广东省翠园中学11-12学年高二上学期期中试题数学理
广东省珠海市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省珠海市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线，则该直线的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （2分）直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距为（）A . ﹣1B .C . -D . 13. （2分） (2017高二下·宜昌期末) 抛物线y= x2的准线方程为（）A .B . y=﹣2C . x=﹣2D . x=﹣4. （2分）经过圆x2﹣2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）A . x+2y﹣1=0B . x﹣2y﹣2=0C . x﹣2y+1=0D . x+2y+2=05. （2分）在直角坐标平面内，满足方程的点（x，y）所构成的图形为（）A . 抛物线及原点B . 双曲线及原点C . 抛物线、双曲线及原点D . 两条相交直线6. （2分）已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0 ， y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A . 相离B . 相切C . 相交D . 不能确定7. （2分）(2017·邯郸模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y= x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·太原月考) 已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·宁波期末) 已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·和平期末) 若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤1或x≥2}，则点P（b，c）的轨迹是（）A .B .C .D .11. （2分）已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A .B . 1C .D .12. （2分） (2019高二下·瑞安期中) 设为椭圆的左，右焦点，点M在椭圆C上．若△ 为直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)、B(－2,4,3)，则z＝________.14. （1分） (2018高二上·鹤岗期中) 下列命题正确的是________（写出正确的序号）①若、， ,则动点的轨迹是双曲线左边一支；②已知椭圆的长轴在轴上,若焦距为 ,则实数的值是；③抛物线的焦点坐标是.15. （1分） (2019高二下·杭州期中) 已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为________.16. （1分）(2017·南京模拟) 集合L={l|l与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线l′∈L，点P（﹣1，2）到直线l′的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为________．三、解答题 (共4题；共40分)17. （5分） (2016高二上·江北期中) 是否存在过点（﹣5，﹣4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求出直线l的方程（化成直线方程的一般式）；若不存在，说明理由．18. （10分）已知圆，直线l与圆C1相切于点A（1，1）；圆C2的圆心在直线x+y=0上，且圆C2过坐标原点．（1）求直线l的方程；（2）若圆C2被直线l截得的弦长为8，求圆C2的方程．19. （10分）(2020·温岭模拟) 点是抛物线内一点，F是抛物线C的焦点，Q是抛物线C上任意一点，且已知的最小值为2.（1）求抛物线的方程；（2）抛物线C上一点处的切线与斜率为常数的动直线相交于P，且直线l与抛物线C相交于M、N两点.问是否有常数使？20. （15分） (2019高二上·德州月考) 已知点在平行于轴的直线上，且与轴的交点为，动点满足平行于轴，且 .（1）求出点的轨迹方程.（2）设点，，求的最小值，并写出此时点的坐标.（3）过点的直线与点的轨迹交于 . 两点，求证 . 两点的横坐标乘积为定值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共40分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。
2024-2025学年贵州省贵阳市乌当区高二上学期期中数学检测试题(附解析)
2024-2025学年贵州省贵阳市乌当区高二上学期期中数学检测试题考试范围：选择性必修一第一章至第三章（椭圆）；钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题a=(−1,2,1),b=(1,2,3)(a+b)⋅(2a−b)=1．若，则（）A．4B．5C．21D．26【正确答案】A【难度】0.85【来源】四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算a+b,2a−b【分析】先得到的坐标，再利用数量积运算求解.a=(−1,2,1),b=(1,2,3)【详解】因为，a+b=(0,4,4),2a−b=(−3,2,−1)所以，(a+b)⋅(2a−b)=0×(−3)+4×2+4×(−1)=4则.故选：Al1:x−my−1=0l2:(m−2)x−3y+1=0m=−1l1∥l2 2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【正确答案】C【难度】0.65【来源】贵州省铜仁市第八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数m【分析】利用两直线平行解出的值即可.l1∥l21×(−3)=(m−2)(−m)m=−1m=3【详解】由题意，若，所以，解得或，m=−1m=3l1∥l2经检验，或时，，则“”是“”的充分不必要条件，m =−1l 1∥l 2故选：C ．3．下列命题中，不正确的命题是（ ）A ．空间中任意两个向量一定共面B ．若，则存在唯一的实数，使得a ∥b λa =λbC ．对空间中任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若，则OP =2OA−4OB +3OC P ，A ，B ，C 四点共面D ．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底{a ,b ,c }m =a +c {a ,b ,m }【正确答案】B 【难度】0.85【来源】广东省佛山市顺德区容山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面，所以空间中任意两个向量一定共面，A 选项正确.B 选项，若，可能是非零向量，是零向量，a ∥b a b 此时不存在，使，所以B 选项错误.λa =λb C 选项，对于，有，所以四点共面，OP =2OA−4OB +3OC 2+(−4)+3=1P,A,B,C 所以C 选项正确.D 选项，若是空间的一个基底，，{a ,b ,c }m =a +c 假设，，m =xa +yb a +c =xa +yb ,c =(x−1)a +yb 则共面，与已知矛盾，所以不共面，a ,b ,c a ,b ,m 所以是基底，所以D 选项正确.{a ,b ,m }故选：B4．阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆π的面积为，，为椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆C 上任意一点.C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)4πF 1F 2若，则椭圆C 的焦距为( ).|PF 1|+|PF 2|=8A ．B ．2C ．D ．321523【正确答案】C 【难度】0.94【来源】湖南省部分学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的焦点、焦距【分析】先通过，确定a 的值，再通过椭圆的面积公式求出b ，最后求出|PF 1|+|PF 2|=8c ，即可得到椭圆的焦距.【详解】根据题意可得，则，abπ=4πab =4因为，所以，则，|PF 1|+|PF 2|=2a =8a =4b =1所以椭圆C 的焦距为：2c =24−1=215.故选：C.5．如图所示，在平行六面体中，点E 为上底面对角线的中点，若ABCD−A 1B 1C 1D 1A 1C 1，则（ ）BE =AA 1+xAB +yADA ．B ．x =−12,y =12x =12,y =−12C ．D ．x =−12,y =−12x =12,y =12【正确答案】A 【难度】0.85【来源】贵州省铜仁市第八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；BE =BB 1+12(BA +BC )=AA 1+12BA +12BC=AA 1−12AB +12AD ,又∵BE =AA 1+xAB +yAD ∴x =−12,y =12,故选：A6．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是m x 22−m+y 2m−1=1x m （ ）A ．B ．32<m <2m >32 C ．D ．1<m <21<m <32【正确答案】D 【难度】0.65【来源】广东省深圳市翠园中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.x 22−m+y 2m−1=1x 2−m >m−1>01<m <32故选：D7．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系a,b ax +by =2x 2+y 2=1P (a,b )（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定【正确答案】B 【难度】0.85【来源】湖北省宜昌市第一中学、荆州中学2024-205学年高二上学期十月联考数学试卷【知识点】判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数【分析】由直线与圆相切计算与圆心距离即可得答案.ax +by =2x 2+y 2=1P (a,b )【详解】因与圆相切，则.ax +by =2x 2+y 2=12a 2+b2=1⇒a 2+b 2=4则到圆心的距离为，则在圆外.P (a,b )a 2+b 2=2>1P (a,b )故选：B8．已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方A (−1,0)B:(x−1)2+y 2=16程为（ ）A ．B ．C ．D ．x 23+y 22=1x 216+y 29=1x 24+y 23=1x 25+y 24=1【正确答案】C 【难度】0.65【来源】河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程【分析】设动圆圆心为，半径为，根据两圆位置关系得到P(x,y)R ，再利用椭圆的定义，即可求解.(x +1)2+y 2+(x−1)2+y 2=4【详解】设动圆圆心为，半径为P(x,y)R因为圆的圆心为，半径为，B:(x−1)2+y 2=16B(1,0)r =4由题有，又动圆过点，得，r−R =|PB |A (−1,0)4−(x +1)2+y 2=(x−1)2+y 2即，则到两定点的距离之和为，(x +1)2+y 2+(x−1)2+y 2=4P(x,y)(−1,0),(1,0)4由椭圆的定义可知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，P(x,y)F 1(−1,0),F 2(1,0)2a =4因为，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为，a =2,c =1b 2=4−1=3x 24+y 23=1故选：C.二、多选题9．已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（ ）l:Ax +By +C =0A,B A ．当时，过坐标原点C =0l B ．当时，的倾斜角为锐角AB >0l C ．当时，和轴平行B =0,C ≠0l xD ．若直线过点，直线的方程可化为l P(x 0,y 0)l A (x−x 0)+B (y−y 0)=0【正确答案】AD 【难度】0.85【来源】贵州省贵阳市2023-2024学年高二上学期11月普通高中质量监测数学试卷【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化【分析】选项A ，原点坐标适合直线方程；选项B ，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C ，方程变形为可知；选项D ，由直线过点，得，x =−CAl P(x 0,y 0)C =−Ax 0−By 0代入直线方程可得.