】平面向量的数量积应用：求夹角问题【解析】由题意可知，→a ⋅→b ＝|→a ||→b |cos 2π3＝1×2×(－12)＝－1，所以→c ⋅→b ＝(2→a ＋→b )⋅→b ＝2→a ⋅→b ＋→b 2＝－2＋4＝2，|→c |＝|2→a ＋→b |＝()2→a ＋→b 2＝4→a 2＋4→a ·→b ＋→b 2＝4×1＋4×(－1)＋22＝2，所以cos<→c ，→b >＝→c ·→b |→c ||→b |＝22×2＝12，又因为<→c ，→b >∈[0，π]，所以<→c ，→b >＝π3，故答案选B.6．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海甲 【答案】A【考点】正余弦定理在实际问题中的应用【解析】由题意可画出草图，由题意可得∠MAB ＝40°，∠MAC ＝70°，∠NBC ＝65°，AB ＝20海里，则∠ABN ＝∠MAB ＝40°，则∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，则在△ABC 中，由正弦定理BC sin30°＝20sin45°，解得BC ＝102，故答案选A ．7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示 意图，图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．BA山历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角 23°41′ 23°57′ 24°13′ 24°28′ 2444′ 正切值 0. 439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元 元年公元前 2000年公元前 4000年公元前 6000年公元前 8000年A ．早于公元前6000年B ．公元前2000年到公元元年C ．公元前4000年到公元前2000年D ．公元前6000年到公元前4000年 【答案】A【考点】新情景问题下的文化题：三角恒等变换中两角和与差的正切公式应用 【解析】由题意可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角．将图3近似画成如下平面几何图形：则tan α＝1610＝1.6，tan β＝16－9.410＝0.66，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.45．因为0.455＜0.457＜0.461，所以估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．8．在△ABC 中，角A 、B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，a ·cos C ＋3c ·cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为( )A ．1B ． 3C ．2D ．4 【答案】A【考点】解三角形中的面积最值问题【解析】法一：对于a cos C ＋3c cos A ＝0，由正弦定理可得sin A cos C ＋3sin C cos A ＝0，则tan A ＝－3tan C ，可得A ，C 一个为锐角一个为钝角，则B 为锐角，所以tan B ＝tan(π－A －C )＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝2tan C3tan 2C ＋1＝23tan C ＋1tan C ，由tan B ＞0可得tan C ＞0，则tan B ≤223＝33，所以sin B ≤12，则S ＝12ac sin B ≤1，当且仅当tan C ＝tan B ＝33时取到最值，所以△ABC 面积的最大值为1，故答案选A. 法二：对于a cos C ＋3c cos A ＝0，由余弦定理可得a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，则2b 2＋c 2－a 2＝0，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32c 2＋12a 22ac ≥234a 2c22ac ＝32，所以sin B ≤12，则S ＝12ac sin B ≤1，当且仅当a ＝3c 时取到最值；所以△ABC 面积的最大值为1，故答案选A ．二、多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分) 9．下列关于直线l ，点A ，B 与平面α的关系推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α∣ l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β ∣ α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ∣A →αD ．A ∈l ，l ⊂α∣A ∈α 【答案】ABD【考点】空间中点线面的位置关系【解析】由题意可知，对于选项A ，A ，B 两点均在直线l 上，且A ，B 两点均在平面内α，则可推出l ⊂α，所以选项A 正确；对于选项B ，A ，B 两点既在α内，又在β内，则必定在α与β交线上，所以可得到α∩β＝AB ，所以选项B 正确；对于选项C ，点A 在直线l 上，但是直线l 不在平面α内，则点A 可以在直线l 与平面α的交点处，即α∩l ＝A ，所以选项C 错误；对于选项D ，点A 在直线l 上，直线l 在平面α内，则A 必定在平面α内，所以可得到A ∈α，所以选项D 正确；综上，答案选ABD.10．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )A ．sin(α＋β)＜sin α＋sin β；B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos β；C ．cos(α＋β)＜sin α＋sin β；D ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β； 【答案】AD【考点】三角恒等变换中公式的应用【解析】由题意，对于选项AB ，因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，且α，β均为锐角，所以sin α，cos α，sin β，cos β∈(0，1)，则sin αcos β＜sin α，cos αsin β＜sin β，所以sin(α＋β)＜sin α＋sin β，所以选项A 正确，选项B 错误；对于选项C ，可令α＝β＝15°，则可验证cos(α＋β)＞sin α＋sin β，所以选项C 错误；对于选项D ，因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，因为α＋β＞α，所以cos(α＋β)＜cos α，又cos β＞0，所以cos(α＋β)＜cos α＋cos β，所以选项D 正确；综上，答案选AD.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，下列△ABC 有关的结论，正确的是( )A ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＋sinB ＋sinC ＞cos A ＋cos B ＋cos C ； B ．若a ＞b ，则cos2A ＜cos2B ； C ．若tan2A ＝tan2B ，则A ＝B ；D ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形； 【答案】AB【考点】正余弦定理的应用【解析】由题意可知，对于选项A ，若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B ＞π2，则A ＞π2－B ，所以可得sin A ＞sin(π2－B )＝cos B ，同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C ，所以选项A 正确；对于选项B ，若a ＞b ，则由正弦定理可得sin A ＞sin B ，则2sin 2A ＞2sin 2B ，所以1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ，即cos2A ＜cos2B ，所以选项B 正确；对于选项C ，若tan2A ＝tan2B ，则可得2A ＝2B 或2A －2B ＝π或2B －2A ＝π，所以选项C 错误；对于选项D ，若a cos A ＝b cos B ，则有正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，则△ABC 是等腰或直角三角形，所以选项D 错误；综上，答案选AB.12．任何一个复数z ＝a ＋b i(其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成：z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：z n＝[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n(cos nθ＋isin θ)(n ∈N +)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( )A ．|z 2|＝|z |2B ．当r ＝1，θ＝π3时，z 3＝1C ．当r ＝1，θ＝π3时，z ＝12－32iD ．当r ＝1，θ＝π4时，若n 为偶数，则复数z n 为纯虚数【答案】AC【考点】新情景问题下的复数的概念及运算【解析】对于选项A ，因为z ＝r (cos θ＋isin θ)，所以z 2＝r 2(cos2θ＋isin2θ)，则|z 2|＝r 2，|z |2＝r 2，所以|z 2|＝|z |2，所以选项A 正确；对于选项B ，当r ＝1，θ＝π3时，z ＝ cos ＋isin π3，z 3＝cos(3×π3)＋isin(3×π3)＝cosπ＋isinπ＝－1，所以选项B 错误；对于选项C ，当r ＝1，θ＝π3时，z ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，则z ＝12－32i ，所以选项C 正确；对于选项D ，当r ＝1，θ＝π4时，z n ＝cos n π4＋isin n π4，若n 为偶数，则当n ＝4时，z 4＝－1不是纯虚数，所以选项D 错误；综上，答案选AC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13．若cos2θ＝－34，sin 4θ＋cos 4θ＝______．【答案】2532【考点】三角恒等变换与同角三角函数关系式的应用【解析】由题意可知，若cos2θ＝－34，则cos 2θ－sin 2θ＝－34，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，则可解得sin 2θ＝78，cos 2θ＝18，则sin 4θ＋cos 4θ＝(78)2＋(18)2＝2532. 14．已知复数z 满足|z －1|＝1，则|z －1－2i|的最大值为______． 【答案】3【考点】复数的运算【解析】由题意可设z ＝a ＋b i ，因为|z －1|＝1，所以(a －1)2＋b 2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，则可令a －1＝cos θ，b ＝sin θ(θ为任意角)，即有z －1－2i ＝a ＋b i －1－2i ＝a －1＋(b －2)i ＝cos θ＋(sin θ－2)i ，所以|z －1－2i|＝cos 2θ＋(sin θ－2)2＝5－4sin θ≤9＝3，当sin θ＝－1时取到最大值，所以|z －1－2i|的最大值为3. 15．在△ABC 中，内角A 、B ．C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，则tan B ＝______． 【答案】4【考点】正余弦定理的应用 【解析】由题意可知，若cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，则有正弦定理可得cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin Csin C＝1则通分可化简为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A sin B ，又b 2＋c 2－a 2＝65bc ，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，且A ∈(0，π)，所以sin A ＝45，所以45cos B ＋35sin B ＝45sin B ，即化为45cos B ＝15sin B ，因为cos B ≠0，所以tan B ＝4.16．在平行四边形ABCD 中，已知E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且满足→BE ＝2→EC ，→CF ＝3→FD ， 若→AC ＝λ→AE ＋μ→AF (λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为__________；若AE ＝2，AF ＝3，∠EAF ＝60°，则AC 的长为________． 【答案】1310；3195【考点】平面向量的基本定理应用、余弦定理的应用【解析】由题意可知，在平行四边形ABCD 中，因为→BE ＝2→EC ，→CF ＝3→FD ，所以→AE ＝→AB ＋→BE ＝→AB ＋23→AD ，→AF ＝→AD ＋→DF ＝→AD ＋14→AB ，若→AC ＝λ→AE ＋μ→AF ＝λ(→AB ＋23→AD )＋μ(→AD ＋14→AB )＝(λ＋14μ)→AB ＋(23λ＋μ)→AD ，而→AC ＝→AB ＋→AD ，所以⎩⎨⎧λ＋14μ＝123λ＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝910μ＝25，所以λ＋μ＝1310；由上述知→AC ＝λ→AE ＋μ→AF ＝910→AE ＋25→AF ，且→AE ⋅→AF ＝|→AE |⋅|→AF |cos60°＝2×3×12＝3，所以|→AC |＝⎝⎛⎭⎫910→AE 2＋2·910·25→AE ·→AF ＋⎝⎛⎭⎫25→AF 2＝81100×4＋2×910×25×3＋425×9＝3195，所以AC 的长为3195． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．(本小题满分10分)已知复数z ＝(a ＋i)2，w ＝4－3i ，其中a 是实数．(1)若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围；(2)若z w 是纯虚数，a 是正实数，①求a ；②求z w ＋(z w )2＋(z w )3＋…＋(z w )2021．【答案】(1)(1，＋∞)；(2) ①a ＝2；②i 【考点】复数的概念及运算 【解析】(1)由题意z ＝(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，a ∈R 时对应点为(a 2－1，2a )，则由点位于第一象限可得a 2－1＞0，2a ＞0，则解得a ＞1，所以a 的范围是(1，＋∞)； (2)①由z w 是纯虚数，可设z w ＝b i ，b ∈R ，则a 2－1＋2a i ＝(4－3i)b i ＝3b ＋4b i ，由a ，b ∈R 可得a 2－1＝3b ，2a ＝4b ，联立解得a ＝2，b ＝1或a ＝－12，b ＝－14，BACDE F因为a ＞0，所以a ＝2，b ＝1；②由b ＝1可得z w ＝i ，所以z w ＋(z w )2＋…＋(z w )2021＝i －1－i ＋1－1－i ＋1＋…＋i ＝i ．18．(本小题满分12分)已知α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且cos(α－β)－cos(α＋β)＝813， tan β2＋1 tan β2＝265．(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值． 【答案】(1)－725；(2) 3356【考点】三角恒等变换的应用 【解析】(1)由cos(α－β)－cos(α＋β)＝813，可得2sin αsin β＝813，则解得sin αsin β＝413；由tan β2＋1tan β2＝265，可得 sinβ2cos β2＋cos β2sin β2＝265，则sin 2β2＋cos 2β2sin β2cos β2＝265，则sin β＝2sin β2cos β2＝513，则sin α＝45，则cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×1625＝－725；(2)由α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，可得cos α＞0，cos β＞0，由sin α＝45，sin β＝513，可得cos α＝1－sin 2α＝35，cos β＝1－sin 2β＝1213，则tan α＝43，tan β＝512，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－5121＋43×512＝3356.19．(本小题满分12分)在①sin C ＋3cos C ＝2，②C ＝2A ，③b ＝2a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上， 若问题中的三角形存在，求a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(3c －2b )cos A ＝2a cos B ， c ＝1，__________?