2021新高考版数学二轮专题复习课件：2.1 三角函数的图象与性质
高考数学复习考点知识讲解课件22 三角函数的图象与性质
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[解析] 由 2x＋π6≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k2π(k∈Z)，故函数 f (x)的定义域为 x|x≠π6＋k2π，k∈Z.故选 D．
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2．(2022·东北师大附中月考)函数 f (x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( B )
(2)∵f (x)为偶函数， ∴－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得 φ＝56π＋kπ，k∈Z. 又 φ∈(0，π)，∴φ＝56π. ∴f (x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x. 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f (x)图象的对称中心为π4＋k2π，0，k∈Z.
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(1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f (x)的对 称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x 即可；如果求 f (x)的对 称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπk∈Z，求 x 即可．
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3．函数 f (x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为( C ) A．0，56π B．0，23π C．56π，π D．23π，π
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[解析] 由 2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得 2kπ－76π≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0， π]，∴56π≤x≤π，∴函数 f (x)在[0，π]的单调递增区间为56π，π，故选 C．
第五章第四节三角函数的图象与性质课件共63张PPT
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
最新高考数学二轮复习-专题二-第1讲-三角函数的图象与性质-学案讲义
第1讲三角函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan αα≠π2＋k π，k ∈Z .2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1(1)(2023·南宁模拟)在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α＝13，则sin(α＋β)＝________.答案±429解析由题意，角α与β的顶点在原点，终边构成一条直线，所以β＝α＋π＋2k π，k ∈Z ，所以sin(α＋β)＝sin(2α＋π＋2k π)＝sin(2α＋π)＝－sin 2α＝－2sin αcos α，又sin α＝13，所以cos α＝±1－sin 2α＝±223，所以sin(α＋β)＝－2sin αcos α＝－2×13×±223＝±429.(2)(2023·巴中模拟)勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若小正方形与大正方形的面积之比为917，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为()A.217B.3434C.417D.1717答案D解析设大正方形的边长1，直角三角形中最小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos θ－sinθ，由题意可得(cos θ－sin θ)2＝917，显然0<θ<π4，所以cos θ>sin θ>0，所以cos θ－sin θ＝31717，①又cos 2θ＋sin 2θ－2cos θsin θ＝917，所以2cos θsin θ＝817，所以(cos θ＋sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ＋2cos θsin θ＝2517，即cos θ＋sin θ＝51717，②联立①②，解得sin θ＝1717.二级结论(1)若αsin α<α<tan α.(2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二．跟踪演练1(1)(2023·鹰潭模拟)设sin 23°＝m ，则tan 67°等于()A ．－m 1－m 2B.m 1－m 2C.1m 2－m D.1m 2－1答案D解析∵sin 23°＝m ，∴cos 67°＝m ，∴sin 67°＝1－m 2，∴tan 67°＝1－m 2m，∵sin 23°＝m >0，∴tan 67°＝1－m 2m＝1m 2－1.(2)已知cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________.答案－15解析∵cos(α－π)，∴2sin α＝－cos α，∴tan α＝－12，∴sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝－15.考点二三角函数的图象核心提炼由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的步骤例2(1)(2023·海东模拟)为了得到函数f (x )＝sin x g (x )＝cos 2x 的图象()A ．向左平移3π8个单位长度B ．向右平移3π8个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案B解析因为x x －3π4＋x f (x )＝x 故为了得到f (x )的图象，只需将g (x )的图象向右平移3π8个单位长度．(2)(多选)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于()A ．B ．2C ．xD ．2答案BC解析由函数图象可知，T 2＝2π3－π6＝π2，则|ω|＝2πT ＝2ππ＝2，所以排除A ；不妨令ω＝2，当x ＝2π3＋π62＝5π12时，y ＝－1，∴2×5π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数的解析式为y ＝x ＋2π3＋2k x ＋π6＋＝x 2而x 2所以排除D ，选BC.规律方法由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2(1)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin f (x )等于()A ．B ．C ．xD ．