江苏省苏州市2021届高三上学期期中考试数学试题 (1)
1
苏州市2020~2021学年度第一学期期中考试
高三数学 2020.11
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的
1.已知集合}4|{},06|{22xxBxxxA ，则BA=
{-2}[2,3] D.(2.3] C.[2,3] B.(2,3) A.
2.角的终边经过点)cos,sin -(3,则sin的值为
43D.31C.41. B5
1
A.
3.等差数列na中，78,24201918321aaaaaa,则此数列的前20项和等于
D.220C.200B.180A.160
4.函数“axxxf12)(2的定义城为R”是“1a”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要的条件
5.函数~)csx(e^-e=ff(x)2cosxxeexfxx的部分图象大致是
6.已知函数xxxfln, 若直线l过点e,0, 且与曲线xfyC:相切，则直线l的斜
2
率为.
e D.e- C.B.22- A.
7.衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a,经过
t天后体积V与天数t
的关系式为: kteaV ".已知新丸经过50天后,体积变为a94,若一
个新丸体积变为a278，则需经过的天数为
D.50C.75 B.100A.125
8.设nS为等比数列na的前n项和，若2,12,01nnSaa,则等比数列na的公比的取
值范围是
32,0.43,0.32,0.4
3
,0:DCBA
二、 多项选题: 本题共4小题， 每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符
合题.目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知函数xfxgxxxf,sin3cos，则( )
A.xg的图象关于点)0,6(对称 B.xg的图象的一条对称轴是6x
C.8(x)在6,65上递减 D. xg在)3,3(值域为)1,0(
10.等差数列na的前n项和为nS,若01a,公差0d,则( )
A.若95S>S,则015S B.若95S>S,则7S,是nS中最大的项.
C.若76SS, 则87SS D.若76SS则65SS。.
11.已知函数1,1lgabxxf且bfaf，则( )
A.2<1a. B. abba
3
C. ab 的最小值为21 D.21111ba
12.函数1lnxkxexfx在,0上有唯一零点0x，则( )
A.100xex B.1210x
C. 1k D.1k
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数22)2(axaaxxf为偶函数，则不等式0)(2xfx的解集为
______.
14.对任意正数x，满足242yxyxy, 则正实数y的最大值为______.
15.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，
用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，
根据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底需缴房租600元和水电费400元，
余额作为资金全部用于再进货,如此继续,预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为_____
元(取92.1,5.72.11211)
16.已知定义在R上的函数xf关于y轴对称，其导函数为xf. 当0x时，
xfxxf1
. 若对任意R∈x，不等式0)(axaxfaxeefexxx恒成立，则正
整数a的最大值为_____
四、解答题:本题共5小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分10分)
4
已知函数2,0sinxf的最小正周期为.
(1)求的值及6fg的值域:
(2)若0cos2sin,3aa. 求af的值。
18. (本题满分12分)
已知函数)(223123Raxxaxxf。
(1)当3a时，求函数xf的单调递减区间:
(2)若对于任意,1x都有12axf成立，求实数a的取值范围:
19. (本题满分12分)
在①CaCBcsin2sin,②aBcCbA)coscos(cos2,③
CBACBsinsinsinsinsin22
中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
在△ABC中，已知内角CBA,,所对的边分别为cba,,若bc13，______.
(1)求C的值:
(2)若△ABC的面积为33，求b的值.
5
20. (本题满分12分)
已知数列na是等差数列，数列nb是等比数列，且满足
163275311,30,2abbaabaa
.
(1)求数列na与nb的通项公式:
(2)设数列na，nb的前n项相分别为nS，nT.
①是否存在正整数k.使得321kkkbTT成立?若存在，求出k的值，若不存在，请说明
理由;
②解关于n的不等式.nnbS
21. (本题满分12分)
若函数xf在bax,时,函数值y的取值区间恰为)0(,,kakbk，则称ba,为xf的
一个"k倍倒城区间".定义在4,4上的奇函数xg，当4,0x时xxxg42.
(1)求xg的解析式:
(2)求xg在4,2内的“8倍倒城区间":
(3)若xg在定义域内存在"8kk 倍倒域区间*，求k的取值范围.
6
22. (本题满分12分)
已知函数.sinxaxexfx.
(1)求曲线xfyC:在0x处的切线方程:
(2)当2a时, 设函数xxfxg ，若0x是xg在0,上的一个极值点，求证:0x。
是函数xg在0,上的唯一极大值点，且.200xg
江苏省18市县2021届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：立体几何
江苏省18市县2021届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（常州市2019届高三上学期期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________.2、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，AC＝3，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为▲ ．3、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）已知正三棱柱ABC－则三棱锥D－BB1C1的体积为＿＿＿4、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，点D 是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1－EBD的体积为▲ ．5、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019高三期末） 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 ． 6、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ．7、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1－MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1－BB 1C 1C 的体积为V 2，则12V V 的值是8、（无锡市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于 ． 9、（宿迁市2019届高三上学期期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ cm 3． 10、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BDD B -的体积为 ▲ ．11、（扬州市2019届高三上学期期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ． 12、（镇江市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 ．参考答案 一、填空题 1、38 2、36 3、233 4、3 5、83 6、23 7、148、3π 9、3π 10、1311、223π12、33π二、解答题1、（常州市2019届高三上学期期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别是棱1,AB CC 的中点. 求证：（1）CM //平面1AB N ； （2）平面1A BN ⊥平面11AA B B .2、（海安市2019届高三上学期期末）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥PC ，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，MD ∥平面P AC ，平面P AB ⊥平面PMC ，△CPM 为锐角三角形，求证： ⑴D 是PB 的中点；⑵平面ABC ⊥平面PM C ．3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的中点，且A1F⊥B1C1．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）A1F//平面ADE．4、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AD＝1，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B－EC－D的余弦值．5、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）6、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD 平面PAD，△PAD是PABC DE（第15题图）正三角形，E 是PD 的中点． （1）求证：AE ⊥PC ； （2）求证：AE ∥平面PBC ．7、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D E F ，，分别是111B C AB AA ，，的中点． （1）求证：EF ∥平面1A BD ；（2）若1111=A B AC ，求证：平面1A BD ⊥平面11BB C C ．8、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：C 1F//平面ABE ．9、（（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末））如图, 在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点． （1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角A CE B --的余弦值．10、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。
江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期第一次适应性检测数学试题 含答案
演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
（1）已知 2 lg x − y = lg x + lg y ，求 x 的值；
2
y
（2）求值： 4sin 80 − 1 ． tan10
18．（本小题满分 12 分）
在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， c = 2 ．有以下 3 个条件：