【详解】选项A ，当时，是方程的解，C =0{x =0y =0 Ax +By =0即过坐标原点，故A 正确；l 选项B ，当时，直线的方程可化为，AB >0l:Ax +By +C =0y =−A B x−CB则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B 错误；k =−AB <0l 选项C ，当时，由不全为0，，B =0,C ≠0A,B A ≠0直线的方程可化为，l:Ax +By +C =0x =−CA故直线和轴垂直，不平行，故C 错误；l x 选项D ，直线过点，则，l P(x 0,y 0)Ax 0+By 0+C =0可得，代入直线方程，C =−Ax 0−By 0l:Ax +By +C =0得，即，故D 正确.Ax +By−Ax 0−By 0=0A (x−x 0)+B (y−y 0)=0故选：AD.10．已知，，，，则（ ）A (1,8,11)B (2,6,9)C (3,4,10)D (1,8,14)A ．B ．直线AB 的一个方向向量为|AB |=3(−12,−1,1)C ．四点共面D ．点到直线的距离为A,B,C,D C AB 5【正确答案】ACD 【难度】0.65【来源】云南省2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题【知识点】空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法【分析】用空间点的距离公式求得向量的模长，直线上两点的得到向量即为直线的一个方向向量；向量共线即可判断点共面；直线上一点和直线外的点组成的向量的模长即该向量在直线上的投影与该点到直线的距离满足勾股定理，由此算出点到直线的距离.【详解】，A 正确；|AB |=(2−1)2+(6−8)2+(9−11)2=3，B 错误；AB =(1,−2,−2)由题意得，则，所以四点共面，C 正确；CD =(−2,4,4)CD =−2AB A,B,C,DAC=(2,−4,−1)|AC|=4+16+1=21AC⋅AB=2+8+2=12C AB ，，，则点到直线的21−(123)2=5，D正确.故选：ACD.M:(x−3)2+(y−4)2=4l:mx−y−2m+3=0l M A C 11．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（）l(2,3)A．直线恒过定点lB．直线与圆恒相交|AC|23C．的最小值为(a,b)M a2+b2−2b21−122D．若点在圆上，则的最小值是【正确答案】ABD【难度】0.65【来源】重庆市字水中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（I卷）【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）、判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】结合直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系相关知识点对选项逐一分析判断即可.l:mx−y−2m+3=0⇔m(x−2)−y+3=0【详解】对于选项A，直线，x=2,y=3l(2,3)可得当时方程恒成立，即直线恒过定点，故A正确；l(2,3)对于选项B，因为直线恒过定点，根据圆M的标准方程可得，(2−3)2+(3−4)2=2<4(2,3)l，所以点在圆M内，所以直线与圆恒相交，故B正确；(2,3)|PM|=(4−3)2+(3−2)2=2对于选项C，如图所示，设为点P，则，|AC|当直线l于MP的连线垂直时，取得最小值，此时由圆的弦长公式可得，，|AC |=2|AM |2−|PM |2=222−22=22故C 错误；对于选项D ，a 2+b 2−2b =a 2+(b−1)2−1=(a 2+(b−1)2)2−1可将其看成点到点距离的平方再减1，(a,b)(0,1)由于是圆上的点，如图所示，(a,b)，连结，则ME 于圆的交点即为,E(0,1)ME P(a,b)此时取得最小值，|PE|(3−0)2+(4−1)2−2=32−2故此时的最小值为，a 2+b 2−2b (32−2)2−1=21−122故D 正确.故选：ABD.三、填空题12．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 l 12x +y +1=0l 2ax +2y +c =025a +c =．【正确答案】或26−14【难度】0.85【来源】贵州省2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离【分析】可先通过两直线平行求出参数，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离a 公式求解即可.【详解】因为，所以，解得，l 1//l 22×2−1×a =0a =4则：，可化直线为，l 24x +2y +c =0l 14x +2y +2=0所以与的距离为，解得或l 1l 2|c−2|42+22=25c =−18c =22则或．a +c =−14a +c =2613．椭圆的长轴长为12，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为.C x 26+y 24=1C 【正确答案】x 236+y 234=1【难度】0.85【来源】广东省深圳市翠园中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】根据椭圆方程求a 、b 、c 、根据a 、b 、c 求椭圆标准方程、求椭圆的焦点、焦距【分析】首先根据已知椭圆方程求出焦点坐标，并确定焦点位置和的值，再根据长轴长求得c 的值，最后根据，，的关系求解椭圆方程即可a abc 【详解】根据已知椭圆方程，易知焦点坐标为，得：焦点位置在轴且x 26+y 24=1(±2,0)x ；c =2由于椭圆的长轴长为，因此得：，即，C 122a =12a =6由于，因此得：椭圆的标准方程为：.b 2=a 2−c 2=36−2=34C x 236+y 234=1故x 236+y 234=114．已知椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若为等腰三角形，则C 的△ABF 离心率为 ．【正确答案】−1+32【难度】0.85【来源】河北省唐山市2024-2025学年高三上学期摸底演练数学试题【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为，2a,2b,2c (a >0,b >0,c >0)则，且根据椭圆的性质易知，a 2=b 2+c 2F (−c,0),A (a,0),B (0,b )所以，|AB |=a 2+b 2,|AF |=a +c,|BF |=a 显然若为等腰三角形，则只能有，△ABF |AB |=|AF |即，a 2+b 2=(a +c )2⇒a 2−2ac−2c 2=0则.1−2ca −2(c a)2=0⇒e =c a =−1+32故−1+32四、解答题15．如图，在正方体中，E 为的中点，F 为的中点．ABCD−A 1B 1C 1D 1C 1D 1B 1C 1(1)求证：EF //平面ABCD ；(2)求直线DE ，BF 所成角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)．45【难度】0.85【来源】贵州省铜仁市第八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题【知识点】证明线面平行、共面直线夹角的向量求法【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行；（2）以D 为坐标原点，向量，，方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐DA DC DD 1标系，根据空间角的计算公式计算即可.【详解】（1）证明：如图连B 1D 1∵几何体为正方体，ABCD−A 1B 1C 1D 1∴，EF ∥B 1D 1∴EF ∥BD∵EF ∥BD ，平面ABCD ，平面ABCD ，BD ⊂EF ⊂∴平面ABCD ；EF //（2）解：以D 为坐标原点，向量，，方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直DA DC DD 1角坐标系令，可得点D 的坐标为，点E 的坐标为，点F 的坐标为，点B 的AB =2(0,0,0)(0,1,2)(1,2,2)坐标为，(2,2,0)，BF =(−1,0,2)DE =(0,1,2)DE ，BF 所成角的余弦值为cos〈DE ,BF〉=|DE BF ||DE |⋅|BF |=41+4⋅1+4=4516．已知点，.M(−2,6)N(4,−6)(1)求直线MN 的一般式方程；(2)求以线段MN 为直径的圆的标准方程；(3)求（2）中的圆在点处的切线方程.P(6,6)【难度】0.85【来源】福建省部分达标学校2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试题【知识点】直线的一般式方程及辨析、由圆心（或半径）求圆的方程、过圆上一点的圆的切线方程【分析】（1）利用两点式求出直线斜率，然后利用点斜式方程求解即可；（2）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；（3）先求得切线的斜率，代入点斜式直线方程，即可求解.【详解】（1）直线MN的斜率为，6−(−6)−2−4=−2则直线MN 的方程为，即.y−6=−2(x +2)−2x +y +2=0（2）由题意可知圆心C 为线段MN 的中点，即，C (2,0)半径，r =(−2−2)2+(6−0)2=213故所求圆的标准方程为.(x−2)2+y 2=52（3）直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为，6−06−2=3223故所求的切线方程为，即.y−6=32(x−6)3x−2y−6=017．求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，P (x,y )F (c ,0)P l x =a 2c c a(0<c <a)记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程；P C C (2)长轴长为8，短轴长为4；【正确答案】(1)(2)；或；x 2a 2+y 2b2=1x 216+y 24=1y 216+x 24=1【难度】0.85【来源】河北省邯郸市大名县第一中学等校2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题【知识点】轨迹问题——椭圆、根据双曲线过的点求标准方程【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程.C 【详解】（1）依题意，，即，(x−c )2+y 2|a2c−x |=ca(x−c )2+y 2=|a−cxa |两边平方得 化简的,由得，+(a 2−c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2−c 2)(0<c <a)a 2=b 2c2整理得.x 2a 2+y 2b 2=1（【详解】（2）根据题意，若焦点在y 轴上，长轴长为8，短轴长为4，即，，2a =82b =4则有，，故要求椭圆的标准方程为；a =4b =2y 216+x 24=1若焦点在x 轴上，长轴长为8，短轴长为4，即，，2a =82b =4则有，，故要求椭圆的标准方程为；a =4b =2x 216+y 24=118．如图，在等腰梯形中，，，，为中点，点，ABCD BC//AD BC =12AD =2∠A =60°E ADO 分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面F BE DE △ABE BE △A 1BE A 1BE ⊥（如图）．BCDE(1)求证：平面；BE ⊥A 1OC (2)求直线与平面所成角的正弦值；A 1B A 1CE 【正确答案】(1)证明见解析(2)155【难度】0.65【来源】上海市洋泾中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法【分析】（1）通过证明，，可证明相关结论；CO ⊥BE A 1O ⊥BE （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面法向量，后由空间向量知识可得答案；A 1CE 【详解】（1）证明：因，且，则四边形是平行四边形.，BC//DE BC =DE BCDE 则，又四边形为等腰梯形，则，BE =CD ABCD AB =BE 结合可得是等边三角形.又为中点，则；∠A =60°△A 1BE O BE A 1O ⊥BE 如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形.CE BC//AE BC =AE BCEA 结合是等边三角形，可得四边形是菱形，△A 1BE BCEA 则是等边三角形，又为中点，则.△BCE O BE CO ⊥BE 因为平面，，所以；A 1O ，CO ⊂A 1OC A 1O ∩CO =O BE ⊥平面A 1OC （2）因平面平面，平面平面，A 1BE ⊥BCDE A 1BE ∩BCDE =BE 平面，，则平面.A 1O ⊂A 1BE A 1O ⊥BE A 1O ⊥BCDE 又由（1）可得，则如图建立以为原点的空间直角坐标系.CO ⊥BE O 则.O (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A 1(0,0,3)，E (−1,0,0)则.A 1B =(1,0,−3)，A 1C =(0,3,−3)，A 1E =(−1,0,−3)设平面的法向量为，A 1CE n =(x,y,z )则，取，则，{n ⋅A 1C =3y−3z =0n ⋅A 1E =x +3z =0y =1x =−3,z =1所以为平面的一个法向量，n =(−3,1,1)A 1CE 设直线与平面所成角为，则；A 1B A 1CE θsinθ=|cosA 1B ,n |=|−232×5|=15518．