x 答案B 解析方法一函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝f (2x )的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到y ＝f根据已知得到了函数y ＝sin f t ＝则x ＝t 2＋π3，x －π4＝t 2＋π12，所以f (t )＝所以f (x )＝方法二由已知的函数y ＝sin第一步，向左平移π3个单位长度，得到y ＝＋π3－sin第二步，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin即为y ＝f (x )的图象，所以f (x )＝(2)(2023·鞍山模拟)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ()A.12B.22C.33D ．1答案D解析由图象可知，A ＝2，T4＝1－(－1)＝2，得T ＝8＝2πω，所以ω＝π4，所以f (x )＝2cos π4x ＋φ又因为点(－1,0)在函数f (x )的图象上，所以－π4＋φ＝0，所以－π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4，即f (x )＝π4x －π4.所以g (x )＝f (x ＋1)＝2cos π4(x ＋1)－π4＝2cos π4x ，所以432cos π4×432cos π3＝1.考点三三角函数的性质核心提炼函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．(3)奇偶性：当φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．例3(1)(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6x＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，则f ()A ．－32B ．－12C.12D.32答案D解析因为直线x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，所以T 2＝2π3－π6＝π2，不妨取ω>0，则T ＝π，ω＝2πT＝2，由题意知，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2×π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则f ＝32.(2)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)的初相为π6，则下列结论正确的是()A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称B ．函数f (x )的一个单调递减区间为－5π6，－π3C ．若把函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )为偶函数D ．函数f (x )在区间－π6，π4上的值域为－32，332答案AB解析由题意知φ＝π6，所以f (x )＝x对于选项A ，因为f3，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－π3对称，故A项正确；对于选项B，由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，则当k＝－1时，函数f(x)的一个单调递减区间为－5π6，－π3，故B项正确；对于选项C，把函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)＝3sin 2＋π6＝3sin2x的图象，所以g(x)为奇函数，故C项错误；对于选项D，因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3，所以－12≤x1，所以－32≤x3，即函数f(x)在区间－π6，π4上的值域为－32，3，故D项错误．规律方法研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t 的性质判断各选项．跟踪演练3(1)(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，0<φ<π，若f(x)≤|f恒成立，则f(x)的单调递增区间为()A.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)B.kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)C.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)D.kπ－2π3，kπ－π6(k∈Z)答案D解析因为f (x )≤|f 恒成立，所以|f ＝f (x )max ＝1，即±1，所以2π3＋φ＝π2＋2k π或2π3＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π6＋2k π或φ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝5π6，所以f (x )＝x 令－π2＋2k π≤2x ＋5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－2π3，k π－π6(k ∈Z )．(2)已知函数f (x )＝a －3tan 2x 在区间－π6，b上的最大值为7，最小值为3，则ab 的值为()A.5π12B.π3C.π6D.π12答案B解析∵x ∈－π6，b ，∴b >－π6，且2x ∈－π3，2b ，根据函数f (x )在区间－π6，b 上的最大值为7，最小值为3，得2b <π2，即b <π4，根据正切函数g (x )＝tan x －π2，则f (x )＝a －3tan 2x 在－π6，b上单调递减，∴fa ＋3＝7，解得a ＝4，∴f (b )＝4－3tan 2b ＝3，则tan 2b ＝33，∵2b －π3，∴2b ＝π6，即b ＝π12，∴ab ＝4×π12＝π3.专题强化练一、单项选择题1．已知点P (6，－8)是角α终边上一点，则sin ()A ．－45B.45C ．－35 D.35答案D解析点P (6，－8)是角α终边上一点，故cos α＝662＋(－8)2＝35，cos α＝35.2．(2023·扬州模拟)与函数y ＝tan x ()A ．x ＝π2B ．x ＝π6C ．x ＝π12D ．x ＝π4答案B解析由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ≠π6，∴与函数y ＝tan x x ＝π6.3．(2023·深圳模拟)已知＝45，则cos ()A ．－35B.35C ．－45 D.45答案C解析cos π2＋＝－＝－45.4．已知直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数f (x )＝ω>0)图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π2，则f (x )的单调递增区间是()A.k π＋π6，k π＋2π3，k ∈ZB.k π－π3，k π＋π6，k ∈ZC.2k π＋π3，2k π＋4π3，k ∈ZD.2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z答案B解析∵直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数f (x )＝sin 且|x 1－x 2|的最小值为π2，∴T 2＝π2，即T ＝π＝2πω，解得ω＝2，即f (x )＝x 令2x ＋π6∈2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ∈k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .5．(2023·全国甲卷)设甲：sin 2α＋sin 2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析甲等价于sin 2α＝1－sin 2β＝cos 2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin 2α＝cos 2β＝1－sin 2β，即sin 2α＋sin 2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．