上海市华东师大二附中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
华二附中高一期中数学试卷
2020．11
一、填空题
1．已知集合1,0,1,7A，则集合A的非空真子集的个数为______．
2．不等式
1
23
x
的解集为______．
3．．函数
0
3x
fx
xx
的定义域是______．
4．若3,2,1,0,1,2,3U，210,AxxxZ，13,BxxxZ，则AB______．
5．设集合,T，则下列命题：①T；②T；③T；④T．其中正确的是
______．（写出所有正确命题对应的序号）
6．若集合22215xyxaxaR，则实数a的取值范围是______．
7．如果全集U含有12个元素，P、Q都是U的子集，PQ中含有2个元素，PQ含有4个元素，
PQ
含有3个元素，则P含有______个元素．
8．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，
由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a元、b元、c元，则三次后两人所打酱油的
平均价格较低的是______老师，理由是______（请写出关键的不等式）．
9．对于集合M，定义函数
1
1
M
xM
fx
xM
，对于两个集合A、B，定义集合
1ABABxfxfx，已知集合2Axxx，330Bxxxx
，则
AB
______．
10．已知
1a、2a、3a与1b、2b、3
b
是6个不同的实数，若关于x的方程
123123
xaxaxaxbxbxb
的解集A是有限集，则集合A中最多有______个元素．
二、选择题
11．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）
A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确
12．已知a，bR，则“1a，1b”是“不等式1abab”成立的（）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要
13．已知fx在,xab的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：
①若对任何,xab都有pfx，则p的取值范围是
,M
②若对任何,xab都有pfx，则p的取值范围是
,M
③若关于x的方程pfx在区间,ab有解，则p的取值范围是
,mM
④若关于x的不等式pfx在区间,ab有解，则p的取值范围是
,m
⑤若关于x的不等式pfx在区间,ab有解，则p的取值范围是
,M
其中正确命题的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
14．设集合110Pxax，2220Pxxax，210Qxxxb，
2
2
20Qxxxb
，其中a，bR下列说法正确的是（）
A．对任意a，
1P是2P的子集；对任意的b，1Q不是2
Q
的子集
B．对任意a，
1P是2P的子集；存在b，使得1Q是2
Q
的子集
C．存在a，使得
1P不是2P的子集；对任意的b，1Q不是2
Q
的子集
D．存在a，使得
1P不是2P的子集；存在b，使得1Q是2
Q
的子集
三、解答题
15．设0a，0b，且
11
ab
ab
，证明：
（1）2ab；
（2）
22aa与2
2bb
不可能同时成立．
16．已知集合23210Axxmxm，223120Bxxnx，其中m,nR．
（1）若ABA，求m、n的值；
（2）若ABA，求m、n的取值范围．
17．已知命题P：函数113fxx且faa，命题Q：集合2210,AxxaxxR，
0Bxx
且AB．
（1）若命题P、Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题P、Q均为真命题时的实数a的取值范围；
（3）由（2）得结论，a的取值范围设为集合S，若
,,,0mTyyxxmxx
R
，若TS，求
实数m的范围．
18．2020年初，有一种高危传染病在全球范围内传播，中国东部沿海某市总人口约200万人，根据分析其
中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选
出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的
检测结果为阳性，未被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结
果为阳性，同一检测结果的血样结合后结果不发生改变．
（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分
组内逐个检测排查，设每个组x人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在
当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数是多少？
（2）在上题的检测方案中，对于检测结果为阳性的组取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的
血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，
使检测总次数尽可能少；
（3）在上题的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合
血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．
华二附中高一期中数学试卷
参考答案
一、填空题
1．142．11,,233．03xxx且4．
23，
5．①②③④6．3a7．58．王老师，
2
2
abab
ab
9．,30,13,10．3
二、选择题
11．D12．A13．B14．B
三、解答题
15．（1）证明略；（2）证明略．
16．（1）
122mn或12mn；（2）5,13mnR或21mn或053mn或1
2
2
m
n
．
17．（1）5,47,a；（2）4,7a；（3）0,4m．
18．（1）在最坏情况下，需要进行
6
210
1000x
x
次检测可以找到所有的被感染者，在当前方案下，若要
使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数是45：
（2）第一次每个组159人，第二次每个组13人，可使总次数尽可能少；
（3）进行这样的检测18次，即可得到总次数更少．
2020-2021学年高一数学课时同步练习 第四章 第5节 函数的应用(二)
2020-2021学年高考数学一轮复习 第四章 指数函数与对数函数 第5节 函数的应用（二）一、基础巩固1．（2020·全国高一课时练习）函数ln y x =的零点是（ ） A ．(0,0) B ．0x =C ．1x =D ．不存在【答案】C【解析】函数ln y x =的零点等价于方程ln 0x =的根，∴函数ln y x =的零点是1x =，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是（ ）A ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 【答案】C【解析】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，因此无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点.3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．50y x =B ．50y x =C ．50x y =D ．()*50log y x x N=∈【答案】C 【解析】随x 的增大，指数函数的增长速度最快，∴50x y =的增长速度最快，故选：C.4．（2020·全国高一课时练习）某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：3()360,0T t t t t =-+=表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为（ ）A ．8℃B ．78℃C ．112℃D ．18℃【答案】B【解析】将3t =的值代入解析式可得：3(3)3336078T =-⨯+=， 故选：B.5．（2020·浙江高一课时练习）某研究小组在一项实验中获得一组关于,y t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y 与t 之间关系的是（ ）A ．22y t =B ．2t y =C ．2log y t =D ．3y t =【答案】C【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C ：2log y t =满足题意.故选C. 6．（2020·浙江高一单元测试）利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.96[学3.244.846.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间 （ ）A ．（0.6，1.0）B ．（1.4，1.8）C ．（1.8，2.2）D ．（2.6，3.0）【答案】C【解析】构造f (x )＝2x －x 2，则f (1.8)＝0.242，f (2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f (x )＝2x －x 2＝0，所以方程2x ＝x 2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C 7．（2020·浙江高一课时练习）设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则下列说法中正确的是（ ）． A ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点 【答案】D【解析】由题可知：1()ln (0)3f x x x x =-> 则113()33-'=-=x f x x x若()0,3x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减 若(3,)x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)e 单调递减，又1111ln 1033f e ee e ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，(1)031f =>，1()103f e e =-< 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，在(1,)e 有零点8．（2020·陕西新城�西安中学高二期末（文））若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）【答案】B【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ， 所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B9．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)eD ．(3,4)【答案】B【解析】解：∵()2ln 22ln 201f e =-<-=，()2ln31ln 10f e =->-=，则(1)(2)0f f <， ∴函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在区间是 (1,2)， 当0x >，且0x →时，()()2ln 10f x x x=+-< ()()22ln 1ln 0e e e e f e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->， ACD 中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B 为正确答案. 故选：B.10．（2020·黑龙江松北�哈九中高三三模（文））下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．()1x f x e =- B ．1()f x x x=+ C ．2()f x x x =- D ．22()f x x x=- 【答案】C【解析】根据函数奇偶性的概念可判断A 选项与D 选项所给函数不具有奇偶性； 对于B 选项，1()f x x x=+为奇函数，但不存在零点；对于C 选项，2()f x x x=-为奇函数，且(0f =； 故答案选：C.11．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1ln ,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，()()g x f x ax a =-+，若()g x 恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,B ．(],2-∞C ．[]1,2D ．[)1,+∞【答案】D【解析】()g x 恰有1个零点即()y f x =与y ax a =-的图像恰有一个交点，y ax a =-恒过()1,0点， 由ln y x =得'1y x=，所以曲线ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为1， 由2yx x 得'21y x =-，所以曲线2yx x 在点()1,0处的切线的斜率为1，所以结合图像可知，()g x 恰有1个零点当且仅当1a ≥. 故选：D12．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者90018 50=名.故选：B13．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（）A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【答案】D【解析】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.故选：D.14．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x【答案】D【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =，故选D ．15．（2020·全国高一课时练习）能使不等式22log 2xx x <<一定成立的x 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】作出2log y x =、2y x （红色）、2xy =图像由图像可知，当4x >时，22log 2xx x <<16．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝,x A xx A A<≥(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【答案】D【解析】由题意可得：f （A ）A =15，所以A f （4）4=30， 可得出15A2=30A ，可得A=16从而故答案为D17．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1,2,1,x a m x f x x a m x ⎧⋅->=⎨+-≤⎩其中0a >且1a ≠，若m ∃∈R ，使得函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()0,11,2C ．()()0,12,⋃+∞D ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】令()0f x =，()2,1,2,1,x a x g x x a x ⎧⋅>=⎨+≤⎩，则()g x m =，故问题转化为()y g x =，y m =的图像有两个交点， 显然当01a <<时，()y g x =，y m =的图像有两个交点； 当1a >时，只需22a a +>，解得12a <<； 综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,2，故选：B.18．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））已知函数()34f x x x =-，过点()2,0A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为（ ） A ．()1,8-B ．()()1,88,-⋃+∞C ．()()2,88,-⋃+∞D ．()1,-+∞【答案】B【解析】函数()34f x x x =-，可得()()()322420f -=--⨯-=，设直线l 的斜率为k ，方程为()2y k x =+，由题意可得()()()32422k x x x x x x +=-=+-有三个不等的实根，显然2x =-是其中的一个根，则22k x x =-有两个不等的实根，且2x ≠-，即8k ≠， 由220--=x x k 的>0∆，可得440k +>，解得1k >-， 则k 的范围是()()1,88,-⋃+∞.19．