自动微分在隐式曲线绘制中的应用
学习总结--matlab隐函数绘图
隐函数绘图MATLAB提供了一个ezplot函数绘制隐函数图形，下面介绍其用法。
(1) 对于函数f = f(x)，ezplot函数的调用格式为：ezplot(f)：在默认区间-2π<x<2π绘制f = f(x)的图形。
ezplot(f, [a,b])：在区间a<x<b绘制f = f(x)的图形。
(2) 对于隐函数f = f(x,y)，ezplot函数的调用格式为：ezplot(f)：在默认区间-2π<x<2π和-2π<y<2π绘制f(x,y) = 0的图形。
ezplot(f, [xmin,xmax,ymin,ymax])：在区间xmin<x<xmax和ymin<y<ymax绘制f(x,y) = 0的图形。
ezplot(f, [a,b])：在区间a<x<b和a<y< b绘制f(x,y) = 0的图形。
(3) 对于参数方程x = x(t)和y = y(t)，ezplot函数的调用格式为：ezplot(x,y)：在默认区间0<t<2π绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。
ezplot(x,y, [tmin,tmax])：在区间tmin < t < tmax绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。
例5-15 隐函数绘图应用举例。
程序如下：subplot(2,2,1);ezplot('x^2+y^2-9');axis equalsubplot(2,2,2);ezplot('x^3+y^3-5*x*y+1/5')subplot(2,2,3);ezplot('cos(tan(pi*x))',[ 0,1])subplot(2,2,4);ezplot('8*cos(t)','4*sqrt(2)*sin(t)',[0,2*pi])在MATLAB7.0用帮忙命令可以清楚知道函数的意义与用法.plot3函数与plot函数用法十分相似，其调用格式为：plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n)其中每一组x,y,z组成一组曲线的坐标参数，选项的定义和plot函数相同。
MATLAB在微分方程课程设计中的可视化应用
MATLAB在微分方程课程设计中的可视化应用作者：张凤孔德洲梁颖来源：《科技风》2022年第14期摘要：本文通过悬链线和摆线的讨论生动形象地引入了可分离变量微分方程的概念以及求解方法，然后借助MATLAB强大的图形绘制功能来实现微分方程的可视化，让学生获得生动直观的感性认识，加深学生对抽象函数以及概念的理解，提高课堂教学的整体效果。
关键词：悬链线;摆线;MATLAB;分离变量法高等数学一直给学生的印象就是抽象、晦涩、难懂、挂科率高，甚至好多学生谈高数色变，特别是微分方程这一章。
我们知道所谓微分方程就是含有自变量、未知函数以及未知函数的各阶导数的方程，它里面蕴含了自变量、未知函数以及各阶导数之间的关系，而我们学习的目标就是抽丝剥茧，通过学习微分方程的解法，探求函数与自变量之间的函数关系。
要让晦涩难懂的概念变得生动形象，我们要从引入上下文章，让学生真正体会到数学来源于生活又高于生活。
1概述1.1悬链线的讨论我们以悬链线为例展开讨论，所谓悬链线就是把一个绳子自由悬挂于两定点之间形成的曲线.日常生活中大家随处可见像悬链线这样的曲线，如雨后的蜘蛛丝、黄昏下的高压线（图1），跨海大桥上也能看到悬链线的模样。
其实早在1690年，数学家雅各布·伯努利就建立了悬链线所满足的微分方程组：dyds=sa2+s2，ys=0=adxds=aa2+s2，xs=0=0其中a是由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数。
