hilbert空间上的有界线性算子
《实变函数和泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()kkv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
第二章线性有界算子
下的矩阵为
1 0 1 1 1 2
1 0 0
求T在基1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, 3=(0,0,1)T下的矩
阵。 4.设T是线性空间V(F )上的线性变换，证明：
T的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。 证明：设1，2，…，s为T的所有不同的特征 值，相应的特征向量分别为x1,x2, …,xs.
第二章 线性有界算子
1.判断下面定义的变换，哪些是线性的?哪些
不是？
（1）在R3中，x=(a1,a2,a3)T,Tx=(a21,a2+a3,a23)T;
（2）给定A0∈Rn×n,X∈Rn×n,TX=A0X-XA0; （3）线性空间Rn[x]中，T(f(x))=f(x+1)(f∈Rn[x]
2.在R3中，x1=(-1,0,2)T,x2=(0,1,2)T,x3=(3,-1,0)T是
2
5.设U,V是线性赋范空间,T:U→V是线性有界算
子,证明:N(T)={x∈U|Tx=}是U中闭子空间。
6 . 在 C[ a ,b ] 上定义 :
a t b a t b
( 1 )
( 1 ) x C [ a , b ], | | x | |max | x ( t ) | max | x ( t ) | 证 , :
( 1 )||x ||是 x 的范 ; 数 d (1 ) ( 2 ) 微分D 算 子 :C [ a ,b ] C [ a ,b ] 是线性有 . dt 7.设k(x,y)在区域0≤x,y≤1上连续，
( Tu )( y )k ( x ,y ) u ( x ) dx .
1
证明：T:C[0,1] →C[0,1]是线性连续算子。
P P P P 证明：P2P1是H上的正交投影算子 1 2 2 1
第五章 有界线性算子的谱理论
明显地 , 若 λ ∈ σ p ( A) ，则存 在 x ≠ 0 使得 (λI − A) x = 0 ， 此时 称
x 是 A 的 相 应 于 λ 的 特 征 向 量 . 称 N (λI − A) 是 A 的 相 应 于 λ 的 特 征
向量空 间 . 由定义还知道复平面 C =
ρ ( A) ∪ σ ( A) 并 且 ρ ( A) ∩ σ ( A) = ∅ . 另
∑a A
n=0 n
∞
∞
n
( Ao = I ) 的 收 敛 性 乃 至 算 子 函 数 f ( A) 的 解 析 性
都可以 加以 定义 . 例如 表达式
eA = ∑
n=0
∞ An A2 n +1 , sin A = ∑ (−1) n (2n + 1)! n! n =0
等 在 范 数 收 敛 意 义 下 都 代 表 Β( X ) 中 的 元 素 . 下 面 定 理 中 出 现 的 多 项 式和幂 级数 也是如 此的 . 定 理 3 (von Neumann) 设 X 是 Banach 空间 ， A ∈ Β( X ) , λ ∈ C ,
−1 −1
上 , 根据 逆 算子定 理知 A 定理 2
∈ Β( X ) .
设 Aห้องสมุดไป่ตู้ B ∈ Β( X ) .
−1 −1 −1
(1) 若 A 是正则算 子 , 则 A 是正 则算 子并且 ( A ) (2) 若 A, B 是正 则算子 ，则 AB 是正则 算子 并且
= A.
( AB) −1 = B −1 A −1 .
