2021年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2021届山西省太原市高三一模数学(文)试题(解析版)
2021届山西省太原市高三一模数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,1,3,5U A B ===，则()A C B =（ ）A ．{}2,3,4B ．{}2C ．{}1,5D ．{}1,3,4,5【答案】A【详解】解：全集{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,1,3,5U A B ===， 所以{}2,4C B =， 所以(){}2,3,4AC B =.故选：A .2．已知复数z 满足()12z i i ⋅-=(其中i 为虚数单位)，则z 的值为（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】B【详解】解：∵复数z 满足()12z i i -=，∴()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+， 故选：B .3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2sin18a =，若24a b +=，则21cos 72a b=-（ ）A ．12B ．2CD ．4【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系可求得24cos 18b =，利用二倍角公式化简所求式子即可得到结果. 【详解】2sin18a =，()2222444sin 1841sin 184cos 18b a ∴=-=-=-=，22222216sin 18cos 184sin 3621cos72112sin 362sin 36a b ===--∴+.4．函数()cos sin y x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】解：∵()()()()()cos sin cos sin f x x x f x -=-==， ∴函数()f x 为偶函数， ∵1sin 1x -≤≤， ∴2222k x k ππππ-+≤≤+，∴()cos sin y x =在2x k π=时有最大值，且0y >， 故选：B .5．在区间[1,1]-上任取一个实数k ，则使得直线y kx =与圆22(2)1x y -+=有公共点的概率是（ ） A ．3B ．22C 3D ．12【答案】C【分析】先根据直线与圆由公共点求出k 的范围，利用几何概型求概率. 【详解】解：圆22(2)1x y -+=的圆心为(2,0)，半径为1． 要使直线y kx =与圆22(2)1x y -+=有公共点， 则圆心到直线y kx =211k ≤+，解得：33k ≤≤在区间[1,1]-中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(2)1x y -+=有公共点”发生的概率为：3331(1)⎛- ⎝⎭=--【点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法：①几何法：比较d （圆心到直线的距离）与r （半径）的关系；②代数法：把直线方程与圆的方程联立，利用判别式∆判断；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比进行计算. 6．已知,a b 为单位向量，且满足2a b -=，则2a b +=（ ）A ．BCD ．【答案】C【详解】解：,a b 为单位向量，且满足2a b -=，可得222?2a a b b -+=， 解得0a b =，所以222445a b a a b b +=++=. 故选：C .7．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，且{}n S 是等差数列，则下列结论错误的是（ ） A ．{}+n n a S 是等差数列B ．{}n n a S 是等比数列C ．{}2n a 是等差数列D ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 【答案】B【详解】解：由{}n S 是等差数列， 可得：()1211232a a a a a a +=+++， ∴23a a =，∵{}n a 是各项均为正数的等比数列， ∴22a a q =，可得1q =. ∴10n a a =>，∴()11n n a S n a +=+，∴数列{}n n a S +是等差数列，因此A 正确.221n a a =，∴{}2n a 是常数列，为等差数列，因此C 正确.10n Sa n =>，∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，因此D 正确. 21n n a S na =，∴{}n n a S 不是等比数列，因此B 不正确.故选：B .8．已知实数,x y 满足3302390210x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则232x y z x +-=-的取值范围是（ ）A ．(](],12,4-∞B ．[)(]1,22,4C ．[)[)1,24,+∞D ．(][),14,-∞+∞【答案】D【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立2390210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()3,1A ，由图可知，()10B ,， 231222x y y z x x +-+==+--，其几何意义为可行域内的动点与定点()2,1-连线的斜率加2.由图可知，11102,12321PA PB k k ----====---， ∴232x y z x +-=-的取值范围是(][),14,-∞+∞.故选：D .9．已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c b a << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】B【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．【详解】对于,a b 的大小：44ln3ln3ln81a πππ===，33ln 4ln ln 644b πππ===，明显a b >；对于,a c 的大小：构造函数ln ()x f x x=，则'21ln ()x f x x -=， 当(0,)x e ∈时，'()0,()f x f x >在(0,)e 上单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，'()0,()f x f x <在(,)e +∞上单调递减，3,()(3)e f f ππ>>∴<即33ln ln 3,3ln ln 3,ln ln 3,33ππππππππ<∴<∴<∴<a c ∴> 对于,b c 的大小：3ln 4ln 64b ππ==，3434ln ln[()]c ππ==，64π<43[()]π，c b >故选B ．【点睛】将,,a b c 两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目． 10．已知正四面体ABCD 的棱长为4，点E 在棱AB 上，且3BE AE =，过E 作四面体ABCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ） A ．103πB ．3πC ．3πD ．3 【答案】B【分析】由题，正四面体ABCD 的外接球即正方体的外接球，球的截面是圆，要求所作截面面积的最小值，只需确定截面圆的半径22r R OE =-，借助余弦定理和勾股定理即可．【详解】如图，正四面体ABCD 的棱长为4，则正方体的棱长为22，正四面体ABCD 的外接球即正方体的外接球，其半径为2R ==，∴3AB R OAB AM =∠===， ∵114144OA R AE AB====⨯=， ∴2221213OE =+-=， 则截面圆的半径r ==∴截面面积的最小值为23S r ππ==. 故选：B.【点睛】本题关键点在于确定正四面体ABCD 的外接球即正方体的外接球，进而确定截面为圆，难点在于半径r =11．已知过抛物线()220y px p =>的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与该抛物线相交于,A B 两点，若AOF 的面积与BOF （O 为坐标原点）的面积之比是2，则AB =（ ） A ．94B ．134C ．54D ．74【答案】A【分析】通过焦点坐标，可确定抛物线方程，设出直线AB 方程，分别表示出AOF 的面积与BOF 的面积，借助韦达定理和抛物线焦点弦长公式即可．【详解】由焦点的坐标可得122p =，所以1p =，所以抛物线的方程为：22y x =， 设直线AB 方程为：12x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ，设A 在x 轴上方，设0m >，联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210y my --=，122y y m +=①，121y y =-②，由题意()1212212AOFBOFOF y S S OF y ==-△△，可得122y y =-， 代入①②可得：281m =，解得：4m =，将m 的值代入①可得1222y y +=，()1212514x x m y y +=++=，由抛物线的性质可得1259144AB x x p =++=+=， 故选：A.【点睛】本题关键点在于如何通过联立得到的韦达定理正确转化面积，通过面积之比为2，可得122y y =-，进而可以确定24m =． 12．已知函数()()sin 0,02f x x πωφωφ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，且06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ） A ．3πφ=B ．若()g x 是奇函数，则ω的最小值为1C ．若()g x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则20,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()g x 是周期最大的偶函数，则()f x 在0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【详解】解：由于函数()()sin 0,02f x x πωφωφ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称， ∴,32k k Z ππωφπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，①.∵06f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴,6k k Z πωφπ⨯+=∈，②. 将3πφ=代入①②，无解，故A 错，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数()sin 3g x x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， 则()g x 的图象关于y 轴对称，故()g x 为偶函数，故B 错；∵由题意，111,0,1,2,6342k T k ππ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112k ω=+，则1ω≥，C 选项错， 故选：D .二、填空题13．函数()()1xf x x e =-的图象在点()()0,0f 处的切线方程为___________.【答案】1y =-【分析】利用导数求出斜率，直接求出切线方程. 【详解】解：由题意可得()xf x xe '=，则()0f x '=.因为()01f =-，所以所求切线方程为10y +=，即1y =-. 故答案为：1y =-.【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-； (2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程：111()()y y f x x x '-=-.14．某公司初级､中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q 的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为___________. 【答案】90【详解】解：根据题意知，抽取的样本中初级､中级和高级职称的人数也组成一个公比为q 的等比数列，且3310,130a S ==，所以()2121101130a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩， 消去1a ，解得13q =，或14q =-(不合题意，舍去)，当13q =时，190a =，即被抽取的初级职工的人数为90. 