（多选题）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数()2211x f x x-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在[]2,3上的最大值为35D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点 【答案】ABCD【解析】因为()2211x f x x-=+，所以其的定义域为R ， A 选项，()22221()1()1()1----===+-+x x f x f x x x ，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，22221111()111⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x，当[]2,3x ∈，21y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 2321145==-+=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-g f ，()()0001=+=g f ，即()1(0)0-⋅<gg ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；20．（多选题）（2019·山东枣庄�高二期末）有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点 D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 【答案】BD【解析】A. 设幂函数()f x x α=，代入12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到1121()2f x x αα=∴=-∴=，11(3)32f =<故A 不成立；B. 由于x y a =恒过定点(0,1)，因此令10x -=，即1x =时，恒有(1)2f =，即图象恒过定点(1,2)，故B 正确；C.转化212()1log 0f x x x =--=为2121=log x x -函数21y x =-与12log y x =在同一直角坐标系下的图像如图：两个函数只有一个交点，故函数()f x 只有一个零点，C 选项不正确. D.函数2()24f x x x =-+的图像如图所示，(0)(2)4,(1)3f f f ===数形结合，可得若函数在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]，D 选项正确. 故选：BD二、拓展提升1．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）f （x ）＝；（2）f （x ）＝x 2＋2x ＋4；【解析】（1）令3x x +＝0，解得x ＝－3，所以函数f （x ）＝3x x+的零点是x ＝－3． （2）令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f （x ）＝x 2＋2x ＋4不存在零点．2．（2020·全国高一）函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，求函数g （x ）＝ax 2－bx －1的零点．【解析】因为函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，所以123122a a b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨-=⨯=-⎩⎩， 所以g （x ）＝3x 2＋2x －1，令()0g x =，解得1x =-或13， 故函数g （x ）的零点为－1和13． 3．（2020·上海浦东新�华师大二附中高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【解析】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-， ()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，只需0x >时，()f x m =有两个解，当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--， 所以10m -<<4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P 万件满足P ＝3﹣21x +（其中0≤x ≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本（10+2P ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+20P ）万元/万件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）当促销费用为x 万元时， 付出的成本是：210231x x ⎛⎫++- ⎪+⎝⎭ 销售收入是：220342131x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫-⨯+ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-+⎝⎭， 故220234102321131y x x x x ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪-+⎝⎭ 整理可得4161y x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，0≤x ≤2. （2）根据（1）中所求，416111611y x x ⎛⎫⎛⎫=-++-≤- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭16313=-=，当且仅当1x =时取得最大值.故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.5．（2019·浙江高一期中）已知函数()()(23)6f x x a x =-+-（Ⅰ）若1a =-，求()f x 在[3,0]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）若关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）若1a =-，则22549()(1)(23)62532()48f x x x x x x =++-=+-=+-， 因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为：54x =-；又[3,0]x ∈-， 所以函数()f x 在53,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在5,04⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增； 因此min 549()()48f x f =-=-；又(3)0f -=，(0)3f =-， 所以max ()(3)0f x f =-=；（Ⅱ）由关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，可得方程22(32)380x a x a +--+=有两个不相等正根， 则2(32)8(38)032023802a a a a ⎧⎪∆=---+>⎪-⎪>⎨-⎪-+⎪>⎪⎩，解得5823a <<． 26．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知函数221,2()121.2x x x f x x x a x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++- ⎪⎪⎝⎭⎩（1）若1a =，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 在[)1-+∞，上为增函数，求a 的取值范围. 【解析】（1）当12x >时，由20x x-=，得x =；当12x ≤时，由220x x +=得0x =或2x =-.∴1a =时，函数()f x 的零点为-2，0. （2）函数()g x x x 2=-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，且1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 函数()221h x x x a =++-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，且1124h a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若()f x 在[-1，+∞）上为增函数，则1742a +-，∴154a -.。
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___9.（填空题，4分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则T nn的最小值___ ．10.（填空题，4分）在等差数列{a n}中，若S10=100，S100=910，S110=___ ．11.（填空题，4分）设函数f（x）= {|sinx|，x＜02x，x≥0，函数g（x）= {lg(−x)，x＜0x2，x≥0，则方程f（x）=g（x）根的数量为___ 个．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √3216.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π317.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定19.（单选题，3分）已知函数f(x)=−2tan(π2x+π3)，下列说法中错误的是（）A.函数f（x）的定义域是{x|x≠2k+13，k∈Z}B.函数f（x）图象与直线x=2k+13，k∈Z没有交点C.函数f（x）的单调增区间是(−53+2k，13+2k)，k∈ZD.函数f（x）的周期是220.（单选题，3分）函数y=cos（2x+ π3），x∈[0，π2]的值域为（）A.[0，1]B.[-1，12]C.[- √32，12]D.[- 12，12]21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1]22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π23.（单选题，3分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ 2π3），则下面结论正确的是（）A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C224.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π325.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+127.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28.（单选题，3分）已知函数f（x）=asinx+cosx的一条对称轴为x= π，则函数g（x）11=sinx-acosx的一条对称轴可以为（）A.x= 9π22B.x= 13π22C.x= 10π11D.x= 13π1129.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30.（单选题，3分）已知等差数列{a n}、{b n}，其前n项和分别为S n、T n，a nb n =2n+33n−1，则S11T11=（）A. 1517B. 2532C.1D.231.（单选题，3分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若存在m∈N+满足S2mS m =9，a2ma m=5m+1m−1，则数列{a n}的公比为（）A. √2B.2C.3D.432.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞033.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1＜0，给出下列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.435.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π）=13-94√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用反正弦函数的计算法则即可求解结论．【解答】：解：因为2arcsin（54 x-2）= π3，所以sin[arcsin（54 x-2）]= 12，即54 x-2= 12，所以x=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反三角函数的应用，反三角函数的运算法则，考查计算能力，是基础题．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差．【解答】：解：a6=17，即为a1+5d=17，a3，a11，a43成等比数列，可得a3a43=a112，即为（a1+2d）（a1+42d）=（a1+10d）2，化为2d=3a1，解得a1=2，d=3，故答案为：3．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用等比数列的性质求得a2a5与a3a4，再利用对数的运算法则求出结果．【解答】：解：∵a1a6=4，∴由等比数列的性质可得：a2a5=a3a4=4，∴log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2（a2a3a4a5）=log216=4．故填：4．【点评】：本题主要考查等比数列的性质与对数的运算，属于基础题．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．【正确答案】：[1]765【解析】：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出．【解答】：解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列．令100=2+7（n-1），解得n=15．∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和= 15×(2+100)2=765．故答案为：765．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由已知的等式，可得sinAsinBcosC=sin2C，然后根据正弦定理化简得出abcosC=c2，再由余弦定理求出cosC代入化简，即可求出m的值．【解答】：解：∵ cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，∴sinAsinBcosC=sinC•sin（A+B）=sin2C根据正弦定理上式可化简为：abcosC=c2①根据余弦定理可知cosC= a 2+b2−c22ab②由① ② 得a2+b2=3c2∵a2+b2=mc2∴m=3故答案为：3．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，把角的关系转化为边的关系，是解题的关键．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．【正确答案】：[1]120【解析】：由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，由此能求出S16．【解答】：解：∵等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，S4=8，S8=24，由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，∴8，24-8，S12-24，S16-S12成等比数列，∴S12-24=32，S16-S12=64，解得S12=56，S16=120．故答案为：120．【点评】：本题考查等比数列的前16项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．【解答】：解：由题意，可知：f（x）=3sinx+4cosx=5•（35 sinx+ 45cosx）=5sin（x+θ），其中sinθ= 45，cosθ= 35．∵sinθ= 45，可知sin π4= √22≤45≤1=sinπ2，∴ π4≤θ≤π2对于函数f（x）=5sin（x+θ），可知：sinx向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）-f（x2）的最大值就是求函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x= π2−θ时，f（x）取最大值5，当x=π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）=-5sinθ=-4．∴在区间[0，π]上，f（x1）-f（x2）的最大值是5-（-4）=9．故答案为：9．【点评】：本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识，本题要特别注意细节点不能粗心大意．属中档题．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___【正确答案】：[1]18【解析】：根据三角形面积公式找到a，c的关系，结合基本不等式即可求得最小值．