北京市海淀区2018届中考数学一模试卷(解析版)
2018年北京市海淀区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置． 1． 10月1日，约110 000名群众观看了天安门广场的升旗仪式．将110 000用
科学记数法表示应为（ ） A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×104 D．0.11×106 2．下列四个图形依次是北京、云南、西藏、安徽四个省市的图案字体，其中是
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900° 4．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0，方程应变形为（ ）
A．（x+2）2=3 B．（x+2）2=5 C．（x﹣2）2=3 D．（x﹣2）2=5 5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
A． B． C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，
且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．75° B．105° C．135° D．155° 7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=50°，则∠B的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 8．如图，数轴上A，B两点所表示的数互为倒数，则关于原点的说法正确的是
（ ）
A．一定在点A的左侧 B．一定与线段AB的中点重合
C．可能在点B的右侧 D．一定与点A或点B重合
9．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相
关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过13小时的节气是（ ）
A．惊蛰 B．小满 C．秋分 D．大寒
10．如图为2009年到2015年中关村国家自主创新示范区企业经营技术收入的统
计图．下面四个推断： ①2009年到2015年技术收入持续增长； ②2009年到2015年技术收入的中位数是4032亿； ③2009年到2015年技术收入增幅最大的是2015年； ④2009年到2011年的技术收入增长的平均数比2013年到2015年技术收入增长的平均数大． 其中，正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：a2b+4ab+4b= ．
12．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD=1：2，AC=5，则BD的长为 ．
13．图中的四边形均为矩形．根据图形，写出一个正确的等式： ．
14．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了
如图所示的折线图．
该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号）． ①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ②掷一枚硬币，正面朝上； ③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），双曲线y=与
线段AB有公共点，则k的取值范围是 ．
16．下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程．
已知：△ABC（如图），求作：BC边上的中线AD． 作法：如图2， （1）分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点； （2）作直线AP，AP与BC交于D点． 所以线段AD就是所求作的中线． 请回答：该作图的依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．（5分）计算：（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0．
18．（5分）解不等式3（x﹣1）≤，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（5分）如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD=AE，∠BAD=∠CAE．求证：AB=AC． 20．（5分）关于x的方程x2﹣ax+a=0有两个相等的实数根，求代数式•的值． 21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=k1x+b过A（0，﹣3），B（5，
2），直线l2：y=k2x+2．
（1）求直线l1的表达式； （2）当x≥4时，不等式k1x+b＞k2x+2恒成立，请写出一个满足题意的k2的值．
22．（5分）某校八年级共有8个班，241名同学，历史老师为了了解新中考模
式下该校八年级学生选修历史学科的意向，请小红，小亮，小军三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：
小红、小亮和小军三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向，请说出理由，并由此估计全年级有意向选修历史的同学的人数． 23．（5分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，
连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
24．（5分）阅读下列材料：
厉害了，我的国！ 近年来，中国对外开放的步伐加快，与世界经济的融合度日益提高，中国经济稳定增长是世界经济复苏的主要动力．“十二五”时期，按照2010年美元不变价计算，中国对世界经济增长的年均贡献率达到30.5%，跃居全球第一，与“十五”和“十一五”时期14.2%的年均贡献率相比，提高16.3个百分点，同期美国和欧元区分别为17.8%和4.4%．分年度来看，2011、2012、2013、2014、2015年，中国对世界经济增长的贡献率分别为28.6%、31.7%、32.5%、29.7%、30.0%，而美国分别为11.8%、20.4%、15.2%、19.6%、21.9%． 2016年，中国对世界经济增长的贡献率仍居首位，预计全年经济增速为6.7%左
右，而世界银行预测全球经济增速为2.4%左右．按2010年美元不变价计算，2016年中国对世界经济增长的贡献率仍然达到33.2%．如果按照2015年价格计算，则中国对世界经济增长的贡献率会更高一点，根据有关国际组织预测，2016年中国、美国、日本经济增速分别为6.7%、1.6%、0.6%． 根据以上材料解答下列问题： （1）选择合适的统计图或统计表将2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率表示出来； （2）根据题中相关信息，2016年中国经济增速大约是全球经济增速的 倍（保留1位小数）； （3）根据题中相关信息，预估2017年中国对世界经济增长的贡献率约为 ，你的预估理由是 ． 25．（5分）如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分
别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点． （1）求证：点M是CF的中点； （2）若E是的中点，BC=a，写出求AE长的思路．
26．（5分）有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．
下面是小文的探究过程，请补充完整： （1）函数y=的自变量x的取值范围是 ； （2）如表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 … y … ﹣ ﹣ ﹣ 0 2 …
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点． ①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为 ； ②小文分析函数y=的表达式发现：当x＜1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为 ； （3）小文补充了该函数图象上两个点（，﹣），（，）， ①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象； ②写出该函数的一条性质： ． 27．（7分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交
直线x=4于B点． （1）抛物线的对称轴为x= （用含m的代数式表示）； （2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式； （3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范围．
28．（7分）在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点． （1）如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点； （2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等； 想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点；
2018年中考数学模拟试卷(北京市海淀区
2018年北京市海淀区中考数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=0 B．x=3 C．x≠0D．x≠32．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．63．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣14．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①B．②C．③D．④5．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180°D．∠3+∠4=180°6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．7．数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|＞|c|，b•c＜0，则原点的位置（）A．点A的左侧B．点A点B之间C．点B点C之间D．点C的右侧8．如图，是某蓄水池的横断面示意图，蓄水池分为深水区和浅水区，如果向这个蓄水池以固定的速度注水，下面能表示水的深度h与时间t的关系的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．分解因式：x2y﹣y=．10．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为．11．如果a+b=2，那么代数式（a﹣）÷的值是．12．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，=，则=．13．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x kg物品，列出关于x的方程为．14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同．将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有个．15．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB=∠AC B．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB=∠AC B．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA=OB=OC）的依据是；（2）∠APB=∠ACB的依据是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（1，0），将线段AB绕着点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则A′的坐标为．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：（）﹣2﹣+（﹣4）0﹣cos45°．18．（5分）解不等式：3x﹣1＞2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．19．（5分）如图，AD是△ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求AC长．20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1=0．（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；（2）若m为负数，判断方程根的情况．21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=G C．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若△GEF的面积为2．①求四边形BCFE的面积；②四边形ABCD的面积为．22．（5分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．23．（6分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．24．（6分）某班为确定参加学校投篮比赛的任选，在A、B两位投篮高手间进行了6次投篮比赛，每人每次投10个球，将他们每次投中的个数绘制成如图所示的折线统计图．（1）根据图中所给信息填写下表：（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，从投篮稳定性考虑应该选派谁？请你利用学过的统计量对问题进行分析说明．25．（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．26．（6分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．28．（7分）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，解得，x≠3，故选：D．