6．(2023·沈阳模拟)已知向量m ，n f (x )＝m ·n ，若∃x ∈3π4，5π4，使不等式f (x )－a －1≥0成立，则实数a 的最大值为()A ．－3B ．－3C ．－2D ．－3－1答案C解析由题设，f (x )＝＋3sin ＋3sin 若x ∈3π4，5π4，则x ＋5π12∈7π6，5π3，故－1，－12，所以f (x )∈[－2，－1]，因为∃x ∈3π4，5π4，使不等式f (x )－a －1≥0成立，只需f (x )max ≥a ＋1即可，所以a ＋1≤－1，即a ≤－2，故a 的最大值为－2.7．(2023·怀化模拟)设ω>0，若函数y ＝2cos的图象向右平移π5个单位长度后与函数y＝2sin ω的最小值是()A.12B.32C.52D.72答案C解析函数y ＝2cos的图象向右平移π5个单位长度后，得到y ＝2cos －ωπ5＋象，与函数y ＝－3π10＋2cos则－ωπ5＋π5＝－3π10＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝52－10k ，k ∈Z ，∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取到最小值，此时ω＝52.8．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y (m)和时间t (s)的函数关系为y ＝sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t 1，t 2，t 3(0<t 1<t 2<t 3)，且t 1＋t 2＝2，t 2＋t 3＝5，则1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多为()A ．19B ．20C ．40D ．41答案C解析因为t 1＋t 2＝2，t 2＋t 3＝5，t 3－t 1＝T ，所以T ＝3，又T ＝2πω，所以ω＝2π3，则y ＝＋由0≤t ≤60，则φ≤2π3t ＋φ≤40π＋φ，所以1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多，等价于1分钟内y ＝＋0的次数最多，等价于区间[φ，40π＋φ]内包含k π(k ∈Z )的次数最多，又|φ|<π，则区间[φ，40π＋φ]内包含了0，π，2π，3π，…，39π或π，2π，3π，…，40π，所以区间[φ，40π＋φ]内包含k π(k ∈Z )的次数最多为40.二、多项选择题9．为了得到函数f (x )＝sinx g (x )＝sin x 的图象()A ．所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度B ．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度C ．向右平移π6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变D ．向右平移π18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变答案AC解析将函数g (x )＝sin x 的图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，可以得到函数f (x )＝sin x A 正确；将函数g (x )＝sin x 的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，可以得到函数f (x )＝sin B 不正确；将函数g (x )＝sin x 的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，可以得到函数f (x )＝sin x C 正确；将函数g (x )＝sin x 的图象向右平移π18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，可以得到函数f (x )＝sin x D 不正确．10．(2023·烟台模拟)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，则()A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )在0，π2上单调递增C ．直线x ＝－π4是f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )的图象可由y ＝2sin x 的图象向左平移π4个单位长度得到答案BC解析f (x )＝sin x －cos x 可化为f (x )＝2sin则函数f (x )＝2sin2π，A 错误；当0≤x ≤π2时，－π4≤x －π4≤π4，因为函数y ＝sin x 在－π4，π4上单调递增，所以函数f (x )在0，π2上单调递增，B 正确；当x ＝－π4时，x －π4＝－π2，所以直线x ＝－π4是f (x )图象的一条对称轴，C 正确；函数y ＝2sin x 的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )＝2sin D 错误．11．(2023·黄山模拟)若sin θ·cos 2θsin θ＋cos θ＝－35，则k ∈Z )的值可能是()A.12B.13C ．2D ．3答案CD解析由余弦的二倍角公式知，sin θ·(cos 2θ－sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ·(cos θ－sin θ)＝sin θ·cos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35，得5tan θ－5tan 2θ＝－3－3tan 2θ，即2tan 2θ－5tan θ－3＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝3，当k ＝2m (m ∈Z )时，tan (m π＋θ)＝tan θ，当k ＝2m －1(m ∈Z )时，＝π＋θ＝－1tan θ，所以当tan θ＝－12时，＝－12或2(k ∈Z )，当tan θ＝3时，3或＝－13(k ∈Z )．12．(2023·张家口模拟)已知函数f (x )＝|sin x |＋cos|x |，则下列结论正确的有()A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的最小值为－2C ．f (x )在区间－π，－π4上单调递增D ．方程f (x )＝12在区间[0,4π]内的所有根的和为8π答案ACD解析对于A 项，f (x )的定义域为R ，f (－x )＝|sin(－x )|＋cos|－x |＝|sin x |＋cos|x |＝f (x )，故A正确；对于B 项，由cos(－x )＝cos x 得cos|x |＝cos x ，所以f (x )＝|sin x |＋cos x ，又因为f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|＋cos(x＋2π)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以函数f(x)是以2π为周期的周期函数，所以f(x)＝|sin x|＋cos xx＋cos x，x∈[2kπ，π＋2kπ]，sin x＋cos x，x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z，即f(x)x∈[2kπ，2kπ＋π]，x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z，故函数f(x)的图象如图所示．