已知椭圆E ：的短轴长为2，且离心率为，O 为坐标原点.x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）22(1)求E 的方程；(2)过点且不与y 轴重合的动直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，求面积的最大P(0,2)△OAB 值及此时直线l 的方程.【正确答案】(1)x 22+y 2=1(2)；或2214x−2y +4=014x +2y−4=0【难度】0.65【来源】江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题【知识点】根据a 、b 、c 求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；（2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，l:y =kx +2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)y 结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程.【详解】（1）设的半焦距为，E c(c >0)由已知，得，解得，{b =1c a=22a 2=b 2+c 2{a =2b =1故的方程为.E x 22+y 2=1（2）由题可设.l:y =kx +2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)将代入，消去，得.y =kx +2x 22+y 2=1y (1+2k 2)x 2+8kx +6=0当，即时，有.Δ=2k 2−3>0k 2>32x 1+x 2=−8k1+2k 2,x 1x 2=61+2k 2所以|AB |=1+k 2⋅|x 1−x 2|=(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=21+k 2⋅4k 2−62k 2+1又点到直线的距离，O l d =21+k 2所以的面积.△OAB S △OAB =12d ⋅|AB |=24k 2−62k 2+1设，则，4k 2−6=t t >0,S △OAB =4t t 2+8=4t +8t≤442=22当且仅当，即时等号成立，且满足.t =22k =±142Δ>0所以的面积最大值为，△OAB 22此时直线的方程为或.l 14x−2y +4=014x +2y−4=0。
广东省深圳市翠园中学2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
广东省深圳市翠园中学2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分40分．1．（5分）复数z=，则|z|=（）A．B．C．D．22．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=03．（5分）已知p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，那么下列结论正确的是（）A．非P：∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．非P：∀x∈R，x2+2x+2＞0C．非P：∃x0∈R，x02+2x0+2≥0 D．非P：∀x∈R，x2+2x+2≥04．（5分）若椭圆经过原点，且焦点为F1（﹣1，0）、F2（﹣3，0），则其离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）曲线y=x2+在点P（1，2）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣1=07．（5分）已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（）A．（1，1，1）B．（1，0，1）C．（0，1，1）D．（0，0，1）8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．9．（5分）《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是．（在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项）10．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若=+x+y，则x﹣y等于．11．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．12．（5分）求值e|x|dx=．13．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么|PF|=．14．（5分）做一个封闭的圆柱形锅炉，容积为V，若两个底面使用的材料与侧面的材料相同，问锅炉的高与底面半径的比为时，造价最低．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知p：∀x∈，a≥，q：∃x∈R，x2+4x+a=0．若“p∧q”是真，求实数a的取值范围．16．（12分）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）在R上满足f（﹣x）=﹣f（x），当x=1时f（x）取得极值﹣2．（1）f（x）的解析式．（2）求f（x）的单调区间和极大值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A=，AD=1，DC=2，点E为AB中点．（1）求直线A1D与直线CE所成角的余弦值．（2）求二面角D1﹣EC﹣A的大小．18．（14分）首项为正数的数列{a n}满足a n+1=（a n2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，a n都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=clnx+b，且x=是函数y=f（x）的极值点，直线l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线．（1）求实数a的值和直线l的方程．（2）若直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x0，y0），x0∈，求实数b的取值范围．广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分，满分40分．1．（5分）复数z=，则|z|=（）A．B．C．D．2考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数z===，则|z|==．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0考点：圆的一般方程；抛物线的简单性质．分析：先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程解答：解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．点评：本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．3．（5分）已知p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，那么下列结论正确的是（）A．非P：∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．非P：∀x∈R，x2+2x+2＞0C．非P：∃x0∈R，x02+2x0+2≥0 D．非P：∀x∈R，x2+2x+2≥0考点：的否定．专题：阅读型．分析：本题考查了，要注意多量词和结论同时进行否定，∃的否定为∀，≤的否定为＞解答：解：由含有量词的否定的定义得：p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0的否定为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，故选B点评：本题考查了含有量词的的否定，属于基础题．4．（5分）若椭圆经过原点，且焦点为F1（﹣1，0）、F2（﹣3，0），则其离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆定义直接计算即可．解答：解：由题可知：长轴长2a=+=4，∴a=2，焦距2c=﹣1﹣（﹣3）=2，即c=1，∴e==，故选：B．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：简易逻辑．分析：先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．解答：解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．点评：本题考查利用充要条件的定义判断一个是另一个的什么条件．6．（5分）曲线y=x2+在点P（1，2）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．解答：解：函数的导数为f′（x）=2x﹣，则f′（1）=2﹣1=1，即切线斜率为1，则函数在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=x﹣1，即x﹣y+1=0，故选：C点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键．7．（5分）已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（）A．（1，1，1）B．（1，0，1）C．（0，1，1）D．（0，0，1）考点：平面的法向量．专题：空间向量及应用．分析：设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）．可得，解出即可．解答：解：设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）．则，解得x=y=0．∴只有D中的向量（0，0，1）满足条件．故选：D．点评：本题考查了平面的法向量、线面垂直的性质、数量积运算性质，考查了技能数列，属于基础题．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．考点：双曲线的定义；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，由此可求出P到x轴的距离．解答：解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，即cos60°=，解得，所以，故P到x轴的距离为故选B．点评：本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．9．（5分）《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是演绎推理．（在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项）考点：演绎推理的基本方法．专题：证明题；推理和证明．分析：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理是从一般到特殊的推理，题目中所给的这种推理符合演绎推理的形式．解答：解：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题目中所给的这种推理符合演绎推理的形式，故答案为：演绎推理．点评：本题考查演绎推理的意义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独出现的几率不大，通过这个题目同学们要掌握几种推理的特点，学会选择．10．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若=+x+y，则x﹣y等于0．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：如图所示，=，，，，可得，即可得出．解答：解：如图所示，=，，，，∴，与=+x+y比较可得x=y=，∴x﹣y=0．故答案为：0．点评：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n﹣1）．考点：归纳推理．专题：压轴题；阅读型．分析：通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．解答：解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．点评：本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．12．