故答案为：90.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点是点F ，过原点倾斜角为3π的直线l与椭圆C 相交于M ，N 两点，若23MFN π∠=，则椭圆C 的离心率是________． 【答案】3210- 【分析】设右焦点为F '，设直线l 的方程为：3y x =，设()00,M x y ，()00,N x y --，利用几何性质可得3FMF π'∠=，结合焦点三角形的性质和余弦定理可得203Sy MFF b c '==，求出M 的坐标后代入椭圆方程可求离心率. 【详解】解：设右焦点为F '，由题意可得直线l 的方程为：3y x =，设()00,M x y ，()00,N x y --，连接MF '，NF '，因为23MFN π∠=， 所以四边形FMF N '为平行四边形，则3FMF π'∠=，所以22242cos3c MF MF MF MF π''=+-，整理得到()2243c MF MF MF MF ''=+-即243b MF MF '=，故220141S2232MFF b c y '===⨯⨯，所以可得0y =l 的方程可得203b x c =，将M 的坐标代入椭圆的方程可得：42222913b b c a c +=， 整理可得：42244140a a c c -+=，即42e 14e 40-+=，解得：2e 7=±，由椭圆的离心率e ()0,1∈，所以e 2==，． 【点睛】方法点睛：椭圆离心率的计算问题，关键在于构建基本量的方程，可利用点在曲线上来构建，注意焦点三角形的性质在计算过程中的应用.三、双空题16．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，23sin 4sin ,cos 3c A b C C ==，点D 在线段AB 上，且2BD DA =，若ABC ∆的面积为a =___________，CD =___________.【答案】4【详解】解：由正弦定理及3sin 4sin c A b C =得34ac bc =， 故43b a =， 由余弦定理得2222221629cos 43223b bc a b cC b ab b +-+-===，整理得b c =， 因为2cos 3C =，所以sin C =因为ABC ∆的面积114sin 2233b S ab C b ==⨯⨯⨯= 所以3,3,4b c a ===， 因为2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 整理得2133CD CA CB =+， 222441642844439999939b a CD CA CB =++=++⨯⨯⨯=，故3CD =.故答案为：4四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()*1n n n b a a n N +=+∈，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题： （1）证明：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T . 条件①：()1*113,4232n n n a S a n N ++=+=∈；条件②：()*1223,232n n n a a a a n N +===+⨯∈.【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）()321314n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【详解】解：选条件①：()1*113,4232n n n a S a n N ++=+=∈； （1）证明：当1n =时，212423S a +=， 因为1132S a ==，所以232a =，所以1123b a a =+=，当1n ≥时，11423n n n S a +++=，①212423n n n S a ++++=，②②﹣①可得1213n n n a a ++++=， 即()*13nn n n b a a n N +=+=∈，则{}n b 是首项､公比均为3的等比数列；（2）由（1）可得()*3n n b n N =∈，所以231323333n n T n =++++， 2341313233333n n n T n +=++++-，两式相减可得231233333n n n T n +-=++++-()1313313n n n +-=--，化简可得()321314n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦. 选条件②：()*1223,232n n n a a a a n N +===+⨯∈. （1）证明：由()*223nn n a a n N +=+⨯∈，可得21123nn n n n a a a a ++++=++⨯，因为1n n n b a a +=+，所以123nn n b b +=+⨯，则1133n n n n b b ++-=-，所以1123330nn b b a a -=-=+-=，所以()*3n n b n N =∈，则{}n b 是首项､公比均为3的等比数列；（2）由（1）可得()*3n n b n N =∈，所以231323333n n T n =+++∞+， 234131323333n n T n +=++++，两式相减可得231233333n n n T n +-=++++-()1313313n n n +-=--，化简可得()321314n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦. 18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.（1）由表中的数据分析，老年人､中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？ 【答案】（1）老年人更倾向于选择报团游；（2）25；（3）建议他选择报团游. 【分析】（1）分析数据，直接求出老年人､中年人和青年人选择报团游的频率进行比较； （2）列举基本事件，利用古典概型求概率；（3）分别求报团游和自助游的满意率，进行比较，得到结论.【详解】（1）由表中数据可得老年人､中年人和青年人选择报团游的频率分别为：1231553032211,,1864044221P P P ======， ∵123P P P >>，∴老年人更倾向于选择报团游.（2）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a ，中年人有2人，记为,b c ，青年人有2人，记为,d e ，从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：()()()(),,,,,,,a b a c a d a e ，∴这2人中有老年人的概率为42105P ==. （3）根据表中的数据，得到： 报团游的满意率为41218154515302267P ++==++，自助游的满意率为51461310203P ++==++，∵45P P >，∴建议他选择报团游. 【点睛】概率的计算： （1）由频率估计概率；（2）利用古典概型、几何概型求概率；（3）利用概率公式（互斥事件、相互独立事件、条件概率）求概率19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是正三角形，G 是PAB ∆的重心，,,D E H 分别是,,PA BC PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =.（1）求证：平面//DFH 平面PGE ；（2）若,2,22PB AC AB AC BC ⊥===P DEG -的体积.【答案】（1）证明见解析（23【详解】解：（1）证明：连结BG ，由题意可得BG 与GD 共线，且2BG GD =， ∵E 是BC 的中点，3BF FC =，∴F 是CE 的中点，∴2BG BEGD EF==， ∴//GE DF ，GE 平面PGE ；DF ⊄平面PGE ；∴//DF 平面PGE ， ∵H 是PC 的中点，∴//FH PE ，PE ⊂平面PGE ，FH ⊄平面PGE ； ∴//FH 平面PGE ， ∵DFFH F =，DF ⊂平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴平面//DFH 平面PGE ； （2）∵2,22AB AC BC === ∴2228AB AC BC +==，∴AB AC ⊥， ∵,PB AC AB PB B ⊥⋂=，∴AC ⊥平面PAB ， ∵PAB ∆是正三角形，∴233PAB S AB ∆== ∴111113361212318P DEG B PDG E PBD E PAB C PAB PAB V V V V V S AC -----∆=====⨯=. 20．已知函数()cos sin f x x x x =+.（1）讨论()f x 在[]2,2ππ-上的单调性； （2）求函数()()2114g x f x x =--零点的个数. 【答案】（1）在32,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦､,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭､0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；（2）有三个零点. 【分析】（1）易知()f x 是[]2,2ππ-上的偶函数，求导()cos f x x x '=，分令()0f x '≥，()0f x '<求解；（2）由（1）知()g x 是R 上的偶函数，（i ）当[]0,2x π∈时，利用导数法结合零点存在定理判断；（ii ）当()2,x π∈+∞时，由()2211cos sin 1044g x x x x x x x =+--≤-<判断.【详解】（1）因为()()()()cos sin cos sin ,f x x x x x x x f x x R -=---=+=∈， 所以()f x 是R 上的偶函数，也是[]2,2ππ-上的偶函数， 当[]0,2x π∈时，()cos f x x x '=， 令()0f x '≥，则02x π≤≤或322x ππ≤≤，令()0f x '<，则322x ππ<<，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 因为()f x 是偶函数，所以()f x 在32,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，()f x 在32,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦､,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭､0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. （2）由（1）得()()()()2114g x f x x g x -=----=， 所以()g x 是R 上的偶函数，（i ）当[]0,2x π∈时，()1cos 2g x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 令()0g x '>，则03x π<<或523x ππ<<，令()0g x '<，则533x ππ<<， 所以()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 因为()()225515100,0,20333432g g g g ππππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==⨯--<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在50,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，所以()g x 在[]0,2π上有两个零点；（ii ）当()2,x π∈+∞时，()2211cos sin 1044g x x x x x x x =+--≤-<， 所以()g x 在()2,π+∞上没有零点.由（i ）（ii ）及()g x 是偶函数可得()g x 在R 上有三个零点.【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其离心率12e =，点P 是椭圆C 上一动点，12PF F △内切圆面积的最大值为3π．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线1PF ，2PF 与椭圆C 分别相交于点,A B ，求证：1212PF PF F AF B+为定值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）设12PF F △内切圆的半径为r ，可得12PF F Sr a c=+，当P 为椭圆的上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，即r 最大，由此得max bcr a c=+，由12PF F △内切圆面积最大值可得,,a b c 满足的方程，结合离心率和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得结果；（Ⅱ）设()00,P x y ，当00y ≠时，假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出01y y 和02y y ，代入1212PF PF F A F B +整理可得定值103；当00y =时，易求得1212103PF PF F AF B+=，由此可得结论. 