C．CD 的长度是 a，b 的算术平均数
D．FC 的长度是 a，b 的加权平均数
12．关于函数 f (x) = 2 + ln x ，下列判断正确的是（ ） x
A． x = 2 是 f (x) 的极大值点
B．函数 y = f (x) − x 有且只有 1 个零点
C．存在正实数 k，使得 f ( x) kx 成立
江苏省苏州八校联盟 2021 届高三年级第一次适应性检测
数学试卷
2020.10 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合
A
=
x
N∣1 2
2x+1
16
，
B
=
x∣x2 − 4x + m = 0
，若1 A
B ，则 A
D．对任意两个正实数 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，若 f ( x1 ) = f ( x2 ) ，则 x1 + x2 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．试题中包含两个空的，只答对 1 个给 3 分，全部答对
的给 5 分．请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
| x +1|, x 0
2024-2025学年江苏省苏州市高三上学期开学调研数学试题及答案
2025届高三年级期初阳光调研试卷数学2024.9注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 是虚数单位，则2i i -=A.12i - B.12i -- C.12i + D.12i-+2.已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B =A.()0,6B.()4,6C.[)2,4D.()[),02,-∞+∞ 3.将函数()sin f x x =的图象先向左平移4π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则2g π⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.1 D.－14.已知向量()1,1a =- ，()22,b x x =- ，则“2x =-”是“a b ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是A.至少为300人B.至少为200人C.至多为300人D.至多为200人6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为B.127.已知函数()()e e 1x f x x a =+--（e 为自然对数的底数），()()ln ex g x x a =-的零点分别为1x ，2x ，则12x x 的最大值为 B.A.e 1e D.C.12e 8.在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为双曲线22:1C x y -=右支上两点，若6AB =，则AB 中点横坐标的最小值为A.D.163二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题2020. 11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分•在每小题给出的 四个选项中，只有一个是符合题U 要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 复数Z=心l ∙2f ）的共辘复数为A- 2-i B. 2÷i 【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知Z=K- 1・2/）=-/+2,则其共轨复数为2+i.故答案选B. 2. 设集合 M={X ∖X 2=X }9 N={x∣lgx<θ},则 M∪N=A ・{1}B ・（0, 1] 【答案】C【考点】集合的交集运算【解析】曲题意可知M = {04} , 7V = {xlO<x≤l},则MUN=[0, 1].故答案选C. 3. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了 重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多一斐波那契以兔子繁游为例，引入“兔子数列”：即 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...即a l ≈a 2=l f当π≥3时，5 =% +““，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若 此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列他},记数列仮}的D ∙ -2-iC. [0, 1] D ∙ (-oo, 1]前〃项和为Sr则塔的值为A- 24 B. 26 C- 28 D∙ 30【答案】B【考点】文化题(数列的通项与求和)【解析】山题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列此数列的各项求得：1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1 .... , 则其周期为6,其中l÷l+2+3÷l+0=8,则S20 = 518+b l9÷⅛ = S18+b l +b2= 3x8 + 1 + 1 = 26,故答案选 B4.已知函数/(χ) = J,π' + 1, A<1 ,在R上单调递增，则〃加的最大值为(2-∕z)∖x≥ 19 1A・ 2 B. 1 C・一 D. 一4 4【答案】D【考点】分段函数的单调性、基本不等式综合【解析】由题意可知，函数在R上单调递增，则加>0, 2-7∕>b且w×l+l≤(2- 7J)1,解得〃7>0, "VI, 〃汁“W1,则由基本不等式可得JHH < f - +- ! ≤ —=—,I 2丿⑵4 当且仅当〃尸丄时取等号.故答案选D.25.一质点在力斤=(・3, 5),可=(2,・3)的共同作用下，由点A(10,・5)移动到B(-4, 0),则斤，瓦的合力F对该质点所做的功为A.24B.・ 24C. 110D. - 110【答案】A【考点】平面向量在物理中的应用【解析】由题意可知，斤,可的合力F=Tj+X=(・3, 5)+(2,・3)=(・1, 2), ∕⅛= (-4-10,0 + 5) = (-14,5),则由共点力平衡得合力尸对该质点所做的功为F AB = (-1,2)∙ (-14,5)= 24.故答案选 A.6.已知函数/(x) = (G-I)F-αsinx 是奇函数，则曲线y = /(Λ)在点(0, 0)处的切线斜率为A. 2B.・ 2C. 1D.・ 1【答案】D【考点】函数的奇偶性与函数的切线方程【解析】由题意函数为奇函数可知el=0,则函数可化为/(X) = -Sinx,则 ∕*(X) = -COsx,广(O) =-1,则由导数得儿何意义可知曲线y = ∕(Λ∙)在点(0, 0)处的 切线斜率为-1.故答案选D.2√14 I9 【答案】D【考点】三角函数的公式运用【解析】由题意cos(300 + 2a) = cos2(150 + a) = 2cos 2(150 + a)-l=^-l = -∣,则 sm(60o ・ la)= = cos[90o -(60°-2a)∖ = cos(30o + 2a) = -1.故答案选 D. 8. 某数学兴趣小组对形如fM = x 3+ax 2+bx + c 的某三次函数的性质进行研究, 得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是A.函数/(x)的图象过点(2, 1)B. 函数/(x)在X=O 处有极小值7.若 COS(15°+a)= — , 3则 sin(60o -2a)=B. D - -IC.函数的单调递减区间为[O, 2]D.函数f(x)的图象关于点(1, 0)对称【答案】B或C【考点】三角函数的图象与性质运用【解析】由题意对于A选项，/⑵= 8 + 4α + 2b + c = l ；对于B选项，f,(x)=3x2+2ax+b, f↑0) = h = 0；对于C选项，由递减区间可得广(O) = b = 0,广(2) = 12+4" + b = 0;对于D选项，函数/(x)的图象关于点(1, 0) 对称，贝∣J⅛∕(l + x)+/(I-X) = 0,可赋值得到：当X=O 时，2/(1) = 0,当x=l 时，/(2)+ /(0) = 0,即可得到8 + 4" + " + c + c = 0与l + α + b + c = 0,综上可知选项B、C矛盾，则由A选项和D选项解得«=-3 , b=3 , C=-I ,即/(x)=√-3√+3x-l=(x-l)3,则选项BC 错误.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题Ll要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)9.下列结论正确的有A.若a>b>O,则acr>bc1B.命题"X∕x>O, 2Λ≥X2”的否定是Tx>0, 2x<^C.“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D.u x<Γ,是“ Λ-- V丄”的必要不充分条件2 2【答案】BD【考点】不等式的性质、常用逻辑用语中否定、存在性命题、条件考查8【解析】由题意可知，对于A选项，当GO时不满足，则选项A错误；8【答案】BD【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由图象可知周期为Γ = 2∣^- + ^ = Λ∙,所以ω = ^- = 2,由图象过 / ∖ q ,0 , PlIJ --×2 + φ = - + 2kπ, k wZ 、解得φ = - + 2kπ, k eZ 9 又 OVeV < 8 √ 8 2 4π ,则φ = -, R=O,所以函数/(x) = 3sin 2x + -.对于A 选项，不」十「确；对 4 \ 4 >对于B 选项，否定形式正确，则选项B 正确；对于C 选项，该命题表示任意三 个连续的数满足题意,所以为全称性命题,则选项C 错误;对于D 选项, 1 1X ——<—解得OVZ,显然OVM 为Z 的真子集，WrX<1^ X-I疔的必要不充分条件，选项D 正确，故综上答案选BD.10.函数/(x) = 3Sin(QX+ 0)(e >0, 0< 0< ∕r)(*R)在一个周期 内的图象如图所示，则A.函数 f(x)的解析式为 /(x) = 3sin(2x + =)(xeR) 8B.函数/(对的一条对称轴方程是X =-—8C.函数/(x)的对称中心是(畑-Z 0), keZ8D.函数y = ∕(x +——)是偶函数第10题于B 选项，当X =-—时，f 5π T=-3,为最小值，选项 兀8X 2x -竺+竺 8 4B 正确;对于C 选项,当曲&时,也违卜3sin 2G2遥+手卜3,显然对称中心不是(kπ-7L , 0),故选项C 错误；对于D 选项，故选项D 正确•综上，答案选BD.11.已知数列匕｝满足d">o, = 2—(,7∈N*),数列匕｝的前〃项和为S”，则D ∙ A ^2O19Λ2O2O > 20 1 9 【答案】BC【考点】数列的通项与求和【解析】由也巴= —可知上-=<+zz ~1+—,即 心 一 1 心 a.