（5分）求值e|x|dx=2e﹣2．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用定积分的运算法则将已知定积分分段然后计算求值．解答：解：原式===2e﹣2；故答案为：2e﹣2．点评：本题考查了定积分的计算；关键是利用定积分的运算法则将已知定积分分段求值．13．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么|PF|=8．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x=﹣2，∵直线AF的斜率为﹣，直线AF的方程为y=﹣（x﹣2），由可得A点坐标为（﹣2，4）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），∴|PF|=|PA|=6﹣（﹣2）=8故答案为8点评：本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题．14．（5分）做一个封闭的圆柱形锅炉，容积为V，若两个底面使用的材料与侧面的材料相同，问锅炉的高与底面半径的比为1：2时，造价最低．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：两个底面使用的材料与侧面的材料相同，面积最小，造价最低．解答：解：设圆柱的底面半径r，高h，容积为v，则V=πr2h，∴h=S==2πr（）≥6•πr当且仅当即r=时，S最小即造价最低，此时h==∴r=2h故答案为：1：2．点评：本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，利用基本不等式的关键是要符合其形式，并且要注意验证等号成立的条件．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知p：∀x∈，a≥，q：∃x∈R，x2+4x+a=0．若“p∧q”是真，求实数a的取值范围．考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：分别求出p，q成立时的a的范围，从而得到“p∧q”是真时的a的范围．解答：解：设f（x）=（1≤x≤e），则f′（x）=，又1≤x≤e，∴1﹣lnx≥0，即f′（x）≥0，∴f（x）在递增f（x）max=f（e）=，由已知得，p：a≥，由q，有△=16﹣4a≥0即a≤4，又“p∧q”是真∴a≥且a≤4成立，即≤a≤4，故实数a的取值范围是．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了方程问题，考查了复合的真假的判断，是一道基础题．16．（12分）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）在R上满足f（﹣x）=﹣f（x），当x=1时f（x）取得极值﹣2．（1）f（x）的解析式．（2）求f（x）的单调区间和极大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由f（﹣x）=﹣f（x）可得d=0，得f（x）=ax3+cx，求出f'（x），得方程组，解出即可；（2）由f（x）=x3﹣3x得f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）=0得x1=﹣1，x2=1，从而求出单调区间，进而求出极值．解答：解：（1）∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由f（0）=0可得d=0，∴f（x）=ax3+cx，f'（x）=3ax2+c，当x=1时f（x）取得极值﹣2，∴，解方程组得a=1，c=﹣3，故所求解析式为f（x）=x3﹣3x．（2）由f（x）=x3﹣3x得f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）=0得x1=﹣1，x2=1，即增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间（﹣1，1）；∴当x=﹣1时，函数有极大值2．点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的极值问题，属于中档题．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A=，AD=1，DC=2，点E为AB中点．（1）求直线A1D与直线CE所成角的余弦值．（2）求二面角D1﹣EC﹣A的大小．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）根据异面直线所成角的定义即可求直线A1D与直线CE所成角的余弦值．（2）根据二面角的定义求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角D1﹣EC ﹣A的大小．解答：解：（1）连接B1C，B1E，由题意B1C∥A1D，则∠B1CE即为直线A1D与直线CE所成角，在长方体中，A1A=，AD=1，DC=2，E为AB中点，有B1C=B1E=，EC=，又在等腰△B1EC中，有cos∠B1CE===，故直线A1D与CE所成角的余弦值为．（2）连DE，由条件得DE=CE=，又DC=2，在△DEC中，DE2+EC2=CD2，∴DE⊥EC，又根据已知得D1D⊥EC，且D1D∩DE=D，∴EC⊥平面D1DE，D1E⊂平面D1DE，∴EC⊥D1E，∴∠D1DE即为所求的角．在△D1DE中，tanD1DE=，又∠D1DE为锐角，∴∠D1DE=45°，故二面角D1﹣EC﹣A的大小为45°．点评：本题主要考查异面直线所成角以及二面角的求解，根据空间角的定义，利用定义法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18．（14分）首项为正数的数列{a n}满足a n+1=（a n2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，a n都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：计算题；证明题．分析：（1）首先在n=1时，知a1为奇数，再利用归纳法证明对一切n≥2，a n都是奇数；（2）先求出a n+1﹣a n的表达式，利用函数思想求解不等式a n+1﹣a n＞0，求出a n取值范围，利用归纳法求出a1的取值范围．解答：（1）证明：已知a1是奇数，假设a k=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a k+1==m（m﹣1）+1是奇数．根据数学归纳法，对任何n≥2，a n都是奇数．（2）法一：由a n+1﹣a n=（a n﹣1）（a n﹣3）知，a n+1＞a n当且仅当a n＜1或a n＞3．另一方面，若0＜a k＜1，则0＜a k+1＜=1；若a k＞3，则a k+1＞=3．根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜a n＜1，∀n∈N+；a1＞3⇔a n＞3，∀n∈N+．综上所述，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．法二：由a2=＞a1，得a12﹣4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．a n+1﹣a n=﹣=，因为a1＞0，a n+1=，所以所有的a n均大于0，因此a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号．根据数学归纳法，∀n∈N+，a n+1﹣a n与a2﹣a1同号．因此，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．点评：此题主要考查数学归纳法求解有关数列的问题时的应用．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP 与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．解答：解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．点评：本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=clnx+b，且x=是函数y=f（x）的极值点，直线l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线．（1）求实数a的值和直线l的方程．（2）若直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x0，y0），x0∈，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；分段函数的应用．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆．分析：（1）求出x＞0的f（x）的导数，由条件可得f′（）=0，解得a=1，可得函数y=f （x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，求得g（x）在切点处的切线的斜率和切线方程，由两直线重合的条件可得b的解析式，记h（x0）=2e2（x0﹣x0lnx0﹣2），其中x0∈，运用导数求得单调区间，极值、最值，即可得到b的范围．解答：解：（1）x＞0时，f（x）=（x2﹣2ax）e x，f′（x）=（2x﹣2a）e x+（x2﹣2ax）e x=e x，由已知，f′（）=0，即有=0，即2+2（1﹣a）﹣2a=0，得a=1，所以x＞0时，f（x）=（x2﹣2x）e x，f′（x）=（x2﹣2）e x，即f（2）=0，f′（2）=2e2，则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e2x﹣4e2；（2）由于直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x0，y0），x0∈，即y0=clnx0+b，g′（x）=所以切线l的斜率为g′（x0）=，所以切线l的方程为y﹣y0=（x﹣x0），即l的方程为：y=x﹣c+b+clnx0，于是可得⇒，所以b=2e2（x0﹣x0lnx0﹣2）其中x0∈，记h（x0）=2e2（x0﹣x0lnx0﹣2），其中x0∈，h′（x0）=2e2（1﹣（lnx0+1））=﹣2e2lnx0，令h′（x0）=0，得x0=1，当x∈时，h′（x0）＜0，h（x0）递减．即有x0=1处b取得极大值，也为最大值，且为﹣2e2，当x0=e﹣1时，b=4e﹣4e2，当x0=e时，b=﹣4e2，即有b的最小值为﹣4e2，则b的取值范围是．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和直线方程的运用，正确求导和构造函数以及运用直线重合的条件是解题的关键．。
广东省2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析
深圳2022-2023学年度第一学期期中考试试题高二数学（答案在最后）考试时长：120分钟，卷面总分：150分一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）1.在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为1-且倾斜角为3π4的直线方程为．A.10x y ++=B.10x y +-= C.10x y -+= D.10x y --=【答案】A 【解析】【详解】由题意可得，直线的斜率1k =-，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）根据直线方程的斜截式可知所求的直线方程为=1y x --，即10x y ++=，故选：A ．2.圆220x y ax ++=的圆心横坐标为1，则a 等于（）．A.1B.2C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为1，可求a 值.【详解】圆220x y ax ++=的圆心坐标为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴12a-=，解得2a =-．故选：D ．【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.3.在递增的等差数列{}n a 中，已知4a 与6a 是方程210240x x -+=的两个根，则20a =（）A.19B.20C.21D.22【答案】B 【解析】【分析】根据方程的根与递增的等差数列，可得4646a a =⎧⎨=⎩，于是可求得公差1d =，则由等差数列的通项性质可得20a 的值.【详解】解：4a 与6a 是方程210240x x -+=的两个根，方程为()()460x x --=则4646a a =⎧⎨=⎩或6446a a =⎧⎨=⎩，由于递增的等差数列{}n a 中，所以4646a a =⎧⎨=⎩，则公差64164a a d -==-所以2041641620a a d =+=+=.故选：B.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则8a =A.16 B.15C.14D.13【答案】B 【解析】【详解】设公差为d ，由253,25a S ==可得11543,5252a d a d ⨯+=+=∴1a 1,d 2==，则81715a a d =+=故选B5.