【解答】：解：根据题意，S△ABC= 12 acsinB= 12ac，因为∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，所以S△ABD= 12×BD×c×sin∠ABD=c，S△CBD= 12×BD×a×sin∠CBD=a，而S△ABC=S△ABD+S△CBD，所以12 ac=c+a，化简得2a+2c=1，则a+4c=（a+4c ）（ 2a + 2c ）=10+2a c+8c a ≥10+2 √2a c×8ca=18， 当且仅当a=2c ，即c=3，a=6时取等号，即最小值为：18． 故答案为：18．【点评】：本题考查了三角函数面积公式的应用，基本不等式在求最值中的用法，属于难题．9.（填空题，4分）已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则 Tnn 的最小值___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式，然后利用分组求和法进行求和．【解答】：解：数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，易知数列{a n }为等差数列． ∴a n =S n -S n-1=2n 2-12n-2（n-1）2-12（n-1）=4n-14， n≥4时，a n ＞0； n≤3时，a n ＜0．∴T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+…|a n |=-a 1-a 2-a 3+a 4+…a n ， ∴ T n ={−S n =−2n 2+12n ，n ≤3S n −2S 3=2(n 2−6n +18)，n ≥4，n≤3时， T nn=−2n 2+12nn=−2n +12 ，当n=3时， Tnn 的最小值为-2×3+12=6；n≥4时， Tnn =2(n 2−6n+18)n= 2(n +18n−6) ，∵n∈N *，n=4时， Tnn 的最小值为 2(4+184−6)=5 ．综上所述，则 Tnn 的最小值是5．故答案为：5．【点评】：本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，以及含绝对值的前n 项和的求解，做题时注意n 必须为正整数，属于中档题．10.（填空题，4分）在等差数列{a n }中，若S 10=100，S 100=910，S 110=___ ． 【正确答案】：[1]990【解析】：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10=100，S 100=910，利用求和公式可得：10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992d=910，解得a 1，d ，即可得出．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 10=100，S 100=910， ∴10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992 d=910， 解得a 1= 1009100 ，d=- 150 ， S 110=110× 1009100 - 150 × 110×1092=990， 故答案为：990．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.（填空题，4分）设函数f （x ）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 ，函数g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0，则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___ 个． 【正确答案】：[1]7【解析】：分别作函数f （x ）与g （x ）的图象，转化为图象的交点，从而利用数形结合的方法求解．【解答】：解：作函数f （x ）=）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 与g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0的图象如下，，结合图象可知，y=|sinx|与y=lg （-x ）在（-∞，0）上有5个交点， 在[0，+∞）上，y=x 2与y=2x 有两个交点， 分别为（2，4），（4，16）；故方程f （x ）=g （x ）根的个数为7个； 故答案为：7．【点评】：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，注意基本初等函数的图象的作法及图象变换．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．【正确答案】：[1]3【解析】：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．可得：a2kb k =14+ 152k+1，进而得出结论．【解答】：解：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=n（7n+36）-（n-1）（7n+29）=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．a2k b k = 28k+292k+1=14+ 152k+1，只有2k+1=3，5，15，即k=1，2，7时，使得a2kb k为整数．故答案为：3．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、整除理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：由题意可得，化简，n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，解得即可．【解答】：解：由题意可得：S n=na1+ n(n−1)2d，a n＞0，√S n = √a1 +（n-1）d，可得：S n=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．∴na1+ n(n−1)2d=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，可得：a1=d2+2 √a1 d-d，a1=2d2+2 √a1 d- 32d．解得a1= 14，d= 12．∴S6=6× 14 + 12×5×6× 12=9．故答案为：9【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．【正确答案】：[1]1005【解析】：令a1=m，a201=n，将M=a201+a202+a203+…+a401转化为求关于m和n的式子最值，根据圆与直线的位置关系，求得32n−12m的最值，代入即可得结果．【解答】：解：∵a12+a2012≤10，令a1=m，a201=n，即m2+n2≤10，等差数列{a n}中，d= n−m200，M=a201+a202+a203+…+a401=（401-201+1）• a201+a4012=201a301=201（m+300d）=201（m+300 •n−m200）=201（m+ 3n2−32m）=201（32n−12m），令p= 32n−12m，则m-3n-2p=0，可得圆m2+n2=10上一点（m，n）也在直线m-3n-2p=0，即圆心到直线m-3n-2p=0的距离小于等于半径，∴ d=√12+(−3)2≤r=√10，解得p≤5，∴M=a201+a202+a203+…+a401≤201×5=1005．故答案为：1005．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了点到直线的位置关系，属于综合考查类题目，需要学生有综合分析的能力和转化的思想，属于中档题．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √32【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的性质和三角函数的诱导公式即可求出．【解答】：解：∵{a n}为等差数列，∴a1+a9=2a5，∵a1+a5+a9=5π，∴3a5=5π，∴a5= 5π3，∴cos（a2+a8）=cos（2a5）=cos 10π3 =- 12故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质和三角函数的诱导公式是解题的关键．16.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π3【正确答案】：A【解析】：由B，A，C成等差数列，利用三角形内角和定理求出A的值，再利用正弦定理求出sinB和B的值．【解答】：解：△ABC中，由B，A，C成等差数列，则2A=B+C=π-A，解得A= π3；所以sinB= bsinAa = 2√3×√326= 12，又a＞b，所以B为锐角．所以B= π6．故选：A．【点评】：本题考查了正弦定理与等差数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}【正确答案】：D【解析】：运用等差数列的定义和通项公式，对选项一一判断差是否为常数，即与n无关，即可判断．【解答】：解：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），对于A，由λa n+1-λa n=λ（a n+1-a n）=λd为常数，则该数列为等差数列；对于B，由a n+1+b n+1-a n-b n=（a n+1-a n）+（b n+1-b n）=2d为常数，则该数列为等差数列；对于C，由a n+12-b n+12-（a n2-b n2）=（a n+1-a n）（a n+1+a n）-（b n+1-b n）（b n+1+b n）=d（2a1+（2n-1）d）-d（2b1+（2n-1）d）=2d（a1-b1）为常数，则该数列为等差数列；对于D，由a n+1b n+1-a n b n=（a n+d）（b n+d）-a n b n=d2+d（a n+b n）不为常数，则该数列不为等差数列．故选：D．【点评】：本题考查等差数列的定义和通项公式，注意定义法的运用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理求得sinB 的值，再根据三角函数的有界性判断B 的值不存在，即三角形无解．【解答】：解：△ABC 中，a=15，b=24，A=60°， 由正弦定理得， 15sin60° = 24sinB ， ∴sinB= 85 sin60°= 85 × √32 ≈1.39＞1， ∴B 的值不存在，此三角形无解． 故选：C ．【点评】：本题考查了利用正弦定理解三角形的应用问题，是基础题．19.（单选题，3分）已知函数 f (x )=−2tan (π2x +π3) ，下列说法中错误的是（ ） A.函数f （x ）的定义域是 {x|x ≠2k +13，k ∈Z} B.函数f （x ）图象与直线 x =2k +13，k ∈Z 没有交点 C.函数f （x ）的单调增区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z D.函数f （x ）的周期是2 【正确答案】：C【解析】：利用正切函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）=-tan （ π2 x+ π3 ），则 π2 x+ π3 ≠ π2 +kπ，k∈Z ；∴函数的定义域为{x |x≠2k+ 13 ，k∈Z}；故A 正确；B 正确；函数f （x ）的单调减区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z ，故C 错误； 函数f （x ）的周期是T= ππ2=2，故D 正确．所以说法错误的是：C ； 故选：C ．【点评】：本题主要考查正切函数的图象和性质，命题真假判断，属于中档题． 20.（单选题，3分）函数y=cos （2x+ π3 ），x∈[0， π2 ]的值域为（ ） A.[0，1] B.[-1， 12 ] C.[- √32 ， 12 ]D.[- 12，12]【正确答案】：B【解析】：先根据x的范围，求出2x+ π3的范围，再借助于余弦函数的性质即可求解结论．【解答】：解：∵x∈[0，π2]，∴2x+ π3∈[ π3，4π3]，∴y=cos（2x+ π3）∈[-1，12]．故选：B．【点评】：本题考查了余弦函数的定义域和值域的求法，属于基础题．21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1] 【正确答案】：D【解析】：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数．【解答】：解：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，故函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为y=π-arcsinx，x∈[-1，1]，故选：D．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π【正确答案】：C【解析】：由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A= π4 ，利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径即可求△ABC 外接圆的面积．【解答】：解：∵△ABC 的面积为S ，且4S=b 2+c 2-4，a=2， ∴可得：4S=b 2+c 2-a 2，∴4× 12bcsinA=2bccosA ，可得：tanA=1， ∵A∈（0，π）， ∴A= π4 ，∴则△ABC 外接圆的半径R= a2sinA =2×√22= √2 ，∴则△ABC 外接圆的面积S=πR 2=2π． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．23.（单选题，3分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+ 2π3 ），则下面结论正确的是（ ）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2 【正确答案】：D【解析】：利用诱导公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：曲线C2：y=sin（2x+ 2π3）=cos（2x+ π6），把C1：y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=cos2x的图象；再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可以得到曲线C2：y=cos（2x+ π6）=sin（2x+ 2π3）的图象，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．24.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π3【正确答案】：B【解析】：由题意可得函数的半周期，代入周期公式求得ω，再利用正弦函数的单调性，结合φ的范围即可求得φ值．【解答】：解：对于函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2．∴ T 2 = π2，则T=π，∴ω= 2πT = 2ππ=2，可得f（x）=2sin（2x+φ），又∵f（x）=2sin（ωx+φ）的图象关于直线x= π6对称，∴2× π6+φ=2kπ+ π2，k∈Z，可得φ=2kπ+ π6，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴φ= π6，故选：B．【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于基础题．25.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定【正确答案】：C【解析】：等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），求出a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=12，由a1，a2，a3是等比数列，解得m=-1，从而a n=3×2n-1．进而a n2=9×4n-1，由此能求出a12+a22+…+a n2．【解答】：解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），∴a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=3（22+m）-3（2+m）=6，a3=S3-S2=3（23+m）-3（22+m）=12，∵a1，a2，a3是等比数列，∴ a22=a1a3，∴36=12（6+3m），解得m=-1，∴a n=3×2n-1．∴ a n2 =9×4n-1，=3（4n-1）．则a12+a22+…+a n2= 9(1−4n)1−4故选：C．【点评】：本题考查等比数列的各项的平方的和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+1【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的前n项和即可得出S n，再利用“裂项求和”即可得出数列 { 1S n}的前n项和．