【答案】选①，答案为253；选②，答案为34；选③，三角形不存在【考点】结构不良题：正余弦定理的应用 【解析】由(3c －2b )cos A ＝2a cos B 及正弦定理，可得3sin C cos A －2sin B cos A ＝2sin A cosB ， 则3sin C cos A ＝2sin(A ＋B )，由A ＋B ＋C ＝π可得sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 在△ABC 中，因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，则3cos A ＝2，解得cos A ＝23，又A ∈(0，π)，可得sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53， 若选①：可化简得sin C ×12＋cos C ×32＝1，即sin(C ＋π3)＝1，由C ∈(0，π)，可得C ＋π3＝π2，解得C ＝π6，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，则a ＝1×53×2＝253； 若选②：可化简得sin C ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝459，由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，则a ＝1×53×945＝34； 若选③：则由余弦定理可得，23＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由c ＝1，b ＝2a ，可化简得23＝3a 2＋14a，即9a 2－8a ＋3＝0，其中 ＝64－108＜0，则无解，所以该三角形不存在．20．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ⊥AC ，AB ＝23． (1)若∠ABC ＝30°，CD ＝3AD ，求BD 的长； (2)若AC ＝2，∠ADB ＝30°，求sin ∠CAD 的值． 【答案】(1)19；(2)277【考点】正余弦定理在平面几何中的应用 【解析】(1)由AB ⊥AC ，∠ABC ＝30°，可得AC AB ＝tan30°＝33，由AB ＝23，可得AC ＝2，由AD ⊥CD 且CD ＝3AD ，可得tan ∠CAD ＝CDAD ＝3，则∠CAD ＝60°，则AD ＝AC cos60°＝1，则∠BAD ＝∠CAB ＋∠CAD ＝150°，所以在△ABD 中，由余弦定理可得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD cos ∠BAD ＝12＋1－2×23×1×(－32)＝19，则BD ＝19； (2)设∠CAD ＝θ，由AD ⊥CD ，则AD ＝AC cos θ＝2cos θ，由AB ⊥AC ，可得∠BAD ＝θ＋π2，由∠ADB ＝30°，可得∠ABD ＝π－∠ADB －∠DAB ＝π3－θ，在△ABD 中，由正弦定理可得AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB，即2cos θsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝2312，则cos θ＝23(32cos θ－12sin θ)，则3sin θ＝2cos θ， 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得sin 2θ＋34sin 2θ＝1，由θ∈(0，π)，可得sin θ＞0，sin θ＝277．21．(本小题满分12分)如图1，某景区是一个以C 为圆心，半径为3km 的圆形区域，道路l 1，l 2成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在l 1和l 2上，修建的木栈道AB 与道路l 1，l 2围成三角地块OAB ．(注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等)．(1)当△OAB 为正三角形时，求修建的木栈道AB 与道路l 1，l 2围成的三角地块OAB 面积； (2)若△OAB 的面积S ＝103，求木栈道AB 长；(3)如图2，若景区中心C 与木栈道A 段连线的∠CAB ＝α， ①将木栈道AB 的长度表示为α的函数，并指定定义域； ②求木栈道AB 的最小值．图1 图2【答案】(1)9 3 (2)7；(3)①AB ＝3tan α＋3tan(π3－α)，α∈(0，π3)；②6；【考点】解三角形在实际问题中的应用OA【解析】(1)当△ABC 是等边三角形时，∠ACB ＝120°，CA ＝CB ，则BM ＝AM ＝3CM ＝3，则AB ＝6，△ABC 面积为S ＝12×6×6×sin π3＝93； (2)在△OAB 中，因为S ＝12OA ·OB sin ∠AOB ，则解得OA ⋅OB ＝40， 所以S ＝S △OCA ＋S △OCA ＋S △OAB ＝12(OA ＋OB ＋AB )3，则OA ＋OB ＋AB ＝20， 所以OA 2＋OB 2＋2OA ·OB ＝AB 2－40AB ＋400，则OA 2＋OB 2＝AB 2－40AB ＋320，由余弦定理可得，AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB ，即AB 2＝OA 2＋OB 2－OA ·OB ，则OA 2＋OB 2＝AB 2＋40，则AB 2－40AB ＋320＝AB 2＋40，则解得AB ＝7：(3)设圆与AO ，OB 分别切于N ，P ，则AM ＝AN ，BM ＝BP ，∠CMA ＝∠CNA ＝∠CMB ＝∠CPB ＝90°，则△CMA ≌△CNA ，△CMB ≌△CPB ，则∠CAM ＝∠CAN ，∠CBM ＝∠CBP ，由∠CAB ＝α，可得∠MAP ＝2α，由∠BAO ＋∠OBA ＝π－∠AOB ＝2π3， 可得∠OBA ＝2π3－2α，则∠CBM ＝π3－α， 则AB ＝AM ＋BM ＝CM tan ∠CAM ＋CM tan ∠CBM ＝3tan α＋3tan ⎝⎛⎭⎫π3－α； ①AB ＝3tan α＋3tan ⎝⎛⎭⎫π3－α；α∈(0，π3)； ②AB ＝3tan α＋3(1＋3tan α)3－tan α＝3tan α＋3tan α＋33－tan α＝3tan α＋433－tan α－3 ＝(1tan α＋43－tan α)(tan α＋3－tan α)－3＝3－tan αtan α＋4tan α3－tan α＋2≥6， 当且仅当tan α＝33时等号成，则AB 的最小值6.22．(本小题满分12分) 已知向量→a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，→b ＝(cos x 2，－sin x 2)，函数f (x )＝→a ⋅→b －m |→a ＋→b |＋1，x ∈[－π3，π4]，m ∈R ． (1)当m ＝0时，求f (π6)的值： (2)若f (x )的最小值为－1，求实数m 的值；(3)是否存在实数m ，使函数g (x )＝f (x )＋2449m 2，x ∈[－π3，π4]有四个不同的零点?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)32；(2)m ＝2；(3)[726，74). 【考点】【解析】(1) f (x )＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2－m (cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2＋1 ＝cos(3x 2＋x 2)－m 2＋2cos(3x 2＋x 2)＋1＝cos2x －m 2＋2cos2x ＋1＝cos2x －m 4cos 2x ＋1， 由x ∈[－π3，π4]，可得cos x ＞0，则f (x )＝cos2x －2m cos x ＋1； 当m ＝0时，f (π6)＝cos π3＋1＝32； (2)由(1)可知f (x )＝cos2x －2m cos x ＋1＝2cos 2x －2m cos x ＝2(cos x －m 2)2－m 22， 当x ∈[－π3，π4]时，cos x ∈[12，1]， 当m 2∈[12，1]，即m ∈[1，2]，cos x ＝m 2时，f (x )取到最小值－m 22， 则－m 22＝－1，则m ＝±2，由m ∈[1，2]可得m ＝2； 当m 2＜12，即m ＜1时，cos x ＝12时，f (x )取到最小值12－m ， 则12－m ＝－1，m ＝32，不满足m ＜1，故舍去； 当m 2＞1，即m ＞2时，cos x ＝1时f (x )取到最小值2－2m ， 则2－2m ＝－1，则m ＝32不满足m ＞2，故舍去； 综上m ＝2；(3)g (x )＝f (x )＋2449m 2＝2cos 2x －2m cos x ＋2449m 2＝2(cos x －3m 7)(cos x －4m 7)， 令g (x )＝0，则cos x ＝3m 7或cos x ＝4m 7， 由g (x )在x ∈[－π3，π4]有四个不同零点，即cos x ＝3m 7或cos x ＝4m 7有四个解， 因为cos x 在[－π3，0]上单调递增，在[0，π4]上单调递减，且cos (－π3)＝12，cos0＝1，cos π4＝22， 则22≤3m 7＜1，22≤4m 7＜1，则726≤m ＜74，所以实数m 的取值范围是[726，74)．。
厦门市2020—2021学年度第一学期高一年级质量检测数学试卷(答案)定稿
厦门市2020-2021学年度第一学期高一年级质量检测数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．A 4．B 5．C （教材P140．3） 6．B 7．A （教材P222．例6） 8．B （教材P58．10）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．ABD 10．CD 11．BC 12．BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2 14．π 15．32；22（教师用书P52．12） 16．1316． （教材P231问题、教材P245例2） 解析：以枢轮中心为原点建立坐标系，则P 点纵坐标：1πππ1.7sin 1.7cos 21515y x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；水面纵坐标：2 1.190.017y x =−−， P 点进入水中，则1.7cos 1.190.01715x x π⎛⎫<−− ⎪⎝⎭，即cos 0.70.0115x x π⎛⎫<−− ⎪⎝⎭，作出cos 15y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭和0.70.01y x =−−的图象，在[]10,15存在一个交点，令()cos 0.70.0115h x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为()120h >，()130h <，所以点P 至少经过13分钟进入水中．四、解答题：本题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题考查函数的基本性质、二次不等式、韦达定理等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化、数形结合等思想．满分10分．解：由()()2+2(2)g x f x x x b x c ==+++···················································· 1分 因为()g x 为偶函数，所以()g x 对称轴202b x +=−=，得2b =−． 所以2()2f x x x c =−+ ··············································································· 4分 方案一：选条件①．因为()f x 的对称轴为1x =，且开口向上 ························································ 5分 所以当2x =−时，()f x 取得最大值5····························································· 7分 所以()2445f c −=++=，解得3c =− ························································ 9分所以2()23f x x x =−− ··············································································· 10分 方案二：选条件②．因为()0f x ≤的解集为{}1，且函数()f x 图象开口向上，所以()f x 有且仅有一个零点为1 ··································································· ７分 所以(1)120f c =−+= ·············································································· ８分 所以1c = ································································································· 9分 所以2()2+1f x x x =−················································································· 10分 方案三：选条件③．因为12,x x 为方程220x x c −+=的两根． 所以440c ∆=−，即1c ．且12+2x x =，12x x c = ··············································································· 7分 所以222121212()24210x x x x x x c +=+−=−= ················································ 8分 解得3c =− ······························································································· 9分 所以2()23f x x x =−− ··············································································· 10分 18．本题考查三角函数的图象和性质等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查数形结合，化归与转化等数学思想． 本题满分12分． 解：（1）由图可知，πππ4362T ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭ ····························································· 1分 解得2πT = ······························································································ 2分 因为2πT ω=，所以1ω=············································································· 3分 所以()()sin f x x ϕ=+．因为()f x 的图象过点π,06⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以πsin =06ϕ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭···································· 4分 所以ππ6k ϕ−+=，Z k ∈得ππ6k ϕ=+， 因为π2ϕ<，所以π=6ϕ ············································································· 5分所以()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭·············································································· 6分 （2）解法一：由题意，()πsin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭·················································· 8分 令π26t x =+，因为0πx ≤≤，所以π13π66t ≤≤············································· 9分 由()12g x =，得1sin 2t =，得π6t =，5π6，13π6． 即ππ266x +=或5π6或13π6，解得0x =，π3，π． 