已知点()2,1A --，()3,0B ，若点(),M x y 在线段AB 上，则21y x -+的取值范围（）A.[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.(][),13,-∞-+∞ D.[]1,3-【答案】A 【解析】【分析】设()1,2Q -，分别求出QA k ，QB k ，根据21y x -+表示直线QM 的斜率即可得到结果.【详解】设()1,2Q -，则()()21312QAk --==---，201132QB k -==---因为点(),M x y 在线段AB 上，所以21y x -+的取值范围是[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选：A.6.已知数列{}n a 满足：211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，若23a =，24621a a a ++=，则468a a a ++=（）A.84B.63C.42D.21【答案】C 【解析】【分析】利用题意得到{}n a 是等比数列，故设其公比为()0q q ≠，可得到2433321q q ++=，可得到22q =，即可求得答案【详解】∵211n n n a a a -+=⋅()2n ≥，∴数列{}n a 是等比数列，设其公比为()0q q ≠，∵23a =，2424633321a a a q q ++=++=，即4260q q +-=，解得22q =或23q =-（舍去），∴()222468246246242a a a a q a q a q a a a ++=++=++=，故选：C.7.直线210x y +-=与直线230x y --=交于点P ，则点P 到直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的最大距离为（）A.2B.22C.32D.42【答案】B 【解析】【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可.【详解】由题可列：210230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(1,1)-，因为直线()()21130kx k y k k -+++=∈R ，即(23)(1)0k x y y -++-=恒过定点(1,1)Q -，所以点P 到直线()()21130kx k y k k -+++=∈R 的最大距离为PQ ==，故选：B8.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个L 按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A.2048B.2049C.4096D.4097【答案】D 【解析】【分析】根据给定的条件，由1小时、2小时、3小时后的结果总结出规律，再计算作答.【详解】依题意，1小时后的细胞个数为1321=+，2小时后的细胞个数为2521=+，3小时后的细胞个数为3921=+，…，则(N )n n *∈小时后的细胞个数为21n +，所以12小时后细胞存活个数是12214097+=.故选：D二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9.已知R b ∈，圆()()221:14C x y b -+-=，222:1C x y +=，则（）A.两圆可能外离B.两圆可能相交C .两圆可能内切D.两圆可能内含【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.【详解】圆()()221:14C x y b -+-=的圆心为()11,C b ，半径12r =，圆222:1C x y +=的圆心为()20,0C ，半径21r =；则121C C =≥，12123,1r r r r +=-=，当28b >时，1212C C r r >+，两圆外离；当208b <<时，121212r r C C r r -<<+，两圆相交；当20b =时，1212C C r r =-，两圆内切；当28b =时，1212C C r r =+，两圆外切；综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含.故选：ABC.10.已知公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若917a S =，下列说法正确的是（）A.80a =B.90a = C.116a S = D.810S S >【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列前n 项和公式及等差数列的性质求出9a ，用公差d 表示首项，再判断各项作答.【详解】令等差数列{}n a 的公差为d ，有0d >，其前n 项和为n S ，由917a S =得：1917917172a a a a +=⨯=，解得90a =，有890a a d d =-=-<，A 不正确，B 正确；1988a a d d =-=-，16171799(8)8S S a a a d d =-=-+=-，即116a S =，C 正确；91010890S S a a a d d -=+=+=>，810S S <，D 不正确.故选：BC11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A.若223n S n =-，则{}n a 是等差数列B.若{}n a 是等差数列，且35a =，2102a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值C.若等差数列{}n a 的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2D.若{}n a 是等差数列，则三点1010,10S ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2020,20S ⎛⎫ ⎪⎝⎭、3030,30S ⎛⎫ ⎪⎝⎭共线【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列及等差数列前n 项和n S 的性质，逐项分析判断.【详解】A 项，1n =时，111a S ==-，2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-1n =时，121a =≠-，所以，{}n a 不是等差数列；B 项，由已知可得，61a =，又35a =所以，403d =-<，12303a =>.所以，n S 有最大值；C 项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为510d =，所以2d =；D 项，设三点分别为A ，B ，C ，112n S n a d n -=+，则1019102S a d =+，20119202a d S =+，30129302a d S =+.则()10,5AB d =uu u r ，()10,5BC d =uu u r ，AB BC =uu u r uu u r，所以三点共线.故选：BCD.12.设圆22:(3)(4)9C x y -+-=，过点(1,2)P 的直线l 与C 交于,A B 两点，则下列结论正确的为（）A.P 可能为AB 中点B.||AB 的最小值为3C.若||AB =，则l 的方程为2y =D.ABC 的面积最大值为92【答案】AD 【解析】【分析】判断点P 在圆的内部，当⊥CP 直线l 时，P 为AB 中点，且此时||AB 最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC ，利用基本不等式可判断D.【详解】圆22:(3)(4)9C x y -+-=，圆心(3,4)，半径3r =对于A ，22(13)(24)89-+-=<Q ，即点P 在圆的内部，当⊥CP 直线l 时，P 为AB 中点，故A 正确；对于B ，当⊥CP 直线l 时，||AB 最小，42131CP k -==-Q ，1l k ∴=-，则直线l 的方程为30x y +-=，圆心(3,4)到直线l 的距离d ==，||2AB ∴=，故B错误；对于C ，当直线l 斜率不存在时，即1x =，此时||AB ==当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由||AB ==，得2d =，则圆心(3,4)到直线l的距离2d ==，解得0k =，即2y =，所以满足题意的直线为2y =或1x =，故C 错误；对于D，2211992222ABCd d S AB d -+=⋅=⨯=V ，当且仅当229d d -=，即2d =时等号成立，所以ABC 的面积最大值为92，故D 正确.故选：AD三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.过点()1,2A 且与两定点()2,3、()4,5-等距离的直线方程为_________.【答案】3270x y +-=，460x y +-=【解析】【分析】①过点()1,2A 且与过两定点()2,3、()4,5-的直线平行时满足条件，求出斜率，利用点斜式可写出直线方程；②经过点A （1，2）且过两定点()2,3、()4,5-中点时满足条件，求出中点，利用点斜式可写出直线方程．【详解】解：①过两定点()2,3、()4,5-的直线斜率为：53442--=--，则过点()1,2A 的直线且与过两定点()2,3、()4,5-的直线平行的直线为：24(1)y x -=--，即460x y +-=；②两定点()2,3、()4,5-所在线段的中点为()3,1-．则经过点A （1，2）且过两定点()2,3、()4,5-中点的直线为：122(1)31y x ---=--，即3270x y +-=．综上可得：满足条件的直线方程为：3270x y +-=，460x y +-=．故答案为：3270x y +-=，460x y +-=．【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a n =，则12111nS S S +++= __________．【答案】21nn +【解析】【分析】先求数列{}n a 的前n 项和为n S ，再利用裂项相消法求和即可；【详解】因为n a n =，所以()12n n n S +=，所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121111111121222231n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122121223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故答案为：21n n +16.已知圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，(),P x y 为圆C 上一点，则2x y -的最大值为__________．【答案】20【解析】【分析】由圆C 关于直线320x y ++=对称列方程求a ，由此确定圆的圆心坐标和半径，设2z x y =-，由直线2z x y =-与圆C 有公共点，列不等式求z 的范围及最大值.【详解】方程22240x y ax y +-+=可化为()()22224x a y a -++=+，所以圆22:240C x y ax y +-+=的圆心为(),2C a -，因为圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，所以()3220a +⨯-+=，所以4a =，令2z x y =-，则≤，所以1010z -≤，所以020z ≤≤，所以2x y -的最大值为20，故答案为：20.四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.已知直线():20R l x ky k k -++=∈．（1）若直线l 不经过．．．第一象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程．【答案】（1）[]2,0-（2）S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=【解析】【分析】(1)验证0k =时，直线l 是否符合要求，当0k ≠时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k 的取值范围；(2)先求直线在x 轴和y 轴上的截距，表示AOB 的面积，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】当0k =时，方程20x ky k -++=可化为2x =-，不经过第一象限；当0k ≠时，方程20x ky k -++=可化为121y x k k=++，要使直线不经过第一象限，则10210kk⎧≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得20k -≤<．综上，k 的取值范围为[]2,0-．【小问2详解】由题意可得0k >，由20x ky k -++=取0y =得2x k =--，取0x =得2ky k+=，所以()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫==⋅⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k=时，即2k =时取等号，综上，此时min4S =，直线l 的方程为240x y -+=．