2．【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=，即圆心O到AB的距离为3．故选：A．3．【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，故选：B．4．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选：A．5．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故选：D．6．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴BC==，故选：B．7．【解答】解：∵|a|＞|c|，b•c＜0，∴原点的位置是点B与点C之间，故选：C．8．【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．故选：C．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．【解答】解：x2y﹣y，=y（x2﹣1），=y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．10．【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和，+S扇形BOC=2S扇形AOD，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD∵OA=OB，∴∠BAC=∠ABO=36°，∴∠AOD=72°，∴图中阴影部分的面积=2×=10π（cm2），故答案为10πcm2．11．【解答】解：当a+b=2时，原式=•=•=a+b=2故答案为：212．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，∴==，则=（）2=（）2=，故答案为：．13．【解答】解：设B型机器人每小时搬运x kg物品，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg 物品，根据题意可得=，故答案为：=．14．【解答】解：因为共摸了200次球，发现有60次摸到黑球，所以估计摸到黑球的概率为0.3，所以估计这个口袋中黑球的数量为20×0.3=6（个），则红球大约有20﹣6=14个，故答案为：14．15．【解答】解：（1）如图2中，∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），∴OA=OB=OC（等量代换）故答案为①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换．（2）∵=，∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．故答案为同弧所对的圆周角相等．16．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，∵点A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（1，0），∴AC=2，BC=2+1=3，∵∠ABA′=90°，∴ABC+∠A′BC′=90°，∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC=∠A′BC′，∵BA=BA′，∠ACB=∠BC′A′，∴△ABC≌△BA′C′，∴OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，∴点A′的坐标为（2，3）．故答案为（2，3）．三．解答题（共12小题，满分68分）17．【解答】解：原式=4﹣3+1﹣×=2﹣1=1．18．【解答】解：3x﹣1＞2x﹣2，3x﹣2x＞﹣2+1，x＞﹣1；将不等式的解集表示在数轴上如下：19．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，∴BD=BC=5．∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，又∵CD=BD，∴AC=AB=13．20．【解答】解：（1）∵m是方程的一个实数根，∴m2﹣（2m﹣3）m+m2+1=0，∴；（2）△=b2﹣4ac=﹣12m+5，∵m＜0，∴﹣12m＞0．∴△=﹣12m+5＞0．∴此方程有两个不相等的实数根．21．【解答】（1）证明：∵GB=GC，∴∠GBC=∠GCB，在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，∴GB﹣GE=GC﹣GF，∴BE=CF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴∠A=∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）①∵EF∥BC，∴△GFE∽△GBC，∵EF=AD，∴EF=BC，∴=（）2=，∵△GEF的面积为2，∴△GBC的面积为18，∴四边形BCFE的面积为16，；②∵四边形BCFE的面积为16，∴（EF+BC）•AB=×BC•AB=16，∴BC•AB=24，∴四边形ABCD的面积为24，故答案为：24．22．【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，∴y与x之间的函数关系式为：y=；（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，∴b=，∴y2=x+，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，∴CP=BC=，或BP=BC=，∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，∴P（﹣，0）或（，0）．23．【解答】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴P A=PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵P A是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OCtan∠COB=5．24．【解答】解：（1）A成绩的平均数为（9+10+4+3+9+7）=7；众数为9；B成绩排序后为6，7，7，7，7，8，故中位数为7；故答案为：7，9，7；（2）=[（7﹣9）2+（7﹣10）2+（7﹣4）2+（7﹣3）2+（7﹣9）2+（7﹣7）2]=7；=[（7﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣8）2+（7﹣7）2+（7﹣6）2+（7﹣7）2]=；从方差看，B的方差小，所以B的成绩更稳定，从投篮稳定性考虑应该选派B．25．【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y=k1x+b，将（0，20），（8，100）代入y=k1x+b，得k1=10，b=20，所以当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a时，设y=，将（8，100）代入，得k2=800，所以当8＜x≤a时，y=；故当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a时，y=；（2）将y=20代入y=，解得a=40；（3）8：10﹣8分钟=8：02，∵10x+20≤40，∴0＜x≤2，∵≤40，∴20≤x＜40．所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前能喝到不超过40℃的热水，则需要在7：50～8：10时间段内接水．26．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．27．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2+5=7，∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=PM2=×72=．28．【解答】解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故填：等腰．（2）当抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，），满足=（b＞0）．则b=2．（3）存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO=AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB=60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE=OEtan∠AOB=．∴=•（b＞0）．∴b′=2．∴A（，3），B（2，0）．∴C（﹣），D（﹣2，0）．设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则，解得．故所求抛物线的表达式为y=x2+2x．。
【中考汇编】北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编88页含答案
北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编目录北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：解不等式组（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：计算题（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：解四边形（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：几何证明（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：几何综合（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：函数计算及运用（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：二次函数综合（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：统计（含答案）解不等式组专题东城区18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解. 18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥， 由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分西城区18．解不等式组3(2)4112x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≥，并求该不等式组的非负整数解．【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥，解②得，12x -<，3x <，∴原不等式解集为13x -<≤，∴原不等式的非负整数解为0，，2．海淀区18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩ 18.解：() 5331, 263. 2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩①② 解不等式①，得3x >-. …2分解不等式②，得2x <. ………4分所以 原不等式组的解集为32x -<<. ………5分18．解不等式组：341,51 2.2x x x x ≥-⎧⎪⎨->-⎪⎩ 18．解：解不等式①，得1x ≤， ……………………2分解不等式②，得1x >-. ……………………4分∴原不等式组的解集是11x -<≤．………5分石景山区18．解不等式组：3(1)45622x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩，． 18．解：原不等式组为3(1)45,62.2x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩ 解不等式①，得2x <-． ………………2分 解不等式②，得2x <． ………………4分 ∴原不等式组的解集为<2x -． ………………5分 朝阳区18. 解不等式组 ：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x18. 解：原不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x解不等式①，得 5<x . ………………………………………2分解不等式②，得 21>x .………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为521<<x . …………………………………5分① ②18．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －32<1，2（x ＋1）≥x －1.18．解：由（1）得，x-3<2X<5 ……………………….2′（2） 得 2x+2≥x-1x ≥-3 ……………………….4′所以不等式组的解是-3≤x ＜5……………………….5′ 门头沟区18. 解不等式组：1031+1.x x x ⎧-<⎪⎨⎪-⎩，≤3(）18．（本小题满分5分）解不等式①得，x ＜3， …………………………………………2分解不等式②得，x ≥﹣2， ………………………………4分所以，不等式组的解集是﹣2≤x ＜3． ………………5分大兴区17.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 并写出它的所有整数解. 17. 解：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 由①，得21-≥x . ………………………………………………………1分 由②，得2<x . …………………………………………………………2分 ∴原不等式组的解集为221<≤-x . ………………………………………4分 它的所有整数解为0，1. …………………………………………………5分① ②18．解不等式组3(1)45,513x x x x -≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出它的所有整数解．．．． 18．