【详解】（Ⅰ）设12PF F △内切圆的半径为r ，则()12121212PF F PF PF F F r S ++=，∴1212222PF F PF F SSr a ca c==++，∴当12PF F △的面积最大时，12PF F △内切圆的半径r 最大，则当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，12PF F △的面积最大，最大值为122c b bc ⨯⨯=， r ∴的最大值为bc a c +，又12PF F △内切圆面积的最大值为3π，bc a c ∴=+，由22212bc a cc a a b c⎧=⎪+⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=．（Ⅱ）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，①当00y ≠时，设直线1PF ，2PF 的直线方程分别为11x m y =-，21x m y =+，由1221143x m y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()221134690m y m y +--=，∴0121934y y m =-+，0101x m y =-，∴0101x m y +=，∴001523y x y +=-， 同理由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：002523y x y -=-， ∴1200001212525210333PF PF y y x x F AF By y +-+=--=+=； ②当00y =时，直线1PF ，2PF 与x 轴重合，则 则12121103 33PF PF F AF B +=+=； 综上所述：1212PF PF F AF B+为定值103． 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，消元可得定值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 03πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(P ，曲线1C 与2C 相交于A ，B 两个不同点，求PA PB -‖‖的值． 【答案】（Ⅰ）2214y x -=，0x =；（Ⅱ）11. 【分析】（1）消参，将参数方程化为普通方程，通过222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）由曲线2C 的直角方程，写出其标准参数方程，联立曲线1C 的普通方程，化简得到韦达定理，利用直线参数方程里参数的几何意义解得答案.【详解】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），整理得2222141x t t y t t ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，转换为普通方程为2214y x -=； 曲线2C 的极坐标方程为cos 03πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为直角坐标方程为0x =；（Ⅱ）把直线0x =转换为312x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2214y x -=，得到：2114290t ++⨯=，所以12t t +=-1242911t t ⨯=， 所以12||||||||11PA PB t t -=-==． 【点睛】方法点睛：（1）将参数方程转化为2222141x t t y t t ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，作差进行消参，求得普通方程，通过222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线化为标准参数方程，则参数t 的几何意义表示点到定点的长度，从而可以解决到定点的长度问题. 23．已知函数()()20f x x x m m m=++->． （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若存在()0,1x ∈，使得不等式()3f x ≤成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）[]1,2.【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式即可求得最小值；（Ⅱ）分别在m 1≥和01m <<时，去除绝对值符号，利用能成立的思想可构造不等式求得结果.【详解】（Ⅰ）当1m =时，()21f x x x =++-，()()21213x x x x ++-≥+--=（当且仅当21x -≤≤时取等号），()f x ∴的最小值为3；（Ⅱ）由题意知：存在()0,1x ∈，使得23x x m m++-≤， （1）当m 1≥时，223x m x m m m++-=+≤，解得：12m ≤≤； （2）当01m <<时，若0x m <<，则2223x x m x m x m m m m ++-=++-=+≤，解得：12m ≤≤（舍）； 若1m x ≤<，则22223x x m x x m x m m m m++-=++-=+-≤，第 21 页 共 21 页 min 22222x m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23m m ∴+≤，解得：12m ≤≤（舍）； 综上所述：实数m 的取值范围为[]1,2.【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式最值的求解、能成立问题的求解；求解能成立问题的关键是能够通过分类讨论的方式，利用函数最值构造不等式求得结果.。
山西省太原市2021届新高考数学模拟试题(2)含解析
山西省太原市2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值. 【详解】起始阶段有1i =，3S =，第一次循环后11132S ==--，2i =， 第二次循环后121312S ==+，3i =， 第三次循环后13213S ==-，4i =，第四次循环后11132S ==--，5i =， 所有后面的循环具有周期性，周期为3，当2019i =时，再次循环输出的3S =,2020i =，此时20202019>，循环结束，输出3S =， 故选：B 【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.2．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 3，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为2c ，可得：2c =，可得2b c =，ba =C 的渐近线方程为y =．故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 3．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确； 因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确；因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确． 故选D ．4．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.5．集合{}|M y y x ==∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．32【答案】A 【解析】 【分析】计算{}M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{}{}|M y y x ==∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 6．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。
山西省太原市第二十一中学2025届高考数学一模试卷含解析
山西省太原市第二十一中学2025届高考数学一模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<2．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>3．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④6．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥7．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．283588．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉9．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( ) A ．1或1-B ．25或25- C ．1或25-D ．1-或2510．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．11．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -12．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省太原市2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析
山西省太原市2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a r ，b r 满足|a r |＝1，|b r |＝2，且a r 与b r的夹角为120°，则3a b -r r ＝（ ）A ．11B ．37C ．210D ．43【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅r r，然后将3a b -r r 进行平方，，可得结果.【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭o r r r r∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=r rr r r r∴则343a b -=r r.故选：D. 【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．4【答案】C 【解析】 【分析】【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体， 如图所示：故：111112*********V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 3．下列不等式正确的是（ ）A ．3sin130sin 40log 4>>o oB ．tan 226ln 0.4tan 48<<o oC ．()cos 20sin 65lg11-<<ooD ．5tan 410sin 80log 2>>o o【答案】D 【解析】 【分析】根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>o o o o o，利用排除法，即可求解．【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>o o o o o o，可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log 5log 22=>>>=>o o o， 所以5tan 410sin 80log 2>>o o．故选D ． 【点睛】4．复数12i 2i+=-（）．A．i B．1i+C．i-D．1i-【答案】A【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i iii i i+++++-===--+，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 5．一物体作变速直线运动，其v t-曲线如图所示，则该物体在1s~6s2间的运动路程为（）m．A．1 B．43C．494D．