所以方程()12g x =在[]0,π的解为0，π3，π ················································· 12分 解法二：令()12g x =，得1ππ22π66x k +=+，1Z k ∈或2π5π22π66x k +=+，2Z k ∈ ··············································································································· 8分 解得1πx k =，1Z k ∈或2ππ3x k =+，2Z k ∈ ·················································· 10分 因为[]0,πx ∈，所以0x =，π3，π 所以方程()12g x =在[]0,π的解为0，π3，π ················································· 12分 19． （教材P161．12）本题考查函数单调性的证明及其应用，对数函数的图象与性质，对数不等式的求解等知识，考查分类讨论、化归与转化等思想．解：（1）()f x 是减函数 ··············································································· 1分 证明如下：12,R x x ∀∈，且12x x < 则121211()()1+21+2x x f x f x −=− ·································································· ２分 211222(1+2)(1+2)x x x x −=································································· 4分 因为12x x <，所以21220x x −>，又因为11+20x >，21+20x > ··························· 5分所以12()()0f x f x −>，即12()()f x f x >．所以()f x 是减函数 ····················································································· 6分 （2）由题意得()1log 2(1)3a f f >=，由（1）知()f x 是减函数 ························· 7分 所以log 21a < ··························································································· 8分 当1a >时，由log 21log a a a <=，得2a >，所以2a > ··································· 10分 当01a <<时，由log 21log a a a <=，得2a <，所以01a <<． 综上所述：a 的取值范围为()()0,12,+∞ ······················································ 12分 20． （教材P255．22）本题考查三角函数图象与性质，诱导公式． 考查运算求解，推理论证能力． 考查化归与转化，数形结合等数学思想． 本题满分12分．解：（1）()112cos 2222f x x x m =+++ ················································ 2分 1sin 262x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭·························································· 3分当ππ22π62x k +=−+，Z k ∈，即ππ3x k =−+，Z k ∈时，()f x 的最小值为132m −=−，得52m =− ······················································ 4分 因为()sin 226f x x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，令26z x π=+，函数sin 2y z =−的单调递减区间是π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ ······················· 5分 且由ππ3π2π22π262k x k +++，得π2ππ+π63k x k + 所以函数()f x 的单调递减区间是π2ππ+,π63k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ ······························· 6分 （2）由题意得：πsin sin 2202a x x ⎛⎫++−< ⎪⎝⎭在()0,π上恒成立 所以sin cos 220a x x +−<在()0,π上恒成立 ·················································· 7分所以2sin 12sin 0a x x −−<在()0,π上恒成立 ················································· 8分 因为()0,πx ∈，所以(]sin 0,1x ∈ ································································· 9分 所以22sin 112sin sin sin x a x x x+<=+在()0,π上恒成立 又因为12sin 22sin x x +，当且仅当12sin sin x x =，即π4x =或3π4时，等号成立．所以a 的取值范围为(−∞ ···································································· 12分 21．（教材P156．11）本题考查指数函数模型应用，对数运算等知识；考查运算求解和推理论证等能力、应用意识与创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想．本题满分12分． 解：（1）记20172019−年全球年产生数据量的年增长率分别为1p ，2p ，3p 依题意得12610.4418p =−≈，23310.2726p =−≈，34110.2433p =−≈ ················ 3分 所以()10.440.270.240.323p =++≈ ··························································· 4分 又因为18a = ···························································································· 5分 所以()()18(10.32)18 1.32N ttf t t =⨯+=⨯∈ ················································ 6分 （2）设从2020年起，经过n 年我国的数据量将达到全球数据总量的30%，由（1）知2020年全球年产生数据量为418 1.32⨯ ············································· 7分 依题意得()440.218 1.32(10.5)18 1.320.3nn +⨯⨯⨯+⨯⨯ ···································· 9分所以 1.53 1.322n⎛⎫ ⎪⎝⎭即 1.51.323lg3lg 3lg 20.4770.3010.1762log3.21.52lg 3lg 2lg1.320.4770.3010.1210.055lg 1.32n −−==≈==−−−−··············································································································· 11分答：估计到2024年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%． ······················· 12分 22．本题考查函数单调性与最值、零点与基本不等式等基本知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化、函数与方程、分类讨论等数学思想方法． 解：(1) 因为(1)xy a a =>，1y x=−在(0,)+∞上单调递增.............................................. 1分所以1()(1)xf x a a x=−>在(0,)+∞上单调递增 ................................................................. 2分 所以()f x 在[1,2]的最大值为()2122f a =− ....................................................................... 3分所以21722a −=，所以2a = ................................................................................................... 4分（2）证明：因为(,0)x ∈−∞，所以1()0xf x a x=−>所以1()xf x a x =−在(,0)−∞不存在零点 ............................................................................. 5分由(1)得1()xf x a x=−在(0,)+∞上单调递增，又因为11()0a f a a a=−<，(1)10f a =−>，所以()f x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且01(,1)x a∈ ......................................................... 7分方法一：因为010xa x −=，所以001x x a =，00log 0a x x += .......................................... 8分 因为01(,1)x a ∈，所以012x x +>， 所以0012x x −<，00001log (2)log log a a a x x x x −<=−= .............................................. 10分 由001x x a=，00log (2)a x x −<所以02200000log (2)22x a x x x ax x −+−<+− ................................................................... 11分因为001x <<，所以2002x x +<，得证． ........................................................................ 12分方法二：因为010x a x −=，有001x x a = 所以02200000log (2)2log (2)2x a a x x x ax x −+−=−+− ..................................................... 8分因为()log (2)a g x x =−在1(,1)a 单调递减， 所以01log (2)log (2)a a x a−<−， 当1a >时，12a a +>，所以12a a−< 有1log (2)log 1a a a a−<=，即0log (2)1a x −< ................................................................ 10分因为2()2h x x =−在1(,1)a单调递增，所以2021x −<− .................................................. 11分所以200log (2)20a x x −+−<，得证 .................................................................................. 12分。
福建省漳州第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 附答案
漳州一中2020~2021学年第二学期期中考试高一年数学科 试卷考试时间：120分钟 满分：150分 命题：高一数学备课组一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，且复数|34|12i i z+=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．103- B ．103i -C ．2iD ．2 2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．直线在平面内D ．平行或直线在平面内3．若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则2(Z)2k k πθπ=+∈是21z =-的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知圆锥的轴裁面为正三角形，且侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ）AB C D ．5．在ABC ∆中，2cos cos cos c bc A ac B ab C =++，则此三角形必是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形6．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P ，已知34AM AB =且35AN AD =，若AP AC λ=，则实数λ的值为（ ） A ．12 B ．13 C ．23 D ．347．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，若圆柱的表面积是6π，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π8．在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =动点P 位于直线BC 上，当AP PB ⋅取得最大值时，向量AP 与PB 夹角的余弦值为（ ）A ．7B ．7-C ．7D ．7- 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷
乌鲁木齐市第一中学2021-2022学年第二学期2024届高一年级期中考试数学试卷考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知复数z 满足()13i z i -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（）A ．1B ．2CD ．42．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是A ．12B ．14C ．1D ．391293．如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不能满足//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知向量a ，b 满足a = b ()1a b b -⋅= ，则向量a ，b夹角的大小等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2cos b Aa c B+=，则角B =（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π6．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()15m -，在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m7．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若AB a = ，AD b =，=3E E F B ，则AF=（）A ．13162525a b +B ．16122525a b +C ．2455a b+ D ．1355a b+ 8．已知点O 是ABC 的内心，若4199AO AB AC =+，则cos ∠BAC =（）A ．15B ．16C ．18D ．19第II 卷（非选择题）二、多选题（每小题5分，共20分）9．在复平面内，下列说法正确的是（）A ．若复数1i1iz +=-（i 为虚数单位），则301z =-B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R∈C ．若复数z 满足1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆D ．若复数z 满足4i 2z -=，则z 的最小值为610．设,a b是两个非零向量．则下列命题为假命题的是（）A ．若a b a b +=- ，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则a b a b+=- C ．