・-1I W=I 时，贝 IJq=丄，即得到 a x a 1 = 1,故选项 B 正确;S n =a x +a 2+-∙ + a tl 所以⅛I √⅛2O =2O19,故选项C 正确，选项D 错误•综上，答案选BC.12・函数概念最早是在17世纪山德国数学家莱布尼茨提岀的，后乂经历了贝努 利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变 数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着 确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数•徳国数学家康托7π 3π} 一 + 一 =3Sin 2x + 2π + - =3cos2x 为偶函数,+ ・・・ + =3Sin 2x + 2A ∙ a λ =1 = 2019尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A, B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 /对于集合A中的每一个元素X,在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B的一个函数”，因此，下列对应法则/满足函数定义的有A・ /(SinX) = COS 2x B∙ /(SinX) = XC. /(∣x-lI) = XD. /(X2+2X)=∣X +1∣【答案】AD【考点】文化题(函数的概念)【解析】对于A选项，/(Sinx) = COS 2x = 1 - 2 sin2 X,则/(x)=l-2x2,满足函数的概念，故选项A正确；对于B选项，可代入特殊值验证X-I则X可以为兰或空，则不满足有唯一的值，故选项B错误；对于C选I y∖2 J 6 6项，同样可以带入特殊值验证/(1),则X可以为1或0,同样不满足I y有唯一的值，故选项C错误；对于D选项，可令X2 +2x = t f则F+2x + l =f+ 1 = (x + l)', 则/(z)=∣χ+ι∣ = √77T,(∕≥-ι),满足函数的概念，故选项D正确：综上，答案选AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4, M, N是BC ±的两动点，且MN=2,则丽•師的最小值为____________ •【答案】8【考点】平面向量的线性运算、数量积综合第13题【解析】由题意AB丄CN, BN丄DC,且可设BM=JG则CN=2-x, (OVXV2)则AMDN= AB+BM^DC CN =AB+ ∕⅛∙(^+BM∙ z5c+B⅛CW =9 + 0 + 0 +BΛ∕∙CΛ^=9+ BM ∙ CN COS180O=9-X(2-X)=X2 -2x + 9,(θ<x< 2),贝IJ x2-2x+9= (X-I) 2÷8≥8,当x=l时取得最小值・14 .在A?J;比数列｛d” ｝中，“2=2，= 1 &，则2“2 + 3“3 + …+ 1= __ •【答案】9216【考点】等比数列、错位相减法求和【解析】由题意在等比数列｛©｝中，可解得αι=l,(7=2,则2勺+3©+…+ 10®O = 2-21+3∙22+4∙23+--∙+10∙29=m,则2∙22+ 3∙23+4∙24+∙--+10∙2,° =2∕w ,两式相减可得2-2,+(22+23 + 24 + ∙∙- + 29)-10∙2l0=-m ,则一m = 2∙21÷2 -10-2*0=-9∙2,0=-9216,则原式=τw=9216.15.函数y = sin(2Λ + ?)的图像与直线)=α在(0,兰)上有三个交点，其横坐标4 8分别为勺，X2心，则x↑ + X2+ x3的取值范围为_ 【答案】碍, 【考点】三角函数的性质与函数的零点【解析】由题意因为心,刊，则2书馮茅,可画出函数大致的图象则由图可知当¥<皿时，方程/(g 有三个根，由2卄彳专解探烽2x + f =辛解得X = ¥，且点(引0)与点(七，0)关于直线X =彳对称，点心0)与点(x 3,0)关于直线X =—对称，所以x 1+%,=-81・4‘5;T 11“ 16.已知函数 /(x) = ' ln ^ X_1 ,令 ^(X) = f (x)-lcx , '"ι k= - 2e 2 时，有-.V ,+X, Λ < 1■g(Λ0) = 0，贝ho= _____ :若函数g(x)恰好有4个零点，则实数k 的值为 _____ .(本题第一空2分，第二空3分 ) 【答案】0, -√2e 2+1 :-e【考点】双空题：函数取值与函数零点【解析】由题意可知当XMI 时，g(x)= InX+ 2∕x>0恒成立，所以XoV0；当XVl 时，^(V) =-X 3 +x + 2e'X = 0,可化简得％(-十 +1 + 2/)=0 ,则X = O 或V =-Jl+2/ ；由上述题意该分段函数在x=0时为其一个零点，则当Λ ≠0时,可令f(x )-kx=O,5π1 ∖π 口 H—< x 1 + x 2 + x 3 < —^― , R 卩 x 1 +—.A≥l]则解得= -X Il A∙<h go ,若方程有四个解，则"丄.e四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E, F, G分别在边AB, AD, BC ±,且满1 12 —•一 , _足AE= — AB, AF=-AD, BG=-BC,设AB = S AD = b∙3 3 3（1）用方，厶表示EF, EG；（2）若EF 二EG, ABEG = 25∙S,求角 A 的值•【考点】平面向量的线性运算即数量积应用f T T IflT 1 — 1 【解析】(1)曲平面向量的线性运算可知EF = AF-AE = — AD--AB =—b—一N ,3 3 3 3→→→2~*2τ2_2EG = EB+BG = -AB+-AD = -b+-a ・3 3 3 3(2)由题意因为EF□EG,所以ErEG=^(b-d∖^ + a)=^(b-ajp+a)EF' EG = -(I) -«)•— (/? +ci)=-(P-U∖lι +ci)=— f /; _问)=0,解得=|帀「，3 3 9 9 )所以屆•品= N∙f0 + N)=?同円COSA+ ?P「=2同耳COSA ,则可化简上式为—+—cosA = 2cosA ,解得COSA = -T 则A =兰.3 3 2 3 18・（本小题满分12分）2如图，设矩形ABCD （AB>BC ）fl<］周长为皿把匚ABC 沿AC 翻折到匚ABC AB ，交DC 于点P,设AB=x.（1） 若CP=2PD,求X 的值； （2） 求匚ADP 面积的最大值・【考点】三角函数中的实际问题【解析1(1) Ill 题意可知在匚ABC 中，可设ZCA3 = ZCAP=O,则山角度关系可 得上PAD=乞一2E ZAPD= 20 9 设 BC=v, Ktan<9 = -,tan2^ = - = 3tan(9 ,则 八 " π3Wtan^ = i≡⅛ = 3tan ^ 解得辭冲,W 最后解得“岭实.(2 )由题意可设ZeA3 = ZG4P = 6> ,贝IJ2(1 + tan 0)'即 AD=BC=2(1：爲•门八 ADtan l-tan 2Θ 1 - tanAAPD= 2θ ,且tan Θ ∈(0,1),则有(X + X tan 8)x 2 = In ,解得 X =tan 2(1 +tan &) 2 tan 4 所以 SZADP=^∙z ^1~(Z ^I)=-∙~z2+3z ~2=^∙Ur + -1÷31≤16t 16 t 16 V t)—∙(3-2√∑),当且仅当t = -f β∣Jr = √2时取等号.16 t 则匚AnP 面积的最大值为务®询.19. （本小题满分12分）已知匚ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, C 且满足CoSASm （A -（1） 求匚BAC 的值；（2）若A"，S 心孚’AM 是BC 边上的中线，求AM 的长.【考点】三角函数与解三角形【解析】（1）由 COSASm （A - ^）=~ •可化简得CoSA （SinACOS 彳一COSASin 彳 j = f竺COS? A =丄Sin 2A •1 CoS 2/1=I(Sm 2A- √3 CoS 2A)tan 则S 询冷2（Z 询1-tan & ° nr ----- nΓ =——tan-tan 2Θ1 + tan &,令 l + tanθ = /,WIJre(L2) 即丄 SinACOSA2 4 2 2 4v Z2-T =ΓBPSin(2A-(2)由题意在匚ABC ψ,可由正弦定理得—=—,代入化简得鼻=丄,sin4 sinB √3 √21T ~7~解得b=2∙ 乂由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccosA 9代入化简得7 = 4 + c 2-2c,解得心.则在□AMB 中，由余弦定理可得co 如型黑泸在匚ABC 中，由余弦定理可得—E 囂秽、32+(√7‰222∙3∙√7720. (本小题满分12分)定义在R 上的函数/(Q 满足以下两个性质：□∕(-x)+ /Cv) = O, □∕(l + x) =/(2 -X),则称函数/(X)具有性质PV-— v÷-Tr X γr(1) 判别函数∕1(x) = e 2-e 2, ∕2(x) = cos(±∑ + ∣)是否具有性质P?请说明 理由；(2) 若函数g(x)具有性质P,且函数g(x)在(-10, 10)有”个零点,求"的最 小值.VAe(O*沃二］,则2A 违吟A = ^两式联立可得2∙3∙ f【考点】新定义函数的性质综合应用乂因为 Λ(-χ)÷ΛW = cos [-y^ + yj + cos [y ∕2(l + x) = 则∕2(l + x)= ∕2(2-X ),即心⑴具有性质P(2)若函数 g(x)具有性质 P,贝IJ 满足 g(-x)+g(x) = 0 且 g(l + x)=g(2-x),则 g(x)在R 上为奇函数，且一个周期为6,贝∣Jg(θ) = O, g(6)=0, g(-6) = 0,而由 g(x +6)=g(x),可得g(3)=g(-3),所以g(3) = -g(3),所以g(3) = -g(3) = 0,所以 g(9)=g(-9) = 0,则函数g(x)在(・10, 10)有"个零点，即为0, 3,・3, 6,・6, 9, -9, «的最小值为7.21. (本小题满分12分)已知正项数列｛©｝的前”项和为S “，数列他｝为等比数列，且满足 q =b] — 1 = 1 , d ；+i = 4S π +4n + l T b 4=a^ + ∖.(1)求证：数列｛s ｝为等差数列;1X ——x41 -2 -e 2 H∕ι(2-x) =2 -e2，则(X)不具有性质Pf l (∖ + x) = e【解析】(1)由题意/；(—x)+∕∣(x)=^'Λ+2=0,且X + — =Sin-X-Sin-X = O,且 2丿 33(π π π∖COS —X + — + —π3∕z (2-x) = COSI 一一兀一一+(2)若不等式a ll b ι(4-m) > (U Il -\)2对于任意“wN"恒成立，求实数加的取值范 围.【考点】等差、等比数列的证明、恒成立问题 【解析】(1)由<1=4ξr +4π + l ①，则当时√=45n -1+4(π-l)+l ②，则①可得 陥j -a ~ = 4S ιl -4ξf ,1 +4 = 4a ll +4,所以 an ¥\ = an +4d” ÷4 = (Cl n +2)2 ,因为 a … > O ,则 a n+l =a n + 2(n ≥ 2),当 JI=I 时,心‘=4®+5,则a 2 =3 ,此时a 2 -a l =2亦满足上式，所以«,1+1 -U n = 2 ,所以数列｛©｝为首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知 5=1 + 20 —l)=2n-1 ,且= 4a { + 5,则 b l =a l +∖ = 2 ,0=血+1 = 15 + 1 = 16 ,因为数列他}为等比数列，则设公比为g,所以 /=A = & 贝衍=2,所以 ⅛=2∙2n -,=2∖ 所以 a ιl b ιι(4-m)>(a n -i)2可化简为4川 4(〃 一 I)? _ 4"2⑵7 _1)_4(川_1)2(4川 + 2)_ -4(2n 3-5√+2)⑵卄1)・2曲 _(2n_l)・2〃 _ (2π +1X2/7-l)∙2,,+l _(2” +必2川_1)・2曲令/GO = 2∕ι3-5/12+2(〃 > 0,且” ∈ N ； 所以 f ,(n)=6n 2一10〃 = 2舁(3舁一5),则当n∈∣0,∣)时广S)V0,即/(〃)单调递减;当 Π(2, + S ]H 寸广 S)>0,即/(〃)单调递增，S. /(1) = -1 <0, /(2) = -2<0,13)(2n-l)∙2π(4-m)≥(2n -2)2贝 IJ (4-m)≥⑵L(2∕7-l)∙2nmax 'Z令/3)=0,解得∕ι = ∣,/（3）=11 >0 ,所以当 ISnS2H 寸，-C n >0, c 1 <c 2 <c 3 ；当/?>3Hl,―利 一―<0 ,7则 c 3>c 4>c 5>-所以（Cj nUa = C3 =丁，则（4-W ）≥解得加V 亍•所以实数加的取值范围为「co,22. (本小题满分12分)已知函数 /(x) = αvl∏Λ+ 2x(Λr ∈R)∙(1) 讨论/(Q 的极值；(2) 若a=2,且当x≥e^2时,不等式mf(x) ≥ (InX)2+41nx+2恒成立,求实数加的取值范围.【考点】函数的极值与恒成立综合应用【解析】(1)山题意函数/(x)的定义域为(O, + "),且广(X)FInX + “ + 2 ・・・①当Go 时，Γ(Λ) = 2>0恒成立，则/(Λ∙)在定义域上单调递增，此时无极值；2、 (、 亠2In x + l + -,可令广Cr) = 0,解得 X = f πTQ 丿2所以⑺当QO 时，且当OVxVe 吒时，此时广(Λ∙)V O,即/(对单调递减；∙>Z 2 \ 当 C=时，此时Γ(x)>0,即/⑴单调递增，贝Ij /⑴的极小值为Ter =X/2⑵—2）2 （2∕z -l ）∙2n2> 一5②当 QHO 时，f↑x） = a-心亠匚无极大值；(π)当XO时，且当O VxVe亠方时，此时此时广(x)>0,即/(x)单调递增；2 ( 2\ 当X> 时，此时Γ(x)<O,即/⑴单调递减，贝Ij/⑴的极大值为/ 严-ae^λ'τ,无极小值；2综上所述，当Q=O时，/(Λ∙)无极值；当QO时，/(Q有极小值-心亠匚无极大2值；当XO时，/G)有极大值-"吒，无极小值.(2)若a=2, /(x)= 2Λ1Π X +2X ,不等式化为〃?(2XInX+ 2x)n (in f+41n x + 2 则令］nx = t9 t∈ ［一2, +S),则不等式化为in(2t∙ e +2e r)≥t2 +4/ + 2 ,所以①当-2≤Z时，参变分离得心加^船, 嘶r ⅞≡⅛'咖半牆产L曲>。
