专题训练(六)求锐角三角函数的四种方法

专题训练(六) 求锐角三角函数的四种方法► 方法一 运用定义求锐角三角函数值1．如图6－ZT －1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么sin A 的值为( ) A .34 B .43 C .35 D .45图6－ZT －1 图6－ZT －22．如图6－ZT －2，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )A .45B .35C .34D .433．a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ∶b ∶c ＝1∶2∶3，则cos B 的值为( )A .63 B .33 C .22 D .244．如图6－ZT －3，△ABC 的顶点都在小正方形组成的网格的格点上，则cos C 的值为( )图6－ZT －3A .12B .32C .55D .2 555．如图6－ZT －4，在△ABC 中， ∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，求sin A ，cos A ，tan A 的值．图6－ZT －46．如图6－ZT －5，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值．图6－ZT －5► 方法二 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 7．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin (90°－∠A)的值为( )A .513B .1213C .813D .5128．小明在某次作业中得到如下结果： sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945， sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018， sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000， sin 245°＋sin 245°＝(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1. (1)当α＝30°时，说明sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．► 方法三 利用等角求锐角三角函数值9．如图6－ZT －6，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是( )A .13B .617C .55D .1010图6－ZT －6 图6－ZT －710．如图6－ZT －7，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点P ，则tan P ＝________．11．如图6－ZT－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A 作AE⊥CD，AE与CD，CB分别相交于点H，E，且AH＝2CH.(1)求sin B的值；(2)如果CD＝5，求BE的长．图6－ZT－812．如图6－ZT－9，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.(1)求AD的长；(2)求cos∠DBC的值．图6－ZT－9 ►方法四利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值13．若∠A为锐角，且sin A＝32，则cos A的值为()A ．1B .32 C .22 D .1214．在△ABC 中，∠C ＝90°，如果sin A ＝35，那么tan A 的值为( )A .34B .54C .35D .4315．已知tan α＝25，α是锐角，求tan (90°－α)，sin α，cos α的值．16．计算：sin 215°＋cos 215°－cos 30°tan 60°.教师详解详析1．[解析] C 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝32＋42＝5，所以sin A ＝BC AB ＝35.故选C.2．C3．[解析] B 设a ＝k ，则b ＝2k ，c ＝3k ，则a 2＋b 2＝k 2＋(2k )2＝3k 2，c 2＝(3k )2＝3k 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°，∴cos B ＝a c ＝k 3k ＝33.故选B.4．[解析] D 设每个小正方形的边长均为1.如图，过点A 作AD ⊥BC ，交CB 的延长线于点D ，则AD ＝2，CD ＝4，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝22＋42＝2 5，故cos C ＝CD AC ＝42 5＝2 55.5．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5， ∴AC ＝52－32＝4，∴sin A ＝BC AB ＝35，cos A ＝AC AB ＝45，tan A ＝BC AC ＝34.6．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝DM ＝2x ，CD ＝4x ， ∴CE ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，EM ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，CM ＝（2x ）2＋（4x ）2＝2 5x ， ∴EM 2＋CM 2＝CE 2，∴△CEM 是直角三角形，且∠CME ＝90°，∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝55.7．A8．[解析] (1)将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得； (2)α和90°－α互余，由此可在直角三角形中根据勾股定理验证．解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝1.(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，则∠B ＝90°－α.∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB2＝1.9．[解析] D 如图所示，过点A 作AD ⊥l 1于点D ，交l 2于点F ，则AF ⊥l 2，过点B 作BE ⊥l 1于点E ，设l 1和l 2之间的距离为1，则l 2和l 3之间的距离也为1.∵∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE .在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝CB .在△ACD 和△CBE 中，∵⎩⎨⎧∠CAD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE ， ∴CD ＝BE ＝1.在Rt △ACD 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝5，在等腰直角三角形ABC 中， AB ＝AC 2＋CB 2＝10，∴sin α＝sin ∠ABF ＝AF AB ＝110＝1010.10．[答案] 43[解析] ∵∠ACD ＝∠BAC ＋∠ABC ，CP 平分∠ACD ， BP 平分∠ABC ，∠PCD ＝∠PBC ＋∠P ， ∴2(∠PBC ＋∠P )＝∠BAC ＋∠ABC ， ∴∠P ＝12∠BAC .如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC .∵∠P ＝12∠BAC ，∴∠P ＝∠BAE .在Rt △BAE 中，由勾股定理，得AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3， ∴tan P ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.11．解：(1)∵在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝AD ＝BD ，∴∠DCB ＝∠B . ∵AE ⊥CD ，∴∠AHC ＝90°， ∴∠ACD ＋∠CAH ＝90°.∵∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∴∠DCB ＝∠CAH ，∴∠B ＝∠CAH . 在Rt △ACH 中，AH ＝2CH ，∴AC ＝5CH .∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝CH 5CH ＝55.(2)由(1)知sin B ＝55. ∵CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝2 5， ∴AC ＝2，∴BC ＝AB 2－AC 2＝4. ∵∠B ＝∠CAH ，∴sin ∠CAH ＝CE AE ＝55，∴AE ＝5CE ，由CE 2＋AC 2＝(5CE )2， 解得CE ＝1， ∴BE ＝BC －CE ＝3.12．解：(1)设AD ＝x ，则CD ＝1－x . ∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠A ＝36°， ∴∠BDC ＝∠C ＝72°，BD ＝AD ， ∴BC ＝BD ＝AD ＝x ，△ABC ∽△BCD ， ∴AB BC ＝BCCD，∴BC 2＝AB ·CD ， 即x 2＝1－x ，解得x ＝5－12(负值已舍去)． 即AD ＝5－12. (2)过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵BD ＝AD ，∴AE ＝BE ＝12.在Rt △ADE 中，cos ∠DBC ＝cos A ＝AEAD ＝5＋14.13．D14．[解析] A ∵sin A ＝35，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴tan A ＝sin A cos A ＝3545＝34.故选A.15．解：如图所示，tan B ＝tan α＝25.设AC ＝2x ，则BC ＝5x ，则AB ＝29x ， ∴tan(90°－α)＝tan A ＝5x 2x ＝52，sin α＝AC AB ＝2x 29x ＝22929，cos α＝BC AB ＝5x 29x ＝52929.16．解：原式＝1－32×3＝－12.。