中考数学复习专题《隐形圆问题》专题练习(求最值、路径长、面积问题等)
中考数学复习最值问题 专题04 中考数学专题复习最值问题(隐圆)练习(原卷版)
1 / 7 中考数学专题复习最值问题（隐圆）练习
1．如图，在RtABC中，ACBRt，8ACcm，3BCcm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．5
2．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．22π B．2π C．3π D．2π
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2 B．π C．2π D．22π
4．如图，在等腰Rt∆ABC中，42ACBC，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 2 / 7 （ ）
A．224 B．2 C．422 D．4
5．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是____．
6．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝6，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
8．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为BC上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿BC运动到点C时，线段AE的最大值是____． 3 / 7
初中数学隐形圆练习题
初中数学隐形圆练习题
1. 已知圆心在原点，半径为3的圆，求经过点(2, √3)的圆的方程。
2. 一个圆与x轴相切，圆心在直线y=2x+3上，且圆心到直线x-y+1=0的距离为√2，求该圆的方程。
3. 已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，求过点A(2, 0)的圆C的切线方程。
4. 圆O的半径为4，圆心在直线y=x上，且圆O与直线y=2x-4相切，求圆O的方程。
5. 一个圆经过点(1, 2)和(3, 4)，且圆心在直线2x+y-6=0上，求该圆的标准方程。
6. 已知圆心在(2, -1)，半径为5的圆，求过点(-3, 2)的圆的切线方程。
7. 圆M的方程为x²+y²-4x+2y-8=0，求过点(1, 3)的圆M的切线方程。
8. 一个圆与直线x+y-1=0相切，圆心在直线x-y+1=0上，且圆心到原点的距离为√5，求该圆的方程。
9. 已知圆C的方程为(x-3)²+(y+1)²=25，求过点B(-1, 4)的圆C的切线方程。
10. 圆O的半径为5，圆心在直线y=-x上，且圆O与直线x+2y+3=0相切，求圆O的方程。
2020年中考数学解题技巧专题训练：隐圆问题训练(含答案)
图 F10-4 方法技巧专题： 隐圆问题训练
巴Q 有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系 .解题时，需要我们 通过分析探索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆，再利用和圆有关的一些知识进行求解 .常见的隐圆模型有：定弦对 定角；动点到定点的距离为定长；四点共圆等.
1 .[2019徐州一模]在矩形ABCD中，已知AB=2 cm,BC=3 cm,现有一根长为2 cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即 两个端点始终落在矩形的边上，按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为
A.6 cm2
C.(2+ 兀)crm
2 .如图 F10-1，已知 AB=AC=AD，/CBD= 2/BDC, / BAC= 44〉贝U/CAD 的度数为
图 F10-1
3 .如图 F10-2 所示，四边形 ABCD 中,DC//AB,BC=1,AB=AC=AD= 2,则 BD 的长为
4 .如图F10-3，在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是线段CB边上的动点，将△ EBF沿EF所在直
线折叠彳#到^ EB'F,连ZB'D,则B'D的最小值是 .
图 F10-3
5 .如图F10-4，矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2,点G为EF的中点，点P为BC 边上一动点，则PA+PG的最小值为 . B .3 cm2 D.(6-% )crm
图 F10-2 图 F10-7
8.如图F10-7，点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0)，点P是该直角坐标系内的一个动点
⑴使/APB=30°的点P有 个；
(2)若点P在y轴上，且/ APB= 30 °,求满足条件的点 P的坐标；
(3)当点P在y轴上移动时，/APB是否有最大值？请说明理由.
9.[2018 广州]如图 F10-8,在四边形 ABCD 中,/ B= 60 , / D= 30 ,AB=BC.
中考隐形圆问题
中考隐形圆问题
1 / 18 2019中考数学复习 隐形圆问题大全
一 定点+定长
1．依据:到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。
2.应用：
（1)如图,四边形AＢＣD中，AB＝AC=AD=2，ＢC=1，ＡB∥CＤ，求BD的长。
简析：因AB=AC=ＡＤ＝2,知B、C、D在以A为圆２为半径的圆上,由AB∥CD得DE＝BC=１，易求ＢD＝15。
（2)如图，在矩形ABCD中，ＡB＝４，AD=6,E是AＢ边的中点,F是线段BＣ边上的动点,将△EBＦ沿EＦ所在直线折叠得到△EＢ′F，连接Ｂ′D,则B′D的最小值是 . 中考隐形圆问题
2 / 18
简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EＢ′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为210。
(３)ΔＡＢC中,ＡB=4，AC=2,以BＣ为边在ΔＡＢＣ外作正方形BCDＥ,BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 ．
简析：先确定Ａ、B点的位置，因AＣ＝2，所以C点在以A为圆心,2为半径的圆上；因点Ｏ是点C以点B为中心顺时针旋转４5度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：2缩小即得O点路径。如下图,转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF＋FO＝32。
中考隐形圆问题
3 / 18 二 定线＋定角
1．依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。
2.应用:
(1）矩形ABＣD中，AB=1０,AD=4,点P是CD上的动点,当∠AＰＢ＝９0°时求DP的长.