【解答】：解：∵S n=4n+ n(n−1)2×4 =2n2+2n，∴ 1 S n =12n2+2n=12(1n−1n+1)．∴数列 { 1S n }的前n项和= 12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)] = 12(1−1n+1) = n 2(n+1)．故选：A．【点评】：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键．27.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负【正确答案】：A【解析】：由函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，可得：f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵由列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据a1+a315=2a158＞0，可得f（a1）+f（a315）＜0．……，进而得出结论．【解答】：解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，∴f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵数列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据 a1+a315=2a158＞0，∴f（a1）+f（a315）＜0．同理可得，f（a2）+f（a314）＜0，f（a3）+f（a313）＜0，…，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a315）＜0，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质、函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28.（单选题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π11 ，则函数g （x ）=sinx-acosx 的一条对称轴可以为（ ） A.x= 9π22 B.x= 13π22 C.x= 10π11 D.x=13π11 【正确答案】：B【解析】：利用辅助角公式分别将f （x ）和g （x ）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．【解答】：解：f （x ）= √a 2+1 （ √a 2+1sinx+√a 2+1cosx ），令cosθ=√a 2+1，sinθ=√a 2+1则f （x ）= √a 2+1 （sinxcosθ+cosxsinθ）= √a 2+1 sin （x+θ）， ∵f （x ）的一条对称轴为x= π11， ∴ π11+θ=kπ+ π2，即θ=kπ+ 9π22 ，k∈Z ， g （x ）=sinx-acosx= √a 2+1 （ √a 2+1sinx-√a 2+1cosx ）= √a 2+1 （sinxsinθ-cosxcosθ）=-√a 2+1 cos （x+θ）， 由x+θ=mπ，m∈Z ，得x=mπ-θ=mπ-kπ+ 9π22 =（m-k ）π- 9π22 ，m ，k∈Z ， 当m-k=1时，对称轴为x=π- 9π22 = 13π22 ， 故选：B ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．29.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸D.四尺五寸 【正确答案】：B【解析】：由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【解答】：解：由题意可知，日影长构成等差数列，设为{a n }， 则 {a 1+a 4+a 7=31.59a 1+36d =85.5解可得，d=-1，a 1= 272 ， 根据题意即求a 12= 272−11 =2.5 故选：B ．【点评】：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题求解中的应用，属于基础试题．30.（单选题，3分）已知等差数列{a n }、{b n }，其前n 项和分别为S n 、T n ， a n b n=2n+33n−1 ，则 S11T 11=（ ） A. 1517B. 2532C.1D.2【正确答案】：A 【解析】：S 11= 11(a 1+a 11)2 =11a 6，同理可得：T 11=11b 6．即可得出 S 11T 11 = a 6b 6．【解答】：解：S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6， 同理可得：T 11=11b 6． ∴S 11T 11 = 11a 611b 6 = a 6b 6 = 2×6+33×6−1 = 1517． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31.（单选题，3分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m∈N +满足 S 2m S m=9， a2m a m=5m+1m−1，则数列{a n }的公比为（ ）A. √2B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可得出．【解答】：解：设等比数列{a n}的公比为q．当公比q≠1时，∵存在m∈N+满足S2mS m=9，∴ a1(q2m−1)q−1a1(q m−1)q−1=9，∴q m+1=9，∴q m=8．又a2ma m = 5m+1m−1，∴ a1q2m−1a1q m−1= 5m+1m−1，即q m= 5m+1m−1=8，解得m=3．∴q3=8，解得q=2．q=1不满足题意．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞0【正确答案】：C【解析】：利用等比数列的性质直接求解．【解答】：解：由数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，知：在A中，若a1+a2＞0，则a1+a3可能小于0，例如等差数列-3，6，-12，24，……中，a1+a2=-3+6=3＞0，则a1+a3=-3-12=-15＜0，故A错误；在B中，若a1+a3＞0，则a1+a2可能小于0，例如等差数列3，-6，12，-24，……中，a1+a3=3+12=15＞0，则a1+a2=3-6=-3＜0，故B错误；＞0，在C中，∵a1＞0，∴当q＜0时，S2021= a1(1−q2021)1−q＞0，当0＜q＜1时，S2021= a1(1−q2021)1−q当q=1时，S2021=2021a1＞0，＞0，故C正确；当q＞1时，S2021= a1(1−q2021)1−q有可能小于或等于0，在D中，∵a1＞0，∴当q≠1时，S2020= a1(1−q2020)1−q=0，例如q=-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q＜0，故D错误．q＜-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1＜0，给出下a2020−1列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：B【解析】：由题意可得a2019＞1，a2020＜1，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．＜0，【解答】：解：∵a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故① 正确；a2019a2021= a20202＜1，∴a2019a2021-1＜0，故② 不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③ 正确；T4039=a1a2•…•a4038•a4039= a20204039＜1，T4038=a1a2•…•a4037•a4038= (a2019a2020)2019＞1，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④ 不正确．∴正确结论的序号是① ③ ．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：根据等差，等比数列的定义即可判断各选项的真假．【解答】：解：对于① ，设数列{a n}的首项为a1（a1≠0），公差为d，公比为q（q≠0），依定义有，2a2=a1+a3，即2a1q=a1+a1q2，解得q=1，所以① 正确；对于② ，若公差d＞0，等差数列{a n}是递增数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，若公差d＜0，等差数列{a n}是递减数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，所以d=0，即② 正确；）n，满足|a n|≤2020，但是数列{a n}不是常数列，所以③ 对于③ ，若等比数列{a n}，a n=（12错误；对于④ ，若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，设公比为q（q＞0），当0＜q＜1时，等比数列为递减数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＜1，当q＞1时，等比数列为递增数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＞2020，所以q=1，即④ 正确．故选：C．【点评】：本题主要考查数列的定义，单调性的应用，以及无穷数列的性质应用，属于中档题．）=13-9 35.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π4√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】：时f（x）的值，从而解得a的值；【解析】：（1）计算x= 9π4（2）根据f（x+π）=f（x），求得f（x）的一个周期为π，再结合反证法证明π是最小正周期；（3）根据f（x）的最小正周期为π，先分类讨论求出函数在一个周期内有多少个零点，进而分析判断求解．【解答】：解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，，得√2 a+4+9=13-9 √2，解得a=-9；令x= 9π4（2）f（x+π）=-9[|sin（x+π）|+|cos（x+π）|]+4sin2（x+π）+9=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9=f（x），所以，π是函数f（x）的一个周期．下证π是 f（x）的最小正周期：（反证法），假设存在 0＜T＜π，使得 f（x+T）=f（x）对x∈R 恒成立，取 x=0，则 f（T）=f（0）=0，即 4sin2T+9-9（|sinT|+|cosT|）=0（*）)，t∈[1，√2]，则sin2T=t2-1令t=sinT+cosT=√2sin(T+π4；于是（*）式即 4（t2-1）+9-9t=0，解得 t=1 或t=54，由 t=1，可解得T=π2由t=54可解得T=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或T=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当T∈(π2，π)时，4sin2T+9-9（sinT-cosT）=0 令t=sinT−cosT=√2sin(T−π4)，t∈(1，√2]，则sin2T=1-t2，于是（*）式即 4（1-t2）+9-9r=0，解得 t=1 （舍）或t=−134（舍）∴T 的可能值为T=π2或T=arcsin5√28−π4或T=3π4−arcsin5√28，检验：① T=π2时，f(π4)=13−9√2，f(−π4)=5−9√2≠f(π4)，∴ T=π2不是 f（x）的周期，② T=arcsin5√28−π4时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18cosT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=arcsin5√28−π4不是 f（x）的周期；③ T=3π4−arcsin5√28时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18sinT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=3π4−arcsin5√28不是 f（x）的周期；假设不成立，故π是 f（x）的最小正周期．（3）当x∈[0，π2]时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx+cosx）令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，t∈[1，√2]，则sin2x=t2-1于是 f（x）=0⇒4t2-9t+5=0，得 t=1 或t=54∈[1，√2]由 t=1，可解得 x=0 或x=π2，由t=54，可解得x=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或x=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当x∈(π2，π)时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx-cosx）令t=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，t∈(1，√2]，则sin2x=1-t2，于是 f（x）=0⇒4t2+9t-13=0，得 t=1 或t=−134∉(1，√2]，∴f（x）=0 在x∈(π2，π)无解综上，f（x）=0 在[kπ，kπ+π2](k∈Z)上有4个根，在[kπ，kπ+π）（k∈Z）上有4个根，在[kπ，kπ+π]（k∈Z）上有5个根，而 2020=4×505，∴f（x）=0 在[0，1009π2]内有2020个根，在[0，505π]内有2020个根，在[0，505π]内有2021个根由题意，1009π2＜nπ4⩽505π⇒2018＜n⩽2020，又n∈N*∴n=2019 或 n=2020．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，分别令n=1，n=2，运用等差数列的通项公式可得a1，d，由等差数列的求和公式可得所求和；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，由等比数列的通项公式和等差数列的性质，可得q=1，求得b n，进而得到所求和；（3）设数列{a n}的公比为q1，数列{b n}的公比为q2，分别令n=1，2，3，运用等比数列的通项公式和性质，转化为a1，q1的方程，将上式中的a1看做常数，q1为变量，方程（*）的根或是相等的实根，或其中一个为0，求得首项和公比，运用等比数列的通项公式，化简整理，可得所求项．【解答】：解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，可得b1-a1=2，b2-a2=4，T1=4S1，即b1=4a1，解得a1= 23，b1= 83，T2=4S2，即b1+b2=4（a1+a2），即83 +4+a2=4（23+a2），解得a2= 43，即d=a2-a1= 23，可得a n= 23 + 23（n-1）= 23n，则S30= 12×30×（23+ 603）=310；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，b n-a n=2n，a1=1，可得a n=q n-1，b n=2n+q n-1，则q=1，（若q≠1，则{b n}不为等差数列）则b n=2n+1，T30= 12×30×（3+61）=960；。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)
若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；
若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；
若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．
故选A．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
∴
因为
∴
综上所述， 中最小角为 ，故选B.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角 平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中球O的半径为1，线段 的长度为 ，求得 ，求出弧AB的长度，即可得出答案.
【详解】解：因为球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段 的长度为 ，
在 中， ，
又 ，则 ，
所以A､B两点的球面距离为 .
故答案为： .
5.正方体 中，异面直线 和 所成角的大小为________
所以 取 ，得 .
易知平面 的法向量为 .
由二面角 是锐角，得 .
所以二面角 的余弦值为 .
（3）解：假设存在满足条件的点 .
因为 在线段 上， ， ，故可设 ，其中 .