若a b a b +=- ，则存在实数λ，使得b a λ= D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则a b a b+=- 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点B 到平面AEF 的距离为1312．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足224sin 02A Bb a a +-+=，则下列结论正确的是（）A ．角C 一定为锐角B ．22220a b c +-=C ．3tan tan 0A C +=D ．tanB 三、填空题（每小题5分，共20分）13．如图所示，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________14．在三棱锥P ABC -中，已知PA PB PC AC ===，AB BC ⊥，则直线PB 与平面ABC 所成角的余弦值为___________.15．足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F )，顶点数(V )，棱数(E )满足F +V -E =2，那么，足球有______.为______.cm (结果保留整数)(参考数据tan 54 1.381,73, 3.14).π︒===16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，它的面积等于2223()4b c a +-，且2222b c a a +=+，则A =_______，△ABC 的面积的取值范围是_________.四、解答题(第17题10分，第18题-第22题每题12分)17．已知a ∈R ，b ∈R ，方程20x ax b ++=的一个根为1i -，复数1i z a b =+，满足24=z .（1）求复数1z ；（2）若120z z ⋅>，求复数2z .18．如图甲，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD上（1）若:::PM MA BN ND PQ QD ==，求证：平面//MNQ 平面PBC ；（2）如图乙所示，若Q 满足:2PQ QD =，PM tPA =，当t 为何值时，//BM 平面AQC ．19．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2224cos b c a AB AC A+-⋅= .(1)求A ；(2)若D 为BC 的中点，且△ABC 3322AB =，求AD 的长.20．已知向量13(3,1),22a b ⎛=-= ⎝⎭ .(1)求与a 平行的单位向量c；(2)设()23,x a t b y k ta b =++=-⋅+ ，若存在[0,2]t ∈，使得x y ⊥r u r 成立，求k 的取值范围.21．在ABC ∆中，满足：AB AC ⊥，M 是BC 的中点.（1）若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC == ，求⋅+⋅OA OB OC OA 的最小值：（2）若点P 是BAC ∠内一点，且2AP = ，2AP AC ⋅= ，1AP AB ⋅=，求AB AC AP ++ 的最小值.22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，(1)求△ABC 的面积；(2)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF⋅的最小值.乌鲁木齐市第一中学2021-2022学年第二学期2024届高一年级期中考试数学试卷考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知复数z满足()13i z i-=-（i为虚数单位），则复数z的模等于（）A．1B．2CD．4【答案】C【解析】由复数的除法求出复数z，再由模的定义求得模．【详解】由题意23(3)(1)3321(1)(1)2i i i i i iz ii i i--++--====+--+，∴2z i=+=．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模．属于基础题．2．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是A．12B．14C．1D．39129【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得截面半径，然后求解体积的比值即可.【详解】由题意设上、下底面半径分别为r、4r,截面半径为x,圆台的高为2h,则有15,322 x r x r r-=∴=则VV=上下()()2222139311294163h r rx xh x rx rππ++=++.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查圆台的结构特征，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中不能满足//MN平面ABC的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.【详解】对于A 选项，由下图可知////MN DE AC ，MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，故选项A 不符合题意.对于B 选项，设H 是EG 的中点，由下图，结合正方体的性质可知，//,////,//AB NH MN AH BC AM CH ，所以,,,,,A B C H N M 六点共面，故MN ⊂平面ABC ，因此选项B 符合题意.对于C 选项，由下图可知////MN DE BC ，MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，故选项C 不符合题意.对于D 选项，设AC NE D ⋂=，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，所以//MN BD ，由于MN ⊄平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，故选项D 不符合题意.故选：B4．已知向量a ，b满足a =b ()1a b b -⋅= ，则向量a ，b夹角的大小等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A 【解析】将()1a b b -⋅= 展开并结合,a b 求解出a b ⋅的值，再根据向量的数量积定义即可求解出cos ,a b <> 的值，从而,a b <>可求.【详解】由()1a b b -⋅= 可得21a b b ⋅-=，所以213a b ⋅=+= ，所以cos ,a b a b a b⋅<>=⋅r rr r r r 0,180a b ︒≤<>≤︒则向量a ，b夹角的大小为30°．故选：A ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据向量的模长以及向量数量积的定义和结果，计算出cos ,a b <>的值.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2cos b Aa c B+=，则角B =（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【答案】C 【解析】【分析】由cos 2cos b Aa c B+=，可得sin cos cos sin 2sin cos B A B A C B +=，则sin()2sin cos A B C B +=，从而可得sin 2sin cos C C B =，求出cos B 的值，从而可求出角B【详解】解：因为cos 2cos b Aa c B+=，所以由正弦定理得sin cos sin 2sin cos B AA C B+=，所以sin cos cos sin 2sin cos B A B A C B +=，所以sin()2sin cos A B C B +=,sin()2sin cos C C B π-=,sin 2sin cos C C B =,因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，故选：C6．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()15m -，在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m【答案】D 【解析】【分析】求得AM ，再在三角形ACM 中，运用正弦定理可得CM ，再解直角三角形CDM ，计算可得所求值．【详解】解：在直角三角形ABM 中，sin15ABAM =︒．在ACM ∆中，301545CAM ∠=︒+︒=︒，1801560105AMC ∠=︒-︒-︒=︒，故1804510530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理，sin sin AM CMACM CAM=∠∠，故sin 2sin sin15CAM ABCM AM ACM ∠=⋅=∠︒．在直角三角形CDM 中，15315sin 6066303()2sin15622()44ABCD CM m -=︒==⨯=︒⨯-．故选：D ．7．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若AB a = ，AD b =，=3E E F B ，则AF=（）A ．13162525a b + B ．16122525a b + C ．2455a b + D ．1355a b + 【答案】A【解析】【分析】如图，设小正方形的另外两个顶点为,G H ，利用向量的线性运算构建关于AF 的向量方程，从而可得13162525AF a b =+ ．【详解】如图，设小正方形的另外两个顶点为,G H ，则AF AB BC CF AB BC AG =++=+- ，因为=3E E F B ，由正方形的对称性可得3AG GE = ，所以()3333339444441616AG AE AB BE AB BF AB AF ==+=+⨯=+ ，故391616AF AB BC AB AF ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，故25131616AF AB BC =+ ，所以1316131625252525AF AB BC a b =+=+ ，故选：A ．8．已知点O 是ABC 的内心，若4199AO AB AC =+ ，则cos ∠BAC =（）A ．15B ．16C ．18D ．19【答案】C【解析】【分析】设41,99AD AB AE AC == ，则四边形ADOE 为菱形，设该菱形的边长为a ，则9,94AB a AC a ==，表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出BC 的长，然后转化为等腰三角形处理即可【详解】解：由4199AO AB AC =+ ，设41,99AD AB AE AC == ，则四边形ADOE 为平行四边形，因为点O 是ABC 的内心，所以OAD OAE ∠=∠，所以四边形ADOE 为菱形，设该菱形的边长为a ，则9,94AB a AC a ==，因为OD ∥AC ，BDO BAC ∠=∠，所以ABC 的内切圆半径sin r a BAC =∠，所以11sin ()22ABC S AB AC BAC AB AC BC r =⋅∠=++ ，所以999sin (9)sin 44a a a BAC a BC a BAC ⨯⋅∠=++⋅∠，解得9BC a =，所以ABC 为等腰三角形，所以1191224cos 98AB a BAC AC a ⨯∠===，故选：C第II 卷（非选择题）二、多选题（每小题5分，共20分）9．在复平面内，下列说法正确的是（）A ．若复数1i 1iz +=-（i 为虚数单位），则301z =-B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R∈C ．若复数z 满足1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆D ．若复数z 满足4i 2z -=，则z 的最小值为6【答案】AC【解析】【分析】对于A ，先求得i z =，再计算即可；对于B ，设i z a b =+，得0ab =，从而可判断；对于C ，由复数模的几何意义可判断；对于D ，根据条件得到z 的表达式，再求最值即可.【详解】对于A ，21i (1i)i 1i (1i)(1i)z ++===--+，则21z =-，所以3021515()(1)1z z ==-=-，故A 正确；对于B ，设i z a b =+，则2222(i)2i R z a b a b ab =+=-+∈，则可知0ab =，而i z a b =-，若0,0a b =≠时，R z ∉，故B 不正确；对于C ，由复数的模的几何意义可知是正确的；对于D ，设i z a b =+，由z 满足4i 2z -=，则有22(4)4a b +-=，令2cos 2sin 4a b αα=⎧⎨=+⎩，则2z =≥，所以z 的最小值为2，故D 不正确..故选：AC10．设,a b 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是（）A ．若a b a b +=- ，则a b⊥ B ．若a b ⊥ ，则a b a b+=- C ．若a b a b +=- ，则存在实数λ，使得b aλ= D ．若存在实数λ，使得b a λ= ，则a b a b+=- 【答案】ABD【解析】【分析】对于AB ：将a b a b +=- 两边同时平方进行化简，由此判断是否正确；对于C ：根据化简结果计算出,a b 的夹角，由此进行判断；对于D ：分析0,0λλ><时的情况.【详解】对于A ，若a b a b +=- ，则222222a b a b a b a b ++⋅=+- ，得0a b a b ⋅=-≠ ，所以a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a b ⊥ ，则a b a b +≠- ，所以B 为假命题；对于C ，若a b a b +=- ，则222222a b a b a b a b ++⋅=+- ，得a b a b ⋅=- ，则cos 1θ=-，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b a λ= ，所以C 为真命题．对于D ，若存在实数λ，使得b a λ= ，显然0λ≠，当0λ>时，,a b 同向，此时a b a b +=+ ，当0λ<时，,a b 反向，此时a b a b +=- ，所以a b a b +=- 不恒成立，所以D 不正确．故选：ABD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点B 到平面AEF 的距离为13【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，取11B C 的中点K ，连接11,,KF B C A D ，由正方体的性质判断，对于B ，取11B C 的中点N ，连接1,A N GN ，然后利用面面平行判断，对于C ，把截面AEF 补形为四边形1AEFD ,由等腰梯形计算其面积，对于D ，由等体积法计算即可【详解】解：对于A ，如图所示，取11B C 的中点K ，连接11,,KF B C A D ，由正方体的性质可知1AD ‖KF ，在AKF 中，1133,,2222KF B C AF AK =====，而222AK AF KF ≠+，所以KF 与AF 不垂直，所以直线1A D 与直线AF 不垂直，所以A 错误，对于B ，如图所示，取11B C 的中点N ，连接1,A N GN ，则有GN ‖EF ，1A N ‖AE ，因为GN Ë平面AEF ，1A N ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以GN ‖平面AEF ，1A N ‖平面AEF ，因为1GN A N N = ，所以平面1AGN ‖平面AEF ，因为1AG ⊂平面1AGN ，所以直线1A G 与平面AEF 平行，所以B 正确对于C ，如图所示，连接11,D F D A ，延长1,D F AE 交于点S ，因为E ，F G 分别为BC ，1CC 的中点，所以EF ‖1AD ，所以1,,,A E F D 四点共面，所以截面即为梯形1AEFD ，因为CF CE =,所以2222CF CS CE CS +=+，即22FS ES =，即FS ES =，因为1D F AE =，所以1D F FS AE ES +=+，即15D S AS ==12AD ，所以等腰三角形1AD S 的高为322h =，梯形1AEFD 的高为3224h =1AEFD 的面积为1112329()2222248h EF AD +⋅=⨯+⨯=⎝，所以C 正确，对于D ，151********AE EF =+=+=，在AEF 中，由余弦定理得222529444cos ,210AE EF AF AEF AE EF +-+-∠==-⋅所以sin AEF ∠==所以1328AEF S ∆==设点B 到平面AEF 的距离为d ，则由B AEF F ABE V V --=，可得131111(1383222d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得13d =，所以D 正确，故选：BCD12．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足224sin02A B b a a +-+=，则下列结论正确的是（）A ．角C 一定为锐角B ．22220a b c +-=C ．3tan tan 0A C +=D ．