概率论与数理统计2-6
1 t2 dt
1
x 1 x2 1 arcsin x 1
2
对 x>1， F (x) = 1
即
0,
F
(
x)
x
1 x2 1 arcsin x 1 ,
2
1,
x 1 1 x 1 x 1
例4 设有函数 F(x)
F(x)
sin
问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数，
300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型.
可见， X~b(n,p)，n=300, p=0.01
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01 . 一台设备故障一人来处理.
kN 1 k!
查书末的泊松分布表得
e33k 0.0038,
k9 k!
e33k 0.012, k8 k!
N+1 9, 即N 8
即至少需配备8个维修人员.
例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n，求X的分布函数. 解：将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为：
问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
设X为300台设备同时发生故障的台数， X~X备>NN个) <维0.修01人或员，P(所X求N的) 是0满.99足
的最小的N.
下面给出正式求解过程：
解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X~b(n,p)，n=300, p=0.01
x(1) x(2) … x(n)
显然，x < x(1)时，F(x)=P(X x)=0,
x(1) x< x(2)时，F(x)=P(X x)=1/n,
x(2) x< x(3)时，F(x)= P(X x)=2/n,
例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n，求X的分布函数.
F ( x) 没意义的点处，任意规定 F ( x)的值.
第二章 自测题
一．随机变量 X 具有以下的分布律：
X
--2
0
2
3
P 0.2 0.2 0.3 0.3
则Y X 2 的分布律为___Y__ . 0
4
9
P 0.2 0.5 0.3
二．已知随机变量 X 的概率密度为
f X ( x) Ae|x|, x ,系数A __0_._5__;X 的分
布函数FX ( x) _____;Y
FX
x
0.5e x
1
0.5e
x
x0 x0
X 2的概率密度_______ .
0
y0
fY
y
2
1
y
e
y
y0
三．设随机变量 X 服从参数为（2，P）的二项分布，
随机变量 Y 服从参数（3，P）的二项分布，若
P{ X
x 0
0 x
其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解： 注意到函数 F(x)在 [ 2, ]上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
例5 设
x, 0 x 1 X ~ f ( x) 2 x, 1 x 2
解：将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为：
x(1) x(2) … x(n)
x(k) x< x(k+1)时，F(x)= P(X x)=k/n,
x x(n)时，F(x)=P(X x)=1
例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n，求X的分布函数. 于是得
0,
当xmin (x1,,xn)
F
(x)
k ,当xmin n
(
x1,,xn
),且x
j
(
j1,2,,n)中
恰有k个不大于x
1,
当xmax ( x1,,xn )
这个结果在数理统计中有用.
例3 设r.v X 的密度函数为 f (x)
f
(
x)
2
1 x2 ,
0, 其它
求 F(x).
x
F(x) f (t)dt
由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时
注意分段求.
x, 0 x 1 X ~ f ( x) 2 x, 1 x 2
0, 其它
x
F(x) f (t)dt
F(x) =
0
x
0 tdt
设需配备N个维修人员， 所求的是满足
P(X>N) < 0.01的最小的N.
300
P(X>N) C3k00(0.01)k(0.99)300k
kN 1
n大,p小,np=3,
300 3k e3
kN 1 k!
用 λ=np=3 的泊松近似
3k e3
kN 1 k!
我们求满足 3k e3 0.01的最小的N.
1
x
0tdt 1 (2 t)dt
1
x0
0 x 1
1 x 2
x2
即
0,
x0
F
(
x)
x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x1 1 x 2
2
1,
x2
例6 设r.vX的分布函数为
0, x 0
(1) 求X取值在区间
F
(
x)
x2
1}
5 ,则P{Y
1}
19
____ .
9
27
四．设 X ~ N (2, 2 ),且P(2 X 4) 0.3, 则P( X 0) _0_._2__ .
五．设随机变量 X 的分布律为
P(X
k)
(b )k
a
,k
0,1,2,, 其 中b,
0
是
k!
已知常数，则a __e__b__ .
例题精选
例1 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工 作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若 在通常的情况下，一台设备的故障可由一 人来处理 . 问至少应配备多少维修人员， 才能保证当设备发生故障时不能及时维修 的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01. 一台设备故障一人来处理.
,
0 x1
1, x 1
(0.3,0.7)的概率； (2) 求X的概率密度.
解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4
(2)
f(x)= dF ( x) dx
2 x,
0,
0 x 1 其它
注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在
1 x 1
0, 其它
求 F(x).