2【答案】C【解析】【分析】由图像用分段函数表示()v t，该物体在1s~6s2间的运动路程可用定积分612()ds v t t=⎰表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t tv t tt t⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得613111361()d22d1d3s v t t tdt t t t⎛⎫==+++⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64t t t t⎛⎫=+++=⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s2间的运动路程是49m4．故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.6．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．A．2B．3C．1 D．6【答案】B【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l=++故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<<{}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.8．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确. 【详解】①的逆命题为“若a b >，则1122a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题.本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可． 11．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 12．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ， 得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省太原市2021届高三数学一模试题文含解析
山西省太原市2021届高三数学一模试题文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁U B）＝（）A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5} 2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（）A．B．2 C．D．44．函数y＝cos（sin x）的图象大致是（）A．B．C．D．5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（）A．B．C．D．6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（）A．B．C．D．27．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，且{S n}是等差数列，则下列结论错误的是（）A．{a n+S n}是等差数列B．{a n•S n}是等比数列C．{a n2}是等差数列D．{}是等比数列8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]C．[1，2）∪[4，+∞）D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）A．B．3πC．D．11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f（）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．φ＝B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增二、填空题（每小题5分）.13．函数f（x）＝（x﹣1）e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为．15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3c sin A＝4b sin C，cos C＝，点D 在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝，CD＝．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n＝a n+a n+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nb n}的前n项和T n．条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意12 1 18 4 15 6一般 2 1 6 4 4 12不满意 1 1 6 2 3 2 （Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．20．已知函数f（x）＝cos x+x sin x．（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P 是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁U B）＝（）A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5} 解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，所以∁U B＝{2，4}，所以A∪（∁U B）＝{2，3，4}．故选：A．2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i解：∵复数z满足z•（1﹣i）＝2i，∴z＝＝＝＝﹣1+i，故选：B．3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（）A．B．2 C．D．4解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝＝＝2．故选：B．4．函数y＝cos（sin x）的图象大致是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（sin x）＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，∵﹣1≤sin x≤1，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∴y＝cos（sin x）在x＝2kπ时有最大值，且y＞0，故选：B．5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（）A．B．C．D．解：圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径为1．要使直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则圆心到直线y＝kx的距离≤1，解得：﹣≤k≤．在区间[﹣1，1]中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点”发生的概率为：＝．故选：C．6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（）A．B．C．D．2解：，为单位向量，且满足|﹣|＝，可得＝2，解得＝0，所以|2+|＝＝．故选：C．7．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，且{S n}是等差数列，则下列结论错误的是（）A．{a n+S n}是等差数列B．{a n•S n}是等比数列C．{a n2}是等差数列D．{}是等比数列解：由{S n}是等差数列，可得：2（a1+a2）＝a1+a1+a2+a3，∴a2＝a3，∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝a2q，可得q＝1．∴a n＝a1＞0，∴a n+S n＝（n+1）a1，∴数列{a n+S n}是等差数列，因此A正确．＝，∴{a n2}是常数列，为等差数列，因此C正确．＝a1＞0，∴{}是等比数列，因此D正确．a n S n＝n，∴{a n•S n}不是等比数列，因此B不正确．故选：B．8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]C．[1，2）∪[4，+∞）D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），由图可知，B（1，0），z＝＝2+，其几何意义为可行域内的动点与定点（2，﹣1）连线的斜率加2．由图可知，，，∴z＝的取值范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）．故选：D．9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c解：∵a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，∴＝，＝，＝，设f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝e，当x∈（0，e），f（x）在（0，e）上递增，当x∈（e，+∞），f（x）在（e，+∞）递减，∵4＞π＞3＞e，∴f（4）＜f（π）＜f（3），即＜＜，∴a＞c＞b．故选：A．10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）A．B．3πC．D．解：如图，正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为，正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为2R＝，R＝，cos∠OAB＝，∵OA＝R＝，AE＝AB＝，∴＝3，则截面圆的半径r＝，∴截面面积的最小值为S＝πr2＝3π．故选：B．11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（）A．B．C．D．解：由焦点的坐标可得＝，所以p＝1，所以抛物线的方程为：y2＝2x，设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），设A在x轴上方，设m＞0，联立整理可得：y2﹣2my﹣1＝0，y1+y2＝2m①，y1y2＝﹣1②，由题意＝＝2，可得y1＝﹣2y2，代入①②可得：8m2＝1，解得：m＝，将m的值代入①可得y1+y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）+1＝，由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+p＝+1＝，故选：A．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f（）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．φ＝B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增解：由于函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，∴ω×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，①．∵f（）＝0，∴ω×+φ＝kπ，k∈Z，②．将代入①②，无解，故A错，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx﹣+φ）的图象，则g（x）的图象关于y轴对称，故g（x）为偶函数，故B错；∵由题意，﹣（﹣）＝（）T，k1＝0，1，2，…，∴ω＝1+2k1，则ω≥1，C选项错，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．试题中包含两空的，答对第一空的给3分，全部答对的给5分．13．函数f（x）＝（x﹣1）e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣1 ．解：由题意可得f'（x）＝xe x，则f'（0）＝0．因为f（0）＝﹣1，所以所求切线方程为y+1＝0，即y＝﹣1．故答案为：y＝﹣1．14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为90 ．解：根据题意知，抽取的样本中初级、中级和高级职称的人数也组成一个公比为q的等比数列，且a3＝10，S3＝130，所以，消去a1，解得q＝，或q＝﹣（不合题意，舍去），当q＝时，a1＝90，即被抽取的初级职工的人数为90．故答案为：90．15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3c sin A＝4b sin C，cos C＝，点D 在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝ 4 ，CD＝．