江苏省无锡市2021届高三数学上学期期中试题(含解析).doc
江苏省无锡市2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.）1.函数()f x =的定义域是【答案】[1,)+∞【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞考点：函数定义域2.已知向量()2,3a =-与向量(),6b x =-共线，则x =______.【答案】4【解析】【分析】由向量共线的条件求解.【详解】∵,a b 共线，∴2(6)(3)0x ⨯---=，4x =.故答案为4.【点睛】本题考查向量共线的条件，属于基础题.3.若角α的终边过点()1,2-，则tan α=______.【答案】-2【解析】【分析】由正切函数定义计算. 详解】根据正切函数定义：2tan 21α==--.故答案为－2.【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.4.在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a =______.【答案】-81【解析】【分析】先求公比q ，再求5a .【详解】由题意341a a q =，3271q =-⨯，3q =-，∴5427(3)81a a q ==⨯-=-.故答案为－81.【点睛】本题考查求等比数列中的项，可根据等比数列的通项公式求出公比q ，然后再求某一项.5.已知集合{}|31A x x =-<<，集合{}|,B x x a a Z =<∈，若A B 中恰好含有一个整数，则a 的值为______.【答案】-1【解析】【分析】根据集合A ，B 的形式，它们交集中只有一个整数，必定是－2．【详解】由题意2AB -∈，1A B -∉，∴21a -<≤-，又a 为整数，∴1a =-．故答案为－1． 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题基础．6.函数y=x ﹣2sinx 在（0，2π）内的单调增区间为___________ 【答案】5,33ππ（） 【解析】 对函数求导可得'12cos y x =-，其单调增区间满足12cos 0x ->，得1cos 2<，即增区间为π5π2π2π33k x k +<<+，限定在()0,2π范围内，则有π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．故本题应填π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭． 7.偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且满足()()21f x f x >+，则x 的取值范围为______. 【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】 利用偶函数的性质把不等式化为(2)(1)f x f x >+，然后利用单调性求解．【详解】∵()f x 是偶函数，∴原不等式可化为(2)(1)f x f x >+，又()f x 在[0,)+∞上单调递减， ∴21x x <+，解得113-<<x ． 故答案为1(,1)3-．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解这类函数不等式，需要利用奇偶性把不等式化为12()()f x f x >的形式，其中12,x x 在()f x 的同一单调区间内，再由单调性去函数符号“f ”后求解．8.函数()cos x f x e x =在点()()0,0f 处的切线方程为______. 【答案】10x y -+=【解析】【分析】求出导函数，得'(0)f ，即切线斜率，然后可得切线方程．【详解】由题意()cos sin x x f x e x e x '=-，∴'(0)1f =，又(0)1f =，∴所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=．故答案为10x y -+=．【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．9.已知sin 3cos 0αα+=，则sin 2α=______. 【答案】35 【解析】【分析】由已知求出tan α，由二倍角公式得sin 22sin cos ααα=，把它转化为关于tan α的代数式．【详解】∵sin 3cos 0αα+=，∴tan 3α=-， ∴22222sin cos 2tan 2(3)3sin 22sin cos sin cos tan 1(3)15ααααααααα⨯-=====-++-+． 故答案为35．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．解题中注意“1”的代换，利用“1”的代换可化sin ,cos αα的二次式为二次齐次式，从而可化为tan α的代数式，这样解题可减少计算量．10.若函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于点(),0A n 对称，也关于直线l ：x m =对称，且m n -的最小值为4π.已知函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】2 【解析】【分析】由两个对称性可得函数的周期，从而可求得ω的值，再由函数图象过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ，最终可求()4f π． 【详解】∵函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于点(),0A n 对称，也关于直线l ：x m =对称，且m n -的最小值为4π. ∴44T ππ=⨯=，∴222T ππωπ===，即()sin(2)f x x ϕ=+， 1()sin(2)662f ππϕ=⨯+=，2πϕ<，∴6πϕ=-，∴()sin(2)sin 4463f ππππ=⨯-==．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的解析式．属于基础题．11.一家饮料厂生产甲、乙两种冲果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半.该厂每天能获得的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是生产1L 甲种饮料得3元，生产1L 乙种饮料得4元，那么厂方获得的最大利润是______元.【答案】10000【解析】【分析】设生产甲和饮料x L ，生产乙种饮料y L ，根据题意列出,x y 满足的不等关系，然后求()max 34x y +．【详解】设生产甲和饮料x L ，生产乙种饮料y L ，生产甲种饮料需要()34x L ，李子汁和()14x L 苹果汁，生产乙种饮料需要()12y L ，李子汁和()12y L 苹果汁， 则312000*********20,0x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥≥⎪⎪⎩，.利润34z x y =+， 由312000*********2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得20001000x y =⎧⎨=⎩，作出可行域，如图四边形OABC 内部（含边界），作直线:340l x y +=，平移直线l ，当l 点(2000,1000)B 时，34z x y =+取得最大值10000．故答案为10000.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题时设出两个变量,x y ，列出,x y 满足的不等关系，即约束条件，同时表示目标函数，再根据线性规划的解题方法求得最优解．12.在直角ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知ABC ∆的面积为2，则AM AN ⋅的最小值为______. 【答案】169【解析】【分析】以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，由面积求得AC ，即C 点坐标，计算出,M N 的坐标，再计算AM AN ⋅，最后利用基本不等式可得最小值．【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，∵122ABC S AB AC ∆=⋅=， 4AC t =，40,C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴8,33t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24,33t N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 22232641699819AM AN t t ⋅=+≥=， 当且仅当2223299t t=即2t =时取“=”， ()min 169AM AN ⋅=. 故答案为169. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查基本不等式求最小值．由于题中图形是直角三角形，因此建立平面直角坐标系，用坐标运算表示平面向量数量积可以减小思维量，减小难度．13.若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，则q =______. 【答案】23-【解析】【分析】由n b 求出n a 的可能值，然后再检验哪三个数可能构成等比数列，从而确定q ．【详解】{}2125,9,7,15,35n n b a =-∈---，则{}12,4,3,8,18n a ∈---，∵()212818-=⨯， n a 可取18，-12，8这三项，122183q -==-. 故答案为23-. 【点睛】本题考查等比数列的性质，三个数非零实数,,x y z 成等比数列的充要条件是2y xz =．14.已知函数()()2221,2log 2,2x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程114f x a x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭恰好有6个不同的解，则实数a 的取值范围为______.