2.1.2指数函数及其性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典(人教A版必修1)
专题2.1.2 指数函数及其性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x = ） A ．(2,)-+∞ B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,2)-∞-【答案】B【解析】要使函数有意义，需满足2113027x --≥，即：21333x --≥，因为3xy =为增函数，所以213x -≥-，解得：1x ≥-.2．（2020·浙江高一课时练习）函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】D【解析】由二次函数的性质可知222(1)1[1,)x x x -=--∈-+∞，因此221(0,2]2x xy -⎛⎫=∈⎪⎝⎭，即函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,2].3．（2020·安徽高一月考）若函数xy a b =-，（0a >，且1a ≠）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（ ） A ．01a <<且1b > B ．1a >且1b > C ．01a <<且1b < D ．1a >且1b <【答案】B【解析】根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y ＝a x ﹣（b +1）（a ＞0且a ≠1）的图象经过第一、三、四象限，则函数为增函数，∴a ＞1，且f （0）＜0，即f （0）＝1﹣b ＜0，解得b ＞1．4．（2020·上海华师大二附中高一期末）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．5．如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【答案】C【解析】根据函数()1()2x f x =在R 是减函数，且1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10b a >>>，所以a ab a b a <<，故选C .6．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f(1)=得a 2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x -4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.7．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是 A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x ) D ．与x 有关，不确定【答案】A【解析】∵f （1+x ）＝f （1﹣x ），∴f （x ）图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2．又f （0）＝3，∴c ＝3． ∴f （x ）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f （3x ）≥f （2x ）． 若x ＜0，则3x ＜2x ＜1，∴f （3x ）＞f （2x ）．∴f （3x ）≥f （2x ）． 8．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当01a <<时，2x y a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值202155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以2021551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C 选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2xy a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值2021524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意.故选：D.9．（2020·河南高一月考）已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（ ） A ．35B ．35C ．1D ．-1【答案】A 【解析】()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且()()2x g x h x -=①，()()()()2x g x h x g x h x -∴---=+=②①②两式联立可得()222x x g x -+=，()222x x h x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ----≤==-+++，∵2141xy =-+在[]1,1x ∈-为增函数，∴max231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选：A. 10．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列五个关系式：①0<b<a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b.其中，不可能成立的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作y ＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与y ＝13x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象．当a ＝b ＝0时， 1123a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当a<b<0时，可以使1123a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当a>b>0时，也可以1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.故选B.11．（2020·四川西昌高一期末）已知函数()228f x x x =+-，则不等式()13516x f --≤的解集是（ ）A ．[]1,3B ．[]1,9C ．[)1,∞D ．(],3-∞【答案】A【解析】函数()228f x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且()()()222828f x x x x x f x -=-+--=+-=，该函数为偶函数，当0x ≥时，()()222819f x x x x =+-=+-，该函数在区间[)0,+∞上为增函数，由()13516x f --≤，得()()1354x f f --≤，1354x -∴-≤，即14354x --≤-≤，得1139x -≤≤，可得012x ≤-≤，解得13x ≤≤.因此，不等式()13516x f --≤的解集是[]1,3.12．（2020·广东濠江金山中学高一期末）已知函数2()33x xf x -=+，则（ ）A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于y 轴对称【答案】C【解析】930,xt y t t =>=+，根据对勾函数的图像特征，9y t t=+在(0,3)单调递减，在(3,)+∞单调递增，3x t =在R 上单调递增，根据复合函数的单调性可得，当(0,3)t ∈，即(,1)x ∈-∞，函数2()33x x f x -=+单调递减，当(3,)t ∈+∞，即(1,)x ∈+∞，函数2()33x x f x -=+单调递增，所以选项A,B 错误； 由22(2)2(2)3333()xx x x f x f x -----=+=+=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，选项C 正确；由82(1)6,(1)3f f =-=，()y f x =的图像不关于y 轴对称，选项D ，错误.故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则该函数的单调递增区间是__________.【答案】(,1]-∞-【解析】由题得函数的定义域为R .设2122,()2uu x x v =++=，函数222,u x x =++在∞(-,-1]单调递减，在[1,)-+∞单调递增，函数1()2u v =在其定义域内单调递减，所以2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在∞(-,-1]单调递增，在[1,)-+∞单调递减.14．已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________. 【答案】52【解析】设2x t =，02x ≤≤，则14t ≤≤，()12221114325353222x x y t t t -=-⨯+=-+=-+，故当1t =，即0x =时，函数有最大值为52. 15．已知函数|2|()21x f x -=-在区间[0,]m 上的值域为[0,3]，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[2,4] 【解析】函数()221x f x -=-的对称轴为2x =，且在(],2-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由函数()221x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，知022,m ≤-≤ 即[]2,4m ∈。
2020-2021学年上海市复旦附中高一(下)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的最小正周期为．2．α为第三象限角，且，则在第象限．3．已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为．4．函数f（x）＝log2（tan x﹣）的定义域为．5．若sin x＝，，则x＝．（结果用反三角函数表示）6．已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝．7．已知sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为．8．函数的单调递增区间为．9．函数f（x）＝cos2x+sin x+1在上的值域是．10．已知f（x）＝4sin x+3cos x，f（x）向右平移α（0＜α＜π）个单位后为奇函数，则tanα＝．11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的取值范围与在区间[﹣b，﹣a]上的取值范围是相同的；②周期函数f（x）在一个周期内的取值范围也就是f（x）在定义域上的值域，由此可求函数的值域为．12．已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是．二、选择题（每小题5分）.13．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形15．设函数f（x）＝|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（）A．在区间[，]上是增函数B．在区间[﹣π，﹣]上是减函数C．在区间[﹣，]上是增函数D．在区间[，]上是减函数16．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[4，）C．[4，）D．[，）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．（1）若点P的横坐标为，求的值．（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角α，若，求tanθ的值．18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．19．如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．（1）若θ＝，求△DEF的边长；（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程在上的根从小到依次为x1，x2，⋯，x n，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．21．在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；（2）若a+c＝mb（m＞1），（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．参考答案一、填空题（共12小题）.1．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的最小正周期为π．解：由函数f（x）＝3sin（2x﹣），则函数的最小正周期为π，故答案为：π．2．α为第三象限角，且，则在第二象限．解：因α为第三象限角，即，得，则所在象限为第二象限或第四象限，又因，故所在象限为第二象限．综上所述，在第二象限．故答案为：二．3．已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为．解：由扇形的周长为20cm，面积为16cm2，可设扇形圆心角为α，且α∈（0，2π），半径为r，则，解得或（不合题意，舍去），所以α＝．故答案为：．4．函数f（x）＝log2（tan x﹣）的定义域为．解：由已知得，，即由正切函数的性质可知定义域为，故答案为：．5．若sin x＝，，则x＝．（结果用反三角函数表示）解：sin x＝，，则x＝．故答案为：．6．已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝．解：根据题意，奇函数f（x）的一个周期为2，则f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），又由当x∈（0，1）时，，则f（0.5）＝cos＝，故f（7.5）＝﹣；故答案为：﹣．7．已知sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为．解：∵sin（α﹣）＝，∴sin（2α+）＝cos[﹣（2α+）]＝cos（2α）＝cos[2（α﹣）]＝1﹣2sin2（α﹣）＝1﹣2×（）2＝．故答案为：．8．函数的单调递增区间为．解：函数，即，解得，所以单调递增区间为．故答案为：．9．函数f（x）＝cos2x+sin x+1在上的值域是．解：令，则，∴f（x）＝（cos x）2+sin x+2＝﹣（sin x）2+sin x+2，∴，∴，函数f（x）＝cos2x+sin x+1在上的值域是：．故答案为：．10．已知f（x）＝4sin x+3cos x，f（x）向右平移α（0＜α＜π）个单位后为奇函数，则tanα＝．解：由题意，函数f（x）＝4sin x+3cos x＝5sin（x+φ），其中因为f（x）向右平移α个单位后，可得g（x）＝5sin[（x﹣α）+φ]＝5sin（x﹣α+φ），又由g（x）＝5sin（x﹣α+φ）为奇函数，所以φ﹣α＝kπ，k∈Z，即α＝φ﹣kπ，k∈Z，又因为0＜α＜π，所以α＝φ，所以．故答案为：．11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的取值范围与在区间[﹣b，﹣a]上的取值范围是相同的；②周期函数f（x）在一个周期内的取值范围也就是f（x）在定义域上的值域，由此可求函数的值域为[1，2]．解：依题意，定义域为R，关于原点对称，又，∴g（x）为偶函数；又＝g（x），∴g（x）以π为周期；当x∈[0，π]时，g（x）＝，∴g（x）的值域为[1，2]，故答案为：[1，2]．12．已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是[1008，）．解：由题意，函数f（x）为R上奇函数，所以f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，可得f（2﹣x）＝﹣f（x），可得函数f（x）的图像关于点（1，0）对称，联立可得f（2﹣x）＝f（﹣x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，又由函数y＝sinπx的周期为2，且关于点（k，0）（k∈Z）对称，因为当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，由图像可知，函数f（x）＝﹣log2x和y＝sinπx的图像在[﹣1，1）上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，其中都是函数的零点，即函数F（x）＝f（x）﹣sinπx在[0，m]上有2017个零点，如果m是第2017个零点，则，如果m是第2018个零点，则，即m∈[1008，）．故答案为：[1008，）．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解：①当φ＝时，f（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x，∵f（﹣x）＝2cos（﹣2x）＝2cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，②当f（x）为偶函数时，φ＝+kπ，k∈Z，综上所述，φ＝是f（x）为偶函数的充分不必要条件．故选：A．14．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解：因为sin2＝＝，即，由余弦定理可得，可得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形．故选：B．15．设函数f（x）＝|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（）A．在区间[，]上是增函数B．在区间[﹣π，﹣]上是减函数C．在区间[﹣，]上是增函数D．在区间[，]上是减函数解：由函数y＝sin（x+）（x∈R），可知，当x+＝时，取得最小值为﹣1，此时x＝，当x+＝0时，图象与x的交点，此时x＝，当x+＝时，取得最大值为1，此时x＝，y＝sin（x+）（x∈R）的图象关于x轴对称翻折，可得f（x）＝|sin（x+）|，∴函数f（x）的周期为π，∴函数f（x）的单调减区间为[，+kπ]：单调增区间为[+kπ，]，k∈Z．当k＝1时，可得单调增区间为[，]，故选：A．16．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[4，）C．[4，）D．