解：由正弦定理及3c sin A＝4b sin C得3ac＝4bc，故a＝，由余弦定理得cos C＝＝＝，整理得b＝c，因为cos C＝，所以sin C＝，因为△ABC的面积S＝＝＝2，所以b＝3，c＝3，a＝4，因为BD＝2DA，所以，即，整理得，＝＝4+＝，故CD＝．故答案为：4，．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是．解：设右焦点为F'，由题意可得直线l的方程为：y＝，设M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），连接MF'，NF'，因为∠MFN＝，所以四边形FMF'N为平行四边形，则∠FMF'＝，而S△MFF'＝b2tan＝b2＝•cy0，（焦三角形面积公式S＝b2tan，θ为焦顶角），所以可得y0＝，代入直线l的方程可得：x0＝，将M的坐标代入椭圆的方程可得：+＝1，整理可得：4a4﹣14a2c2+c4＝0，即e4﹣14e2+4＝0，解得：e2＝7±3，由椭圆的离心率e∈（0，1），所以e＝＝，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n＝a n+a n+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nb n}的前n项和T n．条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．解：选条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；（Ⅰ）证明：当n＝1时，4S1+2a2＝32，因为S1＝a1＝，所以a2＝，所以b1＝a1+a2＝3，当n≥1时，4S n+2a n+1＝3n+1，①4S n+1+2a n+2＝3n+2，②②﹣①可得a n+2+a n+1＝3n+1，即b n＝a n+a n+1＝3n（n∈N*），则{b n}是首项、公比均为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n＝3n（n∈N*），所以T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，两式相减可得﹣2T n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得T n＝[（2n﹣1）•3n+1]．选条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：由a n+2＝a n+2×3n（n∈N*），可得a n+2+a n+1＝a n+a n+1+2×3n，因为b n＝a n+a n+1，所以b n+1＝b n+2×3n，则b n+1﹣3n+1＝b n﹣3n，所以b n﹣3n＝b1﹣3＝a1+a2﹣3＝0，所以b n＝3n（n∈N*），则{b n}是首项、公比均为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n＝3n（n∈N*），所以T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，两式相减可得﹣2T n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得T n＝[（2n﹣1）•3n+1]．18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意12 1 18 4 15 6一般 2 1 6 4 4 12不满意 1 1 6 2 3 2 （Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？解：（Ⅰ）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：P1＝＝，P2＝，P3＝，∵P1＞P2＞P3，∴老年人更倾向于选择报团游．（Ⅱ）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a，中年人有2人，记为b，c，青年人有2人，记为d，e，从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），∴这2人中有老年人的概率为P＝＝．（Ⅲ）根据表中的数据，得到：报团游的满意率为P4＝＝，自助游的满意率为P5＝＝，∵P4＞P5，∴建议他选择报团游．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．解：（Ⅰ）证明：连结BG，由题意可得BG与GD共线，且BG＝2GD，∵E是BC的中点，BF＝3FC，∴F是CE的中点，∴，∴GE∥DF，GE⊂平面PGE；DF⊄平面PGE；∴DF∥平面PGE，∵H是PC的中点，∴FH∥PE，PE⊂平面PGE，FH⊄平面PGE；∴FH∥平面PGE，∵DF∩FH＝F，DF⊂平面DEF，FH⊂平面DEF，∴平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）∵AB＝AC＝2，BC＝，∴AB2+AC2＝8＝BC2，∴AB⊥AC，∵PB⊥AC，AB∩PB＝B，∴AC⊥平面PAB，∵△PAB是正三角形，∴S△PAB＝＝，∴V P﹣DEG＝V E﹣PDG＝＝＝＝＝.20．已知函数f（x）＝cos x+x sin x．（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．解：（Ⅰ）因为f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣x sin（﹣x）＝cos x+x sin x＝f（x），x∈R，所以f（x）是R上的偶函数，也是[﹣2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，2π]时，f′（x）＝x cos x，令f′（x）≥0，则0≤x≤或≤x≤2π，令f′（x）＜0，则＜x＜，所以f（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，因为f（x）是偶函数，所以f（x）在[﹣2π，﹣]和[﹣，0]上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增．综上所述，f（x）在[﹣2π，﹣]、[﹣，0]和（，）上单调递减，在（﹣，﹣）、[0，]和[，2π]上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2﹣1＝g（x），所以g（x）是R上的偶函数，（1）当x∈[0，2π]时，g′（x）＝x（cos x﹣），令g′（x）＞0，则0＜x＜或＜x＜2π，令g′（x）＜0，则＜x＜，所以g（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，因为g（）＞g（0）＝0，g（）＝×（﹣）﹣（）2﹣＜0，g（2π）＝﹣π2＜0，所以g（x）在（0，）上有一个零点，所以g（x）在[0，2π]上有两个零点；（2）当x∈（2π，+∞）时，g（x）＝cos x+x sin x﹣x2﹣1≤x﹣x2＜0，所以g（x）在（2π，+∞）上没有零点．由（1）（2）及g（x）是偶函数可得g（x）在R上有三个零点．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P 是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．解：（Ⅰ）设△PF1F2内切圆的半径为r，则，∴r＝＝，∴当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2内切圆的半径r最大，显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值为＝bc，∴r的最大值为，即＝，由，解得：，∴椭圆C的标准方程为：．（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），①当y0≠0时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为x＝m1y﹣1，x＝m2y+1，由得：，∴，∵x0＝m1y0﹣1，∴，∴，同理，由可得，∴＝﹣﹣＝，②当y0＝0时，直线PF1，PF2与x轴重合，易得：＝3+＝，综上所述，+为定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得，转换为普通方程为；曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0，根据，转换为直角坐标方程为；（Ⅱ）把直线转换为（t为参数），代入，得到：，所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，∵|x+2|+|x﹣1|≥|（x+2）﹣（x﹣1）|＝3，故当且仅当（x+2）（x﹣1）≤0，即当﹣2≤x≤1时，f（x）取最小值3；（Ⅱ）由题意得存在x∈（0，1）使得x++|x﹣m|≤3，（1）当m≥1时，x++|x﹣m|≤3等价于+m≤3，解得：1≤m≤2；（2）当0＜m＜1时，令g（x）＝x++|x﹣m|，0＜x＜m时，g（x）＝+m，m≤x＜1时，g（x）＝2x+﹣m，故g（x）min＝+m，故+m≤3，故1≤m≤2，与0＜m＜1矛盾，此时m无解，综上：实数m的取值范围是[1，2]．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
山西省太原市高三一模数学(文)试题(解析版)
2021届山西省太原市高三一模数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,1,3,5U A B ===，则()A C B =（ ）A ．{}2,3,4B ．{}2C ．{}1,5D ．{}1,3,4,5【答案】A【详解】解：全集{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,1,3,5U A B ===， 所以{}2,4C B =， 所以(){}2,3,4AC B =.故选：A .2．已知复数z 满足()12z i i ⋅-=(其中i 为虚数单位)，则z 的值为（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】B【详解】解：∵复数z 满足()12z i i -=，∴()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+， 故选：B .3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2sin18a =，若24a b +=，则21cos 72a b=-（ ）A ．12B ．2C ．12D ．4【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系可求得24cos 18b =，利用二倍角公式化简所求式子即可得到结果. 【详解】2sin18a =，()2222444sin 1841sin 184cos 18b a ∴=-=-=-=，22222216sin 18cos 184sin 3621cos 72112sin 362sin 36a b ===--∴+.4．函数()cos sin y x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】解：∵()()()()()cos sin cos sin f x x x f x -=-==， ∴函数()f x 为偶函数， ∵1sin 1x -≤≤， ∴2222k x k ππππ-+≤≤+，∴()cos sin y x =在2x k π=时有最大值，且0y >， 故选：B .5．在区间[1,1]-上任取一个实数k ，则使得直线y kx =与圆22(2)1x y -+=有公共点的概率是（ ） A ．32B ．22C ．33D ．12【答案】C【分析】先根据直线与圆由公共点求出k 的范围，利用几何概型求概率.【详解】解：圆22(2)1x y -+=的圆心为(2,0)，半径为1．要使直线y kx =与圆22(2)1x y -+=有公共点， 则圆心到直线y kx =211k ≤+，解得：3333k -≤≤．在区间[1,1]-中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(2)1x y -+=有公共点”发生的概率为：333331(1)3⎛-- ⎝⎭=--．【点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法：①几何法：比较d （圆心到直线的距离）与r （半径）的关系；②代数法：把直线方程与圆的方程联立，利用判别式∆判断；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比进行计算. 6．已知,a b 为单位向量，且满足2a b -=，则2a b +=（ ）A B C D ．【答案】C【详解】解：,a b 为单位向量，且满足2a b -=，可得222?2a a b b -+=， 解得0a b =，所以222445a b a a b b +=++=. 