这虽然是一个微分方程组，但是对于学过积分的同学来说是小菜一碟，對两个方程应用直接积分法就解决了，解法如下：dyds=sa2+s2，ys=0=ay=∫sa2+s2ds=12∫1a2+s2d（a2+s2）=a2+s2+Cys=0=aC=0y=a2+s2dxds=aa2+s2，xs=0=0x=∫aa2+s2ds=aln（s+a2+s2）+Cxs=0=0C=-alnax=aln（s+a2+s2）-alnas=aexae-xa2y=a2+s2s=aexae-xa2y=aexa+e-xa2解得悬链线方程为：y=aexa+e-xa2同学们可能对这个方程代表悬链线表示怀疑，那我们用MATLAB绘图功能来画出这个方程所表示的曲线。
mathematica解隐士微分方程
Mathematica解隐士微分方程1. 引言在数学和科学领域，微分方程是一种重要的数学工具，用于描述自然和社会现象中的变化。
本文将重点介绍如何使用Mathematica 软件解隐士微分方程，并深入研究其中的关键步骤和技术。
1.1 微分方程简介解决微分方程是数学建模和科学研究中的常见任务，微分方程可以描述变量之间的关系以及它们随时间或其他自变量的变化规律。
1.2 隐士微分方程概述隐士微分方程是一类形式较为复杂的微分方程，其中未知函数的导数出现在方程中，需要使用特殊的技巧来求解。
2. Mathematica软件介绍在本节中，我们将简要介绍Mathematica软件，说明其在数学建模和求解微分方程中的应用优势。
2.1 Mathematica的功能特点解释Mathematica软件在数学、物理、工程等领域的广泛应用，并介绍其强大的符号计算和绘图功能。
2.2 Mathematica的求解微分方程能力详细说明Mathematica在解微分方程方面的优越性，包括处理隐士微分方程的能力。
3. 隐士微分方程的建模与转化在本节中，我们将介绍将实际问题建模为隐士微分方程，并将其转化为Mathematica可处理的形式的关键步骤。
3.1 建立数学模型讨论将实际问题转化为数学形式的步骤，确定未知函数和其导数的关系。
3.2 转化为Mathematica可处理形式演示如何将建立的数学模型转化为Mathematica可以求解的形式，确保方程满足软件的要求。
4. Mathematica解隐士微分方程的基本步骤在这一部分，我们将详细介绍使用Mathematica解隐士微分方程的基本步骤，确保读者能够正确运用软件。
4.1 引入Mathematica环境展示如何在Mathematica中创建新的工作文件，并导入必要的库和包。
4.2 定义隐士微分方程通过具体例子演示如何在Mathematica中定义隐士微分方程，包括未知函数和方程中的参数。
隐函数求微分的基本步骤
隐函数求微分的基本步骤隐函数求微分是微积分中的重要概念，它用于求解含有隐含变量的方程的微分。
在实际应用中，很多问题需要通过隐函数求微分来求解，因此掌握隐函数求微分的基本步骤对于学习和理解微积分是非常重要的。
隐函数求微分的基本步骤如下：步骤一：确定隐函数我们需要确定方程中的隐函数。
隐函数是指方程中的某个变量不能直接表示出来，需要通过其他变量来间接表示的函数。
例如，对于方程2x + 3y = 5，我们需要确定其中的隐函数y=f(x)。
在这个例子中，y就是隐函数。
步骤二：对方程两边同时求导接下来，我们对方程的两边同时求导。
这是因为方程的两边都是关于自变量x的函数，所以我们可以对它们分别求导。
以方程 2x + 3y = 5 为例，我们对两边同时求导，得到 2 + 3y' = 0。
其中，y'表示y关于x的导数。
步骤三：解出导数在求导的过程中，我们需要将方程中的隐函数y表示为x的函数。
通过求导，我们可以得到y关于x的导数。
在本例中，我们可以解出导数 y' = -2/3。
步骤四：化简表达式接下来，我们需要将导数的表达式进行化简，使其更加简洁。
这可以帮助我们更好地理解和应用求导的结果。
在本例中，导数y' = -2/3 已经是一个化简的表达式，不需要进一步化简。
步骤五：判断导数的意义我们需要判断导数的意义。
导数表示了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
在本例中，导数 y' = -2/3 表示了函数y=f(x)在任意一点的斜率为-2/3。