解：3(1)455 3 1x x x x -≥-⎧⎪⎨-->⎪⎩①② 解不等式①，得 x ≤2． ·········································································1 解不等式②，得 x ＞-1． ·······································································3 ∴原不等式组的解集为12x -<≤． ························································4 ∴适合原不等式组的整数解为0,1,2． ·······················································5 怀柔区18.解不等式组:()⎪⎩⎪⎨⎧<+-<-.1213,213x x x x 18.解：由①得：3x < . ………………………………………………………………………2分由②得：9x >- …………………………………………………………………………4分 原不等式组的解集为93x -<< ………………………………………………………5分 延庆区18．解不等式组：523(2)53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩， 并写出它的所有整数解． 18．解：由①得，x <4． ……1分由②得，x ≥1 ． ……3分∴ 原不等式组的解集为1≤x <4． ……4分∴ 原不等式组的所有整数解为1，2，3． ……5分18．解不等式组：()7+1,2315 1.x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩18．解不等式组：()7+12315x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩解：解不等式①得 x ≥3- ……………………………………………………………2分 解不等式②得 2x > ………………………………………………………………4分 不等式组的解集是 2x > …………………………………………………………5分计算题专题东城区17．计算：()2012sin 60-π-2++1-3-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭. =217.解：原式分分西城区17114sin 3015-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭．【解析】原式1541)52122=+⨯-=+=． 海淀区17．计算：11()3tan 302|3-︒+． 17.解：原式=3323-⨯+- ………………4分=5- ………………5分丰台区1702cos 45(3π)|1-︒+-+-．1702cos 45(3π)|1︒+-+．=211++ ……………………4分= ……………………5分石景山区17．计算：012sin 455(3--++° 17．解：原式=2512⨯-+- ………………4分4=-- ………………5分朝阳区17. 计算：2sin30°+ .8)4()31(01+-+-π17. 解：原式 2213212+++⨯= …………………………………………………4分 225+=. ……………………………………………………………5分燕山区17．计算：4cos30°－12 + 20180 + ||1－317．4cos30°－12 + 20180 + ||1－3 =13132234-++-⨯=3 门头沟区17．计算：()201254sin 603π-⎛⎫--++-︒ ⎪⎝⎭．平谷区17．计算：(1013132sin 603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭π.17．解：(1013132sin 603-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭π=331312-- ···········································································4 =1 ····································································································5 怀柔区17.计算：102130tan 3)3(31-︒⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π. 17.解：原式331132=--+ …………………………………………………4分.…………………………………………………………………5分延庆区17．计算：0113tan 301(2)()3π-︒+---．17．原式=3⨯33+3-1+1-3 ……4分=23-3 ……5分顺义区17．计算：()01312sin 452π--︒+-．17．解：()01312sin 452π--︒+-112132=-⨯+ (4)分13= ……………………………………………………………………………… 5分4=-解四边形专题东城区21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC .（1）求证：四边形ACDE 为平行四边形;（2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长.21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ，∴=AB DC ，AB DC ∥.∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分(2) ∵=AB AC ，∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形.∴AD ⊥CE .∵AD BC ∥，∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC . 根据勾股定理，求得=42BC 分 西城区21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ． （1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;（2）若5AB =，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长．BDA【解析】（1）补全的图形如图所示．90AOB ∠=︒． 证明：由题意可知BC AB =，DC AB =， ∵在ABD △中，ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，∴BC DC AD AB ===， ∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴90AOB ∠=︒．（2）∵四边形ABCD 为菱形， ∴OB OD =．在Rt ABO △中，90AOB ∠=︒，5AB =，3cos 5ABD ∠=，∴cos 3OB AB ABD =⋅∠=， ∴26BD OB ==．ABCDO海淀区21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是__________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_______.C B EOAD21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =, ∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ………………2分 ∴90BOA ∠=︒. ∴AC BD ⊥.∴平行四边形ABCD 是菱形. ………………3分 (2) 正方形； ………………4分2. ………………5分丰台区21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形；（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．ABCEDF21．（1）证明：∵BF =BA ，BE =BC ，∴四边形AEFC 为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BA =BC .∴BE =BF .∴BA + BF = BC + BE ，即AF =EC .∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB .由（1）知，AD ∥EB ，且AD =EB . ∴四边形AEBD 为平行四边形 ∵DE ⊥AB ，∴四边形AEBD 为菱形.∴AE =EB ，AB =2AG ，ED =2EG . ………………………4分 ∵矩形ABCD 中，EB =AB ，AB=4， ∴AG =2，AE =4.∴Rt △AEG 中，EG=23.∴ED=43. ………………………5分 （其他证法相应给分）石景山区21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，210BC CD ==，CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．BA CE D21．（1）证明：（法一）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=︒． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=︒， ∴2D ∠=∠． 又BC ＝CD∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分 （法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略． （2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==，∴10210CD x ==． ∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==．∴624AB HE ==-=． ………………5分朝阳区21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形； （2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =，求DF 的长．21.（1）证明：∵CF ∥AB ，∴∠ECF ＝∠EBD . ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE .∵∠CEF ＝∠BED ， ∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD .∴四边形CDBF 是平行四边形. ………………………2分（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝24，∴2221==BC BE ，DE DF 2=. 在Rt △EMB 中，2sin =∠⋅=ABC BE EM . ……………………3分在Rt △EMD 中，42==EM DE . …………………4分∴DF ＝8. ………………………………………………………5分燕山区23． 如图，在△ABC 错误!未找到引用源。
北京市海淀区2018届高三期中练习(一模)数学(文)试题扫描版含答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学(文)参考答案与评分标准2018.4一．选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．1i + 10 1113， 12．3+32π13．①③ 14. 乙三．解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为 521=8a a ，且352=a a q ，所以 318q = ，得 21=q所以1111(1,2,)2n n n a a q n --=== ………………6分（Ⅱ）不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52因为11a =，21=q ， 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn S 2112211211 ………………10分 方法1： 令52n S =，则152(1)22n -= 得24n=-，该方程无解. 所以不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52. ………………13分 方法2：因为对任意*∈N n ，有1211<-n ， 所以 22112<⎪⎭⎫⎝⎛-=n n S所以不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52。