18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-.（1）求B ；（2）若1b =，ABC 的面积为34，求ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）3.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；（2）利用三角形面积公式得到ac ，再由余弦定理求出a c +，即可求出三角形的周长；【详解】解：（1）将22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-展开得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，由正弦定理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==因为0B π<<，所以3B π=（2）根据余弦定理，22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-因为ABC 的面积为1sin 24ac B =，所以1ac =因为1b =，所以21()3a c =+-，解得2a c +=ABC 的周长为+3a cb +=19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ；数列{}n b 为等比数列，满足122a b ==，530S =，42b +是3b 与5b 的等差中项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T .【答案】（1）2n a n =，12n n b -=；（2）()1212n n T n +=+-⋅.【解析】【分析】（1）根据等差的前n 项和公式以及通项公式求出首项与公差即可求出等差数列{}n a 通项公式，再结合等差数列中的项与等比数列的通项公式求出首项与公差从而求出等比数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列{}n c 的和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由122a b ==，530S =，42b +是3b 与5b 的等差中项，521030d ⨯+=，2d =则()2212n a n n =+-=；12b q =，()43522b b b +=+，即()32411122b q b q b q +=+，11b =，2q =，12n n b -=；（2）2n nn n b b a n ⋅==⋅，所以23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232...2n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅，12(12)212n n n +-=-⋅-，化简得，()1212n n T n +=+-⋅.20.如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =，45BAC ∠=︒，BC 边上的中线为AM ．（1）求AM 的值；（2）求sin BAM ∠．【答案】（1）5AM =；（2）35.【解析】【分析】(1)在ABC 中，利用余弦定理求BC ，在ABM ，ACM △中分别利用余弦定理求cos BMA ∠，cos CMA ∠，由此列方程求AM ，(2)在ABM 中由余弦定理求cos BAM ∠，再由同角关系求sin BAM ∠.【小问1详解】由余弦定理，得(2222222cos 22222522BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯，即213BC =，13BM CM ==在ABM 中，由余弦定理，得2222cos 2213BM AM AB BMA BM AM AM+-∠==⋅，在ACM △中，由余弦定理，得222259cos 2213CM AM AC CMA CM AM AM+-∠==⋅由BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =．【小问2详解】在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为45BAC ∠=︒，所以π0,4BAM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5BAM BAM ∠=-∠=．21.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝12n n+·a n (n ∈N *).（1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝4n na n a -，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n ＜2.【答案】（1）证明见解析；n4n 2n a =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式，进行求解即可；（2）由412442142n n n n n nna b n n a n ===---，进而利用112n n b -≤，得到231111112222n n T -≤++++⋯+，最后利用等比数列求和公式进行求证即可【详解】证明：（1）由题设得1112n n a a n n+=⋅+，又12a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为12的等比数列，所以121222n n n a n --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，12142222n n n nna n n --⎛⎫=⨯=⋅= ⎪⎝⎭（2）由（1）知412442142n n n n n nna b n n a n ===---，因为对任意*n ∈N ，1212n n --≥恒成立，所以，112n n b -≤所以23111111121222222n n n T -⎛⎫≤++++⋯+=-< ⎪⎝⎭故T n ＜2成立【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，难点在于利用不等式的放缩法得出112n n b -≤，属于中档题22.函数()log (4)1(0,1)a f x x a a =-->≠所经过的定点为(,)m n ，圆C 的方程为222()()(0)x m y n r r -+-=>10y ++-=被圆C（1）求m n 、以及r 的值；（2）设点(2,1)P -，探究在直线1y =-上是否存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到,P B两点的距离之比TB k TP =（k 为常数）．若存在，请求出点B 坐标以及常数k 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）5,1m n ==-，=5r ；（2）存在一点10(,1)3B --，．【解析】【分析】（1）由函数()f x过定点可求，的值，由直线与圆相交的弦长公式：求出的值；（2）假设存在，设点(,1)(2)B m m -≠，圆与直线1y =-的交点为(0,1),(10,1)S Q --，当T 分别在、时满足的距离比可得的值，可得点坐标，设圆上任一点(,)T x y，再利用两点间距离公式，由TBTP ==．【详解】（1）在函数()()()log 410,1a f x x a a =-->≠中，当5x =时，1y =-，所以其经过的定点为点()5,1-，即5m =，1n =-．由于直线被圆C，圆C 半径为r ，圆心()5,1-10y ++-=的距离为2d ==，那么2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解之有=5r ．（2）假设在直线1y =-上存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比TBk TP =（k 为常数）．圆与直线1y =-的交点为()0,1S -，()10,1Q -，设()(),12B t t -≠，而若点T 取S 或Q 时，则SB QB SP QP =，即1028tt -=，解得103t =-．此时53TB TP =．下面证明：对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TB TP =．设(),T x y 为圆上任意一点，则()()225125x y -++=，即()22110y x x +=-+，由TB =，TP =，TBTP ==53==，所以在直线1y =-上存在一点10,13B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TBk TP ==．。
广东省深圳市翠园中学2012—2013学年第二学期高二数学理科试卷
广东省深圳市翠园中学2012—2013学年第二学期高二数学理科试卷（时间 １２０分钟 满分 １５０分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数2(1)i i-（i 是虚数单位）= （ ） A ．2B ．2-C ．2iD ．2i - 2．若)(12131211)(*∈+++++=N n n n f ，则1=n 时，)(n f 是（ ）。
（A ）1 （B ）31 （C ）31211++ （D ）非以上答案 3.3()f x x =, 0'()6f x =，则0x = ( )A 1±4.若20(23)0kx x dx -=⎰，则=k ( )A. 1B.0C.0或1D.以上都不对5.设x x y ln -=，则此函数在区间()1,0内为（ ）A ．单调递增 B. 有增有减 C.单调递减 D.不确定6. 已知()x x x f sin 3⋅=，则'(1)f =( ) A.31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos1 7.星期三上午需要安排语文、数学、英语、物理、化学五节课，其中语文和数学必须排在一起，而物理和化学不能排在一起，则不同的排法共有（ ）。
（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种8．已知函数()x f y =，()x g y =的导函数图象如下图，则()()x g y x f y ==,的图象可能是（ ）二.填空题（每小题5分, 共.30分.）9.若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为 ；10.0=⎰_______________.11.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为 12. 在5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于________。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
广东深圳市翠园中学年高二上期中文数试题
翠园中学第一学期期中考试高二文科数学第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分．（1）每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生2人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为（A ）35 （B ）25 （C ）15 （D ）310（2）已知命题p ：0x R ∃∈，200460x x ++<，则p ⌝为（A ）x R ∀∈，200460x x ++≥ （B ）0x R ∃∈，200460x x ++> （C ）x R ∀∈，200460x x ++>（D ）0x R ∃∈，200460x x ++≥（3）某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（4）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率213=e ，则它的渐近线方程为（A ）x y 23±= （B ）x y 32±= （C ）x y 49±= （D ）x y 94±= （5）从1,2,3,4,5中任取三个数， 则这三个数成递增的等差数列的概率为（A ）310（B ）25 （C ）12 （D ）35（6）如图,一铜钱的直径为32毫米,穿径(即铜钱内的正方形小孔边长)为8毫米,现向该铜钱内随机地投入一粒米(米的大小忽略不计),则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为(A)14π (B)114π-(C)12π(D)116π-（7）已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（A ）13422=-y x （B ）191622=-y x （C ）116922=-y x （D ） 14322=-y x （8）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x 为（A ）19（B ）1-或1 （C ）1- （D ）1 （9）给出下列两个命题：命题：:p 若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，则||1MA ≤的概率为4π. 的储钱命题：:q 若从一个只有3次的一元硬币和2枚五角硬币罐内随机取出2枚硬币（假设每枚被抽到都是等可能的），则总共取到2元钱的概率为13. 那么，下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）p ⌝ （C ）()p q ∧⌝ （D ）()()p q ⌝∧⌝（10）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则1C 的离心率为 （A ）12（B ）22 （C ）34 （D ）64（11）两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（A ）1136 （B ）14（C ）12 （D ）34开始产生0~1之间的两个随机数分别赋给ii y ,x 1≤+2i 2i y x 1+=M M 1+=i i 1000>i 输出P结束是是1+=N N 否否100===i N M ,,图，P（12）右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框表示估计结果，则图中空白框内应填入（A ）1000N P =（B ）41000NP =（C ）1000M P = （D ）41000MP =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