解： F(x) = P(X x) =
x
f (t)dt
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
0, 其它
解： 对x < -1，F(x) = 0
求 F(x).
对 1 x 1,
F(x)
1
0 dt
x2
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概率论与数理统计-6
一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数，且不含有任何未知参数，则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对 一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离开具体的某 次观测或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )
。
（3）样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
。
（6-5）
（4）样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ，1) 分布，求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ，1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p
概率论与数理统计第6讲
d
d −c f ( x) d x = . b−a
2. 指数分布 定义： 定义：若随机变量 X 具有概率密度
λ e , x ≥ 0 , f ( x) = 0, x < 0.
− λx
(λ > 0)
的分布是参数为 的指数分布， 则称 X的分布是参数为λ的指数分布，记成 的分布是 X ~E(λ)。 。 指数分布常用于可靠性统计研究中， 指数分布常用于可靠性统计研究中，如 元件的寿命服从指数分布。 元件的寿命服从指数分布。
∫
于是
1= ∫
+∞
+∞
−∞
f ( x) d x = 1
2
故
−∞
f ( x) d x = c ∫
0
x x d x =c 3
2
3 2 0
8c = 3
3 c= . 8
(2) P ( −1 < X < 1) = ∫ f ( x) d x
−1
1
= ∫ 0 d x + ∫ cx 2 d x
−1dx= . 0 8 8
(2). 确定数据分组数 m （一般取为 ～15）， 一般取为7～ ）， 组距 d = (b − a) / m， ， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, · · · , m； ；
(3). 计算落入各子区间内观测值频数 ni =| { xj ∈ [ti−1, ti)， j = 1, 2, · · · , n}|， ， 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, · · · , m； ， ；
取值于(x 表示随机变量 X 取值于 , x +△ x]上的概率 上的概率 近似等于 f (x ) △x 。 f (x ) △x 在连续型随机变量中所起的作用与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作用 类似。 类似。
概率论与数理统计(二)
欢迎阅读内容串讲第一章 随机事件及其概率1． 事件的关系与运算必然事件：Ω—随机试验全部结果构成的集合。
不可能事件：φ 一般事件A ：A φ⊂⊂Ω若A 若A 11111,,nnni i i i i i i i A A A A ∞=====等等。
例1 2（1（2（3（4（5）)()()(AB P A P B A P -=-（6）若n A A A ,,21两两互不相容，则∑===ni i ni i A P A P 11)()(（7）若n A A A ,,21相互独立，则例2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(===AB P B P A P则5.0)()()(1)(1)(=+--=⋃-=⋃AB P B P A P B A P B A P3．古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A 的概率为例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A ：取到两个白球；B ：一白一红球，求)(),(B P A P（1）无放回抽样：（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次［注］：若设X 为两次有放回取球中取到白球数，则X ～)52,2(B ，从而)(=P A P 4（1（2例103 （3，j i j i ,,≠)(i B（4例5 某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有)4,3,2,1(=i i 个次品的概率如下（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有i 个次品的概率。
)4,3,2,1(=i解：（1）设事件i B 是恰有i 个次品的一批产品)4,3,2,1(=i ，则由题设设事件A 是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有1)(0=B A P由全概率公式，即得8142.0)()()(40≈=∑=i i i B A P B P A P（2）由Bayes 公式，所求概率分别为5．事件的独立性（1）定义：A 、B 相互独立等价于)()()(B P A P B A P ⋅=（2）若n A A A ,,,21 相互独立，则有)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。
概率论与数理统计课件1-6
P( A) = P(B) = P(C ) = 4 = 1 82
P( ABC ) = 1 = P( A)P(B)P(C ) 8
P( AB) = 3 ≠ 1 = P( A)P(B) 84
(3)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件也相互 独立.
(4)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件换成各 自事件的对立事件后，
所得的 n个事件也是相互独立的 .
如A, B,C 相互独立 , 则A, B,C 相互独立 , A, B,C
也相互独立 . A1, , An 相互独立，则
P( A1 + + An ) = 1 − P( A1)
P( An )
(5)设 A1, A2 , , An 相互独立，则将它们分 成 分成若干组，各组内的 运算结果间 也相互独立 .
于是 P(C1)=P(A1A2A3)+P(B1B2B3) -P(A1A2A3B1B2B3)
=p3+p3-p6=p3(2-p3),
P(C2)=(p+p-p2 )3=p3(2-p)3,
当0<p<1时, P(C2)>P(C1).
