《概率论与数理统计》习题 第七章 假设检验
概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案
1 2
2
n
(ln xi
i 1
)2}，
ln L(, 2 ) n ln 2
2
n 2
ln
2
ln(
x1x2
xn
)
1 2
2
n
(ln xi
i 1
)2 ，
令
ln L
ln L
2
2 2 2
n
(ln xi ) 0
i 1
n 2
ln
2
n 2
ln
2
1 2
1 ( 2 )2
n
(ln xi
i 1
)2
x c x( 1)d x c
c
c
x
d
x
c 1
，
令
E(X
)
X
，即
X
c 1
，得
的矩估计量为
1
ˆ X ． X c
从而 的矩估计量值为 4．设总体 X 的概率密度为
ˆ x ． x c
f
(x)
6x(
3
x)
,
x
c,
0, 其他．
X1 ， X 2 ，…， X n 是来自总体 X 的一个样本． (1) 求 的矩估计量ˆ ；
解： E(X )
xf (x, )d x
1 0
x(
1)x d x
1 2
，
令
E(X
)
X
，即
X
1 2
，解得
的矩估计量为
ˆ 2X 1 ． 1 X
似然函数为 L(x1, x2 ,, xn , ) ( 1)n (x1x2 xn ) ， 0 xi 1， 1，
对数似然函数为 ln L n ln( 1) ln(x1x2 xn ) ，
概率论与数理统计及其应用_习题答案_(浙大_盛骤谢式千版本)
《概率论与数理统计》习题解答教材：《概率论与数理统计及其应用》，浙江大学盛骤、谢式千编，高等教育出版社，2004年7月第一版目录第一章随机事件及其概率1第二章随机变量及其分布9第三章随机变量的数字特征25第四章正态分布33第五章样本及抽样分布39第六章参数估计42第七章假设检验53第一章 随机事件及其概率1、解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+= )()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.485、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
理学概率论与数理统计教程茆诗松第7章
7.2.2 两个正态总体均值差的检验
检验 法
u检 验
t检 验
条 原假 件 设H 0
1, 2
已 知
1, 2
未 知
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
备择 检验统 假设 H 1 计量
拒绝域
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
x y { u u 1 }
设承受方有理由猜测甲地发送的讯号值为8， 问能否承受这猜测？
解：这是一个假设检验的问题，总体X ~N(2),
检验假设: H 0: 8v .s. H 1: 8
这个双侧检验问题的拒绝域为
|u|u1/2
取置信水平 ，那么查表知 u。
用观测值可计算得
x 8 0 1 5 ,u 5 8 .1 5 8 0 .2 1 .6 7 7 1
W |x0| snt1/2(n1)
它可以改写为
W xs n t1 /2 (n 1 )0 xs n t1 /2 (n 1 )
并且有 P0 (W) 1, 这里0并无限制.
假设让 0 在(- )内取值，就可得到
置信区间： x
s n
t1/2(n1)
的1-
反之假设有一个如上的1- 置信区间，也可获得
u 值未落入拒绝域内，故不能拒绝原假设， 即承受原假设，可认为猜测成立。
二、 未知时的t 检验
由于 未知，一个自然的想法是将〔7.2.4〕中
未知的 替换成样本标准差s，这就形成t 检验
统计量
t n x 0 s
(7.2.9)
三种假设的检验拒绝域分别为
tt1n1, t tn1, |t|t1/2n1 .
➢ 当备择假设 H 1在原假设 H 0 一侧时的检验称 为单侧检验；
概率论与数理统计-假设检验
14
若
取伪的概率较大.