又由 1 =|| I || ≤ || A || || B || 知道 || B ||≠ 0 . 取 || B ||
hilbert空间有界自伴正可逆算子的一个不等式
hilbert空间有界自伴正可逆算子的一个
不等式
Hilbert空间有界自伴正可逆算子是数学中重要的概念，
在很多应用中都有着广泛的应用。
它是一种特殊的算子，它具有有界性和正可逆性，因此它在很多地方都有重要的作用。
在有界自伴正可逆算子的Hilbert空间中，一个重要的不等式是
所谓的Gel’fand-Neumark不等式。
该不等式表明，在Hilbert
空间中，当算子T是有界自伴正可逆算子时，它的谱半径
|ρ(T)|的最大值为
这个不等式有时也被称为Gel’fand-Neumark不等式。
它
由两位著名的数学家Gel’fand和Neumark于1943年发现，和1944年发表在《Mathematische Annalen》上。
该不等式表明，当T是一个有界自伴正可逆算子时，它
的谱半径|ρ(T)|的最大值不能超过
1。
这个不等式可以用来证明一些重要的定理，例如，在
一个有界自伴正可逆算子的Hilbert空间中，任何一个可逆算
子都有有界谱。
该不等式对于理解算子理论有着重要的意义，因为它可以用来验证算子的正可逆性。
此外，它也可以用来证明算子的有界性，从而为解决一些算子理论的重要问题提供了有用的结果。
总之，Gel’fand-Neumark不等式是Hilbert空间有界自伴正可逆算子的一个重要不等式，它可以用来证明算子的正可逆性和有界性，在研究一些重要的算子理论问题时也有着重要的作用。
泛函分析(证明)答案
三、证明1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。
证明：,,x y z X ∀∈显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。
（2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t tt==-++，(0)t >关于t 单调递增，得(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++(,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。
2、 设H是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。
证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。
故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。
3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程()(,,())(b ax t k t s x s d s tλϕ-=⎰其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤- 证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解0[,]x C a b ∈。
证明：令()()(,,())b aT x t t k t s x s d sϕλ=+⎰则T 是[,][,]C a b C a b →的算子。
并且12,[,]x x C a b ∀∈1212|()()||(,,())(,,())|bbaaTx t Tx t k t s x s ds k t s x s ds λλ-=-⎰⎰ 12|||(,,())(,,())|bak t s x s k t s x s ds λ≤-⎰12|||||()()|bab x s x s ds λ≤-⎰12||||()||||b b a x x λ≤-- 所以1212||||||||()||||Tx Tx b b a x x λ-≤--。
泛函分析习题
第七章 度量空间和赋范线性空间复习题：1。
设(,)X d 为一度量空间，令0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε?2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义()()()()01|()()|(,)max.21|()()|r r r r r a t b r f t g t d f g f t g t ∞≤≤=-=+-∑ 证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.3。
设B 是度量空间X 中闭集,证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ,而且1.n n O B ∞==4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离.5。
证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f C a b ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f的各阶导数.6.设[,]B a b ⊂,证明度量空间[,]C a b 中的集 {|t , (t)=0}fB f ∈当时为[,]C a b 中的闭集，而集 {||()|}(0)A ft B f t a a =∈<>当时,为开集的充要条件是B 为闭集。
7。
设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。
8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素,[,]f g B a b ∈，规定距离为(,)sup |()()|.a t bd f g f t g t ≤≤=-证明[,]B a b 不是可分区间.9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖. 10。
泛函分析习题