………………13分16．解：（Ⅰ）0112,,.612x ωϕππ=== ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()3sin(2)6f x x π=+ 因为[,0]2x π∈-，所以52[,]666x πππ+∈-当2=,62x ππ+- 即 =3x π-时，()f x 的最小值为3-.当2=,66x ππ+即 =0x 时，()f x 的最大值为32. ………………13分17．解：（Ⅰ）由已知，当空气相对湿度在45%%55时，病毒死亡较快.而样本在[45,55)上的频数为30， 所以所求频率为301=30010………………3分 （Ⅱ）设事件A 为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于[25,35)” 设区间[15,25)中的两个数据为12,a a ，区间[25,35)中的三个数据为123,,b b b ， 因此，从区间[15,35)的数据中任取两个数据，包含12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10个基本事件，而事件A 包含111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b a b 共6个基本事件， 所以63()105P A ==. …………………….…10分 （Ⅲ）第6组. …………………….…13分18．（Ⅰ）证明：取线段EB 的中点N ，连接,MN AN .DABCMEN因为M 为棱CE 的中点，所以在CBE ∆中//MN BC ，12MN BC =. 又//AD BC ，12AD BC =, 所以//,MN AD MN AD =.所以四边形DMNA 是平行四边形, 所以//DM AN . 又DM ⊄平面ABE , AN ⊂平面ABE ,所以//DM 平面ABE . （Ⅱ）因为AE AB =,N 为EB 中点,所以AN BE ⊥. 又BC ⊥平面ABE ,AN ⊂平面ABE ,所以BC AN ⊥ 又BC BE B =,所以AN ⊥平面BCE . 又//DM AN ，所以DM ⊥平面BCE . 因为DM ⊂平面CDE ,所以平面CDE ⊥平面CBE . .…………………….…9分（Ⅲ）AE CD ⊥. 设EAB θ∠=，1AD AB AE ===则四面体D ABE -的体积 sin V AE AB AD θ⨯⋅⋅⋅11=321sin 6θ=. 当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大.又BC ⊥平面ABE ,AE ⊂平面ABE ,所以AE BC ⊥.因为BC AB B =,所以AE ⊥平面ABC . 因为CD ⊂平面ABCD ，所以AE CD ⊥. .…………………….…14分19．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>> ，则222112c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得2,a b ==所以椭圆方程为221.43x y += .…………………….…5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(2,0)A .当直线PQ 不存在斜率时，可得33(1,),(1,)22P Q --- 直线AP 方程为()122y x =--，令4,x =-得(4,3)M -, 同理，得(4,3)N --.所以()()113,3,3,3F M F N =-=--, 得110F M F N ⋅=.所以190MF N ∠=︒,1F 在以MN 为直径的圆上.当直线PQ 存在斜率时，设PQ 方程为()1y k x =+ ，()11,y x P 、()22,y x Q .由()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22223484120k x k x k +++-=.显然0∆>,221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++, 直线AP 方程为11(2)2y y x x =--，得116(4,)2y M x --- ,同理， 226(4,)2y N x ---. 所以12111266(3,),(3,)22y y F M F N x x --=-=---. 121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--2因为()()11221,1y k x y k x =+=+所以2121212123636(1)(1)(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=22 ()()212121212222222222223612()441283436()3441216121634936369k x x x x x x x x k k k k kk k k k k k +++=-++--+++=-++++-⋅==-所以110F M F N ⋅=所以90MFN ∠=︒,F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…14分综上，F 在以MN 为直径的圆上.20．解：（Ⅰ）当0a =时，()e sin x f x x =,'()e (sin cos )x f x x x x =+∈R . 得'(0) 1.f = 又0(0)e sin 0=0f =, 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x = .…………………….…4分（Ⅱ）方法1：因为()e sin xf x x ax =-， 所以'()e (sin cos )x f x x x a =+-.sin(+)4x x a π=-因为3[0,]4x π∈， 所以[,]44x πππ+∈.sin()04x x π+≥.所以 当0a ≤时，'()0f x ≥， 所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增. .…………………….…8分 方法2：因为()e sin xf x x ax =-，所以'()e (sin cos )x f x x x a =+-.令()'()g x f x =，则 '()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x g x x x x x x =++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：当0a ≤时，3(0)10,()04g a g a =->π=-≥. 所以3[0,]4x π∈时，()0g x ≥，即'()0f x ≥， 所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增. .…………………….…8分（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3[0,]4π单调递增， 所以3[0,]4x π∈时，()(0)0f x f ≥=. 当01a <<时，设()'()g x f x =，则 '()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x g x x x x x x =++-=， (),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]24ππ上单调递减 因为'(0)10f a =->，3'()04f a π=-<， 所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈，使得0'()0f x =， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03(,]4x x π∈时，'()0f x <， 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03[,]4x π上单调递减.又 (0)0f =，334433()3044f e a e ππππ=->->>, 所以当01a <<时，对于任意的3[0,]4x π∈，()0f x ≥. 综上所述，当1a <时，对任意的3[0,]4x π∈，均有()0f x ≥. .…………………….…13分方法2：由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3[0,]4π单调递增， 所以3[0,]4x π∈时，()(0)0f x f ≥=. 当01a <<时， 由（Ⅱ）可知，'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]24ππ上单调递减，因为'(0)10f a =->，3'()04f a π=-<， 所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈，使得0'()0f x =， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03(,]4x x π∈时，'()0f x <， 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03[,]4x π上单调递减.又 (0)0f =，334433()3044f e a e ππππ=->->>, 所以当01a <<时，对于任意的3[0,]4x π∈，()0f x ≥. 综上所述，当1a <时，对任意的3[0,]4x π∈，均有()0f x ≥. .………………….…13分。
2018年北京市各区初三年级数学一模试题分类-圆
目录类型1：圆基础 (2)类型2：圆综合 (4)类型3：新定义问题 (12)类型1：圆基础1.（18延庆一模14）如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，∠AOC =42°，那么∠CDB 的度数为____________．2. （18房山一模5）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 直径，B 为圆上一点，若∠OBC =26°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．26°B ．52°C ．54°D ．56°3.（18西城一模13）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 上一点，∠BOC =50°，AD ∥OC ，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，CD ，那么∠ACD =__________．4.（18朝阳毕业8）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，若∠ADE =110°，则∠AOC 的度数是（ ）A.70°B.110°C.140°D.160°5.（18朝阳一模13）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，OD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，则∠BAD = 度.6.（18海淀一模14）如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 交于点E ，连接AE ，若∠D = 72°，则∠BAE= °.7.（18门头沟一模13）如图，PC 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点P ，AO 交⊙O 于点B ；连接BC ，若∠C=32°，则∠A =______ °．8.（18燕山一模10）在平面直角坐标系xoy 中，点A (4,3) 为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标ODCBA9.（18平谷一模14）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥弦CD 于点E ，若AB =10，CD =8，则BE = ．10.（18石景山一模13）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD AB ⊥于点E ，若⊙O 的半径是5，8CD =，则AE = ．11.（18大兴一模5）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=6，则CD 的长为（ ） A ．3 B．C ．6D． 12.（18丰台一模13）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．如果∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB 的长是 ．13.（18朝阳毕业10）如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.π4125+B.π4123- C.π2125- D.π4125-14.（18东城一模4）如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．3π2C ．2πD ．3πA B类型2：圆综合1.（18平谷一模24）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB=2∠C；（2）若AB=6，3cos5B=，求DE的长．2.（18延庆一模23）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是AD的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．（1）求证：AB BC=；（2）如果AB=5，1tan2FAC∠=，求FC的长．AA 3. （18石景山一模23）如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBEF ∠=∠；（2）若⊙O 的半径是D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．4. （18房山一模22）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG . （1）求证：AB ⊥CD ；（2）若sin ∠HGF ＝，BF ＝3，求⊙O 的半径长.435.（18西城一模24）如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ． （1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）．（2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值．6.（18怀柔一模23）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA =BC ，连结BO 并延长线交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠DBE . （1）求证：BE =CE ；（2）若⊙O 的直径长8，sin ∠BCE =，求BE 的长.45AB C7.（18海淀一模23）如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF AB ⊥于点C ，过点F 作⊙O 的切线交AB的延长线于点D . （1）已知A α∠=，求D ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求⊙O 的半径.8.（18朝阳一模23）如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ． （1）求证：AE ⊥CE ．（2）若AE = ，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．DA9.（18东城一模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是BD的中点.过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接BC. 若AB=5，BC=3，求线段AE的长.10.（18丰台一模23）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：EF ED；（2）如果半径为5，cos∠ABC =35，求DF的长．A 11.（18门头沟一模23）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ． （1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cosD =35，请求出AC 的长．12.（18大兴一模）.