例6 甲、乙、丙同时向一架飞机射击，命中率各 为 0.4，0.5，0.7，一人和二人击中时，飞机坠毁的 概率分别为 0.2与0.6，三人击中时飞机一定坠毁.现 飞机坠毁了，计算是由三人同时击中的概率. 解 设 B =“飞机坠毁”注： (1)相互独立Fra bibliotek两两独立
袋内有4个球,全红、全黑、全白各一 个，另一个
涂有红、黑、白三色 ,从中任取一个， A、B、C分别表
示取到红、黑、白球
P( A) = P(B) = P(C ) = 2 = 1
P( ABC ) = 1 = P( A)P(B)P(C ) 8
P( AB) = 3 ≠ 1 = P( A)P(B) 84
(3)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件也相互 独立.
(4)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件换成各 自事件的对立事件后，
所得的 n个事件也是相互独立的 .
如A, B,C 相互独立 , 则A, B,C 相互独立 , A, B,C
也相互独立 . A1, , An 相互独立，则
P( A1 + + An ) = 1 − P( A1)
P( An )
(5)设 A1, A2 , , An 相互独立，则将它们分 成 分成若干组，各组内的 运算结果间 也相互独立 .
于是 P(C1)=P(A1A2A3)+P(B1B2B3) -P(A1A2A3B1B2B3)
=p3+p3-p6=p3(2-p3),
P(C2)=(p+p-p2 )3=p3(2-p)3,
当0<p<1时, P(C2)>P(C1).
例6 甲、乙、丙同时向一架飞机射击，命中率各 为 0.4，0.5，0.7，一人和二人击中时，飞机坠毁的 概率分别为 0.2与0.6，三人击中时飞机一定坠毁.现 飞机坠毁了，计算是由三人同时击中的概率. 解 设 B =“飞机坠毁”注： (1)相互独立Fra bibliotek两两独立
袋内有4个球,全红、全黑、全白各一 个，另一个
涂有红、黑、白三色 ,从中任取一个， A、B、C分别表
示取到红、黑、白球
P( A) = P(B) = P(C ) = 2 = 1
概率论与数理统计第二章
26
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
掷骰子
P(A|B）= 1 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点
个数
27
例8 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
实际上,这个假定并不完 全成立，有关问题的实际概 率比表中给出的还要大 .
当人数超过23时，打赌 说至少有两人同生日是有利 的.
18
例3 某城市的电话号码由5个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求 电话号码由五个不同数字组成的概率.
解：
a
A150 105
=0.3024
问：
b
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.
这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加.
17
人数 至少有两人同
生日的概率
20
0.411
21
0.444
22
0.476
23
0.507
24
0.538
30
0.706
40
0.891
50
0.970
60
0.994
所有这些概率都是在假 定一个人的生日在 365天的 任何一天是等可能的前提下 计算出来的.
25
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
掷骰子
P(A|B）= 1 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点
个数
27
例8 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
实际上,这个假定并不完 全成立，有关问题的实际概 率比表中给出的还要大 .
当人数超过23时，打赌 说至少有两人同生日是有利 的.
18
例3 某城市的电话号码由5个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求 电话号码由五个不同数字组成的概率.
解：
a
A150 105
=0.3024
问：
b
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.
这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加.
17
人数 至少有两人同
生日的概率
20
0.411
21
0.444
22
0.476
23
0.507
24
0.538
30
0.706
40
0.891
50
0.970
60
0.994
所有这些概率都是在假 定一个人的生日在 365天的 任何一天是等可能的前提下 计算出来的.