tan B【答案】BC【解析】【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】依题意224sin 02A B b a a +-+=，()1cos 2402A B b a a -+-+=，1cos 2402C b a a +-+=，2cos 0cos 0,2b b a C C C a+=⇒=-<为钝角，A 选项错误.2222222cos 0,20,02a b c a b c b a C b a b ab b+-+-+=+⋅=+=，22222220,20b a b c a b c ++-=+-=，B 选项正确.2cos 0b a C +=，由正弦定理得sin 2sin cos 0B A C +=，()sin 2sin cos 0A C A C ++=，3sin cos cos sin 0A C A C +=，由于cos 0C <，C 为钝角，A 为锐角，所以两边除以cos cos A C 得，3tan tan 0A C +=.C 选项正确.()3tan tan 0tan 3tan 0A C C B C +=⇒-+=，tan tan 3tan tan 0tan 301tan tan B C A C C B C++=⇒-⨯=-⋅，整理得2tan 3tan tan B C C=-+-，由于C 为钝角，tan 0C ->，所以3tan tan C C -+≥=-当且仅当32tan tan 3C C C π-=⇒=-时等号成立.所以tan B ≤D 选项错误.故选：BC三、填空题（每小题5分，共20分）13．如图所示，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________＋2【解析】【详解】根据斜二侧画法可知,原图形为直角梯形,其中上底AD=1,高AB=2A′B′=2,下底为1BC =，22=+.＋2.14．在三棱锥P ABC -中，已知PA PB PC AC ===，AB BC ⊥，则直线PB 与平面ABC 所成角的余弦值为___________.【答案】12##0.5【解析】【分析】取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，根据等腰三角形的性质证明PO AC ⊥，结合三角形全等证明PO ⊥平面ABC ，然后根据线面角定义可得.【详解】如图，取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，因为AB BC ⊥，所以OB OA OC ==，又PA PB PC ==，所以POA POB POC ∽∽，且PO AC ⊥，所以PO OB ⊥，又OA OB O = ，所以PO ⊥平面ABC ，所以PB 与平面ABC 所成角为PBO ∠，所以112cos 2AC OB PBO PB AC ∠===.故答案为：1215．足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F )，顶点数(V )，棱数(E )满足F +V -E =2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为21，则足球的直径为______.cm (结果保留整数)(参考数据tan 54 1.38,31,73, 3.14).π︒===【答案】2022【解析】【分析】首先根据足球表面的规律，设正五边形为x 块，正六边形为y 块，列出方程组11(56)(56)2321562x y x y x y x y ⎧+++-+=⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解方程组即可.分别计算正六边形和正五边形的面积，从而得到足球的表面积，再利用球体表面积公式即可得到足球的直径.【详解】因为足球是由正五边形与正六边形构成，所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.设正五边形为x 块，正六边形为y 块，有题知：11(56)(56)2321562x y x y x y x y ⎧+++-+=⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得1220x y =⎧⎨=⎩.所以足球有20个正六边形的面.每个正六边形的面积为21363(21)63222⨯=.每个正五边形的面积为1tan 54105tan 545224︒︒⨯=.球的表面积105tan 5420124S =⨯ 315tan 541089.9434.71524.6=+=+=.所以224(2)1524.6R R ππ==，222R ≈.所以足球的直径为22.故答案为：20，22.【点睛】本题主要通过传统文化背景，考查球体的直径和表面积公式，同时考查了学生理解问题的能力，属于中档题.16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，它的面积等于222)4b c a +-，且2222b c a a +=+，则A =_______，△ABC 的面积的取值范围是_________.【答案】3π【解析】【分析】由2222b c a a +=+结合余弦定理可得cos a bc A =，由△ABC ，可是1sin 2bc A ==，两式结合可求得tan A =，从而可求出角A ；利用正弦定理，余弦定理，三角函数等变换的应用可得311sin(2)2264B a π=-+，可求出范围52(,666B πππ-∈，利用正弦函数的性质可求解a 的范围，进而可求得△ABC 的面积的取值范围【详解】解：因为2222b c a a +=+，所以2222b c a a +-=，所以由余弦定理得2222cos 22b c a a a A bc bc bc+-===，所以cos a bc A =，因为△ABC 面积等于222)4b c a +-，所以2221)2sin 2442b c a a bc A a +-===，所以1sin cos 222bc A a A ==，所以tan A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=，因为1cos 2a bc A bc ==，所以1sin 22ABC S bc A a == ，因为由正弦定理可得b B =，2sin()3c B π=-，2a bc =，所以2422sin sin()33a a B B π=-,所以311sin(2)2264B a π=-+，因为△ABC 为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以52(,666B πππ-∈，所以31113sin(2)(,]226424B a π=-+∈，所以[2,3)a ∈，所以1sin )222ABC S bc A a ==∈ ，故答案为：3π，四、解答题(第17题10分，第18题-第22题每题12分)17．已知a ∈R ，b ∈R ，方程20x ax b ++=的一个根为1i -，复数1i z a b =+，满足24=z .（1）求复数1z ；（2）若120z z ⋅>，求复数2z .【答案】（1）122i z =--；（2）2z =-.【解析】【分析】（1）将1i -代入方程20x ax b ++=，化简后利用复数相等的知识列方程组，由此求得,a b ，从而求得1z .（2）设2=+z x yi ，利用24=z 、120z z ⋅>来求得,x y ，进而求得2z .【详解】（1）依题意，得2(1i)(1i)0a b -+-+=，即()(2)i 0a b a ++--=，由复数相等的定义及a ，b ∈R ，得020a b a +=⎧⎨--=⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩.故复数1i 22i z a b =-=--.（2）设2=+z x yi （x ∈R ，y ∈R ），由24=z ，得2216x y +=，12(22i)(i)(22)(22)i z z x y x y x y ⋅=--+=-+-+，又120z z ⋅>，得220220x y x y -+>⎧⎨+=⎩，即y x x y >⎧⎨=-⎩，所以2216x y x y y x ⎧+=⎪=-⎨⎪>⎩，解得x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以2z =-.18．如图甲，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD上（1）若:::PM MA BN ND PQ QD ==，求证：平面//MNQ 平面PBC ；（2）如图乙所示，若Q 满足:2PQ QD =，PM tPA =，当t 为何值时，//BM 平面AQC ．【答案】（1）证胆见解析，（2）12t =【解析】【分析】（1）由已知比例式结合平行线截线段成比例证明线线平行，进一步得到线面平行，再由面面平行的判定定理可证得结论；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则可得BG ∥OQ ，可得BG ∥平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∥AQ ，可得GM ∥平面AQC ，则平面BGM ∥平面AQC ，则BM ∥平面AQC ，可得M 为PA 的中点.【详解】（1）证明：因为::PM MA PQ QD =，所以QM ∥AD ，因为AD ∥BC ，所以QM ∥BC ，因为QM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以QM ∥平面PBC ，因为::BN ND PQ QD =，所以QN ∥PB ，因为QN ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，，所以QN ∥平面PBC ，因为QM QN Q = ,QM ⊂平面MNQ ,QN ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PBC ；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则BG ∥OQ ，因为QO ⊂平面AQC ,BG ⊄平面AQC ，所以BG ∥平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∥AQ ，因为AQ ⊂平面AQC ，GM ⊄平面AQC ，，所以GM ∥平面AQC ，因为BG GM G ⋂=，所以平面BGM ∥平面AQC ，因为BM ⊂平面BGM ，所以BM ∥平面AQC ，此时M 为PA 的中点，所以12PM PA =，因为PM tPA =，所以12t =19．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2224cos b c a AB AC A+-⋅= .(1)求A ；(2)若D 为BC 的中点，且△ABC 的面积为332，2AB =，求AD 的长.【答案】(1)3A π=(2)2AD =【解析】【分析】（1）利用向量内积和所给条件结合余弦定理，得到关于cos A 的二次方程，从而得解；（2）利用已知条件结合面积公式求出AC ，利用面积公式求出BC ,利用正弦定理求出sin B ，再根据22sin cos 1θθ+=，求出cos B =ABD 使用余弦定理求出AD .(1)因为2224cos b c a AB AC A+-⋅= ，所以222||||cos cos ,4cos b c a AB AC A bc A A+-⋅==uu u r uuu r 即22222cos cos 2b c a A A bc +-==，即22cos cos 0A A -=，解得1cos 2A =或cos 0A =，又因为锐角ABC ，即(0,)2A π∈，所以1cos 2A =，所以3A π=.(2)（2）由（1）知3A π=，因为ABC 的面积为22AB =，可得11sin 22222ABC S AB AC A AC =⋅=⨯⨯⨯= ，解得3AC =，则22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⨯=+-⨯⨯⨯=，所以BC =又由sin sin AC BC B A=，可得sin sin 14AC A B BC ==，则229217cos 1sin 1196196B B ⨯=-=-=，因为(0,)2B π∈，所以cos B =又由122BD BC ==，所以2227192cos 42242144AD AB BD AB BD B =+-⨯⨯=+-⨯⨯=，所以2AD =.20．已知向量11),,22a b ⎛=-= ⎝⎭.(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设()23,x a t b y k ta b =++=-⋅+ ，若存在[0,2]t ∈，使得x y ⊥r u r 成立，求k 的取值范围.【答案】(1)21⎫-⎪⎪⎝⎭或21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）待定系数法设坐标后列方程组求解（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题(1)设(,)x y = c，根据题意得221,0,x y x ⎧+=⎪+=解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12⎫∴=-⎪⎪⎝⎭ c或12⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ c .(2)11),,02a b a b ⎛=-=∴⋅= ⎝⎭.()222,||3||0x y kt a t b ⊥∴-++= .||2,||1a b == ，2430t kt ∴-+=.问题转化为关于t 的二次方程2430t kt -+=在[0,2]内有解.令2()43f t t kt =-+，①当20k，即0k 时，()f t 在 [0,2]内为增函数，(0)3f =方程2430t kt -+=在[0,2]内无解.②当022k < ，即01k < 时，由216120k ∆=-，解得2k -或1k k .③当22k >，即1k >时，()f t 在 [0,2]内为减函数，由(2)0f得4830k -+ .解得7,18k k ∴> .综上，实数k的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭.21．在ABC ∆中，满足：AB AC ⊥ ，M 是BC 的中点.（1）若O 是线段AM上任意一点，且AB AC == ，求⋅+⋅ OA OB OC OA 的最小值：（2）若点P 是BAC ∠内一点，且2AP = ，2AP AC ⋅= ，1AP AB ⋅= ，求AB AC AP ++ 的最小值.【答案】（1）12-；（2）72【解析】【分析】（1）设OA x = ，则1OM x =- ，根据向量加法的平行四边形法则可得2OB OC OM +=uu u r uuu r uuu r ，再利用向量数量积定义可得⋅+⋅ OA OB OC OA 22cos OA OM OA OM π=⋅= ，配方即可求最值.（2）设2CAP BAP παα∠=⇒∠=-，由题意根据向量数量积的定义可得1cos AC α=，12sin AB α= ，将AB AC AP ++ 两边平方展开，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）AB AC == 1AM ∴= ，设OA x = ，则1OM x =- ，而2OB OC OM +=uu u r uuu r uuu r ，()OA OB OC OA OA OB OC ∴⋅+⋅=⋅+ 22cos OA OM OA OM π=⋅= ()22112122222x x x x x ⎛⎫=--=-=-- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，⋅+⋅ OA OB OC OA 的最小值是12-.（2）设2CAP BAP παα∠=⇒∠=-，2AP AC ⋅= ，1AP AB ⋅= ，2AP = ，12cos 2cos AC AC αα∴⋅=⇒= ，同理：12cos 122sin AB AB παα⎛⎫⋅-=⇒= ⎪⎝⎭，2AB AC AP∴++ 222222AB AC AP AB AC AC AP AB AP=+++⋅+⋅+⋅2211424cos 4sin αα=++++222222sin cos sin cos 10cos 4sin αααααα++=++2222sin cos 454545491cos 4sin 4444αααα=++≥+=+=当且仅当2222sin cos tan cos 4sin 2ααααα=⇒=时，所以min 72AB AC AP ++= .【点睛】本题考查了向量数量积的定义、向量模的运算、基本不等式求最值，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，(1)求△ABC 的面积；(2)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF⋅ 的最小值.【答案】(1)245(2)4825【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理求得b =6.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-，利用余弦定理可得：表示出()cos ,cos πθθ-，列方程解得边长5a =.求出4sin 5A =,即可求得△ABC 的面积；（2）设AE m = ，AF n = 由△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，得到6mn =.利用平面向量的运算表示出()()26mn mn AG AB AC m n m n =+++ ，62n m EF AC AB =- ,得到24812156AG EF m ⎛⎫⋅=-+ +⎝⎭ ，利用函数求最值.