[，）解：令函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1＝0，解得sin（ωx+φ）＝，y＝sin（ωx+φ）是由y＝sin x图象变换得到的，且最小正周期为T＝，在[0，2π]内，sin＝sin＝，所以函数y＝sin x相邻4个零点x1、x2、x3、x4满足：x2﹣x1＝x4﹣x3＝﹣＝，x3﹣x1＝x4﹣x2＝2π，x3﹣x2＝（x3﹣x1）﹣（x2﹣x1）＝2π﹣＝，所以相邻两零点最大距离d1＝2π，相邻四个零点占区间长度最短为d2＝x4﹣x1＝（x4﹣x3）+（x3﹣x1）＝+2π＝，x∈[，]时，ωx∈[ω，ω]，区间宽度为[﹣]ω＝ω，所以2π≤ω＜（ω＝d1至少有2个零点，ω＝d2至多有4个零点），解得4≤ω＜，所以ω的取值范围是[4，）．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．（1）若点P的横坐标为，求的值．（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角α，若，求tanθ的值．解：（1）∵P在单位圆上，且点P在第二象限，P的横坐标为，可求得纵坐标为，所以，．（2）由题知，则，则．18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．解：（1）由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝，＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，所以ω＝＝π，由“五点法”画图知，（﹣，0）是第一个点，所以2×（﹣）+φ＝0，解得φ＝，所以f（x）＝sin（2x+）．（2）函数g（x）＝f（x+t）＝sin[2（x+t）+]＝sin（2x+2t+），g（x）为偶函数，2t+＝+kπ，k∈Z，t＝+，k∈Z，又t∈（0，π），所以t＝，或t＝．（3）函数h（x）＝f（x）•f（x﹣）＝sin（2x+）•sin[2（x﹣）+]＝3（sin2x cos+cos2x sin）•sin2x＝3（sin22x+sin2x cos2x），＝3（•+•sin4x）＝+（sin4x﹣cos4x）＝+sin（4x﹣），当x∈[0，]时，4x﹣∈[﹣，]，即sin（4x﹣）∈[﹣，1]，所以+sin（4x﹣）∈[0，]，所以函数h（x）的取值范围是[0，]．19．如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．（1）若θ＝，求△DEF的边长；（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．解：（1）设△DEF的边长为x千米，由得CE＝，AE＝a﹣，△AEF中，∠FEA＝＝，，∴△AEF为等边三角形，AE＝x＝a﹣，故x＝，即△DEF的边长为；（2）设△DEF的边长为x千米，所以CE＝x cosθ，AE＝a﹣x cosθ，△AEF中，∠FEA＝，∠A＝，∠EFA＝θ，由正弦定理得，，故x＝＝，当时x取得最小值，即△DEF的边长最小值．20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程在上的根从小到依次为x1，x2，⋯，x n，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．解：（1）由题意，函数＝＝2sinωx，因为函数f（x）图像的相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，可得ω＝2．f（x）＝2sin2x．（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像，当时，，当时，函数g（x）取得最小值，最小值为﹣2，当时，函数g（x）取得最大值，最小值为，故函数g（x）的值域．（3）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数y＝sinθ的图像，可得方程在区间有5个解，即n＝5，其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，即解得所以．21．在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；（2）若a+c＝mb（m＞1），（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．解：（1）由a+c＝2b，所以由余弦定理可得cos B＝＝＝＝，当且仅当a＝c时cos B最小，B∈（0，π），所以B max＝；（2）（i）：证明：因为a+c＝mb（m＞1），由正弦定理可得＝＝，所以可得sin A+sin C＝m sin B，所以2sin•cos＝2m sin•cos，因为＝，所以cos＝m cos，展开整理可得（1+m）sin sin＝（m﹣1）cos cos，故tan•tan＝；（ii）由（i）可得tan•tan＝及半角公式可得tan＝＝可得（tan tan）2＝••＝＝，对其展开整理可得4m﹣2（m2+1）（cos A+cos C）＝﹣4m cos A cos C，＝﹣4m，即＝，即＝﹣1，与原三角式作比较可得φ（m）存在，且φ（m）＝﹣．。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期中数学试卷试题数：18，总分：01.（填空题，0分）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+2y 2的最小值为___ ．2.（填空题，0分）已知直线a 、b 和平面α，若a || b ，b⊂α，则a 与α的关系是___ ．3.（填空题，0分）分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___ ．4.（填空题，0分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ ．5.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为___ ．6.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为___ ．7.（填空题，0分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱锥的体积是___ ．8.（填空题，0分）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 9.（填空题，0分）在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，则A 、B 两点的球面距离为___ ．10.（填空题，0分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是___ ．11.（单选题，0分）设A 1，A 2，…，A 2021是空间中给定的2021个不同的点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+MA 2021⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2020D.202112.（单选题，0分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ 136 L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ 275 L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511313.（单选题，0分）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）A. 34B. 45C. 35D. −3514.（单选题，0分）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AB 上的点，若∠NMC 1=90°，那么∠NMB 1（ ）A.大于90度B.小于90度C.等于90度D.不能确定15.（问答题，0分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC ̂ 长为 23 π， A1B1̂ 长为 π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．16.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2，存在x0∈[0，2-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．)，并说明理由；（1）已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P(12（2）求证：任取m∈（0，2），函数f（x）=（x-1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）．17.（问答题，0分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB || DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1，求k的值（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）18.（问答题，0分）正三棱柱P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，侧棱PA0长为2，点B0是棱PA的中点，定义集合{B1，B2，…}如下：点B n是棱PA n上异于P的一点，使得B n-1B n=PB n-1（n≥1），我们约定：若n除以3的余数r，则A n=A1（例如：A3=A0、A2015=A2等等），求三棱锥P-B0B1B2的体积；（1）若α=π3（2）若{B1，B2，…}是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{B1，B2，…}是一个无限集，求各线段PB0，PB1，PB2，…的长度之和（用α表示）．．（0＜|q|＜1））（提示：无穷等比数列各项和公式为S=a11−q2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：01.（填空题，0分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2 √2，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解析】：由已知可得y= 1x【解答】：解：∵xy=1，∴x2+2y2≥2 √2 xy=2 √2，4时取等号，当且仅当x2=2y2，即x=± √2故答案为：2 √2．【点评】：本题考查基本不等式，属基础题．2.（填空题，0分）已知直线a、b和平面α，若a || b，b⊂α，则a与α的关系是___ ．【正确答案】：[1]a || α或a⊂α【解析】：由题意画图说明a || α或a⊂α，再由反证法说明a与α不相交．【解答】：解：如图，由a || b，b⊂α，可得a || α或a⊂α，a与α不可能相交，若a与α相交，则a与b相交或异面，与a || b矛盾．故答案为：a || α或a⊂α．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．3.（填空题，0分）分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___ ．【正确答案】：[1]相交或异面【解析】：画出草图，当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面，即可得到结论．【解答】：解：已知直线a与b是异面直线，直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A，B，C，D，根据题意可得当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面．故答案为：相交或异面【点评】：本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．4.（填空题，0分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ ．【正确答案】：[1]6π【解析】：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．【解答】：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．【点评】：本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．5.（填空题，0分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BB1的中点，则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] 25【解析】：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A 1（2，0，2），E （2，1，0），C 1（0，2，2），F （2，2，1），A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，-2）， C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），设异面直线A 1E 与C 1F 所成角为θ，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为： cosθ= |A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= 25 ． 故答案为： 25 ．【点评】：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．6.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，求出直线的方向向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】：解：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A （1，0，0），C （0，1，0），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），B （1，1，0），所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，1) ，设平面AB 1C 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，则有 {n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {−x +y =0y +z =0 ， 令x=1，则y=1，z=-1，故 n ⃗ =(1，1，−1) ，所以 |cos ＜BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√2×√3= √63 ， 故BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为 √63 ．故答案为： √63 ．【点评】：本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，对于空间角问题，经常选择建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，属于中档题．7.（填空题，0分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱锥的体积是___ ．【正确答案】：[1]96【解析】：四棱锥的高已知，先求底面面积，再利用棱锥的体积公式求体积．【解答】：解：底面是边长为6的正方形，故其底面积为36，又侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，故棱锥的高为8由棱锥体积公式得 V =13×36×8=96 ．故答案为96．【点评】：本题考点是锥体的体积公式，考查空间想象能力与应用公式求解的能力．8.（填空题，0分）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（-4，3，2）【解析】：由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】：解：如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ．故答案为：（-4，3，2）．【点评】：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.（填空题，0分）在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，则A 、B 两点的球面距离为___ ．【正确答案】：[1] 13πR 【解析】：由于A 、B 两地在同一纬度圈上，可以先计算出它们的经度差和45°的纬圆半径，再求出A 、B 两地对应的AB 弦长，即可求出A 、B 两点在球面距离．【解答】：解：设北纬45°圈的半径为r ，∵点A 在东经70°处，点B 在东经160°处，∴纬圆半径是r=Rcos45°= √22 R 经度差是90°，∴A 、B 两点在纬度圈上的劣弧长为 √24π R ，∵AB= √2r =R ，∴∠AOB= π3 ，∴A 、B 两点的球面距离为 13πR ，故答案为： 13πR ．【点评】：本题主要考查了球面距离及相关计算，考查空间想象力，属于基础题．10.（填空题，0分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0， √6+√2 ）【解析】：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形： ① 当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a 此时a 取最大值， ② 当底面三角形的边长分别为a ，2，2，其他各边长为2，2，a ，有最小值，从而求得a 的取值范围．【解答】：解：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形：① 当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图1，此时a 取最大值，可知AD= √3 ，SD= √a 2−1 ，由于SD ＜SA+AD ，则有 √a 2−1 ＜2+ √3 ，即 a 2＜8+4√3=(√6+√2)2 ，即有a ＜ √6+√2② 构当底面三角形的边长分别为a ，2，2，其他各边长为2，2，a ，如图所示，此时a 可以取最大为2 √2 任意正数；综上则a 的取值范围是（0， √6+√2 ）；故答案为：（0， √6+√2 ）．【点评】：本小题主要考查棱锥的结构特征、解三角形等基础知识，考查空间想像能力，分类讨论思想，属于基础题．