则f(π＋2kπ)＝－1，所以函数f(x)的最小值为－1，故B错误；对于C项，方法一如图，当x∈－π，－π4时，函数f(x)在－π，－π4上单调递增，故C正确；方法二当x∈－π，－π4时，f(x)＝－sin x＋cos x＝2cos因为x＋π4∈－3π4，0，函数y＝cos x在－3π4，0上单调递增，所以函数f(x)在－π，－π4上单调递增，故C正确；对于D项，由图象可知，方程f(x)＝12在区间[0,4π]上有四个不相等的实数根，设x1<x2<x3<x4，则x1＋x42＝x2＋x32＝2π，所以x1＋x2＋x3＋x4＝8π，故D正确．三、填空题13．(2023·西安模拟)已知sin2(π－θ)＝32cos0<|θ|<π2，则θ＝________.答案π3解析由题知sin2θ＝32sinθ，所以sin θ＝32或sin θ＝0，又因为0<|θ|<π2，所以θ＝π3.14．(2023·全国乙卷)若θtan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________.答案－55解析因为θ则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.15．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，如图，A ，B 是直线y ＝12与曲线y ＝f (x )的两个交点，若|AB |＝π6，则f (π)＝________.答案－32解析设12由|AB |＝π6可得x 2－x 1＝π6，由sin x ＝12可知，x ＝π6＋2k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，由图可知，ωx 2＋φ－(ωx 1＋φ)＝5π6－π6＝2π3，即ω(x 2－x 1)＝2π3，所以ω＝4.因为f 0，所以8π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－8π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )＝x －8π3＋k k ∈Z ，所以f (x )＝sin x f (x )＝－x 又因为f (0)<0，所以f (x )＝x所以f (π)＝＝－32.16．(2023·重庆模拟)如图，函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交f (x )的图象于点D ，O (坐标原点)为△ABD 的重心(三条边中线的交点)，其中A (－π，0)，则tan ∠ABD ＝________.答案33π6－π2解析因为O 为△ABD 的重心，且A (－π，0)，可得OA ＝23AC ＝π，则AC ＝3π2，所以所以12T ＝π2－(－π)＝3π2，所以T ＝3π，由ω>0，所以2πω＝3π，解得ω＝23，可得f (x )＝＋由f (－π)＝0，即sin 23×(－π)＋φ＝0，可得23×(－π)＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π＋2π3，k ∈Z ，又由0<φ<π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝于是f(0)＝0＝3，所以B (0，3).所以tan ∠ABD ＝tan(∠ABO ＋∠CBO )＝tan ∠ABO ＋tan ∠CBO 1－tan ∠ABO ·tan ∠CBO ＝π3＋π231－π26＝33π6－π2.。
2021届高考数学新课改版二轮专题六函数与导数函数的图象与性质ppt课件
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4.[分段函数求参数值或范围]已知函数f(x)＝
l2oxg－2（1，3－x＞x）0，，x≤0，若f(a－1)＝12，则实数
a＝________．
解析：当a－1≤0，即a≤1时，log2(4－a)＝
1 2
，4－a＝
1
1
22，故a＝4－22，不满足a≤1，舍去．
当a－1＞0，即a＞1时，2a－1－1＝
围是
()
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
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[解析]
(1)因为f(x)＝
ax2＋x－1，x>2， ax－1，x≤2
是R 上的单调递减函
数，所以其图象如图所示，
a<0， 则－21a≤2，
2a－1≥4a＋2－1，
解得a≤－1，故选D.
专题六 函数与导数
第1讲 函数的图象与性质
名师解读《普通高中数学课程标准》(2020年修订版)
1.通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重 要数学模型，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定 义域和值域. 2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函 数，了解奇偶性及周期性的含义. 5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
Contents
1 考点1 函数的概念及其表示 2 考点2 函数的图象及应用 3 考点3 函数的性质及应用 4 专题检测
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考点1 函数的概念及其表示
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[大稳定——常规角度考双基]
高考数学复习第21讲 三角函数的图象和性质(一)
第21讲 三角函数的图象和性质
研题型 ·融会贯通
分类解析 三角函数的性质
|sinx|，sinx≥cosx， (1) (2021·深圳二模)(多选)已知函数 f(x)＝|cosx|，sinx<cosx， 下列结论中 正确的是( AD ) A. f(x)的值域是[0,1] B. f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数 C. f(x)在π，32π上单调递增 D. f(x)在[0,2π]上有 2 个零点
故 B 正确；令 x＝π6，则 f(x)＝cosπ6＋π3＝0，故 C 正确；令 2kπ≤x＋π3≤π＋2kπ，k∈Z，
得－π3＋2kπ≤x≤23π＋2kπ，k∈Z，可知 f(x)在π2，23π上单调递减，在23π，π上单调递增，
故 D 错误．
Thank you for watching
A. f(x)的值域为[－1,1]
B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值
C. 函数 f(x)的最小正周期是 π
D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】
f(x)＝sin cos
x，sin x，sin
x<cos x， x≥cos x，
作出函数
f(x)的大致图象如图所示，由图象
知函数 f(x)的值域为－1， 22，故 A 错误；当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得
最大值 22，故 B 正确；f(x)的最小正周期为 2π，故 C 错误；从图象易得，当且仅当 x∈
2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0，故 D 正确．
y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的性质 已知函数 f(x)＝sin2x－ 3cos2x，x∈R. (1) 求 f(x)的最小正周期； 【解答】 因为 f(x)＝sin2x－ 3cos2x＝2sin2x－3π，故 f(x)的最小正周期为 T＝22π＝π. (2) 若 h(x)＝f(x＋t)的图象关于点－π6，0对称，且 t∈(0，π)，求 t 的值； 【解答】 由(1)知 h(x)＝2sin2x＋2t－π3.令 2×－π6＋2t－π3＝kπ(k∈Z)，得 t＝k2π＋π3 (k∈Z)．又 t∈(0，π)，故 t＝π3或56π.