(1)由余弦定理得：2222cos a c b ac B =+-，所以222223a c b cosA bc ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭可化为：22cos 23ac B cosA bc ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1cos .3a B bcosA b +=由正弦定理得：1 sin cos sin sin 3A B BcosA A +=，所以1sin sin 3A B B +=（）因为C A B π++=，所以C A B π+=-，所以sin sin C sinC A B π+=-=，即1sinC sin 3B =.由正弦定理得：c 13b =.因为2c =，所以b =6.在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，所以62CD AC BD AB ==,不妨设,3BD t CD t ==.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-.由余弦定理可得：22222225cos 2t AD BD AB AD BD θ⎛+- +-==⋅()()222222365cos 2t AD CD AC AD CD πθ⎛⎫+- ⎪+--=⋅因为()cos cos πθθ-=-()222222236550t t ⎛⎛+-+- ⎪，解得：5t =.所以边长45a t ==.由余弦定理可得：222222263cos 22265AB AC BC A AB AC +-+-⎝⎭===⋅⨯⨯,且()0,A π∈，所以4sin 5A ===,所以△ABC 的面积为11424sin 622255bc A =⨯⨯⨯=.(2)设AE m = ，AF n = .因为△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，所以11412sin 2255mn A mn =⨯=，所以6mn =.因为AD 为∠BAC 的角平分线，所以31CD BD =，所以3144AD AB AC =+ 设3134444AG AD AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭.因为E 、F 、G 三点共线，所以()()1126m n AG AE AF AB AC μμμμ=+-=+- .所以()342146m n λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ，得到n m n μ=+.所以()()26mn mn AG AB AC m n m n =+++ .而62n m EF AC AB =- ,所以()()2662mn mn n m AG EF AB AC AC AB m n m n ⎡⎤⎛⎫=+⋅-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦ ()12362mn n m AB AC AC AB m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()2222186mn m n n m AB AC AC AB m n -⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭.而336cos 2655AC AB AC AB A ⋅=⨯⨯=⨯⨯= .所以()()()836222655mn n m mn n m AG EF n m m n m n --⎛⎫⋅=-+⨯= ⎪++⎝⎭ 因为6mn =，02,06m n <≤<≤，所以606m <≤，解得：12m ≤≤，所以()()22264848648121656565m m m AG EF m m m m ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅===-+ +⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .因为12m ≤≤，所以214m ≤≤，所以27610m ≤+≤，所以21111067m ≤≤+，所以21212121067m ≤≤+，所以2212511067m ≤-+≤+，所以248481248125567m ⎛⎫≤-+≤ ⎪+⎝⎭，所以AG EF ⋅ 的最小值为4825.【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.（2）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．。
甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
兰州一中2020-2021-2学期高一年级期中考试试题参考答案数学命题：何乃文 审题：陈小豹本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．将两个数1,2a b ==交换，使2,1a b ==，下列语句正确的是（ ）.A ．=,=a b b aB ．=,=b a a bC ．=,=,=a c c b b aD ．=,=,=c b b a a c 2．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ） A ．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B ．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C ．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D ．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”3．已知实数,x y 满足22430x y x +-+=,则 ）AB ．C ．1D ．24．某公司从代理的A ，B ，C ，D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A ，B ，C ，D 四种产品的数量比是2：3：2：4，则该样本中D 类产品的数量为（ ） A ．55件B ．40件C ．33件D ．22件5．某公司在2016－2020年的收入与支出如下表所示：根据表中数据可得回归方程为ˆ0.8a yx =+，依此估计2021年该公司收入为8亿元时支出为（ ） A ．4．2亿元B ．4．4亿元C ．5．2亿元D ．5．4亿元6．下列各数中最大的数是（ ） A ．()985B ．()6210C ．()41000D ．()21111117．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）A ．24和29B ．26和29C ．26和32D ．31和298．我校高中数学兴趣小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标（x ，y ）()01,01x y <<<<，其中有399个点的坐标满足221x y +≤，据此可估计π的值约为（ ） A ．3.19B ．3.16C ．3.14D ．3.119.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ） A ．40.6, 1.1B ．48.8, 4.2C ．81.2, 44.4D ．78.8, 75.610．已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x +y =a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为（ ）A ．[-B ．(,)-∞-⋃+∞C ．(-D ．(-11．从标有1、2、3、…、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是（ ） A ．1318B ．1118C ．718D ．1212．曲线1y =与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．5012⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．5+12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， C ．1334⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．53124⎛⎤⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个容量为n 的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是48和0.3，则n ＝________. 【答案】16014．下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是_______【答案】515．由点(1,3)P -向圆222220x y x y ++--=作的切线方程为___________． 【答案】1x =或3490x y ++=16．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (3,0),C (0,a )，D (0,a +2)，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．（注：PA 表示点P 与点A 之间的距离）【答案】1⎡⎤-⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）同学小王通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书. 求小王周末不在家看书的概率.解析：∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，……………3分 去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116， ……………6分 ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.故小王周末不在家看书的概率：1316 ……………10分18．（本小题12分）已知直线:30l kx y k --=与圆22:8290M x y x y +--+=.（Ⅰ）求证：直线l 必过定点，并求该定点； （Ⅱ）当圆M 截直线l 所得弦长最小时，求k 的值.【解析】（Ⅰ）证明：直线l 方程可化为：()30k x y --=， 对上式中，当3,0x y ==时，不论k 取何值，等式恒成立，所以直线l 恒过点()3,0A .……………4分（Ⅱ）将圆M 的方程化为：()()22418x y -+-=，圆心为()4,1M ，半径r =由（Ⅰ）知，直线l 恒过点()3,0A ，当圆M 截直线l 所得弦长最小时，则MA 垂直于直线l ， ……………8分 即1MA k k ⋅=-.()4,1M ，()3,0A ，10143MA k -∴==-，1k ∴=- 所以当圆M 截直线l 所得弦长最小时，k 的值为1- .……………12分 19．（本小题12分）一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：（1）2只球都是红球的概率 （2）2只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？【解析】记两只白球分别为1a ，2a ；两只红球分别为1b ，2b ；两只黄球分别为1c ，2c 从中随机取2只的所有结果为()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()12,a c ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()22,a c ，()12,b b ，()11,b c ，()12,b c ，()21,b c ， ()22,b c ，()12,c c 共15种（1）2只球都是红球为()12,b b 共1种，概率115P =……………4分 （2）2只球同色的有：()12,a a ，()12,b b ，()12,c c ，共3种，概率31155P ==……………8分 （3）恰有一只是白球的有：()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()12,a c ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()22,a c ，共8种，概率815P =; 2只球都是白球的有：()12,a a ，概率115P =……………12分 所以：“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍 20．（本小题12分）某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产能力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3年，该产品的销售利润为1万元/吨．(Ⅰ)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数(x 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．()i 根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率； ()ii 试预测该企业3年的总净利润.(3年的总净利润3=年销售利润一投资费用)【解析】(Ⅰ)年销量的平均数0.11200.21600.32000.252400.15280206(x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=吨)． (Ⅱ())i 该产品的销售利润为1万元/吨，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时，年销售利润才不低于220万，∴年销售利润不低于220万的概率0.30.250.150.7P =++=．()ii 由(Ⅰ)可知第一年的利润为：2061206(⨯=万元)，第二年的利润为：()0.11200.21600.32000.42401200(⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元)， 第三年的利润为：()0.11200.21600.72001184(⨯+⨯+⨯⨯=万元)，∴预测该企业3年的总净利润为：206200184300290(++-=万元)．21．（本小题12分）我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆1C :221x y +=，直线:340l x y m -+=.（Ⅰ）若直线l 关于圆1C 的距离比2λ=，求实数m 的值；（Ⅱ）当0m =时，若圆2C 与y 轴相切于点()0,3A ，且直线l 关于圆2C 的距离比65λ=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系，并说明理由.【解析】（Ⅰ）由直线关于圆的距离的比的定义得：25m =，所以10m =±（Ⅱ）当0m =时，直线:340l x y -=，圆2C 与y 轴相切点于(0,3)A所以可设2C ：222()(3)x a y a -+-=3126545a a a -=⇒=-或43①当4a =-时，2C ：22(4)(3)16x y ++-=两圆的圆心距5d =，两圆半径之和为145+=，因此两圆外切 ②当43a =时，2C ：22416()(3)39x y -+-=两圆的圆心距48433d =-+=大于两圆的半径之和47133+=，因此两圆外离 22．（本小题12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（Ⅰ）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（Ⅱ）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C 之间（包括26C 与36C ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： 3.28227e ≈， 3.79244e ≈，5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈．） 附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【解析】（Ⅰ）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz abx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii ii x x zz bx x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得ln 0.255 3.348y x =-， 于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=,当26x =时，0.25526 3.3483.28227y ee ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.3485.832341y e e ⨯-==≈；因为函数0.255 3.348x y e-=为增函数，故气温在26~36C C 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数．。