这意味着函数的曲线向下倾斜，并且斜率的绝对值为2/3。
通过以上的基本步骤，我们可以求解含有隐含变量的方程的微分。
这种方法在实际应用中非常常见，可以用于求解各种复杂的问题。
掌握隐函数求微分的基本步骤对于学习和理解微积分的概念和应用非常重要。
希望本文对您有所帮助。
隐函数定理及其应用
隐函数定理及其应用
隐函数定理是微积分学中的一个重要定理，也是微分几何和微分拓扑等数学分支的基础。
隐函数定理的基本内容是：给定一个多元函数方程组
$f(x_1,x_2,...,x_m,y_1,y_2,...,y_n)=0$，如果在某点
$(x_0,y_0)$处，该方程组满足一定的条件，则在该点附近存在一个函数$y=f(x)$，使得$f(x,f(x))=0$。
这个函数$f(x)$称为隐函数。
隐函数定理的应用非常广泛。
以下是几个常见的应用：
1. 曲线的参数化：对于一个曲线方程$f(x,y)=0$，如果存在一个函数$x=g(t)$和$y=h(t)$，满足$f(g(t),h(t))=0$，则可以用该函数表示原曲线。
这一方法在计算曲线的弧长、曲率等物理量时非常有用。
2. 求解方程：有时候某个方程的显式解法非常困难，可以用隐函数定理将方程转化成隐函数的形式，然后再求解。
3. 函数的导数和高阶导数：由于隐函数和其自变量之间没有显式的表达式，因此难以直接求其导数，但是隐函数定理可以提供求导的一般方法。
在求高阶导数的时候，隐函数定理更是非常重要的工具。
隐函数求导的几何意义与应用
隐函数求导的几何意义与应用隐函数是一种通过等式来定义的函数，其中自变量和因变量之间的关系不是显式地表达出来的。
在数学中，隐函数存在于许多问题中，并且经常需要求取其导数。
隐函数求导在解析几何学、物理学以及工程学等领域中有着重要的几何意义和广泛的应用。
本文将探讨隐函数求导的几何意义以及一些实际应用。
一、隐函数求导的几何意义隐函数求导的几何意义在于揭示了曲线或曲面的切线和法线的性质，以及曲线或曲面上某一点的局部几何特性。
通过对隐函数求导，我们可以了解到曲线的斜率、曲率以及曲面上的切平面和法线。
1. 曲线的切线和斜率对于给定的隐函数，若能求得其导数，即可获得曲线上任一点的切线斜率。
设隐函数为 F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。
根据隐函数定理，如果 F(x, y) 在某一点 (a, b) 处连续且具有连续偏导数，且偏导数不同时都不为零，那么在点 (a, b) 处必然存在一条唯一的切线。
这条切线的斜率可以通过对隐函数隐含地对 x 求导而得到。
2. 曲线的曲率除了切线的斜率，我们还可以通过隐函数的二阶导数来求取曲线的曲率。
曲率可以用来衡量曲线的弯曲程度。
通过对隐函数的一阶和二阶求导，我们可以得到曲线上任一点的曲率。
曲率的计算可以帮助我们分析曲线的几何形状，并研究曲线的特性。
3. 曲面的切平面和法线对于二元隐函数 F(x, y, z) = 0，其中 z 是 x 和 y 的函数，我们可以通过隐函数求导来求取曲面上任一点的切平面和法线。
与曲线类似，隐函数的一阶偏导数可以给出切平面的方程，而法线则是切平面的垂线。
二、隐函数求导的应用隐函数求导在许多实际问题中具有重要的应用。
以下是几个常见的应用例子：1. 几何分析通过隐函数求导，我们可以分析曲线和曲面的几何性质。
例如，在解析几何中，通过对平面曲线的隐函数求导，可以求取切线的斜率，从而揭示曲线的切线方向和斜率变化。
一些特殊曲线的求导结果，如圆的导数等，可以帮助我们研究曲线的性质和特征。
python有限元自动微分
python有限元自动微分一、什么是有限元方法？有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值分析方法，用于求解复杂的工程问题。
它将一个复杂的连续体分割成许多小的离散部分，然后对每个小部分进行独立的计算。
二、什么是自动微分？自动微分（Automatic Differentiation，简称AD）是一种计算机程序技术，用于精确计算函数的导数。