广东省深圳市翠园中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2015-2016学年广东省深圳市翠园中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量C之间关系最强的是（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）=lnx的导函数为f′（x），则函数F（x）=f（x）﹣f′（x）零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．若等差数列{a n}满足a2+S3=4，a3+S5=12，则a4+S7的值是（）A．20 B．36 C．24 D．725．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（）A．B．1 C．D．26．甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x：y为（）A．3：2 B．2：3 C．3：1或5：3 D．3：2或7：57．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设=（c﹣b，c﹣a），=（sinA，sinB+sinC），且∥，则B=（）A．B．C．D．8．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（）A．18 B．27 C．37 D．2129．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第二象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.200010．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．11．点S，A，B，C在半径为的同一球面上，△ABC是边长为的正三角形，若点S 到平面ABC的距离为，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．D．112．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（e）=（）A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在0，+∞），e=2.71828…是自然对数的底数，）．（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若e x≥lnx+m对任意x＞0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆心，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程是（t为参数），求a，b的值．2015-2016学年广东省深圳市翠园中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．【解答】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．2．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量C之间关系最强的是（）A．B．C．D．【考点】两个变量的线性相关．【分析】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论．【解答】解：在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，故选D．3．已知函数f（x）=lnx的导函数为f′（x），则函数F（x）=f（x）﹣f′（x）零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点；导数的运算．【分析】由题意先求f′（x），代入后转化为对应方程的根，再分别画出两个函数的图象，由图象交点的个数判断．【解答】解：∵f′（x）=，∴F（x）=lnx﹣（x＞0），函数F（x）=的零点即为方程lnx﹣=0的根，即为函数y=ln和y=的交点的横坐标，在同一坐标系中分别作出两函数图象，观察图象可得两个函数图象只有一个交点，故函只有1个零点．故选B．4．若等差数列{a n}满足a2+S3=4，a3+S5=12，则a4+S7的值是（）A．20 B．36 C．24 D．72【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质转化a2+S3=4a2，a3+S5=6a3，a4+S7=8a4，再求解．【解答】解：由等差数列的性质得a2+S3=4a2=4，a3+S5=6a3=12，∴a2=1，a3=2∴a4=3∴a4+S7=8a4=24故选C5．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=2，所以x P=1，|y P|=2，所以，△PFO的面积S=|y P|==1．故选：B6．甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x：y为（）A．3：2 B．2：3 C．3：1或5：3 D．3：2或7：5【考点】茎叶图．【分析】根据甲乙两人的平均数与中位数分别相等，构造方程求出满足条件的x值，可得答案．【解答】解：∵甲乙两人的平均数相等，∴=，又∵甲乙两人的中位数相等，∴，（1≤x≤5，y≤3）或=y，（x＞5，y≤3）或，（1≤x≤5，y＞3）或=3，（x＞5，y＞3）解得：x=3，y=2，或x=7，y=5，故x：y=3：2，或x：y=7：5，故选：D．7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设=（c﹣b，c﹣a），=（sinA，sinB+sinC），且∥，则B=（）A．B．C．D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由∥，利用向量共线定理可得（c﹣a）•sinA﹣（c﹣b）（sinB+sinC）=0，由正弦定理可得：（c﹣a）a﹣（c﹣b）（b+c）=0，化简再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴（c﹣a）•sinA﹣（c﹣b）（sinB+sinC）=0，由正弦定理可得：（c﹣a）a﹣（c﹣b）（b+c）=0，化为：a2+c2﹣b2=ac，∴cosB===，又B∈（0，π），∴．故选：C．8．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（）A．18 B．27 C．37 D．212【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题可知，取出酒瓶的方式有3类，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法．故选：C．9．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第二象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵y=a x+1﹣a图象不经过第二象限，∴1﹣a≤﹣1，∴a≥2，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000，∴P（1＜a＜2）=0.3000，∴P（a＞2）=0.2000，∴函数y=a x+1﹣a图象不经过第二象限的概率为=0.2500，故选：C10．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，其中截面是平面ABC，且棱柱和棱锥底面是俯视图：等腰直角三角形，两条直角边是2，棱柱高为2，棱锥的高是2，∴底面面积S=×2×2=2，∴几何体的体积V==，故选：C．11．点S，A，B，C在半径为的同一球面上，△ABC是边长为的正三角形，若点S 到平面ABC的距离为，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．D．1【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=，进而求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中心的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（e）=（）A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意得f（x）﹣lnx﹣x3是定值，令f（x）﹣lnx﹣x3=t，得到lnt+t3+t=2，求出t 的值，从而求出f（x）的表达式，求出f（e）即可．【解答】解：∵函数f（x）对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（x）﹣lnx﹣x3是定值，不妨令f（x）﹣lnx﹣x3=t，则f（t）=lnt+t3+t=2，解得：t=1，∴f（x）=lnx+x3+1，∴f（e）=lne+e3+1=e3+2，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在50，70）中的频率以及频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在0，+∞），e=2.71828…是自然对数的底数，）．（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若e x≥lnx+m对任意x＞0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决；（Ⅱ）构造函数设，利用导数求出函数的最值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）∵，f（x）≥0在x∈R上恒成立，∴a≤，设h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，解得x=，当x＞，即h′（x）＞0，函数单调递增，当x＜，即h′（x）＜0，函数单调递减，∴h（x）min=h（）=，∴0＜a≤，故a的取值范围为；（Ⅱ）设，∴，g'（x）＞0，可得；g'（x）＜0，可得．∴g（x）在（，+∞）上单调递增；在上单调递减．∴g（x）≥g（）=，∵，∴＞1.6，∴g（x）＞2.3．由（Ⅰ）可得e x＞x+，∴e x﹣lnx的最小值大于2.3，故若e x≥lnx+m对任意x＞0恒成立，则m的最大值一定大于2.3．22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆心，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程是（t为参数），求a，b的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）列出关于θ符方程，通过三角函数求解θ，即可求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）直线PQ的参数方程是消去参数t，得到普通方程，利用第一问的结果，即可求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）ρ=4sinθ代入，得sinθcosθ=cos2θ．所以cosθ=0或tanθ=1，取，．再由ρ=4sinθ得ρ=4，或．所以l与C交点的极坐标是，或．…（Ⅱ）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得P，Q的直角坐标分别是（0，2），（1，3），代入解得a=﹣1，b=2．…2016年10月17日。
广东深圳市翠园中学年高二上期中文数试题
43
16 9
9 16
34
（8）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为
（A） 1 （B） 1或1 9
（C） 1 （D）1
（9）给出下列两个命题：
命题： p : 若在边长为1的正方形 ABCD 内任取一点 ，则| MA | 1的概率为 .