故选：C .7．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，且{}n S 是等差数列，则下列结论错误的是（ ） A ．{}+n n a S 是等差数列 B ．{}n n a S 是等比数列 C ．{}2na 是等差数列D ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 【答案】B【详解】解：由{}n S 是等差数列， 可得：()1211232a a a a a a +=+++， ∴23a a =，∵{}n a 是各项均为正数的等比数列， ∴22a a q =，可得1q =. ∴10n a a =>，∴()11n n a S n a +=+，∴数列{}n n a S +是等差数列，因此A 正确.221n a a =，∴{}2n a 是常数列，为等差数列，因此C 正确.10n S an =>，∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，因此D 正确. 21n n a S na =，∴{}n n a S 不是等比数列，因此B 不正确.故选：B .8．已知实数,x y 满足3302390210x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则232x y z x +-=-的取值范围是（ ）A ．(](],12,4-∞B ．[)(]1,22,4C ．[)[)1,24,+∞D ．(][),14,-∞+∞【答案】D【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立2390210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()3,1A ，由图可知，()10B ,， 231222x y y z x x +-+==+--，其几何意义为可行域内的动点与定点()2,1-连线的斜率加2.由图可知，11102,12321PA PB k k ----====---， ∴232x y z x +-=-的取值范围是(][),14,-∞+∞.故选：D .9．已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c b a << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】B【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．【详解】对于,a b 的大小：44ln3ln3ln81a πππ===，33ln 4ln ln 644b πππ===，明显a b >；对于,a c 的大小：构造函数ln ()x f x x=，则'21ln ()x f x x -=， 当(0,)x e ∈时，'()0,()f x f x >在(0,)e 上单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，'()0,()f x f x <在(,)e +∞上单调递减，3,()(3)e f f ππ>>∴<即33ln ln 3,3ln ln 3,ln ln 3,33ππππππππ<∴<∴<∴<a c ∴> 对于,b c 的大小：3ln 4ln 64b ππ==，3434ln ln[()]c ππ==，64π<43[()]π，c b >故选B ．【点睛】将,,a b c 两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目． 10．已知正四面体ABCD 的棱长为4，点E 在棱AB 上，且3BE AE =，过E 作四面体ABCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ） A ．103πB ．3πC ．3π D ．34【答案】B【分析】由题，正四面体ABCD 的外接球即正方体的外接球，球的截面是圆，要求所作截面面积的最小值，只需确定截面圆的半径22r R OE =-，借助余弦定理和勾股定理即可．【详解】如图，正四面体ABCD 的棱长为4，则正方体的棱长为22，正四面体ABCD 的外接球即正方体的外接球，其半径为2R ==∴3AB R OAB AM =∠===， ∵114144OA R AE AB====⨯=， ∴22212133OE =+-⨯=， 则截面圆的半径r ===∴截面面积的最小值为23S r ππ==. 故选：B.【点睛】本题关键点在于确定正四面体ABCD 的外接球即正方体的外接球，进而确定截面为圆，难点在于半径r =11．已知过抛物线()220y px p =>的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与该抛物线相交于,A B 两点，若AOF 的面积与BOF （O 为坐标原点）的面积之比是2，则AB =（ ） A ．94B ．134C ．54D ．74【答案】A【分析】通过焦点坐标，可确定抛物线方程，设出直线AB 方程，分别表示出AOF 的面积与BOF 的面积，借助韦达定理和抛物线焦点弦长公式即可．【详解】由焦点的坐标可得122p =，所以1p =，所以抛物线的方程为：22y x =， 设直线AB 方程为：12x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ，设A 在x 轴上方，设0m >，联立2122x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210y my --=，122y y m +=①，121y y =-②，由题意()1212212AOFBOFOF y S S OF y ==-△△，可得122y y =-， 代入①②可得：281m =，解得：4m =，将m 的值代入①可得1222y y +=，()1212514x x m y y +=++=，由抛物线的性质可得1259144AB x x p =++=+=， 故选：A.【点睛】本题关键点在于如何通过联立得到的韦达定理正确转化面积，通过面积之比为2，可得122y y =-，进而可以确定24m =． 12．已知函数()()sin 0,02f x x πωφωφ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，且06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ） A ．3πφ=B ．若()g x 是奇函数，则ω的最小值为1C ．若()g x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则20,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()g x 是周期最大的偶函数，则()f x 在0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【详解】解：由于函数()()sin 0,02f x x πωφωφ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称， ∴,32k k Z ππωφπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，①.∵06f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴,6k k Z πωφπ⨯+=∈，②.将3πφ=代入①②，无解，故A 错，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数()sin 3g x x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， 则()g x 的图象关于y 轴对称，故()g x 为偶函数，故B 错；∵由题意，111,0,1,2,6342k T k ππ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112k ω=+，则1ω≥，C 选项错， 故选：D .二、填空题13．函数()()1xf x x e =-的图象在点()()0,0f 处的切线方程为___________.【答案】1y =-【分析】利用导数求出斜率，直接求出切线方程. 【详解】解：由题意可得()xf x xe '=，则()0f x '=.因为()01f =-，所以所求切线方程为10y +=，即1y =-. 故答案为：1y =-.【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-； (2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程：111()()y y f x x x '-=-.14．某公司初级､中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q 的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为___________. 【答案】90【详解】解：根据题意知，抽取的样本中初级､中级和高级职称的人数也组成一个公比为q 的等比数列，且3310,130a S ==，所以()2121101130a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩， 消去1a ，解得13q =，或14q =-(不合题意，舍去)，当13q =时，190a =，即被抽取的初级职工的人数为90. 故答案为：90.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点是点F ，过原点倾斜角为3π的直线l与椭圆C 相交于M ，N 两点，若23MFN π∠=，则椭圆C 的离心率是________． 【答案】32102- 【分析】设右焦点为F '，设直线l 的方程为：3y x =，设()00,M x y ，()00,N x y --，利用几何性质可得3FMF π'∠=，结合焦点三角形的性质和余弦定理可得203Sy 3MFF b c '==，求出M 的坐标后代入椭圆方程可求离心率. 【详解】解：设右焦点为F '，由题意可得直线l 的方程为：3y x =，设()00,M x y ，()00,N x y --，连接MF '，NF '，因为23MFN π∠=， 所以四边形FMF N '为平行四边形，则3FMF π'∠=，所以22242cos 3c MF MF MF MF π''=+-，整理得到()2243c MF MF MF MF ''=+-即243b MF MF '=，故220141S2232MFF b c y '===⨯⨯，所以可得203y c=，代入直线l 的方程可得203b x c =，将M 的坐标代入椭圆的方程可得：42222913b b c a c +=， 整理可得：42244140a a c c -+=，即42e 14e 40-+=，解得：2e 7=±，由椭圆的离心率e ()0,1∈，所以e 2==，故答案为：2． 【点睛】方法点睛：椭圆离心率的计算问题，关键在于构建基本量的方程，可利用点在曲线上来构建，注意焦点三角形的性质在计算过程中的应用.三、双空题16．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，23sin 4sin ,cos 3c A b C C ==，点D 在线段AB 上，且2BD DA =，若ABC ∆的面积为a =___________，CD =___________.【答案】4【详解】解：由正弦定理及3sin 4sin c A b C =得34ac bc =， 故43b a =， 由余弦定理得2222221629cos 43223b bc a b cC b ab b +-+-===，整理得b c =， 因为2cos 3C =，所以sin C =因为ABC ∆的面积114sin 223b S ab C b ==⨯⨯= 所以3,3,4b c a ===， 因为2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 整理得2133CD CA CB =+， 222441642844439999939b a CD CA CB =++=++⨯⨯⨯=，故3CD =.故答案为：4四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()*1n n n b a a n N +=+∈，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题： （1）证明：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T . 条件①：()1*113,4232n n n a S a n N ++=+=∈；条件②：()*1223,232n n n a a a a n N +===+⨯∈.