实变函数证明题大全(期末复习)

1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数

{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞

=于E 。

证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，

使得1

()n m E E n

-<

， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得

1[||]()n n mE f g n m E E n

-≥≤-<

，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?，

由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞

=，..a e 于E

2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是

直线上的开集，设11

[](,)n

n n E f c α

β∞

=>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限

个

，

n

α可

能为

-∞

n

β可有为

+∞

）因此

22221

1

[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞

∞

==>=<<=>

测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。故[()]E f g c >可测。

3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。

证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，

0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是

开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞

=≥，

即0x E ∈，因此E 是闭集。

4、（1）设2121

(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n

-==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集

证明：lim (0,)n n A →∞

=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即

2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞

∈，

又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞

→∞

?∞=∞所以lim n n A φ→∞

=若有lim n n x A →∞

∈，则存在N ，使

任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，

211

,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞

=

（2）可数点集的外测度为零。

证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==L 对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2

i i

I ε

=所

以

1

i

i I

E ∞

=?U ，且1

||i i I ε∞

==∑，由ε的任意性得*0m E =

5、设}{

n f 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞

→∞

==

=

1

1

[lim lim ]n n x x k E f

f k

∞

→∞

→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞

及lim n x f →∞

都可测，所以lim lim n n x x f f →∞

→∞

-在E 上可测。

从而，对任一自然数k ，1

[lim lim ]n n x x E f f k

→∞

→∞

-<

可测。故 01

1

[lim lim ]n n

x x k E E f f k ∞

→∞→∞==

-<∏ 可测。既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。

6、设q

R E ?，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ? E ?n B 且m （n A -n B ）→0，

（n →∝）则E 可测.

证明：对于任意i ，i n n B B ?∞

=1

I ，所以 E B E B i n n -?∞

=-1

I

又因为 E A i ? ，i i i A B E B -?-

所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞

=）（I )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=

令i →∝ ，由)(i i A B m -→0 得0*1

=-∞

=）（E B m n n I 所以E B n n -∞

=1

I 是可测的又由于n B 可

测，有n n B ∞=1

I 也是可测的所以)(1

1E B B E n n n n --=∞

=∞=I I 是可测的。

7、设在E 上()()n f x f x ?，而()()n n f x g x =..a e 成立，1,2n =K ，

则有()()n g x f x ? 设[]n n n E E f g =≠，则1

10n n n n m E mE ∞∞

==??≤= ???∑U 。

σ?>1n n n n E f g E E f f σσ∞=??

?-≥???-≥? ?????

??

U U 所以

1n n n n n mE f g m E mE f f mE f f σσσ∞=??

?-≥?≤+?-≥?=?-≥? ?????????

U

因为()()n f x f x ?，所以0lim lim 0n n n

n

mE f g mE f f σσ≤?-≥?≤?-≥?=????

即 ()()n g x f x ?

8、证明：()A B A B '''?=?。

证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从而

()A B A B '''???

反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有

(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=???为无限集，

从而(,)B x A δ?为无限集或(,)B x B δ?为无限集至少有一个成立，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''???。综上所述，()A B A B '''?=?。 9、证明：若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E 。 证明：由于11

[()()][]n E x f x g x E x f g n

∞

=≠=-≥

U ，而 111

[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k

-≥?-≥?-≥，

所以，

111

[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k

-≥≤-≥+-≥，

由()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈）得

1lim []02n n mE x f f k →∞

-≥

=，1

lim []02n n mE x f g k

→∞-≥=。

所以，1

[]0mE x f g k

-≥

=，从而[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E 。 10、、证明：若()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）。

证明：对任意0σ>，由于

()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，

所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，

1()()2n f x f x σ-≥和1

()()2

n g x g x σ-≥至少有一个成立。

从而

11

[[]][][]22

n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥?-≥?-≥，

所以，

11

[[]][][]22

n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。

又由()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈）得，

1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1

lim []02

n n mE x g g σ→∞-≥=。 所以，

lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞

±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）。

11、若()()n f x f x ?（x E ∈），则()()n f x f x ?（x E ∈）。

证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有

[][]n n E x f f E x f f σσ-≥?-≥，

[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。

又由()()n f x f x ?（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞

-≥=。所以，

lim []0n n mE x f f σ→∞

-≥=，即()()n f x f x ?（x E ∈）。

12、证明：1R 上的连续函数必为可测函数。

证明：设()f x 是1

R 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，

11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从而是可测集。所以，()f x 是1R 上的可测函

数。

13、证明：1R 上的单调函数必为可测函数。

证明：不妨设()f x 是1

R 上的单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，

由单调函数的特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ?>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集。故()f x 是1

R 上的可

测函数。

14、设()()f x L E ∈，n E 是E 的可测子集，且mE <+∞，若lim n n mE mE →∞

=，则

lim ()d ()d n

E E

n f x x f x x →∞=??。

证明：因为n E 是E 的可测子集，且mE <+∞，所以，()n n m E E mE mE -=-，从而由lim n n mE mE →∞

=得，lim ()lim 0n n n n m E E mE mE →∞

→∞

-=-=。又()()f x L E ∈，由积分的绝

对连续性，lim[

()d ()d ]lim ()d 0n

n

E

E E E n n f x x f x x f x x -→∞

→∞-==?