15
/2
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
/2 H0 真
60 62.5 65 67.5 70 72.5 75
0.12 0.1
0.08 0.06 0.04 0.02
H0 不真
67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5
16
现增大样本容量,取n = 64, = 66,则
41
两个正态总体
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 )
两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
42
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布拒绝域 Nhomakorabea1 – 2 = 1 – 2
1 – 2 1 – 2 <
1 – 2 1 – 2 > ( 12，22 已知)
43
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2
拒绝域
1 – 2 1 – 2 <
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
其中
44
(2)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
《概率论与数理统计》习题及答案 第七章
《概率论与数理统计》习题及答案第 七 章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1） 因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2） （1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计 解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=， 即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--， 解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解 （1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑， 得p 的极大似然估计1p X=。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第7章参数估计
10/29/2020
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华东师范大学
第七章 假设检验
第12页
五、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断：
➢ 当 x108.684或 u1.时64，5则拒绝 H 0
即接收 H 1 ；
➢ 当 x108.684或 u1.645时，则接收 H 0
在例7.1.1中，由于 x 1 0 8 1 0 8 .6 8 4
的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该
厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于
110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金，
测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为 x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
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第七章 假设检验
第3页
(1) 是参数估计问题吗？
(2) 回答“是”还是“否” ，假设检验问题。
(3) 命题“合金平均强度不低于110Pa”正确 与
否仅涉0及{如:下1两10个}参数 集1合{：:110}
这两个非空参数集合都称作统计假设， 简称假设。
(4) 我们的任务是利用样本去判断假设（命题）
“ 0 ”是否成立。这里的“判断”在统 计学中
，
0
都有 g() ,
则称该检验是显著性水平为 的显著性检 验，简称水平为 的检验。
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第七章 假设检验
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四、给出拒绝域
确定显著性水平后，可以定出检验的拒绝域W。
在例7.1.1中，若取=0.05, 由于g()关于 单调减，只需要
g(110)5(c4110)0.05
第7章假设检验 综合讲练
概率论与数理统计 第7章 假设检验 （§7.1 ～ §7.4） 综合讲练 第 1 页（ 共 55 页） 要览
一、假设检验概述 （§7.1） 1、假设检验（单参数假设检验） 2、假设检验的基本思想 3、假设检的拒绝域 4、假设检验的一般步骤 5、假设检验可能产生的两类错误 6、双侧检验与单侧检验 二、单正态总体的假设检验（§7.2） 三、双正态总体的均值与方差的假设检验（§7.3） 四、一般总体均值的大样本假设检验（§7.4） 1．一个总体均值的大样本假设检验 2．两个总体均值的大样本假设检验 概率论与数理统计 第7章 假设检验 （§7.1 ～ §7.4） 综合讲练
第 2 页（ 共 55 页） 提示 --- 根据题目所问，准确选择检验方法 （1）右侧检验； （2）左侧检验； （3）双侧检验. --- 熟记假设检验的拒绝域表
辨析
一、假设检验概述（§7.1） 在实际问题中，常常需要对一些问题作出“是”与“否”的抉择； 假设检验就是根据样本对总体的某个命题（称为原假设），作出是否拒绝该命题的统计推断（在概率意义下）； 假设检验是数理统计的一个重要内容.
1、假设检验（单参数假设检验） 先对总体分布函数的形式或分布函数中的参数提出假设，然后通过抽样并根据样本提供的信息对假设的正确性进行推断，作出接受或拒绝假设的决策，这一过程称为假设检验. 概率论与数理统计 第7章 假设检验 （§7.1 ～ §7.4） 综合讲练 第 3 页（ 共 55 页） 设总体的分布类型是已知的，未知的只是其中一个（或多个）参数，如果统计假设只与未知参数有关，则称该统计假设为参数假设，相应的检验称为单参数假设检验（或多参数假设检验）. 设总体的分布类型是未知的，如果直接针对总体分布的具体形式或总体分布的某些特征提出统计假设，则称该统计假设为非参数假设，相应的检验称为非参数假设检验. 本课程主要介绍参数假设检验.