它通过计算机程序自动地生成导数表达式，从而避免了手动推导导数表达式的繁琐过程。
三、有限元自动微分在Python中的应用1. 有限元库FEniCSFEniCS是一个开源的有限元软件包，它提供了一个高级别的Python 接口来定义和求解偏微分方程。
FEniCS内置了自动微分功能，在求解偏微分方程时可以直接使用。
2. 自动微分库AutogradAutograd是一个轻量级的Python库，用于计算函数及其导数。
它支持大部分Python语言特性，并且可以处理任意形状和类型的数据结构。
Autograd可以与NumPy一起使用，并且支持GPU加速。
3. 自动微分库JAXJAX是一个高性能、易于使用和可扩展的自动微分库。
它提供了一个Python接口，可以用于定义和求解偏微分方程。
JAX支持NumPy和SciPy，并且可以在CPU和GPU上运行。
四、有限元自动微分的优点1. 精度高有限元自动微分可以精确地计算函数的导数，避免了手动推导导数表达式可能出现的误差。
2. 速度快有限元自动微分使用计算机程序自动生成导数表达式，避免了手动推导导数表达式的繁琐过程，从而提高了计算速度。
3. 可扩展性强有限元自动微分可以与其他Python库一起使用，如NumPy、SciPy 等，从而扩展了应用范围。
五、总结有限元自动微分是一种先进的计算方法，在工程领域中得到广泛应用。
Python作为一种功能强大的编程语言，在有限元自动微分中也发挥着重要作用。
通过使用Python中的相关库，我们可以更加高效地求解复杂的偏微分方程，并获得更加准确的结果。
一阶隐式微分方程
03 一阶隐式微分方程的特性
稳定性分析
稳定性定义
对于一阶隐式微分方程，如果其解在某个初始条件下不随时间的推移而发生振荡或发散， 则称该解是稳定的。
线性稳定性分析
一阶隐式微分方程
目录
CONTENTS
• 引言 • 一阶隐式微分方程的解法 • 一阶隐式微分方程的特性 • 一阶隐式微分方程的实例分析 • 一阶隐式微分方程的扩展应用
01 引言
定义与理解
定义
一阶隐式微分方程是包含一个未知函 数及其导数的等式，通常表示为 (f(x, y, y') = 0)。
理解
这类方程在数学、物理、工程等领域 有广泛的应用，其解法通常涉及到数 值方法和解析方法。
VS
详细描述
在物理系统中，许多现象都可以通过一阶 隐式微分方程来描述。例如，弹簧振荡器 模型、阻尼振动模型、电磁场模型等都可 以通过一阶隐式微分方程来模拟。这些模 型可以帮助我们理解系统的动态行为，预 测未来的状态，并优化系统的性能。
经济模型
总结词
经济模型是另一类常见的一阶隐式微分方程 的应用场景，通过建立经济系统的微分方程 模型，可以分析经济现象和预测未来的发展 趋势。
要点二
详细描述
延迟微分方程描述了系统在某一时刻的状态不仅与当前时 间有关，还与其过去时刻的状态有关。解决延迟微分方程 需要使用特定的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，以 处理时间延迟和系统状态的动态变化。
分段连续型微分方程
总结词
分段连续型微分方程是一种特殊类型的一阶隐式微分方 程，它在不同的区间上具有不同的导数或斜率。
matlab求隐式微分方程
matlab求隐式微分方程
然后，我们可以使用ode45函数来求解这个隐式微分方程组。假设我们要求解在时间范围 [tstart, tend]内的方程组，初始条件为y0（一个包含y1和y2初始值的列向量），可以这样调 用ode45函数：
tspan = [tstart, tend]; % 时间范围 y0 = [y1_initial, y2_initial]; % 初始条件 [t, y] = ode45(@myODEs, tspan, y0);
matlab求隐式微分方程
在Matlab中，可以使用ode45函数求解隐式微分方程（也称为常微分方程组）。
首先，需要定义一个函数，该函数返回一个列向量，包含隐式微分方程组的每个方程。假 设我们有一个隐式微分方程组如下：