简析：AB为定线,∠APＢ为定角（90°)，P点路径为以ＡB为弦(直径）的弧，如下图,易得DＰ为2或8。
(2)如图，∠ＸOY ＝ ４５°，等边三角形ＡBC的两个顶点Ａ、B分别在OX、OY上移动,AB = ２,那么OC的最大值为 . 中考隐形圆问题
4 / 18
简析:ＡB为定线，∠XOY为定角,O点路径为以AＢ为弦所含圆周角为4５°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径,即CM+MO=3＋１+2。
中考数学《隐形圆》专题练习
中考数学《隐形圆》专题练习（求最值、路径长、面积问题等）
1.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，
则线段CP长的最小值为_________.2.如图，在边长为23的等边△ABC中，AE=CD，连接BE、AD相交于点P，则CP的最小值为
3.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA
引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心
I所经过的路径长为____________.
4.如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点
C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_______.5.如图，直线y＝x＋4分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点
O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是________.
6.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接
BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________.
7.如图，O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是________.
8.如图，以正方形ABCD的边BC为一边向内部做一等腰△BCE，CE=BC，过E做EH⊥BC，点P
是Rt△CEH的内心，连接AP，若AB=2，则AP的最小值为________.9.如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，
点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为__________.
10.如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为（7,3）,点E在边AB上,
专题04 中考数学专题复习最值问题(隐圆)练习(解析版)-备战2022年中考数学复习专题最值问题训练
中考数学专题复习最值问题（隐圆）练习
1．如图，在RtABCD中，
ACBRtÐ=Ð，8AC=cm，3BC=cm．
D是
BC边上的一个动点，连接
AD，过点C作CEAD^于
E，连接
BE，在点
D变化的过程中，线段
BE的最小值是（ ）
A．1B
．
3C．2D
．
5
【答案】A
【分析】
由∠AEC
＝90°知，点E
在以AC
为直径的⊙M
的
CN上（不含点C
、可含点N
），从而得BE
最短
时，即为连接BM
与⊙M
的交点（图中点E
′点），BE
长度的最小值BE
′＝BM
−ME
′．
【解析】
如图，
由题意知，90AECÐ=°，
E\在以
AC为直径的Me
的
CN上（不含点C、可含点)N，
BE\最短时，即为连接
BM与Me
的交点（图中点
E¢点），
在RtBCMD中，3BCcm=
，1
4
2CMACcm==
，则
22
5BMBCCMcm=+=．
4MEMCcm¢==Q，
BE\长度的最小值
1BEBMMEcm¢=-¢=，
故选：
A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注
意辅助线的作法．2．如图，△ACB
中，CA
＝CB
＝4，∠ACB
＝90°，点P
为CA
上的动点，连BP
，过点A
作AM
⊥BP
于M
．当点P
从点C
运动到点A
时，线段BM
的中点N
运动的路径长为（ ）
A
．2
2πB
．
2πC
．
3πD．2π
【答案】A
【解析】
解：设AB
的中点为Q
，连接NQ
，如图所示：
∵N
为BM
的中点，Q
为AB
的中点，
∴NQ
为△BAM
的中位线，
∵AM
⊥BP
，
∴QN
⊥BN
，
∴∠QNB
＝90°，
∴点N
的路径是以QB
的中点O
为圆心，1
4AB
长为半径的圆交CB
于D
的
QD，
∵CA
＝CB
＝4，∠ACB
＝90°，
∴
AB
2=CA
＝
4
2，∠QBD
＝45°，
∴∠DOQ
＝90°，
∴
QD为⊙O
的1
4周长，
∴线段BM
的中点N
运动的路径长为：1
9042
2
4
1802p
´´
=π，
故选：A．3．如图，在△ABC
中，∠ACB
＝90°，AC
＝BC
，AB
＝4cm，CD
是中线，点E
、F
同时从点D
出发，
中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆(解析版)
试卷第1页，共32页
中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆一、填空题
1．如图，四边形ABCD中，ABCD
，ACBC
，
60DAB
，4ADCD==，点M是四边形ABCD内
的一个动点，满足
90AMD
，则MBC面积的最小值为．
【答案】
634
【分析】取
AD的中点O，连接
OM，过点M作
MEBC交BC的延长线于点
E，过点O作OFBC于
F，
交
CD于G，则OMMEOF，通过计算得出当,,OME
三点共线时，
ME有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取
AD的中点O，连接
OM，过点M作
MEBC交BC的延长线于点
E，过点O作OFBC于
F，交
CD于
G，则OMMEOF，
∵ABCD
，
60DAB
，4ADCD==，
120ADC，
∵ADCD，
30DAC，
30CAB，
∵ACBC
，
90ACB
903060B，
BDAB，
四边形ABCD为等腰梯形，
4BCAD，
试卷第2页，共32页
∵
90AMD
，
4AD，OAOD，
1
2
2OMAD，
点M在以点O为圆心，2为半径的圆上，
∵ABCD∥，
60GCFB，
30DGOCGF，
∵
OFBC，ACBC
，
30DOGDACDGO，
2DGDO，
2cos3023OGOD，
3GF，
33OF，
332MEOFOM，
当,,OME
三点共线时，
ME有最小值
332，
MBC面积的最小值为1
4332634
2
．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M位置的确定是解题关键．
2．如图，点A
，B
的坐标分别为(60)(06)ABC，，，，
为坐标平面内一点，22BC
，M
为线段AC的中点，
连接
OM，当
OM取最大值时，点M
的坐标为．
【答案】
4,4
【分析】根据题意可知：点C