已知：如图，在△OAB 中，OA OB =，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D ，且与BO 的延长线交于点E ，连接EC CD ，． （1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长．13.（18顺义一模24）如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；，求AB的长．（2）若⊙O的半径为15，sin∠D＝35 Array14.（18通州一模24）如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点.过点D作⊙O的切线，分别交AC，AB的延长线于点E和点F，连接CD，BD.（1）求证：∠A=2∠BDF;（2）若AC=3，AB=5，求CE的长.15.（18燕山一模25）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cos C =52时，求⊙O 的半径．16.（18朝阳毕业25）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路．类型3：新定义问题1.（18海淀一模8）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线1,3x y ==将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.图1 图2则下面叙述中正确的是（ ）A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等2.（18海淀一模15）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°．x图2图1E A3.（18平谷一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2，0），B （0，2，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1，2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O ，点P 的坐标为(3，m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2. （18延庆一模28）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4） （2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围； （3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围．3.（18石景山一模28）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B 的“确定圆”的示意图．．．．（1）已知点A的坐标为(1,0)-，点B的坐标为(3,3)，则点A，B的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A的坐标为(0,0)，若直线y x b=+上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；（3）已知点A在以(0)P m，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线3y x=+要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．4.（18房山一模28）在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1，1），F （－22 ，－22 ），M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线ky x =（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围.（2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x ,y ，()22B x ,y ，且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.5.（18西城一模28）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点是⊙C 的点”，直接写出b 的取值范围．x6.（18怀柔一模28）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜P A PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”．（1）当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ； ②点P 在直线y =x +b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =x +1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．27.（18海淀一模28）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________； ②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．8.（18朝阳一模28）对于平面直角坐标系xOy中点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=-3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=，求b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．9.（18东城一模28）给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2，22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22N ⎛- ⎝⎭.在A （1，0），B （1，1），)C 三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °；②在第一象限内有一点E),m ，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标；③点F 在直线23y x =-+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 横坐标x F 的取值范围．10.（18丰台一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．11.（18门头沟一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”.（1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图212.（18大兴一模28）在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D，点P是x轴上一动点，连接D P，过点P作DP的垂线交y轴于点E（E 在线段OA上，E不与点O重合），则称 DPE为点D，P,E的“平横纵直角”.图1为点D，P，E的“平横纵直角”的示意图.图113.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N . （1）点N 的横坐标为 ； （2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围； （3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图213.（18顺义一模28）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由； （2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．图12L 1图214.（18通州一模）.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”. （1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ；② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.15.（18燕山一模27）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是（2）抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是（3）抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6.①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由. ,备用图准蝶形AMBABM。
2018北京市各区初三数学一模试题分类——四边形
- 让每一个人同等地提高自我目录种类 1：多边形内角、外角 (2)种类 2：平四与特别平四的性质与判断（解答题） (3)种类 3：几何综合 (9)- 让每一个人同等地提高自我种类 1：多边形内角、外角1.（18平谷一模6）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（）A ．3B．4C．6D．122.（18西城一模6）假如一个正多边形的内角和等于720，那么该正多边形的一个外角等于（）．A．45B．60C．72D．903.（18大兴一模3）已知一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，那么这个多边形的边数是（）A. 3B. 4C．5D． 64.（18 海淀一模 3）．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是B. 5C. 45.（18 怀柔一模 10）若正多边形的内角和为 720°，则它的边数为 ______.6.（18延庆一模10）右图是一个正五边形，则∠ 1 的度数是．7.（18 石景山一模 10）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 _______．1 8.（ 18 东城一模 11）若多边形的内角和为其外角和的 3 倍，则该多边形的边数为 _______.9.（ 18 房山一模 13）一个正方形和两个等边三角形的地点如下图，则∠1+∠2+∠ 3 的度数为 _________．- 让每一个人同等地提高自我种类 2：平四与特别平四的性质与判断（解答题）1.（18 石景山一模 19）问题 :将菱形的面积五均分．小红发现只需将菱形周长五均分，再将各分点与菱形的对角线交点连结即可解决问题．如图，点 O 是菱形 ABCD 的对角线交点， AB 5 ，下边是小红将菱形ABCD 面积五均分的操作与证明思路，请增补完好 .A E B （1）在AB边上取点E，使AE4，连结 OA， OE ；（2）在BC边上取点F，使BF，连结 OF ；H OF（3）在CD边上取点G，使CG，连结 OG；DG C（4）在DA边上取点H，使DH，连结 OH ．因为 AE＋＋＋.可证 S△AOES四边形 EOFB S四边形FOGC=S四边形GOHD= △HOA.S2.（18 平谷一模 22）如图，在□ ABCD中， BF 均分∠ ABC 交 AD 于点 F，AE⊥BF 于点 O，交 BC 于点 E，连结 EF．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）连结 CF，若∠ ABC=60°， AB= 4， AF =2DF ，求 CF 的长．A F DOB E C3（.18 延庆一模 21）如图，Rt△ ABC 中，∠ABC=90°，点 D，F 分别是 AC，AB 的中点，CE∥DB，BE∥DC．（1）求证：四边形DBEC 是菱形；（2）若 AD=3， DF=1，求四边形 DBEC 面积 .CDE3- 让每一个人同等地提高自我3. （18 石景山一模21）如图，在四边形ABCD中，A BCD 90°，2 10，CE ADBC CD于点 E．（1）求证：AE CE ；（2）若tan D 3 ，求AB的长．CBA E D4.（18房山一模 21）如图，在ABC 中，ACB 90，点D , E分别是BC , AB上的中点，连结DE并延伸至点 F ，使EF=2DE，连结CE , AF.（1）证明： AF CE ；（2）若 B 30 ，AC=2，连结BF，求BF的长FAEBDC5.（18 西城一模 21）如图，在△ABD中，ABD ADB ，分别以点 B ， D 为圆心， AB 长为半径在 BD 的右边作弧，两弧交于点 C ，分别连结 BC ， DC ， AC ，记 AC 与BD的交点为 O ．（1）补全图形，求AOB 的度数并说明原因;（2）若AB 5 ，cos ABD 3，求BD的长．5BAD6.（ 18 旭日毕业 23）如图，在菱形 ABCD 中，AC 和 BD 订交于点 O，过点 O 的线段 EF 与一组对边 AB， CD 分别订交于点 E，F．（1）求证： AE=CF；（2）若 AB=2，点 E 是 AB 中点，求 EF 的长．7.（18 怀柔一模 21）直角三角形ABC 中，∠ BAC=90°，D 是斜边 BC 上一点，且 AB=AD ，过点 C 作 CE⊥ AD ，交 AD 的延伸线于点 E，交 AB 延伸线于点 F.（1）求证：∠ ACB= ∠ DCE；（2）若∠ BAD=45°， AF 2+ 2 ，过点 B 作 BG⊥FC 于点 G，连结 DG．依题意补全图形，并求四边形 ABGD 的面积AB DC EF8.（18 海淀一模 21）如图，□ABCD的对角线AC , BD订交于点O，且 AE∥BD，BE∥AC，OE = CD.（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若 AD = 2，则当四边形 ABCD 的形状是 _______________时，四边形AOBE的面积获得最大值是 _________________.C BO ED A9.（18 旭日一模 21）如图，在△ ABC 中， D 是 AB 边上随意一点， E 是 BC 边中点，过点C作 AB 的平行线，交 DE 的延伸线于点 F，连结 BF，CD．（1）求证：四边形 CDBF 是平行四边形；（2）若∠ FDB=30°，∠ ABC=45°，BC=，求DF的长．10.（ 18 东城一模 21）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延伸BA 至点 E，使 AE= AB，连结 DE，AC.