4 命题： q :
一个只有3次的一元硬币和2枚五角硬币的储钱罐
（18）（本小题满分12分） 环保组织随机抽检市内某河流2015年内100天的水质，检测单位体积河水中重金属含量 x
，并根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中 a 的值；
（Ⅱ）假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失 y （单位：元）与单位体积河水中重金属含量 x
0 , 的关系式为 y 4x 400 ,
（B） y 2 x 3
（C） y 9 x 4
（D） y 4 x 9
（5）从1,2,3,4,5中任取三个数， 则这三个数成递增的等差数列的概率为
（A） 3 10
（B） 2 5
（C） 1 2
（D） 3 5
（6）如图,一铜钱的直径为32毫米,穿径(即铜钱内的正方形小孔边长)为8毫
米,现
向该铜钱内随机地投入一粒米(米的大小忽略不计),则该粒米未落在铜钱
在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．直 方图中的 a = ．
（15）已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的离心率为2 ，焦点与椭圆 x2 25
y2 9
1
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
第3页 共15页 高二文科数学
x2 y2 （16）已知椭圆C： ＋
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翠园中学2011—2012学年第一学期期中考试 高二数学（理科）
第一部分选择题(共40分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。
1．线性回归方程abxyˆ表示的直线必经过的一个定点是 ( )
(A) )0,0( (B) )0,x( (C) )y,0( (D) )y,x( 2．甲校有3600名学生。乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生身 高方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生（ ） A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，10人 D. 30人，50人，10人 3一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表.
组距 ［10，20） ［20，30） ［30，40） ［40，50） ［50，60） ［60，70） 频数 2 3 4 5 4 2 则样本在区间（－∞，50）上的频率为（ ） A.0.5 B.0.25 C.0.6 D.0.7
4 已知c是椭圆)0(12222babyax的半焦距,则acb的取值范围是 ( )
A (1, +∞) B ),2( C )2,1( D ]2,1(
5．有关命题的说法错误的是（ ） A．命题“若1,0232xxx则”的逆
否命题为：“若023,12xxx则” B．“x=1”是“0232xx”的充分不必要条件 C．若qp为假命题，则p、q均为假命题 D．对于命题使得Rxp:012xx， 则01,:2xxRxp均有 6．如果执行右面的程序框图，那么输出的 S（ ） A．2450 B. 2500 C．2550 D．2652 7、看下面的伪代码，最终输出的结果是（ ） S←0 For I from 1 to 100 step 2 S←S+I2 End for Print S
（A）1+2+3+…+100 （B）12+22+32+…+1002 （C）1+3+5+…+99 （D）12+32+52+…+992
8设双曲线22221xyab（0,0ab）两焦点为12,FF，点Q为双曲线上除顶点外的任意一点，过焦点1F作12FQF的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（ ） （A）圆的一部分（B）椭圆的一部分（C）双曲线的一部分（D）抛物线的一部分
第二部分非选择题(共110分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9 .频率分布直方图中各小矩形面积的和等于____________
10 x>2是24x的____________ 条件
11、若抛物线022ppxy上一点P到准线和对称轴的距离分别为10和6，则此点P的横坐标为 12 五个数1，2，3，4，a的平均数是3，这五个数的标准差是s,则as=____ .
13若方程22125xykk表示双曲线，则k的取值范围是
14.已知椭圆22221xyab（0ab），圆O：222xyb，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为BA,，直线AB与x轴、y轴分别交于点NM,，则2222abONOM ．
开始 K=1 0S 50?k≤是 2SSk
1kk
否 输出S 结束 第6题 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15（本题满分12分）已知：p：方程x2-mx+1=0有两个不等的正根；q：不等式|x-1|＞m的解集为R。若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围。
16. （本题满分12分） 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如下表.
甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 （1）画出茎叶图 （2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适.
17 （本题满分14分）.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. 寿命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 个 数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计电子元件寿命在100～400 h以内的在总体中占的比例； （4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例. 18、（本题满分14分）已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程.
19、（本题满分14分）已知9x2+5y2=1的焦点F1、F2，在直线l：x+y－6=0上找一点M，求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．
20.（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在X轴上，椭圆短半轴长为1，动点(2,)Mt (0)t 在直线2(axac为长半轴，c为半焦距）上。 （1）求椭圆的标准方程 （2）求以线段OM为直径且被直线3450xy截得的弦长为2的圆的方程； （3）设F是椭圆的右焦点，过点F作直线OM的垂线与以线段OM为直径的圆交于点N， 求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。 翠园中学2011—2012第一学期期中考试 高二理科数学 答案及评分标准
一、选择题：本大题每小题5分，满分40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D D C C D A 二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9．1 10．充分不必要条件
11．9或1 12．52． 13．(2,5)． 14．22ab． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本题满分12分）解 因为p：方程x2-mx+1=0有两个不等的正根；所以△=m2-4＞0且m＞0，则m＞2； （3分）。 因为q：不等式|x-1|＞m的解集为R，所以m≤0。（2分）。 又p或q为真，p且q为假，所以p真q假，或p假q真；（2分） 当p真q假时，22.0mmm （2分）
当p假q真时，20.0mmm （2分） 所以当m＞2或m≤0时 ,p或q为真命题，p且q为假命题。（1分） 16. （本题满分12分） 解：（1）画茎叶图,中间数为数据的十位数（4分） 甲 乙7 23 3 8 4 6 9 81 5 7 0 8
（2）：甲x=33，乙x=33；甲s=3.96，乙s=3.56；甲的中位数是33，乙的中位数是35. 综合比较选乙参加比赛较为合适.（8分） 17,解：（1）样本频率分布表如下（4分）
寿命（h） 频 数 频 率 100～200 20 0.10 200～300 30 0.15 300～400 80 0.40 400～500 40 0.20 500～600 30 0.15 合 计 200 1 （2）频率分布直方图如下. （4分）
0.0050.0040.0030.0020.0010
100～200200～300300～400400～500500～600
频率 组距
寿命(h) （3）估计元件寿命在100 h～400 h以内的在总体中占的比例为0.65 （3分） （4）估计元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例为0.35（3分）
18、解：依题意可设抛物线方程为：axy2（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB； 则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立122xyaxy 得01)4(42xax 即：4421axx 4121xx（6分） 15]1)44[(5]4))[(1(2212212axxxxkAB 得：a=12或-4（6分） 所以抛物线方程为xy122或xy42 （2分）
19解：由15922yx，得F1（2，0），F2（-2，0） （3分） F1关于直线l的对称点F1/（6，4） （4分） ，连F1/F2交l于一点，即为所求的点M，∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1/F2|=45，a=25（4分）
∴，又c=2，∴b2=16， （4分）
故所求椭圆方程为1162022yx． （3分） 20.（本题满分14分） 解（1）又由点M在准线上，得22ac ………2分
故212cc，1c 从而2a 所以椭圆方程为2212xy
……………4分
（2）以OM为直径的圆的方程为(2)()0xxyyt 即222(1)()124ttxy 其圆心为(1,)2t,半径214tr ……………6分
因为以OM为直径的圆被直线3450xy截得的弦长为2 所以圆心到直线3450xy的距离21dr
2t ……………8分
所以32552tt，解得4t 所求圆的方程为22(1)(2)5xy
……………10分
（3）方法一：设过点F作直线OM的垂线, 垂足为K,由平几知：2ONOKOM
直线OM：2tyx，直线FN：2(1)yxt ……12分
由22(1)tyxyxt得244Kxt 222
22
(1)(1)444(1)2244KMttONxxtt
所以线段ON的长为定值2。
所以线段ON的长为定值2…………14分