??

。

15、设()()f x L E ∈，若对任意有界可测函数()x ?都有

()()d 0E

f x x x ?=?

，则

()0f x =..a e 于E 。

证明：由题设，取1,[()0]()0,[()0]1,[()0]x E x f x x x E x f x x E x f x ??∈>?

=∈=??-∈

，显然()x ?为E 上的有界可测函数，

从而()d ()()d 0E

E

f x x f x x x ?==?

?。所以，()0f x =..a e 于E ，即()0f x =..a e 于E 。

16、设()()f x L E ∈，[]n e E f n =≥，证明（1）lim 0n n me →∞

=；（2）lim 0n n n me →∞

?=。

证明：由()d ()d n

n e E

n me f x x f x x ?≤

≤?

?得，

（1）lim 0n n me →∞

=。（2）由（1），注意到()()f x L E ∈，由积分的绝对连续性得，lim ()d 0n

e n

f x x →∞

=?，从而注意到

0()d n

n e n me f x x ≤?≤?，

所以，lim 0n n n me →∞

?=。

17、若()f x 是[,]a b 上的单调函数，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且

()()()b

a

V f f b f a =-。

证明：不妨设()f x 是[,]a b 上的单调增函数，任取[,]a b 的一个分割

011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=L L

则

1101

1

()()[()()]()()n

n

i i i i n i i f x f x f x f x f x f x --==-=-=-∑

∑

()()()()f b f a f b f a =-=-，

所以，11

()sup

()()()()n

b

i i a

T

i V f f x f x f b f a -==-=-∑

。

18、若()f x 在[,]a b 上满足：存在正常数K ，使得对任意12,[,]x x a b ∈，都有

1212()()f x f x K x x -≤-，

则 （1）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且()()b

a V f K

b a ≤-；

（2）()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数。

证明：（1）由题设，任取[,]a b 的一个分割

011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=L L

则

1111

1

1

()()()()n

n n

i i i i i i i i i f x f x K x x K x x K b a ---===-≤-=-=-∑

∑∑，

所以，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且11

()sup

()()()n

b

i i a

T

i V f f x f x K b a -==-≤-∑

。

（2）在[,]a b 内，任取有限个互不相交的开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =L 。由于

1

1

1

()()n

n n

i i i i i i i i i f x f y K x y K x y ===-≤-=-∑

∑∑，

于是，对任意0ε>，取K

ε

δ=

，则当

1

n

i i

i x y

δ=-<∑时，有

1

1

()()n

n

i i i i i i f x f y K x y ε==-≤-<∑

∑，

即()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数。

19、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数。

证明：由()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，取1ε=，存在0δ>，对任意有限个互不相交的开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =L ，只要

1

n

i i

i x y

δ=-<∑时，有1

()()1n

i i i f x f y =-<∑。

现将[,]a b 等分，记分点为011i i n a a a a a a b -=<<<<<<=L L ，使得每一等份的长度小于δ。易得1()1i i a a V f -≤，即()f x 是1[,]i i a a -上的有界变差函数。又11

[,][,]n

i i i a b a a -==U ，

所以，1

1

()()i

i n

a b

a

a i V f V f n -==

≤<+∞∑，即()f x 是[,]a b 上的有界变差函数。

20、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则 （1）全变差函数()x

a V f 是[,]a

b 上的递增函数；

（2）()()x

a

V f f x -也是[,]a b 上的递增函数。

证明：（1）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到21

()0x x V f ≥，有

2121

1

()()()()x x x x a

a

x a

V f V f V f V f =+≥，

即()x

a

V f 是[,]a b 上的递增函数。

（2）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到2

1

1()()()x i i x V f f x f x -≥-，有

212

1

2121()()[()()]()[()()]x x x a

a

x V f f x V f f x V f f x f x ---=--

2

1

21()()()0x x V f f x f x ≥--≥，

即()()x

a

V f f x -是[,]a b 上的递增函数。

21、证明Jordan 分解定理：()f x 是[,]a b 上的有界变差函数?()f x 可表示成[,]a b 上的两个增函数之差。

证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。

事实上，()()[()()]x

x

a

a

f x V f V f f x =--，由上题()x

a

V f 和()()x

a

V f f x -都是[,]a b 上的

递增函数。