dy1/dt = f1(y1, y2, t) dy2/dt = f2(y1, y2, t)
matlab求隐式微分方程
我们可以定义一个函数，例如"myODEs"，来表示这个方程组：
function dydt = myODEs(t, y) % 定义方程组 dydt = [f1(y(1), y(2), t); f2(y(1), y(2), t)];
end
在这个函数中，返回的dydt也是一个列向 量，包含方程组的每个方程。
ode45函数会返回一个时间向量t和一个解向量y，其中y是一个矩阵，每一列对应于相应 时间点的y1和y2的值。
matlab求隐式微分方程
请注意，上述代码中的f1和f2是您需要根据具体的隐式微分方程组来定义的函数。您需要 根据实际问题来编写这些函数。
高等数学：隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法
隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法一、基本内容 1. 隐函数的微分法：方法一：利用微分法则和微分形式不变性。
方法二：假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式0))(,(≡x y x F然后利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dxdy 即可。
2. 对数微分法：先在函数两边取自然对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数。
3. 由参数方程所确定的函数的微分法：先分别求出dx 和dy ，由“微商”的概念，可得dx dy y ='，若求二阶导数，再计算y d '，而dxy d y '=''。
二、学习要求1. 会求隐函数和由参数方程所确定函数的一阶、二阶导数；2. 掌握对数微分法。
三、基本题型及解题方法 题型1 求隐函数的导数解题方法：导数又称“微商”，所以可以通过dx dy y ='，dxy d y '=''求导数，即通过微分来求导数。
【例1】求由方程yxe y -=1 所确定的隐函数y 的导数。
解： 方程两边同时微分，得 )(yxe d dy -=)(dx e dy xe dy yy+-=即 dx e dy xe yy-=+)1(当01≠+yxe 时， yyxe e dx dy +-=1。
【例2】设方程144=+-y xy x 确定了隐函数)(x y y =，求y ''在点)1,0(处的值。
解： 方程两边微分，得 04433=+--dy y ydx xdy dx x即 )4(3x y -dx x y dy )4(3-=当)4(3x y -0≠时，xy x y dx dy y --=='3344， 41)1,0(='y ， 又 ='y d 23323233)4()488()488(x y dxy y x x dy y x y x -+-++--='=''dx y d y 23323233)4()488()488(x y y y x x y y x y x -+-+'+-- 将 41,1,0)1,0(='==y y x 代入上式，得 161)1,0(-=''y 。
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１ 引言
自动微分是一种计算技术 ， 理论上可以计算任意变量任意 阶的导数和偏导数 ， 并非常容易用计算机编程实现。利用 自动
２ 自动微 分
自动微 分方法 （ Ｄ）叫 Ａ ［ 通过 分析原程 序对 象的数据相 关 － 性 ， 一系列基 于链 式求导法则的代码转换技术 ， 是 通过各种预 编译手段 ， 可以把—个函数值程序代码转换成对应 的计算微分
