两角和与差的三角函数与二倍角公式习题课
§15.2二倍角公式
课 堂 教 学 教 案
授课章节名称 §15.2二倍角公式 课型
授 课 日 期 年 月 日 第 周 课时数 2
教 学 目 标 1、了解二倍角的正弦、余弦公式的推导过程，识记二倍角的正弦、余弦公式。
2、会运用二倍角公式求三角函数值、化简三角函数式。体会三角变换的思想和方法。
3、初步学会运用二倍角公式解决简单的专业问题。
教 学 重 点 1、识记二倍角的正弦、余弦公式。
2、会运用二倍角公式求三角函数值、化简三角函数式。
教 学 难 点 运用二倍角公式解决简单的专业问题。
教 学 方 法 讲授法、问答法、举例法、练习法、归纳法
使 用 教 具
数学（第四册）（江苏教育出版社）、 三角板 、多媒体课件
课 外 作 业 P11习题1、2、3
教 学 后 记
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动
作业讲评
(4分钟) 订正作业
复习提问
( 3分钟) 1、两角和与差的余弦公式
2、两角和与差的正弦公式 教师提问
学生回答
新课导入
( 2分钟) 上一次课，我们学习了两角和差的正弦、余弦公式，大家有没有想过，如果我们另公式中的两角相等，那又会得到什么样的结果呢？今天，我们就一起来学习第2节内容二倍角公式
课前引入
学生回顾
新
课
讲
授
( 67分钟) 一、正弦的倍角公式 5′
cossin22sin
推导：cossincossinsin
令，则cossincossin2sin
cossin2
二、余弦的倍角公式5′
2222sin211cos2sincos2cos三、例题讲解17′
例1、求下列各式的值
（1）5.22cos5.22sin （2）75sin212
解（1）原式=)5.22cos5.22sin221（42
（2）原式=)30180cos(150cos23
(2021年整理)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的 两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
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两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的 ：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例
知识要点:
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β):cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β）＝ ;
S（α＋β）：sin(α＋β）＝ ； S(α－β）:sin（α－β）＝ ；
T（α＋β）：tan(α＋β）＝ ； T（α－β):tan（α－β）＝ ；
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2S:sin2α＝ ； 2T:tan2α＝ ；
2C：cos2α＝ ＝
＝ ；
3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.
如T（α±β)可变形为：
tan α±tan β=___________________； tan αtan β=
两角及与差及二倍角公式讲义,例题含含答案
两角及与差及二倍角公式讲义,例题含含答案
1 / 4 两角和与差及二倍角公式（答案）
两角和与差及二倍角公式
一．【复习要求】
1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，认识它们的内在联 .
2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2. 可以利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明 .
二、【知识回首】
1．两角和与差的三角函数
sin( ) ； sin( ) ；
cos( ) ； cos( ) ；
tan( ) ； tan( ) ；
2．二倍角公式： 在 sin( ),cos( ), tan( ) 中令 ，可得相应的二倍角公式。
sin2 ；
cos2 = =
tan 2 。
3．降幂公式
sin 2 ； cos2 .
注意：二倍角公式拥有“升幂缩角“作用，降幂公式拥有“降幂扩角”作用
4．协助角公式
y a sin x bcos x a2 b2 sin(x ) ，（此中 a, b 不可以同时为 0）
证明： y sin x cos x 2 2 ( a b cos x) a b sin x
a2 b 2
a2 b2
a2 b2 (cos sin x sin cos x)
a2 b2 sin( x )
此中， cos a ， sin b ， tan b 终边过点 ( a, b) 2 2 且角
a 2 2 a
b a b
在使用时，不用死记结论，而重在这种缩短（合二为一）思想
如： sin cos ； sin cos 。
5. 公式的使用技巧
（ 1）连续应用： sin( ) sin[( ) ] sin( )coscos()sin
（ 2）“ 1”的代换： sin2 cos2 1， sin
2 1,tan 1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
、知识要点:
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1) sin(：z 二 I')=
⑵cos(.二 I )=
(3) tan(.二 I )=
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1) sin 2：= (2) cos2：=
⑶tan 2:=
3. 常用的公式变形 (1) tan a 土tan E =tan(a ± E)(1 干 tana tan E)；
2 1 cos2: 21 -cos2:
(2) cos ： =,sin ：=； 2 2
(3) 1 sin2：-(sin：：、" cos： )2,1-sin2： - (sin ： - cos： )2,sin 二里 cos： = . 2sin(: —).
4
4. 辅助角公式
函数f (x) = asin x+ bcosx (a ,内常数)，可以化为 f (x) = l廿十 ^ sin( )』占+ b cos(*e 其中 甲(8)可由a,b的值唯一确定.
两个技巧
一(1)一一一握角一、…携角技互二…(2) 一一化简技一巧二切化霎L…一一'：1'： 一一的代换笠一.…一一
【双基自测】
(人教A版教材习题改编)下列各式的值为 1的是()
4
sin 2上
3 .右 tan a =3,则 -- 2—=().