【答案】(0,1]【解析】【分析】 令114x t x ++=，()114f x a f t a x ⎛⎫++=⇔= ⎪⎝⎭，作出()f x 图象，作出114t x x =++图像，通过图象分析解的各种情况． 【详解】令114x t x ++=，()114f x a f t a x ⎛⎫++=⇔= ⎪⎝⎭，作出()f x 图象，作出114t x x=++图像，1︒2a >时，()f t a =有两根，设为1t ，2t ，则123t <<，23t >，即1114x t x ++=，此时有2个根，2114x t x ++=，此时有2个根，共4个根，不满足条件.2︒2a =时，()f t a =，解得1t =或94或6，即1114x x ++=，无解，19144x x ++=，2解，1164x x ++=，2解，共4个解，不满足条件.3︒12a <<时，()f x a =，有四个根，设为3t ，4t ，5t ，6t ，其中301t <<，412t <<，59542t <<，646t <<， 即3114x t x ++=，无解，4114x t x ++=，无解，5114x t x ++=，2解，6114x t x ++=，2解，共4个解，不满足条件.4︒1a =时，()f t a =有4个根，0，2，m ，n （23,3m n <<>），1104x x ++=，1解，1124x x ++=，1解，114x m x ++=，2解，114x n x ++=，2解，共6解，满足条件.5︒01a <<时，()f t a =，有3个根，设为7t ，8t ，9t ，其中90t <，8532t <<，934t <<， 即7114x t x ++=有2解，8114x t x ++=有2解，9114x t x ++=有2解，共6解，满足条件.6︒0a =时，()0f t =， 有两根12--和3，11124x x++=--有2个根， 1134x x ++=有2个根， 共4个根，不满足条件，综上01a <≤.故答案为(0,1].【点睛】本题考查函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设114t x x =++，方程化为()f t a =，114t x x=++，这样可作出两个函数()y f x =和114t x x =++的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 为1AB 的中点，点F 为1A D 的中点.求证：（1）//EF 平面ABCD ；（2）1AA EF ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由中位线定理证明//EF BD 即可；（2）直四棱柱中1AA ⊥平面ABCD ，从而1AA BD ⊥，再由平行线的性质得1AA EF ⊥. 【详解】证明：（1）连接1A B ，BD ，∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴四边形11A ABB 为平行四边形，∴E 为1A B 的中点，又∵F 为1A D 的中点，∴//EF BD ，∵BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD .（2）∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴1AA ⊥平面ABCD ，又∵BD ⊂平面ABCD ，∴1AA BD ⊥.又∵//EF BD ，∴1AA EF ⊥.【点睛】本题考查线面平行的证明，以及线线垂直的证明.属于基础题.16.如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两数轴，1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,1M ，()1,0N ，求OM ON ⋅的值；（2）若1232OP e e =+，计算OP 的大小.【答案】（1）12（2）19 【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义计算. （2）把模的运算转化为向量的平方，即向量的数量积计算.【详解】解：（1）1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅︒=. （2）2222129412OP e e e e =++⋅941211cos6019=++⨯⨯⨯︒=.∴19OP =.【点睛】本题考查向量数量积和向量的模.求向量的模一般可利用22a a =转化为向量的数量积运算. 17.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD BC ⊥于D ，点D 在边BC 上（不与端点重合），且12AD BC =.（1）若60BAC ∠=︒，求sin sin B C 的值.（2）求b c c b+的取值范围.【答案】（12）2,⎡⎣ 【解析】【分析】 （1）把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得sin sin B C ；（2）同（1）把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得22sin a bc BAC =∠，再由余弦定理得2222cos b c a bc BAC +=+∠2sin 2cos bc BAC bc BAC =∠+∠，求出b c c b+，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.【详解】解：（1）AD 为BC 边上的高，211112224ABC S AD BC BC BC BC ∆=⋅=⋅⋅=，1sin 24ABC S AB AC BAC AB AC ∆=⋅∠=⋅，∴2144BC AB AC =⋅， ABC ∆中由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得21sin sin sin 44A B C =，sin sin B C =. （2）22111244ABC S AD BC BC a ∆=⋅==， 1sin 2ABC S bc BAC ∆=∠， ∴211sin 42a bc BAC =∠，优质资料\word 可编辑∴22sin a bc BAC =∠，()2222cos 2sin cos b c a bc BAC bc BAC BAC +=∠=∠+∠+， ()222sin cos bc BAC BAC b c b c c b bc bc∠+∠++==22sin 4BAC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭， 当4BAC π∠=时c b b c+取最大值22， 2c b b c+≥，当且仅当b c =时“=”即min 2c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴c b b c+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的正弦公式、正弦函数的性质，基本不等式等知识，考查知识较多，要求较高，属于中档题型.18.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD BC ⊥于D ，点D 在边BC 上（不与端点重合），且12AD BC =.（1）若310sin BAC ∠=sin sin B C 的值. （2）求b c c b+的取值范围. 【答案】（1310（2）2,22⎡⎣ 【解析】【分析】 （1）把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得sin sin B C ；（2）同（1）把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得22sin a bc BAC =∠，再由余弦定理得2222cos b c a bc BAC +=+∠2sin 2cos bc BAC bc BAC =∠+∠，求出b c c b+，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.【详解】解：（1）AD 为BC 边上的高，211112224ABC S AD BC BC BC BC ∆=⋅=⋅⋅= 1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠， ABC ∆中的正弦定理sin sin sin a b c A B C ==可得 211sin sin sin sin 42C B C BAC =∠∴1sin sin sin 220B C BAC ⋅=∠=. （2）22111244ABC S AD BC BC a ∆=⋅==， 1sin 2ABC S bc BAC ∆=∠， ∴211sin 42a bc BAC =∠， ∴22sin a bc BAC =∠，()2222cos 2sin cos b c a bc BAC bc BAC BAC +=∠=∠+∠，()222sin cos bc BAC BAC b c b cc b bc bc∠+∠++==4BAC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，当4BAC π∠=时c b b c+取最大值 2c b b c+≥，当且仅当b c =时“=”即min 2c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴c b b c+的取值范围是2,⎡⎣. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的正弦公式、正弦函数的性质，基本不等式等知识，考查知识较多，要求较高，属于中档题型.19.为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角ABC ∆斜边AC 的中点F 处，乙站在B 处，丙站在C 处.游戏开始，甲不动，乙、丙分别以()/v m s 和()2/v m s 的速度同时出发，匀速跑向终点A 和B ，运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的DEF ∆.（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且()03/v m s <≤）.已知AB 长为40m ，BC 长为80m ，记经过()t s 后DEF ∆的面积为()2S m .（1）求S 关于t 的函数表示，并求出t 的取值范围；（2）当游戏进行到10s 时，体育教师宣布停止，求此时()2S m的最小值. 【答案】（1）()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦，其中02v <≤时，400,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，23v <≤时，2800,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）()2S m 最小值为2400m 【解析】【分析】 （1）求出路程,BD CE ，从而可得BE ，由勾股定理得DE ，以,BC BA 为,x y 轴建立平面直角坐标系，可得直线DE 的方程，求出F 到直线DE 的距离，即FDE ∆的高，从而可表示出其面积.计算两人分别走到,A B 所用时间24080,v v ，比较它们的大小，可得t 的取值范围. （2）由（1）得()323250100280050100200800S v v v v v v =-++=--+，利用导数求出其最小值.