（1）求证：四边形ACDE 为平行四边形 ;（2）连结 CE 交 AD 于点 O. 若 AC=AB =3，cosB 1，求线段CE的长. 311.（18 丰台一模 21）已知：如图，菱形 ABCD，分别延伸 AB，CB 到点 F，E，使得 BF = BA，BE = BC，连结 AE，EF， FC， CA．（1）求证：四边形 AEFC 为矩形；（2）连结 DE 交 AB 于点 O，假如 DE⊥AB，AB = 4，求 DE 的长．DA CBE F- 让每一个人同等地提高自我12（.18 门头沟一模 21）在矩形 ABCD 中，连结 AC,AC 的垂直均分线交BC 于点 E、F，连结 CE 和 AF．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若 AB=4，BC=8，求菱形 AECF 的周长．A AC 于点 O,分别交 AD、E DOB F C13.（ 18 大兴一模 21）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，且 DE=OC，CE=OD．（1）求证：四边形 OCED 是菱形；（2）若∠ BAC＝ 30°，AC＝4，求菱形 OCED 的面积．14.（ 18 顺义一模 21）如图，四边形ABCD 中， AD∥BC，∠ A=90°，BD=BC，点 E 为 CD 的中点，射线 BE 交 AD 的延伸线于点 F，连结 CF．（1）求证：四边形BCFD 是菱形；（2）若 AD=1，BC=2，求 BF 的长．A DF EB C15.（ 18 通州一模 22）如图，在平行四边形ABCD 中， DB⊥AB，点 E 是 BC 边中点，过点 E 作EF⊥ CD，垂足为 F，交 AB 的延伸线于点 G.（1）求证：四边形BDFG 是矩形；（2）若 AE 均分∠ BAD，求 tan∠BAE 的值 .16.（ 18 燕山一模 23）如图，在△ ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE ,延伸DE 到点 F，使得 EF=BE，连结 CF．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若∠ BCF=120°，CE=4，求菱形BCFE的面积．AD E FB C种类 3：几何综合1.（28 延庆一模 27）如图 1，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延伸线上一点，连结D E，过点 B作 BF⊥DE 于点 F，连结FC．（1）求证：∠FBC=∠CDF ．（2）作点 C 对于直线 DE 的对称点 G，连结 CG，FG．①依照题意补全图形；②用等式表示线段 DF，BF，CG 之间的数目关系并加以证明．A D A DF FB C E B C E图1备用图2.（ 18 石景山一模 27）在正方形 ABCD 中， M 是 BC 边上一点，点 P 在射线 AM 上，将线段AP 绕点 A 顺时针旋转90°获得线段 AQ，连结 BP， DQ．（1）依题意补全图 1；（2）①连结DP，若点 P， Q，D 恰幸亏同一条直线上，求证：DP2DQ 22AB2；②若点 P，Q，C 恰幸亏同一条直线上，则 BP 与 AB 的数目关系为：．A B A BP M MD C D C图 1备用图3.（18 西城一模 27）正方形ABCD的边长为2，将射线 AB 绕点 A 顺时针旋转，所得射线与线段 BD 交于点 M ，作CE AM 于点E，点 N 与点M对于直线 CE 对称，连结 CN ．（1）如图1，当045时，①依题意补全图 1．②用等式表示NCE 与BAM之间的数目关系：__________．（2）当4590时，研究 NCE 与BAM之间的数目关系并加以证明．（3）当090时，若边 AD 的中点为 F ，直接写出线段 EF 长的最大值．A B A BMD C D C图 1备用图4.（ 18 平谷一模 27）在△ ABC 中，AB=AC ，CD⊥BC 于点 C，交∠ ABC 的均分线于点 D，AE均分∠ BAC 交 BD 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F，连结 DF．（1）补全图 1；（2）如图 1，当∠ BAC=90°时，①求证： BE=DE ；②写出判断 DF 与 AB 的地点关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图 2，当∠ BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．AA DDEEB C B C图1图25.（18 房山一模 27）如图，已知 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠ BAC=30°，点 D 为边 BC 上的点，连结 AD，∠BAD=α，点 D 对于 AB 的对称点为 E，点 E 对于 AC 的对称点为 G，线段 EG 交 AB 于点 F，连结 AE， DE， DG，AG.（1）依题意补全图形；（2）求∠ AGE 的度数（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EG 与 EF，AF 之间的数目关系，并说明原因.AαB D C6.（18 怀柔一模 27）如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，AB=AC ，点 D 是 BC 上随意一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90°，获得线段 AE ，连结 EC.（1）依题意补全图形；（2）求∠ ECD 的度数；（3）若∠ CAE=°，AD=1 ，将射线 DA 绕点 D 顺时针旋转 60°交 EC 的延伸线于点 F，请写出求 AF 长的思路．7（.18 海淀一模 27）如图，已知交OB于点E，点D在（1）当 DP PE 时，求AOB 60 ，点P为射线 OA 上的一个动点，过点P作 PE OB ，AOB 内，且知足 DPA OPE ， DP PE 6.DE 的长；（2）在点P的运动过程中，请判断能否存在一个定点M ，使得DM的值不变？并证明ME你的判断 .ADPO E B8.（18 旭日一模 27）如图，在菱形 ABCD 中，∠ DAB=60°，点 E 为 AB 边上一动点（与点A，B 不重合），连结 CE，将∠ ACE 的两边所在射线 CE，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线 AD 于点 F， G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ ACE=α，求∠ AFC 的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段 AE、 AF 与 CG 之间的数目关系，并证明．129.（18 东城一模 27）已知△ ABC 中， AD 是∠BAC 的均分线，且，过点C作AD的AD=AB垂线，交 AD 的延伸线于点 H．（1）如图 1，若∠BAC60①直接写出 B 和ACB的度数；②若 AB=2，求 AC 和 AH 的长；（2）如图 2，用等式表示线段AH 与 AB+AC 之间的数目关系，并证明．10.（ 18 丰台一模 27）如图， Rt△ABC 中，∠ ACB = 90 °， CA = CB，过点 C 在△ ABC 外作射线CE，且∠BCE = ，点B 对于CE 的对称点为点D，连结AD，BD ，CD，此中AD，BD 分别交射线 CE 于点 M，N.（1）依题意补全图形；（2）当= 30 °时，直接写出∠ CMA 的度数；（3）当 0° < < 45°时，用等式表示线段AM，CN 之间的数目关系，并证明．CEA B11（.18 门头沟一模 27）如图，在△ ABC 中，AB=AC，A2，点D是BC的中点，DE AB于点 E ，DF AC于点 F .（1）EDB_________°；（用含的式子表示）（2）作射线 DM 与边 AB 交于点 M，射线 DM 绕点 D 顺时针旋转1802，与AC边交于点 N．①依据条件补全图形；②写出 DM 与 DN 的数目关系并证明；③用等式表示线段BM 、 CN 与 BC 之间的数目关系，（用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路 .AE FB D C12.（ 18 大兴一模 27）如图，在等腰直角△ ABC 中，∠ CAB=90°，F 是 AB 边上一点，作射线 CF，过点 B 作 BG⊥CF 于点 G，连结AG．（1）求证：∠ ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段 CG，AG，BG 之间的等量关系，并证明．13.（ 18 顺义一模 27）如图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 边上一点，连结AE，延伸 CB 至点 F，使 BF=BE ，过点 F 作 FH⊥AE 于点 H，射线 FH 分别交 AB、CD 于点 M、N，交对角线 AC 于点 P，连结 AF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ FAC=∠APF；（3）判断线段 FM 与 PN 的数目关系，并加以证明．A DCBE14.（ 18 通州一模 27）如图，直线 l 是线段 MN 的垂直均分线，交线段MN 于点 O ，在 MN 下方的直线 l 上取点P，连结 PN .以线段 PN 为边，在 PN 上方作正方形 NPAB .射线MA交直线 l 于点 C ，连结 BC .（1）设∠ONP=，求∠ AMN的度数；（2）写出线段AM， BC 之间的等量关系，并证明.15- 让每一个人同等地提高自我15.（18 燕山一模 28）在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边的中线，DE⊥ BC于E,连结 CD，点 P 在射线 CB 上（与 B，C 不重合）．（1）假如∠ A=30°①如图 1，∠ DCB=°②如图 2，点 P 在线段 CB 上，连结 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60°，获得线段 DF,连结 BF，补全图 2 猜想 CP、BF 之间的数目关系，并证明你的结论；（2）如图 3，若点 P 在线段 CB 的延伸线上，且∠ A= （0°< <90°），连结 DP, 将线段DP 绕点逆时针旋转 2 获得线段 DF，连结 BF，请直接写出 DE、 BF、BP 三者的数目关系（不需证明）．。
2018北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案
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在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
小题，每小题分，共一、选择题共121432 分。
注：第题第一空均为、分，第二空均为680 分。
解答题应写出解答步骤。
三、解答题共小题，共15. 13 分）（本题满分????2?2coscos1??f()23sin（Ⅰ）66662??133?23???2??1???? 222???2·3 ····················································································分f(x)?3sin2x?cos2x（Ⅱ）?)?2sin(2x?6??????x?siny?,2k2?k k?Z，因为函数）的单调递增区间为（??22????????k?2?2x2k??k?Z，令）（226??????kk?x?k?Z，（）解得63??)x(f??]?,k[k?Z?k 1 3····························分（）故的单调递增区间为6313 16.分）（本题满分只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权A112有利于病毒繁殖和传月平均相对湿度：从上表个月，该月甲地空气个月中，随机取出（Ⅰ）设事件A i.月，则用表示事件抽取的月份为第播i},A,A,AAA,A,A,A,,A??{A,A,A,12 个基本事件，共1970468151213},A,A,AA?{A,A,A 6 个基本事件，共196218016?(A)?P. ·4···································································分所以，2126空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月（Ⅱ）在第一季度和第二季度的个月中，甲、乙两地02X126. ，所有可能的取值为月，故份只有，月和2121CCCC18262424???0)?2)?P(XP(X?1)??P(X??，，22215CC15C155666X的分布列为随机变量21X182P1515558%54%M.3 ·······1··········································，最小值为分的最大值为（Ⅲ）17.14 分）（本题满分1 ：（Ⅰ）方法PA OCB ACOBOPO. 由题意的中点为，设，连接AO?BO?CO?11PO?，，2PC?PA?PB??PACPA?PCOAC的中点因为中，在为，PO?AC，所以?POBOB?11PO?，中，在因为，2PB?OB?PO所以AC,OB?OACOB?ABC平面因为，PO?ABC平面所以PO?PAC4·································································平面分因为PACABC?平面平面所以只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权2：方法PA OCBPOBOACO . ，，连接设的中点为ACO?PACPA?PC的中点中，，因为为在AC?PO，所以CO?PCAO?BOPA?PB?POPO?PO?，，因为POC??POB?POA≌≌所以??90POB??POC?POA??所以OBPO?所以?,OBACOOB?ACABC平面，因为ABCPO?平面所以PAC?PO·4 ································································平面分因为ABCPAC?平面所以平面3：方法PAOQCB ACOPO?PACPA?PC，的中点为，因为在，连接中，设PO?AC所以QPQOQ OB AB. 及，的中点，连接设QOB?OABOA?AB的中点因为为在，中，OQ?AB. 所以Q AB?PB?PABPA的中点中，在，为因为PQ?AB. 所以PQOQ?QPQ,OQ?OPQ平面因为，OPQ?AB 平面所以OPQ?OP平面因为只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权BAOP?