【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）()321314n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【详解】解：选条件①：()1*113,4232n n n a S a n N ++=+=∈； （1）证明：当1n =时，212423S a +=， 因为1132S a ==，所以232a =，所以1123b a a =+=，当1n ≥时，11423n n n S a +++=，①212423n n n S a ++++=，②②﹣①可得1213n n n a a ++++=，即()*13nn n n b a a n N +=+=∈，则{}n b 是首项､公比均为3的等比数列； （2）由（1）可得()*3nn b n N =∈，所以231323333n n T n =++++， 2341313233333n n n T n +=++++-，两式相减可得231233333n n n T n +-=++++-()1313313n n n +-=--，化简可得()321314n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦. 选条件②：()*1223,232n n n a a a a n N +===+⨯∈. （1）证明：由()*223nn n a a n N +=+⨯∈，可得21123nn n n n a a a a ++++=++⨯，因为1n n n b a a +=+，所以123nn n b b +=+⨯，则1133n n n n b b ++-=-，所以1123330nn b b a a -=-=+-=，所以()*3nn b n N=∈，则{}n b 是首项､公比均为3的等比数列； （2）由（1）可得()*3nn b n N =∈，所以231323333n n T n =+++∞+， 234131323333n n T n +=++++，两式相减可得231233333n n n T n +-=++++-()1313313n n n +-=--，化简可得()321314n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦. 18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.（1）由表中的数据分析，老年人､中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？ 【答案】（1）老年人更倾向于选择报团游；（2）25；（3）建议他选择报团游. 【分析】（1）分析数据，直接求出老年人､中年人和青年人选择报团游的频率进行比较； （2）列举基本事件，利用古典概型求概率；（3）分别求报团游和自助游的满意率，进行比较，得到结论.【详解】（1）由表中数据可得老年人､中年人和青年人选择报团游的频率分别为：1231553032211,,1864044221P P P ======， ∵123P P P >>，∴老年人更倾向于选择报团游.（2）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a ，中年人有2人，记为,b c ，青年人有2人，记为,d e ，从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：()()()(),,,,,,,a b a c a d a e ，∴这2人中有老年人的概率为42105P ==. （3）根据表中的数据，得到： 报团游的满意率为41218154515302267P ++==++，自助游的满意率为51461310203P ++==++，∵45P P >，∴建议他选择报团游. 【点睛】概率的计算： （1）由频率估计概率；（2）利用古典概型、几何概型求概率；（3）利用概率公式（互斥事件、相互独立事件、条件概率）求概率19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是正三角形，G 是PAB ∆的重心，,,D E H 分别是,,PA BC PC 的中点，点F 在BC 上，且3BF FC =.（1）求证：平面//DFH 平面PGE ；（2）若,2,22PB AC AB AC BC ⊥===P DEG -的体积.【答案】（1）证明见解析（23【详解】解：（1）证明：连结BG ，由题意可得BG 与GD 共线，且2BG GD =， ∵E 是BC 的中点，3BF FC =，∴F 是CE 的中点，∴2BG BEGD EF==， ∴//GE DF ，GE 平面PGE ；DF ⊄平面PGE ；∴//DF 平面PGE ， ∵H 是PC 的中点，∴//FH PE ，PE ⊂平面PGE ，FH ⊄平面PGE ； ∴//FH 平面PGE ， ∵DFFH F =，DF ⊂平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴平面//DFH 平面PGE ； （2）∵2,2AB AC BC === ∴2228AB AC BC +==，∴AB AC ⊥， ∵,PB AC AB PB B ⊥⋂=，∴AC ⊥平面PAB ， ∵PAB ∆是正三角形，∴2334PAB S AB ∆==， ∴1111133612123P DEG B PDG E PBD E PAB C PAB PAB V V V V V S AC -----∆=====⨯=. 20．已知函数()cos sin f x x x x =+. （1）讨论()f x 在[]2,2ππ-上的单调性； （2）求函数()()2114g x f x x =--零点的个数. 【答案】（1）在32,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦､,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭､0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；（2）有三个零点. 【分析】（1）易知()f x 是[]2,2ππ-上的偶函数，求导()cos f x x x '=，分令()0f x '≥，()0f x '<求解；（2）由（1）知()g x 是R 上的偶函数，（i ）当[]0,2x π∈时，利用导数法结合零点存在定理判断；（ii ）当()2,x π∈+∞时，由()2211cos sin 1044g x x x x x x x =+--≤-<判断.【详解】（1）因为()()()()cos sin cos sin ,f x x x x x x x f x x R -=---=+=∈， 所以()f x 是R 上的偶函数，也是[]2,2ππ-上的偶函数， 当[]0,2x π∈时，()cos f x x x '=， 令()0f x '≥，则02x π≤≤或322x ππ≤≤，令()0f x '<，则322x ππ<<，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 因为()f x 是偶函数，所以()f x 在32,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，()f x 在32,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦､,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭､0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. （2）由（1）得()()()()2114g x f x x g x -=----=， 所以()g x 是R 上的偶函数，（i ）当[]0,2x π∈时，()1cos 2g x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 令()0g x '>，则03x π<<或523x ππ<<，令()0g x '<，则533x ππ<<， 所以()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 因为()()225515100,0,203332432g g g g ππππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==⨯---<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在50,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，所以()g x 在[]0,2π上有两个零点；（ii ）当()2,x π∈+∞时，()2211cos sin 1044g x x x x x x x =+--≤-<， 所以()g x 在()2,π+∞上没有零点.由（i ）（ii ）及()g x 是偶函数可得()g x 在R 上有三个零点.【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其离心率12e =，点P 是椭圆C 上一动点，12PF F △内切圆面积的最大值为3π． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线1PF ，2PF 与椭圆C 分别相交于点,A B ，求证：1212PF PF F AF B+为定值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）设12PF F △内切圆的半径为r ，可得12PF F Sr a c=+，当P 为椭圆的上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，即r 最大，由此得max bcr a c=+，由12PF F △内切圆面积最大值可得,,a b c 满足的方程，结合离心率和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得结果；（Ⅱ）设()00,P x y ，当00y ≠时，假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出01y y 和02y y ，代入1212PF PF F A F B +整理可得定值103；当00y =时，易求得1212103PF PF F A F B +=，由此可得结论. 【详解】（Ⅰ）设12PF F △内切圆的半径为r ，则()12121212PF F PF PF F F r S ++=，∴1212222PF F PF F SSr a ca c==++，∴当12PF F △的面积最大时，12PF F △内切圆的半径r 最大，则当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，12PF F △的面积最大，最大值为122c b bc ⨯⨯=，r ∴的最大值为bc a c +，又12PF F △内切圆面积的最大值为3π，3bc a c ∴=+，由22212bc a cc a a b c⎧=⎪+⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：22143x y+=．（Ⅱ）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，①当00y ≠时，设直线1PF ，2PF 的直线方程分别为11x m y =-，21x m y =+，由1221143x m y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()221134690m y m y +--=，∴0121934y y m =-+， 0101x m y =-，∴0101x m y +=，∴001523y x y +=-， 同理由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：002523y x y -=-， ∴1200001212525210333PF PF y y x x F A F B y y +-+=--=+=； ②当00y =时，直线1PF ，2PF 与x 轴重合，则则12121103 33PF PF F AF B +=+=； 综上所述：1212PF PF F AF B+为定值103． 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，消元可得定值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 03πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(P ，曲线1C 与2C 相交于A ，B 两个不同点，求PA PB -‖‖的值． 【答案】（Ⅰ）2214y x -=，0x -=；（Ⅱ）11. 【分析】（1）消参，将参数方程化为普通方程，通过222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）由曲线2C 的直角方程，写出其标准参数方程，联立曲线1C 的普通方程，化简得到韦达定理，利用直线参数方程里参数的几何意义解得答案.