2 2__Q 2 tan 22.50 o o
2cos 衫 T B . 1 -2sin 75 C. ~-一2 & 5° D. sin15 cos15
2. sin 68° sin 67° —sin23°cos68° =( )
A. 一岂经乎D. 1 A. cos :■
A. 2 B . 3 C . 4 D . 6
4 .已知sin a 2
贝U cos(兀 一
A. D.
5. 1
设 sin(— +8)=-，贝U sin 26 =()
4 3
A. D.
6. tan200 +tan40° + 后tan200 tan400 =
三角函数两角和差及二倍角公式
三角函数两角和差及二倍角公式
一、三角函数的两角和差公式
对于任意两个角A和B，我们定义它们的和角为C=A+B，差角为D=A-B。三角函数的两角和差公式能够将C和D的三角函数表示成A和B的三角函数。
1.两角和公式
sin(C) = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos(C) = cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
tan(C) = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)
这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之和。
2.两角差公式
sin(D) = sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB
cos(D) = cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
tan(D) = tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)
这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之差。
二、三角函数的二倍角公式
对于角A，我们定义它的二倍角为B=2A。三角函数的二倍角公式能够将B的三角函数表示成A的三角函数。
1.二倍角正弦公式 sin(B) = sin(2A) = 2sinAcosA
这个公式可以用来计算角A的二倍角的正弦。
2.二倍角余弦公式
cos(B) = cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 -
2sin^2(A)
这个公式可以用来计算角A的二倍角的余弦。
3.二倍角正切公式
tan(B) = tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2(A))
这个公式可以用来计算角A的二倍角的正切。
三、证明示例
我们可以通过证明示例来演示三角函数的两角和差及二倍角公式。
示例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
两角和与差及二倍角的三角函数公式
两角和与差及二倍角的三角函数公式
1.两角和公式：
cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))
这些公式表明，将两个角度的三角函数相加时，可以将它们的三角函数值相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。
2.两角差公式：
cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))
这些公式表明，将两个角度的三角函数相减时，可以将其中的一个角度的三角函数值取相反数，并进行相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。
3.二倍角公式：
cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)
sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A)) 这些公式表明，角度的两倍的三角函数值可以通过将角度的三角函数值平方、相乘、相加或者相除，并进行一些基本运算，从而得到结果的三角函数值。
这些公式在解决各种三角函数问题时非常有用。它们可以帮助我们计算两个角度的和、差以及角度的两倍的三角函数值。例如，当需要计算sin(75°)时，可以利用sin(45° + 30°)的两角和公式，以及sin(2 *
30°)的二倍角公式，从而得到sin(75°)的值。
此外，这些公式也有一些相关的推论：
1.三角函数的积和商：
sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2
18 两角和差与2倍角公式(考点+解析)
1．两角和与差的三角函数
sincoscossin)sin(；
cos()coscossinsin；
tantantan()1tantan。
2．二倍角公式
cossin22sin；
2222cos2cossin2cos112sin22tantan21tan。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
（1）降幂公式
2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2。
（2）辅助角公式
22sincossinaxbxabx， 2222sincosbaabab其中，。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角
5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
【例1】(2016·全国Ⅱ文11)函数f(x)＝cos 2x＋6cosx2的最大值为( )
两角和与差及二倍角的三角函数公式必修四
2.1两角和与差及二倍角的三角函数公式
一、选择题
1．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )
A．－12 B.12
C．－ 32 D.32
2．log2sinπ12＋log2cosπ12的值为( )
A．4
B．－4
C．－2
D．2
3．(2011年辽宁)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝( )
A．－79 B．－19
C.19
D.79
4．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为( )
A.103 B.53
C.23 D．－2
5．(2011年湖北)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为( )
A.x kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z B.x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z
C.x kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈Z D.x 2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z
二、填空题
6．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是______________．
7．(2010年全国)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tanα＝________.
8．(2010年浙江)函数f(x)＝sin2x－π4－2 2sin2x的最小正周期是________．
9．已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，则cosα＋π4＝________.
三、解答题
10．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，1)．(1)当a⊥b时，求tan2θ；(2)求|a＋b|的最大值．
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
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成功是必须的 ：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例
知识要点：
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2S：sin2α＝ ； 2T：tan2α＝ ；
2C：cos2α＝ ＝ ＝ ；
3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:
tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = .
考点自测：
1、已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝( )
711A、 711B、- 713C、 713D、-
2、已知cosα－π6＋ sinα＝453，则
sinα＋7π6的值是( )
A．－235
B.235 C．－45 D.45
3、在△ABC中，若cosA＝45，cosB＝513，则cosC的值是( )
A.1665 B.5665 C.1665或5665 D．－1665
高考数学(文)一轮复习知能训练：《两角和与差及二倍角的三角函数公式》
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
1．(2012年陕西)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ＝(
)
A.22 B.12 C．0 D．－1
2．(2013年新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝( )
A.16 B.13 C.12
D.23
3．(2012年重庆)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
4．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为( )
A.103 B.53 C.23 D．－2
5．(2012年山东)若θ∈π4，π2，sin2θ＝3 78，则sinθ＝( )
A.35 B.45 C.74 D.34
6．(2012年全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝( )
A．－53 B．－59 C.59 D.53
7．(2010年浙江)函数f(x)＝sin2x－π4－2 2sin2x的最小正周期是________．
8．求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.
9．(2013年江西)设f(x)＝3sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是__________．
10．(2012年陕西)函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈0，π2，则fα2＝2，求α的值．
11．已知sinA＋π4＝7 210，A∈π4，π2.
(1)求cosA的值；
(2)求函数f(x)＝cos2x＋52sinAsinx的值域．
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式