所以?ACAB,A?ABAC ABC平面因为，ABC?PO平面所以PACPO?··4 ·······························································平面分因为ABCPAC?平面平面所以ACABCOB?PO?，如图建立空间直角坐标系，则，平面（Ⅱ）由zP(0,0,1)?1,0,0)P(1,0,0)B(0,1,0)A(O(0,0,0)C，，，，APCOB?APC(0,1,0)OB?的法向量为平面由，故平面1)(1,0,?(1,?1,0)PC?BC?，由PBC),z?(x,yn，则设平面的法向量为0y?x???0n?BC??得：由?0PC?n?0?x?z??1?y1x?(1,1,1)?n1z?，即，得，令n?OB13??cos?n,OB??3||OBn|?|13?A?PC?B是锐二面角，由二面角3B?A?PC············································9 分所以二面角的余弦值为3?10???BPBN?，则（Ⅲ）设，????)1,,?(?1,0,1)?(1?BM?BC?CM?BC?CP?(1,?1,0)?????),??1,1)(1,1BN?AB?BP?(1,1,0)??(0,?ANAB?令0AN?BM????????)?01)?(11)??(??(1得?1???1?μλ的单调递增函数，是关于即，???11?只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1212??]?][,?[,，时，当53342BN1][,?·4 ······1·································································分所以5BP418. 13分）（本题满分xln?)(xf0a?时，（Ⅰ）当x1xln?x?xln1?故x??f'(x)0?f'(x)e?0?x，得22xx令)ex)(0,f(·4·······················································分故的单调递增区间为ax?ax??ln?lnx1 1 xx：（Ⅱ）方法?)?f'(x22)?a)a(x(x?ax??x)1?lng(令xax?a10??????g'(x)则22xxx1aa1a?0??(?1)?g(e)?1?(1?a?0g(e)?a)?，由0?(x)g0x)?g()x,??xx?(0,x)?(时，时，故当；当00 1?1?aa eee1?a0?(x)g)e?(e,x，故存在00)(0,x),??(xxx000?)xf'(0?)(xf↗↘极大值1?)f(x故02ea?0??lnx1??02?xe?x??0013···················································??，解得故分xln12ea????0??2e a?x?0a2.e的值为故只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1lnx1x?(0,??f(x))x?(0,??)?2，的最大值为，（Ⅱ）方法且存在：的充要条件为对任意的0x?(0,??))??x?(0,2xlnxa?e?的意价于对任得使，，且存在使得，等22e x?a e lnx10?20x?a e02lnx??e xa，00a2xlnx?)g(x?e.的最大值为等价于2e g'(x)??1，x g'(x)?02e?x.，得令)g(x↗↘极大值g(x)222222ee?elne?g(e)?ea?. ·13 ··························，即的最大值为故分1914 分）（（本小题）41???1?22ba??222a?b?c?，（Ⅰ）由题意?c3???e?a2?6?c，，解得：2b??22a22yx C??1·5 ···················································分的标准方程为故椭圆821(x?2)y?1?l1)PTPTQQ(2，的方程为－则点或，点的坐标为直线（Ⅱ）假设直线或，的斜率不存在，21xy??2. 即222?yx??1??822?04?4?x?x，联立方程，得1?x?y?2??2 lC. 相切，不合题意此时，直线与椭圆只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除TPTQ. 的斜率存在故直线和1 ：方法),y)Q(xP(x,y，则设，22111y?12)x:y?1??(TP，直线2x?11y?22)y?1?x?(TQ:直线2x?22??x2x21?2ON?|OM|2?|?|，故1?1yy?2111t?y?xxPQ:?OT:y0?t）由直线，设直线（2222?yx1????28220??tx?2t?x4?2?联立方程，1?t?xy??2?2t2??x?x4?2tx?x?0??，当时，21212x?x?221)(??4?|OM||?|ON1y?y?1212?xx?221)(??4?111?x?t1tx??21221)??4(t2)(x?x)(xx?t?2112?4?1121)t?x)?(?xx?(t?1)(x22112421)t?t)?4(4?(t?2)(?22t???411221)(t?(?2t)?1)(2t?4)?(t??24?4.4 (1)分只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2 ：方法TQ)yx,,y)Q(P(xkk TP和和，直线设的斜率分别为，21122111xPQ:y?x?tOT:y?t?0）由，设直线（2222?yx??1??8222?4?0tx?2?xt?2?联立方程，1?x??ty??22x?x??2tx?x?2t?40??，当时，2121y?1y?121??k?k21x?2x?22111x?t?1x?t?1 2122??x?2x?221xx?(t?2)(x?x)?4(t?1)2211?(x?2)(x?2)212?4?(t?2)(?2t)?2t4(t?1)?(x?2)(x?2)21?0TQ TP的斜率和为零故直线和直线?TMN??TNM故TM?TN故MNMNT2的中点横坐标为在线段故的中垂线上，即|OM|?|ON|?4·14·····································································故分20. 13 分）（本题满分N?N?N?BA”.3 ”“·“···········3 ”“·············数表数表，值分，其（Ⅰ）不是是为aa N?A”“，的值和均是数表（Ⅱ）假设ji,'',ji a?max{a,a,...,a}?max{a,a,...,a}?a'?ii；若，则①'i,j',1',ii,1',2i,2jni,ii',ni a?min{a,a,...,a}?min{a,a,...,a}?a'jj?；若②，则'jj1,''i2,ji,j'1,j',2,jnn,j,j j?j''i?i，则一方面，③若a?max{a,a,...,a}?a?min{a,a,...,a}?a，'ji',''ji,ni,1i,2i,ji,'j1,'2,j,nj另一方面只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除a?max{a,a,...,a}?a?min{a,a,...,a}?a；j1,i',2jii',n',1j2,ji',j',ij',n,i N?N?A”““. ·····8 . ”··················是唯一的值，则其即若数表数表分是矛盾1 ：（Ⅲ）方法A?(a)1931936121.…列的数表行，组成的对任意的由，，，1919i,j?jj)bB?(iiBA列，即如下，将数表的第的第定义数表列的元素写在数表行，第行，第19j,i19?b?a1?j?1919i?1?），（其中jij,i,显然有：31919361B21…列的数表，组成的，①，数表行是由，jjAB列的元素数表行的元素，即为数表②的第的第iiAB 行的元素③列的元素，即为数表数表的第的第j a i A列中的最小值④是第若数表行中的最大值，也是第中，ji,j b i B. 行中的最小值则数表是第中，列中的最大值，也是第ij,C?(c)B362 ，即定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为19?,i19j c?362?b1?j?19191?i?），（其中ii,jj,显然有31919361C21…列的数表数表，是由，①，行，组成的j b i B列中的最小值中，若数表列中的最大值，也是第②是第ij,j c i C列中的最大值中，列中的最小值，也是第是第则数表ij,A?(a)1919336121…列的数表行，，特别地，对由，，组成的1919i,j?31919361C21…列的数表，组成的，，①，数表行是由j a i A列中的最小值②是第若数表行中的最大值，也是第中，ji,j c i C 列中的最大值是第则数表列中的最小值，也是第中，ij,a1?j?19C??A??N??N191?i?””““值，其），则，且其即对任意的值，为（其中ji,1919c?362?b?362?a.为jj,i,iij,C?T(A)T(C)?AC?T(A)N?362A“”，的，即数表值记，则与数表之和为?N?362“”，值中的数表两两配对，使得每对数表的之和为故可按照上述方式对19E(X)?181X. ·3 ·1 ·························································的数学期望故分2 ：方法19,20,21,...,341,342,343X.所有可能的取值为只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除k?19,20,21,...,341,342,343n?kX?A，则中使得的数表，记的个数记作k19181822?C?C?[(18n?19)!].k?k361k?1218182n?19?C?C?[(18)!]?n，则则k?361?k?k1k362343343343????(362?nnk?kn)?k k362k?k19??k?19k19k?)??(EX，???(362?nk)n?k kk19?k19k?E(X)?181362)(2EX???. ·············343343343???nnn kkk19k?19?k?19k343343···13 分故，343343??nn kk19k19?k?只供学习与交流．。
北京市各区2018届中考数学一模试卷精选汇编 解四边形专题
解四边形专题东城区21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC . （1）求证：四边形ACDE 为平行四边形; （2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长.21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ， ∴=AB DC ，AB DC ∥. ∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分 (2) ∵=AB AC ， ∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形. ∴AD ⊥CE . ∵AD BC ∥， ∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC .根据勾股定理，求得=42BC 分 西城区21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ． （1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;（2）若5AB =，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长．BDA【解析】（1）补全的图形如图所示．90AOB ∠=︒． 证明：由题意可知BC AB =，DC AB =， ∵在ABD △中，ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，∴BC DC AD AB ===， ∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴90AOB ∠=︒．（2）∵四边形ABCD 为菱形， ∴OB OD =．在Rt ABO △中，90AOB ∠=︒，5AB =，3cos 5ABD ∠=，∴cos 3OB AB ABD =⋅∠=， ∴26BD OB ==．ABCDO海淀区21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE∥BD ，BE∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是__________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_______.C B EOAD21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =, ∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ………………2分 ∴90BOA ∠=︒. ∴AC BD ⊥.∴平行四边形ABCD 是菱形. ………………3分 (2) 正方形； ………………4分2. ………………5分丰台区21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形；（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．ABCEDF21．（1）证明：∵BF =BA ，BE =BC ，∴四边形AEFC 为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BA =BC .∴BE =BF .∴BA + BF = BC + BE ，即AF =EC .∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB .由（1）知，AD ∥EB ，且AD =EB . ∴四边形AEBD 为平行四边形∵DE ⊥AB ，∴四边形AEBD 为菱形.∴AE =EB ，AB =2AG ，ED =2EG . ………………………4分 ∵矩形ABCD 中，EB =AB ，AB=4， ∴AG =2，AE =4. ∴Rt△AEG 中，EG=23.∴ED=43. ………………………5分 （其他证法相应给分）石景山区21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，210BC CD ==，CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．BA CE D21．（1）证明：（法一）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=︒． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=︒， ∴2D ∠=∠． 