概率论与数理统计教案假设检验
概率论与数理统计教学教案第7章假设检验授课序号02,,n X 是取自总体的一个样本，给定显著性水平为0μ≠，选取检验统计量1,n X 来自总体2,n Y 来自总体，下面给出三种最常见的检验类型：1.2221,σσ已知，关于均值差检验假设：H 选取检验统计量为,,n X 是取自总体的一个样本，给定显著性水平为0: μμ>,(0,1)N ，当复合化成形加工方法及技术基础5.1 材料成形加工技术的复合化20世纪70年代开始，人们把信息、能源和材料誉为人类文明的三大支柱，20世纪80年代以来又把新材料技术与信息技术、生物技术一起列为高新技术革命的重要标志。
材料科学与工程技术作为基础科学以及应用科学技术领域所有高新技术的主要支撑技术，其关键地位与重要作用愈来愈显著。
材料成形加工是新材料实用化的关键，是新材料技术的重要组成部分。
21世纪科学与技术的重要特征及发展趋势是在更广泛和深层次上的多学科交叉融合。
新世纪的多学科交叉融合的科学技术发展特征体现在材料加工领域就是融合新材料、高能束、信息等高新技术，在成形加工全过程中实现高效、优质、灵捷和洁净化、材料制备与成形的短流程和一体化。
随着尖端科技与人类文明的高度发展和进步，不仅要求高精度地制造新型外观功能的产品，而且需要经济、绿色地制造优异性能的零部件。
一些应用于能源、航空航天、微电子、信息、生物工程等尖端科技的零部件（如燃料电池、生体材料、压电材料、超导材料、隐形材料、环保材料……），若用传统的液态或固态的体积成形或去除成形，或粉末冶金和物理化学方法制造，材料制备与成型加工过程分离，工艺流程与制造周期长，难以满足低成本绿色制造的要求。
另一方面，随着全球经济一体化和知识经济时代的到来，制造业要在激烈的全球化市场竞争中求生存和发展，势必追求新产品快速开发的灵捷响应能力、优质高附加值、低成本和产品生命周期的低环境负荷四方面的综合最佳化。
为适应尖端科技的发展、全球化市场竞争以及国民经济可持续发展的需要，材料加工技术向着复合化方向发展，复合化的特征表现在“过程综合、材料综合、能量场综合、技术综合”四个方面及其相互间的交叉融合。
xin第七章假设检验习题
一、判断题1对假设H 0，从子样提供的信息，作出判断接受H 0，我们可以认为假设H 0客观上一定是正确的。
（） 2在假设检验中，因为显著性水平α是犯第一类错误的概率，所以它越少越好。
（） 3、当n 充分大时，T 检验的临界值也可以查正态分布得到。
（ ） 二、填空题1、假设检验的基本原理是2、假设检验中，显著性水平α的意义是3、假设检验中第一类错误是指 ，第二类错误是指 。
4、总体X~N （μ, σ2），且σ2已知，检验假设H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0应选用 检验，相应的统计量为 式中X为 ，n 为 ，查 表找临界值 ，当 时，拒绝原假设。
5、设总体X~N （μ，σ2），μ未知，检验H 0：σ2≤σ2，H 1：σ2＞σ2应选用 检验，相应的统计量为 ，当 时，拒绝原假设H 0。
三、计算题1、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N （4.55,0.1082），现测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55？（α=0.05） 解：H 0：μ=4.55，H 1：μ≠4.55对α=0.05，查表可得2αz =1.96若H 0为真时，则|Z |=|3/108.055.4484.4|/0-=-nX σμ|=1.83|Z|＜1.96，故接受H 0 即可承认现在生产铁水的平均含碳量为4.552、已知某一试验，其温度服从正态分布N （μ，σ2），现在测量了温度的5个值为：1250，1265，1245，1260，1275，求得X=1259，S 2=11.942问是否可认为μ=1277？（α=0.05）解：由题目已知条件， 对于H 0：μ=1277 H 1：μ≠1277 对于α=0.05，查表可得2αt (4)=2.776若H 0为真时，则|T|=| 3.37X ==∵3.37＞2.776，故拒绝H 0即不可认为μ=1277三、计算题某种导线的电阻服从正态分布N （μ，0.0052），今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得S=0.008Ω，对于α=0.05，能否认为这批导线的电阻的标准差为0.005？解：设H 0：σ2=0.0052，H 1：σ2≠0.0052对于α=0.005，查表可得22αχ(8)=17.5若H 0为真时，则χ2=22202005.0008.0)19()1(⨯-=-σS n =20.48∵20.48＞17.5，故否定H 0，即认为这批导线电阻的标准差不等于0.005。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第7章
第七章 假设检验
第18页
对单侧检验 H0 : 0 vs H1 : 0是类似的， 只是拒绝域变为: W {u u1 } 其势函数为 g n 0 u 对双侧检验问题(7.2.3)，拒绝域为 W { u u1 2} 其势函数为
5(c 110) g (110) 0.05 4
成立即可。这给出c 的值为 c 110 0.8u0.05 110 0.8 1.645=108.684 检验的拒绝域为 W {x 108.684}
16 July 2013
华东师范大学
第七章 假设检验
第七章 假设检验
第1页
第七章 假设检验
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 假设检验的基本思想与概念 正态总体参数假设检验 其它分布参数的假设检验 分布拟合检验
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第七章 假设检验
第2页
§7.1
假设检验的基本思想与概念
7.1.1 假设检验问题
例7.1.1 某厂生产的合金强度服从 N ( ,16)，其中 的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该 厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于 110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金，
x 0 u / n
三种假设的拒绝域形式分别见下图：
16 July 2013
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第七章 假设检验
第15页
W {u c}
W {u c} W {u c1 或 u c2}
(a) H1 : 0
16 July 2013
(b) H1 : 0
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第七章 假设检验
一． 填空题
1. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(μ, σ2)的样本, σ2未知, 现要检验假设H 0: μ = μ0, 则应选取的统计量是______; 当H 0成立时, 该统计量服从______分布. 解. 当σ2未知时, 要检验H 0: μ = μ0, 应选统计量: n S
X 0
μ-, 当H 0成立时, 该统计量服从
t(n －1)分布.