泛函分析复习资料一、判断题（每小题4分，共20分）1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。
( )2、 距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、 任何一个Hilbert 空间都有正交基。
( )5、设X 是线性赋范空间，T 是X X 的有界线性算子，若T 既是单射又是满射，则T 有逆算子。
( )二、选择题（每小题5分，共25分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty TxD.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤3、下列关于距离空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）.A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是（）. A．集X是开的 B.集Y是开的C.集X是闭的D.集Y是闭的5、设(1)pl p<<+∞的共轭空间为q l，则有11p q+的值为（）.A．1- B.12C.1 D.12-三、填空题（每小题5分，共25分）1、距离空间中的每一个收敛点列都是（）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。
3、1l的共轭空间是（）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：巴拿赫空间上的有界线性算子前面两章的内容可以看作是学习泛函分析的准备工作，让我们熟悉了泛函分析研究的主要对象之一：无限维空间。
从本章开始，我们将研究算子理论，而在泛函分析基础中，我们主要研究有界线性泛函，当然我们也会对无界线性泛函做简单的介绍，那么现在就让我们开始新的旅程吧！设及都是实(或复)的线性空间, 是由的某个子空间到线性空间中的映射,如果对任意的 , 有:我们称这样的映射为线性映射或线性算子.给出一些我们常用的记号：映射的定义域常用表示；值域通常用表示.当映射的值域在实数域或者复数域时，我们习惯称其为线性泛函，常用表示.如果是连续(按照空间的范数收敛)则称是连续线性算子；若将任何有界集映射为有界集我们称其为有界线性算子.在本小节中我们主要探索连续和有界的关系！首先，我们做一点说明，我们主要还是在无限维空间中研究.这是为什么呢？因为在有限维空间中：线性连续有界这样的映射我们实在没有兴趣研究(真的没有兴趣吗？哈哈!)比如：在中定义积分算子：这显然是一个线性泛函；并且还是连续有界的.现在我们对有界、连续、线性这几个关系进行探索！设都是实赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子.则满足齐次性,因此是连续线性算子.证明：因为对任意的都有：又因为是连续的，因此我们由柯西引理知道是齐次的，即：推论：设都是复赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子,且 , 则满足齐次性,因此是连续线性算子.下边一个定理是我们对有界映射常用的一种说法：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则有界的充分必要条件是存在 , 使得对一切 , 有 .证明：充分性：显然.必要性：考虑单位球面(再一次体现了单位球面的重要性)，,那么对任意的都有：先考虑任意的,那么,所以：因此：命题得证.有了这个等价刻画之后，我们就可以证明在赋范线性空间中连续和有界是一回事：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则下列性质等价：(i) 连续;(ii) 在原点处连续;(iii) 有界.证明：显然.注意到线性性并叙述连续定义：对任意的(不妨取为1),存在，使得对任意的,都有：因此对任意的,都有：因此：所以：所以有界.:设且,那么：因此在处连续.故得证.线性算子空间从这里开始，我们应空间表示Banach空间.不做说明时，所说的算子都定义在整个空间上.设都是空间，我们考虑所有从的有界线性泛函，不难发现，如果是线性算子，那么也是线性算子，也是线性算子，这说明线性算子在逐点定义的加法和自然数乘下可以形成数域上的线性空间.我们将这个空间记为：，当时，我们简记为：他已经是一个线性空间了，我们要在其上赋予范数使其具有拓扑结构，可是应该怎么赋予范数呢？这是一个好问题！一方面可以根据有限维空间定义范数的延申，一方面是根据书上的，因为是有界线性泛函，所以定义:显然它可以等价定义为：有限维泛函空间中：如中也是如此定义的.（学过数值的可能会熟悉些...）因为是有界泛函，所以：因此这个定义是合理的，如果是无界泛函那么上确界可能不存在，因此定义就不合理了。
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hilbert空间上的有界线性算子
在现代科技日益发展的今天，随着普及化程度不断提高的信息技术，在相关领
域取得了巨大的进步。
其中，Hilbert空间上的有界线性算子是一种重要的技术，
具有极其重要的应用价值。
Hilbert空间上的有界线性算子是指在一个完备的Hilbert空间上的线性算子，它的特性是，具有有限的特征值，另外，它的算子是自保持的，即算子在输入相同的输入时，得出的输出也是一致的。
此外，算子也是有界的，即其范围刚好满足给定的条件。
它具有很明显的优势：一是收敛性很强，求解中偏差及其状态变化会很快收敛；二是方便地形成简单的数值性结果，可以在计算机上任意操纵这种逻辑关系并获得数值性结果。
由于Hilbert空间上的有界线性算子所具备的优良性质，使它在多个领域有着广泛的应用，特别是在互联网环境中，它可以用来控制站点访
问频率，可以解决网站负载均衡问题，更可以用于实施网络攻击检测，从而提高网络安全性。
总而言之，Hilbert空间上的有界线性算子是一项具有重要应用价值的技术，
在实践中可以发挥出其卓越的性能。
因此，我们应加强对这一技术的研究和开发，实现其在互联网环境中的拓展，同时解决相关的技术难题，提高网络的安全性，并使它有效的应用于多个领域当中。