【详解】解：以B 为坐标原点，分别以BC 、BA 为x 、y 轴建立直角坐标系，40AB =，则()0,40A ，80BC =，则()80,0C ，F 为AC 中点，则()40,20F ，t 秒后BD vt =，2CE v t =，280BE v t =-， ()()22280DE vt v t =+-， 直线DE 方程为：2180x y v t vt+=-， ()()2280800vtx v t y vt v t +---=，F 到DE 距离()()232222401*********vt v t vt v t d vt v t +--+=+-()()32222280vt v t =+-，∴()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦， 040BD ≤≤，即040vt ≤≤，则400t v≤≤， 080BE ≤≤，即208080v t ≤-≤，则2800t v ≤≤， ()22240280408040v v v v v v ---==， 当02v <≤时，400t v≤≤， 当23v <≤时，2800t v ≤≤，∴()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦， 其中02v <≤时，400,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 23v <≤时，2800,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （2）∵10t s =，∴()323250100280050100200800S v v v v v v =-++=--+， ()22'15020020050344S v v v v =--=--()()50322v v =+-，令'0S =得2v =，当02v <<时，'0S <，S 为单调递减，当23v <≤时，'0S >，S 为单调递增，∴当2v =时S 取最小值，此时2400S m =，答：此时()2S m 最小值为2400m .【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是列出函数式，本题通过建立坐标系用解析法求点到直线的距离即三角形的高，这在图形是有垂直的直线时较方便，在求函数最值时，如果函数较复杂，可用导数求最值.20.已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，当2n ≥时，满足()112n n nS nS n S -=+-.（1）求证：2132a a a =+；（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）若12a =-，公差*d N ∈，问是否存在n ，d ，使得15n S =？如果存在，求出所有满足条件的n ，d ，如果不在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，219n d =⎧⎨=⎩或37n d =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】（1）已知条件是2n ≥时，()112n n nS nS n S -=+-，令3n =可证结论2132a a a =+；（2）已知条件变形()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n n n n S S n n ----- ()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，用累加的方法得()2111211n S S a n n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，从而()21112n a a S n n na -=⋅-+()3n ≥，把此式再写一次： 当4n ≥时，()()()21111212n a a S n n n a --=--+-，两式相减得：4n ≥时，()()()1211211212n n n a S S a a n a a a n a a -=-=--+=-+-，同时123,,a a a 也适合此式，从而证明{}n a 是等差数列；（3）由12,15n a S =-=求得()3041n d n n +=-，让n 从2开始一一检验，看是否有*d N ∈，当然9n ≥时，有1d <，*d N ∉.【详解】（1）证明：∵2n ≥时，()112n n nS nS n S -=+-，令3n =得21333S S S =+，()12112333a a a a a a +=+++，∴2132a a a =+.（2）由()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n n n n S S n n -----()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭， ∴()()()321341111121322113243231112121n n S S a S S a S S a n n n n n n -⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⋅⋅⎝⎭⎪⎪⎛⎫-=-⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎨⎪⎪⎪⎛⎫-=- ⎪⎪-----⎝⎭⎩，各式相加得()2111211n S S a n n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，()21112n a a S n n na -=⋅-+， 当4n ≥时，()()()21111212n a a S n n n a --=--+-， 由4n ≥时，()()()1211211212n n n a S S a a n a a a n a a -=-=--+=-+-， 而1a ，2a ，3a 也满足上式，∴{}n a 为等差数列.（3）∵12a =-，公差为d ，∴()11152n n n S na d -=+=，()12152n n n d --+=，()3041n d n n +=-， 当2n =时，19d =，当3n =时，7d =，当4n =时，*236d N =∉（舍），5n =时，*52d N =∉（舍）， 当6n =时，*95d N =∉（舍），7n =时，*2921d N =∉（舍）， 当8n =时，*3128d N =∉（舍）， 当9n ≥时，()()25130430363060n n n n n --≥--==+>-，∴()1304n n n ->+，*d N ∉（舍），综上219n d =⎧⎨=⎩或37n d =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查等差数列的证明，由n S 的递推关系证明数列{}n a 是等差数列，由于已知式较复杂，因此关键是第一步的变形：()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n n n n S S n n ----- ()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，这样可用累加法求得n S ，再由1n n n a S S -=-得n a （4n ≥），然后说明前3项也适合此表示法，完成证明.这里涉及到n S 与n a 的关系，要注意在推理过程中n 的取值范围.21.已知函数()()21x e x b f x x-+=. （1）当0b =时，求()f x 的单调区间；（2）当[)0,1b ∈,(]0,2x ∈时，记()f x 的最小值为()h b ，求()h b 的最大值.【答案】（1）()f x 的单增区间为：(),0-∞，()2,+∞，单减区间为()0,2.（2）()2max4e h b = 【解析】【分析】（1）求导数'()f x ，由导数确定函数的单调区间；（2）求导数'()f x ，变形为：()()32(2')2x e b x x xx f x ++=⋅+-，令()()22x e x g x b x -=++，()()22'02x e x g x x ⋅+=>，∴()g x 在(]0,2上单调递增，∴()1b g x b -+<≤，由()010g b =-+<，()20g b =≥，∴存在(]00,2x ∈使()00g x =.这个0x 就是()f x 的最小值点，min 0()()()h b f x f x ==，由0()0g x =，得()00022t e x b x -=+，代入()h b ，即化()h b 为0x 的函数，再用导数可求得得其最大值.【详解】解：（1）当0b =时，()2x e f x x =，()()24322'x x x x f x e e x x e x x ⋅-⋅-==， 当0x <时，()'0f x >，()f x 单调递增；当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.综上可得：()f x 的单增区间为：(),0-∞，()2,+∞，单减区间为()0,2.（2）()()()242'1x x e b x x e x b x f x ⎡⎤---+⎣⎦=()()3222x x e b x e x bx --++=()()()()3322222x x e b e b x x x x x x x +--+++==⋅+ 令()()22x e x g x b x -=++，()()22'02x e x g x x ⋅+=>， ∴()g x 在(]0,2上单调递增，∴()1b g x b -+<≤，且()010g b =-+<，()20g b =≥，∴存在(]00,2x ∈使()00g x =.且当00x x <<时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减；当02x x <≤时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增.∴()()()()00min 0201x f e x b x x h b f x ===-+，而()000202x e x b x -+=+， ∴()00022t e x b x -=+， ∴()()()00000020212x x e x e x x f x x --+⋅+= ()0020200022x x e x e x x x ⋅==++，(]00,2x ∈， 令()2x e h x x =+，()()()()()2202212'x x x x x h x e e e x x -==++>++， ∴()h x 在(]0,2上单调递增，()()224e h x h ≤=， ∴()2max 4e h b =，当2x =，0b =时取到. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值.单调性较方便，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间.求最值时，由于有参数b ，因此需定性分析.对'()f x 变形为()()32(2')2x e b x x x x f x ++=⋅+-，令()()22x e x g x b x -=++，再用导数研究()g x 的单调性，确定它有零点0(0,2]x ∈，同时建立0x 与b 的关系.表示出最小值0()()h b f x =，利用前面0x 与b的关系把此函数式化为一个变量，即可求得最大值.本题难度很大，对学生的分析问题解决问题的能力，对运算能力的要求都较高，属于困难题.。
2021届江苏省苏州市苏州八校联盟高三上学期10月第一次适应性考试数学试卷无答案
B． 5 2,10
C． 7,10
D． 7,5 2
高三八校联考数学试卷
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2021届江苏省苏州市苏州八校联盟高三上学期10月第一次适应性考试数学试卷
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
C． 12 13
D． 5 13
7．已知 a 0,b 0, a b 1，则（ ▲ ）
A. ab ba
B. ab ba
C. aa bb 1 2
D. aa bb 1
8．函数 f x 16sin2 x 9cos2 x 16cos 2 x 9sin 2 x 的值域为（ ▲ ）
A． 5,10
13．若关于 x 的不等式 ax b 0 的解集是 1, ，则关于 x 的不等式 ax b 0 的解集是 ▲ .
x2
14．已知函数
f
x
x,x 0
，则 f f 5
▲ ；若实数 a 满足 f f a a ，则 a 的取
x 1 , x 0
值范围是 ▲ .