11.（单选题，0分）设A 1，A 2，…，A 2021是空间中给定的2021个不同的点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+MA 2021⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2020D.2021【正确答案】：B【解析】：可设出A 1，A 2，•••，A 2021及M 点的坐标，根据题意可求出M 点的坐标，有几组M 点的坐标，就有几个满足条件的点M ．【解答】：解：设A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A 2021（x 2021，y 2021），M （a ，b ），则： （x 1-a ，y 1-b ）+（x 2-a ，y 2-b ）+…+（x 2021-a ，y 2021-b ）=（0，0）， ∴x 1+x 2+•••+x 2021-2021a=0，y 1+y 2+•••+y 2021-2021b=0， ∴a= 12021 （x 1+x 2+•••+x 2021），b= 12021 （y 1+y 2+•••+y 2021）， ∴满足条件的点M 的个数为1个． 故选：B ．【点评】：本题考查通过坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法运算，属于中档题．12.（单选题，0分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ 136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ 275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A. 227 B. 258 C. 15750 D.355113 【正确答案】：B【解析】：根据近似公式V≈ 275 L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】：解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ， ∴ 13πr 2ℎ = 275 （2πr ）2h ， ∴π= 258 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．13.（单选题，0分）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（）A. 34B. 45C. 35D. −35【正确答案】：C【解析】：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值．【解答】：解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，则tanθ= rℎ，所以圆锥的高为h= rtanθ；所以圆锥的体积为V1= 13πr2•h= 13πr3• 1tanθ，半球的体积为V2= 23πr3，因为V1=V2，即13πr3• 1tanθ= 23πr3，解得tanθ= 12，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ= cos2θ−sin2θsin2θ+cos2θ = 1−tan2θ1+tan2θ= 1−141+14= 35，即圆锥的轴截面顶角的余弦值是35．故选：C．【点评】：本题考查了旋转体的体积计算问题，也考查运算求解能力，是基础题．14.（单选题，0分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AB上的点，若∠NMC1=90°，那么∠NMB1（）A.大于90度B.小于90度C.等于90度D.不能确定【正确答案】：C【解析】：由B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，得MN⊥B 1C 1，由∠NMC 1=90°，得MN⊥MC 1，从而MN⊥平面MB 1C 1，由此能求出∠NMB 1的大小．【解答】：解：∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AB 上的点， ∴MN 、MB 1⊂平面ABB 1A 1， ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴MN⊥B 1C 1， ∵∠NMC 1=90°，∴MN⊥MC 1，∵MC 1∩B 1C 1=C 1，MC 1、B 1C 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN⊥平面MB 1C 1，∵MB 1⊂平面MB 1C 1，∴MN⊥MB 1， ∴∠NMB 1=90°． 故选：C ．【点评】：本题考查的角大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．15.（问答题，0分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC ̂ 长为 23 π， A1B1̂ 长为 π3 ，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而S△O1A1B1 = √34，由此能求出三棱锥C-O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1 || AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】：解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1= π3，∴△O1A1B1为正三角形，∴ S△O1A1B1 = √34，V C−O1A1B1 = 13×OO1×S△O1A1B1= √312．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1 || AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1= π3，∠AOC=2π3，∴∠BOC= π3，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2，存在x0∈[0，2-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P(12)，并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2），函数f（x）=（x-1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义可知m= 12，即f（x0）=f（x0+ 12），代入求x0即可进行判断；（2）根据条件验证f（x0）=f（x0+m）时m的取值范围即可；【解答】：解：（1）当m= 12时，设x0∈[0，32]，令f（x0）=f（x0+ 12），则1-（x0-1）2=1-（x0+ 12-1）2，解得x0= 34∈[0，32]，故f（x）具有性质P（12）；（2）证明：任取x0∈[0，2-m]，令f（x0）=f（x0+m），则（x0-1）2=（x0+m-1）2，因为m≠0，解得x0=- m2 +1，又0＜m＜2，所以0＜- m2+1＜1，当0＜m＜2，x0=- m2 +1时，（2-m）-x0=（2-m）-（- m2+1）=1-=- m2+1＞0，即0＜- m2+1＜2-m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）．【点评】：本题是新定义问题，利用函数基本性质及函数与方程的关系是关键，属于中当题17.（问答题，0分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB || DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【正确答案】：【解析】：（1）取DC 得中点E ，连接BE ，可证明四边形ABED 是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD ，即CD⊥AD ，又侧棱AA 1⊥底面ABCD ，可得AA 1⊥DC ，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k ）．【解答】：（1）证明：取DC 的中点E ，连接BE ，∵AB || ED ，AB=ED=3k ， ∴四边形ABED 是平行四边形，∴BE || AD ，且BE=AD=4k ，∴BE 2+EC 2=（4k ）2+（3k ）2=（5k ）2=BC 2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD ，又∵BE || AD ，∴CD⊥AD ．∵侧棱AA 1⊥底面ABCD ，∴AA 1⊥CD ， ∵AA 1∩AD=A ，∴CD⊥平面ADD 1A 1．（2）解：以D 为坐标原点， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （4k ，0，0），C （0，6k ，0），B 1（4k ，3k ，1），A 1（4k ，0，1）． ∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4k ，6k ，0) ， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，3k ，1) ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) ．设平面AB 1C 的一个法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4kx +6ky =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ky +z =0 ，取y=2，则z=-6k ，x=3．∴ n ⃗ =(3，2，−6k) ．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sinθ=|cos ＜AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞| = |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |n ⃗ |= √36k 2+13= 67，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k ）= {72k 2+26k ，0＜k ≤51836k 2+36k ，k ＞518【点评】：本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．18.（问答题，0分）正三棱柱P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，侧棱PA0长为2，点B0是棱PA的中点，定义集合{B1，B2，…}如下：点B n是棱PA n上异于P的一点，使得B n-1B n=PB n-1（n≥1），我们约定：若n除以3的余数r，则A n=A1（例如：A3=A0、A2015=A2等等），求三棱锥P-B0B1B2的体积；（1）若α=π3（2）若{B1，B2，…}是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{B1，B2，…}是一个无限集，求各线段PB0，PB1，PB2，…的长度之和（用α表示）．．（0＜|q|＜1））（提示：无穷等比数列各项和公式为S=a11−q【正确答案】：【解析】：由正三棱锥P-A0A1A2及B n-1B n=PB n-1（n≥1），可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列．时，三棱锥P-B0B1B2为正四面体，则可求其高、底面积，从而求出体积；（1）当α=π3（2）{B1，B2，...}是一个只有两个元素的有限集等价于PB2≤PA2=2，且PB3＞PA0=2，由等比数列可分别求出PB2和PB3，解不等式组，即可求出α的范围；（3）{B1，B2，…}是一个无限集且PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，结合无穷等比数列的求和公式，即可得到结果．【解答】：解：因为点B n是棱PA n上异于P的一点，且B n-1B n=PB n-1（n≥1），所以△PB n-1B n是等腰三角形，且B n-1B n，PB n-1是两腰，又正三棱锥P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，所以∠A0PA1=∠B1PB2=•••=∠B n-1PB n=α，PB n=2PB n-1•cos∠B n-1PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，时，PB2=PB1=PB0=1，且∠B0PB1=∠B1PB2=∠B2PB0，（1）当α=π3则三棱锥P-B0B1B2为正四面体，其高h= √1−(1×√32×23)2=√63，底面积S△B0B1B2=√34×12=√34，所以其体积为V P−B0B1B2=13×√34×√63= √212；（2）{B1，B2，...}是一个只有两个元素的有限集，∴B2∈PA2，B3∉PA0，即{PB2≤PA2=2 PB3＞PA0=2，由PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），得PB2=（2cosα）2=4cos2α，PB3=（2cosα）3=8cos3α，∴由{4cos2α≤28cos3α＞2解得（12）23＜cosα≤（12）12，∴α∈[arccos（12）12，arccos（12）23）；（3）{B1，B2，…}是一个无限集，且PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，∴PB0+PB1+…+PB n+…= 11−2cosα．【点评】：本题的关键是发现△PB n-1B n是等腰三角形，且B n-1B n，PB n-1是两腰，从而得到PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列．所以本题重点考察等比数列的性质及求和公式，属于中档题型．。
2020-2021学年高一数学课时同步练习第四章第5节函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数 第5节 函数的应用（二）一、基础巩固1．（2020·全国高一课时练习）函数ln y x =的零点是（ ） A ．(0,0) B ．0x =C ．1x =D ．不存在【答案】C【解析】函数ln y x =的零点等价于方程ln 0x =的根，∴函数ln y x =的零点是1x =，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是（ ）A ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 【答案】C【解析】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，因此无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点.3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．50y x = B ．50y x =C ．50x y =D ．()*50log y x x N=∈【答案】C 【解析】随x 的增大，指数函数的增长速度最快，∴50x y =的增长速度最快，故选：C.4．（2020·全国高一课时练习）某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：3()360,0T t t t t =-+=表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为（ ）A ．8℃B ．78℃C ．112℃D ．18℃【答案】B【解析】将3t =的值代入解析式可得：3(3)3336078T =-⨯+=， 故选：B.5．（2020·浙江高一课时练习）某研究小组在一项实验中获得一组关于,y t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y 与t 之间关系的是（ ）A ．22y t =B ．2t y =C ．2log y t =D ．3y t =【答案】C【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C ：2log y t =满足题意.故选C. 6．（2020·浙江高一单元测试）利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.96[学3.244.846.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间 （ ）A ．（0.6，1.0）B ．（1.4，1.8）C ．（1.8，2.2）D ．（2.6，3.0）【答案】C【解析】构造f (x )＝2x －x 2，则f (1.8)＝0.242，f (2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f (x )＝2x －x 2＝0，所以方程2x ＝x 2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C 7．（2020·浙江高一课时练习）设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则下列说法中正确的是（ ）． A ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．()f x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点 【答案】D【解析】由题可知：1()ln (0)3f x x x x =-> 则113()33-'=-=x f x x x若()0,3x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减 若(3,)x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)e 单调递减，又1111ln 1033f e ee e ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，(1)031f =>，1()103f e e =-< 所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，在(1,)e 有零点8．（2020·陕西新城�西安中学高二期末（文））若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）【答案】B【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ， 所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B9．