又BC ＝CD∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分 （法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略． （2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==，∴10210CD x ==． ∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==．∴624AB HE ==-=． ………………5分 朝阳区21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形； （2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =，求DF 的长．21.（1）证明：∵CF ∥AB ，∴∠ECF ＝∠EBD . ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE .∵∠CEF ＝∠BED ， ∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD .∴四边形CDBF 是平行四边形. ………………………2分（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝24，∴2221==BC BE ，DE DF 2=. 在Rt △EMB 中，2sin =∠⋅=ABC BE EM . ……………………3分在Rt △EMD 中，42==EM DE . …………………4分∴DF ＝8. ………………………………………………………5分燕山区23． 如图，在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的中点，BE=2DE ,延长DE 到点F ，使得EF=BE,连接CF ． （1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若∠BCF =120°，CE=4，求菱形BCFE 的面积．23. （1）证明：∵点 D,E, 是 AB,AC 中点∴DE ∥BC, DE=12BC ……………………….1′EA ABCD E F又BE=2DE,即DE=12BE ∴BC=BE 又EF=BE ∴EF ∥BC, EF=BC∴四边形BCFE 是平行四边形……………………….2′ 又EF=BE∴四边形BCFE 是菱形 ……………………….3′ （2）∵四边形BCFE 是菱形 ∴BC=BE 又∠BCF =120° ∴∠BCE=60°∴△BCE 是等边三角形∴连结BF 交EC 于点O ．∴BF ⊥EC在Rt △BOC 中，BO=32242222=-=-OC BC ……………………….4′322322121=⨯⨯=⋅⋅=∆OC BO S BOC∴∴ ……………………….5′门头沟区21.在矩形ABCD 中，连接AC ,AC 的垂直平分线交AC 于点O ,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和AF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =4，BC =8，求菱形AECF 的周长．21. （1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°，……………………1分 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ， 在△AEO 和△CFO 中，∵∠EAO =∠FCO ，AO =CO ，∠AOE =∠COF ， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ． ……………2分 又∵OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 是菱形；……………3分（2）设AF =x ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AF =CF =x ，BF =8﹣x ， ………………………………………4分在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，42+（8﹣x ）2=x 2，38324=⨯=BCFE S 菱形AB解得 x =5，∴AF =5，∴菱形AECF 的周长为20．…………………5分大兴区21. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且DE=O C ，CE=O D ． （1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若∠BAC ＝30°，AC ＝4，求菱形OCED 的面积． 21.（1）证明：∵DE =OC ，CE =OD ，∴四边形OCED 是平行四边形 ………………………………1分 ∵矩形ABCD ，∴AC =BD ，OC =12AC ，OD =12BD .∴OC =OD .∴平行四边形OCED 是菱形 ………………………………2分（2）解：在矩形ABCD 中，∠ABC =90°，∠BAC =30°，AC ＝4，∴BC =2.∴AB =DC =23.…………………………………………………3分 连接OE ，交CD 于点F . ∵四边形OCED 为菱形， ∴F 为CD 中点. ∵O 为BD 中点，∴OF =12BC =1.∴OE ＝2OF ＝2 …………………………………………………4分∴S 菱形OCED ＝12OE ·CD =12×2×23＝23…………………………………………………5分平谷区21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象与直线y =x +1交于点A （1，a ）．（1）求a ，k 的值； （2）连结OA ，点P 是函数()0ky k x=≠上一点，且满足OP=OA ，直接写出点P 的坐标（点A 除外）．21．解：（1）∵直线y =x +1经过点A （1，a ），∴a =2． ···························· 1 ∴A （1,2）．∵函数()0ky k x=≠的图象经过点A （1，2）， ∴k =2． (2)（2）点P 的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）． (5)怀柔区21.直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，D 是斜边BC 上一点，且AB=AD ，过点C 作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E ，交AB 延长线于点F. (1)求证：∠ACB=∠DCE；(2)若∠BAD=45°，2+2AF =，过点B 作BG⊥FC 于点G ，连接DG ．依题意补全图形，并求四边形ABGD 的面积．21.(1)∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，………………………………1分 ∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠CDE. ∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°. ∵CE⊥AE，∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分 （2）补全图形,如图所示: …………………………3分 ∵∠BAD=45°, ∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°, ∵AE⊥CF, BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.∵AB=AD，∴BG=AD.∴四边形ABGD 是平行四边形. ∵AB=AD∴平行四边形ABGD 是菱形.………………4分DGBEFDH GBEA设AB=BG=GD=AD=x ，∴BF=2BG=2x.∴AB+BF=x+2x=2+2. ∴x=2， 过点B 作BH⊥AD 于H.∴BH=22AB=1. ∴S 四边形ABDG =AD×BH=2. ……………………………………………………………………5分 延庆区21．如图，Rt△ABC 中，∠ABC =90°，点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ． （1）求证：四边形DBEC 是菱形；（2）若AD =3， DF =1，求四边形DBEC 面积.FEDCBA21．（1）在Rt△ABC 中，∵CE //DC ，BE //DC∴四边形DBEC 是平行四边形∵D 是AC 的中点，∠ABC =90°∴BD =DC ……1分 ∴四边形DBEC 是菱形 ……2分 （2）∵F 是AB 的中点∴BC =2DF =2,∠AFD =∠ABC =90° 在Rt△AFD 中,……3分 ∴……4分……5分顺义区21．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，BD =BC ，点E 为CD 的中点，射线BE 交AD的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形BCFD 是菱形；（2）若AD =1，BC =2，求BF 的长．21．（1）证明：∵BD=BC ，点E 是CD 的中点，F EA B CD∴∠1=∠2． …………………………………………………… 1分 ∵AD ∥BC ， ∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．…………………………… 2分 ∴BD=DF ． ∵BD=BC ， ∴DF=BC ． 又∵DF ∥BC ，∴四边形BCFD 是平行四边形． ∵BD=BC ，∴□BCFD 是菱形． …………………………………………………… 3分 （2）解：∵∠A =90︒，AD =1，BD =BC =2，∴AB = ∵四边形BCFD 是菱形，∴DF =BC =2． ………………………………………………………… 4分 ∴AF =AD+DF =3．∴BF == 5分321FEABCD。
第2讲 2018北京九年级数学一模分类---16题(含答案)
第2讲 16题分类1.（海淀）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答：该尺规作图的依据是．1．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.2.（西城）阅读下面材料：在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．已知：直线和直线外的一点P．求作：过点P 且与直线l 垂直的直线PQ ，垂足为点Q P 某同学的作图步骤如下：请你根据该同学的作图方法完成以下推理: ∵PA PB =，APQ ∠=∠__________， ∴PQ l ⊥．（依据：__________）． 2.BPQ ，等腰三角形三线合一 3．已知正方形ABCD .求作：正方形ABCD 的外接圆. 作法：如图，（1）分别连接AC ，BD ，交于点O ;(2) 以点O 为圆心，OA 长为半径作O .O 即为所求作的圆.请回答：该作图的依据是_____________________________________. 3. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义4.（朝阳）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.请回答：该尺规作图的依据是 ．4. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角5.（石景山）小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图， （1）利用刻度尺在AOB ∠的两边OA ，OB 上分别取OM ON =；（2）利用两个三角板，分别过点M ，N 画OM ，ON 的垂线，交点为P ； （3）画射线OP ．则射线OP 为AOB ∠的平分线．请写出小林的画法的依据 ． 5．（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （2）全等三角形的对应角相等．6交∠A的两边于B，C两点；（2）以点C为圆心，BC长为半径作弧，与⊙A交于点D，作射线AD．所以∠CAD就是所求作的角．请回答：该尺规作图的依据是．6．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．或：同圆半径相等，三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．7．（顺义）在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”．小华的做法如下：图3图2图1老师说：“小华的作法正确” ．请回答：小华的作图依据是．7．同圆半径相等，对角线相等且互相平分的四边形是矩形．（或直径所对的圆周角是直角，三个角是直角的四边形是矩形．等等）8．（延庆）某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有____千克种子能发芽．8．8.89. （怀柔）阅读下面材料：小明的作法如下：请回答：该尺规作图的依据是____________________________.9. 到角两边距离相等的点在角平分上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.10（平谷）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是．10．答案不唯一：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；等腰三角形三线合11（门头沟）下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是__________．11.等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义12（大兴）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．13.（房山）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(－3，0) ，B(－1，2) .以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移两个单位，得到△A’O’B’，其中点A’与点A对应，点B’与点B对应. 则点A’的坐标为__________，点B’的坐标为__________．13. (2，3)，(4，1).。