15．如图，在 P 地正西方向 8km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各有一条正
10．已知函数 f x sin x cos x ， g x 是 f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ▲ ）
A．函数 f x 的值域与 g x 的值域不相同
B．把函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，就可以得到函数 g x 的图象
2
C．函数
f
x和
gx在区间源自4, 4上都是增函数
42
则 tan 的最大值为 ▲ .
江苏省扬州市2021届高三上学期期中调研数学试题 含解析
江苏省扬州市2021届高三上学期期中调研数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知复数z 满足(1﹣i)z ＝2，i 为虚数单位，则z 等于 A ．1﹣i B ．1＋i C ．11i 22- D ．11i 22+ 2．已知集合A ＝{}(1)(2)0x x x +-≤，B ＝{}2xx <，则AB ＝A ．[﹣1，0]B ．[0，1]C ．(0，2]D ．[0，2] 3．已知a ＝ 1.1log 0.9，b ＝ 1.10.9，c ＝0.91.1，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 4．已知函数5, 6()(2)1, 6x x f x f x x -≥⎧=⎨++<⎩，则(5)f 的值为A ．2B ．3C ．4D ．5 5．函数()cos()ln(e e )2x x f x x π-=-⋅+的图象大致为6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 A ．a ＝8，b ＝10，A ＝45° B ．a ＝60，b ＝81，B ＝60° C ．a ＝7，b ＝5，A ＝80° D ．a ＝14，b ＝20，A ＝45° 7．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥 细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失 矣”．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个 圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大 时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想， 可得到sin2°的近似值为（π取近似值3.14） A ．0.035 B ．0.026 C ．0.018 D ．0.033 8．已知一个球的半径为3，则该球内接正六棱锥的体积的最大值为A ．B ．2 C ． D ．2二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题中正确的是A ．命题“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x ∈R ，sin x ＞1”B ．“a ＞l ”是“11a<”的充分不必要条件 C ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形 D ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B 10．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法中正确的是 A ．()g x 的图象关于512x π=对称B ．当x ∈[0，2π]时，()g x 的值域为[2-，2]C ．()g x 在区间(512π，1112π)上单调递减 D ．当x ∈[0，π]时，方程()g x ＝0有3个根11．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，且(2)(2)f x f x +=-，则 A ．(1)0f = B ．()(4)f x f x =+C ．(1)(1)f x f x +=---D ．()y f x =在区间[0，50]上至少有25个零点 12．已知正数x ，y ，z 满足346xyz==，则下列说法中正确的是 A ．1112x y z+= B ．346x y z >>C ．3(2x y z +> D ．22xy z >三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知幂函数()y f x =的图象过点(2，14)，则曲线()y f x =在点(1，1)处的切线方程为 ．14．在△ABC 中，∠BAC ＝3π，AB ＝2，AC ＝3，BD 2DC =，则AD BC ⋅＝ ． 15．黄金比例，用希腊字母Φ表示，借用古希腊数学家欧几里德的话：当整条线段的长度与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割一线段．从下图我们可以更直观地感受黄金比例：用A ，B 分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来：A A B B A+Φ==，从而可以解出Φ的值．类似地，可以定义其他金属比例．假设把线段分成n ＋1段，其中有n 段长度相等，记这n 段的每一段长为A ，而剩下的一段长为B （长度较短的）．如果A 与B 之比等于整条线段的长与A 之比，我们用n λ来表示这个比例，即A Bn λ=．对于n (n N *∈)的每个值对应一个n λ，则称n λ为金属比例．当n ＝1时，即为黄金比例，此时512Φ=；当n ＝2时，即为白银比例，我们用希腊字母σ表示该比例，则σ＝ ．16．已知函数24, ()4, x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，其中a ＞0，若函数()()3g x f x x =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①a 2，②S ＝2c cosB ，③C ＝3π这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，3cosA ＝a cosC ＋c cosA ，b ＝1， ，求c 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）已知函数23()3sin()sin()362f x x x x ππ=++--． （1）求()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若1()6f α=，且α∈(12π，3π)，求cos2α的值．19．（本小题满分12分）已知函数()x kx f x aa +-=-(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若(1)0f <，且不等式2(34)(21)0f tx f x ++-+≤对任意t ∈[﹣1，1]成立，求实数x 的取值范围． 20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1和AA 1CC 1均为菱形，平面ABB 1A 1⊥平面AA 1C 1C ，∠A 1AC ＝3π，∠A 1AB ＝4π，E 为棱AA 1上一点，BE ⊥AA 1． （1）求证：BE ⊥A 1C 1；（2）设AB ＝2，求二面角B —CC 1—A 的余弦值．21．（本小题满分12分）某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i 位学生的成绩为(i x ，i y )(i ＝1，2，3，…，20)，其中i x ，i y 分别为第i 位学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：（1）根据统计学知识，当相关系数0.8r ≥时，可视为两个变量之间高度相关．根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明．参考数据：201()()485iii x x y y =--=∑，2021()678ii x x =-=∑，2021()476i i y y =-=∑．参考公式：相关系数r()()niix x y y --∑（2）规定：总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X 表示这2名学生两科赋分的和，求X 的分布列和数学期望． 22．（本小题满分12分）已知函数()e 2xf x mx =--，()e sin cos 1xg x x x x =---． （1）当x ≥2π时，若不等式()f x ＞0恒成立，求正整数m 的值； （2）当x ≥0时，判断函数()g x 的零点个数，并证明你的结论． 参考数据：2e π≈4.8江苏省扬州市2021届高三上学期期中检测数学试题2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知复数z 满足(1﹣i)z ＝2，i 为虚数单位，则z 等于 A ．1﹣i B ．1＋i C ．11i 22- D ．11i 22+ 答案：B 解析：21i 1iz ==+-． 2．已知集合A ＝{}(1)(2)0x x x +-≤，B ＝{}2xx <，则AB ＝A ．[﹣1，0]B ．[0，1]C ．(0，2]D ．[0，2] 答案：D解析：集合A ＝{}{}(1)(2)012x x x x x +-≤=-≤≤，B ＝{}{}204x x x x <=≤<，所以AB ＝[0，2]．3．已知a ＝ 1.1log 0.9，b ＝ 1.10.9，c ＝0.91.1，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 答案：A解析：a ＝ 1.1 1.1log 0.9log 10<=，b ＝ 1.10.9∈(0，1)，c ＝0.91.1＞1， 所以a ＜b ＜c ． 4．已知函数5, 6()(2)1, 6x x f x f x x -≥⎧=⎨++<⎩，则(5)f 的值为A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B解析：(5)(7)17513f f =+=-+=． 5．函数()cos()ln(e e )2x x f x x π-=-⋅+的图象大致为答案：C解析：首先原函数是奇函数排除D ，其次()02f π>，排除A ，最后5()02f π>，排除B ，选C ．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 A ．a ＝8，b ＝10，A ＝45° B ．a ＝60，b ＝81，B ＝60°C ．a ＝7，b ＝5，A ＝80°D ．a ＝14，b ＝20，A ＝45° 答案：A解析：因为10sin 45810︒<<，故选项A 的三角形有两解，选A ．7．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin2°的近似值为（π取近似值3.14）A ．0.035B ．0.026C ．0.018D ．0.033 答案：A解析：2212sin 22360r r π︒=，sin 20.03590π︒=≈，选A ． 8．已知一个球的半径为3，则该球内接正六棱锥的体积的最大值为A ．