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)eD ．(3,4)【答案】B【解析】解：�()2ln 22ln 201f e =-<-=，()2ln31ln 10f e =->-=，则(1)(2)0f f <， �函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在区间是 (1,2)， 当0x >，且0x →时，()()2ln 10f x x x=+-< ()()22ln 1ln 0e e e e f e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->， ACD 中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B 为正确答案. 故选：B.10．（2020·黑龙江松北�哈九中高三三模（文））下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．()1x f x e =- B ．1()f x x x=+ C ．2()f x x x =- D ．22()f x x x=- 【答案】C【解析】根据函数奇偶性的概念可判断A 选项与D 选项所给函数不具有奇偶性； 对于B 选项，1()f x x x=+为奇函数，但不存在零点；对于C 选项，2()f x x x=-为奇函数，且(0f =； 故答案选：C.11．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1ln ,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，()()g x f x ax a =-+，若()g x 恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A．0,B ．(],2-∞C ．[]1,2D ．[)1,+∞【答案】D【解析】()g x 恰有1个零点即()y f x =与y ax a =-的图像恰有一个交点，y ax a =-恒过()1,0点， 由ln y x =得'1y x=，所以曲线ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为1， 由2yx x 得'21y x =-，所以曲线2yx x 在点()1,0处的切线的斜率为1，所以结合图像可知，()g x 恰有1个零点当且仅当1a ≥. 故选：D12．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者90018 50=名.故选：B13．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（）A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【答案】D【解析】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.故选：D.14．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)�x2�f2(x)�4x�f3(x)�log2x�f4(x)�2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)�x2B．f2(x)�4x C．f3(x)�log2x D．f4(x)�2x【答案】D【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =�故选D�15．（2020·全国高一课时练习）能使不等式22log 2xx x <<一定成立的x 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】作出2log y x =、2y x （红色）、2xy =图像由图像可知，当4x >时，22log 2xx x <<16．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝,x A xx A A<≥(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【答案】D【解析】由题意可得：f （A ）A =15，所以A f （4）4=30， 可得出15A2=30A ，可得A=16从而 故答案为D17．（2020·全国高三其他（文））已知函数()2,1,2,1,x a m x f x x a m x ⎧⋅->=⎨+-≤⎩其中0a >且1a ≠，若m ∃∈R ，使得函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()0,11,2C ．()()0,12,⋃+∞D ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】令()0f x =，()2,1,2,1,x a x g x x a x ⎧⋅>=⎨+≤⎩，则()g x m =，故问题转化为()y g x =，y m =的图像有两个交点， 显然当01a <<时，()y g x =，y m =的图像有两个交点； 当1a >时，只需22a a +>，解得12a <<； 综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,2，故选：B.18．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））已知函数()34f x x x =-，过点()2,0A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为（ ） A ．()1,8-B ．()()1,88,-⋃+∞C ．()()2,88,-⋃+∞D ．()1,-+∞【答案】B【解析】函数()34f x x x =-，可得()()()322420f -=--⨯-=，设直线l 的斜率为k ，方程为()2y k x =+，由题意可得()()()32422k x x x x x x +=-=+-有三个不等的实根，显然2x =-是其中的一个根，则22k x x =-有两个不等的实根，且2x ≠-，即8k ≠， 由220--=x x k 的>0∆，可得440k +>，解得1k >-� 则k 的范围是()()1,88,-⋃+∞.19．（多选题）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数()2211x f x x-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在[]2,3上的最大值为35D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点 【答案】ABCD【解析】因为()2211x f x x-=+，所以其的定义域为R ， A 选项，()22221()1()1()1----===+-+x x f x f x x x ，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确； B 选项，22221111()111⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x f f x x x x ，故B 正确； C 选项，因为()22212111-==-+++x f x x x，当[]2,3x ∈，21y x =+单调递增，所以()2211=-++f x x 单调递减，因此()()max 2321145==-+=-+f x f ，故C 正确； D 选项，因为()()g x f x x =+，所以()()1111-=--=-g f ，()()0001=+=g f ，即()1(0)0-⋅<gg ，由零点存在性定理可得：()()g x f x x =+在区间()1,0-上存在零点，故D 正确；20．（多选题）（2019·山东枣庄�高二期末）有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点 D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 【答案】BD【解析】A. 设幂函数()f x x α=，代入12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到1121()2f x x αα=∴=-∴=，11(3)32f =<故A 不成立；B. 由于x y a =恒过定点(0,1)，因此令10x -=，即1x =时，恒有(1)2f =，即图象恒过定点(1,2)，故B 正确；C.转化212()1log 0f x x x =--=为2121=log x x -函数21y x =-与12log y x =在同一直角坐标系下的图像如图：两个函数只有一个交点，故函数()f x 只有一个零点，C 选项不正确. D.函数2()24f x x x =-+的图像如图所示，(0)(2)4,(1)3f f f ===数形结合，可得若函数在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]，D 选项正确. ��：BD二、拓展提升1．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）f （x ）＝；（2）f （x ）＝x 2＋2x ＋4；【解析】（1）令3x x +＝0，解得x ＝－3，所以函数f （x ）＝3x x+的零点是x ＝－3． （2）令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根，所以函数f （x ）＝x 2＋2x ＋4不存在零点．2．（2020·全国高一）函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，求函数g （x ）＝ax 2－bx －1的零点．【解析】因为函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，所以123122a a b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨-=⨯=-⎩⎩， 所以g （x ）＝3x 2＋2x －1，令()0g x =，解得1x =-或13， 故函数g （x ）的零点为－1和13． 3．（2020·上海浦东新�华师大二附中高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【解析】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-， ()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，只需0x >时，()f x m =有两个解，当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--， 所以10m -<<4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P 万件满足P ＝3﹣21x +（其中0≤x ≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本（10+2P ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+20P ）万元/万件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）当促销费用为x 万元时， 付出的成本是：210231x x ⎛⎫++- ⎪+⎝⎭ 销售收入是：220342131x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫-⨯+ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-+⎝⎭， 故220234102321131y x x x x ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪-+⎝⎭ 整理可得4161y x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，0≤x ≤2. （2）根据（1）中所求，416111611y x x ⎛⎫⎛⎫=-++-≤- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭16313=-=，当且仅当1x =时取得最大值.故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.5．（2019·浙江高一期中）已知函数()()(23)6f x x a x =-+-（Ⅰ）若1a =-，求()f x 在[3,0]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）若关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）若1a =-，则22549()(1)(23)62532()48f x x x x x x =++-=+-=+-， 因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为：54x =-；又[3,0]x ∈-， 所以函数()f x 在53,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在5,04⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增； 因此min 549()()48f x f =-=-；又(3)0f -=，(0)3f =-， 所以max ()(3)0f x f =-=；（Ⅱ）由关于x 的方程()140f x +=在(0,)+∞上有两个不相等实根，可得方程22(32)380x a x a +--+=有两个不相等正根， 则2(32)8(38)032023802a a a a ⎧⎪∆=---+>⎪-⎪>⎨-⎪-+⎪>⎪⎩，解得5823a <<． 26．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知函数221,2()121.2x x x f x x x a x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++- ⎪⎪⎝⎭⎩（1）若1a =，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 在[)1-+∞，上为增函数，求a 的取值范围. 【解析】（1）当12x >时，由20x x-=，得x =；当12x ≤时，由220x x +=得0x =或2x =-.∴1a =时，函数()f x 的零点为-2，0. （2）函数()g x x x 2=-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，且1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 函数()221h x x x a =++-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，且1124h a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若()f x 在[-1，+∞）上为增函数，则1742a +-，∴154a -.。
2024年上海市浦东新区华东师大二附中高考数学模拟试卷(5月份)(含解析)
2024年上海市浦东新区华东师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )A. f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B. f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C. 对于任意x0∈(a,b)，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D. 存在x0∈(a,b)，使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率2.在研究线性回归模型时，样本数据(x i,y i)(i=1,2,3,⋯,n)所对应的点均在直线y=−12x+3上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r=( )A. −1B. 1C. −12D. 23.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在底面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若PM=5，则PQ长度的最小值为( )A. 2−1B. 2C. 355−1 D. 3554.设正数a，b，c不全相等，abc=1，函数f(x)=(1+a x)(1+b x)(1+c x).关于说法①对任意a，b，c，f(x)都为偶函数，②对任意a，b，c，f(x)在[0.01,0.02]上严格单调增，以下判断正确的是( )A. ①、②都正确B. ①正确、②错误C. ①错误、②正确D. ①、②都错误二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A={y|y=log2x,x>1}，B={y|y=12x,x>1}，则A∩B=______.6.命题A：|x−1|<3，命题B：(x+2)(x+a)<0，若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是______.7.已知复数z满足(1+i)⋅z=4i(i为虚数单位)，则z的模为______.8.方程log3x+log x3=2的解是x=______.9.随机变量X的概率分布密度函数f(x)=1σ2πe−(x−1)22σ2(x∈R)，其图象如图所示，设P(X≥2)=0.15，则图中阴影部分的面积为______.10.在(1+x+1x2023)10的展开式中，x2项的系数为______.(结果用数值表示)11.设x>0,y>0,x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为__________.12.在△ABC所在的平面上有一点P，满足PA+PB+PC=AB，则PA PBPB⋅PC=______.13.已知函数f(x)=cos2x⋅tan(x−π4).则函数f(x)的值域为______.14.能够使得命题“曲线x24−y2a2=1(a≠0)上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为______.15.△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c=2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是______.16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆C：x22024+y2=1上，且其中至少有两个顶点为椭圆C 的顶点.这样的等腰三角形有______个.三、解答题：本题共5小题，共76分。