【详解】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），整理得2222141x t t y t t ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，转换为普通方程为2214y x -=； 曲线2C 的极坐标方程为cos 03πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为直角坐标方程为0x -=；（Ⅱ）把直线0x -=转换为312x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2214y x -=，得到：2114290t ++⨯=，所以12t t +=-1242911t t ⨯=， 所以12||||||||PA PB t t -=-==． 【点睛】方法点睛：（1）将参数方程转化为2222141x t t y t t ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，作差进行消参，求得普通方程，通过222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线化为标准参数方程，则参数t 的几何意义表示点到定点的长度，从而可以解决到定点的长度问题. 23．已知函数()()20f x x x m m m=++->． （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若存在()0,1x ∈，使得不等式()3f x ≤成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）[]1,2.【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式即可求得最小值；（Ⅱ）分别在m 1≥和01m <<时，去除绝对值符号，利用能成立的思想可构造不等式求得结果.【详解】（Ⅰ）当1m =时，()21f x x x =++-，()()21213x x x x ++-≥+--=（当且仅当21x -≤≤时取等号），()f x ∴的最小值为3；（Ⅱ）由题意知：存在()0,1x ∈，使得23x x m m++-≤， （1）当m 1≥时，223x m x m m m++-=+≤，解得：12m ≤≤； （2）当01m <<时，若0x m <<，则2223x x m x m x m m m m ++-=++-=+≤，解得：12m ≤≤（舍）；若1m x ≤<，则22223x x m x x m x m m m m++-=++-=+-≤，min 22222x m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23m m∴+≤，解得：12m ≤≤（舍）； 综上所述：实数m 的取值范围为[]1,2.【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式最值的求解、能成立问题的求解；求解能成立问题的关键是能够通过分类讨论的方式，利用函数最值构造不等式求得结果.。
山西省太原市高考数学一模试卷(理科)
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·金华期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知i是虚数单位，若复数z满足z=，则z的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·平顶山期末) 若函数f（x）=sin2x﹣（x∈R），则f（x）是（）A . 最小正周期为的奇函数B . 最小正周期为π的奇函数C . 最小正周期为2π的偶函数D . 最小正周期为π的偶函数4. （2分） (2017高三上·赣州开学考) △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形5. （2分）设抛物线上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分） (2016高二下·绵阳期中) 已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A . ﹣1B . ﹣2C . ﹣5D . 17. （2分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A . 必要但不充分条件B . 充分但不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2016高三上·北京期中) 将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A .B . y=2cos2xC . y=2sin2xD . y=cosx9. （2分）运行如图所示的程序框图，当输入m=-4时输出的结果为n，设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为（）A . －3B . 4C . 5D . 210. （2分）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A . 432B . 288C . 216D . 14411. （2分）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·赣州开学考) 不等式x﹣＜1的解集是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B . （﹣1，1）∪（3，+∞）C . （﹣∞，﹣1）∪（1，3）D . （﹣1，3）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2020·桂林模拟) 点在双曲线（，）的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的离心率为________.14. （1分）若（1﹣2x）2013=a0+a1x+…+a2013x2013（x∈R），则 + +…+ =________．15. （1分）(2014·江苏理) 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1 ， S2 ，体积分别为V1 ， V2 ，若它们的侧面积相等，且 = ，则的值是________．16. （1分） (2017高一下·黄冈期末) 若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于________．三、解答题： (共7题；共50分)17. （5分） (2016高一下·唐山期末) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S4=8，S8=20，求此等差数列的首项a1和公差d．18. （10分）(2018·永州模拟) 某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：已知三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.19. （5分）(2017·武威模拟) 如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB= ．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE= ，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20. （10分）已知椭圆E：中，a= b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1 ， l2（l1 ， l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．21. （5分）己知函数f（x）=，实数a＞0，b＞0．若函数f（x）在x=0处的切线斜率为﹣3，（1）试确定a的值；（2）若b=0，求f（x）的极大值和极小值；（3）若当x∈[b，3b]时，f（x）＞4b恒成立．求b的取值范围．22. （10分） (2016高三上·成都期中) 在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+ ）= ，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．23. （5分）(2020·南昌模拟) 已知函数 .（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证： .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科) (1)
Ⅱ 若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
已知椭圆 的焦点为 和 ，过 的直线交 于 ， 两点，过 作与 轴垂直的直线交直线 ＝ 于点 ．设 ，已知当 ＝ 时， ＝ ．
Ⅰ 求椭圆 的方程；
Ⅱ 求证：无论 如何变化，直线 过定点．
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
由三都问求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
简单因性规斯
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
椭圆水明心率
此题暂无答案
【考点】
充分常件、头花条件滤充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
函来锰略也与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
程正然图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
二项式定因及京关概念
已知函数 ＝ ， ．
Ⅰ 判断函数 在区间 上零点的个数；
Ⅱ 设函数 在区间 上的极值点从小到大分别为 ， ， ， ，…， ．证明：
（1） ；
（2）对一切 ， 成立．
山西省太原市2020届高三理科数学一模试卷(解析版)
．
16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了
数表的奇数行和偶数行．如图，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（5，2）
＝11，则 a（41，18）＝
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；
以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任
取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C5．函数 ሺᖈݔ
若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设|AB|＝10，若平面上点 P 满足对任意的λ∈R，恒有
λ
，则一定正确的是
3
（）
A．
B． 諨
C．
D．∠APB≤90°
12．设函数 f'（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，当 x＞0 时，xlnx•f′（x）＜﹣f（x），
山西省太原市 2020 届高三理科数学一模试卷（解析版）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|y 諨 ᖈ ᖈ }，则 M∩N＝（ ） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣2≤x＜3} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣3＜x≤3}
2021届山西省高考数学模拟试题及答案
P
e c 2c F1F2 5 a 2a PF1 PF2
F1
O
F2
10.已知函数f ( x) 3 3 sin x cos x 3cos2 x m在[0, 2 ]
44
4
上的最小值为 3 ,点A为函数f ( x)在y轴右侧的第一个最 2
高点, 点B为函数f ( x)在y轴右侧的第二个对称中心,O为
x y ≥ m
最小值为 3, 则实数m ( A )
A. 0
B. 2
C. 1 y D. 5
A
y1
x 2 y 3
x
x ym 2x y 2
作出2yx≤1y ≤ 2 表示的平面区域如图所示,
作直线x 2 y 3,与可行域的边界交于点A(1,1),
则直线x y m必过点A(1,1),
从折线图看出1至2月份收入数 据的连线斜向上，且最陡，故 A正确； 从折线图可以看出支出的最高 点是2月份，故B正确； 由折线图可看出第二季度的总 支出最低，故第二季度的月平
均支出最低，故C正确；
3．如图所示的折线图表示某一商场一年中各月的收入、
支出情况，则下列说法中错误的是（ D ）
A．全年收入1至2月份增速最快 B．全年中2月份支出最高 C．四个季度中第二季度的月平均支出最低 D．利润最低的月份是5月份（利润＝收入－支出）
所以m 0
y
A
y1
x 2 y 3
x
x ym 2x y 2
6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱 称为“堑堵” ．已知某“堑堵”的三视图如图所示， 在该“堑堵”的表面积C为（ ）
A．1 394 B．1 322 C．1 800 D．1 650
如图,ACB 90,CD AB,