3B ．2732 C ．3 D ．3532答案：C解析：设六棱锥为P —ABCDEF ，球心为O ，底面中心为Q ，则∠OAQ ＝θ， 221327369cos (33sin )(1sin )342V θθθθ=⨯⨯+=+， 设sin t θ=∈(0，1)，令2()(1)(1)f t t t =-+，()(1)(31)f t t t '=-+-，∴t ＝13时，max 32()27f t =，所以V max ＝ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题中正确的是A ．命题“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x ∈R ，sin x ＞1”B ．“a ＞l ”是“11a<”的充分不必要条件 C ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形 D ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B 答案：AB解析：选项C 只能说明是∠C 是锐角，故C 错误，选项D 还有可能A ＋B ＝4π，故选AB ． 10．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法中正确的是 A ．()g x 的图象关于512x π=对称B ．当x ∈[0，2π]时，()g x 的值域为[2-，2]C ．()g x 在区间(512π，1112π)上单调递减 D ．当x ∈[0，π]时，方程()g x ＝0有3个根 答案：AC解析：首先()sin(2)3g x x π=-，当512x π=时，232x ππ-=，故A 正确；当x ∈[0，2π]时，()g x 的值域为[2-，1]，故B 错误；当x ∈(512π，1112π)时，23x π-∈(2π，32π)，故C 正确；当x ∈[0，π]时，方程()g x ＝0有3个根，故D 错误．故选AC ． 11．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，且(2)(2)f x f x +=-，则 A ．(1)0f = B ．()(4)f x f x =+C ．(1)(1)f x f x +=---D ．()y f x =在区间[0，50]上至少有25个零点 答案：ABD解析：因为(1)f x +为奇函数，所以()f x 关于点(1，0)对称，且(1)0f =，又因为(2)(2)f x f x +=-，所以()f x 关于直线x ＝2对称，故()f x 的周期是4， 且(1)(3)(5)(49)0f f f f =====，即()f x 在区间[0，50]上至少有25个零点．12．已知正数x ，y ，z 满足346xyz==，则下列说法中正确的是 A ．1112x y z+= B ．346x y z >> C．3(2x y z +> D ．22xy z > 答案：ACD解析：令346xyzt ===，t ＞1，3log x t =，4log y t =，6log z t =，61111log 3log 2log 62log t t t x y t z+=+===，故A 正确； 131log 33t x =，141log 44t y =，161log 66t z =，由111364346>>，则13x ＞14y ＞16z，所以346x y z <<，故B 错；因为1113()()12222x y x y x y y x ++=+++>，所以3(2x y z +>+，C 正确； 因为211()1224y xxy xy x y+=++>，故D 正确．综上，选ACD ． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知幂函数()y f x =的图象过点(2，14)，则曲线()y f x =在点(1，1)处的切线方程为 ． 答案：23y x =-+解析：幂函数()y f x =的图象过点(2，14)，得2()f x x -=，所以k ＝(1)2f '=-， 故切线方程为：23y x =-+． 14．在△ABC 中，∠BAC ＝3π，AB ＝2，AC ＝3，BD 2DC =，则AD BC ⋅＝ ． 答案：113解析：2212211AD BC (AB AC)(AC AB)AC AB AB AC 33333⋅=+⋅-=--⋅22211113232cos603333--⋅⋅︒=．15．黄金比例，用希腊字母Φ表示，借用古希腊数学家欧几里德的话：当整条线段的长度与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割一线段．从下图我们可以更直观地感受黄金比例：用A ，B 分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来：A A B B A+Φ==，从而可以解出Φ的值．类似地，可以定义其他金属比例．假设把线段分成n ＋1段，其中有n 段长度相等，记这n 段的每一段长为A ，而剩下的一段长为B （长度较短的）．如果A 与B 之比等于整条线段的长与A 之比，我们用n λ来表示这个比例，即A Bn λ=．对于n (n N *∈)的每个值对应一个n λ，则称n λ为金属比例．当n ＝1时，即为黄金比例，此时51+Φ=；当n ＝2时，即为白银比例，我们用希腊字母σ表示该比例，则σ＝ ． 21 解析：由题意知A 2A B B A+Φ==，解得21Φ=． 16．已知函数24, ()4, x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，其中a ＞0，若函数()()3g x f x x =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．答案：0＜a ＜1或a ≥7解析：数形结合，在同一直角坐标系中同时画出24y x x =-，4y x =-，3y x =的图像，不难求得a 的取值范围是0＜a ＜1或a ≥7．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①a 2，②S ＝2c cosB ，③C ＝3π这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，3cosA ＝a cosC ＋c cosA ，b ＝1， ，求c 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：在△ABC 中，因为，所以根据正弦定理得， 所以，因为，所以选择①，由余弦定理得，解得，选择②，，所以所以，即，解得选择③，，因为，所以由得．18．（本小题满分12分）已知函数23()3cos sin()sin()36f x x x x ππ=++--． （1）求()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若1()6f α=，且α∈(12π，3π)，求cos2α的值． 解：（1）所以的最小正周期， 由，得，，所以的对称中心为，．（2）由得，因为，所以，所以，所以．19．（本小题满分12分）已知函数()x kx f x aa +-=-(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若(1)0f <，且不等式2(34)(21)0f tx f x ++-+≤对任意t ∈[﹣1，1]成立，求实数x 的取值范围． 解：（1）方法1：因为是R 上的奇函数，所以，解得， 下面检验，此时，故，所以为奇函数方法2：因为为奇函数，所以，即，即，所以，解得．（2）由得，解得，所以是R 上的减函数，因为为奇函数，所以由得，因为是R 上的减函数，所以对任意成立 令，则对任意成立，等价于，解得，所以x 的取值范围是． 20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1和AA 1CC 1均为菱形，平面ABB 1A 1⊥平面AA 1C 1C ，∠A 1AC ＝3π，∠A 1AB ＝4π，E 为棱AA 1上一点，BE ⊥AA 1． （1）求证：BE ⊥A 1C 1；（2）设AB ＝2，求二面角B —CC 1—A 的余弦值．解：（1）因为平面ABB 1A 1⊥平面AA 1C 1C ，BE ⊥AA 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1平面AA 1C 1C ＝AA 1，所以BE ⊥平面AA 1C 1C ，又因为C 1A 1⊂平面AA 1C 1C ，所以BE ⊥A 1C 1；（2）作EF ⊥CC 1于F ，因为BE ⊥CC 1，BE EF ＝E ，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以CC 1⊥平面BEF ，因为BF ⊂平面BEF ，所以BF ⊥CC 1， 所以∠BFE 即为二面角B —CC 1—A 的平面角，在菱形ABB 1A 1中，由AB ＝2，∠BAA 1＝4π，可求得BE ＝2， 在菱形AA 1C 1C 中，由AB ＝2，∠A 1AC ＝3π，可求得EF ＝3，所以在Rt △BEF 中，EF＝3，BF ＝5，故可求得cos ∠BFE ＝，所以二面角B —CC 1—A 的余弦值为．21．（本小题满分12分）某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i 位学生的成绩为(i x ，i y )(i ＝1，2，3，…，20)，其中i x ，i y 分别为第i 位学生的数学总评成绩和物理总评成绩．抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）：（1）根据统计学知识，当相关系数0.8r ≥时，可视为两个变量之间高度相关．根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明．参考数据：201()()485iii x x y y =--=∑，2021()678ii x x =-=∑，2021()476i i y y =-=∑．参考公式：相关系数r 12211()()()()niii n niii i x x y y x x y y ===----∑∑∑（2）规定：总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X 表示这2名学生两科赋分的和，求X 的分布列和数学期望．解：（1）所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关， （2）由题意得：X 的可能取值为0，1，2，3，4．根据赋分规则可知，7个人赋分为2，4个人赋分为1，9个人赋分为0 所以，，，，．所以X 的分布列为：所以．22．（本小题满分12分）已知函数()e 2xf x mx =--，()e sin cos 1xg x x x x =---． （1）当x ≥2π时，若不等式()f x ＞0恒成立，求正整数m 的值； （2）当x ≥0时，判断函数()g x 的零点个数，并证明你的结论． 参考数据：2e π≈4.8 解：（1）分离参数得，当时，不等式恒成立，令，则，所以在上递增，所以，因为，所以正整数m 的值为1，（2）当x ≥0时，函数()g x 有2个零点 证明如下：显然，所以0是()g x 的一个零点，①当时，，所以()g x 无零点；②当时，，令，则，所以在上递增又，，所以存在唯一使得所以当时，，故()g x 递减；当时，，故()g x递增；因为，所以，又，所以存在唯一使得综上得：当x ≥0时，函数()g x 有2个零点．。