2. 在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小, 则只有增加______.
解. 因为犯二类错误的概率, 当一个缩小时另一个会扩大. 所以要犯二类错误的概率同时缩小, 只能扩大样本容量.
二．单项选择题
1. 设总体X ～ N(μ, σ2) , σ2已知, x 1, x 2, …, x n 为取自X 的样本观察值, 现在显著水平α = 0.05下接受了H 0: μ = μ0. 若将α 改为0.01时, 下面结论中正确的是
(A) 必拒绝H 0 (B) 必接受H 0 (C) 犯第一类错误概率变大 (D) 犯第一类错误概率变小 解. 显著水平α = 0.05下拒绝H 0的拒绝域为:
96.1/975.02
10
==>--
u u
n
x α
σμ. 接受H 0的接
受域为:
96.1/975.02
10
==≤--
u u
n
x α
σμ;
显著水平α = 0.01下拒绝H 0的拒绝域为:
57.2/995.02
10
==>--
u u
n
x α
σμ. 接受H 0的接受域
为:
57.2/995.02
10
==≤--
u u
n
x α
σμ. 所以B)是答案.
2. 在假设检验中, H 0表示原假设, H 1为备选假设, 则称为犯第二类错误的是 (A) H 1不真, 接受H 1 (B) H 0不真, 接受H 1 (C) H 0不真, 接受H 0 (D) H 0为真, 接受H 1 解. 第二类错误的定义为: H 0不真, 接受H 0. (C)是答案.
3. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(μ, σ2)的样本, μ, σ2未知参数, 且 ∑==
n i i X n
X 1
1
, ∑=-=
n
i i
X X
Q
1
2
2
)(
则检验假设H 0: μ = 0时, 应选取统计量为 (A)
Q
X n n )
1(- (B) Q
X n
(C) Q
X n 1
- (D) 2
Q
X n
解. 当σ2未知检验假设H 0: μ = μ0 = 0时, 使用的统计量为
Q
X
n n n
X X n X
n
S X n
i i )1(/)(1
1/
1
2
0-=
--=
-∑
=μ. (A)是答案.
三. 计算题
1. 设用过去的铸造方法, 零件强度服从正态分布, 其标准差为1.6(kg/mm 2).为了降低成本, 改变了铸造方法, 测得用新方法铸出的零件强度如下:
51.9, 53.0, 52.7, 54.1, 53.2, 52.3, 52.5 , 51.1, 54.7 问改变方法后零件的方差是否发生显著变化(取显著水平α = 0.05)? 解. μ未知的情形下检验H 0: σ2 = 1.62
选取统计量)8(~)19(2
2
2
2
χσ
χ
S
-=
接受域为535.17)8()19()8(18.22
975.02
2
2025
.0=<-<
=χσ
χS
而
2
2
)19(σ
s
-=3.73. 所以认为σ2没有发生显著变化.
2. 一自动车床加工零件的长度服从正态分布N(μ, σ2), 车床正常工作时, 加工零件长度均值为10.5, 经过一段时间的生产后, 要检验一下只一车床是否工作正常. 为此随机抽取该车床加工的零件31个, 算得均值为11.08, 标准差为0.516. 设加工零件长度的方差不变, 问此车床是否可以认为工作正常(α = 0.05)?
解. σ未知的情形下检验H 0: μ = μ0 = 10.5, n = 5, α = 0.05 选取统计量)30(~0
t n S
X T μ-=
(当H 0成立时)
拒绝域为042.2)30(||
975.00
=>-t n S
X μ
而26.630516
.005
.1008.110
=-=
-n s
x μ> 2.042. 所以不能认为机床正常工作.。