ｐ ｔｒ Ｅ ｇｎ ｅｉ ｇ ａ ｄ Ａ ｐｉａ ｏ ｓ ２ １ 。６ １ ： ５ － ５ ． ｕｅ ｎ ｉｅｒ ｎ ｐ ｌ ｔ ｎ ，０ ０ ４ （ ）１０ １３ ｎ ｃｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｕ ｏ ｔ ｉ ｅ ｅ ｔ ｔ ｎ ｉ ａ ｔ ｃ ｎ ｑ ｅ ｔ ｅ ａｕ ｔ ｈ ｅｉ ａｉｅ ｏ ｕ ｃ ｉｎ ｄ ｆ ｅ ｙ ａ ｏ ｕ ｅ ｒ ｇ ａ Ｔ ｉ ｓｒ ｃ ： ｔｍａ ｉ ｄ ｆ ｒｎ ｉ ｉ ｓ ｅ ｈ ｉｕ ｏ ｖ ｌａ ｅ ｔ ｅ ｄ ｒｖ ｔ ｓ ｆ ａ ｆ ｎ ｔ ｅ ｎ ｄ ｂ ｃ ｍｐ ｔｒ ｐ ｏ ｒ ｍ． ｈ ｓ ｃ ａｏ ｖ ｏ ｉ
式 曲线绘制细分算法中的研究 尚未见报道 。 绘制隐式 曲线 的细分算法 中最关键 一步是估计二元 函数
自动微分实现 的基本 出发点是 ： —个数据相对独立 的程序 对象 （ 模式 、 过程 、 程序段 、 数值语句乃至数值表达式 ）无论多 ， 么复杂 ，总可 以分解 为一系列有限数 目的基 本函数 （ ｓ 、 如 ｉ ｎ
ｅｐ ｌ ） ｘ 、 ｇ和基本运算 操作（ 、 、 、 、 ｏ 加 减 乘 除 乘方 ） 的有序复合 ； 对
在矩形 区域 内的取值范 围 ， 常用的方法是 自然 区间法 、 泰勒展 开法等。 多变量函数的泰勒表达式展开 中需要对导数和偏导数 进行计算 ， 这为 自动微分方法与泰勒展开法相结合用于绘制隐 式 曲线提供 了条件 。 在未使用 自动微分 以前常规泰勒展开法对 二元 函数泰勒展开式 余项中偏导数取值范围的估计是靠 手工 完成的 ， 而现在结合 自动微分方法就可 以通过计算机 程序代码 高效 、 精确地估计出泰勒展开式余项中偏导数取值范围 。该文 将把应 用 自动微分 的方 法与 自然区间法及手动 的泰勒展 开法 对绘制曲线的效果进行比较和分析 ， 以揭示 自动微分在隐式曲
方 面 的优 势 。
关键 词 ： 自动微 分 ； 式 曲 线 ； 勒 方 法 隐 泰 Ｄ ：０３ ７￣ｉ ｎ１０ — ３ １ ０ ００ ． ６ 文 章编 号 ：０ ２ ８３ （０ ０ ０ — １０ ０ 文 献 标 识 码 ： 中 图 分 类号 ：Ｐ ９ ＯＩ１ ． ８ ．ｓ．０ ２ ８ ３ ． １ ．１ ４ ７ ｓ ２ ０ １０ — ３ １ ２ １ ） １０ ５ — ４ Ａ Ｔ ３１
的程 序代码 。
微分的易编程 、 高效率及高计算精度等特点来实现计算机 图形 学里 的隐式 曲线绘制 ， 既可 以降低算法 的时 间复杂性 ， 又能提 高图形绘制 的质量 。 虽然 目前研究 自动微分的文献已经 非常丰富 ， 是把 自动 但 微分应用在计算机图形学里的研究尚不多见 ， 尤其是应用在隐
浙江工业大学 理学院 ， 杭州 ３ ０ ２ １０ ３
Ｃ ｌ ｇ ｆＳｉ ｃ ，ｈｊ ｎ ｎｖｒｉ ｆＴｃ ｎｌ ｙ Ｈ ｎｚｏ ０ ３ Ｃ ｉ ｏ ｅｅ ｏ ｃ ｎ ｅＺ ｅｉ ｇ Ｕ ｉ ｓｙ ｏ ｅｈ ｏ ｇ ， ａｇｈｕ ３０ ２ ，ｈｎ ｌ ｅ ａ ｅ ｔ ｏ １ ａ
Ｓ ＨＯＵ ａ ｈａ ， Ｈｕ － ｏ ＨＥ ｎ ， Ｉ Ｐｉｇ Ｍ ＡＯ Ｙｏ ｇ ｗｅ． ｔｍ ａｉ ｉ ｅ ｅ ｔ ｔｏ ｎ ｔ ｐ ｌ ａ ｏ ｎ ｉ ｐｉｉ ｕ ｖ ｐｏｔ ｇＣｏ ｎ— ｉ Ａｕ ｏ ｔ ｄｆ ｒ ｎｉ ｉｎ ａ ｄ ｉ ａ ｐｉ ｔ ｎ ｉ ｍ ｌ ｔ ｃ ｒ ｅ ｌｔｉ ． ｍ－ ｃ ｆ ａ ｓ ｃｉ ｃ ｎ
１０ ２ １ ，６ １ ５ ０ ０ ４ Ｊ ） （
Ｃ ｍ ｕｅ ｎｉ ｅｉ ｎ ｐ ｌａｉ ｓ ｏ ｐ ｔ Ｅ ｇ ｅ ｒ ｇ ａｄＡ ｐｉ ｔ ｎ 计算机工程与应用 ｒ ｎ ｎ ｃ ｏ
自动微 分在 隐式 曲线绘制 中的应用
寿华好 ， 何 苹， 缪永伟
ＳＨＯＵ Ｈｕａ ａ ＨＥ ｎ ＭＩ —ｈ ｏ， Ｐｉ ｇ， ＡＯ Ｙｏ ｇ ｎ －ｗｅ ｉ
摘
要： 自动微分是用于计算 多变量函数 的导数和偏导数的一种微 分技 术， 在给定一个 多变量光 滑函数值 的程序代码后 ， 可以很
容 易地利用 自动微分来实现有 关导数和偏导数的精确计算 。将 自动微分技术与泰勒方法相结合应 用到计算机 图形学领域 隐式 函 数 曲线绘 制的细分算法 中， 并与未使 用 自动微分技术前的隐式曲线绘制方法作 比较和分析 ， 展示 了 自动微分方法在绘 制隐式 曲线