25
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
概率论与数理统计-第六章
大街上随机抽取200人，进行调查。记录了
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
概率论与数理统计第二章
k =0
k 1− k
n
服从参数为n和 的二项分布 的二项分布， 称 r.v X 服从参数为 和p的二项分布，记作 X~b(n,p) 显然，当 n=1 时 X ~ B(1， p) 此时有 P {X = k } = p (1 − p )
, k = 0,1
(0 <
p < 1)
即（0-1）分布是二项分布的一个特例. ）
第二章 随机变量及其分布
Random Variable and Distribution 在前面的学习中,我们用字母A 在前面的学习中,我们用字母A、B、 C...表示事件 并视之为样本空间S 表示事件， C...表示事件，并视之为样本空间S的子 针对等可能概型 主要研究了用排 可能概型， 集；针对等可能概型，主要研究了用排 列组合手段计算事件的概率 手段计算事件的概率。 列组合手段计算事件的概率。 本章，将引入随机变量表示随机事件， 本章，将引入随机变量表示随机事件， 随机变量表示随机事件 以便采用高等数学的方法描述、 高等数学的方法描述 以便采用高等数学的方法描述、研究随 机现象。 机现象。
设 P { A} = p , 则 P { A} = 1 − p
抛硬币： 出现正面” 抛硬币：“出现正面”，“出现反面” 出现反面”
例如: 例如
抽验产品： 是正品” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 是次品”
将伯努利试验E独立地重复地进行 次 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这 一串重复的独立试验为n重伯努利试验 重复的独立试验为 一串重复的独立试验为 重伯努利试验 . 次试验中P(A)= p 保持不变 保持不变. “重复”是指这 n 次试验中 重复” 独立” “独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
依题意, 可取值 可取值0, 解: 依题意 X可取值 1, 2, 3,4.以p表示每组信号 以 表示每组信号 灯禁止汽车通过的概率 设 Ai={第i个信号灯禁止汽车通过 i=1,2,3,4 个信号灯禁止汽车通过}, 第 个信号灯禁止汽车通过
k 1− k
n
服从参数为n和 的二项分布 的二项分布， 称 r.v X 服从参数为 和p的二项分布，记作 X~b(n,p) 显然，当 n=1 时 X ~ B(1， p) 此时有 P {X = k } = p (1 − p )
, k = 0,1
(0 <
p < 1)
即（0-1）分布是二项分布的一个特例. ）
第二章 随机变量及其分布
Random Variable and Distribution 在前面的学习中,我们用字母A 在前面的学习中,我们用字母A、B、 C...表示事件 并视之为样本空间S 表示事件， C...表示事件，并视之为样本空间S的子 针对等可能概型 主要研究了用排 可能概型， 集；针对等可能概型，主要研究了用排 列组合手段计算事件的概率 手段计算事件的概率。 列组合手段计算事件的概率。 本章，将引入随机变量表示随机事件， 本章，将引入随机变量表示随机事件， 随机变量表示随机事件 以便采用高等数学的方法描述、 高等数学的方法描述 以便采用高等数学的方法描述、研究随 机现象。 机现象。
设 P { A} = p , 则 P { A} = 1 − p
抛硬币： 出现正面” 抛硬币：“出现正面”，“出现反面” 出现反面”
例如: 例如
抽验产品： 是正品” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 是次品”
将伯努利试验E独立地重复地进行 次 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这 一串重复的独立试验为n重伯努利试验 重复的独立试验为 一串重复的独立试验为 重伯努利试验 . 次试验中P(A)= p 保持不变 保持不变. “重复”是指这 n 次试验中 重复” 独立” “独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
依题意, 可取值 可取值0, 解: 依题意 X可取值 1, 2, 3,4.以p表示每组信号 以 表示每组信号 灯禁止汽车通过的概率 设 Ai={第i个信号灯禁止汽车通过 i=1,2,3,4 个信号灯禁止汽车通过}, 第 个信号灯禁止汽车通过
概率论与数理统计第6章
以分组区间为底，以
Yj
Wj X j1 X j
Wj 5
为高
作频率直方图
23
从频率直方图可看到：靠近两个极端的数据出现比 较少，而中间附近的数据比较多，即中间大两头小的分 布趋势，——随机变量分布状况的最粗略的信息。
在频率直方图中， 每个矩形面积恰好等于样本值 落在该矩形对应的分组区间内的频率，即
S j
Wj X j1
Xj
X j1 X j
Wj
频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数
据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述X的
分布状况。
24
12
第二．计算样本特征数
1.反映集中趋势的特征数：样本均值、中位数、众数等 样本均值MEAN 中位数MEDIAN 众数
X 90.3
91
91, 94
代表性——即子样( X1, X2 ,
,
X
)的每个分量
n
X
与
i
总体 X 具有相同的概率分布。
独立性——即 X1, X2, , Xn 是相互独立的随机变量。
满足上述两点要求的子样称为简单随机子样.获得简 单随机子样的抽样方法叫简单随机抽样.
从简单随机子样的含义可知，样本 X1, X2 , , Xn 是来自总体 X、与总体 X具有相同分布的随机变量.