在半径为22
的⊙B
上．在x
隐形圆解决最值及面积问题 - 含答案
定弦定角最值问题
【定弦定角题型的识别】
有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。
【题目类型】
图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题
【解题原理】
同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。
（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。）
【一般解题步骤】
①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）
③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。
④确定圆心位置，计算隐形圆半径。
⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。
⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。
典型例题讲解
1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．2441
解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）
如图，当AD过O′时，AD有最小值
∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90° ∴△BO′C为等腰直角三角形
∴∠ACO′＝45°＋45°＝90° ∴AO′＝5
又O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝1
2.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（ ）
A．213 B．213 C．5 D．916
解：连接AE
∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动
2019中考数学复习 隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)
2019中考数学复习 隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)
2019中考数学复：隐形圆问题大全
一定点+定长
根据到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆的原理，可以应用到以下问题中：
1.在四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，且AB∥CD，求BD的长度。解析：因为AB=AC=AD=2，所以B、C、D在以A为圆心、2为半径的圆上。又因为AB∥CD，所以DE=BC=1.根据勾股定理，易得BD=√15.
2.在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是多少？解析：因为E是定点，EB′是定长，所以B′点路径为以E为圆心、EB′为半径的圆。作穿心线DE可得B′D的最小值为2√10.
3.在ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为多少？解析：首先确定A、B点的位置，因为AC=2，所以C点在以A为圆心、2为半径的圆上。因为点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以将圆A旋转45度再1：2缩小即可得到O点路径。转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=3+2√2.
二定线+定角
根据与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧的原理，可以应用到以下问题中：
1.在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长度。解析：因为AB为定线，∠APB为定角（90°），所以P点路径为以AB为弦（直径）的弧。根据勾股定理，可得DP为2或8.
2.在等边三角形ABC中，∠XOY = 45°，点A、B分别在OX、OY上移动，且AB = 2，那么OC的最大值为多少？解析：因为AB为定线，∠XOY为定角，所以O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧。转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+2=5.
专题11 圆的最值问题(隐圆模型)(解析版)(人教版)
专题11圆的最值问题（隐圆模型）【知识点梳理】隐圆模型汇总
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
例．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2
3，△ADC与△ABC关于AC
对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的
最小值为()
A．1B．
3C．3
2D．2
【答案】D
【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值．
【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，
所以BD＝DC
因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，
所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因为∠FDC＋∠BDF＝60°，
所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，
直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2
3，所以AB＝2，AC＝4，
所以AP＝2
当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，
CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2
故选D．
【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当
动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
【变式训练1】．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，90,30ACBABC
，连接OC
，
若⊙O的半径是4，则OC
长的最小值为．
【答案】
232/
223
【分析】延长BC
交圆O于点D，连接,DOAD
，过O点作
OEAD交于点E，则AOD△
是
等边三角形，再确定点C在以E为圆心，
AE为半径的圆上，则
CO的最小值为EODE