2021届高考数学二轮复习核心热点突破-专题一第1讲 三角函数的图象与性质(答案版)
专题一：三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质一：高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.二：真 题 感 悟1.(2020全国1理7)设函数f (x )＝cos(ωx ＋π6)在[－π，π]的图象大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2答案：C解析：由图可得：函数图象过点(－4π9，0)，将它代入函数f (x )可得：cos(－4π9·ω＋π6)＝0， 又(－4π9，0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以－4π9·ω＋π6＝－π2，解得：ω＝32．所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π32＝4π3．故选C ．2.(2020山东、海南10)（多选）下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )答案：BC解析：由函数图象可知：T 2＝23π－π6＝π2，则ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以不选A ，当x ＝23π＋π62＝5π12时，y ＝－1∴2×5π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得：φ＝2k π＋23π(k ∈Z )，∴y ＝sin(2x ＋23π＋2k π)＝sin(2x ＋π6＋π2)＝cos(2x ＋π6)＝sin(π3－2x )．而cos(2x ＋π6)＝－cos(5π6－2x )．故选BC ．3.(2020全国3文5)已知sin θ＋sin(θ＋π3)＝1，则sin(θ＋π6)＝( )A ．12B ．33C ．23D ．22答案：B解析：由题意可得：sin θ＋12sin θ＋32cos θ＝1，则：32sin θ＋32cos θ＝1，32sin θ＋12cos θ＝33，从而有：sin θcos π6＋cos θsin π6＝33，即sin(θ＋π6)＝33．故选B ．4.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A.f (x )＝|cos 2x |B.f (x )＝|sin 2x |C.f (x )＝cos|x |D.f (x )＝sin|x |解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝⎩⎨⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A5.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.解析 将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π24，与y 轴最近.答案 x ＝－5π246.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为__________.解析 法一 由f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＋cos x ＝cos φsin x ＋(1＋sin φ)cos x ＝cos 2φ＋（1＋sin φ）2sin(x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan θ＝1＋sin φcos φ. ∵sin(x ＋θ)≤1，∴cos 2φ＋（1＋sin φ）2＝2＋2sin φ＝2时，f (x )的最大值为2，∴2sin φ＝2，∴sin φ＝1，∴φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ的一个取值可为π2. 法二 ∵f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，又sin(x ＋φ)≤1，cos x ≤1， 则sin(x ＋φ)＝cos x ＝1时，f (x )取得最大值2.由诱导公式，得φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ的一个取值可为π2.答案 π2(答案不唯一，只要等于π2＋2k π，k ∈Z 即可)7.(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178，因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝－4. 答案 －48.(2020全国3理9)已知2tan θ–tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝( )A ．–2B ．–1C ．1D ．2 答案：D解析：∵2tan θ－tan(θ＋π4)＝7，∴2tan θ－tan θ＋11－tan θ＝7，令t ＝tan θ，t ≠1，则2t －1＋t1－t ＝7，整理得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2，即tan θ＝2．故选D ．9.(2020全国3理16)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③解析：对于命题①，f (π6)＝12＋2＝52，f (－π6)＝－12－2＝－52，则f (－π6)≠f (π6)，所以，函数f (x )的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，定义域关于原点对称，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－(sin x ＋1sin x )＝－f (x )，所以，函数f (x )的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，∵f (π2－x )＝sin(π2－x )＋1sin (π2－x )＝cos x ＋1cos x ， f (π2＋x )＝sin(π2＋x )＋1sin (π2＋x )＝cos x ＋1cos x ，则f (π2－x )＝f (π2＋x )， 所以，函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x ＜0时，sin x ＜0，则f (x )＝sin x ＋1sin x＜0＜2，命题④错误．故答案为：②③．三：考 点 整 合1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0). 四：热点解析热点一 三角函数的定义与同角关系式1.已知512sin ,cos ,1313αα==-，则角α的终边与单位圆的交点坐标是（ ） A ．512(,)1313- B ．512(,)1313- C ．125(,)1313- D ．125(,)1313-【答案】D【详解】设交点坐标为(,)P x y ，根据三角函数的定义，可得125cos ,sin 1315x y αα==-==，所以角α的终边与单位圆的交点坐标是125(,)1313-. 2.(2018全国1文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．1答案：B解析：根据条件，可知O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos2α＝2cos 2α－1＝2·(1a 2＋1)2－1＝23，解得a 2＝15，即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝55，故选B ． 探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.3.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于_____________．答案：－512．4.