福建省漳州市第一中学2020-2021学年高一下学期期初考试数学试题 Word版含答案
漳州一中2020～2021学年高一下期初考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共40分，1～8为单选，9～12为多选题，多选题全选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分）1．已知全集U 为实数集，{}230A x x x =-≤，{}1B x x =>，则()UA B =（ ）A ．[)0,1B ．[]0,1C ．[)1,3D ．[]0,32．设命题p ：所有的矩形都是平行四边形，则p ⌝为（ ） A ．所有的矩形都不是平行四边形 B ．存在一个平行四边形不是矩形 C ．存在一个矩形不是平行四边形D ．不是矩形的四边形不是平行四边形3．已知05log 3a =，0.5log 0.3b =，0.33c -=，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．若a ，b ，c 为非零实数，则“a b c >>”是“2a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()2ln f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．方程2log 5x x =-的解所在的区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,57．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()8f x f x +=，且在区间[]0,2上是单调递增，则（ ） A ．()()()251080f f f -<< B ．()()()801025f f f <<- C ．()()()802510f f f <-< D ．()()()258010f f f -<<8．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，图中的ABCD 为矩形，CED 为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图中阴影部分）的面积为（ ）A ．210πcm 3⎛+⎝ B ．28πcm 3⎛+ ⎝ C ．(24πcm + D ．(22πcm + 9．已知α∠终边经过点()sin120,tan120P ︒︒，则（ ）A ．cos 5α=B ．()4sin π5α+=-C ．tan 2α=-D ．sin cos 5αα+=-10．若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b<B ．11b b a a +>+C ．11b a a b +<+D ．11a b a b+>+11．某同学对函数()sin f x x x =进行研究后，得到以下结论，其中正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象是轴对称图形 B ．对任意实数x ，()f x x ≤均成立C ．函数()y f x =图象与直线y x =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等D ．当常数k 满足1k >时，函数()y f x =的图象与直线y kx =有且仅有一个公共点12．已知函数()22f x x x =-+，()2g x x ax a =-+，()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则（ ）A ．()F x 的图象与x 轴有2个交点B ．()F x 有最大值1，无最小值C ．()F x 在(),1-∞上单调递增D ．()F x 是偶函数二、填空题（每空5分，共20分）13．已知集合{}21,M x=，若N M ⊆，则x =________．14．已知0a >且1a ≠，log 2a x =，则22xx aa -+=________．15．ABC △中，cos 2A =-，()tan 2A B -=-，则tan B =________． 16．已知定义在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()πsin 6f x x ω⎫⎛=- ⎪⎝⎭（0ω>）的最大值为3ω，则正实数的取值个数最多为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合201x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2B x k x k =<<-．（1）当1k =-时，求A B ；（2）若AB B =，求实数k 的取值范围．18．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =-+． （1）将函数化成()sin y A x ωϕ=+（0A >，ππ22ϕ-<<）的形式，并写出该函数的最小正周期，及其图象的对称轴；（2）若方程()0f x a -=在π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解，求实数a 的取值范围． 19．已知函数()f x 是奇函数． （1）若()1ln1ax f x x -=+，求实数a 的值； （2）若函数()f x 的定义域是[]1,1-，且在定义域上是单调递增的，若不等式()()2110f a f a -+-<恒成立，求实数a 的取值范围．20．物联网（Internet of Things ，缩写：IOT ）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费1y （单位：万元），仓库到车站的距离x （单位：千米，0x >），其中1y 与1x +成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则1y 和2y 分别为2万元和7.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？21．已知函数()f x 是3xy =的反函数，当[]1,27x ∈时，函数()()()2241g x f x af x a =-++，（a ∈R ）的最小值为()h a ．（1）求()h a 的函数表达式；（2）是否存在实数3m n >>，使得函数()4y h a =的定义域为[],n m ，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，若存在求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由．22．定义在R 上的函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ≤≤），若已知其在()0,7πx ∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当πx =时函数取得最大值为3，当6πx =，函数取得最小值为3-． （1）求出此函数的解+析式．（2）若将函数()f x 的图象保持横坐标不变，纵坐标变为原来的13，得到函数()g x ，再将函数()g x 的图象向左平移0ϕ（00ϕ>）个单位得到函数()h x ，已知函数()()e lg g x y h x =+的最大值为e ，求满足条件的0ϕ的最小值．（3）是否存在实数m ，满足不等式()()sin sin A A ϕϕ>？若存在，求出m 的范围，若不存在，请说明理由．漳州一中2020～2021学年高一下期初考数学答案一～二（选填）三、解答题 17．（1）()1,2AB =-（2）[)0,k ∈+∞ 18．（1）π2π3k x =+，k ∈Z（2）a ⎤∈⎦19．（1）1a =（2）a ⎡∈⎣20．距离4km ，最少费用为7.2万元 （可用换元法、基本不等式解决）21．（1）()241,041,03102,3h a a a a a a a a ⎪=+≤⎧⎪+-<<⎨-≥⎩（2）不存在（单调递减得自变量最大，因变量最小，反之亦然，再用加减消元法得出8m n =-，代回方程得n 无实数根，所以不存在） 22．（1）()13π3sin 510f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭（2）0ϕ最小值为10π（由两函数单调递增得：同时取最大，即自变量取到1时函数最大值为e ．再解出0ϕ最小值即可） （3）存在，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦。
云南省昆明市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
昆一中2020—2021学年度上学期期中考试高一数学一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知A ＝{-1，0，1}，B ＝{x|x 2＜1}，则A∩B 等于（ ） A ．{-1，0，1} B ．∅ C ．{0} D ．{0，1} 2．不等式x 2-3x ＋2≤0的解集是（ ）A ．{x|x ＞2或＜1}B ．{x|x≥2或x≤1}C ．{x|1≤x≤2}D ．D ．{x|1＜x ＜2} 3．下列各组集合中，满足E ＝F 的是（ ）A ．E =，F ＝{1.414}B ．E ＝{（2，1）}，F ＝{（1，2）}C ．E ＝{x|y ＝x 2}，F ＝{y|y ＝x 2}D ．E ＝{2，1}，F ＝{1，2} 4．设x ∈R ，则“x≤2”是“|x -1|≤1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．不等式111x ≥-的解集为（ ） A ．（-∞，1）∪[2，＋∞） B ．（-∞，0]∪（1，＋∞） C ．（1，2] D ．[2，＋∞） 6．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如图示，那么水瓶的形状可以是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知A ＝{x|x ＝2k ＋1，k ∈Z }，{|}2xB x =∈Z ，C ＝Z ，下列关系判断正确的是（ ）A ．C ＝A ∪B B ．C ＝A∩B C ．A ＝C ∪BD ．A ＝C∩B8．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c≤0的解集为[1，2]，则cx 2＋bx ＋a≤0的解集为（ ）A ．1[,1]2B ．[1，2]C ．[-2，-1]D ．1[1,]2--9．已知集合A ＝{x|a≤x ＜3），B ＝[1，＋∞），若A 是B 的子集，则实数a 取值范围为（ ） A ．[0，3） B ．[1，3） C ．[0，＋∞） D ．[1，＋∞）10．已知集合A ＝{x|x≥0}，集合B ＝{x|x ＞1}，则以下真命题的个数是（ ）①0x ∃∈A ，0x ∉B ；②0x ∃∈B ，0x ∉A ；③x ∀∈A ，x ∈B ；④x ∀∈B ，x ∈A ． A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．已知集合A ＝{1，a ，b}，B ＝{a 2，a ，ab}，若A ＝B ，则a 2021＋b 2020＝（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 12．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2 二、填空题：13．设命题p ：1x ∀≥，x 2-4x ＋3≥0，则命题p 的否定形式为：________． 14．若集合A ＝{0，1，2}，则集合A 的真子集个数为________．15．已知m ∈R ，x 1，x 2是方程x 2-2mx ＋m ＝0的两个不等实根，则12121x x x x ++的最小值为________．16．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”．（1）0∈A 且1∈A ； （2）若x ，y ∈A ，则x -y ∈A ；且当x≠0时，有1A x∈．给出以下命题：①集合P ＝{-2，-1，0，1，2}是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；⑤设集合A 是“好集合”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ； 其中真命题的序号是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．设集合A ＝{x|x 2＋2x -3＜0}，集合B ＝{x||x ＋a|＜1}． （1）若a ＝3，求A ∪B ；（2）设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．已知正数a ，b 满足a ＋3b ＝4．（1）求ab 的最大值，且写出取得最大值时a ，b 的值；（2）求13a b+的最小值，且写出取得最小值时a ，b 的值． 19．关于x 的不等式ax 2-（a ＋2）x ＋2＜0． （1）当a ＝-1时，求不等式的解集； （2）当a ＞0时，求不等式的解集．20．某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t p t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是Q ＝-t ＋40（0＜t≤30，t ∈N ），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天． 21．已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋2a -1的对称轴为x ＝-1．（1）设x 1，x 2为方程f （x ）＝0的两个实数根，且1232x x =，求f （x ）的表达式； （2）若f （x ）≥0对任意，x ∈[-3，0]恒成立，求实数a 的取值范围． 22．设函数()f x =，b ＞0的定义域为A ，值域为B ． （1）若a ＝-1，b ＝2，c ＝8，求A 和B ；（2）若A ＝B ，求满足条件的实数a 构成的集合．昆明第一中学2020-2021学年度上学期期中考试高一数学参考答案13．01x ∃≥，20430x x -+< 14．7 15． 16．③④⑤ 17．解：（1）解不等式x 2＋2x -3＜0，得-3＜x ＜1，即A ＝（-3，1）．当a ＝3时，由|x ＋3|＜1，解得-4＜x ＜-2，即集合 B ＝（-4，-2），所以A ∪B ＝（-4，1）．（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集． 又集合A ＝（-3，1），B ＝（-a -1，-a ＋1）， 所以13,11a a --≥-⎧⎨-+<⎩或13,1 1.a a -->-⎧⎨-+≤⎩解得0≤a≤2，即实数a 的取值范围是0≤a≤2．18．解：（1）由基本不等式可知：43a a =+≥，43ab ≤， 当且仅当a ＝3b ，即a ＝2，23b =时，ab 的取得最大值43．（2）13(3)131535()(1033)()444242a b b a b a a b a b a b a b ++=+=++=++≥+= 当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝1时，13a b+的取得最小值4． 19．解（1）当a ＝-1时，此不等式为-x 2-x ＋2＜0，可化为x 2＋x -2＞0， 化简得（x ＋2）（x -1）＞0，解得即{x|x ＜-2或x ＞1} （2）不等式ax 2-（a ＋2）x ＋2＜0，化为（ax -2）（x -1）＜0，当a ＞0时，不等式化为2()(1)0x x a --<，若21a<，即a ＞2，解不等式得21x a <<；若21a =，即a ＝2，解不等式得x ∈∅；若21a>，即0＜a ＜2，解不等式得21x a <<；综上所述：当0＜a ＜2时，不等式的解集为2{|1}x x a <<；当a ＝2时，不等式的解集为∅当a ＞2时，不等式的解集为2{|1}x x a<<． 20．解：设日销售金额为y （元），则y ＝p·Q ．∴2220800,025,,1404000,2530,.t t t t y t t t t ⎧-++<<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N22(10)900,025,,(70)900,2530,.t t t t t t ⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N 当0＜t ＜25，t ∈N ，t ＝10时，y max ＝900（元）； 当25≤t≤30，t ∈N ，t ＝25时，y max ＝1125（元）． 由1125＞900，知y max ＝1125（元），且第25天，日销售额最大．21．解：（1）因为12b x a =-=-，所以b ＝2a ，由根与系数的关系可得122132a x x a -==， 解得：a ＝2，则b ＝4，则f （x ）＝2x 2＋4x ＋3；（2）因为f （x ）＝ax 2＋2ax ＋2a -1的对称轴为x ＝-1，若a ＞0，y ＝f （x ）开口向上，则f （x ）在[-3，0]的最小值在x ＝-1处取得， 则f （-1）＝a -1≥0，解得a≥1；若a ＜0，y ＝f （x ）开口向下，又因为|-3-（-1）|＞|0-（-1）|， 则f （x ）在[-3，0]的最小值在x ＝-3处取得，则f （-3）＝5a -1≥0，解得15a ≥（舍）；综上所述，a ∈[1，＋∞）．22．解：（1）()f x 因为（x ＋2）（4-x ）≥0，所以A ＝[-2，4]，因为()f x 又0≤9-（x -1）2≤9，所以B ＝[0，3]；（2）当a ＝0时，()f x =[,)cA b-=+∞，B ＝[0，＋∞），又A ＝B ，故c ＝0满足题意；当a≠0时，设二次函数g （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的判别式为Δ， 当Δ≥0时，设方程g （x ）＝0的两实数根为x 1，x 2（x 1≤x 2） 假设a ＞0，当Δ≥0时，则A ＝{x|x≤x 1或x≥x 2}，B ＝[0，＋∞），则A≠B ，矛盾；当Δ＜0时，则A ＝R ，)B =∞，则A≠B ，矛盾； 当a ＜0时，假设Δ＜0，则A =∅，B =∅，虽有A ＝B ，但不符合函数的定义，舍去；当Δ≥0，则A ＝{x|x 1≤x≤x 2}，B =，要使A ＝B ，则x 1＝0，且2x =即c ＝0，又g （x 2）＝0得2b x a -==2224b b a a-=，解得a ＝-4； 综上，满足条件的实数a 构成的集合为{-4，0}．。
湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
1、若集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1}，且B ⊆ A，则m的取值范围是A. -2 ≤ m ≤ 3B. -3 ≤ m ≤ 2C. 2 ≤ m ≤ 3D. -2 ≤ m ≤ 2且m ≠ 3（答案）D解析：考虑B集合为空集和非空集两种情况。
当B为空集时，即m+1>2m-1，解得m<2；当B非空时，需满足m+1≥-2，2m-1≤5，且m+1≤2m-1，联立解得2≤m≤3。
综合两种情况，得m的取值范围为-2≤m≤3且m≠3，但由于m<2时已包含在内，故最终答案为D。
2、已知向量a = (1, 2)，b = (2, -1)，则向量a - 2b的坐标为A. (-3, 4)B. (3, -4)C. (3, 4)D. (-3, -4)（答案）A解析：根据向量坐标运算规则，向量a-2b的坐标等于a的坐标分别减去2倍b的对应坐标。
即(1-22, 2-2(-1))=(-3, 4)。
3、下列函数中，在其定义域内为增函数的是A. y = -x2 + 2xB. y = 1/xC. y = 2(-x)D. y = log2(x)（答案）D解析：A选项为二次函数，开口向下，在对称轴左侧增，右侧减；B选项为反比例函数，在x<0时减，x>0时减；C选项为指数函数，底数小于1，故在整个定义域内为减函数；D 选项为对数函数，底数大于1，在其定义域(0, +∞)内为增函数。
4、设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，若集合A = {1, 2, 3}，B = {3, 4}，则A ∩ B =A. ∅B. {3}C. {1, 2, 3, 4}D. {3, 4, 5}（答案）B解析：交集A∩B表示同时属于A和B的元素。
观察A和B，发现只有元素3同时存在于两个集合中，因此A∩B={3}。
5、下列等式成立的是A. √((-3)2) = -3B. √(25) = ±5C. ∛(8) = 2D. ∛((-2)3) = 2（答案）C解析：A选项，√((-3)2) = √9 = 3，不等于-3；B选项，√(25) = 5，算术平方根只取非负值；C选项，∛(8) = 2，因为23 = 8；D选项，∛((-2)3) = ∛(-8) = -2，不等于2。
厦门市2020—2021学年第一学期高一年级质量检测数学试题附答案
厦门市2020—2021学年第一学期高一年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3A x N x =∈<，则（） A. 0A ∉B.1A -∈C. {}0A ⊆D.{}1A -⊆2. 设命题p ：0x ∃>，x x e ≥，则p 的否定为（） A. 0x ∀≤，x x e ≥ B. 0x ∀>，x x e ≥ C. 0x ∀≤，e x x <D. 0x ∀>，e x x <3. 已知0.62a =， 1.82b =，0.6log 1.8c =，则（） A. c a b <<B. a b c <<C. b a c <<D.c b a <<4. 已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（） A. 45-B.35C.35D.455. 长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+⎪⎝⎭.若火箭的最大速度为11.2/km s ，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：0.0056 1.0056e ≈）（） A. 1.0056B. 0.5028C. 0.0056D. 0.00286. 若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（） A. (],2-∞B. (],1-∞C. [)1,+∞D. [)2,+∞7. 在ABC 中，cos 2A =-，1tan 3B =，则()tan A B -=（）A. 2-B. 12-C.12D. 28. 某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A. 甲B. 乙C. 甲、乙一样D. 无法确定二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5外，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9. 已知()tan 3sin θθπ=-，则cos θ=（） A. 1-B. 13-C.13D. 110. 使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（）A. 1a b >-B.11a b< C.> D.10.30.3a b -<11. 关于x 的一元二次不等式220x x a --≤的解集中有且仅有5个整数，则实数a 的值可以是（） A. 2B. 4C. 6D. 812. 已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A. ()f x 的值域为()1,-+∞B. 当0a ≤时，()()21f x f x >+C. 当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D. 函数()()g x f x a =+可能有三个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2),则(4)f =_______．14. 已知某扇形的圆心角为3π，半径为3，则该扇形的弧长为______.15. 某班有50名学生，其中参加关爱老人活动的学生有40名，参加洁净家园活动的学生有32名，则同时参加两项活动的学生最多有______名；最少有______名.16. 2020年是苏颂诞辰1000周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟.如图，当点P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P 至少经过______分钟（结果取整数）进入水中.（参考数据：cos0.9815π≈，2cos0.9115π≈，cos0.815π≈）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()2f x x bx c =++，且()()2g x f x x =+为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求()f x 的解析式.条件①：函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为5； 条件②：函数()0f x ≤的解集为{}1；条件③：方程()0f x =有两根1x ，2x ，且221210x x +=.18. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象求方程()12g x =在[]0,π的实数解. 19. 已知函数()112xf x =+.（1）判断()f x 的单调性并用定义证明； （2）若()1log 23a f >，求实数a 的取值范围. 20. 已知函数()23sin cos cos f x x x x m =++的最小值为3-. （1）求m 的值及()f x 的单调递减区间； （2）()0,x π∀∈，sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 21. 人类已经进入大数据时代，数据量从TB （1TB =1024GB ）级别跃升到PB （1PB =1024TB ），EB （1EB =1024PB ）乃至ZB （1ZB =1024EB ）级别，国际数据公司（IDC ）统计2016-2019年全球年产生的数据量如下：研究发现，从2016年起，可选择函数()()1tf t a p =+来近似刻画全球年产生数据量随时间变化的规律.其中a 表示2016年的数据量，p 表示2017-2019年年增长率的平均值.（第t 年增长率=（第t 年数据量÷第()1t -年数据量）-1，*t N ∈）（1）分别计算2017-2019各年的年增长率，并求()f t .（精确到0.01）.（2）已知2020年中国的数据总量约占全球数据总量的20%，成为数据量最大、数据类型最丰富的国家之一.近年来中国的数据总量年均增长率约为50%，按照这样的增长速度，估计到哪一年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%？参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈，lg1.320.121≈22. 已知函数()()11xf x a a x=-> （1）若()f x 在[]1,2上的最大值为72，求a 的值；（2）若0x 为()f x 的零点，求证：()02000log 220xa x x x a -+-<.厦门市2020—2021学年第一学期高一年级质量检测数学试题（答案）满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}3A x N x =∈<，则（） A. 0A ∉B.1A -∈C. {}0A ⊆D.{}1A -⊆【答案】C2. 设命题p ：0x ∃>，x x e ≥，则p 的否定为（） A. 0x ∀≤，x x e ≥ B. 0x ∀>，x x e ≥ C. 0x ∀≤，e x x < D. 0x ∀>，e x x <【答案】D3. 已知0.62a =， 1.82b =，0.6log 1.8c =，则（） A. c a b <<B. a b c <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】A4. 已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（） A. 45-B.35C.35D.45【答案】B5. 长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1Mv m ⎛⎫=+⎪⎝⎭.若火箭的最大速度为11.2/km s ，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为（参考数据：0.0056 1.0056e ≈）（） A. 1.0056 B. 0.5028C. 0.0056D. 0.0028【答案】C6. 若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（） A. (],2-∞ B. (],1-∞C. [)1,+∞D. [)2,+∞【答案】B7. 在ABC 中，cos A =1tan 3B =，则()tan A B -=（）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】A8. 某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A. 甲B. 乙C. 甲、乙一样D. 无法确定【答案】B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5外，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9. 已知()tan 3sin θθπ=-，则cos θ=（） A. 1- B. 13-C.13D. 1【答案】ABD10. 使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（）A. 1a b >-B. 11a b< C.> D.10.30.3a b -<【答案】CD11. 关于x 的一元二次不等式220x x a --≤的解集中有且仅有5个整数，则实数a 的值可以是（） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】BC12. 已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A. ()f x 的值域为()1,-+∞B. 当0a ≤时，()()21f x f x >+C. 当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D. 函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2),则(4)f =_______． 【答案】214. 已知某扇形的圆心角为3π，半径为3，则该扇形的弧长为______.【答案】π15. 某班有50名学生，其中参加关爱老人活动的学生有40名，参加洁净家园活动的学生有32名，则同时参加两项活动的学生最多有______名；最少有______名. 【答案】 (1). 32 (2). 2216. 2020年是苏颂诞辰1000周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟.如图，当点P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P 至少经过______分钟（结果取整数）进入水中.（参考数据：cos0.9815π≈，2cos0.9115π≈，cos0.815π≈）【答案】13四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()2f x x bx c =++，且()()2g x f x x =+为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求()f x 的解析式.条件①：函数()f x 在区间[]22-,上的最大值为5； 条件②：函数()0f x ≤的解集为{}1；条件③：方程()0f x =有两根1x ，2x ，且221210x x +=.【答案】答案见解析18. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象求方程()12g x =在[]0,π的实数解.【答案】（1）()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）0或3π或π 19. 已知函数()112xf x =+. （1）判断()f x 的单调性并用定义证明； （2）若()1log 23a f >，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数是R 上的减函数，证明见解析；（2）01a <<或2a >．20. 已知函数()2cos cos f x x x x m =++的最小值为3-. （1）求m 的值及()f x 的单调递减区间； （2）()0,x π∀∈，sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【答案】（1）52m =-，单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(,-∞. 21. 人类已经进入大数据时代，数据量从TB （1TB =1024GB ）级别跃升到PB （1PB =1024TB ），EB （1EB =1024PB ）乃至ZB （1ZB =1024EB ）级别，国际数据公司（IDC ）统计2016-2019年全球年产生的数据量如下：研究发现，从2016年起，可选择函数()()1tf t a p =+来近似刻画全球年产生数据量随时间变化规律.其中a 表示2016年的数据量，p 表示2017-2019年年增长率的平均值.（第t 年增长率=（第t 年数据量÷第()1t -年数据量）-1，*t N ∈）（1）分别计算2017-2019各年的年增长率，并求()f t .（精确到0.01）.（2）已知2020年中国的数据总量约占全球数据总量的20%，成为数据量最大、数据类型最丰富的国家之一.近年来中国的数据总量年均增长率约为50%，按照这样的增长速度，估计到哪一年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%？参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈，lg1.320.121≈【答案】（1）2017的增长率为0.44，2018的增长率为0.27，2019的增长率为0.24，()18 1.32t f t ⨯=；（2）估计到2024年，我国的数据量将达到全球数据总量的30%.22. 已知函数()()11xf x a a x=-> （1）若()f x 在[]1,2上的最大值为72，求a 的值； （2）若0x 为()f x 的零点，求证：()02000log 220xa x x x a -+-<. 【答案】（1）2；（2）详见解析.。