2分布 t 分布 数理统计的三大分布(都是连续型). F分布 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、 t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
31
一、 2分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X2,..., Xn 是 X
概率论与数理统计第6章
不含未知参数的样本的函数称为统计量 不含未知参数的样本的函数称为统计量. 统计量 2. 几个常见统计量
1 n 样本均值 X = ∑Xi n i=1
反映总体 均值的信息 反映总 体方差 的信息
1 n 2 2 样本方差 S = ∑( Xi − X) n −1 i=1
样本2阶中心矩 样本 阶中心矩
反映总体2 反映总体 阶 中心矩的信息
(
)
−
n1 +n2 2
x≥0
例1 设X、Y相互独立均服从正态分布 、 相互独立均服从正态分布 N(0,3), X1,X2,…,X9和Y1,Y2,…,Y9分别为来 的样本。 自X、Y的样本。求 、 的样本
U＝
X1 + X 2 + L + X 9 Y +Y +L+Y
2 1 2 2
的分布。 的分布。
2 9
小样本问题中使用） 精确抽样分布（小样本问题中使用） 抽样分布 大样本问题中使用) 渐近分布 （大样本问题中使用
{
三. 统计三大分布
1 . χ 分布
2
定义: 相互独立, 定义 设 X1 , X2 ,L, Xn相互独立 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量： 则称随机变量： 分布 2 2 2 2 χ = X 1 + X 2 + …＋X n 所服从的分布为自由度为 n 的 χ 分布. 分布
3. F分布 分布 与 X ~ χ (n1),Y ~ χ (n2 ), X与Y X / n1 相互独立， 相互独立，则称统计量 F = Y / n2 定义: 定义 设
2 2
服从自由度为n 分布， 服从自由度为 1及 n2 的F分布，n1称为第 分布 一自由度， 称为第二自由度， 一自由度，n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) .
《概率论与数理统计》第2章作业题
1 2 0 0 3 2 2 1 0 0 3 C1 (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) C (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) 3 3 3 3
1 2 0 0 3 C (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) C1 (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) 3 3
第二章
解 设同一时刻被使用的设备的个数为X，由于各
个设备使用与否是相互独立的，则X~b(5，0.1). (1) P{X=2} =
C (0.1) (0.9)
2 5
2
3
=20 (2)P{X≥3}
0.02 0.729
=0.0729
3 2 4 4 1 5 5 0 C3 (0.1) (0.9) C (0.1) (0.9) C (0.1) (0.9) 5 5 5
I h( w)
1 w , h( w) 2 2w 2
第二章
即当162<w<242时，
1 1 1 f W ( w) f I (h( w))h( w) 2 2 2w 4 2w
1 , 162 w 242 f W ( w) 4 2w 其它. 0,
0 1 - C5 (0.1) 0 (0.9)5 0.40951
第二章
2-8 甲，乙两人投篮，投中的概率分别为0.6， 0.7。今各投3次，求 (2)两人投中次数相等的概率； (2)甲比乙投中次数多的概率。
解 设X，Y分别表示甲，乙投中的次数，则 所求的概率为 X ~ b(3,0.6) ， Y ~ b(3,0.7) ， (2) P( X Y ) P{( X 0)(Y 0) ( X 1)(Y 1)
1 2 0 0 3 C (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) C1 (0.6) (0.4) C (0.7) (0.3) 3 3
第二章
解 设同一时刻被使用的设备的个数为X，由于各
个设备使用与否是相互独立的，则X~b(5，0.1). (1) P{X=2} =
C (0.1) (0.9)
2 5
2
3
=20 (2)P{X≥3}
0.02 0.729
=0.0729
3 2 4 4 1 5 5 0 C3 (0.1) (0.9) C (0.1) (0.9) C (0.1) (0.9) 5 5 5
I h( w)
1 w , h( w) 2 2w 2
第二章
即当162<w<242时，
1 1 1 f W ( w) f I (h( w))h( w) 2 2 2w 4 2w
1 , 162 w 242 f W ( w) 4 2w 其它. 0,
0 1 - C5 (0.1) 0 (0.9)5 0.40951
第二章
2-8 甲，乙两人投篮，投中的概率分别为0.6， 0.7。今各投3次，求 (2)两人投中次数相等的概率； (2)甲比乙投中次数多的概率。
解 设X，Y分别表示甲，乙投中的次数，则 所求的概率为 X ~ b(3,0.6) ， Y ~ b(3,0.7) ， (2) P( X Y ) P{( X 0)(Y 0) ( X 1)(Y 1)