已知tan α＝2，则sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋sin 2α＝，sin 2α－2sin αcos α＋2＝ ． 答案：38；2．5.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝ ，tan α＝ ．答案：－75；－43解析：sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，且sin 2α＋cos 2α＝1，得到sin α＝45，cos α＝－35探究提高1．三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值；(2)关于sin α与cos α的齐次式，同除cos α或cos 2α，如果不是齐次，借助1＝sin 2α＋cos 2α构造齐次．(3)sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α间关系式注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．6．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).（1）若113x =，求2x ；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =，求角α的值.解：（1）由三角函数定义，1cos x α=，2cos()3x πα=+， 因为(,)62ππα∈，1cos 3α=，所以222sin 1cos 3αα=-=.213126cos()cos sin 3226x πααα-=+=-=.（2）依题意，1sin y α=，2sin()3y πα=+， 所以111111cos sin sin 2224S x y ααα==⋅=， )322sin(41-)3sin()3cos(2121222παπαπα+=++-==y x S ,依题意，s inα＋s inα－s inαcosαinα和cosα tan αsin2α2sin 22sin(2)3παα=-+，化简得cos20α=，因为62ππα<<，则23παπ<<，所以22πα=，即4πα=.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，23123f f ππ+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【详解】解：（1）因为3122A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以2253131sin sin 2336222f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.热点二 三角函数的图象辨析(2019全国1理5)函数f (x )=sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：D 解析：由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又f (π2)＝1＋π2(π2)2＝4＋2ππ2＞1，f (π)＝π－1＋π2＞0，排除B ，C ，故选D ．(2019全国1文5)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：D 解析：由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又f (π2)＝1＋π2(π2)2＝4＋2ππ2＞1，f (π)＝π－1＋π2＞0，排除B ，C ，故选D ．3.(2017全国1文8)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：C解析：由题意知，函数y ＝sin2x1－cos x 为奇函数，故排除B ；当x ＝π时，y ＝0，故排除D ；当x ＝1时，y ＝sin21－cos2＞0，故排除A ，故选C ．热点三：f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)平移变化及其解析式求解12．（2020·天津和平区·高一期末）如图是函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（ ）A ．2,6πB ．2,3π-C ．1,6π D ．1,3π-【答案】A【详解】由题意可得22362T πππ=-=，即2T ππω==，解得：2ω=，又函数()()2sin 2(0,)2=+><f x x πϕωϕ图象的一个最高点为,26π⎛⎫⎪⎝⎭， 2sin 226πϕ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：()2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即()2,6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，0k ∴=时，6π=ϕ， 综上可知：2ω=，6π=ϕ故选：A 探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.2．（多选）已知函数()()()2sin 0,||f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．3πϕ= C ．若123x x π+=，则()()12f x f x =D ．若123x x π+=，则()()120f x f x +=【答案】AC 【详解】522212122T T πππππωω⎛⎫=--=⇒==⇒= ⎪⎝⎭，A 正确；可得()()2sin2f x xϕ=+.由图可知5121226 xπππ⎛⎫+-⎪⎝⎭==时函数取最大值，所以()22,62k k Zππϕπ⨯+=+∈因为||ϕπ<，所以6π=ϕ，B错误；因为6xπ=为()f x图象的一条对称轴，若123x xπ+=，则1226x xπ+=，所以()()12f x f x=，C正确、D错误.故选：AC.3．（多选）函数()sin(2)0,||2f x A x Aπϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2）3=，则（）A．a+b＝πB．2b aπ-=C．3πϕ=D．()3f a b+=【答案】BCD【详解】因为函数()sin(2)0,||2f x A x Aπϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，所以函数的周期为22ππ=，由函数的图象得22Tb aπ-==，故B正确；由图象知A＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），在区间[a，b]中的对称轴为2a bx+=，因为f（x1+x2）3=x1，x2也关于2a bx+=对称，所以1222x x a b++=，即x1+x2＝a+b，所以f（a+b）＝f（x1+x2）3=A错误，D正确，设122x xt+=，则122x x t+=，所以()()2sin22f t tϕ=+=，即()sin21tϕ+=，所以22,2t k k Zπϕπ+=+∈，即22,2t k k Zππϕ=+-∈，所以()()12122sin2f x x x xϕ+=++⎡⎤⎣⎦()2sin42sin3kππϕϕ=+-=，解得sin ϕ=，又||2ϕπ<，所以3πϕ=，故C 正确；故选：BCD ．热点四 三角函数的性质1.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ． 答案：π6-2.已知函数y ＝A sin(2x ＋φ)的对称轴为x ＝π6，则φ的值为 ．答案：k π＋π6(k ∈Z )．3.已知函数y ＝cos(2x ＋φ)为奇函数，则φ的值为 ．答案：k π＋π2(k ∈Z )．4.将函数()π()2sin 26f x x =+的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．答案：π12.5.若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ．答案：46.已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ． 答案：76探究提高：三角函数对称问题方法：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) 若x ＝x 0为对称轴⇔f (x 0)＝±A ． 若(x 0，0)为中心对称点⇔f (x 0)＝0．推论：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)若函数y ＝f (x )为偶函数⇔f (0)＝±A ．若函数y ＝f (x )为奇函数⇔f (0)＝0．7.将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ．答案：12解析：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8.对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确.故选：B9.下列命题正确的是（ ）A ．函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数B ．函数y =是奇函数C ．函数tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是aπD ．函数cos(sin )y x =是奇函数 【答案】B【详解】sin y x =是偶函数，但不是周期函数，A 错误；对函数()f x =0>得tan x <<，,33k x k k Z ππππ-<<+∈，定义域关于原点对称，()()f x f x -==-=-，函数是奇函数，B 正确；tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a π，C 错误；记()g x cos(sin )x =，定义域是R ，()()cos sin cos(sin )cos(sin )()g x x x x f x -=-=-==⎡⎤⎣⎦，()f x 是偶函数，D 错误．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与周期性．判断奇偶性一般用奇偶性的定义进行判断．tan y x ω=的最小正周期是T πω=，sin()y x ωϕ=+的最小正周期是2πω． 10.设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π吗 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个零点为 6x π=【答案】D【详解】()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个周期为221T ππ==，故A 正确；()f x 的最大值为2，故B 正确；令322,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈，∴()f x 的单调递减区间为72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，263ππ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故C 正确；22sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且252sin 2sin 0636πππ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：D. 热点四 三角函数性质与图象的综合应用1.若动直线x a =与函数())12f x x π=+与()cos()12g x x π=+的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【详解】()),()cos()1212f x xg x x ππ=+=+令())cos()1212F a a a ππ=+-+∴求||MN 的最大值即求函数()F a 的最大值())cos()1212F a a a ππ=+-+2sin()2sin()12612a a πππ=+-=-∴函数()F a 的最大值为2故选:C.2．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.【答案】12π 【分析】【详解】由图象知：5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即T π=，则22Tπω==， 由“五点法”得552sin 063f ππφ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()53k k Z πφπ+=∈，即()53k k Z πφπ=-∈，因为2πφ<，所以3πφ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又因为()()2f x f t x =-，所以函数()f x 图象的对称轴为直线x =t ， 则()2sin 223f t t π⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以23t π+()2k k Z ππ=+∈，解得()212k t k Z ππ=+∈， 当k =0时，t 取到了最小正值为12π.故答案为：12π. 3．（多选）已知函数，f （x ）＝2sin x -a cos x 的图象的一条对称轴为6x π=-，则（ ）A ．点(,0)3π是函数，f （x ）的一个对称中心B ．函数f （x ）在区间(,)2ππ上无最值C ．函数f （x ）的最大值一定是4D ．函数f （x ）在区间5(,)66ππ-上单调递增【答案】ACD【详解】由题意，得2()2sin cos 4)f x x a x a x θ=-=+-，θ为辅助角， 因为对称轴为6x π=-，所以3()16f π-=-234|1|a +-，解得3a =所以()4sin()3f x x π=-；故()03f π=，所以A 正确； 又当232x k ππ-=+π（k ∈Z ），即当526x k ππ=+（k ∈Z ）时， 函数f （x ）取得最大值4，所以B 错误，C 正确；22232k x k πππ-+π<-<+π（k ∈Z ）⇒52266k x k ππ-+π< <+π（k ∈Z ），所以D 正确； 故选：ACD .4．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．【答案】23π【详解】因为()f x 的图象关于6x π=对称，所以1622f a π⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以解得a =()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又因为()112sin 23f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1112,32x k k Z πππ+=+∈，所以1112,6x k k Z ππ=+∈，又因为()222sin 23f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以2222,32x k k Z πππ+=-+∈所以22252,6x k k Z ππ=-+∈，所以121212522,,66x x k k k Z k Z ππππ+=+-+∈∈， 所以()12121222,,3x x k k k Z k Z ππ+=-++∈∈，显然当120k k +=时有最小值， 所以12min2233x x ππ+=-=，故答案为：23π.。
高考数学大二轮复习第1讲三角函数的图象与性质课件理
又 θ∈[0,2π),因此 θ=2 或
3π
2
.
第十四页，共五十三页。
π
2
(2)y= f x+12
=sin
2
π
x+12 +sin
π
6
1-cos (2+ )
=
2
=1-1
+
3 cos
2
2
3
π
2
+ f x+4
π
2
x+4
π
2
1-cos (2+ )
2
3
2x- sin 2x
2
π
=1- cos 2x+3 .
4
π
+
4
tan
tan +1
1-tan
=
π
2
=- ,则 sin 2α+4 的值是
3
tan (1-tan )
2
tan +1
3
.
=- ,得 3tan2α-5tan α-2=0,
1
解得 tan α=2 或 tan α=- .
3
π
π
π
又 sin 2 + 4 =sin 2αcos4 +cos 2αsin 4
π
(2)求函数 y= f x+12
π
2
+ f x+4
2
的值域.
解:(1)因为(yīn wèi)f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有
sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
解密01 三角函数的图像及性质-2021年新高考数学二轮复习讲义(解析版)
解密01 三角函数的图象与性质A 组 考点专练一、选择题1.函数y ＝log a (x ＋4)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin2α等于( ) A.－513 B.－1213 C.1213 D.913【答案】B【解析】函数y ＝log a (x ＋4)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A (－3，2)，则sin α＝213， cos α＝－313，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－1213.故选B. 2.如图为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象，将其向左平移14个单位长度后与函数g (x )的图象重合，则g (x )可以表示为( )A.sinπxB.－sinπxC.sin2πxD.－sin2πx【答案】B 【解析】由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2πω＝2，得ω＝π，由14·ω＋φ＝π，得φ＝3π4，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋3π4，将f (x )的图象向左平移14个单位长度后得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋14＋3π4＝－sin πx 的图象，故g (x )可以表示为－sin πx .故选B.3.函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4B.π2C.πD.2π 【答案】 C【解析】f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋sin 2x cos 2x＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期 T ＝2π2＝π.故选C. 4.将函数f (x )＝2sin(3x ＋φ)(0＜φ＜π)图象向右平移π8个单位长度后，得到函数的图象关于直线x ＝π3对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π8，π8上的值域是( ) A.[－1，2]B.[－3，2]C.⎣⎡⎦⎤－22，1 D.[－2，2] 【答案】 D【解析】依题意，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －38π＋φ的图象关于x ＝π3对称.∴3×π3－3π8＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－π8，k ∈Z .又0＜φ＜π，所以φ＝78π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋78π.当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π8时，π2≤3x ＋78π≤54π.∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋78π≤2，故f (x )在⎣⎡⎦⎤－π8，π8上的值域是[－2，2].故选D. 5.(多选题)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则( ) A.f (x )的最小正周期为πB.曲线y ＝f (x )关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C.f (x )的最大值为 3D.曲线y ＝f (x )关于直线x ＝π6对称 【答案】 ACD【解析】f (x )＝sin 2x ＋12sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则T ＝π，f (x )的最大值为3，曲线y ＝f (x )关于直线x ＝π6对称，但曲线y ＝f (x )不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称.故选ACD.二、填空题6.如图，以Ox 为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.【答案】1825 【解析】由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. 7.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________. 【答案】23【解析】由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 8.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2π3上恰有两个零点，则ω的取值范围是________. 【答案】⎣⎡⎭⎫52，4【解析】∵0≤x ≤2π3，且ω＞0，∴π3≤ωx ＋π3≤2πω3＋π3，又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上恰有两个零点，∴2πω3＋π3≥2π且2πω3＋π3＜3π.解之得52≤ω＜4. 三、解答题9.(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域. 【解析】(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos 2x －32sin 2x ＝1－32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由于x ∈R ，知cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[－1，1]， 因此，所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32. 10.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)的图象向左平移π2个单位后与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2图象重合. (1)求ω和φ的值； (2)若函数h (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋g ⎝⎛⎭⎫x －π8，求h (x )的单调递增区间及图象的对称轴方程. 【解析】(1)由题意得ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵|φ|＜π2，∴φ＝π3. (2)h (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋g ⎝⎛⎭⎫x －π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， ∴h (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z . 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . 所以h (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . B 组 专题综合练11.(2020·潍坊模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，将y ＝f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y ＝g (x ).已知y ＝g (x )的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω＝________.若y ＝g (x )在其图象的某对称轴处对应的函数值为－2，则g (x )在[0，π]上的最大值为________.【答案】 1 3【解析】因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，所以f (0)＝A 或f (0)＝－A ，则sin φ＝±1.又0<φ<π，所以φ＝π2.所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝A cos ωx .又将y ＝f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y ＝g (x )，所以g (x )＝A cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ6.又y ＝g (x )的图象相邻对称中心之间的距离2π，所以T ＝4π＝2πω2，解得 ω＝1.又y ＝g (x )在其图象的某对称轴对应的函数值为－2，而A >0，所以A ＝2，所以g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.又x ∈[0，π]，所以π6≤x 2＋π6≤2π3，所以当x 2＋π6＝π6，即x ＝0时，g (x )取得最大值g (0)＝ 3. 12.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π或x ＝11π12. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π(易证x 1＋x 2＝11π6不合题意)，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.。